初中数学知识点精讲精析 坐标平面内图形的轴对称和平移

4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移学习目标1.了解关于坐标轴对称与原点对称的两个点的坐标变换。

2.会求与已知点关于坐标轴和原点的坐标。

知识详解1．图形的坐标变化与图形平移之间的关系在平面直角坐标系中，当纵坐标不变，横坐标都加上或减去一个正数a时，图形会向右或向左平移a个单位长度；当横坐标不变，纵坐标都加上或减去一个正数a时，图形会向上或向下平移a个单位长度．2.图形的坐标变化与图形的伸长和压缩之间的关系在平面直角坐标系中，当图形的纵坐标不变，横坐标扩大或缩小一定倍数时，图形就相应地被横向拉长或压缩该倍数，而纵向不变；当图形的横坐标不变，纵坐标扩大或缩小一定倍数时，图形就相应地被纵向拉长或压缩该倍数，而横向不变．坐标与图形变化的对应关系当横坐标不变，纵坐标扩大或缩小为原来的a倍时，图形就要被纵向拉长或压缩为原来的a 倍；当纵坐标不变，横坐标扩大或缩小为原来的b倍时，原图形就要被横向拉长或压缩为原来的b倍．3．图形的坐标变化与图形的轴对称之间的关系在平面直角坐标系中，当图形上各点的横坐标不变，纵坐标乘－1时，所得的新图形与原图形关于x轴对称；当图形上各点的纵坐标不变，横坐标乘－1时，所得的新图形与原图形关于y轴对称；当图形上各点的横、纵坐标都乘－1时，那么所得到的新图形与原图形关于原点对称．对称点的坐标变化规律：对应点的坐标对称情况可以简单记为：关于横轴对称，“横不变，纵相反”；关于纵轴对称，“纵不变，横相反”；关于原点对称，“全相反”．4．图形的变换与点的坐标的关系将图形放在平面直角坐标系中，我们可以求得各顶点的坐标，反过来，知道了一些点的坐标，我们还可以将各点顺次连接起来得到一些有趣的图形．通过点的坐标的变化与图形的变换，可以得到图形变换的规律．图形是由点组成的，点的坐标发生了变化，图形也会发生相应的变化；图形移动时，点的坐标也发生变化．其变化规律为：（1）纵坐标不变，横坐标按比例增大时，图形被横向拉长；纵坐标不变，横坐标按比例减小时，图形被横向“压缩”．（2）图形向右平移时，纵坐标不变，横坐标增大；图形向左平移时，纵坐标不变，横坐标减小；图形向上平移时，横坐标不变，纵坐标增大；图形向下平移时，横坐标不变，纵坐标减小．（3）横坐标加上一个数，纵坐标不变时，图形左、右平移（加负数，左移，加正数，右移）；纵坐标加上一个数，横坐标不变时，图形上、下平移（加正数，上移，加负数，下移）．（4）横坐标不变，纵坐标乘－1时，所得图形与原图形关于x轴对称；纵坐标不变，横坐标乘－1时，所得图形与原图形关于y轴对称．5．从变化的“鱼”中探索坐标变化与图形变化的关系通过变化的“鱼”，在坐标系内，将图形的坐标变化与图形的平移、轴对称、伸长、压缩巧妙地融合在一起，既体现了图形的现实性、趣味性，又体现了数学的深刻性以及数形结合的思想方法．平移：原图形的坐标中，横坐标保持不变，纵坐标分别增加（减少）a（a＞0），则所得图案被向上（向下）平移a个单位长度，形状、大小未发生改变；反之，纵坐标不变，横坐标分别增加（减少）a（a＞0），则所得图案被向右（向左）平移a个单位长度．轴对称：原图形的坐标中，横（纵）坐标保持不变，纵（横）坐标分别乘－1，则所得的图案与原图案关于横轴（纵轴）对称．伸长：新图案的坐标变为原图案坐标的a倍，则将原图案伸长a倍，便可得新图案．压缩：新图案的坐标变为原图案坐标的1a（a＞1），则将原图案压缩1a，便可得新图案．【典型例题】例1：如图①所示的箭头是将坐标为（0,0），（1,2），（1,1），（4,1），（4，－1），（1，－1），（1，－2），（0,0）的点用线段依次连接而成的，若纵坐标保持不变，横坐标分别加1，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图案与原来的图案相比有什么变化？若是横坐标保持不变，纵坐标分别减2呢？【答案】若纵坐标保持不变，横坐标分别加1，则所得各点的坐标依次是（1,0），（2,2），（2,1），（5,1），（5，－1），（2，－1），（2，－2），（1,0），将各点用线段依次连接起来，所得图案如图②所示，所得图案与原图案相比，箭头的形状、大小不变，整个箭头向右平移了1个单位长度．若横坐标保持不变，纵坐标分别减2，则所得各点的坐标依次是（0，－2），（1,0），（1，－1），（4，－1），（4，－3），（1，－3），（1，－4），（0，－2），将各点用线段依次连接起来所得图案如图③所示，所得图案与原图案相比，箭头的形状、大小不变，整个箭头向下平移了2个单位长度．【解析】当横坐标不变，纵坐标加上或减去一个正数a时，原图形就相应地向上或向下平移a个单位长度；当纵坐标不变时，横坐标加上或减去一个正数a时，则原图形会向右或向左平移a个单位长度．例2：按要求回答问题：（1）在平面直角坐标系中描出点（1,2），（1,4），（1,6），（3,6），（1,4），（3,2），（1,2），并将各点用线段依次连接起来．（2）将上述各点作如下变化：①纵坐标不变，横坐标分别变成原来的2倍，再将所得的点用线段按第一问中的顺序连接起来，所得的图形与原来的图形相比有什么变化？②横坐标保持不变，纵坐标分别加3呢？③横、纵坐标分别乘－1呢？【答案】（1）如图所示．（2）①按题中的变化要求各点的坐标依次是：（2,2），（2,4），（2,6），（6,6），（2,4），（6,2），（2,2）．所得的图案如图所示，与原图案相比，图形被横向拉伸为原来的2倍．②各点的坐标依次是：（1,5），（1,7），（1,9），（3,9），（1,7），（3,5），（1,5）．所得的图案如图所示，与原来的图案相比，图形向上平移了3个单位长度．③各点的坐标依次是：（－1，－2），（－1，－4），（－1，－6），（－3，－6），（－1，－4），（－3，－2），（－1，－2）．所得的图案如图所示，与原图案相比，图形绕O点旋转了180°，即两个图形关于O点成中心对称．【解析】解决本题的关键是分别在两坐标轴上找到对应点，过这两点分别平行于两坐标轴的直线的交点即为所求的点．如要描点（1,6）的位置，先在x轴上找到点1，在y轴上找到点6，过这两点分别平行于两坐标轴的直线的交点即为所求的点；理解平移、旋转、伸缩等图形的特征．例3：下面的方格纸中画出了一个“小猪”的图案，已知每个小正方形的边长为1.（1）“小猪”所占的面积为多少？（2）在上面的方格纸中作出“小猪”关于直线DE对称的图案（只画图，不写作法）；（3）以G为原点，GE所在直线为x轴，GB所在直线为y轴，小正方形的边长为单位长度建立平面直角坐标系，可得点A的坐标是（__________，__________）．【答案】（1）观察图形：“小猪”所占面积包括29个小正方形和7个小三角形面积和，每个小三角形面积是小正方形面积的一半，所以“小猪”所占面积为32.5.（2）“小猪”关于直线DE对称的图案如图所示．（3）点A的坐标是（－4,1）．【解析】（1）只要数一数正方形的个数就能解决；（2）先利用网格的条件找到每个点的对称点，再连接起来即可；（3）按要求画出直角坐标系立即可得答案，这样的问题可充分考查学生的动手能力，又让学生在操作中体验着成功．【误区警示】易错点1：平面直角坐标运用1.如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为（）A．4B．5C．6D．不能确定【答案】B【解析】根据题意可得OB=4，OD=3，从而利用勾股定理可求出BD，再有等腰梯形的对角线相等的性质可得出AC的值．易错点2：轴对称2.平面直角坐标系中，点P的坐标为（-5，3），则点P关于y轴的对称点的坐标是（）A．（5，3）B．（-5，-3）C．（3，-5）D．（-3，5）【答案】A【解析】点P（-5，3）关于y轴的对称点的坐标是（5，3）．【综合提升】针对训练1.已知点M到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，则M点的坐标为（）A．（1，2）B．（-1，-2）C．（1，-2）D．（2，1），（2，-1），（-2，1），（-2，-1）2.点P（-2，3）关于x轴对称点的坐标是（）A．（-3，2）B．（2，-3）C．（-2，-3）D．（2，3）3.在平面直角坐标系中，点P（-1，2）关于x轴的对称点的坐标为（）A．（-1，-2）B．（1，-2）C．（2，-1）D．（-2，1）1.【答案】D【解析】∵点M到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，∴点M的横坐标为2或-2，纵坐标是1或-1，∴点M的坐标为（2，1），（2，-1），（-2，1），（-2，-1）．2.【答案】C【解析】∵关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，∴点P（-2，3）关于x 轴对称点的坐标是（-2，-3 ）．3.【答案】A【解析】点P（-1，2）关于x轴的对称点的坐标为（-1，-2）．【中考链接】（2014年孝感）如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（）A．（2，10）B．（﹣2，0）C．（2，10）或（﹣2，0）D．（10，2）或（﹣2，0）【答案】C【解析】∵点D（5，3）在边AB上，∴BC=5，BD=5﹣3=2，①若顺时针旋转，则点D′在x轴上，OD′=2，所以，D′（﹣2，0），②若逆时针旋转，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，所以，D′（2，10），综上所述，点D′的坐标为（2，10）或（﹣2，0）课外拓展平移不改变图形的形状和大小，平移后的图形与原图形上对应点连接的线段平行（或在同一条直线上）且相等。

它是等距同构，是仿射空间中仿射变换的一种。

它可以视为将同一个向量加到每点上，或将坐标系统的中心移动所得的结果。

即是说，若是一个已知的向量，是空间中一点，平移。