数值代数及其发展
近世代数发展简史
近世代数发展简史近世代数是数学的一个重要分支，它研究的是数和运算的性质。
近世代数的发展可以追溯到16世纪，当时欧洲的数学家们开始研究方程的解法和多项式的性质。
在接下来的几个世纪中，代数经历了许多重要的发展和突破，为现代数学的发展奠定了坚实的基础。
16世纪，法国数学家维亚塔和意大利数学家卡尔达诺分别独立地研究了三次方程和四次方程的解法。
他们发现了用根式解方程的方法，这一发现被称为“维亚塔-卡尔达诺公式”。
这个公式的发现对于解决高次方程的问题起到了重要的推动作用。
17世纪，法国数学家笛卡尔和英国数学家费马为代数的发展做出了重要贡献。
笛卡尔提出了坐标几何的概念，将代数和几何联系在一起，为后来的解析几何奠定了基础。
费马则提出了著名的费马大定理，该定理在数论中起到了重要的作用。
18世纪，欧拉和拉格朗日等数学家在代数的发展中做出了重要的贡献。
欧拉提出了欧拉公式，该公式将指数函数、三角函数和虚数联系在一起，为复数的研究提供了新的工具。
拉格朗日则提出了拉格朗日插值法和拉格朗日方程，这些方法在数值计算和微积分中得到了广泛应用。
19世纪，高斯和阿贝尔等数学家在代数的研究中取得了重要的成果。
高斯提出了高斯消元法和二次剩余定理，这些方法在解决线性方程组和数论问题中起到了重要的作用。
阿贝尔则研究了群论和域论，为代数学的发展开辟了新的方向。
20世纪，抽象代数成为代数学的一个重要分支。
抽象代数研究的是代数结构的一般性质，例如群、环和域等。
通过对这些代数结构的研究，数学家们发现了许多重要的定理和结论，为数学的发展做出了重要贡献。
总结起来，近世代数的发展经历了多个世纪的积累和突破。
从维亚塔和卡尔达诺的方程解法到抽象代数的研究，近世代数为数学的发展提供了重要的工具和方法。
近世代数的发展不仅推动了数学的进步，也对其他科学领域的发展产生了深远的影响。
随着科技的不断进步，近世代数的研究仍在不断深化，相信在未来会有更多重要的发现和突破。
代数的历史与发展
代数的历史与发展代数学(algebra)是数学中最重要的分支之一。
代数学的历史悠久，它随着人类生活的提高，生产技术的进步，科学和数学本身的需要而产生和发展。
在这个过程中，代数学的研究对象和研究方法发生了重大的变化。
代数学可分为初等代数学和抽象代数学两部分。
初等代数学是更古老的算术的推广和发展，而抽象代数学则是在初等代数学的基础上产生和发展起来的。
代数学的西文名称algebra来源于9世纪阿拉伯数学家花拉子米的重要著作的名称。
该著作名为”ilm al-jabr wa’I muqabalah”，原意是“还原与对消的科学”。
这本书传到欧洲后，简译为algebra。
清初曾传入中国两卷无作者的代数书，被译为《阿尔热巴拉新法》，后改译为《代数学》(李善兰译，1853)。
初等代数学是指19世纪上半叶以前的方程理论，主要研究某一方程（组）是否可解，怎样求出方程所有的根（包括近似根）以及方程的根所具有的各种性质等。
代数之前已有算术，算术是解决日常生活中的各种计算问题，即整数与分数的四则运算。
代数与算术不同，主要区别在于代数要引入未知数，根据问题的条件列方程，然后解方程求未知数的值。
这一类数学问题，早在古埃及的数学纸草书（约公元前1800年）中就有了启示，书中将未知数称为“堆”（一堆东西），并以象形文字表示。
古巴比伦人也知道某些二次方程的解法，在汉穆拉比时代（公元前18世纪）的泥板中，就载有二次方程问题，甚至还有相当于三次方程的问题。
数学史家们曾为此发生过热烈争论：在什么意义下能把巴比伦数学看成代数？古希腊时代，几何学明显地从代数学中分离出来，并在希腊科学中占统治地位，其威力之大，以至于纯算术的或代数的问题都被转译为几何语言：量被理解为长度，两个量之积解释为矩形、面积等。
现在数学中保留的称二次幂为“平方”，三次幂为“立方”，就是来源于此。
古希腊时期流传至今的与代数有关的著作只有丢番图的《算术》。
该书中解决了某些一次、二次方程问题和不定方程问题，出现了缩写符号和应用负数之例。
数学专业的代数学发展状况
数学专业的代数学发展状况数学专业是一门研究数与空间关系、数量及其变化规律的学科。
在数学专业中，代数学是其中的一门重要分支。
代数学研究的是数与代数结构之间的关系，是数学专业中的基础课程之一。
本文将探讨数学专业的代数学发展状况。
代数学的起源可以追溯到古希腊的毕达哥拉斯学派和泰勒学派。
古希腊人率先提出了代数学中的基本概念和方法，如方程、代数式等。
然而，直到16世纪，代数学才得以建立起相对完整的数学体系。
随着时间的推移，代数学逐渐壮大并分化出不同的研究领域。
在19世纪，代数学经历了一次重大的革新，尤其是通过创立矩阵论和向量空间理论的发展，为线性代数的建立奠定了基础。
此外，群论、环论、域论等代数结构的研究也成为了代数学的重要组成部分。
20世纪以来，随着理论和计算机科学的发展，代数学取得了多方面的突破和发展。
尤其是在代数几何学和代数拓扑学领域，代数学与几何学的融合促进了代数学的进一步发展。
具体来说，在代数几何学中，代数学的方法和概念被用来研究几何对象的性质和变换规律；而代数拓扑学则研究了由代数方法刻画的拓扑空间和拓扑变换。
代数学在现代科学和技术领域中起着重要作用。
代数学的研究成果被广泛应用于密码学、编码理论、通信技术、计算机科学等领域。
例如，代数编码理论在数据传输和存储中起着关键作用；代数组合技术在计算机科学和人工智能领域应用广泛。
此外，在数论、代数方程等数学领域中，代数学的发展也给出了许多重要的结论和定理。
例如，费马大定理是代数数论中的一个重要成果，它在解决整数解方程方面起到了极大的推动作用。
总的来说，数学专业的代数学发展状况是蓬勃的。
代数学作为数学专业的重要组成部分，扮演着无可替代的角色。
通过不断的研究和应用，代数学为其他学科的发展和实践提供了坚实的支持。
未来，代数学将继续在数学专业中发挥重要作用，并为人类的科学研究和技术创新做出更大的贡献。
高等代数的发展历程和内容
高等代数的发展历程和内容高等代数是数学中的一个分支，它是研究抽象代数系统的一门学科，也是现代数学中的重要组成部分。
高等代数的发展历程和内容与人类文明的发展和数学领域的进展密不可分，本文将对高等代数的发展历程和内容进行探讨。
一、高等代数的起源和发展历程高等代数的起源可以追溯到古代数学，例如古希腊的欧几里得几何和毕达哥拉斯学派的数论。
但是，高等代数真正的奠基人是法国数学家维达，他在18世纪提出了代数方程的理论，开创了代数学的新纪元。
此后，高等代数在欧洲迅速发展，德国数学家高斯、法国数学家拉格朗日、英国数学家哈密顿等人的贡献不可忽视。
19世纪中期，高等代数得到了进一步的发展，主要是由于德国数学家克莱因、约旦、诺伯特等人的贡献。
他们创立了群论、环论、域论等代数学分支，将代数学从数论、几何学中解放出来，使代数学成为一门独立的学科。
20世纪初，高等代数的发展进入了新的阶段，主要是由于俄国数学家柯西、勒贝格、李亚普诺夫等人的贡献。
他们在代数学中引入了拓扑学、微分几何学等现代数学分支，使代数学与其他数学分支相互融合，形成了一门更加丰富多彩的学科。
二、高等代数的内容高等代数的内容非常广泛，包括群论、环论、域论、线性代数、范畴论等多个分支，下面分别进行介绍。
1.群论群论是代数学的重要分支，它研究的是代数结构中的群。
群是一种有限或无限的代数结构，它满足封闭性、结合律、单位元素和逆元素等性质。
群论的研究对象包括群的性质、群的分类、群的表示等。
2.环论环论是代数学的另一个重要分支，它研究的是代数结构中的环。
环是一种有限或无限的代数结构，它满足封闭性、结合律、分配律等性质。
环论的研究对象包括环的性质、环的分类、环的表示等。
3.域论域论是代数学的另一个重要分支，它研究的是代数结构中的域。
域是一种有限或无限的代数结构，它满足封闭性、结合律、分配律、存在乘法逆元素等性质。
域论的研究对象包括域的性质、域的分类、域的表示等。
4.线性代数线性代数是代数学的重要分支，它研究的是线性方程组的解法和矩阵的性质。
代数发展史
代数发展史一门科学的历史是那门科学中最宝贵的一部分，因为科学只能给我们知识，而历史却能给我们智慧。
数学的历史是重要的，它是文明史的有价值的组成部分，人类的进步和科学思想是一致的。
数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的‚共和国‛。
大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分，属于几何学的范筹；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。
这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。
在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。
在此简要介绍代数学的有关历史发展情况。
‚代数‛（algebra）一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、天文学家阿尔·花拉子米（al-Khowārizmī，约780－850）一本著作的名称，书名的阿拉伯文是‘ilm al-jabr wa’l muqabalah，直译应为《还原与对消的科学》．al-jabr 意为‚还原‛，这里指把负项移到方程另一端‚还原‛为正项；muqabalah 意即‚对消‛或‚化简‛，指方程两端可以消去相同的项或合并同类项．在翻译中把‚a l-jabr‛译为拉丁文‚aljebra‛，拉丁文‚aljebra‛一词后来被许多国家采用，英文译作‚algebra‛。
阿布·贾法尔·穆罕默德·伊本·穆萨·阿尔—花拉子米的传记材料，很少流传下来．一般认为他生于花拉子模[Khwarizm，位于阿姆河下游，今乌兹别克境内的希瓦城(Хива)附近]，故以花拉子米为姓．另一说他生于巴格达附近的库特鲁伯利(Qut-rubbullī)．祖先是花拉子模人．花拉子米是拜火教徒的后裔，早年在家乡接受初等教育，后到中亚细亚古城默夫(Мерв)继续深造，并到过阿富汗、印度等地游学，不久成为远近闻名的科学家．东部地区的总督马蒙(al-Ma’mūn，公元786—833年)曾在默夫召见过花拉子米．公元813年，马蒙成为阿拔斯王朝的哈利发后，聘请花拉子米到首都巴格达工作．公元830年，马蒙在巴格达创办了著名的‚智慧馆‛(Bayt al-Hikmah，是自公元前3世纪亚历山大博物馆之后最重要的学术机关)，花拉子米是智慧馆学术工作的主要领导人之一．马蒙去世后，花拉子米在后继的哈利发统治下仍留在巴格达工作，直至去世．花拉子米生活和工作的时期，是阿拉伯帝国的政治局势日渐安定、经济发展、文化生活繁荣昌盛的时期．花拉子米科学研究的范围十分广泛，包括数学、天文学、历史学和地理学等领域．他撰写了许多重要的科学著作．在数学方面，花拉子米编著了两部传世之作：《代数学》和《印度的计算术》． 1859年，我国数学家李善兰首次把‚algebra‛译成‚代数‛。
初步认识代数
初步认识代数代数作为数学的一个重要分支，是研究符号和符号之间关系的一门学科。
它不仅是数学基础学科，也是自然科学和社会科学的工具。
一、代数的起源与发展代数的起源可以追溯到古希腊和古巴比伦时期。
在古希腊，毕达哥拉斯等数学家已经开始研究代数方程，并建立了一些基本概念和方法。
而在古巴比伦，人们已经使用代数方法来解决一些实际问题。
代数的发展在欧洲文艺复兴时期得到了进一步推动。
伽利略、笛卡尔等科学家和数学家在代数领域的研究为代数学的发展奠定了基础。
到了18世纪，欧拉、拉格朗日等数学家又进一步完善了代数学的理论。
二、代数的基本概念与方法1. 代数的基本概念在代数学中，常见的基本概念包括变量、常数、系数、系数域、多项式等。
- 变量：代数中的未知数，通常用字母表示。
- 常数：代数中的已知数，可以是实数、有理数、无理数或复数。
- 系数：多项式中各个项的系数，可以是常数或表示为其他变量。
- 系数域：定义系数所属的数域或数学结构，如实数域、有理数域等。
- 多项式：由常数或变量及它们的乘积和幂次组成的代数表达式。
2. 代数的基本方法代数的基本方法包括代数运算、方程求解、代数式化简等。
- 代数运算：代数中常见的运算包括加法、减法、乘法、除法和幂运算等。
- 方程求解：代数方程指含有未知数的等式，求解方程就是找出使得方程成立的未知数的值。
- 代数式化简：利用代数运算的性质和规则，将复杂的代数式化简为简洁的形式。
三、代数在实际生活中的应用代数不仅在数学领域中有着重要的作用，也广泛应用于实际生活和其他学科领域。
1. 自然科学中的应用在物理学、化学、生物学等自然科学领域中，代数方法被广泛应用于建立模型、解决实际问题、预测和分析等。
2. 工程技术中的应用代数在工程技术中的应用主要包括电路分析、信号处理、控制系统设计等方面，帮助工程师解决复杂的问题。
3. 经济金融中的应用代数和数学模型在经济学和金融学中有着重要的地位。
它们被用于统计预测、风险控制、投资分析等方面。
数值代数和数值方法的研究进展
数值代数和数值方法的研究进展数值代数和数值方法是现代计算机科学中非常重要的一个分支，也是数学、计算机科学、应用科学、工程学等许多学科领域的交叉点。
它研究的主要问题是如何使用计算机来解决数学问题。
数值代数和数值方法的研究可以追溯到20世纪初期。
当时，人们已经开始着手解决线性方程组、非线性方程、插值、微分方程等问题。
早期的研究主要基于手算，因此计算机的出现极大地推进了数值代数和数值方法的发展。
在过去的几十年中，数值代数和数值方法得到了飞速发展，主要得益于计算机硬件和软件技术的进步。
它们广泛地应用于工程、科学、金融等领域，其中最重要的应用之一是数值模拟。
数值代数和数值方法所涉及的问题非常广泛，其中最基本的是数值线性代数问题。
线性代数问题是计算科学中最基本、最重要的问题之一。
由于现代科学技术中涉及到的数据量通常是巨大的，因此用数值代数的方法处理线性代数问题是很必要的。
数值线性代数的经典问题包括矩阵分解、求解线性方程组、特征值和特征向量计算等等。
最近几十年来，数值代数领域进展非常迅速，新算法层出不穷。
一些经典的数值代数算法逐渐被淘汰，新算法已经成为了主流。
比如，计算最小二乘解的QR 分解方法已经被我们熟知，但是现在矩阵分解算法中的SVD、LU 分解方法已成为主流。
此外，随机矩阵论、稀疏矩阵技术等当前比较热门的领域，也在推动数值代数领域的发展。
除了数值线性代数问题以外，数值方法还有许多其他的问题值得研究。
比如，在微积分、概率论和统计学等领域，通过数值方法计算基本函数的一些性质是非常有用的。
通过小规模数值计算，我们可以研究新的数学概念，比如奇异性、复杂性等等。
数值代数和数值方法的研究对于解决实际问题具有重要的意义。
在工程和物理学领域，我们可以用数值方法来模拟自然过程，使得我们可以更好地了解和控制这些过程。
在经济学和金融领域，利用数值方法可以计算出复杂的金融衍生品的价格，从而更准确地评估投资风险。
总的来说，数值代数和数值方法的研究对于提高科学计算水平和解决实际问题都具有极其重要的意义。
近世代数发展简史
近世代数发展简史近世代数是数学中的一个重要分支，它研究的是数与符号之间的关系。
代数的发展可以追溯到古代，但近世代数的起源可以追溯到16世纪。
以下是近世代数发展的简史。
1. 文艺复兴时期（16世纪）在文艺复兴时期，代数开始出现了一些重要的发展。
意大利数学家Cardano首次提出了解三次方程的方法，并发表了《代数学大全》。
同时，法国数学家Viète 提出了代数中的符号表示法，开创了代数符号的使用。
2. 方程论的发展（17世纪）17世纪，方程论成为代数中的重要研究领域。
法国数学家Fermat和英国数学家Descartes分别独立地发展了代数几何学，将代数与几何相结合。
Fermat提出了著名的“费马大定理”，并在边注中提到了他的证明思路，这成为了代数中的一个重要问题。
3. 群论的兴起（19世纪）19世纪，代数的发展进入了一个新的阶段。
法国数学家Galois提出了群论的概念，并建立了现代代数的基础。
他研究了方程的可解性，并提出了著名的“Galois理论”，解决了费马大定理中的一些特殊情况。
Galois的工作对代数的发展产生了深远的影响。
4. 现代代数的建立（20世纪）20世纪，代数的发展进入了一个全新的阶段。
德国数学家Hilbert提出了代数基础的问题，并提出了一系列的公理化方法。
同时，抽象代数成为了代数中的重要分支，研究了各种代数结构的性质。
在这一时期，代数的研究范围得到了极大的扩展。
5. 应用领域的发展近世代数的发展不仅仅局限于理论研究，还涉及到了许多实际应用领域。
代数在密码学、编码理论、计算机科学等领域都有广泛的应用。
代数的发展为这些领域提供了强大的工具和方法。
总结：近世代数的发展经历了多个阶段，从文艺复兴时期的代数基础研究，到方程论的发展，再到群论和现代代数的建立，代数的研究范围不断扩展。
近世代数的发展不仅仅是理论上的突破，还涉及到了许多实际应用领域。
代数的发展为数学和其他学科的发展做出了巨大贡献。
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数值代数及其发展
数科院07（1）班金怡07211117
数值代数是研究代数问题的数值计算方法及其有关理论的一门学科，它既涉及数学理论方面的研究也涉及工程设计方面的应用。
可以说相当一部分计算数学的问题最终都会归结问线性代数方程的求解问题，或者是举证的特征值与特征向量的计算问题。
可以说数值代数是一门理论性和实际应用性都很强的学科。
并且随着计算机技术的快速发展，能够进行数值计算的实际问题的维数不断提高，相应的数值计算方法也在不断地该进或更新。
因此，对于从事科学计算的大学生甚至工程技术人员来说，系统的了解和掌握数值代数的基本理论和方法，特别是近代发展起来的比较成熟的新型算法是至关重要的。
数值代数这门课给我们系统介绍了矩阵论基础、线性方程组的迭代解法、带状现行方程组的直接解法、特殊线性方程组的递推解法、矩阵特征值问题的解答及线性矩阵方程的迭代解法等问题。
不过就我国来说，我国的数值代数研究问题处于不太繁荣的状态，主要表现在研究课题比较陈旧，与科技前沿工作脱节，和国际上的研究课题没有接轨；研究缺乏以自己的计算实践为依据；研究力量也比较分散，所有的科学家没有一起进行有组织的有针对性的研究。
数值代数在近50年来取得了大量的研究成果。
仅Higham的著作就列出了1134 篇参考文献, 而这些仅仅是与数值算法稳定性及精度分析有关的部分主要参考文献。
数字电子计算机的问世为求解数学问题提供了有力的现代工具。
计算机容量有限和字长有限使得数值计算过程中舍入误差几乎不可避免, 而且只能求得数学模型的近似解。
从20世纪40年代末开始, 数值代数的研究沿两个方向蓬勃展开。
一方面是数值方法研究, 其重点是线性代数方程组和代数特征值问题的求解。
Gauss消去法和Jacobi方法被发展和完善；Lanczos于1950 年提出了Lanczos 方法；D.Young提出了SOR 迭代方法；Kublanovskaya和Francis各自独立地于1961 年发表了QR 方法；Householder把镜面反射发展为矩阵计算的基本工具。
另一方面是Givens和Wilkinson等一批数值代数专家着力研究舍入误差对算法及计算结果的影响, 引入了向后误差分析方法, 取得一系列结果。
J.H.Wilkinson出版了他的名著, 既标志着研究的第一阶段的结束, 也是新一阶段研究的开始。
从60 年代中期开始, 数值代数界的主要兴趣是已有算法的理论分析, 主要
集中于如何有效地使用QR方法。
提出了上Hessenberg化技巧以减少计算量；提出位移技术以提高收敛速度。
Wilkinson于1968 年对具Wilkinson位移的QR方法证明有全局收敛性且收敛阶至少是2。
然而, 直到今日, 关于QR方法仍未建立完整的收敛理论。
正是这一困难问题促使数值代数界转向其它研究, 并于1970 年前后取得开拓性进展。
首先,G.W.Stewart 于1970 年开始研究广义特征值问题
Ax= Bx的扰动理论, 并使用了投影尺度；C.C.Paige于1971 年在他的博士论文中使Lanczos方法“起死回生”,掀起了大型稀疏问题的研究浪潮；Peters和Wilkinson 合作对广义特征值问题的数值方法研究；Moler和Stewart合作把QR
方法推广到广义特征值问题上进而提出了QZ方法。
这几项里程碑式的工作, 使得数值代数界整个70 年代的研究兴趣集中于大型稀疏计算和广义特征值问题。
1979年, Van Dooren 在线性系统理论与设计中为奇异束广义特征值问题找到了深刻的应用背景, 并提出Schur分解的推广。
这项工作一直影响至今:一方面, 数值代数界的研究兴趣开始从经典课题转移到其它交叉领域；另一方面也激励一部分学者在70 年代创立的研究方向上深入研究。
我国数值代数研究起步较晚, 可以说, 开始于1979 年, 从事一些经典领域的研究。
70 年代末到80 年代中期,孙继广先生在矩阵扰动分析方面发表了一系列的研究论文。
其中, 以投影几何思想为基础的广义特征值问题扰动理论达到了世界领先水平。
孙继广还对含参数矩阵特征值的局部性质做了深入研究, 他同叶强合作深入探讨了代数特征值逆问题的几乎处处不可解性。
进入九十年代, 他受Higham工作的启发, 深入研究了最佳向后扰动理论, 取得了举世瞩目的成果。
曹志浩先生对广义特征值问题的数值方法进行了广泛研究；蒋尔雄先生给出了具位移QR方法完整的收敛速度分析。
不过就我国来说，我国的数值代数研究问题处于不太繁荣的状态，主要表现在研究课题比较陈旧，与科技前沿工作脱节，和国际上的研究课题没有接轨；研究缺乏以自己的计算实践为依据；研究力量也比较分散，所有的科学家没有一起进行有组织的有针对性的研究。
通过这一学期的学习，我深刻地体会到了数值代数对我们数学专业学生的作用，同时也看到了它在具体的实际问题中的广泛应用。
数值代数对于工程计算，及数值估计方面都有极大的用处。
学好这门课，对我们今后的学习和工作都会产生不可估量的作用！。