移动二次曲面拟合内插DEM程序
DEM内插算法
则有：
( Z Y )i , j ( Z )i , j 1 ( Z Y )i , j 1 1 ( Z )i , j ( ) ( Z XY )i , j ( Z X )i , j 1 ( Z XY )i , j 1 0 Z X i, j Z ( Z )i1, j ( Z Y )i1, j ( Z )i1, j 1 ( Z Y )i1, j 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) Z Z Z Z X XY X XY i 1 , j i 1 , j i 1 , j 1 i 1 , j 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 A 1 1 1 1 1 2 3 0 0 0 0 1 0 0 XAY T 1 1 1 1 2 3
n i 1
Ki
X i Yi
式中： Q( X ,Y , X ,Y )i iBiblioteka ——点i处的简单面（核函数）
——待定系数
Ki
核函数最常用的是圆锥面：
q0
Q( X , Y , X i , Y i ) ( X X i )2 (Y Y i )2 q
圆锥面 双曲面
q0
在n个数据点上，有：
4
可证明,格网点上Z在X,Y方向斜率及扭曲对应 相等时,边界线沿X,Y方向斜率相等,即光滑。 • 适合于方格网内插 • 可分较大范围的块 • 分块间连续、光滑
四、多层叠加面法内插
（美国依阿华大学 Hardy教授 1977年 提出）
任何一个连续曲面均可由若干简单面来叠加逼近， 即： Z f ( X , Y ) Q( X , Y , , )
a02 a12 a22 a32
a03 1 Y a13 XA T Y 2 a23 Y 3 a33 Y
实验DEM的建立
平差计算曲面特征参数； 对本四次种 实方验法数的据精来度自进测行绘比生较产，：选择误差最小的作为最后的成果
对四种方法的精度进行比较，选择误差最小的作为最后的成果 本对次四实 种验方数法据的来精自度测进绘行生比产较：，选择误差最小的作为最后的成果
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实验：DEM的建立
从数据中提取测区范围信息及MBR，最小高程和最大高程； 建 通立过D实E验M，，可我以们看假出设有地限面元是法连精续度光最滑高的，。其原因是用了样条函数，它满足连续光滑的条件 掌采握用建 方立法D是E后M四的种几方种法常。用方法，了解其精度评定 通从过数实 据验点，文可件以中看取出有均限匀元分法布精的度检最查高点，其计原算因内是差用高了程样和条已函知数高，程它，满用足下连式续来光评滑定的DE条M件的质量
➢四种拟合方法比较
➢拟合方法 ➢六参数法 ➢多面函数法 ➢移动曲面拟合法 ➢有限元法
➢拟合精度 ➢1.03
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实验：DEM的建立
❖实验结论
➢160Km2需要计算6400个交叉点，所以移
动曲面拟合法和最小二乘配置法不需要分区，
其他两种方法需分区。
➢通过实验，可以看出有限元法精度最高，
实验：DEM目的
➢掌握建立DEM的几种常用方法，了解其 精度评定
❖实验仪器：
➢计算机
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实验：DEM的建立
❖原理概述
➢建立DEM的方法有：加权平均法，移动 曲面拟合法，多面函数逼近法，最小二乘配 置法，有限元法 ➢建立DEM，我们假设地面是连续光滑的。 ➢本次实验，建立50mX50m空间分辨率的 DEM。采用方法是后四种方法。
使用二次曲面拟合来计算点云曲率的基本步骤
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DEM内插方法比较及ARC_INFO内插方法分析
D EM 内插方法比较及 A R C ƒI N FO内插方法分析郭 清(湖南省测绘科技研究所)提 要 本文分析了几种常用的 D E M 空间内插方法, 并比较了它们的适用范围。
根 据 生 产 实 际 数 据 对 利 用 地 形 图 等 高 线 矢 量 化 生 产 D E M 的 精 度 进 行 了 分 析, 最 后 对 A R C ƒI N FO 的内插方法特别是在 T I N 模块上对加有断线处理的内插进行了较系统的分 析。
关键词 内插 比较分析 A R C ƒI N FOD E M 1 D E M 内插的概念及常用内插方法的比较 插等。
目前大多数 D E M 软件采用的是多项式(1) 内插的概念内 插 和 线 性 内 插, 如 A R C ƒI N FO 就 是 采 用 线D E M 性内插和五次多项式内插 (T I N ) 及双线性方程内插、三次卷积积分内插 (L a t t i ce ) , 这将在后面 详述。
D E M 是 英 文 D i g i ta l E leva t i o n M o d e l 即数字高程模型的缩写, 它是一定区域范围内规则格网点的平面及高程坐标的数据集, 该数据 集从数学上描述了该区域地貌形态的空间分 布。
D E M 的数据源可以是从航摄像对在解析 测图仪上描绘等高线所得, 也可以是从野外实 测碎部点, 或是从已成图的等高线扫描矢量化 所得, 但不论采取何种方法, 都要对这些数据进 行空间内插以获得不同于源数据、按规则格网 排列的数字高程模型 (D E M )。
(2) 空间内插方法的比较对于数字高程模型来说, 要拟合的面在数 学上可以用一个二元多次函数来表示:nn(a i X i Y i ) Z = f (X , Y ) = 2 2 (1)i = 0 j = 0从 (1) 式可以看出, 当 n ≥ 2 时, 在数学概念上来说, 则函数 f (X , Y ) 具有连续的一阶导数, 从 空间模型上来说即模型具有连续光滑的表面, 这点很重要, 后面还要说到。
基于不同权值的多种DEM内插方法比较和精度评定
基于不同权值的多种DEM内插方法比较和精度评定作者：谌一夫来源：《科技资讯》 2012年第33期谌一夫(武汉大学遥感信息工程学院湖北武汉 430079)摘要:数字高程模型DEM是利用遥感信息经过数字摄测量处理得到的经典产品之一,它是地理信息数据库的核心数据系统。
目前,世界发达国均建立了各自的数字高程模型,其广泛地应用于测绘、环境、资源和军事等多种领域,并且发挥着及其重要的作用。
由于地形表面的复杂性和多变性,本文给出了多种DEM生成方法,通过实验分析各种内插方法在取不同权值时的内插精度,地面数据点的数量和分布对内插精度的影响,并且分析高斯贝尔曲线的最小二乘法对地表模拟精度的因素。
最后综合分析了各种DEM生成方法相应的适用范围。
关键词:数字高程模型 DEM 内插精度评价中图分类号:P2 文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2012)11(c)-0002-02数字高程模型源于美国麻省理工学院摄影测量实验室主任Miller提出的数字地面模型概念。
从数学意义上来说,数字高程模型DEM是数字地面模型DTM的一个地形分量,能够比较准确地反应地形表面的形态,它表示某个区域D上地形的三维向量有限序列,数学表达式表示为：。
其中,,表示平面位置,是相应的高程,当平面位置以规则形式排列时,DEM可简化成一维向量序列[1]。
DEM内插是利用若干数据点高程求出待定点上的高程值,在数学上属于插值问题。
任意一种内插方法都是基于原始地形起伏变化的连续光滑性,或者说邻近的数据点间有很大的相关性[2],才可能内插出待插点的高程。
数字高程模型(DEM),也称数字地形模型(DTM),是一种对空间起伏变化的连续表示方法。
由于DTM隐含有地形景观的意思,所以常用DEM单纯表示高程。
传统的地理信息系统的数据结构都是二维的,数字高程模型对空间三维数据的建立是一个必要的补充;与此同时,数字高程模型模拟其它二维表面的连续高度变化,如气温、降水量等。
DEM的内插方法与精度评定
导 师: 魏玉明 答辩人: 雒建旺 专 业: 测绘工程
论文简体框架
1 2 3 4
DEM研究背景
DEM的介绍 DEM的内插方法
结论
1.DEM研究背景
数字高程模型（DEM)是地理信息系统地理数据库 中昀为重要的空间信息资料和赖以进行地形分析的 核心数据系统。目前世界各主要发达国家都纷纷建 立了覆盖全国的DEM数据系统。DEM作为地球空间框 架数据的基本内容，是各种地理信息的载体，在国 家空间数据基础设施的建设和数字地球战略的实施 进程中都具有十分重要的作用。
3.DEM内插算法
DEM是地表的一个数学模型，使数学函数 （内插函数）表示。确定了内插函，即重建 了地表起伏形态，由此可求得地面任一点的 高程。
内插是DEM核心问题
生产 质量控制
贯穿DEM
精度评定 应用
一.DEM内插的理论基础
地表起伏连续光滑 相邻数据点之间相关
多项式法 插值逼近 样条函数法 多项式法
1
n n i 1 i 1
1 F 1
P1 Z1 1 Pn Z n
Pi Z i / 不良时）
2.DEM的介绍
1. DEM的含义 DEM 即数字高程模型 ，数字高程模型（Digital Elevation Model),简称DEM。它是用一组有序数值阵 列形式表示地面高程的一种实体地面模型，是数字地 形模型(Digital Terrain Model，简称DTM)的一个分 支，其它各种地形特征值均可由此派生。一般认为， DTM是描述包括高程在内的各种地貌因子，如坡度 、坡向、坡度变化率等因子在内的线性和非线性组合 的空间分布，其中DEM是零阶单纯的单项数字地貌 模型，其他如坡度、坡向及坡度变化率等地貌特性可 在DEM的基础上派生。
27-曲面内插完整版
15
在数据点为方格网条件下，可取用三次曲 面来描述格网内的地面高程，则待定点的 高程可由下式求出：
16
式中，
0 X 1,0 Y 1
即以左下角格网为原点，格网边长为单位长度。
16个未知数，需要16个方程才能唯一解出， 16个方程分解为： 4个交叉点上四个方程; 4个交叉点在X轴上光滑四个方程； 4个交叉点在Y轴上光滑四个方程； 4个交叉点的曲面扭曲.
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本例答案
• P点所在格是:(26,22),(26,23),(27,22) (27,23) • 四点地理坐标为:(54520,72440) • P点高程内插结果:230.560米.
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第一步：计算坐标尾数
X X p int( X p / L) * L Y Y p int(Y p / L) * L
数据点上按一次样条函数列误差方程
x , y 1 x 1 y C i , j x 1 y C i 1, j 1 x yC i , j 1 xyC i 1, j 1
为了保证地面的圆滑，可利用x和y方向上 的二次差分条件，构成第二类虚拟观测值 误差方程式 。
曲面的内插方法
DEM内插就是根据参考点上的高程 求出其它待定点上的高程，
整体函数内插
用一个整体函数 拟合整个区域
局部函数内插
逐点内插法
1
曲面内插续
DEM内插就是根据参考点上的高程求出其 它待定点上的高程.DEM看成是由参考点 数据构成的曲面，所以DEM内插经常叫 曲面内插。 大地水准面是一个边续光滑的曲面，影像 灰度经常也构成曲面，同样存在曲面的 内插问题！！！
22
有限元法：为了解算一个函数，有时需 把它分成许多适当大小的“单元”，在每 一单元中用一个简单的函数，例如多项式 来近似的代表它。对于曲面，也可以用大 量的有限面积单元来趋近它，这就是有限 元法 。用于离散数据点内插出一个区域有 DEM如：用12个数据点内插出50＊50的局 部DEM。
基于DEM应用内插算法的分析
基于DEM应用内插算法的分析
高扬
【期刊名称】《测绘科技》
【年(卷),期】1998(000)002
【摘要】本文介绍了基于ＤＥＭ应用的几种内插方法，并对双三次内插法，移动曲面法两种主要方法做了试算及分析，讨论承不同情况的方法方法应用。
【总页数】5页(P35-39)
【作者】高扬
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】P217
【相关文献】
1.基于等高线生成DEM的内插算法及其精度分析 [J], 杨晓云;唐咸远;梁鑫
2.基于抗差最小二乘配置的点云内插DEM算法研究 [J], 李成仁
3.基于不同地貌类型的DEM内插算法分析与选择 [J], 胡璐锦;王亮;陶坤旺
4.基于移动曲面拟合算法和加权平均算法的DEM内插算法改进 [J], 李胤;杨武年;杨容浩;曾涛
5.基于DLG精细化DEM的内插算法及其精度评价 [J], 翁进;陈亚凯;张禾裕
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似水无痕一、二次曲面移动拟合法内插DEM的原理DEM内插就是根据参考点上的高程求出其他待定点上的高程,在数学上属于插值问题。
任意一种内插方法都是基于邻近数据点之间存在很大的相关性,从而由邻近点的数据内插出待定点上的数据。
移动曲面拟合法内插,是以每一待定点为中心,定义一个局部函数去拟合周围的数据点。
该方法十分灵活,一般情况精度较高,计算相对简单,不需很大计算机内存,其过程如下:(1)根据实际内插要求,解算待定点P的平面坐标( xP , yp )。
(2)为了选取邻近的数据点,以待定点P为圆心,以R为半径作圆(如图1所示) ,凡落在圆内的数据点即被选用。
在二次曲面内插时,考虑到计算方便,将坐标原点移至该DEM格网点P ( xP , yp )由于二次曲面系数个数为6,要求选用的数据点个数n > 6。
当数据点i ( xi , yi )到待定点P ( xP , yp )的距离di = sqr(x i2 - .y i2 ) i < R时,该点即被选用。
若选择的点数不够时,则应增大R的数值,直至数据点的个数n满足要求。
(3)选择二次曲面Z =Ax2 +B xy +Cy2 +Dx + Ey +F作为拟合面,则对应点的误差方程为vi = Ax2 +B xy +Cy2 +Dx + Ey +F - Z i由n个数据点列出的误差方程为v = MX - ZX = (M T PM) -1M T PZ由于坐标原点移至该DEM格网点P ( xP , yp ) ,所以系数F就是待定点的内插高程值ZP二、程序采用平台：,access数据库（存储已知点）数据：10个点程序代码：Imports System.MathPublic Class Form1Dim conn As OleDb.OleDbConnection = New OleDb.OleDbConnectionDim cmd As OleDb.OleDbCommand = New OleDb.OleDbCommandDim adapter As OleDb.OleDbDataAdapter = New OleDb.OleDbDataAdapterDim datareader As OleDb.OleDbDataReader'数据库连接Dim xe As Double, ye As Double, d(9) As Double, X(9) As Double, Y(9) As Double, Z(9, 0) As DoubleDim M(9, 5) As Double, P(9, 9) As DoubleDim Xz(5, 0) As DoublePrivate Sub Button1_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button1.ClickDim i As Integerxe = 110ye = 110 '待定点坐标DataSet1.Tables.Clear()DataGridView1.Columns.Clear()conn.ConnectionString = "Provider=Microsoft.Jet.OLEDB.4.0;Data Source=" & Application.StartupPath & "\DEM.mdb"mandText = "select 点号,X,Y,Z from DEM "cmd.Connection = connconn.Open()OleDbDataAdapter1.SelectCommand = cmdOleDbDataAdapter1.Fill(DataSet1, "DEM")DataGridView1.DataSource = DataSet1.Tables.Item("DEM")conn.Close()'连接数据库，把数据读到DatagridviewFor i = 0 To 9X(i) = DataGridView1.Rows.Item(i).Cells.Item("X").ValueY(i) = DataGridView1.Rows.Item(i).Cells.Item("Y").ValueZ(i, 0) = DataGridView1.Rows.Item(i).Cells.Item("Z").ValueM(i, 0) = (X(i) - xe) * (X(i) - xe)M(i, 1) = (X(i) - xe) * (Y(i) - ye)M(i, 2) = (Y(i) - ye) * (Y(i) - ye)M(i, 3) = X(i) - xeM(i, 4) = Y(i) - xeM(i, 5) = 1P(i, i) = 1 / Sqrt(Abs((X(i) - xe) * (X(i) - xe) + (Y(i) - ye) * (Y(i) - ye)))Next'对矩阵赋初值End SubPrivate Sub Button2_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button2.ClickTextBox1.Text = ""Dim i As IntegerXz = JZCF(JZCF(JZCF(NJZ(JZCF(JZCF(DZ(M), P), M)), DZ(M)), P), Z)TextBox1.Text = TextBox1.Text & "待定点的坐标：X=110,Y=110" & vbCrLf & vbCrLfTextBox1.Text = TextBox1.Text & "误差方程为：V=AXi^2+BXiYi+CYi^2+DXi+EYi+F-Zi" & vbCrLf & vbCrLfTextBox1.Text = TextBox1.Text & "由X=(M(T)PM)'M(T)PZ" & vbCrLfTextBox1.Text = TextBox1.Text & "其中X=(A B C D E F )(T) Z=(Z1 Z2 Z3 ```Zn)(T)" & vbCrLfTextBox1.Text = TextBox1.Text & " M=(Xi^2 XiYi Yi^2 Xi Yi 1)" & vbCrLf & vbCrLfTextBox1.Text = TextBox1.Text & "求得X=（"For i = 0 To 5TextBox1.Text = TextBox1.Text & Format(Xz(i, 0), "0.000") & " "NextTextBox1.Text = TextBox1.Text & ")" & vbCrLf & vbCrLfTextBox1.Text = TextBox1.Text & "由于坐标原点移至待定点上，因此待定点的高程Z=F" & vbCrLfTextBox1.Text = TextBox1.Text & "待定点高程Z=" & Format(Xz(5, 0), "0.000")End Sub'~~~~~~~~~~~~~~~~~求解矩阵的逆矩阵~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~Public Function NJZ(ByVal q(,) As Double) As Double(,)Dim BS(,) As Double, NJ(,) As Double, Qz As Double, h As Integer, l As Integer, n As Integern = q.GetUpperBound(0)ReDim BS(n, n)ReDim NJ(n, n)BS = BSJZ(q) '伴随矩阵Qz = HLei(q)If Qz <> 0 ThenFor h = 0 To nFor l = 0 To nNJ(h, l) = (1 / Qz) * BS(h, l) '求解矩阵的逆矩阵NextNextNJZ = NJElseMessageBox.Show("矩阵不可逆")NJZ = NothingEnd IfEnd Function'~~~~~~~~~~~~~~~~~求解矩阵的伴随矩阵~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~Public Function BSJZ(ByVal q(,) As Double) As Double(,) '求解矩阵的伴随矩阵Dim i As Integer, j As Integer, k As Integer, n As Integer, BS(,) As Doublei = 0j = 0k = 0n = q.GetUpperBound(0)ReDim BS(n, n)For i = 0 To nFor j = 0 To nBS(j, i) = YZS(q, i, j)NextBSJZ = BSEnd Function'~~~~~~~~~~~~~~~~~'求解矩阵的余子式的值~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~Public Function YZS(ByVal q(,) As Double, ByVal h As Integer, ByVal l As Integer) As Double '求解矩阵的余子式的值Dim i As Integer, j As Integer, x As Integer, y As Integer, n As Integer, YZ(,) As Doublei = 0j = 0n = q.GetUpperBound(0)ReDim YZ(n - 1, n - 1)For i = 0 To nIf i <> h ThenFor j = 0 To nIf j <> l Then '求得h,l位置的余子式YZ(x, y) = q(i, j)y += 1End IfNextx += 1End IfNextYZS = (-1) ^ (h + l + 2) * HLei(YZ) '余子式的值End Function'~~~~~~~~~~~~~~~~~''求解n阶行列式的值~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~Public Function HLei(ByVal q(,) As Double) As Double '求解n阶行列式的值Dim i As Integer, j As Integer, k As Integer, n As Integeri = 0j = 0k = 0If q.GetUpperBound(0) > 1 Then '判断是否为2*2矩阵，若不是则继续求其余子式n = q.GetUpperBound(0)Dim p(n - 1, n - 1) As Double '余子式方阵For k = 0 To nDim h As IntegerDim l As Integer '余子式的行列号h = 0For i = 1 To nl = 0For j = 0 To nIf j <> k Then '按第一列展开求余子式p(h, l) = q(i, j)l += 1End IfNexth += 1NextHLei = HLei + (-1) ^ (k + 2) * q(0, k) * HLei(p) '递归方法求行列式的值NextElseHLei = q(0, 0) * q(1, 1) - q(0, 1) * q(1, 0) ' 二阶行列式求值End IfEnd Function'~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~求解矩阵的转置~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~Public Function DZ(ByVal q(,) As Double) As Double(,) '求解矩阵的转置Dim i As Integer, j As Integer, n As Integer, m As Integer, DZJZ(,) As Doublei = 0j = 0n = q.GetUpperBound(0)ReDim DZJZ(m, n)For i = 0 To nFor j = 0 To mDZJZ(j, i) = q(i, j)NextNextDZ = DZJZEnd Function'~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~矩阵乘法~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~Public Function JZCF(ByVal a(,) As Double, ByVal b(,) As Double) As Double(,) '矩阵乘法Dim ha As Integer, la As Integer, hb As Integer, lb As Integer, c(,) As DoubleDim i As Integer, j As Integer, k As Integerha = a.GetUpperBound(0)la = a.GetUpperBound(1)lb = b.GetUpperBound(1)If la = hb ThenReDim c(ha, lb)For i = 0 To haFor j = 0 To lbFor k = 0 To lac(i, j) = c(i, j) + a(i, k) * b(k, j)NextNextNextJZCF = cElseMessageBox.Show("这两个矩阵不能相乘！")JZCF = NothingEnd IfEnd FunctionEnd Class。