高中数学之导数研究函数的单调性含答案
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专题02 导数研究函数的单调性
1．已知函数f（x）=ax3+6x2-3x+1在区间（1，2）上是减函数，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
∵，
∴．
∵在区间上是减函数，
∴上恒成立，
即上恒成立．
∵，
∵，
∴．
∴实数的取值范围为．
故选A．
2．函数的定义域为对任意，则的解集为（）A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
令，则，
所以上的增函数，又，
故的解是的解，所以的解为.
故等价于，所求解集为，故选B.
3．设函数上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
令，因为函数上是可导的偶函数，所以上也是偶函数
又当时，上是增函数
选B.
4．已知函数，则的增区间为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
∵，
∴．
由，得，解得．
∴函数的增区间为．
故选B．
5．函数上单调递增，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
因为函数连续可导且单调递增，
所以恒成立，
分离参数得恒成立，即，故选D。
6．已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数)，下面四个图象中的图象大致是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
由函数y＝xf′（x）的图象可知：
当x＜﹣1时，xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此时f（x）增
当﹣1＜x＜0时，xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此时f（x）减
当0＜x＜1时，xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此时f（x）减
当x＞1时，xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此时f（x）增．
故选C.．
7．设函数在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．[－∞，2)B．(1，2]C．(0，3]D．(4，＋∞]
【答案】B
【解析】
函数的定义域为，由函数的解析式可得：，
据此可得函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
结合题意有：，解得：，
即实数a的取值范围是(1，2].
本题选择B选项.
8．函数的定义域为R，，对任意的，都有成立，则不等式的解集为
A．B．C．D．R
【答案】A
【解析】
原不等式化为，
令，
则，
对任意的，都有成立，
恒成立，
在R上递减，
，
的解集为，
故选：A．
9．若函数y在（1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（）
A．a B．a＞-2C．a D．a＞-1
【答案】A
【解析】
依题意，函数在上有，即恒成立，由于，故，所以.故选A.
10．已知函数的图像如图所示，则函数的单调递增区间为（）
A．B．C．D．R
【答案】B
【解析】
当时，，由图像可知，对应的取值范围是，故选B.
11．设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x）的图象可能是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
根据的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有选项符合，故本题选A.
12．设函数f（x）是定义在区间上的函数，f'（x）是函数f（x）的导函数，且
，则不等式的解集是( )
A．B．（1，＋∞）C．（－∞，1）D．（0，1）
【答案】D
【解析】
构造函数，则，由，所以，即上单调递增。因为，则不等式，可变为，则
，所以，所以，故选D
13．若函数上是减函数，则实数的取值范围是______。
【答案】
【解析】
∵函数，
∴，
∵函数在实数R上是减函数，
∴的解集是R，
∴△＝16+12a≤0，
解得a，
∴实数a的取值范围是（﹣∞，]．
故答案为：（﹣∞，]．
14．函数的单调减区间是_____________.
【答案】
【解析】
由题意得函数的定义域为R．
∵，
∴，
由，解得．
∴函数的单调减区间是．
故答案为：．
15．已知函数f(x)=2lnx-ax2,若α，β都属于区间[1,4]，且β-α=1，f(α)=f(β),则实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】
解：f′（x）＝（x＞0）
当a≤0 时，f′（x）＞0恒成立，则f（x）在（0，+∞）上递增，则f（x）不可能有两个相等的函数值．故a>0；
由题设f（α）＝f（β）则＝
考虑到β﹣α＝1，即2lnα﹣2lnβ+a（α+β）＝0
∴2lnα﹣2ln（α+1）+α（2+1）＝0，∈[1，3]
设h（x）＝2lnx﹣2ln（x+1）+α（2x+1）x∈[1，3]，a>0，
则h'（x）＝在上恒成立，
∴h（x）在[1，3]上递增，h（x）在[1，3]有零点，则
，∴，∴
故实数a的取值范围是．
16．已知y＝f（x）是定义在R上的函数，且f（1）＝1，f’（x）＞1，则f（x）＞x的解集是_____．【答案】（1，+∞）
【解析】
解：设g（x）＝f（x）﹣x，
则g′（x）＝f′（x）﹣1，
∵f（1）＝1，f′（x）＞1，
∴g′（x）＝f′（x）﹣1＞0，即g（x）单调递增，
且g（1）＝f（1）﹣1＝0，
当x＞1时，g（x）＞g（1），
即f（x）﹣x＞0，
则f（x）＞x，
即f（x）＞x的解集是（1，+∞），
故答案为：（1，+∞）
17．函数过点.
（1）求函数的单调区间
（2）求函数在区间上的最大值和最小值。
【答案】（1）的增区间为，减区间为．
（2）
【解析】
(1)点在函数的图象上，