函数反函数 教案
反函数(教案).doc
反函数教学目的：掌握反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数教学重点：反函数的定义和求法教学难点：反函数的定义和求法.授课类型：新授课课时安排：1课时教学过程：一、复习引入：我们知道，物体作匀速运动的位移和时间的函数关系，即s = vt与t = J (其V中速度V是常量)在S =W中，位移S是时间f的函数。
在f = E中，时间f是位移S V 的函数。
在这种情况下，我们说函数f =-是函数S = vt的反函数。
V在函数y = 2x+6 ( x e R)中，x是自变量，y是勺函数。
从函数y = 2x+6 中解出x ,就可以得到式子x= y - 3(y e 7?) o这样，对于y在R中任何一个值，通过式子x = -^ y - 3, x都有唯一的值和它对应。
这就说明了，可以把y作为自变量，x 作为y的函数。
这时，我们就说x = ?)- 3 (y c R)是函数y = 2x +6 (xeR)的反函数。
由此，我们可给出反函数的定义。
二、讲解新课：1.反函数定义：一般的，函数y = y(x)(x e A)中，设它的值域为C。
我们根据这个函数中的关系，用y把x表示出来，得到x = 9(y)。
如果对于y在C 中的任何一个值，通过x =(p(y) , x在A中都有唯一的值和它对应，那么x = 9(y) 就表示y 是自变量，x是自变量y的函数。
这样的函数x =(p{y\y eC)叫做函数y = /(x)(x e A)的反函数，记作x = f\y)习惯上，我们把它改写成尸厂⑴.说明：(1 )对于任意一个函数y = /(x),它的反函数不一定存在；(2 )函数是特殊的映射，只有当函数为----- 映射时，该函数才具有反函数；(3)记号尸表示f的逆对应，当然f也是尸的逆对应，即f与厂是互逆的.注意：f(-v)2.反函数与函数的关系(1 )反函数与函数是相对的。
如果函数y = f(x)有反函数y = fT(x)，那么函数丫=广'(X)的反函数就是y = f(x)，即y = f(x)与)=广|(对互为反函数。
反函数公开课教案
反函数华师大二附中 张成鹏【教学目标】复习反函数的定义、反函数存在的条件、求反函数的方法，理解互为反函数的两个函数之间的关系。
【教学重点】 掌握反函数的定义、反函数存在的条件、求反函数的方法。
【教学难点】理解互为反函数的两个函数之间的关系。
【教学方法】师生共同探讨。
【教学工具】电脑、黑板、多媒体【教学过程】分四个阶段第一阶段：通过问题1、2及反函数的定义引出“探究反函数存在的条件”，并解答问题3. 问题1：函数223y x x =-+在下列指定区间上存在反函数吗？(](1),(2),1,x R x挝- (](](3),0,(4),2,x x ?ノ- [](5)2,4.x Î问题2：函数[](]1,0,,0,1.x y x x ì-?ï=íïÎî存在反函数吗？ 问题3：（1）奇函数都存在反函数吗？（2）偶函数都不存在反函数吗？（3）函数[)22312y x a x =-+在，上存在反函数，则a 的取值范围？（4）函数223y x ax =-+在[)[)125,6È，上存在反函数，则a 的取值范围？ 第二阶段：通过问题4复习求反函数的步骤以及求反函数时的一些注意事项.问题4:求函数[](]1,0,,0,1.x y x x ì-?ï=íïÎî的反函数.第三阶段：探究互为反函数的两个函数之间的关系，得出5个结论，并解答问题5. 结论（1）：互为反函数的两个函数图像关于直线y x =对称.结论（2）：互为反函数的两个函数的三要素互反.结论（3）：互为反函数的两个函数在相应区间上具有相同的单调性.结论（4）：若原函数是奇（偶）函数，则反函数是（不一定是）奇（偶）函数.结论（5）：当原函数单调递增时,若原函数的图像与反函数图像有交点，则交点必在y x =上；当原函数单调递减时,原函数的图像与反函数图像的交点可能在y x =上，也可能关于y x =成轴对称出现.问题5：（1）已知()-201307=+x f x x a 关于y x =对称，则a =____. （2）求函数1=+sin 201307y x x 与它的反函数的交点.（3）定义在R 上函数()y f x =满足()11f =，且()()-1=+1=+1y f x y fx 与关于y x =对称，则()201307____.f =（4）讨论()1201307=log >0y x x 与其反函数的交点个数.研究()log 0a y x x =>与其反函数的交点个数.第四阶段：小结和作业，提出几个自反函数的例子，并要求学生回去自己研究其性质.。
反函数知识点总结讲义教案
一、教学目标1. 理解反函数的概念及其与原函数的关系。
2. 学会求解基本函数的反函数。
3. 掌握反函数的性质及其在实际问题中的应用。
二、教学内容1. 反函数的概念：反函数是指如果两个函数的定义域和值域相同，且它们的自变量和因变量互换位置后，这两个函数仍然相等，这两个函数互为反函数。
2. 反函数的求解方法：对于基本函数（如线性函数、指数函数、对数函数等），可以通过交换自变量和因变量来求解其反函数。
3. 反函数的性质：反函数的定义域等于原函数的值域，反函数的值域等于原函数的定义域；反函数的图像与原函数的图像关于直线y=x 对称。
三、教学重点与难点1. 重点：反函数的概念、求解方法及其性质。
2. 难点：反函数在实际问题中的应用。
四、教学过程1. 导入：通过复习原函数的概念，引出反函数的概念。
2. 讲解：讲解反函数的定义、求解方法及其性质。
3. 例题：求解线性函数、指数函数、对数函数等的基本函数的反函数。
4. 练习：让学生独立求解一些基本函数的反函数。
五、课后作业a) y = 2x + 3b) y = 3^xc) y = log2(x)2. 运用反函数解决实际问题，如：已知一个函数的图像经过点(2, 3) 和(4, 5)，求该函数的反函数。
六、教学策略1. 采用案例教学法，通过具体的例题来引导学生理解和掌握反函数的概念和求解方法。
2. 利用数形结合的方法，通过反函数的图像来帮助学生理解反函数的性质。
3. 鼓励学生进行自主学习，通过课后作业和实际问题来巩固反函数的知识。
七、教学评价1. 通过课堂讲解和例题练习，评价学生对反函数概念的理解程度。
2. 通过课后作业和实际问题的解决，评价学生对反函数求解方法和性质的掌握情况。
3. 通过课堂提问和小组讨论，评价学生对反函数在实际问题中应用的理解和运用能力。
八、教学拓展1. 引导学生思考反函数与原函数的关系，探讨反函数在数学和其他学科中的应用。
2. 引导学生探究反函数的性质，如反函数的单调性、奇偶性等。
大学生高数反函数讲解教案
课时：2课时教学目标：1. 理解反函数的概念，掌握求反函数的方法。
2. 能够求出给定函数的反函数，并判断其定义域和值域。
3. 了解反函数的性质，并能够运用反函数解决实际问题。
教学重点：1. 反函数的概念和求法。
2. 反函数的性质和应用。
教学难点：1. 反函数的求法。
2. 反函数的性质和应用。
教学准备：1. 多媒体课件。
2. 练习题。
教学过程：第一课时：一、导入1. 回顾函数的定义和性质。
2. 引入反函数的概念。
二、新课讲解1. 反函数的定义：设函数y=f(x)的定义域是D，值域是f(D)。
如果对于值域f(D)中的每一个y，在D中有且只有一个x使得f(x)=y，则按此对应法则得到了一个定义在f(D)上的函数，并把该函数称为函数y=f(x)的反函数。
2. 求反函数的步骤：（1）确定函数y=f(x)的定义域和值域；（2）由原函数的表达式，求x关于y的表达式；（3）互换x和y，得到反函数的解析式y=f^(-1)(x)；（4）写出反函数的定义域（原函数的值域）。
三、例题讲解1. 求函数y=2x+1的反函数。
2. 求函数y=x^2（x≥0）的反函数。
四、课堂练习1. 求函数y=3x-2的反函数。
2. 求函数y=√x（x≥0）的反函数。
五、课堂小结1. 总结反函数的概念和求法。
2. 强调反函数的性质和应用。
第二课时：一、复习1. 回顾反函数的概念和求法。
2. 复习反函数的性质。
二、新课讲解1. 反函数的性质：（1）反函数的图像与原函数的图像关于直线y=x对称；（2）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域；（3）反函数与原函数的复合函数为恒等函数。
2. 反函数的应用：（1）求函数的值域和定义域；（2）判断函数的单调性和奇偶性；（3）解决实际问题。
三、例题讲解1. 求函数y=3x^2-2x+1的值域和定义域。
2. 判断函数y=x^3的奇偶性。
四、课堂练习1. 求函数y=2x+3的值域和定义域。
2. 判断函数y=x^2+1的奇偶性。
反函数求导计算数学教案
反函数-求导计算数学教案一、教学目标1、掌握反函数及其导数的基本概念。
2、熟练运用反函数求导的基本方法。
3、通过例题的讲解，提高学生的解题能力。
二、教学重点和难点1、重点：掌握反函数求导的基本方法。
2、难点：运用反函数求导的方法解决实际问题。
三、教学方法1、讲解法：讲解反函数及其导数的概念，教授反函数求导的方法。
2、案例法：用例题演示如何运用反函数求导的方法。
四、教学内容1、反函数（1）定义：如果函数y=f(x)在区间I内是单调连续的，且存在区间J，使得f(x)在区间J 上有逆函数，则称该逆函数为f(x)在区间I内的反函数。
（2）性质：反函数是原函数的镜像，即反函数在x轴上与原函数对称。
2、反函数的导数公式对于反函数y=f(x)的导数，有如下公式：$$y'= \frac{1}{f'(x)}$$证明如下：设F(x)为f(x)的反函数，则有：$$f(F(x))=x$$对上式两边求导：$$f'(F(x))F'(x)=1$$因此有：$$F'(x) = \frac{1}{f'(F(x))} = \frac{1}{f'(x)}$$得证。
3、例题解析（1）求$f(x)=\sin x$在$x=\frac{\pi}{4}$处的导数。
解：由于$f(x)$在$[0,\pi]$上是单调递增的，且存在$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$上的反函数$f^{-1}(x)=\arcsin x$，则有：$$f'(x) = \cos x$$$$f'(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$因此：$$f^{-1}(x) = \arcsin x$$$$[f^{-1}(x)]' = \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{\cos[\arcsin x]}$$ $$[f^{-1}(x)]' \Big|_{x=\frac{\sqrt{2}}{2}} =\frac{1}{\cos(\frac{\pi}{4})} = \sqrt{2}$$答案为$\sqrt{2}$。
高一数学函数和反函数的关系10教案
2.4. 反函数（第二课时）教学目的：会利用互为反函数的定义，函数图象间的关系及相关性质解决有关问题.教学重点：反函数性质的应用 教学难点：反函数性质的应用. 教学过程： 一、复习引入：1．反函数的定义；2．互为反函数的两个函数)(x f y =与)(1x f y -=间的关系：定义域、值域互换，对应法则互逆，图象关于直线y=x 对称；逆命题成立：若两个函数的图象关于直线y=x 对称，则这两个函数一定是互为反函数.3．反函数的求法：一解、二换、三注明二、例题：例1．求函数2385-+=x x y 的值域． 分析：用“函数思想”求值域，即由y=f(x)求出x=(y)ϕ,则使(y)ϕ 有意义的y 值的集合为原来函数的值域.解：∵2385-+=x x y ∴5382-+=y y x ∴ y ≠35∴函数的值域为55(,)(,)33-∞+∞ 例2. 已知)(x f =211x -(x<-1)，求)31(1--f ； 解法1：⑴令)(x f =y=211x -，则2x =y y 1-，∵x<-1，∴x=-yy 1-;且y=211x -<0 ∴)(1x f -= -xx 1-(x<0)；∴ )31(1--f =-2.分析：由反函数的定义可知y=)(x f 与y=)(1x f-中，x,y 互换，即 y=)(1x f -中的x 为y=)(x f 中的y, y=)(1x f -中的y 为y=)(x f 中的x ，反之亦然.本题要求)31(1--f，即在函数)(x f =y=211x-(x<-1)中，当y=31-时，求x 的值. 解法2：令211x-=31-，变形得2x =1+3=4，又∵x<-1，∴x=-2. 例3.如果单调增函数y=)(x f 与它的反函数y=)(1x f -的图象有交点，则交点必在直线y=x 上.证明：若点(a,b)是函数y=)(x f 与它的反函数y=)(1x f -的图象有交点，则b=f(a),b=1f (a)-,1a f (b),a f (b)-∴==. (1)若a>b,则a=f(b)>b=f(a),即f(b)>f(a).∵y=)(x f 是增函数，∴b>a,这与a>b 矛盾，∴a>b 不成立. （2）若a<b, a=f(b)<b=f(a),即f(b)<f(a).∵y=)(x f 是增函数，∴b<a,这与a>b 矛盾，∴a<b 也不成立. 综（1），（2）可得：a=b,即交点(a,b)在直线y=x 上.说明：题中的y=)(x f 是单调增函数的条件不可少，反例见课件.由例3的结论可知，若y=)(x f 是单调增函数，则方程1f (x)f (x)f (x)x.-=⇔=利用这一点，可以帮助解决一类较复杂的方程问题，2x 23+=不易求解，这里，2y 3x (x [,))3=∈+∞是单调增函数，且它的反函数是2x 2y (x 0),3+=≥∴x.=易得其解集为{1，2}.例4.已知2111f (x)x ,g(x)x 5,F(x)f[g (x)]g [f (x)],2--==+=-试求F （x ）的最小值.解：121122221g(x)x 5,g (x)2x 10(x R),f (x)x ,2F(x)f[g (x)]g [f (x)](2x 10)(2x 10)2x 40x 1102(x 10)9090.---=+∴=-∈=∴=-=---=-+=--≥-又∴F(x)的最小值是-90.三、练习：课本P63－64练习：5，6，7四、作业：课本P64习题2.4：3，4，5，6。
人教版高中数学必修一教案 ：1.3反函数
反函数——课堂教学设计一、[教材依据]全日制普通高级中学教科书数学（人教版）第一册（上）第二章《函数》第四节“反函数”第一课时。
二、[教材分析][设计思路]1、体验教学的原则：重视学生的亲身体验与感悟，使学生具有对于知识生成、发展、形成及应用过程的体验和感悟。
本节课力求体现二期课改的思路，以学生发展为本。
整节课的概念、例题与练习都以学生讨论、探究、归纳为主，教师引导为辅。
使学生在形成概念、发展规律、获取知识和理解内化的数学学习过程中，在数学应用和实践的过程中发展数学能力和一般能力，学会数学学习和应用的基本方法，逐步增强学生的研习能力、批判思维能力、自学能力和交流合作能力，培养学生勇于探索的精神。
2、本节教材是在学生初步学习了函数及其性质后，再来接触的一个新概念-----“反函数”。
反函数是函数中的一个重要概念，对这个概念的研究是对函数概念和性质在认识上的深化和提高。
它是从研究两个函数关系的角度产生的函数的，反函数本身也是一个函数。
由于反函数的定义本身比较抽象，难度较大，故在本节教学中从具体实例出发，引导学生从函数的三要素的变化角度，认识反函数的特征，揭示反函数的本质，逐步概括出反函数的定义，进而明确求解反函数问题的步骤。
当然学生在具体求解指定函数的反函数时，可能会遇到反解x时正负的选择问题及求原来函数的值域问题，教学中要预以足够的重视。
为了突破“反函数存在的条件”与“反函数与原函数的相互关系”这一难点，在本节教学中采用由课本上前面的例题（本章第一节“函数”部分给出的3个对应，并且是3个从A到B的函数）来加深对反函数定义的理解，这样便于把抽象的问题直观化。
反函数概念的建立，对研究原函数的性质有着重要作用，对将要学习研究的“指数函数”与“对数函数”等函数之间图象与性质的关系也起着重要作用。
三、[教学目标]1、知识与技能目标：（1）、理解反函数的概念 （2）、会求一些简单函数的反函数。
2、过程与方法目标：通过师生的共同讨论，弄清反函数的概念，探索与原函数的相互关系，会求一些简单函数的反函数。
反函数的教案设计
反函数的教案设计一、教学目标1.了解反函数的概念、性质及其与原函数之间的关系。
2.能够掌握反函数的求法及其应用。
3.能够灵活运用反函数的相关知识，解决实际问题。
二、知识导入1.通过示例，介绍什么是函数的反函数。
2.通过一定的问题和分析，引导学生研究反函数的性质和应用。
三、教学过程1.理解反函数的概念基本概念：定义域上的函数 f 和值域上的函数 g，若对于所有x∈D（f）都有 f (x) =y，则对于所有y∈R,f 中恰好存在一个唯一的 x 满足 f (x) =y.则称 g(x)=y 为 f(x)=y 的反函数，记作 g=f^-1。
2.反函数的求法（1）对于 y=f (x)，如果 y=f(x)是严格单调递增函数，先把f(x)对y求导，然后解出dx/dy，最后再把dy换成dx即可。
（2）对于 y=f (x)，如果 y=f(x)是严格单调递减函数，先把f(x)对y求导，然后解出dx/dy，然后把dx取相反数即可得到反函数的导数。
3.反函数的性质（1）反函数与原函数的图像关于一条直线相互对称。
（2）反函数的导数等于原函数导数的倒数。
（3）反函数与原函数之间的对应关系是一一对应的。
4.反函数的应用（1）求解反函数使得它们可以互相转化；（2）使用反函数的定义特性进行不等式求解；（3）应用反函数解决函数复合问题；（4）使用反函数解决实际问题四、教学方法1.课堂讲解法2.启发式探究法3.案例教学法五、教学重点和难点1.教学重点反函数与原函数的关系，反函数的求法及应用。
2.教学难点反函数的理解及应用。
六、教学反思1.课时的安排比较紧张；2.应用案例多讲练习。
3.加强学生的实际应用能力。
4.帮助学生提高数学素养、掌握思维方法。
七、教学评估1.小测验2.课后作业3.学生参与度4.课程效果参考文献1.李瑞兰.数学分析(修订版) [M].北京: 中国科学技术大学出版社,2001.2.程志之.高等数学(第五版) [M].北京:科学出版社,2010.3.张慕智.数学分析 [M].上海: 华东师范大学出版社,2003.。
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学生很快会意识到 是 的反函数,教师可再引申为 与 是互为反函数的.然后利用问题再引申:是不是所有的函数都有反函数呢?如果有,请举出例子.在教师启发下学生可以举出象 这样的函数,若将 当自变量, 当作因变量,在 允许取值范围内一个 可能对两个 (可画图辅助说明,当 时,对应 ),不能构成函数,说明此函数没有反函数.
通过刚才的例子,了解了什么是反函数,把对 的反函数的研究过程一般化,概括起来就可以得到反函数的定义,但这个数学的抽象概括,要求比较高,因此我们一起阅读书上相关的内容.
反函数的定义:(板书)(用投影仪打出反函数的定义)
为了帮助学生理解,还可以把定义中的 换成某个具体简单的函数如 解释每一步骤,如得 ,再判断它是个函数,最后改写为 .给出定义后,再对概念作点深入研究.
2.对概念得理解(板书)
教师先提出问题:反函数的“反”字应当是相对原来给出的函数而言,指的是两者的关系
你能否从函数三要素的角度解释“反”的含义呢?(仍可以 与 为例来说)
学生很容易先想到对应法则是“反”过来的,把 与 的位置换位了,教师再追问它们的互
换还会带来什么变化?启发学生找出另两个要素之间的关系.最后得出结论: 的定义域和值域分别由 的值域和定义域决定的.再把结论从特殊发展到一般,概括为:反函数的三要素是由原来函数的三要素决定的.给出的函数确定了,反函数的三要素就已经确定了.简记为“三定”.
学生解释后教师指出不管从哪个角度,它都是一个函数,即 有反函数,而且把这个函数称为 的反函数.那么这个反函数的解析式是什么呢?
由学生回答出应为 .教师再提出 它作为函数是没有问题的,但不太符合我们的表示习惯,按习惯用 表示自变量,用 表示因变量,故它又可以改写成 ,改动之后带来一个新问题: 和 是同一函数吗?
函数 反函数 教案
教案示例
反函数
教学目标
使学生了解反函数的概念,初步掌握求反函数的方法.
通过反函数概念的学习,培养学生分析问题,解决问题的能力及抽象概括的能力.
通过反函数的学习,帮助学生树立辨证唯物主义的世界观.
教学重点,难点
重点是反函数概念的形成与认识.
难点是掌握求反函数的方法.
教学用具
投影仪教学方法(1来自“三定”(板书)然后要求学生把刚才的三定具体化,也就是“反”字的具体体现.由学生一一说出反函数的定义域是原来函数的值域,反函数的值域是原来函数的定义域,反函数的对应法则就是把原来函数对应法则中 与 的位置互换.(用投影仪打出互换过程)如图
最后教师进一步明确“反”实际体现为“三反”, “三反”中起决定作用的是 与 的位置的反置,正是由于它的反置,才把它的范围也带走了,引起了另外两“反”.
四.小结
对反函数概念的认识:
求反函数的基本步骤:
五.作业
课本第68页习题2.4第1题中4,6,8,第2题.
六.板书设计
教案点评：
教学设计中，教师特别注重组织学生开展活动，让学生的兴趣在了解深究任务中产生，让学生的思考在分析真实数据中形成，让学生的理解在集体讨论中加深，让学生的学习在合作探究活动中进行．当然在活动过程前后的独立思考以及在此基础上的集体讨论也属于探索活动的有机组成部分，经过独立思考，多种多样的方案、不同的推测结论、各具特色的陈述理由才会形成集体讨论，才会热烈而富有启发性．而在实施时，教师考虑到学时的限制，把有些活动的思考与讨论作为作业预先或者事后布置给学生（如本节作业）．让学生有充分思考、组织和表达的机会，其合作及交流的形式可以是多样的．
例2. 求 , 的反函数.(板书)
解:由 得 ,又 得 ,
故所求反函数为 .(板书)
求完后教师请同学们作评价,学生之间可以讨论,充分暴露表述中得问题,让学生自行发现,自行解决.最后找代表发表意见,指出例2中问题,结果应为 , .
教师可先明知故问 ,与 , 有什么不同?让学生明确指出两个函数定义域分别是 和 ,所以它们是不同的函数.再追问 从何而来呢?让学生能从三定和三反中找出理由,是从原来函数的值域而来.
(2)“三反”(板书)
此时教师可把问题再次引向深入,提出:如果一个函数存在反函数,应怎样求这个反函数呢?下面我给出两个函数,请同学们根据自己对概念的理解来求一下它们的反函数.
例1. 求 的反函数.(板书)
(由学生说求解过程,有错或不规范之处,暂时不追究,待例2解完之后再一起讲评)
解:由 得 , 所求反函数为 .(板书)
自主学习与启发结合法
教学过程
揭示课题
今天我们将学习函数中一个重要的概念----反函数.
反函数(板书)
(一)反函数的概念(板书)
二.讲解新课
教师首先提出这样一个问题:在函数 中,如果把 当作因变量,把 当作自变量,能否构成一个函数呢?(让学生思考后回答,要讲明理由)可以根据函数的定义在 的允许取值范围内的任一值,按照法则 都有唯一的 与之相对应.(还可以让学生画出函数的图象,从形的角度解释“任一 对唯一 ”)
在此基础上,教师最后明确要求,由于反函数的定义域必是原来函数的值域,而不是从自身解析式出发寻求满足的条件,所以求反函数,就必须先求出原来函数的值域.之后由学生调整刚才的求解过程.
解: 由 得 ,又 得 ,
又 的值域是 ,
故所求反函数为 , .
(可能有的学生会提出例1中为什么不求原来函数的值域的问题,此时不妨让学生去具体算一算,会发现原来函数的值域域求出的函数解析式中所求定义域时一致的,所以使得最后结果没有出错.但教师必须指出结论得一致性只是偶然,而不是必然,因此为规范求解过程要求大家一定先求原来函数的值域,并且在最后所求结果上注明反函数的定义域,同时让学生调整例的表述,将过程补充完整)
最后让学生一起概括求反函数的步骤.
3.求反函数的步骤(板书)
反解:
互换
改写:
对以上环节教师可稍作解释,然后提出再通过下面的练习来检验是否真正理解了.
三.巩固练习
练习:求下列函数的反函数.
(1) (2) .(由两名学生上黑板写)
解答过程略.
教师可针对学生解答中出现的问题,进行讲评.(如正负的选取,值域的计算,符号的使用)