(word完整版)学而思寒假七年级尖子班讲义第3讲平面直角坐标系
七年级(初一)数学讲义-平面直角坐标系-学生版
（1）在图中描出点 A、C；
（2）将点 A 绕着点 O 顺时针旋转 90°得点 B 的坐标为
；
（3）△ABC 的面积为
；
（4）在直角坐标平面内找一点 D（与 B 不重合），使得△ABC 与△ACD 全等．（请在图中画出点 D 的位置）
点 D 的坐标可以为
．
试一试：如图，在直角坐标平面内，已知点 A 的坐标（－5，0），
个．
6．已知点 A（-1，2）、B（-3，-2）、C（-1，-3）、D（0，1），画出四边形 ABCD，并求其面积。
7．已知点 A（2，3）与点 B（2，0），在直角坐标平面内描出两点，画出以 A、B 为顶点的正方形，并写出另 外两顶点的坐标。
第7页共7页
．
试一试： 1. 在直角坐标平面内，已知正方形 ABCD 的顶点 A 的坐标是（0，3），顶点 B 的坐标是（2，0），则点 C、D 的坐标是什么？
第3页共7页
2. 在直角坐标平面内，已知正方形 OABC 中，点 A 坐标为（3，1），则点 B、点 C 的坐标是什么？
例 3. 在直角坐标平面内，已知点 A(3，1)、C(1，1)．
_．
4．在平面直角坐标系中，点 A (– 2，a + 1)与点 B (b – 1，– 3)关于 x 轴对称，则点 C (a、b)关于原点对称的点
D 的坐标
。
5．在平面直角坐标系中，已知点 A（2，0），点 B（0，4）在 y 轴上，在 x 轴上找一点 C，使得以 A、B、C
为顶点构成的三角形是等腰三角形，则满足条件的点 C 有
2． 在第四象限内，且到 x 轴的距离为 3，到 y 轴的距离为 4，则该点的坐标为
．
3． 点 A 坐标是（4，－2），若点 A 与点 B 关于原点对称，则点 B 坐标是_____________。
(完整版)平面直角坐标系知识点归纳及例题
X平面直角坐标系知识点归纳1、在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系;2、坐标平面上的任意一点 P 的坐标，都和惟一的一对有序实数对（a,b ）一一对应；其中，a 为横坐标，b 为纵坐标坐标；3、 x 轴上的点，纵坐标等于 0; y 轴上的点，横坐标等于 0； 坐标轴上的点 不属于任何象限;4、 四个象限的点的坐标具有如下特征：小结：（1 ）点P （ x, y ）所在的象限 —►横、纵坐标X 、y 的取值的正负性;（2 ）点P （ X, y ）所在的数轴 —*■横、纵坐标X 、y 中必有一数为零；5、 在平面直角坐标系中，已知点p （a,b ），则（1） 点P 到X 轴的距离为b ；（ 2 ）点P 到y 轴的距离为（3） 点P 到原点o 的距离为PO = .a 2 b 26、 平行直线上的点的坐标特征：a ）在与x 轴平行的直线上，所有点的纵坐标相等;b ）在与y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等;d bJ_____ P(a,b) 1____________ 1-3 -2 -1 0 -1-2 -31a X点A 、B 的纵坐标都等于m ；象限 横坐标X 纵坐标y 第一象限 正 正 第二象限 负 正 第三象限负 负 第四象限正负点C、D的横坐标都等于n ；X7、对称点的坐标特征:8、两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：a) 若点P ( m,n )在第一、三象限的角平分线上，则 b)若点P ( m,n )在第二、四象限的角平分线上，则习题1、在平面直角坐标系中，线段 BC// x 轴，则 A.点B 与C 的横坐标相等 BC •点B 与C 的横坐标与纵坐标分别相等D 2 •若点P (x, y)的坐标满足xy 0则点P 必在A.原点 B . x 轴上 C . y 轴上 D . x 轴或y 轴上 3.点P在x 轴上，且到y 轴的距离为5,则点P 的坐标是 (A. (5,0) B . (0,5) C . (5,0)或(-5,0) D . (0,5)或(0,-5) 4.平面上的点(2,-1)通过上下平移不能与之重合的是 (A . (2,-2)B . (-2,-1)C . (2,0)D . 2,-3)5. 将△ ABC 各顶点的横坐标分别减去3,纵坐标不变，得到的厶ABC 相应顶点的坐标，则 △ A 'B 'C '可以看成厶ABCi 卜y1 y匸y n P--------- —--•P2 • __ n P _ ___ 亠n -------- * P1m ；亠 1 11 ----- T P U f imII V 1 ""O ' XHm O ------------ X 1 1 O mn __ _ ▲1Rb-n关于x 轴对称 关于y 轴对称关于原点对称点P (m,n)关于y 轴的对称点为 b) 点P (m,n)关于原点的对称点为P 3( m, n)，即横、纵坐标都互为相反数; c) XP 2( m,n)，即纵坐标不变，横坐标互为相反数; a)点P (m, n)关于x 轴的对称点为 R(m, n)，即横坐标不变，纵坐标互为相反数;m n ，即横、纵坐标相等；m n ,即横、纵坐标互为相反数;( •点B 与C 的纵坐标相等 •点B 与C 的横坐标、纵坐标都不相等 )) ) )y在第一、三象限的角平分线上在第二、四象限的角平分线上A.向左平移3个单位长度得到B .向右平移三个单位长度得到C•向上平移3个单位长度得到 D •向下平移3个单位长度得到6•线段CD是由线段AB平移得到的，点A(-1,4)的对应点为C(4,7),则点B(-4,-1)的对应点D的坐标是A . (2,9)B . (5,3)C . (1,2)D . (-9,-4)7•在坐标系内，点P (2, -2)和点Q(2,4 )之间的距离等于______________ 单位长度，线段PQ和中点坐标是____________8. 将点M(2,-3)向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的点的坐标为9. 在直角坐标系中，若点P(a 2,b 5)在y轴上，则点P的坐标为___________________10. 已知点P( 2,a)，Q(b,3)，且PQ// x 轴，则a ___________ ，b ____________11. 将点P( 3,y)向下平移3个单位，并向左平移2个单位后得到点Q(x, 1)，则xy = _______12. 则坐标原点0( 0,0 )，A (-2,0 ) ,B(-2,3)三点围成的△ ABO勺面积为_______________13. 点P(a,b)在第四象限，则点Q(b, a)在第_________ 限14. 已知点P在第二象限两坐标轴所成角的平分线上，且到x轴的距离为3,则点P的坐标为 ____________15. 在同一坐标系中，图形a是图形b向上平移3个单位长度得到的，如果在图形a中点A的坐标为(5, 3)，则图形b中与A对应的点A'的坐标为______________16. 在平面直角坐标系中，将坐标为(0,0),(2,0),(3,4),(1,4) 的点用线段依次连接起来形成一个图像，并说明该图像是什么图形。
平面直角坐标系知识点、题型总结讲义
4.平面直角坐标系知识点讲义1、 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系；2、 坐标平面上的任意一点P 的坐标，都和惟一的一对 有序实数对（b a ,）一一对应；其中，a 为横坐标，b 为纵坐标坐标；3、x 轴上的点，纵坐标等于0；y 轴上的点，横坐标等于0；坐标轴上的点不属于任何象限； 4、 四个象限的点的坐标具有如下特征：小结：（1）点P （y x ,）所在的象限 横、纵坐标x 、y 的取值的正负性；（2）点P （y x ,）所在的数轴 横、纵坐标x 、y 中必有一数为零；5、 在平面直角坐标系中，已知点P ),(b a ，则（1） 点P 到x 轴的距离为b ； （2）点P 到y 轴的距离为a ； （3） 点P 到原点O 的距离为PO ＝22b a6、 平行直线上的点的坐标特征：a) 在与x 轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等；点A 、B 的纵坐标都等于m ；b) 在与y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；点C 、D 的横坐标都等于n ；象限横坐标x 纵坐标y 第一象限正 正 第二象限负 正 第三象限负 负 第四象限 正 负 P （b a ,） a b xy O -3 -2 -1 0 1 a b 1 -1 -2 -3 P(a,b)Y x XY A B mXY C D n a b7、 对称点的坐标特征：a) 点P ),(n m 关于x 轴的对称点为),(1n m P -， 即横坐标不变，纵坐标互为相反数；b) 点P ),(n m 关于y 轴的对称点为),(2n m P -， 即纵坐标不变，横坐标互为相反数；c) 点P ),(n m 关于原点的对称点为),(3n m P --，即横、纵坐标都互为相反数；关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于原点对称8、 两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：a) 若点P （n m ,）在第一、三象限的角平分线上，则n m =，即横、纵坐标相等；b) 若点P （n m ,）在第二、四象限的角平分线上，则n m -=，即横、纵坐标互为相反数；在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上基本练习：练习1：在平面直角坐标系中，已知点P （2,5-+m m ）在x 轴上，则P 点坐标为 练习2：在平面直角坐标系中，点P （4,22-+m ）一定在 象限； 练习3：已知点P （)9,12--a a 在x 轴的负半轴上，则P 点坐标为 ；练习4：已知x 轴上一点A （3，0），y 轴上一点B （0，b ），且AB=5，则b 的值为 ； 练习5：点M （2，－3）关于x 轴的对称点N 的坐标为 ； 关于y 轴的对称点P的坐标为 ；关于原点的对称点Q 的坐标为 。
平面直角坐标系课件
（-3，0）
（0，0）
（3，0）
x
（3，-3）
2、春天到了，初一某班组织同学到人民公园春游.张明、 王丽二位同学和其他同学走散了.同学们已经到了中心广
场，而他们仍在牡丹园赏花，他们对着景区示意图在电 话中向老师告知了他们的位置.
张明：“我这里的坐标是（300，300）”
王丽：“我这里的坐标是（200，30y0）”. y
图3-5
解 如图3-5，先在x 轴上找到表示5的点，再在y 轴 上找出表示4 的点，过这两个点分别作x 轴，y
轴的垂线，垂线的交点就是点A. 类似地，其他
各点的位置如图所示.点A 在第一象限，点B 在 第二象限，点C在第三象限，点D在第四象限.
图3-5
写出平面直角坐标系中的A、B、C、E、F、G、H、O、T
2叫做点A的纵坐B（标2，3） A点在平面内的坐标为(3， 2) 记作：A（3，2）
·
·A（3，2）
方法：先横后纵
-4 -3 -2 -1 0 -1
1 2 3 4 5 x 横轴
平面直角坐标系上-2的点和有序实数对一一对应
-3
D
-4
E
（－3，－3）
（5，－4）
笛卡尔，法国数学家、 科学家和哲学家.早在 1637年以前，他受到了 经纬度的启示.（地理上 的经纬度是以赤道和本 初子午线为标准的，这 两条线从局部上看可以 看成平面内互相垂直的 两条线.）发明了平面直 角坐标系，又称笛卡尔 坐标系.
我们把北偏西60°，南偏东60°这样的角称为方位角.
例4 如图3-10，12 时我渔政船在H 岛正南方向， 距H岛30海里的A 处，渔政船以每小时40 海 里的速度向东航行， 13 时到达B处，并测 得H 岛的方向是北偏西53°6′. 那么此时渔 政船相对于H岛的位置怎样描述呢？
初一下册平面直角坐标系讲义
平面直角坐标系1．了解平面直角坐标系的产生过程；认识平面直角坐标系,理解横轴、纵轴、原点及象限；了解点与坐标的对应关系。
2．能够在给定的直角坐标系中，根据点的坐标指出点的位置，会由点的位置写出点的坐标。
3．了解平面直角坐标系中点之间的距离和平移的本质，充分利用数形结合解决平面直角坐标系相关应用。
1．在平面直角坐标系中表示点的坐标并能描点2．熟记概念及其特征，如平面直角坐标系、坐标轴、坐标原点、坐标平面、象限等等3．平面直角坐标系中两点间距离和平移的本质，掌握数形结合思想解决相关问题有序数对1、有序数对：用含有两个数的词表示一个确定的位置，其中各个数表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对,记作（a,b），如（2,3）（3,4）。
2、利用有序数对，可以很准确地表示出一个位置。
3、常见的确定平面上的点位置常用的方法（1）以某一点为原点（0，0）将平面分成若干个小正方形的方格，利用点所在的行和列的位置来确定点的位置。
（2）以某一点为观察点，用方位角、目标到这个点的距离这两个数来确定目标所在的位置。
例1.在奥运游泳馆“水魔方”一侧的座位席上，5排2号记为（5，2），则3排5号记为（）．练习1.根据下列条件，能确定位置的有哪些？①座位是2排4号；②某城市在东经118°，北纬39°；③家住前进路20号；④甲地距乙地20km；⑤沉船距A港50km练习2. 如图，是儿童乐园平面图．请建立适当的平面直角坐标系， 写出儿童乐园中各娱乐设施的坐标本类题考查了有序数对的具体表示形式，通过行和列具体确定平面中的具体位置。
平面直角坐标系1、平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系. 水平的数轴称为X轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为Y轴或纵轴，取向上为正方向；两个坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示了。
学而思寒假七年级尖子班讲义第1讲平行线四大模型(1)
目录Contents第1讲平行线四大模型 (1)第2讲实数三大概念 (17)第3讲平面直角坐标系 (33)第4讲坐标系与面积初步 (51)第5讲二元一次方程组进阶 (67)第6讲含参不等式（组） (79)第 1 页共11 页平行线四大模型知识目标目标一熟练掌握平行线四大模型的证明目标二熟练掌握平行线四大模型的应用目标三掌握辅助线的构造方法，熟悉平行线四大模型的构造秋季回顾平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行.判定方法I:两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简称：同位角相等，两直线平行.判定方法2:两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3:两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠ 1 = ∠ 2,贝U AB// CD （同位角相等，两直线平行）；若已知∠仁∠3,则AB/ CD （内错角相等，两直线平行）;若已知∠ 1+ ∠ 4= 180 °,则AB // CD （同旁内角互补，两直线平行）. 另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.2、平行线的性质禾U用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行.反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质.性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等∙简称：两直线平行，同位角相等性质2:两条平行线被第三条直线所截，内错角相等简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型结论2 :若∠ P+ ∠ AEP+∠ PFC= 360°,贝U AB // CD.结论2 :若∠ P= ∠ AEP+∠ CFP ,贝U AB // CD.结论1 :若AB // CD ,则∠ P=∠ AEP- ∠ CFP 或∠ P= ∠ CFP-∠ AEP ; 结论2 :若∠ P= ∠ AEP- ∠ CFP 或∠ P= ∠ CFP- ∠ AEP,贝U AB // CD.模型四“骨折”模型PA----------- —B AΓ7--- 巴/-D C__ IC F点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论1 :若AB // CD ,则∠ P=∠ CFP- ∠ AEP 或∠ P= ∠ AEP- ∠ CFP ; 结论2 :若∠ P= ∠ CFP- ∠ AEP 或∠ P= ∠ AEP- ∠ CFP ,贝U AB // CD.巩固练习平行线四大模型证明(1) 已知AE // CF ,求证∠ P +∠ AEP + ∠ PFC = 360(2) 已知∠ P= ∠ AEP+ ∠ CFP ,求证AE // CF .(3) 已知AE // CF ,求证∠ P= ∠ AEP- ∠ CFP.(4) 已知∠ P= ∠ CFP -∠ AEP ,求证AE //CF .三模块一平行线四大模型应用例1(1)如图，a // b, M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠(1) 如图所示，AB// CD , ∠ E=37°,∠ C= 20 °,则∠ EAB的度数为(2) (七一中学2015-2016七下3月月考)如图，AB // CD, ∠ B=30°,∠ O= ∠ C.则∠ C= ___________(2)如图，AB // CD ,且∠ A=25°,∠C=45 °,则∠ E的度数是(3)如图，已知AB// DE,(4)如图，射线AC// BD ,D第5页共11页例2如图，已知AB // DE , BF、DF分别平分∠ ABC、/ CDE ,求∠ C、∠ F的关系.如图，已知AB // DE , ∠ FBC = 1∠ ABF , ∠ FDC = 1∠ FDE.n n(1)若n=2,直接写出∠ C∠ F的关系_________________________ ;⑵若n=3,试探宄∠ C、/ F的关系；(3) ______________________________________ 直接写出∠ C∠ F的关系 (用含n的等式表示)BE 平分∠ ABC, DE 平分∠ ADC .求证：∠ E= 2 ( ∠ A+ ∠ C).BF、DF分别平分∠ ABC、/ CDE ,求∠ C∠ F的关系.3C 如图，已知AB // CD ,如图，己知AB // DE ,例4如图，∠ 3== ∠ 1+ ∠ 2,求证：∠ A+∠ B+ ∠ C+∠ D= 180AB⊥ BC, AE 平分∠ BAD 交BC于E, AE丄DE , ∠ 1+ ∠ 2= 90° ,M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠ EAM和∠ EDN的平分线相交于点F则∠ F的度数为（）.A. 120°B.135°C.145°模块二平行线四大模型构造例5如图，直线AB // CD , ∠ EFA= 30 °,∠ FGH = 90 ∠GHM = _____________ .（武昌七校2015-2016七下期中）如图,练如图，直线AB // CD , ∠ EFG =100 °,∠ FGH =140 °,则∠ AEF+ ∠ CHG= ____________例6已知∠ B =25 °,∠ BCD=45°,∠ CDE =30 °,∠ E=IO°,求证：AB // EF .练已知AB // EF ,求∠ I- ∠ 2+∠ 3+ ∠ 4 的度数.(1)如图(I),已知MA i// NA n,探索∠ A i、/ Aa …、∠ A n,∠ B i、/ B2…/B n-I 之间的关系.⑵如图⑵，己知MA i// NA4,探索∠ A i、/ A?、/ A3、/ A4,∠ B i、/ B2之间的关系. ⑶如图⑶，已知MA i// NA n,探索∠ A i、/ A2、…、/ A n之间的关系.如图所示，两直线AB // CD平行，求/ i+ / 2+ / 3+ / 4+ / 5+ / 6.第8页共ii页挑战压轴题(粮道街2015—2016七下期中)如图1 ,直线AB// CD , P是截线MN上的一点,(1) 若∠ EFB=55 °,∠ EDP= 30(2) 当点P在线段EF上运动时，求出定值；若不是，说明其范围；(3) 当点P在线段EF的延长线上运动时，∠MN与CD、AB分别交于,求∠ MPD的度数；∠ CPD与∠ ABP的平分线交于Q,问：CDP与∠ ABP的平分线交于E、F .Q是否为定值？若是定值，请.DPBQ,问父的值足否定值，请ZDPB第一讲平行线四大模型（课后作业）1.如图，AB // CD // EF , EH 丄CD 于H,则∠ BAC+ ∠ ACE + ∠ CEH 等于(A. 2: 1B. 3: 1C. 4: 3 D . 3: 23.如图3 ,己知AE/ BD , ∠ 1=130 ° ,∠ 2=30 °,则∠ C=________________4.如图，已知直线AB // CD, ∠ C =115 °,∠ A= 25 °,则∠ E= ______________5•如阁所示，AB/ CD, ∠ I=I 10° ,∠ 2=120°,则∠ α= ____________ .6.如图所示，AB/ DF , ∠ D =116 °,∠ DCB=93° ,则∠ B= ______________A.180°B.270°2.(武昌七校2015-2016七下期中)2若AB // CD , ∠ CDF = —∠CDE ,C.360°D.450°2∠ ABF= ∠ABE,3).三£则∠ E:∠ F=( ).3第11页共11页a 上，a// b. ∠ 仁50°,∠ 2 =60 °,则∠ 3 的度数为. & 如图，AB // CD , EP⊥ FP,已知∠ 仁30 °,∠ 2=20 °.则∠ F的度数为9.如图，若AB // CD , ∠ BEF=70 °,求∠ B+ ∠ F+ ∠ C 的度数.10.已知，直线AB// CD.(1)如图I,∠ A、/ C、/ AEC之间有什么关系？请说明理由;Sl(2)如图2,∠ AEF、/ EFC、/ FCD之间有什么关系？请说明理由;⑶如图3,∠ A∠ E∠ F、/ G、/ H、7.如图，将三角尺的直角顶点放在直线第12页共11页。
《平面直角坐标系》PPT课件
B 0;4
C 0;0
0
A 6;4
D 6;0
x
做一做
例2 如图;正三角形ABC的边长为 6 ; 建立适当的直角坐 标系 ;并写出各个顶点的坐标
y
解: 如图;以边AB所在 的直线为x 轴;以边AB 的中垂线y 轴建立直角 坐标系
布置作业
作业:
A类：课本习题5 5
B类：完成A类同时;补充：
1已知点A到x轴 y轴的距离均为4;求A点坐标；
2已知x轴上一点A3;0;B 3;b ;且AB=5;
求b的值
C类：建立坐标系表示右面图形各顶点的坐标
直角梯形上底3;下底5;底角60˚
y
o
x
练习提高
随堂练习:
课本 随堂练习
练习
1如图;某地为了发展城市群;在现有的四个中小城市A;B;C;D附近 新建机场E;试建立适当的直角坐标系;并写出各点的坐标
2点A1a;5;B3 ;b关于y轴对称;则 a + b =______
3在平面直角坐标系内;已知点P a ; b ; 且a b < 0 ; 则点P的位置 在________
在一次寻宝游戏中;寻宝人已
11 2
2
3
经找到了2和3;2的两个标志点;并
3
且知道藏宝地点的坐标为4;4;除4ຫໍສະໝຸດ 此外不知道其他信息 如何确定直
角坐标系找到宝藏 与同伴进行交
流
做一做
例1 如图; 矩形ABCD的长宽分别是6 ; 4 ; 建立适当的 坐标系;并写出各个顶点的坐标
y
解: 如图;以点C为坐标 原点; 分别以CD ; CB所 在的直线轴建 立直角坐标系 此时C点 坐标为 0 ; 0
《平面直角坐标系》ppt课件
坐标系的建立
确定原点
选择平面内的任意一点作为原点，作为两条数轴 的公共起点。
确定正方向
在水平数轴上选取正方向，通常以向右为正；在 垂直数轴上选取正方向，通常以向上为正。
单位长度
根据实际需要确定数轴上的单位长度，通常以厘 米或毫米为单位。
坐标系的分类
绝对坐标标 系。
平面直角坐标系
目录
• 平面直角坐标系的基本概念 • 平面直角坐标系中的点 • 平面直角坐标系中的直线 • 平面直角坐标系中的距离公式 • 平面直角坐标系的应用
01
平面直角坐标系的基本 概念
定义与性质
定义
平面直角坐标系是由两条互相垂直、 原点重合的数轴构成的平面几何图形。
性质
具有方向性、单位性、正交性等性质， 是描述平面内点位置的重要工具。
05
平面直角坐标系的应用
在几何中的应用
确定点位置
01
通过平面直角坐标系，可以确定平面内任意点的位置，并描述
其坐标。
计算距离和角度
02
利用坐标系，可以方便地计算两点之间的距离和两点之间的夹
角。
绘制图形
03
通过坐标系，可以绘制各种几何图形，如直线、圆、椭圆等。
在代数中的应用
代数方程表示
平面直角坐标系可以将代数方程表示为图形，便于理解和解决代 数问题。
点到直线的距离公式
总结词
点到直线最短距离的平方
详细描述
给定点$P(x_0, y_0)$和直线$Ax + By + C = 0$，则点到直线的距离公式为：$d^2 = frac{|Ax_0 + By_0 + C|^2}{A^2 + B^2}$。
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领先中考培优课程M A T H E M A T I C S3 平面坐标系知识目标目标一理解有序数对、有序数对、点的坐标的概念目标二掌握象限、坐标轴、坐标轴夹角平分线的点的坐标特征目标三灵活运用点和线的平移变换。
点的对称变换求坐标模块一 平面直角坐标系的相关概念 知识导航1有序数对有顺序的两个数a 与b 组成的数对，叫做有序数对，记作（a,b),利用有序数对可以可以很准确的表示出一个位置。
2平面直角坐标系3、点的坐标平面内的点可以用一个有序数对表示，这个有序数对就叫做点的坐标。
对于平面内任意一点，过该点分别向横轴、纵轴作垂线，垂足在横轴、纵轴上对应的数分别叫做该点横坐标、纵坐标。
在平面内两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系、水平的数轴称为x 轴或横轴，习惯上取向右为正方向：竖直的数轴称为y 轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面坐标系的原点。
如左图，建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成了Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四个部分,每个部分称为象限，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
坐标轴上的点不属于任何象限。
Ⅰ 第一象限 Ⅳ第四象限Ⅲ第三象限 Ⅱ 第二象限 原点如图，点p 为坐标平面内一点，过点p 作x 轴的垂线，垂足M 在x 轴上对应点的数是-2，则-2就是p 的横坐标；过点p 作y 轴的垂线，垂足N 在y 轴上对应的数为3，则3为点p 的纵坐标，点p 就可以用有序数对（-2，-3）来表示，记作p （-2,3）。
①由坐标确定点的方法：要确定由坐标（a,b)所表示的点p 的位置，先在x 轴上找到表示a 的点，过这点作x 轴的垂线；再在y 轴上找到表示b 的点，过这点作y 轴的垂线，两条垂线的交点p 即为所求的位置。
②由点求坐标的方法：先由已知点p 分别向x 轴和y 轴作垂线，设垂足分别为A 和B ，再求出A 在x 轴上的坐标a 和B 在轴上的坐标b ，则点p 的坐标为（a,b) ③巩固练习 点的坐标(1)在图1的平面直角坐标系中描出下列个点：A(3，4),B(-2，3),C(-5，-2),D(4，-1),E(1，0),F(0，3),G(-2，0),H(0，-4). (2)写出图2中点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 的坐标。
y x–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O图1 图2 象限内的点p （a,b)坐标轴上的点p(a,b)点p 在第一象限 a ＞0 , b ＞0 点p 在x 轴正半轴 a ＞0 , b=0 点p 在第二象限 a ＜0， b ＞0 点p 在x 轴负半轴 a ＜0， b=0 点p 在第三象限 a ＜0， b ＜0 点p 在y 轴正半轴 a=0， b>0 点p 在第四象限a ＞0 ,b ＜0点p 在y 轴负半轴a=0， b ＜05、坐标轴夹角平分线上的点的特征若点p(a,b)在一、三象限的角平分线上，则a=b,例如p(3,3) p(-5,-5)等； 若点Q(a,b)在二、四象限的角平分线上，则a=-b,例如Q(-1,1) p(4,-4)等;6、平面直角坐标系内点到坐标轴的距离公式点p(a,b)到x 轴的距离为b ；点p （a,b)到y 轴的距离为a ，Q （n,m ）p(a,b)ab题型一 坐标系概念应用 例1(1)若用有序数对（3,6）表示教室中前起第3排，左起第6列的位置，那么前起第2排，左起第4列的位置有序数对可表示为 。
(2)点（2,1）在第 象限；点（-2,1）在第 象限； 点（-2，-1）在第 象限；点（2，-1）在第 象限。
（3）若点（a+1,-5)在第三象限，则a 的取值范围为 ；若点（-5,a+1)在第二象限，则a 的取值范围为 ；（4）点p （6，x-5)在第四象限，则x 的取值范围是 ； 点p （x-1，4-x)在第一象限，则x 的取值范围是 ；（5青山区2015-2016年七下期中）点A 在x 轴上，位于原点右侧，距离原点2个单位，则点A 坐标为 。
（洪山区2015-2016七下期中）若点p(m+3,m+1)在x 轴上，则点p 的坐标为 。
（6）已知点P(x,y)在第四象限，且x =3，y =5，则p 点的坐标为 。
练（1）实数x,y,满足021=++-y x ，则点p(x,y)的位置在第 象限；（2）（汉阳区2015-2016七下期中）写出一个在x 轴正半轴上点的坐标 。
例2 （1）（武昌七校2015-2016七下期中）点p(-5,6)到x 轴的距离是 ，点Q(3,6)到y 轴的距离是 ，线段pq 的长度是 。
（2）（江汉区2015-2016七下期中）已知点A （4,3），AB ∥y 轴，且AB=3，则B 点的坐标为 练（1）（江岸区2015-2016七下期中）点M(-3,2)到x 轴的距离是 。
（2）（硚口区2015-2016七下期中）点A （2,5），点B 在过A 点且平行于x 轴的直线上，点B 到点A 的距离是4个单位，则点B 的坐标是 。
例3（1）已知点p位于y轴右侧，距y轴3个单位长度，位于x轴的上方，距x轴4个单位长度，则点p的坐标是（2）已知点p的坐标（2-a,3a+6),且点p到两坐标轴的距离相等，则点p的坐标是。
（3）点M在第一、三象限的角平分线上，且到x轴的距离为2，则点M的坐标是。
（4）点A（5，y-1),B(x+3,2)都在第二、四象限的角平分线上，则x+y= 。
练（1）已知A（5，y-1),B(x+3,-2)都在第一、三象限的角平分线上，则x= ,y= （2）点p(2x,x+3)在坐标轴角平分线上，则点Q（-x+2,2x+3)坐标是题型二建立平面直角坐标系例4(1)(江岸区2015-2016七下期中）如图，由小正方形组成格点图形，已知格点A坐标为（-1，-2），则格点B的坐标为。
(2)（洪山区2015-2016七下期中）如图所示的象棋盘上，若“帅”位于点（1-2）上，“相”位于点（3，-2）上，则：“炮”位于点的坐标是多少？（3）小明从点p出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M，如果点M的位置用（-40，-30）表示，那么（10,20）表示的位置是哪个点？点A和点D的坐标分别是多少？练（青山区2015-2016七下期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC，正方形ABDE、正方形ACGF的顶点均在格点上。
（1）以格点为原点，建立合适的平面坐标系，使得B/C两点的坐标分别为B(-1，-3),C(4，-3),则点A的坐标为；点D的坐标为；（2）利用面积计算线段AB= ，AC= ,则AB/AC/BC三条线段的数量关系为模块二、平面直角坐标系中的平移变换 知识导航 1平移3、坐标系中图形的平移把一个图形中各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a ，即图形整体向右（或向左）平移a 个单位。
把一个图形中各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数b ，即图形整体向右（或向左）平移b 个单位.平移前 平移方式平移后点p( a,b) 向左平移m 个单位长度 点'p ( a-m,b) 点p( a,b) 向右平移m 个单位长度 点'p ( a+m,b) 点p( a,b) 向上平移m 个单位长度 点'p ( a,b+n) 点p( a,b)向下平移n 个单位长度点'p ( a,b-n)把一个图形整天沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与远图形的形状和大小完全相同。
图形的这种移动，叫做平移。
（图形平移的方向，不限于是水平的，也可以竖直或倾斜）新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点平移后得到的 新图形中的每一点，都是由原图形中某一点平移后的到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的连线段平行（或在同一条直线上）且相等，可见原图形中每一个点的平移方向和平移距离均相同。
如左图，线段AB 向下平移3个单位长度得到线段''B A ,线段上的每一个点的横坐标不变，纵坐标减去3.再向右平移5个单位长度得到线段''''B A ,线段上每一个点横坐标加5，纵坐标不变。
例5（1）已知点A 的坐标为（3,5），则点A ：先向上平移3个单位，则点坐标为 ； 再向下平移5个单位，则点坐标为 ； 再向左平移7个单位，则点坐标为 ； 再向右平移9个单位，则点坐标为 ；（2）已知点B 的坐标为（3,5），则点B ：先向上平移a 个单位，则点坐标为 ； 再向下平移b 个单位，则点坐标为 ； 再向左平移c 个单位，则点坐标为 ； 再向右平移d 个单位，则点坐标为 ； 练（江汉区2015-2016七下期中）如图，三角形ABC 经过平移后，使点A 与点)41('， A 重合， （1）画出平移后的三角形'''C B A ;（2）写出平移后三角形'''C B A 另外两个顶点的坐标为'B （ ）'C （ ）； （3）若三角形ABC 内有一点p(a,b),经过平移后的对应点'P 的坐标为 （ ）；例6 （1） 点p(m,n)向右平移2个单位，向下平移3个单位得'P （3,5），则P 点坐标为 ； (2) 点p(m-1,2n+1)向右平移3个单位，向下平移2个单位得'P （n,3m ），则P 点坐标为 ；(3)已知AB 两点的坐标分别为（1,0）（0,2），若将线段AB 平移到''B A ，点'A 、'B 的坐标分别为（2，a)、（b,3),则a+b= . 练（1）若将点p(a-2,b+1)向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到点'P （2b,3a ），则P 点坐标.(2)已知AB 两点的坐标分别为A （3,4）（2,,20），若将线段AB 平移至11B A ，点）（0,11A 、求点1B 的坐标；模块三平面直角坐标中的对称变换知识导航1轴对称: 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说“成轴对称”），这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
2坐标系中对称点的坐标关系对称前对称方式对称后点p( a,b) 关于x轴对称点'p( a,-b)点p( a,b) 关于y轴对称点'p( -a,b)点p( a,b) 关于一、三象限角平分线对称点'p( b,a)点p( a,b) 关于二、四象限角平分线对称点'p(-b ,-a)点p( a,b) 关于原点对称（原点为中点）点'p(-a ,-b)点p( a,b)关于Q(m,n)点对称（Q为中点）点'p(2m-a ,2n-b)对称点所连的线段的中点在对称轴上，并且垂直于对称轴，即对称点到对称轴的距离相等。