《抽象代数》课程大纲(草稿-细节待完善)

《抽象代数》课程大纲（草稿－细节待完善）
一、课程简介
课程名称：抽象代数学时/学分：68/4
先修课程：线性代数（E）
面向对象：致远学院本科生（计算机班）
教学目标：本课程是为致远学院（计算机班）开设的系列代数课程的第二部分。

通过整个课程的学习使学生掌握近世代数学（又叫抽象代数）的基本理论、思想与方法，使学生的计算能力和抽象思维能力得到系统的训练和提高，为将来进一步学习其它专业课程和将来的应用奠定坚实的代数基础。

在教学过程中特别强调结合具体的例子来理解近世代数学的数学思想和思维方法，注意介绍最新的科研成果以开阔同学的视野。

主要内容：群（子群、群同态及基本定理、 Sylow定理、群作用及其应用），环（环同态、理想、商环、 多项式环与矩阵环），域（素子域，域的扩张， 可裂域与有限域）
二、教学内容
第一章 预备知识
主要内容：等价关系、等价类、商集合与满映射; 数论中的整除与同余：Euler定理与Fermat小定理
重点与难点：商集合与满映射的一一对应性
第二章群与对称性
主要内容：群的定义以及重要例子（循环群、二面体群与其他旋转群）；子群与旁集（Coset）: Lagrange定理，计数公式（1）；正规子群与商群；群同态基本定理重点与难点：群同态基本定理；商群
第三章群作用
主要内容：群作用与群方程；各种具体的群作用（共轭作用；Cayley定理；抽象群作用）；Burnside引理及其应用；Sylow定理及其应用
重点与难点：群作用；轨道个数的计数公式（即群方程）
第四章环
主要内容：子环与理想、商环；多项式环及其商环；模n的剩余类环；PID与欧氏整环；整环中的素元与不可约元；UFD
重点与难点：理想与商环；环的特征；分解问题
第五章域
主要内容：素域与域扩张; 单扩域；代数扩域：定义及例子;分裂域、正规扩域; 有限域：重点是分裂域和有限域
重点与难点：域扩张；分裂域
三、教学进度安排
第一章．预备知识(6课时)
1.1．等价关系、等价类、商集合与满映射（4学时）
1.2．初等数论中的整除与同余：Euler定理与Fermat小定理（2学时）
习题课（2学时）
第二章. 群与对称性（20学时）
2.1．群的定义以及重要例子（循环群、二面体群与其他旋转群；置换群） （4学时）
2.2．子群与旁集（Coset）: Lagrange定理，计数公式（1）；由子集生成的子群；群的表达式（generators and relations）（6学时）
2.3．正规子群与商群： 定义；重要例子；Cauchy引理（作为商群的应用）（4学时）
2.4. 群同态基本定理以及第一第二同构定理; （2学时）
2.5. 自同构与内自同构（2学时）
2.6. 群的内、外直积（2学时）
习题课（2学时）
第三章. 群作用（共10学时）
3.1抽象群作用： 轨道； 稳定化子； 计数公式(2)（2学时）
3.2 群方程；各种具体的群作用（共轭作用；Cayley定理；抽象群作用）
（3学时）
3.3 Burnside引理及其应用（2学时）
3.4 Sylow定理及其应用（3学时）
习题课（2学时）
第四章．环(16学时)
4.1 定义（均有单位元且为结合环）以及重要例子（矩阵环，多项式环，形式幂级数环， 整数剩余类环） (2学时)
4.2子环与理想： 重点是理想； 理想的生成问题；（2学时）
4.3商环与环同态：同态基本定理及其应用（4学时）
4.4 素理想与整环；最大理想与域 （2学时）
4.5 多项式环及其商环的表达（与多项式带余除法的联系）（2学时）
4.6. PID与欧氏环（2学时）
4.7. 整环中的不可约元与素元；UFD理论介绍（2学时）
习题课（2学时）
第五章. 域（共12学时）
5.1素域与域扩张： 强调与线性代数的联系（2学时）
5.2单扩域；代数扩域： 强调与多项式环商环构造的联系（4学时）
5.3 分裂域与正规扩域（2学时）
5.4有限域（4）
习题课（2学时）
第六章. 偏序集、格与Bool代数（共4学时）
6.1 偏序集与格 （2学时）
6.2 Bool代数（2学时）
习题课－总复习（2学时）
四、课程考核及说明
（1） 20%为平时成绩
20%为大作业（小论文）
60%为考试成绩
（2）总课时（68学时）之外安排大约12学时习题课，由助教唱主角；另有若干次答疑（一般放在第8周后的周六或者周日进行）。

五、教材与参考书
教材：Artin M., Algebra, 1991年第一版（Pearson Education）; 2004年3月(机械工业出版社)
参考书： 胡冠章，应用近世代数，清华大学出版社，2001年版。