高中数学选修2-1精品课件15：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

活学活用 设 x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的 一个基底．给出下列向量组： ①{a，b，x}，②{x，y，z}， ③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}． 其中可以作为空间的基底的向量组有______个．
【解析】如图，所设 a＝―A→B ，b＝―AA→1 ， c＝―AD→，则 x＝―AB→1 ，y＝―AD→1 ，z＝―AC→， a＋b＋c＝―AC→1 .由 A，B1，D，C 四点不 共面可知向量 x，y，z 也不共面．同理可知 b，c，z 和 x，y，a＋b＋c 也不共面，可以作为空间的基底．因 x＝a＋b，故 a，b，x 共面，故不能作为基底． 【答案】3
3.1.4 空提出问题 如图，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 4，在 AB，AD，AD1 上分别取单位向量 e1，e2，e3.
问题 1：e1，e2，e3 共面吗？ 提示：不共面． 问题 2：试用 e1，e2，e3 表示―AB→1 . 提示：―AB→1 ＝4e1＋4e2＋4e3.
－3x＋y＝1，
∴x＋y＝2， 2x－y＝－1，
此方程组无解，
即不存在实数 x，y，使―O→A ＝x―O→B ＋y―O→C 成立． ∴―O→A ，―O→B ，―O→C 不共面． 故{―O→A ，―O→B ，―O→C }能作为空间的一个基底．
类题通法 判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基底， 关键是要判断这三个向量是否共面，首先应考虑三个向 量是否是零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如 果从正面难以入手判断三个向量是否共面，可假设三个 向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方 程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向 量不共面．
类题通法
用基底表示向量时： (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形 法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行； (2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量 使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向 量的模及其夹角已知或易求．
问题 3：若 M 为 A1B1 的中点，能否用 e1，e1，e3 表示―AM→？ 提示：能，―AM→＝4e1＋2e2＋4e3.
导入新知 空间向量基本定理 如果三个向量 a，b，c 不共面 ，那么对空间任一向量 p， 存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝ xa＋yb＋zc . 其中，{a，b，c}叫做空间的一个 基底 ，a，b，c 都 叫做 基向量 ．
化解疑难 空间向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对 应，即若基底为{e1，e2，e3}，b＝λe1＋μe2＋ke3，则 b 的坐标为(λ，μ，k).
常考题型 题型一 空间向量基本定理的理解 例 1 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且―O→A ＝ e1＋2e2－e3，―O→B ＝－3e1＋e2＋2e3，―O→C ＝e1＋e2－ e3，试判断{―O→A ，―O→B ，―O→C }能否作为空间的一个 基底．
解：假设―O→A ，―O→B ，―O→C 共面， 由向量共面的充要条件知存在实数 x，y， 使―O→A ＝x―O→B ＋y―O→C 成立． ∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)．
＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3. ∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3 不共面，
题型二 空间向量基本定理的应用 例 2 如图，四棱锥 P-OABC 的底面为一 矩形，PO⊥平面 OABC，设―O→A ＝a，―O→C ＝b，―O→P ＝c，E，F 分别是 PC 和 PB 的 中点，试用 a，b，c 表示―B→F ，―B→E ，―A→E ，―E→F .
解：连接 BO，
则―B→F ＝12―B→P ＝12(―BO→＋―O→P ) ＝12(c－b－a)＝－12a－12b＋21c，
化解疑难 1．空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底． 基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示． 2．由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向 量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是0. 3．向量基本定理揭示了向量间的线性关系，即任一向量 都可由基向量唯一的线性表示，为向量的坐标表示奠定 了基础．
知识点二 空间向量的正交分解及其坐标表示 提出问题 {a，b，c}是空间的一个基底，{e1，e2，e3}是空间的单位 正交基底． 问题 1：基底中的每一个基向量一定是非零向量吗？ 提示：一定．
问题 2：任一向量 p＝xa＋yb＋zc，则数组(x，y，z)是 唯一的吗？ 提示：是．
问题 3：单位正交基底之间的数量积 e1·e2，e1·e3，e2·e3， e1·e1，e2·e2，e3·e3 分别为多少？
(3)空间向量的坐标表示： 对于空间任意一个向量 p，一定可以把它 平移 ，使它
的起点与原点 O 重合，得到向量―O→P ＝p，由空间向量 基本定理可知，存在有序实数组 {x，y，z}，使得 p ＝ xe1＋ye2＋ze3 .把 x，y，z 称作向量 p 在单位正交基 底 e1，e2，e3 下的坐标，记作 (x，y，z) ，即点 P 的坐 标为__p_＝__(_x，__y_，__z_)_．
提示：e1，e2，e3 是两两垂直的单位向量，故有 e1·e2 ＝e2·e3＝e1·e3＝0，e1·e1＝e2·e2＝e3·e3＝1.
导入新知 空间向量的正交分解及其坐标表示
(1)单位正交基底： 三个有公共起点 O 的 两两垂直 称为 单位正交基底 ．
的单位向量 e1，e2，e3
(2)空间直角坐标系： 以 e1，e2，e3 的公共起点 O 为原点，分别以 e1，e2，e3 的 方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz.
―B→E ＝―BC→＋―C→E ＝－a＋12―C→P ＝－a＋12(―CO→＋―O→P )＝－a－12b＋21c， ―A→E ＝―A→P ＋―P→E ＝―AO→＋―O→P ＋21(―PO→＋―O→C ) ＝－a＋c＋12(－c＋b)＝－a＋12b＋21c， ―E→F ＝12―C→B ＝21―O→A ＝12a.