高一上学期期中考试数学试题及答案
）
A． (0,1) B ． (1,3) C ． (1,3] D ． [3, )
12. 设函数 f ( x) 2x 3x 7 ， g( x) ln x 2 x 6 ，若实数 a, b 满足 f (a) 0 ， g (b) 0 ，
则（
）
A． f (b) 0 g (a) B． g( a) 0 f (b) C． f ( b) g (a) 0 D ． 0 g (a) f (b)
（ 1）试写出温泉水用水费 y （元）与其用水量 x （吨）之间的函数关系式；
（ 2）若业主小王缴纳 10 月份的物业费时发现一共用水 16 吨，被收取的费用为 72 元，那么他当
月的自来水与温泉水用水量各为多少吨？
21. （本小题满分 12 分）已知函数 f ( x) （ 1）判断 f (x) 的奇偶性并说明理由；
2x
4x
. 1
（ 2）判断 f (x) 在 [0, ) 上的单调性，并用定义证明；
（ 3）求满足 f (1 t ) f (t ) 的 t 的取值范围 .
22. （本小题满分 12 分）已知二次函数 f ( x) 满足 f ( x 1) f ( x) 2x 1，且 f (0) 3 . （ 1）求 f ( x) 的解析式；
）
A. {2} B. {4,6} C. {1,3,5} D. {4,6,7,8}
2. 下列函数中与 y x 具有相同图象的一个函数是（
）
A. y ( x ) 2 B. y x2 C. y eln x D. y ln ex
3. 已知函数 y
f ( x) 是函数 y
3x 的反函数，则
1 f( )
（
）
9
A. 2
第 2页
20. （本小题满分 12 分）某滨海高档住宅小区给每一户业主均提供两套供水方案
. 方案一
是供应市政自来水，每吨自来水的水费是
2 元；方案二是限量供应 10 吨海底岩层中的
温泉水，若温泉水用水量不超过 5 吨，则按基本价每吨 8 元收取，超过 5 吨不超过 8
吨的部分按基本价的 1.5 倍收取，超过 8 吨不超过 10 吨的部分按基本价的 2 倍收取 .
③ fCR A (x) 1 f A ( x) ；④ f A B (x) f A( x) fB ( x) ．
其中正确的是
．（填上所有满足条件的序号）
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、推证过程或演算步
骤. ）
17. （本小题满分 （ 1） ( 2015)0
2016
10 分）计算下列各式：
高一上学期期中考试数学试题及答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题意要求的 . ）
1. 设全集 U {1,2,3,4,5,6,7,8} ，集合 A { 1,2,3,5} ，
B {2,4,6} ，则右图中的阴影部分表示的集合为（
2 x} ，
19. （本小题满分 12 分）已知 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，且当 x 0 时， f ( x) 2x 1 1 .
（ 1）求 f ( x) 的解析式； （ 2）在所给的坐标系内画出函数 f ( x) 的
草图，并求方程 f (x) m 恰有两个 不同实根时的实数 m 的取值范围 .[:]
第 1页 共 9页
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 请把答案填在答题卡相应位置 . ）
13. 已知全集 U {0,1,2,3} ， CU A 0,1 ，则集合 A 的子集的个数是
．
14. 已知函数 f ( x) log a ( x 1) 4(a 0 且 a 1) 恒过定点 P ，若点 P 也在幂函数 g( x) 的图象上，
6. 已知函数 f ( x) 4x5 3x3 2x 1 ，则 f (log2 3) f (log 1 3) （
）
2
A. 2 B.
1
C.
0
D.
1
7. 已知 f (x) 为奇函数，当 x 0 时， f ( x)
2
x
2x ，则 f (x) 在 [ 3, 1] 上是（
）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A. 增函数，最小值为 1
B. 增函数，最大值为 1
则 g(4)
．
15. 若函数 f x
x 4, x 2, （ a 0 且 a 1 ）的值域是 2,
1 log a x, x 2,
，则实数 a 的
取值范围是
．
16. 定义实数集 R 的子集 M 的特征函数为 fM ( x)
1,x M .若 A, B R ，对任意
0, x CRM
x R ，有如下判断：①若 A B ，则 f A ( x) f B ( x) ；② f A B ( x) f A ( x) f B ( x) ；
在集合 A中存在元素与之对应，则
A. m 3 B.
m 3 C.
10. 函数 y 2x x2 的图象大致是（
m 的取值范围是（ m 3 D.
）
y ( 1) x2 2x . 若对实数 m B , 3
） 0m3
A.
B.
C.
D.
11. 函数 f ( x) log a(6 ax) 在 (0, 2) 上为减函数，则 a 的取值范围是（
B.
2 C.
3
D.
3
4. 下列函数中，既是奇函数又在 (0, ) 上单调递增的是（
）
A． y log 2 x B ． y x 1
C． y x3
D． y 2x
5. 下列式子中成立的是（
）
A. log 0.3 4 log 0.3 6 B. 1.7 2.4 1.7 2.5 C. 2.50.2 2.40.2 D. log 3 4 log 4 3
C. 减函数，最小值为 1
D. 减函数，最大值为 1
1
8. 在 y 2x ， y log 2 x ， y x 2 这三个函数中，当 x2 x1 0 时，都有
f x1 x2 2
f x1 f x2 成立的函数个数是（ 2
A． 0
B
．1
C
．2
D
） ．3
9. 已知映射 f : A B , 其中 A B R ，对应法则 f : x
(2
1 )
1 2
4
4
( 1.5)2 ( 8) 3 ；
（ 2） 21 log 25
27 2log 2 3 log 2
log 2 6 .
4
18. （本小题满分 12 分）已知全集为 R ，集合 A { x | y lg x
1 B {x|
4 （ 1）当 a
（ 2）若 A
2x a 8} .
0 时，求 ( CR A) B ； B B ，求实数 a 的取值范围 .
湖南省长沙市2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试卷含答案
2024-2025学年湖南省长沙市百强校(YZ)高一上期中考试数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|21}A x x =-<≤，{|03}B x x =<≤，则A B = （）A.(]2,3- B.()2,0- C.(]0,1 D.(]1,3【答案】C 【解析】【分析】由交集的运算法则求解即可.【详解】解：{}{}2103A x x B x x =-<≤=<≤ ，，{}01A B x x ∴⋂=<≤，故选：C.2.函数1()2f x x =+-的定义域为（）A.2|2}3{x x x >≠且 B.2{|2}3x x x <>且C.3{|2}2x x ≤≤ D.3{|2}2x x x ≥≠且【答案】D 【解析】【分析】利用函数有意义，列出不等式组求解即得.【详解】函数1()2f x x =+-的意义，则230x -≥且20x -≠，解得32x ≥且2x ≠，所以原函数的定义域为3{|2}2x x x ≥≠且.故选：D 3.已知()()5,62,6x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则()4f =（）A.3 B.2C.1D.0【答案】C 【解析】【分析】根据分段函数解析式列式求解即可.【详解】由题意可得：()()46651f f ==-=.故选：C.4.设x ∈R ，则“2x ≤”是“11x -≤”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】从充分性和必要性两个方面考虑.【详解】先说充分性：当2x ≤，比如2x =-，此时：12131x -=--=≤不成立，所以“2x ≤”不是“11x -≤”的充分条件；再说必要性：11x -≤⇒111x -≤-≤⇒02x ≤≤，所以2x ≤成立，所以“2x ≤”是“11x -≤”的必要条件.故“2x ≤”是“11x -≤”的必要不充分条件.故选：B5.若不等式210x tx -+<对一切132x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，恒成立，则实数t 的取值范围为（）A.52t ≥B.52t >C.2t ≥D.103t ≥【答案】D 【解析】【分析】首先分离参数，然后结合对勾函数的性质求得函数的最值，从而可确定t 的取值范围．【详解】因为不等式210x tx -+<对一切132x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，恒成立，所以211x t x x x+>=+在区间132⎛⎫ ⎪⎝⎭，上恒成立，由对勾函数的性质可知函数1y x x =+在区间112⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在区间()13，上单调递增，且当12x =时，15222y =+=，当3x =时，110333y =+=，所以1103x x +<，故103t ≥，故选：D6.若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是A.6B.3C.4D.23【答案】B 【解析】【分析】根据22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，将等式转化为不等式，求x y +的最大值.【详解】()22211x y xy x y xy ++=⇒+-=,22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，()2212x y x y +⎛⎫∴+-≤ ⎪⎝⎭，解得()2314x y +≤，x y ≤+≤x y ∴+故选B.【点睛】本题考查了基本不等式求最值，属于基础题型.7.已知函数()1f x +是偶函数，当121x x <<时，()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，设12a f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，(2)b f =，(3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.c b a << B.b a c<< C.b c a<< D.a b c<<【答案】B 【解析】【分析】根据题意先求出函数()f x 在(1,)+∞上为单调增函数且关于直线1x =对称，然后利用函数的单调性和对称性即可求解.【详解】∵当121x x <<时，()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，∴当121x x <<时，()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，∴函数()f x 在(1,)+∞上为单调增函数，∵函数(1)f x +是偶函数，即()()11f x f x +=-，∴函数()f x 的图象关于直线1x =对称，∴1522a f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又函数()f x 在(1,)+∞上为单调增函数，∴5(2)(3)2f f f ⎛⎫<<⎪⎝⎭，即1(2)(3)2f f f ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，∴b a c <<，故选：B.8.幂函数()()22251m m f x m m x+-=--在区间()0,∞+上单调递增，且0a b +>，则()()f a f b +的值（）A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断【答案】A 【解析】【分析】由已知条件求出m 的值，则可得幂函数的解析式，再利用幂函数的性质判断即可【详解】由函数()()22251m m f x m m x+-=--是幂函数，可得211m m --=，解得2m =或1m =-．当2m =时，()3f x x =；当1m =-时，()6f x x -=．因为函数()f x 在()0,∞+上是单调递增函数，故()3f x x =．又0a b +>，所以a b >-，所以()()()f a f b f b >-=-，则()()0f a f b +>．故选：A ．二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.{}0∅∈B.集合{|2,Z}{|Z}2xx x n n x =∈=∈C.集合{}{}3,44,3= D.集合22{|}{|}x y x y y x ===【答案】BC 【解析】【分析】根据集合间的基本关系逐一判定即可.【详解】解：对于A ，{}0∅⊆，故A 错误；对于B ，由Z 2x ∈，可得x 为偶数，所以集合{|2,Z}{|Z}2xx x n n x =∈=∈，故B 正确；对于C ，集合{}{}3,44,3=，故C 正确；对于D ，集合2{|}R x y x ==，2{|}{|0}y y x y y ==≥，故D 错误.故选：BC.10.已知20ax bx c ++>的解集是()2,3-，则下列说法正确的是（）A.>0B.不等式20cx bx a ++<的解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭C.1234b b ++的最小值是83D.当2c =时，()236f x ax bx =+，[]12,x n n ∈的值域是[]3,1-，则21n n -的取值范围是[]2,4【答案】BCD 【解析】【分析】对A ，B ，利用一元二次不等式与相应函数和方程的关系求解判断；对C ，利用基本不等式求最值，对D ，利用二次函数图象与性质，进行分析可得结果.【详解】对于A ，由题意可知：2,3-是关于x 的方程B 2+B +=0的两个根，且0a <，故A 错误；对于B ，由题意可知：16bac a⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，可得,6b a c a =-=-，0a <.不等式20cx bx a ++<化为：260ax ax a --+<，由0a <可得2610x x +-<，解得1123x -<<，所以不等式20cx bx a ++<的解集为1123⎛⎫- ⎪⎝⎭，，故B 正确；对于C ，因为=-b a ，0b >，可得()121214483434343333b b b b +=++-≥-=++，当且仅当()12134343b b =++，即23b =时，等号成立，所以1234b b ++的最小值是83，故C 正确；对于D ，当2c =时，13b a =-=，则()222362(1)1f x ax bx x x x =+=-+=--+，当=1时，()f x 取到最大值()11f =，由()3f x =-得，=−1或3x =，()[]212,36f x ax bx x n n =+∈，的值域是[]3,1-，因()f x 在[]12,n n 上的最小值为3-，最大值为1，从而得121,13n n =-≤≤或1211,3n n -≤≤=，因此2124n n ≤-≤，故D 正确.故选：BCD.11.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当>0时，()21f x x x =-+，则下列结论正确的是（）A.()02f =-B.()f x 的单调递增区间为()1,0-，()1,+∞C.当0x <时，()21f x x x=+-D.()0xf x <的解集为()()1,00,1-⋃【答案】BCD 【解析】【分析】由奇函数()f x 在=0处有定义，可得()00f =，可判断A ；由>0的函数的解析式，结合奇函数的定义可得0x <时的函数解析式，可判断C ；判断>0时的()f x 的单调性，可得0x <时的()f x 的单调性，不等式()0xf x <等价为>0且()0f x <，0x <且()0f x >，结合()()110f f -==，解不等式可判断D ；由()y f x =的图象与=op 的图象特点，结合单调性可判断B.【详解】对于A ，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，可得()00f =，故A 错误；对于C ，当>0时，()21f x x x =-+，设0x <，则0x ->，()21f x x x-=---，又−=−，所以0x <时，()21f x x x=+-，故C 正确；对于D ，由>0时，()21f x x x =-+，可得1=0，又y x =和21y x =-+在()0,∞+递增，可得()f x 在()0,∞+递增，由奇函数的图象关于原点对称，可得()f x 在(),0∞-递增，且()10f -=，所以()0xf x <等价为>0op <0=o1)或<0op >0=o −1)，解得01x <<或10x -<<，故D 正确；对于B ，因为()f x 在(),0∞-和()0,∞+上递增，且()()110f f =-=，由()y f x =的图象可看做=op 的图象位于x 轴上方的图象不变，将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方得到，所以()y f x =的递增区间为()1,0-，1,+∞，故B 正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知a =，b =，则a ______b ．(填“>”或“<”)【答案】<【解析】【分析】对,a b 进行分子有理化，然后通过比较分母的大小，从而可得结果.【详解】a ==b ==，>0+>，<<所以a b <.故答案为：<13.已知()5311f x ax bx cx x=-+++，且()35f -=-，则()3f =__________.【答案】7【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式可得()()2f x f x -+=，结合()35f -=-即可求解.【详解】()5311f x ax bx cx x=-+++，则()()531()()1f x a x b x c x x ⎛⎫-=---+-+-+ ⎪⎝⎭5311ax bx cx x ⎛⎫=--+++ ⎪⎝⎭则有()()2f x f x -+=，若()35f -=-，则()()3257.f =--=故答案为：7.14.定义{},min ,=,>a a b a b b a b≤⎧⎨⎩，若函数(){}2min 33,33f x x x x =-+--+，且()f x 在区间[],m n 上的值域为37,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则区间[],m n 长度的最大值为________.【答案】74.【解析】【分析】根据定义作出函数()=y f x 的图像,根据函数值域,求出对应点的坐标,利用数形结合进行判断即可.【详解】根据定义作出函数()=y f x 的图像如图:(实线部分的曲线).其中()()1,13,3A B 、,即23|3|,13()=3+3,1<<3x x x f x x x x --≤≥-⎧⎨⎩或.当()34f x =时,当1x ≤或3x ≥时,由3334x --=,解得：34C x =或214G x =;当()74f x =时,当13x <<时,由27334x x -+=解得：52E x =.由图像知,若函数()f x 在区间[],m n 上的值域为37,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则区间[],m n 长度的最大值为537244E C x x -=-=.故答案为：74四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.(1)计算：111224127()10()()20024-+⨯⨯（2）已知11223x x-+=，求22122x x x x --+-+-的值.【答案】（1）25；（2）9.【解析】【分析】（1）（2）利用指数性质、运算法则直接求解.【详解】（1）原式131144221103(1)151025.2++=+⨯⨯-=+-+=（2）由11223x x-+=，得129x x -++=，则17x x -+=，2247x x -+=，所以22124729272x x x x --+--==+--.16.若关于x 的不等式2310ax x +->的解集是112A x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭.（1）求a 的值；（2）设集合=2<<1−，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）−2（2）0m ≤【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解集，利用根与系数的关系，即可求得答案；（2）由题意可得A B ⊆，由此列不等式求解，即得答案.【小问1详解】因为关于x 的不等式2310ax x +->的解集是112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，故2310ax x +-=的两根为1,12，且0a <，故11122a a⨯=-⇒=-；【小问2详解】由题意集合{}21B x m x m =<<-，“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，故A B ⊆，由于112A xx ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，故B 不为空集，则1221121m m m m ⎧≤⎪⎪-≥⎨⎪<-⎪⎩，解得0m ≤.17.函数()29x x ax f b--=是定义在区间()3,3-上的奇函数，且()11.4f =（1）确定()f x 的解析式，并用定义证明()f x 在区间()3,3-上的单调性;（2）解关于t 的不等式()()10.f t f t -+<【答案】（1）()229xf x x =-；证明见解析（2）12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用函数在()3,3-上有定义且为奇函数，则()00f =，求出b 的值，再由()114f =求出a 的值，即可确定()f x 的解析式；直接利用定义法证明函数()f x 在()3,3-上的单调性；（2）由奇函数的性质知()()1f t f t -<-，由函数单调性得313331t t t t -<-<⎧⎪-<<⎨⎪-<-⎩，求解即可.【小问1详解】根据题意，函数()29ax bf x x -=-是定义在()3,3-上的奇函数，则()009bf -==，解可得0b =；又由()114f =，则有()1184a f ==，解可得2a =，则()229xf x x=-，又()()()222299x xf x f x x x --==-=----，符合题意，故()229xf x x=-.设1233x x -<<<，则()()()()()()2212211212222212122929229999x x x x x x f x f x x x x x ----=-=----()()()()121222122999x x x x x x +-=--，又由1233x x -<<<，则1290x x +>，120x x -<，2190x ->，2290x ->，则()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，则函数()f x 在()3,3-上为增函数；【小问2详解】由（1）知()f x 为奇函数且在()3,3-上为增函数.则()()()()101f t f t f t f t -+<⇒-<-()()1f t f t ⇒-<-，故313331t t t t-<-<⎧⎪-<<⎨⎪-<-⎩，解可得：122t -<<，即不等式的解集为12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.18.某机床厂今年年初用100万元购入一台数控机床，并立即投入生产使用.已知该机床在使用过程中所需要的各种支出费用总和t （单位：万元）与使用时间x （*,20x x ∈≤N ，单位：年）之间满足函数关系式为：228.t x x =+该机床每年的生产总收入为50万元.设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元.（盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用）.（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）？（3）该机床使用过程中，已知年平均折旧率为4%（固定资产使用1年后，价值的损耗与前一年价值的比率）.现对该机床的处理方案有两种：第一方案：当盈利额达到最大值时，再将该机床卖出；第二方案：当年平均盈利额达到最大值时，再将该机床卖出.研究一下哪种处理方案较为合理?请说明理由.（参考数据：70.960.751≈，80.960.721≈，90.960.693≈，100.960.665≈）【答案】（1）2242100y x x =-+-，()*,20x x ∈≤N （2）第3年（3）选第一方案较为合理，理由见解析【解析】【分析】（1）利用盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用，得到y 与x 之间的函数关系式；（2）令0y >，解一元二次不等式即可；（3）利用二次函数求最值，求出第一方案总获利，由100100242422y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭，利用函数单调性求出第二方案总获利，再比较即可.【小问1详解】由题意，使用过程中所需要的各种支出费用总和t 与使用时间x 之间的函数关系式为228t x x =+，且该机床每年的生产总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元，可得y 与x 之间的函数关系式()225028100242100y x x x x x =-+-=-+-，()*,20x x ∈≤N ；【小问2详解】由（1）知：2242100y x x =-+-，()*,20x x ∈≤N ，令0y >，可得22421000x x -+->，解得212412124122x -+<<，因为1516<<，所以521322-<<，213718.22+<<因为*x ∈N ，所以318x ≤≤且*x ∈N ，故从第3年开始盈利.【小问3详解】由（1）知2242100y x x =-+-，()*,20x x ∈≤N ，因为22212412421002()22y x x x =-+-=--+，所以当10x =或11x =时，营利额达到最大值为120万元，使用10年后机床剩余价值为：10100(14%)66.5-≈（万元），所以按第一方案处理，总获利为12066.5186.5+=（万元）；又由100100242422y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭，令()100422h x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，()020x <≤，12020x x ∀<<≤，则()()()()12121212121250100100222x x x x h x h x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=-+++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当120x x <<<时，12120,500x x x x -<-<，则()()120h x h x -<，即()()12h x h x <，因此可得ℎ在(上单调递增；1220x x <<≤时，12120,500x x x x -<->，则()()120h x h x ->，即()()12h x h x >，因此可得ℎ20⎤⎦上单调递减；又78<<，当7x =时，年平均盈利为967万元，当8x =时，年平均盈利为272万元，又962772>，所以当第7年时，年平均盈利额达到最大值，此时机床剩余价值为：7100(14%)75.1-≈（万元），所以按第二方案处理，总获利为96775.1171.17⨯+=（万元）.由于186.5171.1>，则选第一方案较为合理.【点睛】方法点睛：解答函数应用题的一般步骤：（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原：将数学问题还原为实际问题的意义．19.定义：对于定义在区间I 上的函数()f x 和正数(01)αα<≤，若存在正数M ，使不等式()()1212|f x f x M x x |α-≤-对任意1x ，2x I ∈恒成立，则称函数()f x 在区间I 上满足α阶李普希兹条件.（1）判断函数y x =，3y x =在R 上是否满足1阶李普希兹条件;（2）证明函数y =在区间[)1,+∞上满足12阶李普希兹条件，并求出M 的取值范围;（3）若函数y =[)1,+∞上满足α阶李普希兹条件，求α的范围.【答案】（1）y x =满足1阶李普希兹条件，3y x =不满足1阶李普希兹条件.（2）证明见解析，1M ≥（3）112α≤≤.【解析】【分析】（1）结合题意根据1阶李普希兹条件的含义即可求解；（2）结合已知条件以及题干定义即可求解.（3）分情况讨论α的取值范围结合定义从而即可求解.【小问1详解】y x =满足1阶李普希兹条件，3y x =不满足1阶李普希兹条件.理由：对于y x =，1212||||x x M x x -≤-，只需1M ≥，所以存在正数1M ≥，对任意1x ，2R x ∈使()()1212f x f x M x x -≤-成立，所以y x =满足1阶李普希兹条件；对于3y x =，331212||||x x M x x -≤-，不妨设12x x >，则≥12+12+22=1+22−12>()21234x x +，()[)212304y x x ∞=+∈+，，即不存在正数M ，使不等式()()1212f x f x M x x -≤-对任意1x ，2x I ∈恒成立，所以3y x =不满足1阶李普希兹条件.【小问2详解】证明：不妨设121x x >≥，()()12f x f x ∴-=()()()()()1212212120,1f x f x x x x x -∴=--，故1M ≥时，对1x ∀，[)21,x ∈+∞，均有()()121212()f x f x M xx -≤-，故函数y =在区间[)1,+∞上满足12阶李普希兹条件，1M ≥；【小问3详解】①首先证明102α<<时不成立，假设函数y =在区间[)1+∞，上满足1(02αα<<阶李普希兹条件，12()M x x α≤-，令124x x =，则有22(4)M x x α-≤-，即122221.3M x α-≥>=取()212231x M α-=+，则1221133x M α-=+，则13M M >+，矛盾，所以假设不成立.②然后证明112α≤≤时成立，不妨设12121(x x x x >≥=时显然成立)，令212(1)x k x k =>，()()(121f x f x k ∴-==-()22122221x x k x x k x ∴-=-=-；要证函数y =在区间[)1,∞+上满足112αα⎛⎫≤≤⎪⎝⎭阶李普希兹条件，只需证存在正数M12()M x x α≤-成立，即证(221(1)k M k x αα--，又1222211(1)(1)k k x k k ααα---≤--，当(k ∈时，22(1)1k k α-≥-，所以221111(1)11k k k k k α--≤=<--+；当)2k ∈时，1222(1)(1)k k α-≥-，所以211(1)k k α-≤=<-；当[)2,k ∞∈+时，121(1)(1)1(1)(1)(1)k k k k k k ααααα----=≤<-++，故取1M≥，不等式即可成立.综上，α的取值范围为1 1. 2α≤≤【点睛】难点点睛：本题考查函数新定义问题，难度大.解答时要根据题目所给α阶李普希兹条件的定义分析所给函数的结合不等式分析可解答.。
北京市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷含答案
2024年高一第一学期期中试卷数学（答案在最后）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合{}31M x x =-<<，{}14N x x =-≤<，则M N = （）A.{}31x x -<< B.{}3x x >- C.{}11x x -≤< D.{}4x x <2.设命题p ： n ∃∈N ，225n n >+，则p 的否定是（）A. n ∀∈N ，225n n >+ B. n ∀∈N ，225n n ≤+C.n ∃∈N ，225n n ≤+ D.n ∃∈N ，N 225n n <+3.下列各组函数中，两个函数相同的是（）A.3y =和y x=B.2y =和y x=C.y =和2y =D.y =和2x y x=4.下列函数在区间()0,+∞上为增函数的是（）A.2xy = B.()21y x =- C.1y x-= D.3xy -=5.若实数a ，b 满足a b >，则下列不等式成立的是（）A.a b> B.a c b c+>+ C.22a b > D.22ac bc>6.“4a ≥”是“二次函数()2f x x ax a =-+有零点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在下列区间中，一定包含函数()25xf x x =+-零点的区间是（）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,48.已知函数()1,01,0x f x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则使方程()x f x m +=有解的实数m 的取值范围是（）A.()1,2 B.(),2-∞- C.()(),12,-∞+∞ D.(][),12,-∞+∞ 9.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的[)()1212,0,x x x x ∈+∞≠，都有()()21210f x f x x x -<-，且()30f =，则不等式()0f x >的解集是（）A.()(),30,3-∞-B.()()3,03,-+∞C.()3,3- D.()(),33,-∞-+∞ 10.现实生活中，空旷田野间两根电线杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有相似的曲线形态，这类曲线在数学上常被称为悬链线.在合适的坐标系中，这类曲线可用函数()()2e 0,e 2.71828ex xa bf x ab +=≠=⋅⋅⋅来表示.下列结论正确的是（）A.若0ab >，则()f x 为奇函数B.若0ab >，则()f x 有最小值C.若0ab <，则()f x 为增函数D.若0ab <，则()f x 存在零点二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.函数()f x =的定义域为__________.12.已知函数()()1104f x x x x=++>，则当且仅当x =_________时，()f x 有最小值________.13.已知集合{}2,0A a =，{}3,9B a =-，若满足{}9A B = ，则实数a 的值为________.14.已知函数()y f x =在R 上是奇函数，当0x ≤时，()21xf x =-，则()1f =________；当0x >时，()f x =________.15.已知非空集合A ，B 满足以下四个条件：①{}1,2,3,4,5,6A B = ；②A B =∅ ；③A 中的元素个数不是A 中的元素；④B 中的元素个数不是B 中的元素.（ⅰ）如果集合A 中只有1个元素，那么集合A 的元素是__________；（ⅱ）有序集合对(),A B 的个数是__________.三、解答题（共6小题，第16题9分，第17-19题6分，第20题7分，第21题6分）16.已知集合{}14A x x =-≤≤，{}11B x a x a =-≤≤+.（1）若4a =，求A B ；（2）若A B A = ，求a 的取值范围.17.解下列关于x 的不等式：（1）2112x x +≤-（2）213x -≥（3）()()2220ax a x a +--≥∈R 18.已知函数()22xxf x a -=⋅-是定义在R 上的奇函数.（1）求a 的值，并用定义法证明()f x 在R 上单调递增；（2）解关于x 的不等式()()23540f x x f x -+->.19.某工厂要建造一个长方体的无盖贮水池，其容积为34800m ，深为3m ，如果池底造价为每平方米150元，池壁每平方米造价为120元，怎么设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？20.已知函数()()21f x mx m x m =--+.（1）若不等式()0f x >的解集为R ，求m 的取值范围；（2）若不等式()0f x ≤对一切()0,x ∈+∞恒成立，求m 的取值范围；21.设k 是正整数，集合A 至少有两个元素，且* N A ⊆.如果对于A 中的任意两个不同的元素x ，y ，都有x y k -≠，则称A 具有性质()P k .（1）试判断集合{}1,2,3,4B =和{}1,4,7,10C =是否具有性质()2P ？并说明理由；（2）若集合{}{}1212,,,1,2,,20A a a a =⋅⋅⋅⊆⋅⋅⋅，求证：A 不可能具有性质()3P ；（3）若集合{}1,2,,2023A ⊆⋅⋅⋅，且同时具有性质()4P 和()7P ，求集合A 中元素个数的最大值.高一第一学期期中试卷数学参考答案与试题解析一、选择题（共10小题）CBAABABDCD二、共填空题（共5小题）11.[)1,+∞12.12；213.-314.12；()12xf x -=-15.5；10三、解答题（共6小题）17.（1）{}23A B x x =≤≤ .（2）a 的取值范围是7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.16.（1）()3,2-；（2）(][),12,-∞-+∞ （3）综上所述：当0a =时，不等式解集为(],1-∞-；当0a >时，不等式解集为(]2,1,a ⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭；当20a -<<时，不等式解集为2,1a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；当2a =-时，不等式解集为{}1-；当2a <-时，不等式解集为21,a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.18.（1）1a =，证明略（2）()()()()()2235403544f x x f x f x x f x f x -+->⇒->--=-∴23542x x x x ->-⇒>或23x <-.19.水池总造价()()16001502331207201600150x f x xy x y x ⎛⎫=⨯++⨯=+⨯+⨯ ⎪⎝⎭72024000057600240000297600≥+=+=元.当且仅当40x m =，40y m =时取等号.∴设计水池底面为边长为40m 的正方形能使总造价最低，最低造价是297600元.20.（1）m 的取值范围为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）m 的取值范围为(],1-∞-；21.（1）集合B 不具有性质()2P ，集合C 具有性质()2P （2）证明：将集合{}1,2,,20⋅⋅⋅中的元素分为如下11个集合，{1，4}，{2，5}，{3，6}，{7，10}，{8，11}.{9，12}，{13，16}，{14，17}，{15，18}，{19}，{20}，所以从集合{}1,2,,20⋅⋅⋅中取12个元素，则前9个集合至少要选10个元素，所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为3，所以A 不可能具有性质()3P ；（3）先说明连续11项中集合A 中最多选取5项，以1，2，3……，11为例.构造抽屉{1，8}，{2，9}，{3，10}，{4，11}，{5}，{6}，{7}.①5，6，7同时选，因为具有性质()4P 和()7P ，所以选5则不选1，9；选6则不选2，10；选7则不选3，11；则只剩4，8.故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.②5，6，7选2个，若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选，又{4，11}只能选一个元素，3，8可以选，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.若选6，7，则2，3，10，11，5不可选，又{1，8}只能选一个元素，4，9可以选，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.③5，6，7中只选1个，又四个集合{1，8}，{2，9}，{3，10}，{4，11}每个集合至多选1个元素，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A 的元素至多只有5个，如取1，4，6，7，9.因为2023=183×11+10，则把每11个连续自然数分组，前183组每组至多选取5项；从2014开始，最后10个数至多选取5项，故集合A 的元素最多有184×5=920个.给出如下选取方法：从1，2，3……，11中选取1，4，6，7，9；然后在这5个数的基础上每次累加11，构造183次.此时集合A的元素为：1，4，6，7，9；12，15，17，18，20；23，26，28，29，31；……；2014，2017，2019，2020，2022，共920个元素.经检验可得该集合符合要求，故集合A的元素最多有920个.。
福建省厦门2024-2025学年高一上学期11月期中考试 数学含答案
福建省厦门2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题（答案在最后）（时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.2.选择题答案必须用2B 铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答.答案必须写在各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式作答无效.4.考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1},{2}M xx N x x =≥=<∣∣，则R ()M N ⋂=ð（）A.[1,2)B.(,1)[2,)-∞+∞ C.[0，1]D.(,0)[2,)-∞⋃+∞2.命题“20,310x x x ∃>-->”的否定是（）A.20,310x x x ∃>--≤B.20,310x x x ∃≤--≤C.20,310x x x ∀>--≤ D.20,310x x x ∀≤--≤3.函数()22()log 2f x x x =--的单调递减区间是（）A.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.(,1)∞-- C.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D.(2,)+∞4.已知函数()()()f x x a x b =--（其中a ，b 为常数，且b a <），若()f x 的图象如图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（）A.B.C.D.5.已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则（）．A.a b c >> B.a c b>> C.c a b>> D.c b a>>6.“函数()2()lg 1f x ax ax =-+的定义域为R ”是“04a <<”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.若函数)3()ln1f x mx n x =++（m ，n 为常数）在区间[]1,3上有最大值7，则()f x 在区间[3,1]--上（）A.有最大值6B.有最大值5C.有最小值5- D.有最小值7-8.已知函数()f x 对于任意x 、R y ∈，总有()()()2f x f y f x y +=++，且当0x >时，()2f x >，若已知()23f =，则不等式()()226f x f x +->的解集为（）A.()2,∞+ B.()1,+∞ C.()3,+∞ D.4,+∞二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设正数m ，n 满足1m n +=，则（）A.12m n+的最小值为3+B.+C.的最大值为14D.44m n +的最小值为410.声强级Li （单位：dB ）与声强I （单位：2/m ω）之间的关系是：010lgILi I =⨯，其中0I 指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为21/m ω，对应的声强级为120dB ，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为[]70,80（单位：dB ）．下列选项中正确的是（）A.闻阈的声强为1210－2/m ωB.声强级增加10dB ，则声强变为原来的2倍C.此歌唱家唱歌时的声强范围5410,10--⎡⎤⎣⎦（单位：2/m ω）D.如果声强变为原来的10倍，对应声强级增加10dB11.已知函数()21,2,5,2,xx f x a b c d x x ⎧-≤⎪=<<<⎨->⎪⎩，且()()()()f a f b f d f c ==<，则下列说法正确的是（）A.1c ≥ B.0a c +<C.25a d < D.222ab d ++的取值范围为()18,34三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知幂函数()y f x =的图象过点(，则()16f =______．13.411log 2324lg lg245(64)49---+-=__________.14.已知()f x 是定义在上的偶函数，且对x ∀∈R ，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在①A B A = ，②A B A = ，③A B =∅ 这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题：已知集合{}123A x a x a =-<<+，{}2280B x x x =--≤（1）当2a =时，求A B ；（2）若，求实数a 的取值范围．注：如果选择多个条件解答按第一个解答计分．16.已知函数()()log 1a f x x a =>，关于x 的不等式()1f x <的解集为(),m n ，且103m n +=.（1）求a 的值；（2）是否存在实数λ，使函数()()()2123,,93g x f x f x x λ⎡⎤⎡⎤=-+∈⎣⎦⎢⎥⎣⎦的最小值为34？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.17.已知()()()1m g x f x g x -=+的定义在上的奇函数，其中()g x 为指数函数，且()g x 的图象过点()2,9.（1）求实数m 的值，并求()f x 的解析式；（2）判断()f x 的单调性，并用单调性的定义加以证明.（3）若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()2132104f t t f mt ⎛⎫--+-≤ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围.18.随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）所满足的关系式：()60,030R 80,30120150x v k kx x <≤⎧⎪=∈⎨-<≤⎪-⎩.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时.（1）若车流速度v 不小于40千米/小时，求车流密度x 的取值范围；（2）隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y x v =⋅，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.2.236≈）19.若函数()f x 与区间D 同时满足：①区间D 为()f x 的定义域的子集，②对任意x D ∈，存在常数0M ≥，使得()f x M ≤成立，则称()f x 是区间D 上的有界函数，其中M 称为()f x 的一个上界.（注：涉及复合函数单调性求最值可直接使用单调性，不需要证明）（1）试判断函数()1923xxf x =-⋅，()22223xf x x x =-+是否为R 上的有界函数？并说明理由.（2）已知函数()121log 1x g x x +=-是区间[]2,3上的有界函数，设()g x 在区间[]2,3上的上界为M ，求M 的取值范围；（3）若函数()2313xxm f x m +⋅=+⋅，问：()f x 在区间[]0,1上是否存在上界M ？若存在，求出M 的取值范围；若不存在，请说明理由.福建省厦门2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题（时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.2.选择题答案必须用2B 铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答.答案必须写在各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式作答无效.4.考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1},{2}M xx N x x =≥=<∣∣，则R ()M N ⋂=ð（）A.[1,2)B.(,1)[2,)-∞+∞ C.[0，1]D.(,0)[2,)-∞⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】根据集合运算的定义计算．【详解】由已知{|12}M N x x =≤< 所以R (){|1M N x x ⋂=<ð或2}x ≥，故选：B ．2.命题“20,310x x x ∃>-->”的否定是（）A .20,310x x x ∃>--≤ B.20,310x x x ∃≤--≤C.20,310x x x ∀>--≤ D.20,310x x x ∀≤--≤【答案】C 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定形式，即可求解.【详解】命题“20,310x x x ∃>-->”的否定是“20,310x x x ∀>--≤”.故选：C3.函数()22()log 2f x x x =--的单调递减区间是（）A.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.(,1)∞-- C.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D.(2,)+∞【答案】B 【解析】【分析】由对数函数性质计算出定义域后，结合复合函数单调性的判定方法计算即可得.【详解】由题意可得()()22210x x x x --=-+>，解得2x >或1x <-，由2219224y x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，则其在(),1∞--上单调递减，在()2,∞+上单调递增，又2log y x =为单调递增函数，故()22()log 2f x x x =--的单调递减区间(),1∞--.故选：B.4.已知函数()()()f x x a x b =--（其中a ，b 为常数，且b a <），若()f x 的图象如图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】由图可得101b a <-<<<，计算出()0g 并结合指数函数性质即可得解.【详解】由图可得101b a <-<<<，则有()0010g a b b =+=+<，且该函数为单调递减函数，故B 、C 、D 错误，A 正确.故选：A.5.已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则（）．A.a b c >> B.a c b>> C.c a b>> D.c b a>>【答案】C 【解析】【详解】试题分析：因为13212112(0,1),log 0,log 1,33a b c -=∈==所以.b a c <<选C ．考点：比较大小6.“函数()2()lg 1f x ax ax =-+的定义域为R ”是“04a <<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【详解】若函数()2()lg 1f x ax ax =-+的定义域为，则当0a =，()lg10f x ==，符合要求；当0a ≠时，有2Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解得04a <<；综上所述，04a ≤<，故“函数()2()lg 1f x ax ax =-+的定义域为”是“04a <<”的必要不充分条件.故选：B .7.若函数)3()ln1f x mx n x =++（m ，n 为常数）在区间[]1,3上有最大值7，则()f x 在区间[3,1]--上（）A.有最大值6B.有最大值5C.有最小值5- D.有最小值7-【答案】C【解析】【分析】构造新函数()()1g x f x =-为奇函数，利用奇函数求解．【详解】设3()()1)g x f x mx n x =-=+，则333()))()g x mx n x mx n mx n x g x -=-+-=-+=--+=-，所以()g x 是奇函数，()f x 在[1,3]上有最大值7，则()g x 在[1,3]上有最大值6，所以()g x 在[3,1]--上有最小值6-，于是()f x 在区间[3,1]--上有最小值5-，故选：C ．8.已知函数()f x 对于任意x 、R y ∈，总有()()()2f x f y f x y +=++，且当0x >时，()2f x >，若已知()23f =，则不等式()()226f x f x +->的解集为（）A.()2,∞+ B.()1,+∞ C.()3,+∞ D.4,+∞【答案】A 【解析】【分析】设()()2g x f x =-，分析出函数()g x 为R 上的增函数，将所求不等式变形为()()324g x g ->，可得出324x ->，即可求得原不等式的解集.【详解】令()()2g x f x =-，则()()2f x g x =+，对任意的x 、R y ∈，总有()()()2f x f y f x y +=++，则()()()g x g y g x y +=+，令0y =，可得()()()0g x g g x +=，可得()00g =，令y x =-时，则由()()()00g x g x g +-==，即()()g x g x -=-，当0x >时，()2f x >，即()0g x >，任取1x 、2x R ∈且12x x >，则()()()12120g x g x g x x +-=->，即()()120g x g x ->，即()()12g x g x >，所以，函数()g x 在R 上为增函数，且有()()2221g f =-=，由()()226f x f x +->，可得()()2246g x g x +-+>，即()()()2222g x g x g +->，所以，()()()32224g x g g ->=，所以，324x ->，解得2x >.因此，不等式()()226f x f x +->的解集为()2,∞+.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设正数m ，n 满足1m n +=，则（）A.12m n+的最小值为3+ B.+C.的最大值为14D.44m n +的最小值为4【答案】ABD 【解析】【分析】借助基本不等式中“1”的活用可得A ；由1m n +=+出后利用基本不等式计算可得B ；直接运用基本不等式可得C ；结合基本不等式与同底数幂的乘法运算可得D.【详解】由m ，n 为正数，且满足1m n +=，则有：对A ：()121221233n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=+++≥++ ⎪⎝⎭，当且仅当2n mm n=，即2n ==-时，等号成立，故A 正确；对B ：21m n +=-，则22122⎛++-= ⎝⎭，当且仅当12m n ==时，等号成立，即22≤+≤，故B 正确；对C ：1m n +=≥，当且仅当12m n ==时，等号成立，12≤，故C 错误；对D ：444m n ≥==+，当且仅当12m n ==时，等号成立，故D 正确.故选：ABD.10.声强级Li （单位：dB ）与声强I （单位：2/m ω）之间的关系是：010lgILi I =⨯，其中0I 指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为21/m ω，对应的声强级为120dB ，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为[]70,80（单位：dB ）．下列选项中正确的是（）A.闻阈的声强为1210－2/m ωB.声强级增加10dB ，则声强变为原来的2倍C.此歌唱家唱歌时的声强范围5410,10--⎡⎤⎣⎦（单位：2/m ω）D.如果声强变为原来的10倍，对应声强级增加10dB 【答案】ACD 【解析】【分析】依题意求出0I ，即可判断A ；将70Li =、80Li =代入求声强范围判断C ；设声强变为原来的k 倍，对应声强级增加10dB ，依题意得到方程，解得k ，即可判断B 、D.【详解】解：由题意0110lg120I =，即01lg 12I =，所以120110I =，所以12010I -=2ω/m ，故1210lg(10)12010lg Li I I ==+，故A 正确；若70Li =dB ，即10lg 50I =-，则510I -=2ω/m ；若80Li =dB ，即10lg 40I =-，则410I -=2ω/m ，故歌唱家唱歌时的声强范围5410,10--⎡⎤⎣⎦（单位：2ω/m ），C 正确；设声强变为原来的k 倍，对应声强级增加10dB ，则()()12010lg 12010lg 10kI I +-+=，解得10k =，即如果声强变为原来的10倍，对应声强级增加10dB ，故D 正确，B 错误；故选：ACD11.已知函数()21,2,5,2,xx f x a b c d x x ⎧-≤⎪=<<<⎨->⎪⎩，且()()()()f a f b f d f c ==<，则下列说法正确的是（）A.1c ≥ B.0a c +<C.25a d < D.222ab d ++的取值范围为()18,34【答案】CD 【解析】【分析】作出函数图像判断A ，举反例判断B ，转化为一元函数，利用二次函数的性质判断C ，指数函数的性质判断D 即可.【详解】结合函数()f x 的图象可知，()0,01,4,5a b d <<<∈，由c b >，得不出1c ≥，故A 错误，令1,2a c =-=，此时()()132f a f c =<=，但是0a c +>，故B 错误.因为215a d -=-，所以125a d -=-，所以24a d =-，则()24a d d d =-，又()4,5d ∈，所以()2244()a d d d d d f d =-=-=，由二次函数性质得()f d 在()4,5上单调递增，故()(5)5f d f <=，所以C 正确.因为2121a b-=-，所以222a b +=，故22222a b d d =+++，令2()2d g d +=，由指数函数性质得()g d 在()4,5上单调递增，所以222a b d ++的取值范围为(18,34)，故D 正确.故选：CD【点睛】关键点点睛：本题考查求多变元表达式的范围，解题关键是合理利用函数图像找到变量关系，构造一元函数，然后利用指数函数的性质得到所要求的取值范围即可．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知幂函数()y f x =的图象过点(，则()16f =______．【答案】4【解析】【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求(16)f 的值【详解】解：由题意令()a y f x x ==，由于图象过点，2a =，12a =12()y f x x∴==12(16)164f ∴==故答案为：4．【点睛】本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质，能根据幂函数的性质求其解析式，求函数值，属于基础题．13.411log 2324lg lg245(64)49---+-=__________.【答案】3-【解析】【分析】根据条件，利用指对数的运算法则，即可求出结果.【详解】因为4411log 1log 232214lg lg245(64)44lg 2lg 49(lg 5lg 49)44(lg 2lg 5)43492---+-=⨯-+-+-=⨯-+-=-，故答案为：3-.14.已知()f x 是定义在上的偶函数，且对x ∀∈R ，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()112x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是______.2a ≤<【解析】【分析】先根据题意分析函数()f x 的对称性及周期性；再利用函数的对称性和周期性作出函数()f x 在[]2,6-上的图象；最后数形结合列出不等式组求解即可.【详解】由(2)(2)f x f x -=+，可得：()()4f x f x -=+，又因为()f x 是定义在R 上的偶函数，则−=，且函数()f x 图象关于y 轴对称，所以()()4f x f x +=，即()f x 的周期为4，作出函数1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]2,0x ∈-上的图象，根据()f x 对称性及周期为4，可得出()f x 在[]2,6-上的图象：令()()()log 21a g x x a =+>，若在区间(2,6]-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则函数()f x 与函数()log (2)(1)a g x x a =+>在(2,6]-上至少有2个不同的交点，至多有3个不同的交点，所以()()()()2266g f g f ⎧≤⎪⎨>⎪⎩，即()()log 223log 623a a ⎧+≤⎪⎨+>⎪⎩2a ≤<.2a ≤<.【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质的综合应用，函数与方程的综合应用及数形结合思想.解题关键在于根据题意分析出分析函数()f x 的对称性及周期性，并作出()f x 和()g x 图象；将方程根的问题转化为函数图象交点问题，数形结合解答即可.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在①A B A = ，②A B A = ，③A B =∅ 这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题：已知集合{}123A x a x a =-<<+，{}2280B x x x =--≤（1）当2a =时，求A B ；（2）若，求实数a 的取值范围．注：如果选择多个条件解答按第一个解答计分．【答案】（1）{}27A B x x ⋃=-≤<（2）答案见解析【解析】【分析】（1）代入a 的值表示出A ，求解出一元二次不等式的解集表示出B ，根据并集运算求解出结果；（2）若选①：根据条件得到A B ⊆，然后分类讨论A 是否为空集，由此列出不等式组求解出结果；若选②：根据条件得到B A ⊆，然后列出不等式组求解出结果；若选③：根据交集结果分析,A B 集合的端点值的关系，列出不等式并求解出结果.【小问1详解】当2a =时，{}17A x x =<<，{}{}228024B x x x x x =--≤=-≤≤，因此，{}27A B x x ⋃=-≤<．【小问2详解】选①，因为A B A = ，可得A B ⊆．当123a a -≥+时，即当4a ≤-时，A B =∅⊆，合乎题意；当123a a -<+时，即当4a >-时，A ≠∅，由A B ⊆可得12234a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得112a -≤≤，此时112a -≤≤．综上所述，实数a 的取值范围是{4a a ≤-或112a ⎫-≤≤⎬⎭；选②，因为A B A = ，可得B A ⊆．可得12234123a a a a -≤-⎧⎪+≥⎨⎪-<+⎩，此时不等式组无解，所以实数a 的取值范围是∅；选③，当123a a -≥+时，即当4a ≤-时，A =∅，A B =∅ ，满足题意；当123a a -<+时，即当4a >-时，A ≠∅，因为A B =∅ ，则232a +≤-或14a -≥，解得52a ≤-或5a ≥，此时542a -<≤-或5a ≥，综上所述，实数a 的取值范围是52a a ⎧≤-⎨⎩或}5a ≥．16.已知函数()()log 1a f x x a =>，关于x 的不等式()1f x <的解集为(),m n ，且103m n +=.（1）求a 的值；（2）是否存在实数λ，使函数()()()2123,,93g x f x f x x λ⎡⎤⎡⎤=-+∈⎣⎦⎢⎥⎣⎦的最小值为34？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）3a =（2）138λ=-或32【解析】【分析】（1）先根据()1f x <，求出不等式的解，结合103n m +=可得a 的值；（2）利用换元法，把函数()g x 转化为二次函数，结合二次函数区间最值法求解.【小问1详解】由log 1a x <可得1log 1a x -<<，又1a >，所以1x a a <<，又因为()1f x <的解集为(),m n ，所以1,n a m a ==，因为103n m +=，所以1103a a +=，即()()231033130a a a a -+=--=，解得3a =或13a =，因为1a >，所以3a =；【小问2详解】由（1）可得()()2331log 2log 3,,93g x x x x λ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦，令31log ,,93t x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则[]1,2t ∈-，设()[]223,1,2h t t t t λ=-+∈-，①当1λ≤-时，()h t 在[]1,2-上单调递增，则()()min 31424h t h λ=-=+=，解得138λ=-，符合要求；②当12λ-<<时，()h t 在[]1,λ-上单调递减，在[],2λ上单调递增，()()22min 3234h t h λλλ==-+=，解得32λ=±，又12λ-<<，故32λ=；③当2λ≥时，()h t 在[]1,2-上单调递减，()()min 324434h t h λ==-+=，解得25216λ=<，不合题意；综上所述，存在实数138λ=-或32符合题意.17.已知()()()1m g x f x g x -=+的定义在上的奇函数，其中()g x 为指数函数，且()g x 的图象过点()2,9.（1）求实数m 的值，并求()f x 的解析式；（2）判断()f x 的单调性，并用单调性的定义加以证明.（3）若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()2132104f t t f mt ⎛⎫--+-≤ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1m =，()1313xxf x -=+（2）()f x 在R 上单调递减，证明见解析（3）178m ≥【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求出()g x 的表达式，结合奇函数性质计算即可得解；（2）设12x x <，从而计算()()12f x f x -的正负即可得证；（3）由奇函数性质结合函数单调性可得212134mt t t -≥+对[]1,2t ∈恒成立，构造二次函()()21284h t t m t =+-+，结合二次函数性质可得()()1020h h ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，解出即可得.【小问1详解】设()()0,1x g x a a a =>≠，由()g x 的图象过点()2,9，可得29a =，∴3a =（负值舍去），即()3x g x =，故函数()()()3113xxm g x m f x g x --==++，由()f x 为奇函数，可得()()()01001011m g m f g --===++，∴1m =，即()1313xx f x -=+,满足()()13311313x x x x f x f x -----===-++，即()f x 为奇函数，故1m =；【小问2详解】()f x 在R 上单调递减，证明如下：()()2131321131313x x x x x f x -+-===-+++，设12x x <，则12033x x <<，则()()()()()211212122332213131313x x x x x x f x f x --=-=++++，结合12033x x <<，可得()212330x x ->，∴()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，故()f x 在R 上单调递减；【小问3详解】由()2132104f t t f mt ⎛⎫--+-≤ ⎪⎝⎭且()f x 为奇函数，所以()212134f mt f t t ⎛⎫-≤+ ⎪⎝⎭，又()f x 在R 上单调递减，所以212134mt t t -≥+对[]1,2t ∈恒成立，所以()212840t m t +-+≤对[]1,2t ∈恒成立，令()()21284h t t m t =+-+，所以有()()1020h h ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，即1128404241640m m +-+≤⎧⎨+-+≤⎩，解得178m ≥.18.随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）所满足的关系式：()60,030R 80,30120150x v k k x x <≤⎧⎪=∈⎨-<≤⎪-⎩.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时.（1）若车流速度v 不小于40千米/小时，求车流密度x 的取值范围；（2）隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y x v =⋅，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.2.236≈）【答案】（1）车流密度x 的取值范围是(]0,90（2）隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米.【解析】【分析】（1）根据题意得2400k =，再根据分段函数解不等式即可得答案；（2）由题意得60,030240080,30120150x x y x x x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩，再根据基本不等式求解最值即可得答案.【小问1详解】解：由题意知当120x =（辆/千米）时，0v =（千米/小时），代入80150k v x=--，解得2400k =，所以60,030240080,30120150x v x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩.当030x <≤时，6040v =≥，符合题意；当30120x <≤时，令24008040150x-≥-，解得90x ≤，所以3090x <≤.所以，若车流速度v 不小于40千米/小时，则车流密度x 的取值范围是(]0,90.【小问2详解】解：由题意得60,030240080,30120150x x y x x x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩，当030x <≤时，60y x =为增函数，所以1800y ≤，当30x =时等号成立；当30120x <≤时，()()2150180150450024004500808080180150150150150x x x y x x x xx --+--⎡⎤⎛⎫=-==--+ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎣⎦4800(33667≤-≈.当且仅当4500150150x x-=-，即30(583x =-≈时等号成立.所以，隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米.19.若函数()f x 与区间D 同时满足：①区间D 为()f x 的定义域的子集，②对任意x D ∈，存在常数0M ≥，使得()f x M ≤成立，则称()f x 是区间D 上的有界函数，其中M 称为()f x 的一个上界.（注：涉及复合函数单调性求最值可直接使用单调性，不需要证明）（1）试判断函数()1923x x f x =-⋅，()22223x f x x x =-+是否为R 上的有界函数？并说明理由.（2）已知函数()121log 1x g x x +=-是区间[]2,3上的有界函数，设()g x 在区间[]2,3上的上界为M ，求M 的取值范围；（3）若函数()2313xx m f x m +⋅=+⋅，问：()f x 在区间[]0,1上是否存在上界M ？若存在，求出M 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()1f x 不是R 上的有界函数，()2f x 是R 上的有界函数（2）[)2log 3,+∞（3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据有界函数的定义，分别计算出()1f x 及()2f x 的值域即可判断；（2）先求解函数()g x 的值域，进而求解()g x 的取值范围，再根据有界函数的定义确定上界M 的取值范围；（3）先求解函数()f x 及()f x ，再根据有界函数的定义，讨论m 取不同数值时，函数是否存在上界，并求解出对应的上界范围.【小问1详解】()()21923311x x x f x =-⋅=-- ，()1f x ∴的值域为[)1,-+∞()1f x ∴不是R 上的有界函数；()22223x f x x x =-+，则()200f =，当0x ≠时，()22223232x f x x x x x ==-++-，当0x >时，3x x +≥=x =则()2102f x <≤，当0x <时，33x x x x ⎛⎫+=--+≤-- ⎪-⎝⎭，当且仅当x =则()2102f x ->≥，综上可得，()211,22f x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即有()212f x +≤在R 上恒成立，()2f x ∴是R 上的有界函数；【小问2详解】()112212log log 111x g x x x +⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭，易知()g x 在区间[]2,3上单调递增，∴()[][]2log 3,1,2,3g x x ∈--∈，∴()[]1221log 1,log 31x g x x +=∈-，所以上界M 构成的集合为[)2log 3,+∞；【小问3详解】()23113311x x x m f x m m +⋅==++⋅+⋅，当0m =时，()2f x =，()2f x =，此时M 的取值范围是[)2,+∞，当0m >时，()1311x f x m =++⋅在[]0,1上是单调递减函数，其值域为()232,131m m f x m m ++⎡⎤∈⎢⎥++⎣⎦，故()232,131m m f x m m ++⎡⎤∈⎢⎥++⎣⎦，此时M 的取值范围是2,1m m +⎡⎫+∞⎪⎢+⎣⎭，当0m <时，[]1331,1xm m m +⋅∈++，若()f x 在[]0,1上是有界函数，则区间[]0,1为()f x 定义域的子集，所以[]31,1m m ++不包含0，所以310m +>或10+<m ，解得：1m <-或103m -<<，0m <时，()1311x f x m =++⋅在[]0,1上是单调递增函数，此时()f x 的值域为232,131m m m m ++⎡⎤⎢⎥++⎣⎦，①232311m m m m ++≥++，即33m --≤或103m -<<时，()32323131m m f x m m ++≤=++，此时M 的取值范围是32,31m m +⎡⎫+∞⎪⎢+⎣⎭，②232311m m m m ++<++，即313m --<<-时，()2211m m f x m m ++≤=-++，此时M 的取值范围是2,1m m +⎡⎫-+∞⎪⎢+⎣⎭，综上：当0m ≥时，存在上界M ，2,1m M m +⎡⎫∈+∞⎪⎢+⎣⎭；当13m ≤--或103m -<<时，存在上界M ，32,31m M m +⎡⎫∈+∞⎪⎢+⎣⎭；当113m --<<-时，存在上界M ，2,1m M m +⎡⎫∈-+∞⎪⎢+⎣⎭，当113m -≤≤-时，此时不存在上界M ．【点睛】关键点点睛，本题关键点在于求出所给函数在对应定义域范围内的值域，从而可结合定义，得到该函数是否为有界函数.。
2024-2025学年酒泉市高一数学上学期期中考试卷及答案解析
2024—2025学年高一上学期期中考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合3{|5}A x x =<，{3,1,0,2,3}B =--，则A B = （ ）A. {1,0}- B. {2,3} C. {1,0,2}- D. {3,1,0}--【答案】D 【解析】【分析】求出集合{A x x =，再利用交集运算即可求解.【详解】由题意可得集合{A x x =，因为12<<，且{3,1,0,2,3}B =--，则{}3,1,0A B ⋂=--，故D 正确.故选：D.2. 下列命题中正确的是（ ）A. 若0a b >>，则22a b > B. 若a b <，则22ac bc <C. 若a b <，则11a b> D. 若a b >，则ac bc>【答案】A 【解析】【分析】根据不等式的性质判断A ；举反例判断BCD.【详解】对于选项A ：若0a b >>，由不等式性质可得22a b >，故A 正确；的对于选项BD ：例如0c =，可得220ac bc ==，0ac bc ==，故BD 错误；对于选项C ：利用1,1a b =-=，可得111,1a b =-=，即11a b<，故C 错误；故选：A.3. 已知命题2:,230p x ax x ∀∈++>R 为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1|02a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ B. 1|03a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ C. 1|3a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ D. 1|3a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】【分析】问题转化为不等式2230ax x ++>的解集为R ，根据一元二次不等式解集的形式求参数的值.【详解】因为命题2:,230p x ax x ∀∈++>R 为真命题，所以不等式2230ax x ++>的解集为R .所以：若0a =，则不等式2230ax x ++>可化为230x +>⇒32x >-，不等式解集不是R ；若0a ≠，则根据一元二次不等式解集的形式可知：20Δ2120a a >⎧⎨=-<⎩⇒13a >.综上可知：13a >故选：D4. 已知函数()235,1,28,1,x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩则()()2f f 的值为（ ）A. 4 B. 5 C. 8 D. 0【答案】B 【解析】【分析】根据分段函数的解析式求得正确答案.【详解】因为f (x )=3x +5,x ≤1,−2x 2+8,x >1,所以()222280f =-⨯+=，所以()()()203055ff f ==⨯+=.故选：B5. 下列函数中，既是奇函数又在区间()0,∞+上单调递增的是（ ）A. ()1f x x=B. ()exf x =C. ()2f x x = D. ()1f x x x=-【答案】D 【解析】【分析】由常见函数的函数图像即可判断奇偶性和在区间()0,∞+上的单调性，即可得出结论.【详解】函数()1f x x=是奇函数，在区间()0,∞+上单调递减，故A 不符合题意；函数()e xf x =是非奇非偶函数，在区间()0,∞+上单调递增，故B 不符合题意；函数()2f x x =是偶函数，在区间()0,∞+上单调递增，故C 不符合题意；函数()1f x x x=-的定义域为()(),00,-∞+∞ ，且满足()()1f x x f x x -=-+=-，又函数y x =和1y x =-均在区间()0,∞+上单调递增，所以函数()1f x x x =-在区间()0,∞+上单调递增，即函数()1f x x x=-既是奇函数，又在区间()0,∞+上单调递增，符合题意.故选：D.6. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，且当0x ≤时，()22x af x =+，则()1f =（ ）A. 2 B. 4C. 2-D. 4-【答案】A 【解析】【分析】利用题意结合奇函数的定义判断()f x 是奇函数，再利用奇函数的性质求解即可.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，所以()f x 是奇函数，且()00f =，故0202a+=，解得2a =-，故当0x ≤时，()222x f x =-+，由奇函数性质得()()11f f =--，而()121222f --=-+=-，故()()112f f =--=，故A 正确.故选：A7. 已知2345a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3423b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，5349c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. a c b >>D. c a b>>【答案】A 【解析】【分析】根据幂函数、指数函数的单调性判定大小即可.【详解】易知3362555422933c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭定义域上单调递减，36145<<，所以23b c >>，易知()230y xx =>单调递增，432543>>，则223334422533a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=>>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，综上a b c >>.故选：A8. 函数()1,4,11x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪-⎩的值域为（ ）A. [)5,5,4⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦B. 5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. [)3,4,4⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ D. 3,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】由分段函数解析式，利用换元法可求得1x ≤时函数()f x 的值域为5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，再由基本不等式可求得当1x >时，函数()f x 的值域为[)5,+∞，即可得出结论.【详解】根据题意当1x ≤时，()f x x =t =，可得[)0,t ∈+∞，所以21x t =-，因此可得()2215124f t t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭；由二次函数性质可得当12t =，即34x =时，()1f x x x =≤取得最大值54，此时()1f x x x =+≤的值域为5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；当1x >时，()44111511f x x x x x =+=-++≥+=--，当且仅当411x x -=-，即3x =时，等号成立；此时()4,11f x x x x =+≥-的最小值为5，因此()4,11f x x x x =+≥-的值域为[)5,+∞；综上可得，函数()f x 的值域为[)5,5,4⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦.故选：A【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用分段函数()f x 的解析式，由各段的函数性质利用换元法和基本不等式即可求得函数值域.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的有（ ）A. “1a >”是“11a<”的充分不必要条件B. 命题“21,1x x ∀<<”的否定是“1x ∃≥，21x ≥”C. 若a b >，则22a b c c >D. 若0a >，0b >，且41a b +=，则11a b+的最小值为9【答案】ACD 【解析】【分析】根据充分和必要条件，全称量词命题的否定、不等式、基本不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】选项A ，若1a >，则11a <；若11a<，则a 有可能是负数，此时1a >不成立，故“1a >”是“11a<”的充分不必要条件，正确，符合题意；选项B ，命题“1x ∀<，21x <”的否定是“21,1x x ∃<≥”，错误，不符合题意；选项C ，若a b >，则22a b c c>，正确，符合题意；选项D ，若0a >，0b >，且41a b +=，则()1111441459b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即13a =，16b =时，取等号，故11a b+的最小值为9，正确，符合题意.故选：ACD10. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()22f x x x =-，则下列结论正确的是（ ）A. ()f x 的单调递增区间为(),1∞--和()1,+∞B. ()0f x =有3个根C. ()0xf x <的解集为()()2,00,2-⋃D. 当0x <时，()22f x x x=-+【答案】ABC 【解析】【分析】先求得0x <时()f x 的解析式判断选项D ；求得()f x 的单调递增区间判断选项A ；求得()0f x =的根的个数判断选项B ；求得()0xf x <的解集判断选项C.【详解】由()f x 是定义在R 上的奇函数知，对任意x ∈R ，()()f x f x -=-.当0x <时，0x ->，又当0x ≥时，()22f x x x =-，所以()()()()2222f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=--⎣⎦，故D 错误.由上可知()222,0,2,0,x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩又抛物线22y x x =-的对称轴为直线1x =，开口向上，抛物线22yx x =--的对称轴为直线1x =-，开口向下，结合二次函数的性质知()f x 的单调递增区间为(),1∞--和()1,+∞，故A 正确.由()0f x =可得2020x x x ≥⎧⎨-=⎩或220x x x <⎧⎨--=⎩解之得，0x =或2x =或2x =-，故B 正确.由()0xf x <，可得2020x x x <⎧⎨-->⎩或220x x x >⎧⎨-<⎩解得20x -<<或02x <<，故C 正确.故选：ABC11. 已知函数2,0()2,0x x x f x x ⎧≥=⎨<⎩，则下列判断错误的是（ ）A. ()f x 是奇函数B. ()f x 的图像与直线1y =有两个交点C. ()f x 的值域是[0,)+∞D. ()f x 在区间(,0)-∞上是减函数【答案】AB 【解析】【分析】根据分段函数的解析式及基本初等函数的图象与性质逐一分析即可.【详解】如图所示，作出函数图象，显然图象不关于原点中心对称，故A 不正确；函数图象与直线1y =有一个交点，故B 错误；函数的值域为[0,)+∞，且在区间(,0)-∞上是减函数，即C 、D 正确；故选：AB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 能说明“关于x 的不等式220x ax a -+>在R 上恒成立”为假命题的实数a 的一个取值为_________.【答案】0（答案不唯一）【解析】【分析】将关于x 的不等式220x ax a -+>在R 上恒成立问题转化为0∆<，从而得到a 的取值范围，命题为假命题时a 的取值范围是真命题时的补集，即可得a 的取值.【详解】若不等式220x ax a -+>在R 上恒成立，则()2420a a ∆=--⨯<，解得08a <<，所以该命题为假命题时实数a 的取值范围是08a a ≤≥或，.所以实数a 一个取值为0.故答案为：0（答案不唯一，只要满足“0a ≤或8a ≥”即可）.13. 已知函数()21,02,6,2,x x f x x x ⎧-≤<=⎨-≥⎩则不等式()12f x x >的解集为______.【答案】()1,4【解析】【分析】在同一直角坐标系中，作出函数y =f (x )及12y x =的图象，即可求得不等式()12f x x >的解集.【详解】在同一直角坐标系中，作出函数y =f (x )及12y x =的图象如下：由图可知不等式()12f x x >的解集为(1,4).故答案为：(1,4)14. 已知正数,x y 满足328x y -=，则3x y+的最小值为______.【答案】9【解析】【分析】先根据指数运算求出33x y =+，代入3x y+中，再利用基本不等式可得最小值.【详解】33282x y y -==，可得33x y =+，又0,0x y >>，所以3333239x y y y +=++≥⨯+=，的当且仅当1y y=，即1y =时取得最小值.故答案为：9四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 设全集R U =，集合{}15A x x =≤≤，集合{}122B x a x a =--≤≤-.（1）若4a =，求A B ，()U A B ⋂ð；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（1）A ∪B ={x |−9≤x ≤5},(){}U 25A B x x ⋂=<≤ð; （2）13a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.【解析】【分析】（1）根据并集与交集，补集的概念直接计算.（2）根据集合间的包含关系，列不等式，解不等式即可.【小问1详解】因为4a =，所以{}92B x x =-≤≤.因为{}15A x x =≤≤，所以{}95A B x x ⋃=-≤≤.因为R U =，所以{9U B x x =<-ð或}2x >，所以(){}25U A B x x ⋂=<≤ð.【小问2详解】因为B A ⊆.①当B =∅时，满足B A ⊆，此时122a a -->-，解得13a <；②当B ≠∅时，要满足B A ⊆，则121,25,122,a a a a --≥⎧⎪-≤⎨⎪--≤-⎩解得a ∈∅综上所述，实数a 的取值范围是13a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.16. 已知()y f x =在()0,∞+上有意义，单调递增且满足()()()()21,f f xy f x f y ==+．（1）求证：()()22f xf x =；（2）求不等式的()()32f x f x ++≤的解集．.【答案】（1）证明见解析 （2）{}|01x x <≤【解析】【分析】（1）根据条件，通过令y x =，即可证明结果；（2）根据条件得到()()()34f x x f +≤，再利用()f x 在区间()0,∞+上的单调性，即可求出结果.【小问1详解】因为()()()f xy f x f y =+，令y x =，得到()()()()22f x f x f x f x =+=，所以()()22f xf x =.【小问2详解】()()()()()()332224f x f x f x x f f ++=+≤== ，又函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增，所以()03034x x x x ⎧>⎪+>⎨⎪+≤⎩，解得01x <≤，所以不等式的()()32f x f x ++≤的解集为{}|01x x <≤.17. 已知函数()21x bf x ax +=+，点()1,5A ，()2,4B 是()f x 图象上的两点.（1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 在[]1,3上的最大值和最小值.【答案】（1）18a b =⎧⎨=⎩（2）max ()5f x =，min 7()2f x =【解析】【分析】（1）把图象上的两点代入函数解析式，由方程组求a ，b 的值；（2）定义法求函数单调性，由单调性求最值.小问1详解】因为点()1,5A ，()2,4B 是()f x 图象上的两点，【所以2514421b a b a +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，解得18a b =⎧⎨=⎩.【小问2详解】设1213x x ≤<≤，则()()()()()2112121212628281111x x x x f x f x x x x x -++-=-=++++，因为1213x x ≤<≤，所以210x x ->，()()12110x x ++>，则()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()281x f x x +=+在[]1,3上单调递减.故()max ()15f x f ==，()min 7()32f x f ==.18. 已知函数()122x f x =+.（1）求()0f 与()2f ，()1f -与()3f 的值；（2）由（1）中求得的结果，猜想f(x)与()2f x -的关系并证明你的猜想；（3）求()()()()()()()2020201901220212022f f f f f f f -+-+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++的值.【答案】（1））()103f =，()126f =，()215f -=，()1310f = （2）()()122f x f x +-=，证明见解析 （3）40434【解析】【分析】（1）根据题意代入0，2，-1，3求值即可；（2）根据（1）的结果猜想()()122f x f x +-=，计算()()2f x f x +-的值即可证明；（3）根据（2）的结果可得1(2020)(2022)2f f -+=，根据规律计算即可求解.【小问1详解】解：因为()122x f x =+，故11(0)123f ==+，211(2)226f ==+，112(1)225f --==+，311(3)2210f ==+.【小问2详解】解：猜想：()()122f x f x +-=，证明：∵对于任意的x R ∈，都有2221122(2)2222222(22)22x x x x x x f x --====++⨯++∴221()(2)2(22)2x x f x f x ++-==+.故()()122f x f x +-=.【小问3详解】解：由（2）得()()122f x f x +-=，故(2020)(22022)f f -=-，1(2020)(2022)2f f -+=，1(2019)(2021)2f f -+=，所以()()()()()()()2020201901220212022f f f f f f f -+-+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++()()()()()()()2020202220192021(1)(3)021f f f f f f f f f =-++-+⋅⋅⋅+-++++1140432021244=⨯+=.19. 已知()f x 满足 ()()()(),f x f y f x y x y +=+∈R ，且0x >时，()0f x < .（1）判断()f x 的单调性并证明；（2）证明：()()f x f x -=-；（3）若()12f =-，解不等式()2260f x x -->．【答案】（1）减函数，证明见解析（2）证明见解析 （3）{|1x x <-或}3x >．【解析】【分析】（1）利用函数的单调性定义证明；（2）采用赋值法探索()f x -与()f x 之间的关系；（3）利用单调性及特殊点的函数值解不等式即可.【小问1详解】()f x 是R 上的减函数，证明如下：对任意12,x x ∈R 且12x x <，则210x x ->，所以()210f x x -<；又()()()1212f x f x x f x +-=即()()()21210f x f x f x x -=-<，所以()()21f x f x <.所以()f x 是R 上的减函数.【小问2详解】由()()()f x f y f x y +=+，令y x =-，得()()()0f x f x f +-=；再令0x =可得()()()000f f f +=⇒()00f =；()()0f x f x ∴-+=即()()f x f x -=-.【小问3详解】()()()()122114f f f f =-⇒=+=-，()()()3216f f f =+=-，()2260f x x ∴-->，即()()()2233f x x f f ->-=-，又()f x 是R 上的减函数，所以223x x -<-⇒2230x x -->，解得：1x <-或3x >，所以不等式的解集为{|1x x <-或}3x >.。
2024-2025学年兰州市高一数学上学期期中考试卷附答案解析
2024-2025学年兰州市高一数学上学期期中考试卷试题满分：150分，答题时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{0},{12}A x x B x x =>=-<<∣∣，若A B = （）A.{2}xx <∣ B.{02}xx <<∣C {12}xx <<∣ D.{12}xx -<<∣2.命题“20,12a a ∃>+<”的否定为（）A.20,12a a ∃>+≥ B.20,12a a ∃≤+≥ C.20,12a a ∀>+≥ D.20,12a a ∀≤+≥3.下列图象中，能表示定义域和值域均为[]0,2的函数图象的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个4.函数()f x =的定义域为（）A.[]1,2- B.()1,2- C.(]1,2- D.[)1,2-5.“2a >且2b >”是“4ab >”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C 充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知,0x y >，且51x y +=，则54x y+的最小值为（）A .45B.42C.40D.387.已知20.3a =，0.12b =，0.23c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.b a c<< B.a b c<< C.<<b c aD.c b a<<8.若函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为（）A.1,+∞B.()1,8 C.()4,8 D.[)4,8二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列命题为真命题的是（）．A.若22a b c c >，则a b > B.若0b a >>，0m <，则a m ab m b+>+C.若a b >，c d <，则a c b d->- D.若22a b >，0ab >，则11a b<10.下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）A.1y x =-+ B.2y x = C.3y x =- D.y x x=-11.已知函数()2(0)f x x mx n m =++>有且只有一个零点，则下列结论正确的是（）A.224m n -≤B.2104m n<+<C.不等式20x mx n ++<的解集为∅D.若不等式24x mx n ++<的解集为()12,x x ，则124x x -=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设集合{}0,A a =-，{}1,2,22B a a =--，若A B ⊆，则a =______.13.当0a >且1a ≠时，函数24x y a -=+的图象一定经过定点___________14.若()1,x ∈+∞，则131y x x =+-的最小值是_____．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（1）比较(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-的大小；（2）已知0,0a b c >><，求证：c c a b>.16.已知函数2()f x x ax b =++.（1）若()0f x <的解集为(3,1)-，求a ，b ；（2）若(1)2f =，a ，(0,)b ∈+∞，求14a b+的最小值.17.已知函数()()11f x x x x =-++∈R .（1）利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数，然后画出函数图象；（2）写出函数的值域.18.已知集合()(){}{}|280,36A x x x B xx =+-≥=-≤≤∣.（1）求()R A Bð（2）若{}|121C x m x m =+≤≤-，()C A B ⊆⋂，求实数m 的取值范围.19.已知函数f(x)的定义域是{x|x≠0}，对定义域内的任意1x ，2x 都有f(1x ·2x )＝f(1x )＋f(2x )，且当x>1时，f(x)>0，f(2)＝1.(1)证明：f (x)是偶函数；(2)证明：f (x)在(0，＋∞)上是增函数；(3)解不等式f (22x －1)<2.20.ETC 是“电子不停车收费系统”的简称.汽车分别通过ETC 通道和人工收费通道的流程如图所示.假设汽车以115m /s v =朝收费站正常沿直线行驶，如果走ETC 通道，需要在到达收费站中心线前10m d =处正好匀减速至25m /s v =，匀速通过“匀速行驶区间”后，再加速至1v 后正常行驶；如果走人工收费通道，需要恰好在中心线处匀减速至零，经过20s 缴费成功后，再启动汽车匀加速至1v 正常行驶.设汽车加速和减速过程中的加速度大小均为21m /s .求：（1）汽车走人工收费通道时，开始减速的位置距离收费站中心线是多远；（2）汽车走ETC 通道时，从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移大小；（3）汽车走ETC 通道时，由于缴费耽误的时间是多2024-2025学年兰州市高一数学上学期期中考试卷试题满分：150分，答题时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{0},{12}A xx B x x =>=-<<∣∣，若A B = （）A.{2}xx <∣ B.{02}x x <<∣ C.{12}x x <<∣ D.{12}x x -<<∣【答案】B 【解析】【分析】利用交集的定义运算即得.【详解】因为{0}{12}A xx B x x =>=-<<∣，∣，则{02}A B xx =<< ∣.故选：B.2.命题“20,12a a ∃>+<”的否定为（）A.20,12a a ∃>+≥B.20,12a a ∃≤+≥ C.20,12a a ∀>+≥ D.20,12a a ∀≤+≥【答案】C 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题进行判断.【详解】因为“20,12a a ∃>+<”的否定是“20,12a a ∀>+≥”.故选：C3.下列图象中，能表示定义域和值域均为[]0,2的函数图象的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B 【解析】【分析】根据函数的定义及给定的定义域和值域，结合各图象即可得答案.【详解】由函数定义：任意自变量有且仅有一个函数值与之对应，排除第三个图；第一个图中定义域不为[]0,2，第二个图值域不为[]0,2，所以，只有最后一个图满足题设.故选：B4.函数()f x =的定义域为（）A.[]1,2- B.()1,2- C.(]1,2- D.[)1,2-【答案】C 【解析】【分析】根据分母不为零和偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解得即可.【详解】解：因为()f x =，所以2010x x -≥⎧⎨+>⎩，解得12x -<≤，即函数的定义域为(]1,2-.故选：C5.“2a >且2b >”是“4ab >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式的基本性质与特殊值法判断即可.【详解】由“2a >且2b >”能推出“4ab >”，因此条件充分；取8a =，1b =时，“4ab >”推不出“2a >且2b >”，因此条件不必要．故选：A ．【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，涉及不等式基本性质的应用，考查推理能力，属于基础题.6.已知,0x y >，且51x y +=，则54x y+的最小值为（）A.45B.42C.40D.38【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用，即可求解.【详解】由题意得()54542545252545y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当254y x x y =，即2253x y ==时，等号成立．故选：A7.已知20.3a =，0.12b =，0.23c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.b a c <<B.a b c<< C.<<b c aD.c b a<<【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数、幂函数单调性分析判断.【详解】因为0.3x y =在R 内单调递减，则2000.30.31<<=，即01a <<；且2x y =在R 内单调递增，则00.10.2222<<，0.212b <<；且0.2y x =在()0,∞+内单调递增，0.20.223<，即0.22c <；综上所述：a b c <<.故选：B.8.若函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为（）A.1,+∞B.()1,8 C.()4,8 D.[)4,8【答案】D 【解析】【分析】根据分段函数的单调性即可求解.【详解】 函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的增函数，1402422a a a a ⎧⎪>⎪⎪∴->⎨⎪⎪≥-+⎪⎩，解得48a ≤<.故选：D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列命题为真命题的是（）．A.若22a bc c >，则a b > B.若0b a >>，0m <，则a m ab m b+>+C.若a b >，c d <，则a c b d ->- D.若22a b >，0ab >，则11a b<【答案】AC 【解析】【分析】AC 选项用不等式的基本性质进行证明；B 选项，用作差法比较大小；D 选项，举出反例.【详解】因为22a b c c>，且20c >，不等式两边同乘以2c 得：a b >；A 正确；()()b a m a m a b m b b b m -+-=++，由于0b a >>，0m <，而b m +可能大于0，也可能小于0，故B 选项错误；由cd <，则c d ->-，由不等式的基本性质得：a c b d ->-，C 正确；当2,1a b =-=-时，满足22a b >，0ab >，但11a b>，D 错误.故选：AC10.下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）A.1y x =-+ B.2y x =C.3y x =- D.y x x=-【答案】CD 【解析】【分析】通过判断具体函数的奇偶性和单调性即可.【详解】A.1y x =-+（x ∈R ），则()1f x x -=+，因为()()f x f x -≠-，故函数不是奇函数，错误；B.2y x =（x ∈R ），()()f x f x -=，函数是偶函数，不是奇函数，错误；C.3y x =-（x ∈R ），函数为奇函数，根据幂函数的性质可知函数为减函数，正确；D.y x x =-，则()()f x x x x x f x -=-==-，故函数为奇函数，又22,0,0x x y x x ⎧≤=⎨->⎩，如图：根据图象函数为减函数，正确.故选：CD11.已知函数()2(0)f x x mx n m =++>有且只有一个零点，则下列结论正确的是（）A.224m n -≤B.2104m n<+<C.不等式20x mx n ++<的解集为∅D.若不等式24x mx n ++<的解集为()12,x x ，则124x x -=【答案】ACD 【解析】【分析】先根据题意得出240m n =>；再由二次函数的最值的求法可判断选项A ，根据基本不等式可判断选项B ，由三个二次之间的关系可判断选项C ，由三个二次之间的关系及韦达定理可判断选项D.【详解】因为()2(0)f x x mx n m =++>有且只有一个零点，所以2Δ40m n =-=，即240m n =>.对于选项A ，因为()222244204m n n n n -=---=-≤-，所以224m n -≤，故选项A 正确；对于选项B ，因为21144m n n n +=+≥=，当且仅当1,2n m ==B 错误；对于选项C ，因为2Δ40m n =-=，所以不等式20x mx n ++<的解集为∅，故选项C 正确；对于选项D ，因为不等式24x mx n ++<的解集为()12,x x ，所以方程240x mx n ++-=的两根为12,x x ，且1212,4x x m x x n +=-=-，所以124x x -=====，故选项D 正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设集合{}0,A a =-，{}1,2,22B a a =--，若A B ⊆，则a =______.【答案】1【解析】【分析】根据包含关系分20a -=和220a -=两种情况讨论，运算求解即可.【详解】因为A B ⊆，则有：若20a -=，解得2a =，此时{}0,2A =-，{}1,0,2B =，不符合题意；若220a -=，解得1a =，此时{}0,1A =-，{}1,1,0B =-，符合题意；综上所述：1a =.故答案为：1.13.当0a >且1a ≠时，函数24x y a -=+的图象一定经过定点___________【答案】()2,5【解析】【分析】令20x -=可求出定点.【详解】令20x -=，可得当2x =时，5y =，所以图象一定经过定点()2,5.故答案为：()2,5.14.若()1,x ∈+∞，则131y x x =+-的最小值是_____．【答案】3+【解析】【分析】由已知可知()11y 3x 3x 13x 1x 1=+=-++--，然后利用基本不等式即可求解．【详解】解：x 1> ，()11y 3x 3x 13x 1x 1∴=+=-+--33≥+=+，（当且仅当13x =+取等号）故答案为3+．【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是配凑积为定值，属于基础试题．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（1）比较(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-的大小；（2）已知0,0a b c >><，求证：c ca b>.【答案】答案见解析【解析】【分析】（1）利用作差法比较大小；（2）根据0a b >>，得到110b a >>，再由0c <，根据不等式的性质可得c ca b>，从而得证.【详解】（1）因为()()()()3524a a a a +--+-()222152870a a a a =-----=-<，所以()()()()3524a a a a +-<+-；（2）因为0a b >>，所以110b a>>，又0c <，所以c ca b>，得证.16.已知函数2()f x x ax b =++.（1）若()0f x <的解集为(3,1)-，求a ，b ；（2）若(1)2f =，a ，(0,)b ∈+∞，求14a b+的最小值.【答案】（1）2a =，3b =-（2）9【解析】【分析】（1）根据题意可知3-，1是方程20x ax b ++=的两根，利用韦达定理运算求解；（2）由题意可得1a b +=，根据“1”的灵活应用结合基本不等式运算求解.【小问1详解】因为()0f x <的解集为(3,1)-，可知3-，1是方程20x ax b ++=的两根，则3131a b -+=-⎧⎨-⨯=⎩，解得2a =，3b =-.【小问2详解】因为(1)12f a b =++=，即1a b +=，且a ，(0,)b ∈+∞，则14144()145459a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=+++≥=+= ⎪⎝⎭，当且仅当4a bb a =，即223b a ==时，等号成立，所以当13a =，23b =时，14a b +的最小值为9.17.已知函数()()11f x x x x =-++∈R.（1）利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数，然后画出函数图象；（2）写出函数的值域.【答案】（1）()2,12,112,1x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩，图象见解析（2）[)2,+∞【解析】【分析】（1）根据绝对值定义将函数分成三段，通过描点画函数图象；（2）根据函调图象可得函数最小值，无最大值，即得函数值域.【小问1详解】当1x <-时，()2f x x =-；当11x -≤≤时，()2f x =；当1x >时，()2f x x =，∴op =−2s <−12,−1≤≤12s>1，()f x 的图象如图所示．【小问2详解】由函数图象知，函数的值域为[)2,+∞．18.已知集合()(){}{}|280,36A x x x B x x =+-≥=-≤≤∣.（1）求()R A B ð（2）若{}|121C x m x m =+≤≤-，()C A B ⊆⋂，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{32}x x x <-≥-∣或（2）7|2m m ⎧⎫≤⎨⎩⎭【解析】【分析】（1）先化简集合A ，然后根据补集运算求出R B ð，最后再求()R A B ð.（2）由题意可知21216m m -≤+≤-≤或121m m +>-，解不等式即可.【小问1详解】解：()(){}{}28028A x x x x x =+-≥=-≤≤∣∣，{}|36B x x x =<->R 或ð，则(){32}A B xx x ⋃=<-≥-R ∣或ð.【小问2详解】 集合{}28A x x =-≤≤∣，{}36B x x =-≤≤∣，∴{}26A B x x ⋂=-≤≤∣.若C =∅，则121m m +>-，即2m <；若C ≠∅则121,12,216,m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩解得722m ≤≤.综上，实数m 的取值范围为7|2m m ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭.19.已知函数f(x)的定义域是{x|x≠0}，对定义域内的任意1x ，2x 都有f(1x ·2x )＝f(1x )＋f(2x )，且当x>1时，f(x)>0，f(2)＝1.(1)证明：f (x)是偶函数；(2)证明：f (x)在(0，＋∞)上是增函数；(3)解不等式f (22x －1)<2.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）,222222⎛⎛⎛-⋃⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝-⎭⎭-【解析】【分析】（1）令121x x ==，求得()10f =，再由121x x ==-，求得()10f -=，进而得出()()f x f x -=-，即可得到证明；（2）根据函数的单调性的定义，即可证得函数的为单调递增函数；（3）由（1）（2）可把不等式2(21)2f x -<转化为()2(21)4f x f -<，进而得2214x -<，结合2210x -≠，即可求解.【详解】(1)证明令x 1＝x 2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.令x 1＝x 2＝－1，得f(－1)＝0，∴f(－x)＝f(－1·x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)．∴f(x)是偶函数．(2)证明设x 2>x 1>0，则f(x 2)－f(x 1)＝f(x 1·)－f(x 1)＝f(x 1)＋f()－f(x 1)＝f()，∵x 2>x 1>0，∴>1.∴f()>0，即f(x 2)－f(x 1)>0.∴f(x 2)>f(x 1)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(3)解∵f(2)＝1，∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝2.又∵f(x)是偶函数，∴不等式f(2x 2－1)<2可化为f(|2x 2－1|)<f(4)．又∵函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴|2x 2－1|<4.解得－102<x<102，又2210x -≠，解得：22x ≠±即不等式的解集为10222210,222222⎛⎛⎛-⋃⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝-⎭⎭-．【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的定义法证明，以及函数的单调性的应用，其中解答中熟记函数的单调性与奇偶性的定义，合理运算、化简是解答的关键，同时考查了转化思想的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.20.ETC 是“电子不停车收费系统”的简称.汽车分别通过ETC 通道和人工收费通道的流程如图所示.假设汽车以115m /s v =朝收费站正常沿直线行驶，如果走ETC 通道，需要在到达收费站中心线前10m d =处正好匀减速至25m /s v =，匀速通过“匀速行驶区间”后，再加速至1v 后正常行驶；如果走人工收费通道，需要恰好在中心线处匀减速至零，经过20s 缴费成功后，再启动汽车匀加速至1v 正常行驶.设汽车加速和减速过程中的加速度大小均为21m /s .求：（1）汽车走人工收费通道时，开始减速的位置距离收费站中心线是多远；（2）汽车走ETC 通道时，从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移大小；（3）汽车走ETC 通道时，由于缴费耽误的时间是多少?【答案】（1）112.5m ；（2）210m ；（3）8s .【解析】【分析】（1）根据减速过程的加速度计算即可；（2）分两段匀加速运动与匀减速运动的位移计算即可；（3）计算走ETC 通道用时，与不减速直接通过用时即可.【小问1详解】由题意可知减速过程中的加速度大小为21m /s ，而汽车初始速度为115m /s v =，所以至速度为0m /s 时，需要1015s 1v t -==，产生的位移是()15015112.5m 2S +⨯==；【小问2详解】汽车走ETC 通道时，匀减速直线运动的位移22121100m 21v vS -==⨯，匀加速直线运动的位移22122100m 21v v S -==⨯，所以汽车走ETC 通道时，从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移大小10010100210m ++=；【小问3详解】汽车走ETC 通道用时122222s 1v v dv -⨯+=，而不减速通过用时21014s 15=，所以耽误22148s-=。
人教版高一数学上学期期中考试试题及详细答案解析全文
人教版高一数学上学期期中考试数学试题（满分150分时间120分钟）一、单选题（12小题，每题5分）。
1.已知集合(){}{}0222>==-==x ,y x B ,x x lg y x A x,是实数集，则（）A.B.C.D.以上都不对2.下列函数中，是偶函数且在上为减函数的是（）A.2xy = B.xy -=2C.2-=x y D.3xy -=3.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A.2xy =和()2x y =B.()12-=x lg y 和()()11-++=x lg x lg y C.2x log y a =和xlog y a 2= D.x y =和xa alog y =4.已知3110220230...c ,b ,.log a ===，则c ,b ,a 的大小关系是（）A.cb a << B.b ac << C.bc a << D.ac b <<5.在同一直角坐标系中，函数()()()x log x g ,x x x f a a=≥=0的图像可能是（）A. B. C. D.6.若132=log x ，则x x 93+的值为（）A.3B.C.6D.7.函数()x x x f 31+-=的单调递增区间是（）A.B.C.D.8.某同学求函数()62-+=x x ln x f 零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示：则方程062=-+x x ln 的近似解（精确度0.1）可取为（）A.2.52B.2.625C.2.66D.2.759.函数()xx lg x f 1-=的零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,10)C.(10,100)D.(100，＋∞)10.已知函数()2211xxx f -+=，则有()A.()x f 是奇函数，且()x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛1 B.()x f 是奇函数，且()x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛1C.()x f 是偶函数，且()x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛1 D.()x f 是偶函数，且()x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛111.如图，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h 与注水时间t 之间的函数关系，大致是（）A. B. C. D.12.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=0621100x ,x x x ,x lg x f ，若a ，b ，c 均不相等，且()()()c f b f a f ==，则abc的取值范围是A.（1，10）B.(5，6)C.(10，12)D.(20，24)二、填空题（4小题，每题5分）13.若对数函数()x f 与幂函数()x g 的图象相交于一点（2，4）,则()()=+44g f ________.14.对于函数f (x )的定义域中任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有如下结论：①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)f (x 2)；②f (x 1x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；③()()02121>--x x x f x f .当f (x )＝e x 时，上述结论中正确结论的序号是______.15.已知3102==b,lg a ，用a,b 表示=306log _____________.16.设全集{}654321,,,,,U =,用U 的子集可表示由10,组成的6位字符串,如：{}42表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000．（1）若，则M C U 表示6位字符串为_____________．（2）若,集合表示的字符串为101001，则满足条件的集合的个数为____个．三、解答题。
2023~2024学年第一学期高一期中考试数学试题[含答案]
在
上单调递增，
f x f 1 1
min
，C 正确；
D
选项，令
2x2
3x
0
，解得
x
3 2
或
0（舍去），
f x
故
的图象与 x 轴只有 1 个交点，D 错误．
故选：ABC
11.
已知关于 x 的不等式
ax²
2bx
3c
0
x
的解集为
|
3
x
1 ，则下列结论正确的是（
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用充分、必要条件的定义即可判断.
【详解】由 a b 得不到 ac2 bc2 ，如 c 0 ，故充分性不成立，
反之，由 ac2 bc2 可以得到 a b ，故必要性成立，
则“ a b ”是“ ac2 bc2 ”的必要不充分条件.
若 m 2 ，则 f (x) x2 ，函数 f (x) 在 (0, ) 上为增函数，不符合题意，舍去；
若m
1 ，则
f
(x)
1 x
，函数
f
(x) 在 (0, ) 上为减函数，符合题意；
所以实数 m 的值是 1.
故选：B.
4. 已知 a, b, c 是实数，则“ a b ”是“ ac2 bc2 ”的（ ）
，
2
x
5
0
【答案】C
【解析】
【分析】“存在一个符合”的否定为“任一个都不符合”
【详解】命题
p： x R
3x2
，使得
2
x
5
0
甘肃省武威市武威第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)
武威一中2023年秋季学期期中考试高一年级 数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（共8小题，每小题5分）1.已知A 是由0，，三个元素组成的集合，且，则实数为（ ）A.2B.3C.0或3D.0，2，3均可2.已知全集，集合，，那么（ ）A. B. C. D.3.若集，合，则（ ）A. B. C. D.4.设，则（ ）A.B.C.1D.-25.若命题“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.6.已知函数是一次函数，且，则（ ）A.11B.9C.7D.57.已知函数是定义在上的偶函数，又，则，，的大小关系为（ ）A. B.C. D.8.若定义在R 的奇函数，若时，则满足的的取值范围是（ ）A. B.C. D.m 232m m -+2A ∈m U =R {}24A x x =-≤≤∣501x B x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭A B = ()1,4-(]1,4-()2,5-[)2,5-{}24x A x =<∣{N 13}B x x =∈-<<∣A B = {12}xx -<<∣{}0,1{}1{13}xx -<<∣()212,11,11x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪+⎩()()1f f =15120R x ∃∈201k x >+k 1k >01k <<1k ≤0k ≤()f x ()23f f x x ⎡⎤-=⎣⎦()5f =()22f x ax a =+[],2a a +()()2g x f x =+()2g -()3g -()2g ()()()232g g g ->->()()()322g g g ->>-()()()223g g g ->>-()()()232g g g >->-()f x 0x <()2f x x =--()0xf x ≥x ()[],20,2-∞- ()(),22,-∞-+∞ ][(,20,2⎤-∞-⎦[]2,2-二、多选题（共4小题，每小题选对得5分，错选或多选得0分，少选或漏选得2分）9.下列结论中，不正确的是（ ）A. B. C. D.10.下列命题中，真命题的是（ ）A.，都有 B.任意非零实数，都有C.，使得D.函数211.下列命题正确的是（ ）A.命题“，，”的否定是“，，”B.与是同一个函数C.函数的值域为D.若函数的定义域为，则函数的定义域为12.函数的定义域为R ，已知是奇函数，，当时，，则下列各选项正确的是（ ）A. B.在单调递C. D.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题13.已知，集合，则图中阴影部分所表示的集合是________.14.函数的单调递减区间为________.15.已知集合，，若“”是“”的必要非充分条件，则实数的取值范围是________.0.20.20.20.3>113323--<0.10.20.81.25->0.33.11.70.9>x ∀∈R 21x x x -≥-,a b 2b a a b+≥()1,x ∃∈+∞461x x +=-y =x ∀y ∈R 220x y +≥x ∃y ∈R 220x y +<()1f x x =-()211x g x x -=+y x =[)0,+∞()1f x +[]1,4()f x []2,5()f x ()1f x +()()22f x f x +=-[]1,2x ∈()22f x ax =+()()4f x f x +=()f x []0,1()10f =13533f ⎛⎫=⎪⎝⎭U R ={11}A x x =->{B xy ==∣y =204x A xx ⎧⎫+=<⎨⎬-⎩⎭{}22210B x x ax a =-+-<∣x A ∈x B ∈a16已，，，知为四个互不相等的实数.若，，，中最大，则实数的取值范围为________.四、解答题17.（本小题10分）计算下列各式（式中字母都是正数）：（1）；（2）；（3.18.（本小题12分）已知函数.（1）证明：函数在上是减函数；并求出函数在的值域；（2）记函数，判断函数的的奇偶性，并加以证明.19.（本小题12分）设关于的函数，其中，都是实数。
2024-2025学年四川省成都市高一上学期期中考试数学检测试题(含解析)
一､2024-2025学年四川省成都市高一上学期期中考试数学检测试题单选题1. 已知集合A ={1 ，2，3，4，5}，{},|15B x x =<<，则A ∩B 的元素个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】直接根据集合的交集运算求解即可.【详解】因为集合A ={1 ，2，3，4，5}，{}|15B x x =<<所以{}2,3,4A B =I ，即A ∩B 的元素个数为3个.故选：B2. 函数221y x mx =++在[2,+∞)单调递增，则实数m 的取值范围是（ ）A. [2,)-+¥B. [2,+∞)C. (,2)-¥D. (,2]-¥【答案】A【解析】【分析】直接由抛物线对称轴和区间端点比较大小即可.【详解】函数221y x mx =++为开口向上的抛物线，对称轴为x m=-函数221y x mx =++在[2,+∞)单调递增，则2m -£，解得2m ³-.故选：A.3. 若函数的定义域为{}22M x x =-££，值域为{}02N y y =££，则函数的图像可能是（）A. B.的C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的定义域与值域，结合函数的性质判断即可.【详解】对A，该函数的定义域为{}20x x-££，故A错误；对B，该函数的定义域为{}22M x x=-££，值域为{}02N y y=££，故B正确；对C，当()2,2xÎ-时，每一个x值都有两个y值与之对应，故该图像不是函数的图像，故C错误；对D，该函数的值域不是为{}02N y y=££，故D错误.故选：B.4. 已知函数()af x x=，则“1a>”是“()f x在()0,¥+上单调递增”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由幂函数的单调性结合充分必要条件的定义判断.【详解】当0a>时，函数()af x x=在()0,¥+上单调递增，则1a>时，一定有()f x在()0,¥+上单调递增；()f x在()0,¥+上单调递增，不一定满足1a>，故“1a>”是“()f x在()0,¥+上单调递增”的充分不必要条件.故选：A.5. 已知0,0x y>>，且121yx+=，则12xy+的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】D【解析】【分析】利用不等式的乘“1”法即可求解.【详解】由于0,0x y >>，故11112224448x y x xy y x y xy æöæö+=++=++³+=ç÷ç÷èøèø，当且仅当14,121,xy xy y xì=ïïíï+=ïî即2,14x y =ìïí=ïî时，等号成立，故12x y +的最小值为8.故选：D6. 已知定义域为R 的函数()f x 不是偶函数，则（ ）A. ()(),0x f x f x "Î-+¹R B. ()(),0x f x f x "Î--¹R C. ()()000,0x f x f x $Î-+¹R D. ()()000,0x f x f x $Î--¹R 【答案】D【解析】【分析】根据偶函数的概念得()(),0x f x f x "Î--=R 是假命题，再写其否定形式即可得答案.【详解】定义域为R 的函数()f x 是偶函数()(),0x f x f x Û"Î--=R ，所以()f x 不是偶函数()()000,0x f x f x Û$Î--¹R ．故选：D ．7. 若函数()22f x ax bx c=++的部分图象如图所示，则()1f =（ ） A. 23- B. 112- C. 16- D. 13-【答案】D【解析】【分析】利用函数图象求得函数定义域，利用函数值可得出其解析式，代入计算即求得函数值.【详解】根据函数图象可知2x =和4x =不在函数()f x的定义域内，因此2x =和4x =是方程20ax bx c ++=的两根，因此可得()()()224f x a x x =--，又易知()31f =，所以可得2a =-；即()()()124f x x x =---，所以()113f =-.故选：D8. 奇函数()f x 在(),0-¥上单调递增，若()10f -=，则不等式()0xf x <的解集是（ ）．A. ()()101,∪,-¥- B. ()()11,∪,-¥-+¥C. ()()1001,∪,- D. ()()101,∪,-+¥【答案】C【解析】【分析】由()f x 奇偶性，单调性结合题意可得答案.【详解】因奇函数()f x 在(),0¥-上单调递增，()10f -=则()f x 在()0,¥+上单调递增，f (1)=0.得()()()01,01,f x x È¥>ÞÎ-+；()()()0,10,1f x x ¥È<ÞÎ--.则()()000x xf x f x <ì<Þí>î或()()()01,00,10x x f x È>ìÞÎ-í<î.故选：C二､多选题9. 下列关于集合的说法不正确的有（ ）A. {0}=ÆB. 任何集合都是它自身的真子集C. 若{1,}{2,}a b =（其中,a b ÎR ），则3a b +=D. 集合{}2y y x =∣与{}2(,)x y y x =∣是同一个集合【答案】ABD【解析】【分析】根据集合的定义，真子集的定义，集合相等的定义判断各选项．【详解】{0}中含有一个元素，不是空集，A 错；任何集合都是它自身的子集，不是真子集，B 错；由集合相等的定义得2,1a b ==，3a b +=，C 正确；集合{}2yy x =∣中元素是实数，集合{}2(,)x y y x =∣中元素是有序实数对，不是同一集合，D 错，故选：ABD ．10. 已知二次函数()2223y m x mx m =-++-的图象与x 轴有两个交点()()12,0,,0x x ，则下面说法正确的是（ ）A. 该二次函数的图象一定过定点()1,5--；B. 若该函数图象开口向下，则m 的取值范围为：625m <<；C. 当2m >，且12x ££时，y 的最大值为45m -；D. 当2m >，且该函数图象与x 轴两交点的横坐标12,x x 满足1232,10x x -<<--<<时，m 的取值范围为：21114m <<【答案】ABD【解析】【分析】代入1x =-，解得5y =-，即可求解A ，根据判别式即可求解B ，利用二次函数的单调性即可求解C ，利用二次函数的图象性质即可列不等式求解.【详解】由()2223y m x mx m =-++-可得()22123y m x x =+--，当1x =-时，5y =-，故二次函数的图象一定过定点()1,5--，A 正确，若该函数图象开口向下，且与x 轴有两个不同交点，则()()220Δ44230m m m m -<ìí=--->î，解得：625m <<，故B 正确，当2m >，函数开口向上，对称轴为02m x m =-<-，故函数在12x ££时，单调递增，当2x =时，911y m =-，故y 的最大值为911m -；C 错误，当2m >，则开口向上，又1232,10x x -<<--<<时，则3,4210x y m =-=->，且2,110x y m =-=-<，且1,50x y =-=-<，且0,30x y m ==->，解得21114m <<，m 的取值范围为：21114m <<，D 正确，故选：ABD 11. 已知幂函数()()293m f x m x =-的图象过点1,n m æö-ç÷èø，则（ ）A. 23m =-B. ()f x 为偶函数C. n =D. 不等式()()13f a f a +>-的解集为(),1-¥【答案】AB【解析】【分析】利用幂函数的定义结合过点1,n m æö-ç÷èø，可求,m n 判断AC ；进而可得函数的奇偶性判断B ；解不等式可求解集判断D.【详解】因为函数()()293m f x m x =-为幂函数，所以2931m -=，解得23m =±，当23m =时，幂函数()23f x x =的图象不可能过点3,2n æö-ç÷èø，故23m ¹，当23m =-，幂函数()23f x x -=的图象过点3,2n æöç÷èø，则2332n -=，解得3232n -æö=±=ç÷èøA 正确，C 错误；()23f x x -=的定义域为{|0}x x ¹，且()2233()()f x x x f x ---=-==，故()f x 为偶函数，故B 正确；函数()23f x x -=在(0,)+¥上单调递减，由()()13f a f a +>-，可得()()13f a f a +>-，所以1310a a a ì+<-ïí+¹ïî，解得1a <且1a ¹-，故D 错误.故选：AB.三､填空题12. 满足关系{2}{2,4,6}A ÍÍ的集合A 有____________个.【答案】4【解析】【分析】由题意可得集合A 为{}2,4,6的子集，且A 中必包含元素2，写出满足条件的集合，即可得答案.【详解】即集合A 为{}2,4,6的子集，且A 中必包含元素2，又因为{2,4,6}的含元素2的子集为：{}2,{}2,4,{}2,6,{2,4,6}共4个.故答案为：4.13. 已知()f x 满足()()()2f x y f x f y +=++，且()22f =，则()3f =______.【答案】4【解析】【分析】令1x y ==得()10f =，再令1x =，2y = 即可求解.【详解】令1x y ==得()()()21122f f f =++=，所以()10f =，令1x =，2y =得()()()31224f f f =++=.故答案为：4.14. 已知函数()()()22223124,,4f x x ax ag x x x a a =-+-=-+-ÎR ，若[]10,1x "Î，[]20,1x $Î，使得不等式()()12f x g x >成立，实数a 的取值范围是__________.【答案】(),6-¥【解析】【分析】由题意将问题转化为()(),min max f x g x >[]0,1x Î，成立，利用二次函数的性质求解即可.【详解】若对任意[]10,1x Î，存在[]20,1x Î，使得不等式()()12f x g x >成立，即只需满足[]min min ()(),0,1f x g x x >Î，()22314g x x x a =-+-，对称轴()1,2x g x =在10,2éö÷êëø递减，在,1,12æùçúèû递增，()2min 18,2g x g a æö==-ç÷èø()[]2224,0,1f x x ax a x =-+-Î，对称轴4a x =，①04a £即0a £时，()f x 在[0,1]递增，()22min min ()04()8f x f a g x a ==->=-恒成立；②014a <<即04a <<时，()f x 在0,4a éö÷êëø递减，在,14a æùçúèû递增，22min min 7()4,()848a f x f a g x a æö==-=-ç÷èø，所以227488a a ->-，故04a <<；③14a ³即4a ³时，()f x 在[0，1]递减，()22min min ()12,()8f x f a a g x a ==--=-，所以2228a a a -->-，解得46a £<，综上(),6a ¥Î-.故答案为：(),6¥-【点睛】方法点睛：本题首先需要读懂题意，进行转化；其次需要分类讨论，结合二次函数的性质最后进行总结，即可求出结果.四､解答题15. 设全集R U =，集合{|23}P x x =-<<，{|31}.Q x a x a =<£+（1）若1a =-，求集合()U P Q I ð；（2）若P Q =ÆI ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|03}x x <<（2）][132,,æö-¥-+¥ç÷èøU 【解析】【分析】（1）先求出U Q ð，再求()U P Q Çð即可；（2）分Q =Æ和Q ¹Æ两种情况求解即可【小问1详解】解：当1a =-时，{|31}{|30}Q x a x a x x =<£+=-<£；{|3U C Q x x =£-或0}x >，又因为{}23P x x =-<<，所以(){|03}.U P Q x x Ç=<<ð【小问2详解】解：由题意知，需分为Q =Æ和Q ¹Æ两种情形进行讨论：当Q =Æ时，即31a a ³+，解得12a ³，此时符合P Q =ÆI ，所以12a ³；当Q ¹Æ时，因为P Q =ÆI ，所以1231a a a +£-ìí<+î或3331a a a ³ìí<+î，解之得3a £-.综上所述， a 的取值范围为][1,3,.2¥¥æö--È+ç÷èø16 已知二次函数()()20f x ax bx c a =++¹满足()()14f x f x x -+=，且()0 1.f =（1）求函数()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式()()2641f x t x t £-+-+.【答案】（1）()2221f x x x =-+（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）利用待定系数法计算即可求解析式；（2）根据（1）的结论含参讨论解一元二次不等式即可.【小问1详解】因为()01f =，1c =，所以()21f x ax bx =++，又因为()()14f x f x x -+=，所以()(()22[1)1114a x b x ax bx x ù++++-++=û，所以24ax a b x ++=，所以240a a b =ìí+=î，所以22a b =ìí=-î，即()222 1.f x x x =-+.【小问2详解】由()()2641f x t x t £-+-+，可得不等式()222440x t x t +++£，即()2220x t x t +++£，所以()()20x x t ++£，当2-=-t ，即2t =时，不等式的解集为{|2}x x =-，当2t -<-，即2t >时，不等式的解集为{|2}x t x -££-，当2t ->-，即2t <时，不等式的解集为{|2}x x t -££-，综上所述，当2t =时，不等式的解集为{|2}x x =-，当2t >时，不等式的解集为{|2}x t x -££-，当2t <时，不等式的解集为{|2}.x x t -££-17. 已知函数()221x f x x-=．（1）用单调性的定义证明函数()f x 在()0,¥+上为增函数；（2）是否存在实数l ，使得当()f x 的定义域为11,m n éùêúëû（0m >，0n >）时，函数()f x 的值域为[]2,2m n l l --．若存在．求出l 的取值范围；若不存在说明理由．【答案】（1）证明见详解；（2）存在，()2,+¥.【解析】分析】（1）设()12,0,x x ¥Î+，且12x x <，然后作差、通分、因式分解即可判断()()12f x f x <，得证；（2）根据单调性列不等式组，将问题转化为210x x l -+=存在两个不相等的正根，利用判别式和韦达定理列不等式组求解可得.【小问1详解】()222111x f x x x-==-，设()12,0,x x ¥Î+，且12x x <，【则()()()()22121212122222222212211212111111x x x x x x f x f x x x x x x x x x -+æö--=---=-==ç÷èø，因为120x x <<，所以221212120,0,0x x x x x x <-+>>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在(0,+∞)上为增函数.【小问2详解】由（1）可知，()f x 在11,m n éùêúëû上单调递增，若存在l 使得()f x 的值域为[]2,2m n l l --，则22112112f m m m f n n n l l ìæö=-=-ç÷ïïèøíæöï=-=-ç÷ïèøî，即221010m m n n l l ì-+=í-+=î，因为0m >，0n >，所以210x x l -+=存在两个不相等的正根，所以21212Δ40100x x x x l l ì=->ï=>íï+=>î，解得2l >，所以存在()2,l ¥Î+使得()f x 的定义域为11,m n éùêúëû时，值域为[]2,2m n l l --.18. 习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”.淮安市一乡镇响应号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与肥料费10x （单位：元）满足如下关系：()252,02()48,251x x W x x x x ì+££ï=í<£ï+î其它成本投入（如培育管理等人工费）为20x （单位：元）.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为()f x （单位：元）.（1）求()f x 函数关系式；（2）当投入的肥料费用为多少时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少？的【答案】（1）25030100,02()48030,251x x x f x x x x xì-+££ï=í-<£ï+î； （2）当投入肥料费用为30元时，获得的利润最大，最大利润是270元.【解析】【分析】（1）由单株产量W 乘以售价减去肥料费和其它成本投入可得出的函数关系式；（2）利用二次函数的单调性求出当02x ££时，()f x 的最大值，由基本不等式求出当25x <£时，()f x 的最大值，即可得出答案.【小问1详解】（1）由题意可得()()()1020101030f x W x x x W x x=--=-()22105230,025030100,024804830,251030,2511x x x x x x x x x x x x x x ì´+-££ì-+££ïï==íí-<£´-<£ïï+î+î.故()f x 的函数关系式为25030100,02()48030,251x x x f x x x x xì-+££ï=í-<£ï+î.【小问2详解】（2）由（1）22319150,025030100,02102()48030,251651030(1),2511x x x x x f x x x x x x x x ììæö-+££ï-+££ïç÷ïïèø==íí-<£éùïï-++<£+êúïï+ëûîî,当02x ££时，()f x 在30,10éùêúëû上单调递减，在3,210æùçúèû上单调递增，且(0)100(2)240f f =<=，max ()(2)240f x f \==；当25x <£时，16()51030(1)1f x x x éù=-++êú+ëû，16181x x ++³=+Q 当且仅当1611x x=++时，即3x =时等号成立． max ()510308270f x \=-´=.的因为240270<，所以当3x =时，max ()270f x =.当投入的肥料费用为30元时，该单株水果树获得的利润最大，最大利润是270元.19. 已知集合,A B 中的元素均为正整数，且,A B 满足：①对于任意,i j a a A Î，若i j a a ¹，都有i j a a B Î；②对于任意,m k b b B Î，若m k b b <，都有k mb A b Î.（1）已知集合{}1,2,4A =，求B ；（2）已知集合{}()2,4,8,8A t t =>，求t ；（3）若A 中有4个元素，证明：B 中恰有5个元素.【答案】（1）{}2,48B =,（2）16t =（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据①可得2,4,8都是B 中的元素，进而证明B 中除2,4,8外没有其他元素即可求解，（2）根据条件①②，即可求解，（3）根据题意可得41a a ，3324421123,,,,a a a a a a a a a a ，4321a a a a 是A 中的元素，进而根据11a =和12a ³可得{}2341111,,,A a a a a =，进而{}3456711111,,,,a a a a a B Í，接下来假设B 中还有其他元素，且该元素为k ，利用k 与31a 的关系得矛盾求解.【小问1详解】由①可得2,4,8都是B 中的元素.下面证明B 中除2,4,8外没有其他元素：假设B 中还有其他元素，分两种情况：第一种情况，B 中最小的元素为1，显然81不是A 中的元素，不符合题意；第二种情况，B 中最小的元素为2，设B 中除2,4,8外的元素为()2k k b b >，因为2k b 是A 中的元素，所以k b 为4或8，而4，8也是B 中的元素，所以B 中除2,4,8外没有其他元素.综上，{}2,4,8B =.【小问2详解】由①可得，8,16,32,2,4,8t t t 都是B 中的元素.显然84,82,162t t t <<<，由（2）可得，422,,8816t t t 是A 中的元素，即,,248t t t 是A 中的元素.因为842t t t t <<<，所以2,4,8842t t t ===，解得16t =.【小问3详解】证明：设{}12341234,,,,A a a a a a a a a =<<<.由①可得，1224,a a a a 都是B 中的元素.显然1224a a a a <，由②可得，2412a a a a 是A 中的元素，即41a a 是A 中的元素.同理可得3324421123,,,,a a a a a a a a a a ，4321a a a a 是A 中的元素.若11a =，则34344122a a a a a a a a =>，所以3412a a a a 不可能是A 中的元素，不符合题意.若12a ³，则32311a a a a a <<，所以321211,a a a a a a ==，即23213121,a a a a a a ===.又因为44443211a a a a a a a <<<<，所以444123321,,a a a a a a a a a ===，即441a a =，所以{}2341111,,,A a a a a =，此时{}3456711111,,,,a a a a a B Í.假设B 中还有其他元素，且该元素为k ，若31k a <，由（2）可得71a A k Î，而7411a a k>，与{}2341111,,,A a a a a =矛盾.若31k a >，因为31k A a Î，所以131,1,2,3,4i k a i a ==，则31,1,2,3,4i k a i +==，即{}45671111,,,k a a a a Î，所以B 中除3456711111,,,,a a a a a 外，没有其他元素.所以{}3456711111,,,,B a a a a a =，即B 中恰有5个元素.【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力.。
2023-2024学年福建省泉州高一上学期期中考试质量检测数学试题(含解析)
2023-2024学年福建省泉州高一上册期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{}21xA x =≤，{}220B x x x =+-<，则A B = （）A ．(]0,2B ．(]2,0-C ．()2,0-D ．(]1,2【正确答案】B【分析】根据指数函数的单调性、一元二次不等式的解法，结合集合交集的定义进行求解即可.【详解】02120x x ≤=⇒≤，()()22021021x x x x x +-<⇒+-<⇒-<<，因此A B = (]2,0-，故选：B2．已知函数()122e ,23,2x x g x x x -⎧<=⎨-≥⎩，则()()2f f 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【正确答案】C【分析】首先计算()222312f =-=<，再求()()2f f 的值.【详解】()222312f =-=<，所以()()()110212e 2e 2f f f -====.故选:C.3．已知函数23x y a -=+(0 a >且 1)a ≠的图像恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图像上，则31log 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【正确答案】A【分析】根据指数型函数过定点求得P 点坐标，设出幂函数()f x 的解析式，代入点P 的坐标求得()f x 的解析式，由此求得31log 3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】对于函数23x y a -=+，当20x -=，即2x =时，4y =，所以()2,4P .由于()f x 为幂函数，设()f x x α=，代入P 点的坐标得24,2αα==.所以()2f x x =，2111339f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以23331log log 31log 329f -=⎛⎫= ⎪⎝=-⎭.故选：A本小题主要考查指数型函数过定点问题，考查幂函数解析式的求法，考查对数运算，属于基础题.4．下列函数中，既是偶函数又是区间()0,∞+上的增函数的是（）A ．3y x=B ．y x =C ．21y x =-+D ．332x xy --=【正确答案】B【分析】根据奇偶性的定义及基本不等式函数的单调性判断即可.【详解】对于A ：函数3y x =为奇函数且在定义域R 上单调递增，故A 错误；对于B ：(),0,0x x y f x x x x ≥⎧===⎨-<⎩，函数在()0,∞+上单调递增，且()()f x x x f x -=-==，即y x =为偶函数，故B 正确；对于C ：21y x =-+为偶函数，在()0,∞+上单调递减，故C 错误；对于D ：()332x xy g x --==，则()()333322x x x x g x g x -----==-=-，即332x xy --=为奇函数，故D 错误；故选：B5．若a ，R b ∈，且满足1111222ba⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么（）A ．a b a a a b <<B ．a a b a b a <<C ．b a aa ab <<D ．b a aa b a <<【正确答案】C【分析】根据指数函数的单调性判断即可.【详解】由1111222ba⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎝⎭⎝⎭，可得1011112222b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以01a b <<<.因为函数x y a =在R 上单调递减，所以b a a a <.因为函数x a y b ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以01,a a a a a a b b b ⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.综上，b a a a a b <<.故选：C6．素数也叫质数,部分素数可写成“21n -”的形式（n 是素数）,法国数学家马丁•梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位,因此后人将“21n -”形式（n 是素数）的素数称为梅森素数.2018年底发现的第51个梅森素数是8258993321P =-,它是目前最大的梅森素数.已知第8个梅森素数为3121P =-,第9个梅森素数为6121Q =-,则QP约等于（参考数据：lg 20.3≈）（）A ．710B ．810C ．910D ．1010【正确答案】C【分析】根据,P Q 两数远远大于1,Q P 的值约等于613122,设613122k =,运用指数运算法则,把指数式转化对数式,最后求出k 的值.【详解】因为,P Q 两数远远大于1,所以Q P 的值约等于613122,设6130303122lg 2lg 2k k k =⇒=⇒=,因此有930lg 2lg lg 910k k k =⇒=⇒=.故选C本题考查了数学估算能力,考查了指数运算性质、指数式转化为对数式,属于基础题.7．已知函数()221f x x x =-++，[]0,2x ∈，函数()1g x ax =-，[]1,1x ∈-，对于[]10,2x ∀∈，总[]21,1x ∃∈-，使得()()21g x f x =成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(],3-∞-B ．()3,+∞C ．(][),33,∞∞--⋃+D ．()(),33,-∞-+∞ 【正确答案】C【分析】分别求得函数()f x 和函数()g x 的值域，再根据对于[]10,2x ∀∈，总[]21,1x ∃∈-，使得()()21g x f x =成立，由A B ⊆求解.【详解】解：函数()()222112f x x x x =-++=--+，因为[]0,2x ∈，所以()[]1,2f x ∈，设函数()f x 的值域为A ；因为[]1,1x ∈-，当0a >时，()[]1,1g x a a ∈---，当0a =时，(){}1g x Î-，当a<0时，()[]1,1g x a a ∈---，设函数()g x 的值域为B ，因为对于[]10,2x ∀∈，总[]21,1x ∃∈-，使得()()21g x f x =成立，所以A B ⊆，当0a >时，1112a a --≤⎧⎨-≥⎩，解得3a ≥；当0a =时，不成立；当a<0时，1112a a -≤⎧⎨--≥⎩，解得3a ≤-；综上：实数a 的取值范围是(][),33,∞∞--⋃+，故选：C8．已知函数()202120211x xf x -=-+，则不等式()()2122f x f x -+>的解集为（）A ．3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【正确答案】D【分析】依题意可得()()2f x f x -+=，则问题转化为()()212f x f x ->-，再判断函数的单调性，即可将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】因为()202120211x xf x -=-+，所以()202120211x x f x --=-+，则()()2f x f x -+=，∴()()2122f x f x -+>可化为()()()()21222f x f x f x f x -+>-+，则()()212f x f x ->-，又2021x y =在定义域R 上单调递增，2021x y -=在定义域R 上单调递减，所以函数()f x 在R 上单调递增，∴212x x ->-，∴14x >，∴原不等式的解集为1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：D 二、多选题9．设正实数a ，b 满足+=1a b ，则（）A ．11a b+有最小值4B 有最小值12CD ．22+a b 有最小值12【正确答案】ACD【分析】利用基本不等式结合条件逐项分析即得.【详解】选项A ：1111()()224a b a b b a b a a b +=++=++≥+=，当且仅当12a b ==时取等号，故A 正确；选项B 122a b +≤=，当且仅当12a b ==有最大值12，故B 错误；选项C ：212a b +=++=+≤≤，当且仅当12a b ==时取等号，故C 正确；选项D ：由1=22a b +≤2212a b +≥，当且仅当12a b ==时取等号，故D 正确.故选：ACD.10．当[]2,2x ∈-时，有2x a <，（0a >且1a ≠），则实数a 的取值范围可以是（）A ．(B ．0,2⎛ ⎪⎝⎭C ．,12⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭【正确答案】AC【分析】分1a >和01a <<两种情况讨论，结合指数函数的单调性解不等式即可.【详解】解析：[]2,2x ∈-时，2x a <（0a >，且1a ≠）.若1a >，x y a =是增函数，则有22a <，可得a <1a <<；若01a <<，x y a =是减函数，则有22a -<，可得2a >，故有12a <<，综上所述，实数a 的取值范围是(2⎛⋃⎫⎪ ⎪⎝⎭.故选：AC.11．已知函数()f x ，x ∀∈R ,都有(2)()f x f x --=成立，且任取[)12,1,x x ∈-+∞，211221()()0,()f x f x x x x x -<≠-，以下结论中正确的是（）A ．()0(3)f f >-B ．,x R ∀∈()(1)f x f ≤-C ．23(1)()4f a a f -+≥D ．若()(2),f m f <则42m -<<【正确答案】AB【分析】由函数()f x ，x ∀∈R ,都有(2)()f x f x --=成立，且任取[)12,1,x x ∈-+∞，211221()()0,()f x f x x x x x -<≠-，则函数()f x 的图像关于直线=1x -对称，在(],1-∞-为增函数，在[)1,-+∞为减函数，再逐一判断各选项即可得解.【详解】解：由函数()f x 满足(2)()f x f x --=，则函数()f x 的图像关于直线=1x -对称，又[)12,1,x x ∈-+∞，211221()()0,()f x f x x x x x -<≠-，则函数()f x 在[)1,-+∞为减函数，对于选项A ，因为3(1)0(1)--->--，所以()0(3)f f >-，即A 正确；对于选项B ，由已知有()f x 在(],1-∞-为增函数，在[)1,-+∞为减函数，即max ()(1)f x f =-，即B 正确；对于选项C ，221331(244a a a -+=-+≥，又()f x 在[)1,-+∞为减函数，所以23(1)(4f a a f -+≤，即C 错误；对于选项D ，当()(2),f m f <则(1)2(1)m -->--，则4m <-或m>2，即D 错误，即结论正确的是AB ，故选AB.本题考查了函数的对称性及增减性，重点考查了函数性质的应用，属中档题.12．设定义域为R 的函数1, 11()1,1x x f x x ⎧≠-⎪+=⎨⎪=-⎩，若关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=有且仅有三个不同的实数解123,,x x x ，且123x x x <<，下列说法正确的是（）A ．2221235x x x ++=B ．10a b ++=C ．1322x x x +>D ．132x x +=-【正确答案】ABD画出()f x 的图像，由图像结合条件可得()1f x =，然后可得1232,1,0x x x =-=-=，即可选出答案.【详解】1, 11()1,1x x f x x ⎧≠-⎪+=⎨⎪=-⎩的图像如下：若关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=有且仅有三个不同的实数解123,,x x x ，则()1f x =所以10a b ++=，由()1f x =可解得：1232,1,0x x x =-=-=所以2221235x x x ++=，132x x +=-故选：ABD关键点睛：解答本题的关键是准确的画出()f x 的图像，结合图像得到()1f x =.三、填空题13．命题p ：“x ∃∈R ，2220x x -+≤”的否定是______.【正确答案】x ∀∈R ，2220x x -+>【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得解.【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题p ：“x ∃∈R ，2220x x -+≤”的否定是x ∀∈R ，2220x x -+>.故x ∀∈R ，2220x x -+>.14．函数()26812x x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为______.【正确答案】(),3-∞【分析】令()268g x x x =-+，求出()g x 的单调区间，再根据复合函数的单调性判断即可.【详解】令()268g x x x =-+，则()g x 在(),3-∞上单调递减，在()3,+∞上单调递增，又12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域R 上单调递减，所以()26812x x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间(),3-∞.故(),3-∞15．已知函数f (x )＝2111x ax x +++(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是__．【正确答案】8,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】将不等式()3f x ≥分离常数a 得到83a x x ⎛⎫≥-++ ⎪⎝⎭，结合基本不等式求得83x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的最大值，由此求得a 的取值范围.【详解】对任意x ∈N *，()3f x ≥，即21131x ax x ++≥+恒成立，即83a x x ⎛⎫≥-++ ⎪⎝⎭.设()()*8N g x x x x=+∈，则()8g x x x =+≥=当且仅当x =又g (2)＝6，g (3)＝173，∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173，∴81783333x x ⎛⎫-++≤-+=- ⎪⎝⎭，∴83a ≥-，故a 的取值范围是8,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.故8,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭本小题主要考查利用基本不等式求解不等式恒成立问题，属于中档题.16．对于函数()f f x =，若存在0x ，使()()00f x f x =--，则称点()()00,x f x 与点()()00,x f x --是函数()f x 的一对“隐对称点”.若函数()22,02,0x x x f x mx x ⎧+<=⎨+≥⎩的图象存在“隐对称点”，则实数m 的取值范围是______.【正确答案】(,2-∞-【分析】依题意()f x 的图象上存在点关于原点对称，设函数()g x 的图象与函数()22f x x x =+()0x <的图象关于原点对称，求出()g x 的解析式，则问题转化为方程222mx x x +=-+()0x >有解，参变分离结合基本不等式的性质计算可得.【详解】解：依题意()22,02,0x x x f x mx x ⎧+<=⎨+≥⎩的图象上存在点关于原点对称，设函数()g x 的图象与函数()22f x x x =+()0x <的图象关于原点对称，设0x >，则0x -<，()()()2222f x x x x x -=-+-=-，∴()22g x x x =-+，()0x >，故原题意等价于方程222mx x x +=-+()0x >有解，解得22m x x =--+，由于222222x x x x ⎛⎫--+=-++≤-+=- ⎪⎝⎭，当且仅当x2m ≤-m的取值范围是(,2-∞-.故(,2-∞-四、解答题17．（1）计算00.520.531222(0.01)54--⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）计算：()266661log 3log 2log 18log 4-+⋅．【正确答案】（1）1615；（2）1.（1）利用指数幂化简求值即可；（2）利用对数的运算求解即可.【详解】（1）原式1122191121161144100431015-⎛⎫⎛⎫=+⨯-=+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）原式()()26666666666log 2log 2log 18log 2log 2log 18log 2log 1812log 22log 22+⋅⋅++====．18．已知集合{}2450A x x x =--≤，集合{}22B x a x a =<<+.(1)若1a =-，求A B ⋂和A B ⋃；(2)若A B B = ，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1){}25A B x x ⋃=-<≤，{}11A B x x ⋂=-≤<(2)12a ≥-【分析】（1）先化简集合A ，B ，再利用集合的交集和并集运算求解；（2）由A B B = ，得到B A ⊆，分B φ=和B φ≠求解.【详解】（1）解：{}15A x x =-≤≤，{}21B x x =-<<，∴{}11A B x x ⋂=-≤<，{}25A B x x ⋃=-<≤；（2）∵A B B = ，∴B A ⊆，若B φ=，则22a a ≥+，∴2a ≥，若B φ≠，则222125a a a a <+⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩，∴122a -≤<，综上12a ≥-.19．已知函数()212x xa f x b⋅+=+aR b ∈是奇函数，且函数图像经过点()1,3(1)求a ，b 的值；(2)若函数()()()2212,02,0x f x x g x x x x ⎧⋅--≤⎪=⎨-+>⎪⎩，讨论方程()g x m =（R m ∈）解的情况【正确答案】(1)1a =，1b =-(2)答案见解析【分析】（1）运用奇函数的性质()()f x f x -=-及(1)3f =列方程求解即可.（2）将问题转化为()y g x =与y m =交点个数，画出()y g x =的图象，看图可得结果.【详解】（1）因为()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，即()()2212112221022x x x x x x a a ab a b ab b b--⋅+⋅+=-⇒+⋅++⋅++=++，所以10101ab a a b b ⎧+==⎧⇒⎨⎨+==-⎩⎩或11a b =-⎧⎨=⎩又因为()13235f a b =⇒-=，所以1a =，1b =-.（2）由（1）知，()2121x x f x +=-，所以()()()()2221,0212,011,02,0x x x f x x g x x x x x x ⎧⎧-≤⋅--≤⎪⎪==⎨⎨--+>-+>⎪⎪⎩⎩，则()g x图象如图所示，①当1m >，方程无解；②当1m =或0m <时，方程有1个解；③当0m =时，方程有2个解；④当01m <<时，方程有3个解.20．已知函数()4f x x x =+.(1)证明：函数()4f x x x=+在区间()0,2单调递减，并求函数()f x 在区间[]1,8的值域；(2)当a R ∈时，解关于x 的不等式.()()()2121xf x a x a x>-++【正确答案】(1)证明见解析，174,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)答案见解析【分析】（1）利用函数的单调性定义证明，再根据函数的单调性求值域；（2）将不等式转化为()()220ax x -->，再分0a <，0a =，01a <<，1a =，1a >时，讨论求解.【详解】（1）证明：1x ∀，()20,2x ∈，且12x x <，则()()()()()121212121212121244444x x x x f x f x x x x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由1202x x <<<，得120x x -<，1240x x -<，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()f x 在区间()0,2上单调递减；同理可知()f x 在[)2,+∞上单调递增，所以()f x 在[)1,2单调递减，在[]28,单调递增，所以()()min 24f x f ==，又()15f =，()1782f =，所以()f x 值域为174,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）原不等式化为：()()()22140220ax a x ax x -++>⇒-->，①0a <时，202a<<，解得22x a <<，②0a =时，不等式化为240x -+>，解得2x >.③当22a >，即01a <<时，得2x <或2x a >.④当22a =，即1a =时，得到()220x ->，所以2x ≠；⑤当22a <，即1a >时，得2x a<或2x >.综上所述，当0a <时，不等式解集为2,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当0a =时，不等式解集为()2,+∞；当01a <<时，不等式的解集为()2,2,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；当1a =时，不等式的解集为()(),22,-∞+∞ ；当1a >时，不等式的解集为()2,2,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ .21．第五届中国国际进口博览会是由商务部和上海市人民政府主办、中国国际进口博览局和国家会展中心（上海）承办的大型博览会.2022年11月4日晚，以视频方式出席在上海举行的第五届中国国际进口博览会开幕式并发表题为《共创开放繁荣的美好未来》的致辞.11月5日至10日，博览会在国家会展中心（上海）举行，共有145个国家、地区和国际组织参展.在此博览会期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场.已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80万元，设该公司一年内生产该设备x 万台，且全部售完，且每万台的销售收入()G x （万元）与年产量x （万台）的函数关系式近似满足()21802,020,2000900070,20.x x G x x x x -<≤⎧⎪=⎨+->⎪⎩(1)写出年利润()W x （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式；（年利润＝年销售收入－总成本）(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求最大利润.【正确答案】(1)()2210050,0209000101950,20x x x W x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩(2)当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为1350万元.【分析】（1）利用所给的公式进行列解析式即可；（2）当020x <≤时，利用二次函数的性质求得最值，当20x >时，利用基本不等式求得最值，然后两个值进行比较即可【详解】（1）由题意可得()()8050W x xG x x =--，∴()2210050,0209000101950,20x x x W x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩（2）当020x <≤时，()()222100502251200W x x x x =-+-=--+，在(]0,20上单调递增，∴当20x =时，()W x 取最大值，该值为()()max 2022512001150W x W =-+==⨯（万元）；当20x >时，()900090019501019501019501021350W x x x x x ⎛⎫=--=-+≤-⨯ ⎪⎝⎭.当且仅当900x x=，即30x =时，等号成立.∴此时，()max 1350W x =（万元）.综上所述，当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为1350万元.22．已知函数()122xx f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)直接写出()f x 在[)0,∞+上的单调性，并解关于t 的不等式()()21f t f t ≥+；(2)若函数()()()223h x f x mf x =-+，[]1,2x ∈-是否存在实数m ，使得()h x 的最小值为0？若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)函数在[)0,∞+上单调递增；113t t t ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或(2)存在，54m =【分析】（1）根据指数型复合函数的单调性判断()f x 的单调性，再判断()f x 的奇偶性，根据奇偶性与单调性，将函数不等式化为自变量的不等式，解得即可；（2）首先求出()()223y f x mf x =-+的解析式，令122xx k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，设()()222211g k k mk k m m =-+=-+-，172,4k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，分2m ≤、1724m <<、174m ≥三种情况讨论，分别求出函数的最小值，即可求出参数的值.【详解】（1）解：令2x t =，因为[)0,x ∈+∞，则1t ≥，令1()h t t t=+，[)1212,1,,t t t t ∀∈+∞<，1212121212111()()()()(1)h t h t t t t t t t t t -=+-+=--，因为121t t <<，则121210,10t t t t -<->，因此12()()0h t h t -<，即12()()h t h t <，所以1()h t t t=+在[)1,+∞上单调递增，又2x y =在[)0,∞+上单调递增，所以()122xx f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[)0,∞+上单调递增，又()()112222x xx x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭=⎝⎭即()122xx f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是偶函数，又()()()()212121f t f t f t f t t t ≥+⇔≥+⇔≥+，两边平方可得23210t t --≥，解得1t ≥或13t ≤-，所以不等式的解集为113t t t ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或.（2）解：函数()()2211223222322x x xx y f x mf x m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+-++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，对于（1）中的1()h t t t=+，()1212,0,1,t t t t ∀∈<，1212121212111()()()()(1)h t h t t t t t t t t t -=+-+=--，因为1201t t <<<，则121210,10t t t t -<-<，因此12()()0h t h t ->，即12()()h t h t >，所以1()h t t t=+在()0,1上单调递减，令122xx k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由[]1,2x ∈-可知，172,4k ⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以由2221111222322212222x x x x x x x x y m m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++=+-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，设()()222211g k k mk k m m =-+=-+-，172,4k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，①当2m ≤时，()g k 在172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，所以()()min 2540g k g m ==-=，解得54m =，符合题意，②当1724m <<时，()g k 在()2,m 单调递减，在17,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，所以()()2min 10g k g m m ==-=，解得1m =±，不符合题意，舍去，③当174m ≥时，()g k 在172,4⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，所以()2min 171717210444g k g m ⎛⎫⎛⎫==-⋅+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得305136m =，不符合题意，舍去，综上可知，54m =。