2012年高考数学试题分类考点15 函数y=Asin(wx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
年高考数学真题分类汇编 考点15 函数y=Asin(wx+￠)的图象及三角函数模型的简单应用 理(含解析)
知识点15 函数y=Asin （wx ϕ+）的图像及三角函数模型的简单应用一、选择题1. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ9）若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图象如图，则（ ）A.5B.4C.3D.2【解题指南】观察图象可知，0x 到40π+x 的图象为整个图象周期的一半. 【解析】选B.由图像可知，44200ππ=-+=x x T ，即22T p pw==,故4w =. 2. （2013·山东高考理科·Ｔ5）将函数y=sin （2x +ϕ）的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为（ ）A.43π B.4πC.0D.4π- 【解析】选B. 将函数y=sin （2x +ϕ）的图象沿x 轴向左平移8π个单位，得到函数sin[2()]sin(2)84y x x ππϕϕ=++=++，因为此时函数为偶函数，所以,42k k Z ππϕπ+=+∈，即,4k k Z πϕπ=+∈.3. （2013·四川高考理科·Ｔ5）函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ）A.2,3π-B.2,6π-C.4,6π-D.4,3π【解题指南】本题考查的是,ωϕ对函数()2sin()f x x ωϕ=+图象的影响，需要重点关注的是周期与最大值点.【解析】选A ，根据图象可知3593()4123124T ππππ=--==，所以函数的周期为π，可得2ω=，根据图象过5(,2)12π代入解析式，结合22ππϕ-<<，可得3πϕ=-，故选A. 4. （2013·四川高考文科·Ｔ6）函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ）A.2,3π- B.2,6π-C.4,6π-D.4,3π【解题指南】本题考查的是,ωϕ对函数()2sin()f x x ωϕ=+图象的影响，需要重点关注的是周期与最大（小）值点.【解析】选A ，根据图示可知1115621212122T ππππ=-==，所以函数的周期为π，可得2ω=，根据图象过5(,2)12π代入解析式，结合22ππϕ-<<，可得3πϕ=-，故选A. 5.（2013·福建高考文科·Ｔ9）将函数()()sin 222⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭f x x ππθθ()1的图像向右平移个单位长度>ϕϕ后得到函数()()(),,0g x f x g x P ϕ⎛ ⎝⎭的图像若的图像都经过点，则的值可以是（ ）A ．53π B ．56π C ．2π D ．6π【解题指南】平移问题上，图象和式子的区别对待，务必认识清楚，方能正确解题． 【解析】选B. ()f x 的图像向右平移ϕ个单位，()()sin 2g x x ϕθ=-+⎡⎤⎣⎦，由题()sin sin 2θθϕ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得3πθ=。
函数y=Asin(wx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用知识梳理1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： x －φω －φω＋π2ωπ－φω 3π2ω－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ) 0A－A3．函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的步骤 法一 法二1、y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换1． 弹簧振子的振动是简谐运动，在振动过程中，位移s 与时间t 之间的关系式为s ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12t －π4，t ∈[0，＋∞)，则弹簧振子振动的周期为________，频率为________，振幅为________，相位是________， 初相是________．2．把y ＝sin 12x 的图象上点的横坐标变为原来的2倍得到y ＝sin ωx 的图象，则ω的值为( )A ．1B ．4 C.14 D ．23．(2010·全国卷Ⅱ)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6的图象( )A ．向左平移π4个长度单位B ．向右平移π4个长度单位 C ．向左平移π2个长度单位 D ．向右平移π2个长度单位4、由y=sin2x 向______平移_______单位可得到y=cos2x 的图像.5、将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)的图象向左平移π6个单位后，所得的函数恰好是偶函数，则φ的值是________．6．设函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13 B ．3 C ．6D ．92、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的作法7、已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3.(1)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(2)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．【变式训练】 1.设f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＋1.(1)画出f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，π2上的图象；(2)求函数的单调区间；(3)如何由y ＝sin x 的图象变换得到f (x )的图象．3.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式8. (1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图(1)所示，则f (0)＝________.(2)如图(2)所示是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|∈⎝⎛⎭⎫0，π2图象的一部分，则f (x )的解析式为________．图(1) 图(2)9．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π2)的部分图象如图所示，直线x ＝π6是它的一条对称轴，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 10．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24等于( )A ．2＋3 B. 3 C.33D ．2－ 311．(2013·潍坊模拟)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π30t ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π60t －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t －π3 4.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质的应用12．函数y ＝sin(x ＋π2)，x ∈R ( )A ．在[－π2，π2]上是增函数 B ．在[0，π]上是减函数 C ．在[－π，0]上是减函数 D ．在[－π，π]上是减函数13．函数y ＝sin(3x －π4)的图象的一个对称中心是( )A ．(－7π12，0)B ．(－π12，0) C ．(7π12，0) D ．(11π12，0).________],[)62sin(.14条对称轴有在πππ--=x y15．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________． 16．(2012全国高考新课标卷)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减。
三角函数y=Asin(wx+φ)的图像和性质
专题：三角函数)sin(ϕ+=wx A y 的图像和性质一、知识点总结1、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 2、函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 3、函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． ⑥函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-< 二、课前热身1.函数())4f x x π=-(x ∈R )的最小正周期为2. 满足21)4sin(=-πx 的x 的集合为_____3. 已知函数sin()y A x ωϕ=+（0,||A ϕπ><）的一段图象如下图所示，则函数的解析式 ． 4. 要得到)32sin(π-=x y 的图像，只要将y=sin2x 的图像向___移动___单位 5. 函数y=cos(2x-3π) 的单调递增区间是____________________ 6. 若函数()3sin 2f x x ω=+（0ω>）在区间3,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则ω的取值范围是 ___7. 函数y=3sin （2x-6π）-2（2π≤x ≤32π）的值域为___________8. 关于函数()4sin(2)3f x x π=+（x R ∈），有下列命题① 由12()()0f x f x ==得12x x -必是π的整数倍； ② ()y f x =的表达式可改为()4cos(2)6f x x π=-；③ ()y f x =的图象关于点(,0)6π-对称；④ ()y f x =的图象关于直线6x π=-对称．其中正确的命题的序号是 ．（把你认为正确的命题的序号都填上） 三、典例分析例1：函数sin(A y =ωx )ϕ++B （0,0,>><ωπϕA ）的最大值为22，最小值为-2，周期为32π，图象过点（0，42-），求此函数解析式例2：已知函数)2,0[],21,23[,1sin 2)(2πθθ∈-∈-+=x x x x f （1）当6πθ=时，求f(x)的最大值和最小值；（2）求θ的范围，使f(x)在区间]21,23[-上是单调递减函数。
【三年考点汇总】2012年高考数学考点汇总15函数y=Asin(wx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用(新人教
考点15 函数的图象及三角函数模型的简单应用一、选择题1.（2012·山东高考文科·Ｔ8）函数的最大值与最小值之和为（ ）(A) (B)0 (C)－1 (D)【解题指南】本题考查三角函数的性质，可利用整体代入法求出最大值域最小值.【解析】选A.因为，所以，所以，所以，所以.所以函数的最大值与最小值之和为.2.（2012·新课标全国高考理科·T9）已知 >0,函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）A ． B. D.【解题指南】将看作是由的图象平移得到的，由的单调减区间得到的单调减区间，然后利用是单调减区间的一个子集，求得的取值范围.【解析】选A.结合的图象可知在上单调递减，而，可知图象向左平移个单位之后可得的图象，故在上递减，故应有，解得.3.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ9）已知ω>0，0<φ<π，直线x=π4和x=5π4是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ=（ ）（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4【解题指南】通过相邻对称轴获得函数的周期，从而确定的值，将其中一条对称轴方程代入函数的解析式，求得值.【解析】选A.由题意可知函数的周期，故，，令，将代入可得，.二、解答题4.（2012·陕西高考文科·Ｔ17）与（2012·陕西高考理科·Ｔ16）相同函数（）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）设，则，求的值.【解题指南】（1）由已知最大值可求出A；把条件“图象相邻两条对称轴之间的距离”转化为周期是解答关键；（2）化简后条件的应用是关键.【解析】（Ⅰ）∵函数的最大值为3，∴，即，因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，∴最小正周期,∴，故函数的解析式为.（Ⅱ）∵，即，∵，∴，∴，故.5.（2012·湖南高考文科·Ｔ18）（本小题满分12分）已知函数的部分图象如图5所示.（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数的单调递增区间.【解题指南】本题主要考查三角函数的图象和性质.第一问结合图形求得周期从而求得.再利用特殊点在图象上求出，从而求出f（x）的解析式；第二问运用第一问结论和三角恒等变换及的单调性求得.（Ⅰ）根据图象求出周期，再求出，代入点求，再代入点求A的值，从而确定解析式；（Ⅱ）根据和差角的三角函数公式将化为再根据正弦函数的单调性求出其单调区间.【解析】（Ⅰ）由题设图象知，周期.因为点在函数图象上，所以.又即.又点在函数图象上，所以，故函数f（x）的解析式为（Ⅱ）由得的单调递增区间是。
2012年高考数学试题分类考点15 函数y=Asin(wx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
2012年高考数学试题分类考点 考点15 函数=sin(+)y A wx ϕ的图象及三角函数模型的简单应用一、选择题1.（2012·山东高考文科·Ｔ8）函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为（ ）(A)2 (B)0 (C)－1 (D)1--【解题指南】本题考查三角函数的性质，可利用整体代入法求出最大值和最小值.【解析】选 A.因为90≤≤x ，所以6960ππ⨯≤≤x ，所以67363ππππ≤-≤-x ，所以1)36sin(23≤-≤-ππx ，所以2)36sin(23≤-≤-ππx .所以函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为2-2.（2012·新课标全国高考理科·T9）已知ω>0,函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，则ω的取值范围是（ ）(A)15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (B) 13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (C)1(0,]2 (D) (0,2]【解题指南】将()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭看作是由sin y x ω=的图象平移得到的，由sin y x ω=的单调减区间得到()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调减区间，然后利用,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭是单调减区间的一个子集，求得ω的取值范围.【解析】选A.结合sin y x ω=的图象可知sin y x ω=在（3,22ππωω⎡⎤⎢⎥⎣⎦）上单调递减，而sin sin 44y x x ππωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，可知sin y x ω=图象向左平移4πω个单位之后可得sin 4y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故sin 4y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在（5,44ππωω⎡⎤⎢⎥⎣⎦）上递减，故应有（5,,244ππππωω⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦）⊆（5,,244ππππωω⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦），0,,425,4⎧⎪ω⎪ππ⎪≤⎨ω⎪π⎪≥π⎪ω⎩> 解得1524ω≤≤. 3.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ9）已知ω>0，0<φ<π，直线x=π4和x=5π4是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ=（ ） （A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4【解题指南】通过相邻对称轴获得函数的周期，从而确定ω的值，将其中一条对称轴方程代入函数()f x 的解析式，求得ϕ值.【解析】选A.由题意可知函数()f x 的周期52244T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，故1ω=，()()sin f x x ϕ∴=+，令2x k πϕπ+=+，将4x π=代入可得4k πϕπ=+，0ϕπ<<，4πϕ∴=.二、解答题4.（2012·陕西高考文科·Ｔ17）与（2012·陕西高考理科·Ｔ16）相同函数()sin()16f x A x πω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3， 其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π.（1）求函数()f x 的解析式. （2）设(0,)2πα∈， ()22f α=，求α的值.【解析】（1）∵函数()f x 的最大值为3，∴13A +=，即2A =，∵函数图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，∴最小正周期T π=,∴2ω=，故函数()f x 的解析式为2sin(2)16y x π=-+.（2）∵()2sin()1226f απα=-+=，即1sin()62πα-=，又∵02πα<<，∴663πππα-<-<，∴66ππα-=，故3πα=.5.（2012·湖南高考文科·Ｔ18）已知函数()sin()(,0,02f x A x x R πωϕωω=+∈><<)的部分图象如图所示. （1）求函数f （x ）的解析式. （2）求函数()()()1212g x f x f x ππ=--+的单调递增区间.【解析】（1）由图象知，周期11522(),21212T T ππππω=-=∴==所以11522(),21212T T ππππω=-=∴==， 因为点5(,0)12π在函数图象上，所以55sin(2)0,sin()0126A ππϕϕ⨯+=+=即.又因为55450,,=26636πππππϕϕϕπ<∴<+<+从而，所以55450,,=26636πππππϕϕϕπ<<∴<+<+从而，即=6πϕ.又点0,1（）在函数图象上，所以sin 1,26A A π==得1,26AA π==，故函数f （x ）的解析式为()2sin(2).6f x x π=+（2）()2sin 22sin 2126126g x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2sin 22sin(2)3x x π=-+ 132sin 22(sin 2cos 2)22x x x =-+sin 23cos 2x x =- 2sin(2),3x π=-.所以函数()g x ∴的单调递增区间是5,,.1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z.。
2012年高考真题理科数学解析分类汇编5三角函数
2012年高考真题理科数学解析分类汇编5 三角函数 一、选择题1.【2012高考重庆理5】设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根，则tan()αβ+的值为（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3 【答案】A【解析】因为βαt an ,t an 是方程2320x x -+=的两个根，所以3t an t an=+βα，2tan tan =βα，所以3213tan tan 1tan tan )tan(-=-=-+=+βαβαβα，选A.2.【2012高考浙江理4】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是【答案】A【解析】把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：y 1＝cos x ＋1，向左平移1个单位长度得：y 2＝cos(x +1)＋1，再向下平移1个单位长度得：y 3＝cos(x+1)．令x ＝0，得：y 3＞0；x ＝12-π，得：y 3＝0；观察即得答案． 3.【2012高考新课标理9】已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是（ ）()A 15[,]24 ()B 13[,]24()C 1(0,]2 ()D (0,2]【答案】A【解析】法1：函数)4sin()(πω+=x x f 的导数为)4cos()('πωω+=x x f ，要使函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ上单调递减，则有0)4cos()('≤+=πωωx x f 恒成立，则πππωππk x k 223422+≤+≤+，即ππωππk x k 24524+≤≤+，所以Z k k x k ∈+≤≤+，ωπωπωπωπ2424，当0=k 时，ωπωπ454≤≤x ，又ππ<<x 2，所以有πωππωπ≥≤45,24，解得45,21≤≥ωω，即4521≤≤ω，选A. 法2：选A592()[,]444x πππωω=⇒+∈ 不合题意 排除()D351()[,]444x πππωω=⇒+∈ 合题意 排除()()B C另：()22πωππω-≤⇔≤，3()[,][,]424422x ππππππωωπω+∈++⊂ 得：315,2424224πππππωπωω+≥+≤⇔≤≤ 4.【2012高考四川理4】如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（ ）A BC 、10 D 、15【答案】B【解析】2EB EA AB =+=，EC =3424EDC EDA ADC πππ∠=∠+∠=+=，由正弦定理得sinsin 5CED DC EDC CE ∠===∠，所以3sin sin sin 55410CED EDC π∠=∠==[点评]注意恒等式sin 2α+cos 2α=1的使用，需要用α的的范围决定其正余弦值的正负情况.5.【2012高考陕西理9】在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）A.B. 2C. 12D. 12-【答案】C.【解析】由余弦定理知214242)(212cos 222222222=≥+=+-+=-+=ab ab ab b a ab b a b a ab c b a C ，故选Ｃ．6.【2012高考山东理7】若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，sin 2=8θ，则sin θ=（A ）35 （B ）45 （C（D ）34 【答案】D【解析】法1：因为]2,4[ππθ∈，所以],2[2ππθ∈，02cos <θ，所以812sin 12cos 2-=--=θθ，又81s i n 212c o s 2-=-=θθ，所以169sin 2=θ，43sin =θ，选D.法2：由42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，及sin 2θ可得434716776916761687312sin 1cos sin +=++=+=+=+=+θθθ， 而当42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时θθcos sin >，结合选项即可得47cos ,43sin ==θθ.答案应选D 。
高中数学——函数y=Asin(wx+ψ)的图像及三角函数模型的应用(学案)
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质【知识导图】知识讲解知识点1 ()sin y A x ωϕ=+的有关概念知识点2 用五点法画()sin y A x ωϕ=+一个周期内的简图用五点法画()sin y A x ωϕ=+一个周期内的简图时 要找五个关键点 如下表所示知识点3由sin y x =的图象变换得到()sin y A x ωϕ=+ (其中0,0A ω>>)的图象、(1)先平移后伸缩,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(2)先伸缩后平移[知识点拨]两种变换的差异先相位变换再周期变换(伸缩变换) 平移的量是ϕ个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换 平移的量是()0ϕωω>个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x 而言的． 例题讲解【例题1】函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【例题2】在平面直角坐标系xOy 中 将函数cos 2y x =的图象向右平移6π个单位得到()g x 的图象 则2g π⎛⎫⎪⎝⎭的值为______ 【例题3】已知函数()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭<的部分图象如图所示 则()0f =______．【例题4】已知()12sin 24f x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭（1）画出函数()f x 在f 3,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的简图； （2）求()f x 的单调递增区间.【例题5】已知函数()()sin 306f x A x B A π⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最大值为2 最小值为0． （1）求718f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）将函数()y f x =图象向右平移6π个单位后 倍 横坐标不变 得到函数()y g x =的图象 求方程()2g x =的解.课堂练习【基础】1.将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度 再向上平移1个单位长度 所得图象的函数解析式是_____________________.2.将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度 再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍 可以得到函数cos 2y x =的图象. (1)求()fπ的值；(2)求()f x 的单调递增区间.3.,已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ<⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的部分图象如图所示 则()f x 的解析式是__________．4.,已知函数()f x 的图像可以由cos 2y x =的图像先纵坐标不变横坐标伸长到原来的2倍 再横坐标不变纵坐标伸长到原来的2倍 最后向右平移6π个单位而得到. ⑴求()f x 的解析式与最小正周期； ⑵求()f x 在()0,x π∈上的值域与单调性.5.,函数()sin 0,2y A x πωϕωϕ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭<在同一个周期内 当4x π=时y 取最大值1 当712x π=时 ,y 取最小值1-．（1）求函数的解析式()y f x =；（2）函数sin y x =的图象经过怎样的变换可得到()y f x =的图象？（3）若函数()f x 满足方程()()01f x a a =<< 求在[]0,2π内的所有实数根之和．6.已知函数()()()()cos 0,0f x x x ωϕωϕωϕπ=+-+<<>为偶函数 且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为2π. （1）求8f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后 再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍 纵坐标不变 得到函数()y g x =的图象 求()g x 的单调递减区间.7.,已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+><>的一段图象如图所示．（1）求函数()f x 的单调增区间； （2）若3,84x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 求函数()f x 的值域．小结1．用五点法画()sin y A x ωϕ=+一个周期内的简图用五点法画()sin y A x ωϕ=+一个周期内的简图时 要找五个特征点．如下表所示．2.图象变换：函数y A =的图象可由函数的图象作如下变换得到：（1）相位变换：sin y x =→()sin y x ϕ=+, 把sin y x =图象上所有的点向____()0ϕ>或向____()0ϕ<平行移动__________个单位．（2）周期变换：()sin y x ϕ=+, ()sin y x ωϕ=+, 把()sin y x ϕ=+图象上各点的横坐标____()01ω<<或____()1ω>到原来的________倍(纵坐标不变)．（3）振幅变换：()sin y x ωϕ=+, ()sin y A x ωϕ=+, 把()sin y x ωϕ=+图象上各点的纵坐标______()1A >或______()01A <<到原来的____倍(横坐标不变)．,3．当函数()()sin 0,0y A x A ωϕω=+>>, ,()x ∈∞+∞-表示一个振动量时 则____叫做振幅 T =________叫做周期 f =______叫做频率 ________叫做相位 ____叫做初相．函数()cos y A x ωϕ=+的最小正周期为____________．()tan y A x ωϕ=+的最小正周期为________．课后练习【基础】1.函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ+>=≤≤的图象如图 则()f x =________.2.已知()()cos 2f x x ϕ=+, 其中[)0,2ϕπ∈, 若63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 且()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值 无最大值 则ϕ=________．3.已知函数()22cos 2sin cos sin f x x x x x --=.(1)将()f x 化为()cos y A x ωϕ=+的形式；(2)用“五点法”在给定的坐标中，作出函数()f x 在[0,]π上的图象．【巩固】4.把函数cos 21y x =+的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )5.函数()()cos 2y x ϕπϕπ=+-≤<的图象向右平移2π个单位后，与函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象重合，则φ＝________.6.,函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ<⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的部分图象如图所示 则ω=__________；函数()f x 在区间,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点为_________．,,【拔高】7.将函数()sin 262f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭的图像向左平移12π个单位 再向下平移2个单位 得到()g x 的图像 若()()1216g x g x = 且[]12,2,2x x ππ∈- 则122x x -的最大值为__________．8.,函数()()sin (0,)2f x A x πωφωφ=+><的部分图象如图所示 将函数()f x 的图象向右平移512π个单位后得到函数()g x 的图象 若函数()g x 在区间,6πθ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2- 则θ=_______.9.,如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数3sin 6y x k π⎛⎫=+Φ+ ⎪⎝⎭，据此函数可知，这段时间水深(单位：m )的最大值为____________.。
新高考数学考点12 y=Asin(wx+φ)的图像与性质考点分类讲义练习题附解析3
考点12 y=Asin(wx+φ)的图像与性质1、了解三角函数的周期性,画出 y =sin x , y =cos x , y =tan x 的图像,并能根据图像理解正弦函数、余弦函数在[ 0 ,2π ],正切函数的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与 x 轴的交点等)2. 了解三角函数 y = A sin ( ωx + φ )的实际意义及其参数 A , ω ,φ 对函数图像变化的影响;能画出 y = A sin (ωx +φ )的简图,能由正弦曲线 y =sin x 通过平移、伸缩变换得到 y = A sin ( ωx + φ )的图像 .3. 会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 .1. 三角函数的图像与性质是高考中的必考点,对这部分内容的考查,高考中大多以中、低档题为主,主要集中于对函数的周期、图像、单调性、值域(或最值)等几个方面的考查 . 要解决此类问题,要求学生熟练地掌握三角函数的图像,及正弦函数、余弦函数、正切函数的最基本的性质,并能运用这些性质去熟练地解题 .2. 利用三角函数的性质解决问题时,要重视化归思想的运用,即将复杂的三角函数转化为基本的正弦、余弦、正切函数来处理1、函数 f ( x ) = A sin ( ωx + φ )的图像的平移和伸缩变换以及根据图像确定 A , ω ,φ 问题是高考的热点,题型多样,难度中低档,主要考查识图、用图的能力,同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力 . 2、要牢牢记住函数 f ( x ) = A sin ( ωx + φ )的图像和性质。
1、【2020年江苏卷】.将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.2、【2020年全国1卷】设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A.10π9 B.7π6 C. 4π3D. 3π2 3、【2020年全国3卷】16.关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 4、【2020年天津卷】8.已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值； ③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是 A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③5、【2020年山东卷】.下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A. πsin(3x +）B. πsin(2)3x - C. πcos(26x +）D. 5πcos(2)6x - 6、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=2sin cos ++x xx x 在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．7、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③8、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=|cos2x |B ．f (x )=|sin2x |C ．f (x )=cos|x |D ．f (x )=sin|x |9、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0,10π）单调递增④ω的取值范围是[1229510，) 其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②③D ．①③④10、【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2- B． CD ．211、【2018年高考江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________．12、【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域．题型一 三角函数的性质1、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）设函数2sin cos ()(,0)x x xf x a R a ax +=∈≠，若(2019)2f -=，(2019)f =( )A ．2B ．-2C ．2019D ．-20192、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π63、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()sin cos f x x x =+，则（ ） A ．()f x 的最小正周期为πB ．()y f x =图象的一条对称轴方程为4x π=C ．()f x 的最小值为2-D ．()f x 的0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数4、（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数()sin 2f x a x x =的图象关于直线12x π=-对称，若()()124f x f x ⋅=-，则12a x x -的最小值为（ ） A ．4πB ．2π C ．πD ．2π5、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．π-是()f x 的一个周期B ．()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移3π得到 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()y f x =的图像关于直线1712x π=对称 6、.（2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模）已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>，将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于__________.7、（2020届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题）已知函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω的最小值为_____. 8、(2019南京学情调研）已知函数f(x)＝2sin (2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2的图像关于直线x ＝π6对称，则f(0)的值为________．9、(2019苏锡常镇调研）函数()cos()(0)3f x x πωω=->的图像关于直线2x π=对称，则ω的最小值为 ．10、(2019苏州期初调查） 已知函数f(x)＝sin (2x ＋φ)(0≤φ<π)的一条对称轴是x ＝－512π，则φ＝________．11、(2019南京、盐城二模）若函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图像经过点⎝⎛⎭⎫π6，2，且相邻两条对称轴间的距离为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________．题型二 三角函数图像的变换1、（2020届山东师范大学附中高三月考）为了得函数23y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数2y sin x =的图象（ ） A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移3π单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向右平移3π个单位2、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）将曲线()cos 2y f x x =上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移4π个单位长度，得到曲线cos 2y x =，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．-1C D ．3、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0a a >个单位得到函数()πcos 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则a 的值可以为（ ）A ．5π12B ．7π12C ．19π24D ．41π244、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）函数f(x)＝sin(wx ＋φ)(w ＞0，φ＜2π)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移6π个单位后得到的函数图象关于直线x ＝2π对称，则函数f(x)的解析式为（ ）A ．f(x)＝sin(2x ＋3π) B ．f(x)＝sin(2x －3π) C ．f(x)＝sin(2x ＋6π) D ．f(x)＝sin(2x －6π)5、（2020·蒙阴县实验中学高三期末）关于函数()22cos cos(2)12f x x x π=-+-的描述正确的是（ ）A ．其图象可由2y x =的图象向左平移8π个单位得到 B ．()f x 在(0,)2π单调递增C ．()f x 在[]0,π有2个零点D ．()f x 在[,0]2π-的最小值为6、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度得到()g x 图象，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()g x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．函数()g x 图象关于直线712x π=对称 C ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称7、(2019无锡期末） 已知直线y ＝a(x ＋2)(a>0) 与函数 y ＝|cos x|的图像恰有四个公共点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4), 其中 x 1<x 2<x 3<x 4，则x 4＋1tan x 4＝________． 8、（2020届江苏省南通市高三下学期3月开学考试）将函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0>ω）的图象向左平移π3个单位长度后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为______.题型三 三角函数的解析式1、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫⎪⎝⎭，则( ) A ．把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 2y x =的图象B ．函数()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．函数()f x 在区间[]0,2π内有五个零点D ．函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为12、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）已知()sin()f x A x ωφ=+（0,04,)2A πωφ><<<）过点1(0,)2，且当6x π=时，函数()f x 取得最大值1.（1）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到函数()g x ，求函数()g x 的表达式； （2）在（1）的条件下，函数2()()()2cos 1h x f x g x x =++-，求()h x 在[0,]2π上的值域.解析附后考点12 y=Asin(wx+φ)的图像与性质1、【答案】524x π=-【解析】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=- 72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈当1k =-时524x π=-故答案为：524x π=-2、【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭， 将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω=== 故选：C 3、【答案】②③【解析】对于命题①，152622f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误. 故答案为：②③. 4、【答案】B【解析】因为()sin()3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确；51()sin()sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确； 将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin()3y x π=+的图象， 故③正确. 故选：B. 5、【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A, 当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭ 故选：BC. 6、【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 7、【答案】C 【解析】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当ππ2x <<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误． 当0πx ≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当π0x -≤<时，()()sin sin f x x x =--2sin x =-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C ． 8、【答案】A【解析】作出因为sin ||y x =的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D ； 因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ；作出cos2y x =图象如图2，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递增，A 正确； 作出sin 2y x =的图象如图3，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递减，排除B ，故选A ．图1图2图39、【答案】Df x在[0,2π]上有5个零点，可画出大致图象，【解析】①若()f x在(0,2π)有且仅有3个极大值点.故①正确；由图1可知，()f x在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；②由图1、2可知，()10、【答案】C【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=； 又12π()sin,2π,122g x A x T ωω=∴==∴2ω=，又π()4g =2A =，∴()2sin 2f x x =，3π()8f =故选C. 11、【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13⎛⎫+=± ⎪⎝⎭ϕ，所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，因为ππ22-<<ϕ，所以π0,.6k ==-ϕ【名师点睛】由对称轴得2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，再根据限制范围求结果.函数()sin y A x B =++ωϕ（A >0，ω>0）的性质：(1)max min ,y A B y A B =+=-+； (2)最小正周期2πT =ω；(3)由()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴； (4)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间;由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间.12、【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）[1-．【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+， 故2sin cos 0x θ=， 所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈， 因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y f x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭π123x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是[122-+．题型一 三角函数的性质1、【答案】B 【解析】因为2sin cos ()x x xf x ax+=， 所以22sin()cos()sin cos ()()x x x x x xf x f x ax ax ---+-==-=-， 因此函数()f x 为奇函数，又(2019)2f -=，所以(2019)(2019)2f f =--=-. 故选B 2、【答案】B 【解析】因为函数()()cos f x x ωϕ=+的最小正周期为π，所以22πωπ==，又对任意的x ，都使得()3f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 在3x π=上取得最小值，则223k πϕππ+=+，k Z ∈， 即2,3k k Z πϕπ=+∈，所以()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ ，则函数()y f x =在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故a 的最大值是3π. 故选B3、【答案】B 【解析】()sin cos )4f x x x x π=+=+， 对A ，()f x ∴的最小正周期为2π，故A 错误；对B ，()42f ππ==()y f x ∴=图象的一条对称轴方程为4x π=，故B 正确；对C ，()f x 的最小值为，故C 错误； 对D ，由[0,]2x π∈，得3[,]444x πππ+∈，则()f x 在[0,]2π上先增后减，故D 错误． 故选：B ． 4、【答案】B 【解析】()f x 的图象关于直线12x π=-对称，(0)()6f f π∴=-，即-1a =，则()sin 222sin 26f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，12()()4f x f x =-，1()2f x ∴=，2()2f x =-或1()2f x =-，2()2f x =，即1()f x ，2()f x 一个为最大值，一个为最小值， 则12||x x -的最小值为2T， T π=，12||x x ∴-的最小值为2π， 即12a x x -的最小值为2π.故选：B ． 5、【答案】ACD 【解析】()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为π，故π-也是其周期，故A 正确；()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移6π得到，故B 错误；()77()()sin sin 066323f f ππππππ⎛⎫+==-== ⎪⎝⎭，故C 正确； sin sin 17175()1262sin 132f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ =⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD 6、【答案】4【解析】由题得12=,4,()42n n n Z ππωω⨯⨯∴=∈, 因为0>ω，所以ω的最小值等于4.故答案为：4 7、【答案】43. 【解析】由题意可得,32k k Z ππωπ⨯+=∈，求得22,3k k Z ω=-∈， 又0>ω，则ω的最小值为43， 故答案为：43. 8、【答案】. 1【解析】由题意，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝±2，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1，又因为－π2＜φ＜π2， －π6<π3＋φ<5π6，所以π3＋φ＝π2，即φ＝π6，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，f(0)＝1.9、【答案】.32【解析】解法1：根据余弦函数的图像及性质，令ππωk x =-3，Z k ∈得ωππk x +=3，令23πωππ=+k 得k 232+=ω，Z k ∈，又因为0>ω，所以当0=k 时ω取得最小值为.32 解法2：由条件可得1)2(±=πf ，即1)32cos(±=-πωπ，则ππωπk =-32，Z k ∈，解得k 232+=ω，Z k ∈，又因为0>ω，所以当0=k 时ω取得最小值为.32解后反思：利用整体思想，结合三角函数的图像及性质是解决这类问题的关键！10、【答案】π3【解析】因为函数f(x)的一条对称轴是x ＝－512π，所以2×⎝⎛⎭⎫－5π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π＋4π3，k ∈Z ，又因为0≤φ<π，所以φ＝π3.11、【答案】.3【解析】由相邻两条对称轴间的距离为π2，知其最小正周期T ＝2×π2＝π，从而得ω＝2πT ＝2ππ＝2，又f(x)＝2sin (2x ＋φ)的图像经过点⎝⎛⎭⎫π6，2，所以2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝2，解得φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，又因为0<φ<π，所以φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，即有f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin 2π3＝ 3.题型二 三角函数图像的变换1、【答案】A 【解析】不妨设函数2y sin x =的图象沿横轴所在直线平移ϕ个单位后得到函数23y sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象． 于是，函数2y sin x =平移ϕ个单位后得到函数，sin 2()y x ϕ=+，即sin(22)y x ϕ=+， 所以有223k πϕπ=+，6k πϕπ=+，取0k =，6π=ϕ．答案为A ． 2、【答案】D 【解析】把cos 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，得cos 2()cos(2)sin 242y x x x ππ=+=+=-的图象，再把所得图象各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得图象的函数式为sin(22)sin 4y x x =-⨯=-， sin 42sin 2cos 2()cos 2y x x x f x x =-=-=，∴()2sin 2f x x =-，∴()2sin63f ππ=-=．故选：D. 3、【答案】C【解析】由题意知，3()cos(2)sin(2)44g x x x ππ=+=+，其图像向左平移a 个单位得到函数3()sin(22)4f x x a π=++， 而函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以有32243a k πππ+=+5224a k ππ=-+，取1k =得1924a π=.答案选C.4、【答案】D【解析】因为函数()()f x sin ωx φ=+的最小正周期是π，所以2ππω=，解得ω2=，所以()()f x sin 2x φ=+， 将该函数的图像向右平移π6个单位后，得到图像所对应的函数解析式为ππy sin 2x φsin 2x φ63⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由此函数图像关于直线πx 2=对称，得： πππ2φk π232⨯+-=+，即πφk π,k Z 6=-∈，取k 0=，得πφ6=-，满足πφ2<，所以函数()f x 的解析式为()πf x sin 2x 6⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选D. 5、【答案】ACD【解析】由题：()22cos cos(2)1cos 2sin 2)24f x x x x x x ππ=-+-=+=+，由2y x =的图象向左平移8π个单位，得到)))84y x x ππ=+=+，所以选项A 正确；令222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得其增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈ ()f x 在(0,)8π单调递增，在(,)82ππ单调递减，所以选项B 不正确；解()0,2,4f x x k k Z ππ=+=∈，得：,28k x k Z ππ=-∈，[0,]x π∈， 所以x 取37,88ππ，所以选项C 正确；3[,0],2[,],sin(2)[1,244442x x x πππππ∈-+∈-+∈-，()[f x ∈， 所以选项D 正确. 故选：ACD6、【答案】ABD【解析】函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移2π个单位长度得到()ππsin 223g x x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2πsin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由于7π7π2ππsin sin 112632g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故7π12x =是()g x 的对称轴，B 选项正确. 由于π2π2πsin sin 00333g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()g x 的对称中心，D 选项正确.由π2ππ2232x -≤-≤，解得π7π1212x ≤≤，即()g x 在区间π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，故A 选项正确、C 选项错误. 故选：ABD.7、【答案】－2【解析】根据图形可得直线y ＝a(x ＋2)与函数y ＝－cos x 的图像相切于点(x 4，－cos x 4)，其中x 4∈⎝⎛⎭⎫π4，π.因为y ＝sin x ，由导数的几何意义可得a ＝sin x 4＝－cos x 4－0x 4＋2，化简得x 4＋1tan x 4＝－2.8、【答案】12【解析】将函数f （x ）＝sin （ωx 6π-）（ω＞0）的图象向左平移3π个单位后，可得函数y ＝sin （ωx 36πωπ+-）的图象，再根据所得图象关于直线x ＝π对称，可得ωπ36πωπ+-=k π2π+，k ∈Z ， ∴当k ＝0时，ω取得最小值为12，故答案为12．题型三 三角函数的解析式1、【答案】D【解析】因为函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以2sin 23πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，因此2,32k k Z ππϕπ+=+∈， 所以2,6k k Z πϕπ=+∈， 因此()2sin(2)2sin 222sin 266f x x x k x ππϕπ⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； A 选项，把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，故A 错； B 选项，由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是：2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故B 错； C 选项，由()2sin 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭得2,6x k k Z ππ+=∈，即,122k x k Z ππ=-+∈， 因此[]0,2x π∈，所以5111723,,,12121212x ππππ=，共四个零点，故C 错； D 选项，因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因此1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以[]2sin 21,26x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小值为1，故D 正确； 故选：D.2、【答案】(1)()sin(2)6g x x π=-；(2)[1,2]-.【解析】 (1)由函数()f x 取得最大值1，可得1A =,函数过10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭得12sin φ=，,26ππφφ<= 12,6662f k k Z ππππωπ⎛⎫=⇒+=+∈ ⎪⎝⎭，∵04ω<<，∴2ω= ()26f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()266g x f x sin x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2) ()22226h x x cos x sin x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 710,,2,21266626x x sin x πππππ⎡⎤⎛⎫∈≤+≤-≤+≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 12226sin x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，值域为[]1,2-.。
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考点15 函数=sin(+)y A wx ϕ的图象及
三角函数模型的简单应用
一、选择题
1.（2012·山东高考文科·Ｔ8）函数2sin (09)
63x y x ππ⎛⎫
=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之
和为（ ）
(A)2 (B)0 (C)－1 (D)1--【解题指南】本题考查三角函数的性质，可利用整体代入法求出最大值和最小值.
【解析】选 A.因为90≤≤x ，所以
696
0π
π
⨯
≤≤
x ，所以
673
6
3
π
π
π
π
≤
-
≤
-
x ，所以
1)36sin(23≤-≤-
ππx ，所以2)36sin(23≤-≤-ππx .
所以函数2sin (09)
63x y x ππ⎛⎫
=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为2-
2.（2012·新课标全国高考理科·T9）已知ω>0,函数
()sin 4f x x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪
⎝⎭内单调递减，则ω的取值范围是（ ）
(A)15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (B) 13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (C)1(0,]2 (D) (0,2]
【解题指南】将
()sin 4f x x πω⎛
⎫=+ ⎪
⎝⎭看作是由sin y x ω=的图象平移得到的，由sin y x ω=的单调减区间得到()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调减区间，然后利用,2ππ⎛⎫ ⎪
⎝⎭是单
调减区间的一个子集，求得ω的取值范围.
【解析】选A.结合sin y x ω=的图象可知sin y x ω=在（3,22ππωω⎡⎤
⎢⎥⎣⎦）上单调递减，而
sin sin 44y x x ππωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦，可知sin y x ω=图象向左平移4πω个单位之后可得sin 4y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故sin 4y x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭在（5,44ππωω⎡⎤⎢⎥⎣⎦）上递减，故应有（5,,244ππππωω⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦）
⊆（5,,244ππππωω⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦），0,,425,4⎧
⎪ω⎪ππ⎪≤⎨
ω⎪π
⎪≥π⎪ω
⎩> 解得1524ω≤≤. 3.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ9）已知ω>0，0<φ<π，直线x=π4和x=
5π
4是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ=（ ） （A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π
4
【解题指南】通过相邻对称轴获得函数的周期，从而确定ω的值，将其中一条对称轴方程代入函数()f x 的解析式，求得ϕ值.
【解析】选A.由题意可知函数()f x 的周期52244T πππ
⎛⎫
=⨯-= ⎪⎝⎭，故1ω=，
()()
sin f x x ϕ∴=+，令
2x k π
ϕπ+=+
，将
4x π
=
代入可得
4k π
ϕπ=+
，0ϕπ<<，
4π
ϕ∴=
.
二、解答题
4.（2012·陕西高考文科·Ｔ17）与（2012·陕西高考理科·Ｔ16）相同
函数()sin()1
6f x A x π
ω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3， 其图象相邻两条对称轴
之间的距离为2π
.
（1）求函数()f x 的解析式.
（2）设
(0,)
2πα∈， ()2
2f α
=，求α的值.
【解析】（1）∵函数()f x 的最大值为3，∴13A +=，即2A =，∵函数图象相邻两条
对称轴之间的距离为2π
，∴最小正周期T π=,∴2ω=，故函数
()f x 的解析式为
2sin(2)1
6y x π
=-+.
（2）∵()2sin()1226f απα=-+=，即1sin()62πα-=，又∵02π
α<<
，∴
6
6
3
πππα-<-
<
，
∴
66
ππα-
=
，故
3
π
α=
.
5.（2012·湖南高考文科·Ｔ18）已知函数()sin()(,0,02
f x A x x R π
ωϕωω=+∈><<)
的部分图象如图所示. （1）求函数f （x ）的解析式. （2）求函数
()()()
12
12g x f x f x π
π
=-
-+
的单调递增区间.
【解析】（1）由图象知，周期11522(),21212T T ππππω=-=∴==所以11522(),2
1212T T πππ
πω=-=∴==， 因为点5(
,0)12π在函数图象上，所以55sin(2)0,sin()0
126A ππ
ϕϕ⨯+=+=即.
又因为55450,,=26636πππππϕϕϕπ<∴<+<+从而，所以55450,,=26636πππππϕϕϕπ<<∴<+<+从而，即=
6π
ϕ.
又点0,1（）在函数图象上，所以
sin 1,26A A π==得1,2
6A
A π
==，故函数f （x ）的解析式为
()2sin(2).
6f x x π
=+
（2）()2sin 22sin 2126126g x x x ππππ⎡⎤⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥
⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
2sin 22sin(2)
3x x π
=-+ 13
2sin 22(sin 2cos 2)
22x x x =-+
sin 23cos 2x x =- 2sin(2),3x π
=-.
所以函数()g x ∴的单调递增区间是5,,.12
12k k k z π
πππ⎡
⎤
-+
∈⎢
⎥⎣
⎦
Z.。