统计学基础-相关与回归分析
统计学 第8章 相关与回归分析
2
-1 1 0 -1 -2 0 1 -2
4
1 1 0 1 4 0 1 4 20
6 * 20 r 1 2 1 0.8788 2 n(n 1) 10 * (10 1)
6 d 2
8.3
8.3.1 8.3.2 8.3.3 8.3.4 8.3.5
一元线性回归
一元线性回归模型 参数的最小二乘估计 回归直线的拟合优度 显著性检验 利用回归方程进行预测
共计
325
462 77
445 89
707 101
685 137
1043 149
E(Y|X) 65
Y
X=X1时Y 的分布
X=X2时Y 的分布 X=X3时Y 的分布
b0
X=X1时的E(Y)
b0+ b 1X
X=X2时的E(Y) X=X3时的E(Y)
X1=80
X2=100
X3=120
X
总体回归函数
(population regression function)
相关系数的显著性检验
(检验的步骤)
1. 检验两个变量之间是否存在线性相关关系 2. 利用样本的相关系数对总体相关系数进行 检验 3. 采用R.A.Fisher提出的 t 检验 4. 检验的步骤为
提出假设：H0： ；H1： 0
n2 计算检验的统计量： tr ~ t (n 2) 2 1 r 确定显著性水平，并作出决策
2
2
或化简为 r
n x x n y y
2 2 2
n xy x y
2
例 产品产量与单位成本相关系数
产 月 量 份 x 1 2 2 3 3 4 4 3 5 4 6 5 合 21 计 单位 成本 y 73 72 71 73 69 68
统计学中的回归分析与相关系数
回归分析是统计学中一种重要的分析方法，用于探索变量之间的关系和预测变量的变化。
相关系数是回归分析的一个重要指标，用于衡量变量之间的线性相关程度。
在统计学中，回归分析和相关系数常常一起使用，通过量化两个变量之间的关系，帮助我们更好地理解和解释数据。
回归分析通过建立一个数学模型来描述两个或多个变量之间的关系。
其中一个变量被称为因变量，它的值由其他变量的值决定。
其他变量被称为自变量，它们对因变量的值产生影响。
回归分析的目标是建立一个最佳拟合线，使得预测因变量的值最准确。
回归分析可以帮助我们了解哪些自变量对因变量的影响最大，预测因变量的值，以及控制其他自变量的情况下某个自变量对因变量的影响。
在回归分析中，相关系数是衡量变量之间线性相关程度的一个指标。
常见的相关系数有Pearson相关系数和Spearman等级相关系数。
Pearson相关系数适用于线性关系，其取值范围为-1到1，且0表示无线性关系。
当相关系数接近1时，表示变量之间的正向线性关系越强；当相关系数接近-1时，表示变量之间的反向线性关系越强。
Spearman等级相关系数适用于排名数据，无需考虑数据的分布。
相关系数可以帮助我们判断两个变量之间的关系是正向还是反向，以及关系的强度。
回归分析和相关系数在许多领域中都有广泛的应用。
在经济学领域，回归分析可以用来探索不同因素对经济指标的影响，如GDP和就业率。
在医学领域，相关系数可以帮助医生评估不同因素对疾病的风险或预后的影响。
在社会科学中，回归分析可以用来研究不同因素对人类行为的影响，如教育水平对就业机会的影响。
然而，需要注意的是，回归分析仅能描述变量之间的线性关系，非线性关系需要采用其他方法。
另外，相关系数只能衡量线性相关程度，无法确定因果关系。
因此，在使用回归分析和相关系数进行数据分析时，我们需要谨慎解读结果，并结合实际情况进行分析。
总之，回归分析和相关系数是统计学中重要的分析方法。
通过回归分析，我们可以探索变量之间的关系，预测因变量的变化；而相关系数可以帮助我们量化变量之间的线性相关程度。
统计学中的相关分析与回归分析的关系
统计学中的相关分析与回归分析的关系统计学是一门研究如何收集、整理、描述和解释数据的学科。
在统计学中，相关分析和回归分析是两个重要的方法，用于了解和探究变量之间的关系。
尽管相关分析和回归分析在某些方面有相似之处，但它们在目的、数据类型和结果解释方面存在一些差异。
相关分析是一种用于衡量和描述两个或多个变量之间关联关系的方法。
相关分析可以帮助我们确定变量之间的线性相关程度，即一个变量的变化伴随着另一个变量的变化。
通过计算相关系数，我们可以了解这种关系的强度和方向。
常用的相关系数包括皮尔逊相关系数和斯皮尔曼等级相关系数。
与此不同，回归分析旨在建立一个数学模型，以描述和预测因变量与自变量之间的关系。
回归分析可以通过拟合曲线或平面来表示变量之间的关系，并用方程式来描述这种关系。
回归分析使用的模型可以是线性回归、多项式回归、对数回归等。
通过回归分析，我们可以根据自变量的值来估计因变量的值，并评估自变量对因变量的影响程度。
虽然相关分析和回归分析在某些情况下可互相转化，但它们具有不同的目标和应用范围。
相关分析主要用于探索变量之间的关系，确定它们之间的关联强度和方向，但不提供因果关系。
而回归分析则旨在建立一个模型，通过这个模型可以对未知的因变量进行预测，并且可以评估自变量对因变量的影响。
此外，相关分析和回归分析适用于不同类型的数据。
相关分析通常用于分析连续变量之间的关系，而回归分析可以应用于连续变量、二分类变量和多分类变量之间的关系。
在实际应用中，相关分析和回归分析常常结合使用。
首先，我们可以通过相关分析来初步检验变量之间是否存在关系。
如果相关分析结果显示两个变量之间存在显著相关性，我们可以进一步使用回归分析来建立一个模型，以更好地理解和预测这种关系。
在总结中，统计学中的相关分析和回归分析是两个相互关联的方法。
相关分析用于探究变量之间的关系和相关性，而回归分析则用于建立一个数学模型，描述和预测因变量与自变量之间的关系。
统计学第七章 相关与回归分析
（四）按变量之间的相关程度分为完全相关、不完全相 关和不相关。
二、相关关系的测定
（一）定性分析，相关表，相关图 判断现象间有无相关关系是一个定性认 识问题，单纯依靠数学方法是无法解决的。 因此，进行相关分析必须以定性分析为前 提，这就要求研究人员首先必须根据有关 经济理论，专业知识，实际经验和分析研 究能力等。对被研究现象在性质上作出定 性判断。 相关表是将相关变量的观察资料，按照 其对应关系和一定顺序排列而成的表格。
Se
y
2
a y b xy n2
(7－ 12)
这个公式可以直接利用前面计算回归系 数和相关系数的现成资料。以表7－1的资 料计算如下：
Se y 2 a y b xy n2 56615-30.3 731-28.36 1213 10 2 65.02 8 2.85 (万件）
2
或
y- y R＝ 1－ 2 y y
ˆ 式中，y 为y的多元线性趋势值或回归估计值。
若变量间呈曲线（非直线）相关，则应
计算相关指数来测定变量间相关的密切程度。
ˆ y y y y
2 2
Ryx
( 7－7）
R
ˆ y y
由表7－4资料计算相关系数如下：
r
n xy x y n x x
2 2
n y y
2 2
2
10 1213－15.1 731
2
10 26.25－15.1 10 56615－731 1091.9 1091.9 38.49 31789 6.2 178.3 1091.9 0.988 1105.5
统计学中的相关性和回归分析
统计学中的相关性和回归分析统计学中，相关性和回归分析是两个重要的概念和方法。
它们旨在揭示变量之间的关系，并可以用来预测和解释观察结果。
本文将介绍相关性和回归分析的基本原理、应用及其在实践中的意义。
一、相关性分析相关性是指一组变量之间的关联程度。
相关性分析可以帮助我们理解变量之间的关系，以及这种关系的强度和方向。
常用的相关性指标有皮尔逊相关系数、斯皮尔曼相关系数和判定系数等。
皮尔逊相关系数是最常见的衡量变量之间线性关系的指标。
它的取值范围在-1到1之间，其中-1表示完全负相关，1表示完全正相关，0表示无相关。
例如，在研究身高和体重之间的关系时，如果相关系数为0.8，则说明身高和体重呈现较强的正相关。
斯皮尔曼相关系数则不要求变量呈现线性关系，而是通过对变量的序列进行排序，从而找到它们之间的关联程度。
它的取值也在-1到1之间，含义与皮尔逊相关系数类似。
判定系数是用于衡量回归模型的拟合程度的指标。
它表示被解释变量的方差中可由回归模型解释的部分所占的比例。
判定系数的取值范围在0到1之间，越接近1表示模型对数据的拟合越好。
二、回归分析回归分析是一种用于建立变量之间关系的统计方法。
它通过建立一个数学模型来解释和预测依赖变量和自变量之间的关系。
回归模型可以是线性的，也可以是非线性的。
线性回归是最常见的回归分析方法之一。
它假设自变量和因变量之间存在着线性关系，并通过最小二乘法来估计模型中的参数。
线性回归模型通常表示为y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn，其中y为因变量，x1、x2等为自变量，β0、β1等为模型的参数。
非线性回归则适用于自变量和因变量之间存在非线性关系的情况。
非线性回归模型可以是多项式回归、指数回归、对数回归等。
回归分析在实践中有广泛的应用。
例如，在市场营销中，回归分析可以用来预测销售量与广告投入之间的关系；在医学研究中，回归分析可以用来探究疾病发展与遗传因素之间的联系。
统计学中直线相关与回归的区别与联系
统计学中直线相关与回归的区别与联系在统计学中，直线相关和回归是两个相关的概念，但又有一些区别和联系。
区别：
1. 定义：直线相关是指两个变量之间的线性关系，即随着一个变量的增加，另一个变量也以一定的比例增加或减少。
回归分析是一种统计方法，用于建立一个或多个自变量与因变量之间的关系模型。
2. 目的：直线相关主要关注变量之间的关系和相关程度，通过相关系数来衡量。
而回归分析旨在通过建立数学模型来预测或解释因变量的变化，以及评估自变量对因变量的影响。
3. 变量角色：在直线相关中，两个变量没有明确的自变量和因变量的区分，它们之间的关系是对称的。
而在回归分析中，通常有一个或多个自变量作为预测因变量的因素。
联系：
1. 线性关系：直线相关和回归分析都假设变量之间存在线性关系，即可以用直线或线性模型来描述它们之间的关系。
2. 相关系数：直线相关中使用相关系数来度量变量之间的相关程度。
回归分析中也使用相关系数，但更多地关注回归模型的参数估计和显著性检验。
3. 数据分析：直线相关和回归分析都是常用的数据分析方法，在实际应用中经常同时使用。
直线相关可以帮助我们了解变量之间的关系和趋势，而回归分析可以进一步建立模型和进行预测。
总之，直线相关和回归分析是统计学中两个相关但又有区别的概念。
直线相关关注变量之间的线性关系和相关程度，而回归分析则更关注建立模型和预测变量之间的关系。
在实际应用中，它们常常相互补充使用，以帮助我们理解和解释数据。
回归分析和相关分析的基本概念和方法
回归分析和相关分析的基本概念和方法回归分析和相关分析是统计学中常用的分析方法，用于研究变量之间的关系、预测变量的值以及对未来情况进行估计。
本文将介绍回归分析和相关分析的基本概念和方法。
回归分析是一种通过建立数学模型来描述变量之间关系的方法。
它基于一个或多个自变量（也称为预测变量）与一个因变量（也称为响应变量）之间的关系。
回归分析的目的是通过自变量的值来预测和解释因变量的值。
常见的回归分析方法有线性回归、多元回归和逻辑回归等。
线性回归是最常用的回归分析方法之一，它假设自变量和因变量之间存在线性关系，并通过拟合一条直线或平面来描述这种关系。
多元回归则可以处理多个自变量的情况，逻辑回归则适用于因变量为二元变量的情况。
回归分析的方法可以帮助我们理解变量之间的关系，并进行预测和解释。
它可以用于各个领域的研究，如经济学、社会学、医学等。
通过观察变量之间的相关性，我们可以了解它们之间的内在关系，并根据这些关系做出相应的决策。
与回归分析类似，相关分析也是研究变量之间关系的一种方法。
相关分析衡量了两个变量之间的线性关系强度和方向，它可以告诉我们变量之间的相关性程度。
相关系数的取值范围在-1到1之间，其中负值表示负相关，正值表示正相关，0表示无相关性。
相关分析可以帮助我们了解变量之间的关系，并可以预测一个变量的值，当我们知道其他相关变量的值时。
相关分析还可以用于探索性数据分析，帮助我们发现变量之间的新关系，并进行深入研究。
在进行回归分析和相关分析之前，我们需要先收集数据，并进行数据预处理。
这包括数据清洗、缺失值处理和异常值检测等步骤。
然后，我们可以根据研究的目的选择合适的回归模型或相关系数，并进行参数估计和假设检验。
为了确保结果的可靠性，我们还需要进行模型诊断和效果评估。
模型诊断可以检查模型是否满足回归或相关分析的假设，并纠正违反假设的情况。
效果评估可以通过计算预测误差、确定系数和显著性检验等指标来评估模型的拟合效果。
统计学 第 七 章 相关与回归分析
（一）回归分析与相关分析的关系
回归分析与相关分析是研究现象 之间相互关系的两种基本方法。
区别：
1、相关分析研究两个变量之间相关的 方向和相关的密切程度。但是相关分析不 能指出两变量相互关系的具体形式，也无 法从一个变量的变化来推测另一个变量的 变化关系。
2、按研究变量多少分为单相关和 复相关
单相关即一元相关，亦称简单相 关，是指一个因变量与一个自变量 之间的依存关系。复相关又称多元 相关，是指一个因变量与两个或两 个以上自变量之间的复杂依存关系。
3、按相关形式分为线性相关和非 线性相关
从相关图上观察：观察的样本点的 分布近似表现为直线形式，即观察点近 似地分布于一直线的两边，则称此种相 关为直线相关或线性相关。如果这些样 本点近似地表现为一条曲线，则称这种 相关为曲线相关或非线性相关(curved relationship).
不确定性的统计关系 —相关关系
Y= f（X）+ε (ε为随机变量)
在这种关系中，变量之间的关系值 是随机的，当一个（或几个）变量的值 确定以后，另一变量的值虽然与它（们） 有关，但却不能完全确定。然而，它们
之间又遵循一定的统计规律。
相关关系的例子
▪ 商品的消费量(y)与居民收入(x)
之间的关系
▪ 商品销售额(y)与广告费支出(x)
▲相关系数只反映变量间的线性相关程度，不 能说明非线性相关关系。
▲相关系数不能确定变量的因果关系，也不能 说明相关关系具体接近于哪条直线。
例题1: 经验表明：商场利润额与 其销售额之间存在相关关系。下表为 某市12家百货公司的销售额与利润额 统计表，试计算其相关系数。
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三、一元线性回归分析
（二）一元线性回归分析
模型中的参数与直线趋势方程相同，通常用最小平方
法来求。最小平方法的数学出发点是：
2
（y y） 最小值
（y a bx）2 最小值
令G（a,b） （y a bx）2
根据高等数学中求极值的原理：
y na b x xy a x b x2
二、相关关系的测定方法 （二）定量分析
• 定量分析：在判定变量间存在相关关系的基础上计 算相关关系的度量指标。相关表与相关图无法对变量 间的相关关系进行精确的计量。因此，要引入定量分 析，从而进一步研究相关的密切程度。
• 相关系数：在直线相关条件下说明两个现象之间关 系密切程度的统计分析指标，通常用表示。
在实际问题中，如果根据原始资料计算相关系数， 可运用其简捷计算：
二、相关关系的测定方法 （二）定量分析
• 相关系数的分析：掌握相关系数的性质是进行相关 系数分析的前提，相关系数表示两个变量和之间线性
关系的密切程度，其值介于–1与1之间，即。
性质：①当r>0时， 表示两变量正相关；当r<0时， 表示两变量为负相关。
相关关系是现象之间确实存在的，但关系数值 不固定的相互依存关系。相分析则是研究一个变量 与另一个变量或另一组变量之间相关密切程度和相 关方向的一种统计分析方法。
一、相关关系的概念与种类 （二）相关关系的种类 图10-1 相关关系分类示意图
二、相关关系的测定方法 （一）定性分析
• 定性分析：依据研究者的理论知识、专业知 识和实践经验，对客观现象之间是否存在相关 关系，以及有何种相关关系做出判断。
总体的多元线性回归方程为：
y a b1x1 b2 x2 bk xk 模型中，b1,b2,bk 为回归系数；表明在其他自变量 不变的情况下，自变量变动一个单位而引起因 变量y的平均变动量。
四、多元线性回归分析和曲线回归分析
(二)曲线回归
实际问题中，有许多回归模型的因变量y与自变量x 之间的关系都不是线性的，但y与未知参数a，b之 间的关系都是线性的。因此，有些因变量y对自变 量x的曲线关系情形我们就可以通过变量代换转换 成线性的形式。
三、一元线性回归分析
（二）一元线性回归分析
求解参数的二元一次方程组，得：
b
n xy x y
n x2 x2
Lxy Lxx
a y b x y bx
nn
式中：b为回归系数，表示自变量x每增加
一个单位时，因变量y的平均增减量。
三、一元线性回归分析 (三)估计标准误差
估计标准误差指标：评价回归方程代表性。用 来说明回归方程代表性大小的统计分析指标，简称 为估计标准差或估计标准误差。
（一）回归分析的意义
• 回归分析：对有相关关系的对象，了解两个变 量之间的关系密切程度，不涉及两个变量间在无 因果关系；根据关系的形态选择合适的数学模型 来近似地表达变量间平均变化关系。
• 回归方程：回归分析中所选择的数学模型。 • 自变量：作为原因的变量，用x来表示。 • 因变量：作为结果的变量，用y来表示。
• 相关表（Correlation table）：直接根据现 象之间的原始资料，将一变量的若干变量值按 从小到大的顺序排列，并将另一变量的值与之 对应排列形成的统计表。
二、相关关系的测定方法 （一）定性分析
• 相关图（Correlogram）又称散点图：用直 角坐标系的轴代表自变量，轴代表因变量，将 两个变量间相对应的变量值用坐标点的形式描 绘出来，用以表明相关点分布状况的图形。
若估计标准误差小，说明回归方程准确性高， 代表性大。
三、一元线性回归分析
(三)估计标准误差 估计标准误差：
Sy
(y y)2
n2
估计标准误差的简化公式：
Sy
y2 a y b xy
n2
Lyy Lxy n2
四、多元线性回归分析和曲线回归分析
(一)多元线性回归分析 多元线性回归与相关：研究三个或三个以上的 变量之间的数量关系问题。
② 当∣r∣=1时，表示两变量完全线性相关，
即函数关系。
二、相关关系的测定方法
（二）定量分析
性质：
③ 当r=0时，表示两变量间无线性相关关系。
④ 当0<∣r∣<1时，表示变量存在一定程度的
线性相关。且∣r∣越接近1，两变量间线性关系越密
切；∣r∣越接近于0，表示两变量的线性相关程度越）回归分析的意义
• 回归分析的步骤：
三、一元线性回归分析
（二）一元线性回归分析
• 一元线性回归分析：对两个具有线性关系的 变量，研究其相关性，配合线性回归方程，并 根据自变量的变动来推算和预测因变量平均发 展趋势的方法。
• 直线回归方程的求法
以x表示自变量，y表示因变量，一元线性 回归方程：
由于观察和实验中的误差，函数关系往往通过 相关关系表现出来；而当对现象之间的内在联系和 规律性了解得更加清楚地时候，相关关系又可能转 化为函数关系。
一、相关关系的概念与种类 （一）相关关系的概念
在社会经济领域里，一般来说，函数关系反映 了现象间关系的理想化状态，相关关系则反映了现 象间关系的现实化状态，只有在大量观察时，在平 均的意义上，它才能被描述。
任务十： 相关与回归分析
相关与回归分析内容介绍： • 一、相关关系的概念与种类 • 二、相关关系的测定方法 • 三、一元线性回归分析 • 四、多元线性回归分析和曲线回归分析
一、相关关系的概念与种类 （一）相关关系的概念 一些现象在数量上的发展变化经常伴随着另一
些现象数量上的发展变化。现象间的数量关系可分 为函数关系和相关关系。