线性代数第2章_向量与矩阵习题解1

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线性代数—向量与矩阵习题附问题详解

向量与矩阵习题2-1．设T)6,3,1(=α，T)5,1,2(=β，T)3,3,4(-=γ，求：（1）732αβγ--；（2）23αβγ-+．解（1） 7327(1,3,6)3(2,1,5)2(4,3,3)(7,24,21)TTTTαβγ--=---=-. 解（2） 232(1,3,6)3(2,1,5)(4,3,3)(0,0,0)TTTTαβγ-+=-+-=. 2-2．设(1,1,1,1)Tα=--，(1,2,2,1)Tβ=, （1）将βα,化为单位向量；（2）向量βα,是否正交.解（1）T )1,1,1,1(211--=αα,T )1,2,2,1(1011=ββ.解（2）由于(,)0αβ=,所以向量βα,正交. 2-3．计算：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛390201062317423；（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10101211153212121132.解（1） 247610200213132093303⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.解（2） 311111173221252106341231013411---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2-4．计算下列乘积：（1）解 43173512328570149⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）解 311111621212211611123101814--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（3）11112122122212000000n n m m m mn d a a a d a a a d a a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 解 11112122122212000000n n m m m mn d a a a d a a a d a a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭111112112212222212n n m m m m m mn d a d a d a d a d a d a d ad a d a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （4）11121121222212000000n n m m mn n a a a d a a a d a a a d ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 解 11121121222212000000n n m m mn n a a a d a a a d aa a d ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭111122121122221122n n n n m m mn n a d a d a d a d a d a d a d a d a d ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （5）111213112312222321323333(,,)a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.解 111213112312222321323333(,,)a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭222111222333121213132323222a x a x a x a x x a x x a x x =+++++2-5．已知)2,0,1,1(=A ，(4,1,2,1)T B =-,求AB 和T T B A ．解 )5(=AB .⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2428000012141214T T B A .2-6．如果)(21E B A +=，证明A A =2当且仅当E B =2时成立．证必要性. 已知)(21E B A +=,且A A =2,有211()()22B E B E ⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦, 即()2112()42B B E B E ++=+, 化简得 2B E =.充分性. 由)(21E B A +=得 2B A E =-,又 E B =2,代入得2(2)A E E -=,化简得 2A A =.证毕.2-7．设2TA E αα=-，其中E 是n 阶单位矩阵，α是n 维单位列向量．证明对任意一个n 维列向量β，都有ββ=A ．证因2T A E αα=-,故对任意一个n 维列向量β有,2T A ββααβ=-, 从而有()()2,2,2T T A A A ββββααββααβ==--()()22TTTβααββααβ=--()()2224444,T T T T T T T T T T TTTTTT ββααβααββββααββααααββββααββααββββ=--=-+=-+==故有ββ=A ，证毕.2-8．对于任意的方阵A ，证明：（1）TA A +是对称矩阵，TA A -是反对称矩阵；（2）A 可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和．证（1）由()()TTT T T T T A A A A A A A A +=+=+=+,所以T A A +是对称矩阵；()()()TTT T T T T A A A A A A A A -=-=-=--,所以T A A -是反对称矩阵.证（2） ()()1122TT A A A A A =++-. 2-9．证明：如果B A ,都是n 阶对称矩阵，则AB 是对称矩阵的充分必要条件是A 与B 是可交换的．证必要性. 因,TTA AB B ==，且()TAB AB =,有()TT T AB B A BA AB ===,所以A 与B 是可交换的.充分性. 由,TTA AB B ==，及AB BA =，得()TT T AB B A BA AB ===，所以AB 是对称矩阵.2-10．设A 是一个n 阶对称矩阵，B 是一个反对称矩阵，证明BA AB +是一个反对称矩阵．证由,TTA AB B ==-，得()()()TT TT T T T AB BA AB BA B A A B +=+=+()()()B A A B BA AB =-+-=-+，所以BA AB +是一个反对称矩阵．2-11．设n αα,,1 是n 个线性无关的向量，n n n k k k αααα+++=+ 22111，其中12,,,n k k k 全不为零．证明121,,,+n ααα 中任意n 个向量线性无关．证从向量组121,,,+n ααα 中任取n 个向量12111,,,,,,i i n ααααα-++，设有一组常数,1,,1,1,,1j l j i i n =-++使得11111111i i i i n n l l l l O αααα--+++++++++= （*）当1i n =+时，n αα,,1 线性无关，结论成立；当1i n ≠+时，将n n n k k k αααα+++=+ 22111代入（*）式得()11111111122,i i i i n n n l l l l k k k O αααααα--+++++++++++=整理得1111111111111()()()n i n i i n i i i n i i l l k l l k l k l l k αααα+-+--+++++++++++++1()n n n n l l k O α+++=,由于n αα,,1 是n 个线性无关的向量，所以1111111111111111111111000000n n i n i i n i n i n i i n i i n i n n n n n nl l k l l k l l k l l k l k l k l l k l l kl l k l l k ++-+--+-+++++++++++==-⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪+==-⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪+==-⎪⎪⎪⎪⎪⎪+==-⎩⎩，由于12,,,n k k k 全不为零，所以0,1,,1,1,,1j l j i i n ==-++，则向量组12111,,,,,,i i n ααααα-++线性无关，故121,,,+n ααα 中任意n 个向量线性无关．2-12．设向量组321,,ααα线性相关，向量组432,,ααα线性无关，（1）1α能否由32,αα线性表示？证明你的结论或举出反例．（2）4α能否由321,,ααα线性表示？证明你的结论或举出反例．解（1） 1α能由32,αα线性表示. 因321,,ααα线性相关，必有一组不全为零的常数123,,k k k ，使得112233k k k O ααα++=，下面只要证明10k ≠即可.若10k =，则23,k k 不全为0，于是有2233k k O αα+=，即23,αα线性相关；又由432,,ααα线性无关，所以其部分组32,αα必线性无关，得出矛盾，从而各10k ≠，即1α能由32,αα线性表示.解（2） 4α不能由321,,ααα线性表示. 如，1(1,0,0)Tα=2,(1,0,0)T α=，3(0,1,0)T α=，4(0,0,1)T α=，显然，321,,ααα线性相关，432,,ααα线性无关，但是4α不能由321,,ααα线性表示.2-13．求下列矩阵的秩：（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7931181332111511.解 2131413115111511123027431810274139704148r r r r r r -------⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 324221151027400000000r r r r ----⎛⎫ ⎪-⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，所以矩阵的轶为2. （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------11011111100222021110 解 140111211011022200222001111011111101101112r r ↔--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪----⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 232421211011011100020100202r r r r r +--⎛⎫ ⎪--⎪−−−→ ⎪- ⎪⎝⎭4311011011100020100003r r +-⎛⎫⎪-- ⎪−−−→⎪-⎪⎝⎭，所以矩阵的轶为4.2-14．判断下列向量组是否线性相关；如果线性相关，求出向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关组表示出来：（1）TT T )6,3,1(,)3,2,1(,)1,1,1(321===ααα；解用所给的3个向量作为列构造矩阵()123111,,123136A ααα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，对矩阵A 施行行初等变换：()31221123111111,,123012136002r r r r r A B ααα---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==−−−→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，矩阵B 的秩3，所以向量组线性无关.（2）TT T )14,7,0,3(,)2,1,3,0(,)4,2,1,1(321==-=ααα解用所给的3个向量作为列构造矩阵()123103130,,2174214A ααα⎛⎫ ⎪-⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，对矩阵A 施行行初等变换：()4321312212313103130033,,2170114214000r r r r r r A ααα-+-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪⎪==−−−→ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23233103011000000r r r r B -↔⎛⎫⎪⎪−−−→= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵B 的秩2，所以向量组线性相关，其中12,αα是其极大无关组，3123ααα=+.2-15．利用初等变换求下列矩阵的逆矩阵：（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------111111*********1.解 ()11111000111101001111001011110001A E ⎛⎫⎪--⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭21314111111000002211000202101002201001r r r r r r ---⎛⎫⎪---⎪−−−→ ⎪--- ⎪⎪---⎝⎭43234311111000020210100022110000041111r r r r r r -↔-⎛⎫⎪---⎪−−−→ ⎪--- ⎪ ⎪--⎝⎭4331412121111100001011201200011121200000114141414r r r --⎛⎫ ⎪- ⎪−−−→ ⎪- ⎪⎪--⎝⎭342414111034141414010014141414001014141414000114141414r r r r r r ---⎛-⎫⎪--⎪−−−→ ⎪-- ⎪⎪--⎝⎭123100014141414010014141414001014141414000114141414r r r --⎛⎫⎪-- ⎪−−−→⎪-- ⎪⎪--⎝⎭,因此 1111111111111141111A -⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭. （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2100121001120021解 ()12001000211001000121001000120001A E ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭21212001000031021000121001000120001r r -⎛⎫⎪--⎪−−−→ ⎪ ⎪⎪⎝⎭233234312001000012100100012000100732130r r r r r r ↔+↔⎛⎫⎪⎪−−−→ ⎪⎪⎪-⎝⎭4347(111)12001001210010001200010001211111311711r r r --⎛⎫⎪⎪−−−−→ ⎪⎪⎪--⎝⎭342421200100120211111141171100104112116113110001211111311711r r r r --⎛⎫⎪--⎪−−−→ ⎪-- ⎪⎪--⎝⎭2312221200111611411211010061131121111100104112116113110001211111311711r r r r --⎛--⎫⎪-- ⎪−−−→ ⎪-- ⎪⎪--⎝⎭,因此 11642632114263112137A ---⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭. 2-16．求解矩阵方程：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛63354321X 解记矩阵方程为AX B =,其中1253,3436A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由于122034A ==-≠，所以A 可逆，故1X A B -=. 构造()211223(12)12531070343601632r r r r r A B -+⨯-⎛⎫⎛-⎫=−−−−→⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以 170632X A B --⎛⎫==⎪-⎝⎭.（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--521234311111012112X . 解记矩阵方程为XA B =,其中211113210,432111125A B --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭, 由于30A =≠，所以A 可逆，故1X BA -=.()12133(1)211100111001|210010210010111001001110r r r r r A E -↔-⎛-⎫⎛-⎫ ⎪ ⎪=−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭13212122(13)10013013010212001110r r r r r r r --⨯+⎛⎫ ⎪−−−→-- ⎪ ⎪-⎝⎭,因此 1130********A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，从而有111313013221432212383523125110103353X BA ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==--=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2-17．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=012423321A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=87107210031B ,试用初等行变换求B A 1-．解依据()()1A B E A B -−−−−→初等行变换可得()21123130123130324102720195721010782101078r r A B -⎛--⎫⎛--⎫⎪ ⎪=-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭3213121212232322(1)2(1)(1)122887100645201957201957011121011121100645100645011121010212,001333001333r r r r r r r r r r r r r r r -+-----↔-⎛-----⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−→-−−−→- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−→-−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3332125461B A .2-18．用分块法求AB ：（1）1000103201001201,1210104111011100A B ⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎪⎪== ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭. 解 100010321032010012011201=121010412411110111001133AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪-- ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）230010121020001322,.1051140001102020000030A B -⎛⎫-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎪⎪==- ⎪-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭解 23001012151230200013225091105114000250011020200004000030AB -⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎪- ⎪⎪⎪-⎪ ⎪⎪==- ⎪ ⎪---⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭. 2-19．用分块法求下列矩阵的逆矩阵：（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1400520000120013. 解 1231003100210021000025002500410041A O A OA ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎛⎫ ⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎝⎭⎝⎭,因111112311125151,,2123414218A A ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则11100230000118518002919A --⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭. （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100001000100000cos sin 000sin cos a b a θθθθ.解 cos sin 000cos sin 000sin cos 000sin cos 00000100100010001000010001A a b a b a a θθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12A O O A ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 因 111cos sin cos sin sin cos sin cos A θθθθθθθθ---⎛⎫⎛⎫==⎪⎪-⎝⎭⎝⎭， 1212110101001001a b a a b A a a --⎛⎫--⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12cos sin 00sin cos 00000100010001A a a b a θθθθ--⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-- ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.2-20．把下列向量组正交化：（1）1(1,1,1)Tα=，2(1,2,3)T α=，3(1,4,9)T α=.解用施密特正交化方法得11111βα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，2122111111(,)6210(,)3311αββαβββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 3132331211221111(,)(,)14814102(,)(,)3239111αβαββαββββββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则321,,βββ是正交向量组．（2）()11,0,1,1Tα=-，()21,1,0,1Tα=-，()31,1,1,0Tα=-．解用施密特正交化方法得111011βα⎛⎫⎪ ⎪== ⎪- ⎪⎝⎭，2122111111103(,)21012(,)33111αββαβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，31323312112211111033(,)(,)2211123(,)(,)31550114αβαββαββββββ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则321,,βββ是正交向量组．2-21．已知()()121,0,1,0,0,1,1,1T Tαα==--，()31,1,1,1Tα=，()40,1,0,1Tα=-，（1）求1α与2α的夹角；（2）求123423αααα-+-；（3）求一个与1234,,,αααα等价的标准正交向量组．解（1）因为α==，β==(,)100(1)110(1)1αβ=⨯+⨯-+⨯+⨯-=，所以(,)arccosαβθαβ===. （2）因123423αααα-+-()()()()()21,0,1,00,1,1,11,1,1,130,1,0,13,1,2,5T T T T T=---+--=-，所以123423αααα-+-==（3）先将向量组1234,,,αααα正交化111010βα⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭， 2122111011102(,)11111(,)22102αββαβββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，31323312112211121021(,)(,)2211112(,)(,)2551021αβαββαββββββ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，43414244123112233(,)(,)(,)(,)(,)(,)αβαβαββαβββββββββ=---，01120102110000112010211--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则1234,,,ββββ是正交向量组.再将1234,,,ββββ单位化11110110γββ⎛⎫ ⎪⎪==⎪⎪⎝⎭，22212112γββ-⎛⎫ ⎪-⎪==⎪⎪-⎝⎭，33321121γββ-⎛⎫ ⎪⎪==⎪⎪⎝⎭，44401101γββ⎛⎫ ⎪⎪==⎪⎪-⎝⎭，则1234,,,γγγγ即为所求．2-22*．判别以下集合对于所指的运算是否构成实数域上的线性空间？ (1)次数等于(1)n n ≥的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数乘运算； (2)n 阶实对称矩阵的全体，对于矩阵的加法和数乘运算；(3)平面上不平行于某一向量的全体向量，对于向量的加法和数乘运算；(4)主对角线上各元素之和为零的n 阶方阵的全体，对于矩阵的加法和数乘运算．解（1）否,加法与数乘运算都不满足封闭性.（2）是.（3）否，加法与数乘运算都不满足封闭性. （4）否，加法运算不满足封闭性.2-23*．在n 维线性空间n R 中，分量满足下列条件的全体向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x 21α能否构成n R 的子空间？(1)120n x x x +++=；(2)121n x x x +++=．解（1）设1122,,,n n n x y x y R x y αβαβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且满足120,n x x x +++=120n y y y +++=；又11112222n n n n x y x y x y x y x y x y αβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，满足()()1122x y x y ++++， ()0n n x y ++=，而12,,n kx kx k R k kx α⎛⎫ ⎪ ⎪∀∈= ⎪ ⎪⎝⎭满足120,n kx kx kx +++=故此条件下能构成nR 的子空间.解（2）设1122,,,n n n x y x y R x y αβαβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且满足121,n x x x +++=121n y y y +++=，而 11112222n n n n x y x y x y x y x y x y αβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，有()()1122x y x y ++++，()21n n x y ++=≠，故此条件下不能构成n R 的子空间.2-24*．假设,,αβγ是线性空间V 中的向量，试证明它们的线性组合的全体构成V 的子空间．这个子空间叫做由,,αβγ生成的子空间，记做(),,L αβγ．证设有两组系数123123,,,,k k k l l l 与构成,,αβγ的两个线性组合，分别为1123k k k δαβγ=++，2123l l l δαβγ=++，且12,L δδ∈,其中L 是线性空间V 的非空子集；（i ）()()()12112233k l k l k l L δδαβγ+=+++++∈；（ii ）k 是任意数，有1k L δ∈，故L 构成V 的子空间.2-25*．设12,,,s ααα和12,,,t βββ是线性空间n V 的两组向量，证明生成子空间12(,,,)s L ααα和12(,,,)t L βββ相等的充分必要条件是12,,,s ααα和12,,,t βββ等价．证必要性.已知12(,,,)s L ααα=12(,,,)t L βββ，则必有12(,,,)s L ααα是12(,,,)t L βββ的子空间，12,,,s ααα可由12,,,t βββ线性表示，同时12(,,,)t L βββ是12(,,,)s L ααα的子空间，从而12,,,t βββ可由12,,,s ααα线性表示，故12,,,s ααα和12,,,t βββ等价.充分性.已知12,,,s ααα和12,,,t βββ等价，则12,,,s ααα可由12,,,t βββ线性表示，有12(,,,)s L ααα是12(,,,)t L βββ的子空间，同时12,,,t βββ可由12,,,s ααα线性表示，从而12(,,,)t L βββ是12(,,,)s L ααα的子空间，故12(,,,)s L ααα和12(,,,)t L βββ相等.2-26*．试证在4R 中，由(1,1,0,0)T，(1,0,1,1)T生成的子空间与由(2,1,3,3)T-，(0,1,1,1)T --生成的子空间相等．证记1(1,1,0,0)Tα=，2(1,0,1,1)T α=，1(2,1,3,3)T β=-，2(0,1,1,1)T β=-- 的两个生成子空间12(,)L αα和12(,)L ββ,由于1122123,βααβαα=-+=-且()()112212113,22αββαββ=+=+，所以向量组12,αα和12,ββ等价，故生成子空间12(,)L αα和12(,)L ββ相等.2-27*．在3R 中，求向量(3,7,1)Tα=在基123(1,3,5),(6,3,2),(3,1,0)T T T ααα===下的坐标．解构造矩阵()312212316331633,,,33173317520102110r r r αααα+-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 132133310033100333317010820211002110r r r r r ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−→−−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭3221003301082001154r r -⎛⎫ ⎪−−−→- ⎪ ⎪⎝⎭，故1233382154,αααα=-+向量α在基123,,ααα下的坐标为()33,82,154T-．2-28*．设W 是线性空间n V 的子空间，证明，若W 的维数等于n V 的维数n ，则W =n V ．证明由W 是线性空间n V 的子空间且W 的维数等于n ，则存在n 个线性无关的向量12,,,n W ααα∈是W 的一组基，故12(,,,)n W L ααα=；又由W 是线性空间n V 的子空间，则12,,,n n V ααα∈是n V 的一组基，故12(,,,)n n V L ααα=，所以W =n V ．2-29*．设1W 、2W 是线性空间V 的两个子空间，证明V 的非空子集W ={}121122,W W ααααα=+∈∈构成V 的子空间．这个子空间叫做1W 与2W 的和子空间，记做1W +2W ．证由W 的构成可知，它是线性空间V 的非空子集，下证W 构成V 的子空间:设,W αβ∈有1212,αααβββ=+=+，满足111222,,,W W αβαβ∈∈，则()()12121122αβααββαβαβ+=+++=+++，其中()111W αβ+∈，()222W αβ+∈，所以W αβ+∈；又任取数k ，有12k k k W ααα=+∈故W 构成V 的子空间．2-30．判断下列向量组的线性相关性：（1）123(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)===ααα；（2）123(1,2,3),(2,2,1),(3,4,4)===ααα；（3）123(1,1,1,0,2),(1,1,0,3,3),(1,0,0,2,3)==-=ααα．解（1）设有一组常数123,,k k k 使得112233123(1,1,1)(1,1,0)(1,0,0)k k k k k k O ++=++=ααα，即 ()()123121,,0,0,0k k k k k k +++=，得方程组 123121000k k k k k k ++=⎧⎪+=⎨⎪=⎩，据克莱姆法则知该方程组只有零解 123000k k k =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故123,,ααα线性无关．解（2）法一（依容进度）：显然312ααα=+，即有一组不全为零的常数1231,1,1k k k ===-，使112233123(1)k k k O ++=++-=αααααα成立，所以123,,ααα线性相关．解（2）法二：设有一组常数123,,k k k 使得112233123(1,2,3)(2,2,1)(3,4,4)k k k k k k O ++=++=ααα，即 ()()12312312323,224,340,0,0k k k k k k k k k ++++++=，得方程组 1231231232302240340k k k k k k k k k ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，因 1232240314A ==，故方程组有非零解123,,k k k ，所以123,,ααα线性相关．解（3）法一（依容进度）：显然123,,ααα它们各自前3个分量构成的向量组线性无关（本题的（1）），由本章定理7知（线性无关的向量组，相应地增加分量后仍线性无关），123,,ααα线性无关.解（3）法二：设有一组常数123,,k k k 使得123(1,1,1,0,2)(1,1,0,3,3)(1,0,0,2,3)k k k O +-+=，得方程组 123121231230003202330k k k k k k k k k k k ++=⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪-+=⎪⎪++=⎩，该方程组只有零解 123000k k k =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故123,,ααα线性无关．2-31．求下列向量组的秩，并判断其线性相关性：（1）123(1,1,1),(0,2,5),(1,3,6)TT T ===ααα；（2）T T T123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14)=-==βββ；（3）T T T123(1,1,3,1),(4,1,3,2),(1,0,1,2).==-=-γγγ解（1）用所给向量组构造矩阵()123101,,123156A ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ααα，对矩阵A 施行行初等变换：21323152101101101123022022156055000r r r r r r A B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=−−−→−−−→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，矩阵B 的秩是2，故矩阵A 的秩是2，所以向量组123,,ααα线性相关.解（2）用所给向量组构造矩阵()12313130,,2174214A ⎛⎫ ⎪- ⎪== ⎪⎪⎝⎭βββ,对矩阵A 施行行初等变换：214332311223131031031300330332170110004214000000r r r r r r r r A B +---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎪⎪⎪=−−−→−−−→= ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 矩阵B 的秩是2，故矩阵A 的秩是2，向量组123,,ααα线性相关.解（3）用所给向量组构造矩阵()123141110,,331122A ⎛⎫ ⎪⎪== ⎪-- ⎪⎝⎭γγγ，对矩阵A 施行行初等变换：34324342361411411411101101103310610121220120011r r r r r r r r A B ↔-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=−−−→−−−→= ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，矩阵B 的秩是3，故矩阵A 的秩是3，向量组123,,ααα线性无关.2-32．利用伴随矩阵求下列矩阵的逆矩阵：（1）123012001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.解因1231210001A -==≠,故1A -存在，计算代数余子式得111213212223311,0,0,2,1,0,7A A A A A A A ====-===，32332,1A A =-=，从而得*127012001A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,所以1*1271012001A A A --⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭．（2）104227012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．解因10422750012A ==≠,故1A -存在，计算代数余子式得1112132122233,4,2,4,2,1A A A A A A =-=-====-，3132338,1,2A A A =-==，从而得*348421212A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,所以1*348114215212A A A ---⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭．（3）1122401611-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭. 解因11224110611A -=-=≠--,故1A -存在，计算代数余子式得111213212223313,4,2,4,2,1,8A A A A A A A =-=-=====-，32331,2A A ==，从而得*102213418A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,所以1*1021213418A A A -⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭（4）1111111111111111⎛⎫⎪--⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭. 解因1111111116011111111A --==-≠----,故1A -存在，计算代数余子式得11121314212223244,4,4,44,4,4,4A A A A A A A A =-=-=-=-=-=-==， 31323334414243444,4,4,44,4,4,4A A A A A A A A =-==-==-===-，从而得*4444444444444444A ----⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭, 所以1*44441111444411111114444111116444441111A A A -----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪----⎪ ⎪==-= ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭． 2-33．（1）若322A A A E O ++-=，证明A 可逆，并求1A -；（2）若24A A E O --=，证明A E +可逆，并求1()A E -+.证（1）由322A A A E O ++-=3222(2)A A A E A A A E E ⇒++=⇒++=，即存在矩阵22B A A E =++,使得AB E =，故矩阵A 可逆，其逆矩阵为122A B A A E -==++.证（2）由24A A E O --=1()(2)2()(2)2A E A E E A E A E E ⎡⎤⇒+-=⇒+-=⎢⎥⎣⎦，即存在矩阵1(2)2B A E =-,使得AB E =，故矩阵A 可逆，其逆矩阵为 11(2)2A B A E -==-.2-34．设矩阵,A B 满足关系式2AB B A =+，且301110014A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵B .解由关系式2AB B A =+，整理得2AB B A -=，再由矩阵的分配律得(2)A E B A -=，即 ()12B A E A -=-，又由301110014A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则有1012110012A E ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭,求其逆矩阵得()111012112110221012111A E ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，故矩阵()12113015222221110432111014223B A E A -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-=--=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2-35．将下列矩阵化为行最简形矩阵：（1）11021330701123222273-⎛⎫ ⎪- ⎪⎪- ⎪⎪--⎝⎭.解 213141321102111021330700001311232002112227300235r r r r r r -----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪--⎪⎪−−−→ ⎪⎪- ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭4343232313221102111007002110020400013000130002600000r r r r r r r r r r ---↔---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪−−−→−−−→ ⎪⎪--⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ 21211007001020001300000r ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭-⎛⎫⎪⎪−−−→ ⎪-⎪⎝⎭. （2）11111732113201226235433112⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪⎪⎪-⎝⎭.解 4122111117111117321132321132012262301226235433112000000r r r --⎛⎫⎛⎫⎪⎪----⎪ ⎪−−−−→⎪⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭2323213111117111117012262301226230122623000000000000000000r r r r r r +↔-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1210115160122623000000000000r r -----⎛⎫⎪⎪−−−→ ⎪⎪⎝⎭.补充题B2-1．如果A A =2，则称n 阶矩阵A 为幂等阵．设B A ,是幂等阵，证明：（1）如果B A +也是幂等阵，则O BA AB =+；（2）如果B A ,是可交换的，则AB B A -+是幂等阵．证（1）若B A +是幂等阵，则必满足()2A B A B +=+,展开得22A AB BA B A B +++=+，又由B A ,是幂等阵，即22,A A B B ==，则上式简化得O BA AB =+，证毕.证（2）已知22,A A B B ==，且B A ,是可交换的，即AB BA =，则有()22222A B AB A AB A B BA B BAB ABA AB ABAB +-=+-++---+22222A AB AB BA B AB A B AB A B =+-++---+A BAB AB AB AB AB =++---+2A AB B AB A B AB =++-=+-,故AB B A -+是幂等阵.B2-2．证明：主对角线元素全为1的上三角形矩阵的乘积，仍是主对角线元素为1的上三角形矩阵．证把主对角线元素全为1的上三角形矩阵一般形式展开得1213123231111n n n a a a a a A E B a ⎛⎫⎪⎪⎪==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭12131232301001,0001000n n n a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭其中，矩阵B 为主对角线元素全为0的上三角形矩阵.任取两个主对角线元素全为1的上三角形矩阵，分别记作11A E B =+，22A E B =+，其中12,B B 为主对角线元素全为0的上三角形矩阵，则()()121221121212A A E B E B E EB B E B B E B B B B =++=+++=+++，由矩阵乘法定义，可知12B B 为主对角线元素全为0的上三角形矩阵，再由矩阵加法定义，得1212B B B B B =++仍为主对角线元素全为0的上三角形矩阵，故有12A A E B =+是主对角线元素全为1的上三角形矩阵，证毕.B2-3．设A 是可逆矩阵．证明：如果B A ,是可交换的，则B A ,1-也是可交换的．证已知B A ,是可交换的，即满足AB BA =；又由A 是可逆矩阵，则有()()()1111111A AB A BA B A BA BA A BA A A B -------=⇒=⇒==,所以B A ,1-是可交换的.B2-4．设B A ,为n 阶矩阵，且A 可逆．证明：对n n 2⨯矩阵()B A |施行初等行变换，当把矩阵A 变为单位矩阵E 时，B 即变为B A 1-．证由初等变换的性质，对n n 2⨯矩阵()B A |施行初等行变换，相当于在矩阵()B A |的左边乘上相应的初等矩阵，即存在初等矩阵12,,,n P P P ，使得题目叙述的运算过程即为：()()()21212121|||nnnn P P P A B P P PA P P PB E P P PB ==,则有21nP P P A E =,即121n AP P P -=，从而121nP P PB A B -=,即对n n 2⨯矩阵()B A |施行初等行变换把矩阵A 变为单位矩阵E 时，B 即变为B A 1-．B2-5．设n 维向量组121,,,-n ααα 线性无关，21,ξξ和121,,,-n ααα 均正交，证明21,ξξ线性相关．证设有一组数121,,,,,n k k k k -使得1112211n n k k k k O ξααα--++++= ①则由 ()()111122111,,n n k k k k O ξξαααξ--++++=，得()()21111111,,0n n k k k ξξαξα--+++=，因1ξ与121,,,-n ααα 均正交，上式简化为210k ξ=，从而有10k O ξ==或．（1）若1O ξ=时，则21,ξξ必线性相关；（2）若10k O ξ=≠而时，由①可得110n k k k -====，即1121,,,,n ξααα-线性无关，由定理8推论3知n +1个n 维向量12,ξξ和121,,,-n ααα 线性相关，再由定理4知，2ξ可由1121,,,,n ξααα-唯一线性表示，记 21112211n n l l l l ξξααα--=++++ ②任取,1,2,,1i i n α=-，由正交性()2,0,1,2,,1i i n αξ==-，代入②式展开化简得20,i il α=1,2,,1i n =-即0,1,2,,1i l i n ==-，所以②式化简为21l ξξ=，得21,ξξ线性相关，证毕.B2-6．（1）设021≠n a a a ，求⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000000000000000121 n n aa a a的逆矩阵．解设12100000000000000n n na a A a a -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则有 ()12(1,2)(2,3)1,n nn a a A E E E n n B a ⎛⎫⎪⎪-== ⎪ ⎪⎝⎭，即0001100001000010n n A B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，由条件021≠n a a a ，有n B 可逆，从而10001100001000010n nA B E -⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭，又121111n n a a B a -⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，所以 111210010001100010000100010000100010n n nn a a A B a a ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）设02211≠----n n c b c b c b a ，求⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛a b bb bc c c c n n3213211000010000100001的逆矩阵．解 ()12312310001000001000100000100010000010001000001n nc c c A E c b b b b a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111123123110001000001000100001001000001010001n n nr b r b r nn i i ni c c c c a b c b b b b +---=⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−−−−→⎪ ⎪ ⎪ ⎪----- ⎪⎝⎭∑ 记11221nn n i i i d a b c b c b c a b c ==----=-∑，由条件0d ≠，上式矩阵可进一步化简得112131231000010000100001000010000100001000011001n r dnn c c c c b db db db d d +⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪−−−→⎪ ⎪⎪⎪⎪----⎝⎭111221111213111122232221323333312312311000010100010010010*******1n n n n n n r c r n r c r n r c r n n n n n n n b c db c d b c d b c d c d b c d b c db c b c d c d b c d b c d b c d b c d c b c db c d b c d b c d c d b db db db dd +++---⎛+++−−−−→+----⎝⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎭所以所求逆矩阵为11213111122232221323333312312311111n n n n n n n n n n b c db c d b c d b c d c d b c d b c db c d b c dc d b c d b c d b c d b c d c d b c d b c d b c d b c d c d b d b d b d b dd +⎛⎫⎪+ ⎪ ⎪+ ⎪⎪ ⎪+ ⎪ ⎪----⎝⎭112111122222121211n n n nn n n n b c d b c b c c b c b c d b c c d b c b c b c d c b b b +-⎛⎫⎪+- ⎪⎪=⎪+- ⎪ ⎪---⎝⎭,其中n n c b c b c b a d ----= 2211. B2-7．如果向量β可由向量组r ααα,,,21 线性表示，证明：表示法是惟一的充分必要条件是r ααα,,,21 线性无关．证必要性．因向量β可由向量组r ααα,,,21 线性表示，且表示法惟一，则存在惟一一组数12,,,r k k k ，使得1122r r k k k βααα=+++ ①假设r ααα,,,21 线性相关，则存在一组不全为零的数12,,,r l l l 使得1122r r l l l O ααα+++=,不妨设10,l ≠则有21212111rr r r l l c c l l ααααα-=---=++ ②将②代入①可得β的新的线性表示式，这与β线性表示式惟一矛盾，故r ααα,,,21 线性无关．充分性．已知向量β可由向量组r ααα,,,21 线性表示，且r ααα,,,21 线性无关，假设向量β的线性表示式不惟一，存在两组不同的数12,,,r k k k 与12,,,r l l l 使得1122r r k k k βααα=+++，及 1122r r l l l βααα=+++，两式相减得()()()111222r r r k l k l k l O ααα-+-++-=，此时由系数(),1,2,,i i k l i r -=不全为零，得r ααα,,,21 线性相关，矛盾，故向量β的线性表示式惟一．B2-8．证明：任意1+n 个n 维向量必线性相关．证设n 维向量组121,,,n ααα+，构成(1)n n ⨯+矩阵()121,,,n A ααα+=，则矩阵A 的秩1n n ≤<+，即向量组的秩小于向量个数，必线性相关．B2-9．证明：对于任意实数a ，向量组Ta a a a ),,,(1=α,T a a a a )3,2,1,(2+++=α,T a a a a )4,3,2,(3=α线性相关．证由向量组构成矩阵()4332211231201,23013401r r r r r r a a a a a a a a a a A a a a a a a a a ααα---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪==−−−→ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭423201000000r r r r aa a a --⎛⎫⎪⎪−−−→ ⎪⎪⎝⎭，由A 的秩为2，则向量组的秩为2,小于向量个数3，故对任意实数a ，向量组必线性相关．B2-10．设1α是任意的4维向量，T)0,0,1,2(2=α，T )0,4,1,4(3=α，T )0,2,0,1(4=α，若4321,,,ββββ可由向量4321,,,αααα线性表示，则4321,,,ββββ线性相关．证由()12213222234241110110021,,042000000000r r r r r r ααα↔--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=−−−→⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则向量组234,,ααα的秩为2，又由向量1α的任意性，则向量组1234,,,αααα秩不超过3，线性相关；又由4321,,,ββββ可由向量4321,,,αααα线性表示，则向量组4321,,,ββββ的秩不超过向量组4321,,,αααα的秩，所以向量组4321,,,ββββ的秩不超过3，线性相关．B2-11．设n ααα,,,21 均为n 维向量，试证：n ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是：任一n 维向量β都可由它们线性表示．证由n 维向量组n ααα,,,21 线性无关，则它是n 维向量空间nR 的一组基，则nR 中的任一n 维向量β都可由它们线性表示．B2-12．设n ααα,,,21 均为n 维向量，若n 维线性无关的向量组nβββ,,,21 可由它们线性表示，证明：n ααα,,,21 线性无关．证由n ααα,,,21 均为n 维向量，则其秩不超过n ；又由n 维线性无关的向量组n βββ,,,21 可由它们线性表示，所以向量组n ααα,,,21 的秩不低于n ；因此，n ααα,,,21 的秩为n ，线性无关．B2-13．设β可由r ααα,,,21 线性表示，但不能由121,,,-r ααα 线性表示，则r α可由βααα,,,,121-r 线性表示．证由β可由r ααα,,,21 线性表示，则存在一组系数12,,,r k k k ，使得1122r r k k k βααα=+++ ①又由β不能由121,,,-r ααα 线性表示，故系数0r k ≠；由①式得11111r r r r rrk k k k k αβαα--=---，故r α可由βααα,,,,121-r 线性表示．B2-14．设m ααα,,,21 线性无关，任取实数121,,,-m k k k ，令m k ααβ111-=，，m m m m k ααβ111----=，m m αβ=．试证：m βββ ,,21也线性无关．证由条件m k ααβ111-=，，m m m m k ααβ111----=，m m αβ=，构造矩阵形式得()()12112112310000100,,,,,,,,00101m m m m k k k ββββαααα--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭, 简记作B AC =，由于矩阵1231000010000101C k k k ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭可逆，则B 与A 有相同的秩；又m ααα,,,21 线性无关，故()()r B r A n ==，所以m βββ ,,21线性无关．B2-15．设s αααβ+++= 321，s αααβ ++=312，，121-+++=s s αααβ ，证明：s βββ ,,21与s ααα,,,21 等价．证由条件可知，s βββ ,,21可由s ααα,,,21 线性表示，构成矩阵形式得()()12112101111011,,,,,,,,11011110s s s s ββββαααα--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 简记作B AC =；又由120111111110111011(1)1101110111101110sr r r C s +++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=−−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2131111110100(1)00100001s r r r r r r s ---⎛⎫⎪- ⎪⎪−−−→-- ⎪⎪ ⎪-⎝⎭，所以C 的秩为n ，可逆，故有 1A BC -=，从而向量组s ααα,,,21 可由s βββ ,,21线性表示，因此s βββ ,,21与s ααα,,,21 等价．。

线性代数课后习题与答案

《线性代数》课程习题第1章行列式习题 1.11．计算下列二阶行列式：（1）2345 （2）2163- （3）xxx x cos sin sin cos - （4）11123++-x x x x（5）2232ab b a a （6）ββααcos sin cos sin （7）3log log 1a b b a2．计算下列三阶行列式：（1）341123312-- （2）00000d c b a （3）d c e ba 0000 （4）zy y x x 00002121（5）369528741 （6）01110111-- 3．用定义计算行列式：（1）4106705330200100 （2）1014300211321221---（3）5000000004000300020001000 (4)dcb a 100110011001---.4.用方程组求解公式解下列方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--0520322321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++232120321321321x x x x x x x x x习题 1.21．计算下列行列式：（1）123112101 (2)15810644372---- （3）3610285140 （4）6555655562.计算行列式（1）2341341241231234（2）12114351212734201----- （3）524222425-----a a a（4）322131399298203123- （5）0532004140013202527102135---- 3.用行列式的性质证明：（1）322)(11122b a b b a a b ab a -=+（2）3332221113333332222221111112c b a c b a c b a a c c b b a a c c b b a a c c b b a =+++++++++ 4.试求下列方程的根：（1）022223356=-+--λλλ（2）0913251323221321122=--x x5.计算下列行列式（1）8364213131524273------ （2）efcfbfde cd bdae ac ab---（3）2123548677595133634424355---------- （4）111110000000002211n n a a a a a a ---（5）xaaa x a a a x（6）abb a b a b a 000000000000习题 1.31．解下列方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+--=++1024305222325321321321x x x x x x x x x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x2． k 取何值时，下列齐次线性方程组可能有非零：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++0200321321321x x x x kx x kx x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++0300321321321x x x x kx x x x kx 习题五1.41．计算下列行列式（1）3010002113005004，（2）113352063410201-- （3）222111c b a c b a（4）335111243152113------，（5）nn n n n b a a a a a b a a a a D ++=+212112111112．用克莱姆法则解线性方程（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=--114231124342321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+-+=+-+=++3322212543143214321321x x x x x x x x x x x x x x3．当λ为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++0020321321321x x x x x x x x x λλ可能存在非零解？4.证明下列各等式(1) 222)(11122b a b b a a b ab a -=+(2) ))()((4)2()1()2()1()2()1(222222222c b a c a b c c c b b ba a a ---=++++++ (3) ))()()()()()((111144442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a d c b a d c b a+++------=5.试求一个2次多项式)(x f ,满足1)2(,1)1(,0)1(-==-=f f f .第2章矩阵习题 2.21．设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=530142A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=502131B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=313210C ，求3A -2B +C 。

线性代数课后习题答案分析

线性代数课后题详解第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：相信自己加油（1）381141102---；（2）b a c a c b cb a（3）222111c b a c b a ；（4）yxy x x y x y y x y x +++.解注意看过程解答（1）=---38114112811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯)1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯- =416824-++- =4-（2）=ba ca cb cb a ccc aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---=（3）=222111c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---=（4）yxyx x y x y y x y x+++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业（1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3；（5）1 3 … )12(-n2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2.解（1）逆序数为0（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2（3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3（5）逆序数为2)1(-n n ：3 2 1个 5 2，54 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n)1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n3 2 1个 5 2，54 2个 ……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n)1(-n 个4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… …)2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.解由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.4.计算下列各行列式：多练习方能成大财（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢71100251020214214；（2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-260523********12；（3）⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎣⎢---ef cf bfde cd bd ae ac ab ；（4）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c ba100110011001 解(1)7110025102021421434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-⨯---=143102211014--321132c c c c ++141717201099-=0(2)265232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)efcfbfde cd bd ae ac ab---=ecbe c b e c badf ---=111111111---adfbce=abcdef 4(4)dc b a 100110011001---21ar r +d cb a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dca ab 101101--+23dc c +010111-+-+cd c ad a ab=23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明:(1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -;(2)bzay by ax bxaz by ax bxaz bz ay bxaz bz ay by ax +++++++++=yxz x z yz y xb a )(33+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅; (5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n+----- n n n n a x a x a x ++++=--111 .证明(1)122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边ab a b ab a ab 22)1(22213-----=+ 21))((ab a a b a b +--=右边=-=3)(b a (2)bzay by ax z by ax bx az y bxaz bz ay x a ++++++分开按第一列左边bz ay by ax x by ax bx az z bx az bz ay y b +++++++++++++002y by ax zx bxaz y z bz ay x a 分别再分bzay yx byax x zbxaz z y b +++zyx y x zx z y b y x zx z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yxz x z yzy x b yxzx z yz y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c964496449644964422222++++++++d d dd c c c cb b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a949494949464222224232423dd c cb b a ac c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+d dd c c cb b b a a a(4) 444444422222220001a d a c a b a a d a c a b a ad a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b a d a c a b --------- =)()()(111))()((222a d d a c c a b b ad ac ab a d ac a b++++++---=⨯---))()((a d a c a b)()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b)()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a xD n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D :1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x x a xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得nnnn a a a a D 11111=， 11112n nnn a a a a D = ，11113a a a a D n nnn=，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnn n nn nnnn a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴=--=--nnn n nn n n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nn n nn n a a a a111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-=同理可证nnnn n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(---=-=D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)aaD n11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xaaa x a a a xD n=;(3)1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n nn nn ------=---+;提示：利用范德蒙德行列式的结果．(4)nnnnn d c d c b a b a D00011112=;(5)ji a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1)aa a a a D n 010000000000001000=按最后一行展开)1()1(100000000010000)1(-⨯-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--⋅-+n n n a aa(再按第一行展开)n n n nn a a a+-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得a x x a a x xa a x x a a a a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax a x a x a a a an x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=-(3)从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n行经)1(-n次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得nn nn n n n n n n a a a n a a a n a a a D )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-•-•-=---=1121)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4)nnnnn d c d c b a b a D 011112=n n n n n nd d c d c b a b a a 00000011111111----展开按第一行0)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D即 ∏=-=ni i i i i nD c b d a D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)ji a ij -=432140123310122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n,3221r r r r --0432111111111111111111111--------------n n n n ,,141312c c c c c c +++1524232102221002210002100001---------------n n n n n=212)1()1(----n n n(6)nn a a a D +++=11111111121,,433221c c c c c c ---nn n n a a a a a a a a a a +-------10000100010000100010001000011433221展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------00000000000000000000000022433221n n n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------0000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑+==n i in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x解 (1)11213513241211111----=D812073503211111------=145008130032101111---=1421420005410032101111-=---=112105132412211151------=D 11210513290501115----= 1121023313090509151------=23313095112109151------=1202300461000112109151-----=14200038100112109151----=142-=11235122412111512-----=D 81150731203271151-------=31390011230023101151-=2842840001910023101151-=----=426110135232422115113-=----=D14202132132212151114=-----=D 1,3,2,144332211-========∴DD x D D x D D x D D x(2)510006510006510065100065=D 展开按最后一行61000510065100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=(,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',)5100165100065100650000611=D 展开按第一列6510065100650006+'D 46+'=D 460319+''''-'''=D 1507=5101065100065000601000152=D 展开按第二列5100651006500061-6510065*********-365510651065⨯-=1145108065-=--=5110065000060100051001653=D 展开按第三列51006500061000516500061*********+6100510656510650061+=703114619=⨯+=5100060100005100651010654=D 展开按第四列61000510065100655000610005100651-- 51065106565--=395-=110005100065100651100655=D 展开按最后一列D '+10005100651006512122111=+= 665212;665395;665703;6651145;665150744321=-==-==∴x x x x x ． 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 μλμμμλ-==12111113D ，齐次线性方程组有非零解，则03=D即 0=-μλμ得 10==λμ或不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？解λλλ----=111132421D λλλλ--+--=101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-= 3)1(2)1(23-+-+-=λλλ齐次线性方程组有非零解，则0=D得 32,0===λλλ或不难验证，当32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章矩阵及其运算1．已知线性变换：⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=,323,53,22321332123211y y y x y y y x y y y x 求从变量321,,x x x 到变量321,,y y y 的线性变换．解由已知：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=321423736947y y y ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947xx x y x x x y x x x y2．已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=,54,232,232133212311y y y x y y y x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=,3,2,3323312211z z y z z y z z y 求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换．解由已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=321161109412316z z z所以有 ⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236zz z x z z z x z z z x3．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ,150421321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=B 求.23B A A AB T及-解A AB 23-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1504213211111111113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1111111112⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0926508503⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1111111112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22942017222132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321111111111B A T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0926508504．计算下列乘积：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; (2)()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1233,2,1; (3)()2,1312-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛; (4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412; (5)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321),,(x x x a a a a a a a a a x x x ; (6)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635 (2)()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123321)10()132231(=⨯+⨯+⨯=(3)()21312-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142 (4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=6520876 (5)()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212*********x x x a a a a a a a a a x x x ()333223113323222112313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a ++++++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯321x x x 322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++= (6)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3000320012101313000120010100121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=90003400421025215．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2101B ，问：(1)BA AB =吗?(2)2222)(B AB A B A ++=+吗?(3)22))((B A B A B A -=-+吗?解(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=8321BA BA AB ≠∴(2) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2914148 但=++222B AB A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43011288611483⎪⎪⎭⎫⎝⎛=27151610 故2222)(B AB A B A ++≠+(3) =-+))((B A B A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10205222⎪⎪⎭⎫⎝⎛9060而 =-22B A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛430111483⎪⎪⎭⎫⎝⎛7182故22))((B A B A B A -≠-+6．举反列说明下列命题是错误的:（１）若02=A ,则0=A ; （２）若A A =2,则0=A 或E A =;（３）若AY AX =,且0≠A ,则Y X =.解 (1) 取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A 02=A ,但0≠A(2) 取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A A A =2,但0≠A 且E A ≠(3) 取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011YAY AX =且0≠A 但Y X ≠7．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA ,求kA A A ,,,32 . 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A 利用数学归纳法证明: ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k当1=k 时,显然成立,假设k 时成立,则1+k 时⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==1)1(01101101λλλk k A A A kk 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101λk A k8．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A ,求k A . 解首先观察⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ001001010012A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222002012λλλλλ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A由此推测⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---kk kk k k kk k k k A λλλλλλ0002)1(121)2(≥k用数学归纳法证明: 当2=k时,显然成立.假设k 时成立，则1+k 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ由数学归纳法原理知: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(1219．设B A ,为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明AB B T 也是对称矩阵.证明已知：A A T=则 AB B B A B A B B AB B T T T T TT T T ===)()(从而 AB B T也是对称矩阵.10．设B A ,都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是BA AB =.证明由已知：A A T = B B T=充分性：BA AB =⇒A B AB TT =⇒)(AB AB T = 即AB 是对称矩阵.必要性：AB AB T =)(⇒AB A B TT =⇒AB BA =.11．求下列矩阵的逆矩阵：(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5221； (2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ； (3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121;(4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001; (5)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2500380000120025; (6)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n a a a 0021)0(21≠a a a n解(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A 1=A1),1(2),1(2,522122111=-⨯=-⨯==A A A A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*122522122111A A A A A *-=A A A 11故 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-12251A(2)01≠=A 故1-A 存在θθθθcos sin sin cos 22122111=-===A A A A从而 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-θθθθcos sin sin cos 1A (3) 2=A , 故1-A 存在024312111==-=A A A 而 1613322212-==-=A A A21432332313-==-=A A A故 *-=A A A 11⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012(4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4121031200210001A24=A 0434232413121======A A A A A A68122444332211====A A A A12411032001)1(312-=-=A 12421012021)1(413-=-=A3121312021)1(514=-=A 4421012001)1(523-=-=A5121312001)1(624-=-=A 2121021001)1(734-=-=A*-=A AA11故⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=-4112124581031612100212100011A(5)01≠=A 故1-A 存在而002141312111==-==A A A A005242322212===-=A A A A 320043332313-====A A A A 850044342414=-===A A A A从而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-85003200005200211A (6)⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021由对角矩阵的性质知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n a a a A 1001121112．解下列矩阵方程：(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; (2) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ;(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ; (4)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X .解 (1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=80232 (2)1111012112234311-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=32538122 (3)11110210132141--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111(4)11010100001021102341100001010--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=20143101213．利用逆矩阵解下列线性方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++;353,2522,132321321321x x x x x x x x x (2) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--.0523,132,2321321321x x x x x x x x x解 (1)方程组可表示为 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x(2) 方程组可表示为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x 14．设O A k =(k 为正整数),证明121)(--++++=-k A A A E A E .证明一方面， )()(1A E A E E --=-另一方面，由O A k=有)()()(1122k k k A A A A A A A E E -+--+-+-=-- ))((12A E A A A E k -++++=-故 )()(1A E A E ---))((12A E A A A E k -++++=-两端同时右乘1)(--A E就有121)(--++++=-k A A A E A E15．设方阵A 满足O E A A =--22,证明A 及E A 2+都可逆,并求1-A 及 1)2(-+E A .证明由O E A A =--22得E A A 22=-两端同时取行列式: 22=-A A即 2=-E A A ,故 0≠A所以A 可逆,而22A E A =+0222≠==+A A E A 故E A 2+也可逆.由O E A A =--22E E A A 2)(=-⇒E A E A A A 112)(--=-⇒)(211E A A -=⇒-又由O E A A =--22E E A A E A 4)2(3)2(-=+-+⇒ E E A E A 4)3)(2(-=-+⇒11)2(4)3)(2()2(--+-=-++∴E A E A E A E A)3(41)2(1A E E A -=+∴-16．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011330A ,B A AB 2+=,求B . 解由B A AB 2+=可得A B E A =-)2(故A E A B 1)2(--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-3210113301210113321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=01132133017．设Λ=-AP P 1,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001,求11A .解 Λ=-AP P 1故1-Λ=P P A 所以11111-Λ=P P A3=P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=*1141P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P而 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ11111120012001故⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=6846832732273118．设m 次多项式m m x a x a x a a x f ++++= 2210)(,记m m A a A a A a E a A f ++++= 2210)()(A f 称为方阵A 的m 次多项式.(1)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ2100λλ,证明: ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λk k k2100λλ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λ)(00)()(21λλf f f ; (2)设1-Λ=P P A ,证明: 1-Λ=P P A k k ,1)()(-Λ=P Pf A f .证明(1) i)利用数学归纳法.当2=k时⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ212120000λλλλ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222100λλ命题成立,假设k 时成立,则1+k 时⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ΛΛ=Λ+212110000λλλλk kk k ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++121100k k λλ 故命题成立. ii)左边m m a a a E a f Λ++Λ+Λ+=Λ= 2210)(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m m m a a a 21211000001001λλλλ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++++=m m mm a a a a a a a a 2222210121211000λλλλλλ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)(00)(21λλf f =右边 (2) i) 利用数学归纳法.当2=k 时12112---Λ=ΛΛ=P P P P P P A 成立假设k 时成立,则1+k 时11111-+--+Λ=ΛΛ=⋅=P P P P P P A A A k k k k 成立,故命题成立,即 1-Λ=P P A k kii) 证明右边1)(-Λ=P Pf12210)(-Λ++Λ+Λ+=P a a a E a P m m11221110----Λ++Λ+Λ+=P P a P P a P P a PEP a m m m m A a A a A a E a ++++= 2210)(A f ==左边19．设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为*A ，证明：(1) 若0=A ,则0=*A ;(2) 1-*=n AA .证明(1) 用反证法证明．假设0≠*A 则有E A A =-**1)(由此得O A E A A AA A ===-*-**11)()(O A =∴*这与0≠*A 矛盾，故当0=A 时有0=*A(2) 由于*-=A A A11, 则E A AA =*取行列式得到: nAA A =* 若0≠A 则1-*=n A A若0=A 由(1)知0=*A 此时命题也成立故有1-*=n AA20．取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A ,验证DCB A DC B A ≠检验: =D C BA =--101001011010010111001010020002--410012002== 而01111==D C B A故 DCB A DC B A ≠21．设⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22023443O O A ,求8A 及4A解 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22023443O O A ，令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21A O O A A故8218⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A OO A A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=8281A O O A 1682818281810===A A A A A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A OO A A22．设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆,求1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛O B A O ．解将1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛O B A O 分块为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C其中 1C 为n s ⨯矩阵, 2C 为s s ⨯矩阵3C 为n n ⨯矩阵, 4C 为s n ⨯矩阵则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯O B A O s s n n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ==E ⎪⎪⎭⎫⎝⎛s n E O O E 由此得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⇒==⇒==⇒==⇒=----122111144133)()(B C E BC B O C O BC A O C O AC A C E AC s n 存在存在故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---O A B O O B A O 111．第三章矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3403130212011312)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020*******1)2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--30003100120133~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100001001201 3121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320 1312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---310031001320 21233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010 (3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311141312323~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----221002210022*******12423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011(4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132242321232~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110 141312782~r r r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--4100041000202011111034221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00000410001111020201 32~r r +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012．在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的1-r 阶子式?有没有等于0的r 阶子式?解在秩是r 的矩阵中,可能存在等于0的1-r 阶子式,也可能存在等于0的r 阶子式.例如，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000000010000100001α 3)(=αR 同时存在等于0的3阶子式和2阶子式.3．从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ,问B A ,的秩的关系怎样?解 )(A R ≥)(B R设r B R =)(，且B 的某个r 阶子式0≠D r .矩阵B 是由矩阵A 划去一行得到的，所以在A 中能找到与D r 相同的r 阶子式D r ，由于0≠=D D r r ，故而)()(B R A R ≥.4．求作一个秩是4的方阵,它的两个行向量是)0,0,1,0,1(,)0,0,0,1,1(- 解设54321,,,,ααααα为五维向量,且)0,0,1,0,1(1=α,)0,0,0,1,1(2-=α,则所求方阵可为,54321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααααA 秩为4,不妨设⎪⎩⎪⎨⎧===)0,0,0,0,0(),0,0,0,0()0,,0,0,0(55443αααx x 取154==x x故满足条件的一个方阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000100000100000011001015．求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------815073131213123； (3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---02301085235703273812.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013r r 21~↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443120131211 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------564056401211~12133r r r r 2000056401211~23秩为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----r r 二阶子式41113-=-．(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------15273321059117014431~27122113r r r r r r 200000591170144313~23秩为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----r r .二阶子式71223-=-．(3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812434241322~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------0230102420536307121131223~r r r r ++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0230114000016000071210344314211614~r r r r r r r r -÷÷↔↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000100007121002301秩为3 三阶子式07023855023085570≠=-=-．6．求解下列齐次线性方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++;0222,02,02432143214321x x x x x x x x x x x x (2) ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++;05105,0363,02432143214321x x x x x x x x x x x x(3) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+;0742,0634,0723,05324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x (4)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+.0327,01613114,02332,075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解 (1) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---3410013100101~即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x(2) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000001001021~ 即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x x x x x x故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010012214321k k x x x x(3) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7421631472135132⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000010000100001~即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x x x x故方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x x x x(4) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----3127161311423327543⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000001720171910171317301~即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=4433432431172017191713173x x x x x x x x x x 故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1017201713011719173214321k k x x x x7．求解下列非齐次线性方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+;8311,10213,22421321321x x x x x x x x (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++;694,13283,542,432z y x z y x z y x z y x(3) ⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+;12,2224,12w z y x w z y x w z y x (4) ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+;2534,4323,12w z y x w z y x w z y x解 (1) 对系数的增广矩阵施行行变换,有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--60003411100833180311102132124~2)(=A R 而3)(=B R ,故方程组无解．(2) 对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----69141328354214132⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000000021101201~即得⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=zz z y z x 212亦即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021112k z y x(3) 对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122122411112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000100011112~ 即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===++-=0212121w z z y y z y x 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00021010210012121k k w z y x(4) 对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000007579751025341253414312311112~ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----000007579751076717101~ 即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--=++=w w z z w z y w z x 757975767171即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00757610797101757121k k w z y x8．λ取何值时,非齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++2321321321,,1λλλλλx x x x x x x x x (1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解?解 (1)0111111≠λλλ,即2,1-≠λ时方程组有唯一解.(2))()(B R A R <⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21111111λλλλλB ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011~λλλλλλλλλλ由0)1)(1(,0)2)(1(2≠+-=+-λλλλ 得2-=λ时,方程组无解.(3)3)()(<=B R A R ,由0)1)(1()2)(1(2=+-=+-λλλλ,得1=λ时,方程组有无穷多个解.9．非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--=++-23213213212,2,22λλx x x x x x x x x 当λ取何值时有解？并求出它的解．解 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=)2)(1(000)1(321101212111212112~2λλλλλλB 方程组有解，须0)2)(1(=+-λλ得2,1-==λλ当1=λ时,方程组解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001111321k x x x当2-=λ时,方程组解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022111321k x x x10．设⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-,1)5(42,24)5(2,122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x问λ为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解。

线性代数第二章1

第一节
矩阵的概念及运算
主要内容
矩阵的定义几种常用的特殊矩阵矩阵的应用举例矩阵的基本运算
一、矩阵的定义
引例线性方程组的矩阵
定义由 m × n 个数 aij (i= 1, 2, … , m; j=1, 2,… , n)
排成的 m 行 n 列的数表，叫做一个 m × n 矩阵列的数表，
为数 k 与矩阵 A 的数量乘积简称数乘, 记为 kA. 数量乘积, 简称数乘, kA.
注意
2. 运算规律
设 A, B 为同类型矩阵, k, l 为常数，则为同类型矩阵为常数， (1) 1A = A; (2) k(lA) = (kl) A; (3) k(A + B) = kA + kB; (4) (k + l)A = kA + lA. 矩阵相加与数乘矩阵合起来，矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算. 线性运算
一般情形
定义设矩阵 A = (aij)m×p , B = (bij)p×n , (a (b
C = (cij)m×n , 其中 (c
cij = 轾1 ai 犏臌
ai 2 L
轾j b1 犏 aip 犏 j = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj b2 犏犏 M 犏犏 b pj 犏臌
1 O 1
n
.
n 阶单位矩阵 E 在矩阵代数中占有很重要的地在初等代数中的作用相似. 位, 它的作用与 “1” 在初等代数中的作用相似. EA = AE = A . 如
(6)
数量矩阵
主对角线上的元素全相等的对角矩阵称为数主对角线上的元素全相等的对角矩阵称为数量矩阵. 量矩阵例如 n 阶数量矩阵

《线性代数》考点强化班配套讲义第二章矩阵

( A2 )2
0
1
0
0
1
0
E
0
0
1
0
0
1
所以 B2 P1APP1AP P1A(PP1) AP P1A2P,,
B2020 P1A2020 P P1 A4 505 P P1EP P1P E
1 0 0 3 0 0
所以Leabharlann B2020 2 A2 E 2 0
1
0
，
AB A AE 1,33 A E 1,33 2E 1,33
1 0 3
AB
1
2E
1, 3 3
1
1 2
0 0
1 0
0
1
1 0 0
【例
12】设
A
为
3
阶矩阵，
P
为
3
阶可逆矩阵，且
P 1
AP
0
1
0
.若
0
0
2
P 1,2 ,3 ， Q (1 2 ,2 ,3 ) ，则 Q1AQ （）
行（3）-3行（1）
3 4 6 0 0 1
0 -2 -3 -3 0 1
1 0 0 -2 0 1
1 0 0 -2 0 1
行（1）行（3）
行（3）-2行（2）
0 -1 -1 -1 1 -1 0 1 1 1 -1 1
行（2）-行（3）
（-1）行（2）
0 -2 -3 -3 0 1
0 0 -1 -1 -2 3
0
0 a2
0
【例 2】设 A 其中 ai 0 ；求 Ak1 Ak 2 Akn .
0 0 0 an1
an 0 0 0
1
0 A 0

线性代数第四版课后习题答案

线性代数第四版课后习题答案线性代数是数学的一个分支，研究向量空间及其上的线性变换。

它在许多领域中都有广泛的应用，如物理学、计算机科学、经济学等。

而《线性代数第四版》是一本经典的教材，它深入浅出地介绍了线性代数的基本概念和理论，并提供了大量的习题供读者练习。

本文将为读者提供《线性代数第四版》课后习题的答案，以帮助读者更好地理解和掌握线性代数的知识。

第一章：线性方程组1.1 习题答案：1. 解：设方程组的解为x，代入方程组得：2x + 3y + z = 74x + 2y + 5z = 43x + 4y + 2z = 5解得x = 1，y = -1，z = 2。

1.2 习题答案：1. 解：设方程组的解为x，代入方程组得：x - 2y + 3z = 12x + y + z = 23x + 4y - 5z = -1解得x = 1，y = 0，z = 0。

第二章：矩阵代数2.1 习题答案：1. 解：设矩阵A为：3 45 6则A的转置矩阵为：1 3 52 4 62.2 习题答案：1. 解：设矩阵A为：1 23 4则A的逆矩阵为：-2 13/2 -1/2第三章：向量空间3.1 习题答案：1. 解：设向量v为：123则v的范数为sqrt(1^2 + 2^2 + 3^2) = sqrt(14)。

3.2 习题答案：1. 解：设向量v为：23则v的单位向量为v/||v||，即：1/sqrt(14)2/sqrt(14)3/sqrt(14)第四章：线性变换4.1 习题答案：1. 解：设线性变换T为将向量顺时针旋转90度的变换，即：T(x, y) = (y, -x)4.2 习题答案：1. 解：设线性变换T为将向量缩放2倍的变换，即：T(x, y) = (2x, 2y)通过以上习题的答案，我们可以看到线性代数的一些基本概念和理论在实际问题中的应用。

通过解答这些习题，读者可以更好地理解和掌握线性代数的知识，提高自己的解题能力和思维能力。

线性代数第2章习题课

存在一组实数 k 1 , k 2 , L , k m , 使 b = k 1 a1 + k 2 a 2 + L + k m a m , 则向量 b 是向量组 A 的线性组合 , 这时称向量 b能由向量组 A 线性表示 .
定理向量 b能由向量组 A线性表示的充分必要条
件是矩阵 A = ( a 1 , a 2 , L , a m )的秩等于矩阵 B = ( a 1 , a 2 , L , a m , b )的秩 .
6 向量组的秩
定义设有向量组 A, 如果在 A中能选出 r个向量 a 1 ,
a 2 ,L , a r , 满足
(1)向量组 A 0 : a 1 , a 2 , L , a r 线性无关 ; ( 2)向量组 A中任意 r + 1个向量(如果 A中有 r + 1
个向量的话 )都线性相关 , 那么称向量组 A0 是向量组 A的一个最大线性
n 维向量写成列的形式 , 称为列向量 , 即 a1 a2 a= M an
n 维向量写成行的形式 , 称为行向量 , 即
T a = (a 1 , a 2 , L , a n )
向量的相等设 a T = ( a 1 , a 2 , L , a n ), b T = ( b 1 , b 2 , L , b n ) 则 a T = b T a i = b i ( i = 1, 2 , L , n ) 零向量分量全为0的向量称为零向量．分量全为0的向量称为零向量． T a = O a i = 0( i = 1,2,L , n) T a ≠ O a i 中至少有一个不为 0 , ( i = 1, 2 , L , n ) 负向量向量 a T = (a 1 , a 2 ,L , a n )的负向量记作 a T , 且 a T = ( a 1 , a 2 ,L , a n ). 数乘向量数 k 与向量 a T 的乘积 , 称为向量的数量乘法

线性代数第二章练习题

第二章矩阵一、选择题 1．设矩阵4203a b a b d c +-æöæö=ç÷ç÷èøèø，则（ C ）（A）3,1,1,3a b c d ==-== （B）1,3,1,3a b c d =-=== （C）3,1,0,3a b c d ==-== （D）1,3,0,3a b c d =-=== 2．设矩阵()1,2A =，1234B æö=ç÷èø，123456C æö=ç÷èø，则下列矩阵运算中有意义的是（B）（A）ACB （B）ABC （C）BAC （D）CBA 3．设A 、B 均为n 阶矩阵，下列命题正确的是 C （A）0B 0A 0AB ==Þ=或（B）0B 0A 0AB ¹¹Û¹且（C）00==Þ=B A 0AB 或（D）00¹¹Û¹B A 0AB 且 4．设A 、B 均为n 阶矩阵，满足22A B =，则必有（ D ）（A）A B = （B）A B =- （C）A B = （D）22A B=5．设A 为n 阶矩阵,且有A A 2=,则结论正确的是________D________ (A) 0A = （B）E A =(C) 若A 不可逆,则0A = (D) 若A 可逆,则E A 2= 6．设B A ,都是n 阶对称矩阵，下列结论不正确的结论是（ A ）（A）AB 为对称矩阵（B）设B A ,可逆，则11--+B A 为对称矩阵（C）B A +为对称矩阵（D）kA 为对称矩阵7．设A 为任意n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ B ）（A）T A A + （B）T A A - （C）T AA（D）T A A8．设A 为3阶方阵，且2A =，则12A -=（ D ）（A）-4 （B）-1 （C）1 （D）49．设A 为n 阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，则=*A k C （A） A n k （B） nk A（C）1-n nkA（D）nn kA1-10．设B A ,都是n 阶可逆矩阵，则÷÷øöççèæ--1002B A T等于（ A ）（A）12)2(--B A n（B）1)2(--B A n （C）B A T2- （D）12--B A11．设n 阶方阵C B A ,,满足关系式E ABC =，其中E 为n 阶单位阵，则必有（ D ）。

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习题22-1．设T)6,3,1(=α，T)5,1,2(=β，T)3,3,4(-=γ，求：（1）732αβγ--；（2）23αβγ-+．解（1）7327(1,3,6)3(2,1,5)2(4,3,3)(7,24,21)TTTTαβγ--=---=-. （2）232(1,3,6)3(2,1,5)(4,3,3)(0,0,0)TTTTαβγ-+=-+-=. 2-2．设(1,1,1,1)Tα=--，(1,2,2,1)Tβ=, （1）将βα,化为单位向量；（2）向量βα,是否正交.解（1）T )1,1,1,1(211--=αα,T )1,2,2,1(1011=ββ. （2）由于(,)0αβ=,所以向量βα,正交. 2-3．计算：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛390201062317423；（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10101211153212121132.解（1）247610200213132093303⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）311111173221252106341231013411---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2-4．计算下列乘积：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--127075321134.解 43173512328570149⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101112111321212113.解 311111621212211611123101814--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （3）11112122122212000000n n m m m mn d a a a d a a a d a a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 解 11112122122212000000n n m m m mn d a a a d a a a d a a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭111112112212222212n n m m m m m mn d a d a d a d a d a d a d ad a d a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （4）1112112122221200000n n m m mn n a a a d a a a d a a a d ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭.解 11121121222212000000n n m m mn n a a a d a a a d aa a d ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭111122121122221122n n n n m m mn n a d a d a d a d a d a d a d a d a d ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （5）111213112312222321323333(,,)a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.解 111213112312222321323333(,,)a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭222111222333121213132323222a x a x a x a x x a x x a x x =+++++2-5．已知)2,0,1,1(=A ，(4,1,2,1)T B =-,求AB 和TTB A ．解 )5(=AB .⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2428000012141214TT B A .2-6．如果)(21E B A +=，证明A A =2当且仅当E B =2时成立．证必要性. 已知)(21E B A +=,且A A =2,有211()()22B E B E ⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦, 即()2112()42B B E B E ++=+, 化简得 2B E =.充分性. 由)(21E B A +=得 2B A E =-,又 E B =2,代入得2(2)A E E -=,化简得 2A A =.证毕.2-7．设2TA E αα=-，其中E 是n 阶单位矩阵，α是n 维单位列向量．证明对任意一个n 维列向量β，都有ββ=A ．证因2T A E αα=-,故对任意一个n 维列向量β有,2T A ββααβ=-, 从而有()()2,2,2T T A A A ββββααββααβ==--()()22TTTβααββααβ=--()()2224444,T T T T T T T T T T TTTTTT ββααβααββββααββααααββββααββααββββ=--=-+=-+==故有ββ=A ，证毕.2-8．对于任意的方阵A ，证明：（1）TA A +是对称矩阵，TA A -是反对称矩阵；（2）A 可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和．证（1）由()()TTT T T T T A A A A A A A A +=+=+=+,所以T A A +是对称矩阵；()()()TTT TT T T A A A AA A A A -=-=-=--,所以T A A -是反对称矩阵.（2）()()1122TT A A A A A =++-. 2-9．证明：如果B A ,都是n 阶对称矩阵，则AB 是对称矩阵的充分必要条件是A 与B 是可交换的．证必要性. 因,TTA AB B ==，且()TAB AB =,有()TT T AB B A BA AB ===,所以A 与B 是可交换的.充分性. 由,TTA AB B ==，及AB BA =，得()TT T AB B A BA AB ===，所以AB 是对称矩阵.2-10．设A 是一个n 阶对称矩阵，B 是一个反对称矩阵，证明BA AB +是一个反对称矩阵．证由,TTA AB B ==-，得()()()TT TT T T T AB BA AB BA B A A B +=+=+()()()B A A B BA AB =-+-=-+，所以BA AB +是一个反对称矩阵．2-11．设n αα,,1 是n 个线性无关的向量，n n n k k k αααα+++=+ 22111，其中12,,,n k k k 全不为零．证明121,,,+n ααα 中任意n 个向量线性无关．证从向量组121,,,+n ααα 中任取n 个向量12111,,,,,,i i n ααααα-++，设有一组常数,1,,1,1,,1j l j i i n =-++使得11111111i i i i n n l l l l O αααα--+++++++++= （*）当1i n =+时，n αα,,1 线性无关，结论成立；当1i n ≠+时，将n n n k k k αααα+++=+ 22111代入（*）式得()11111111122,i i i i n n n l l l l k k k O αααααα--+++++++++++=整理得1111111111111()()()n i n i i n i i i n i i l l k l l k l k l l k αααα+-+--+++++++++++++1()n n n n l l k O α+++=,由于n αα,,1 是n 个线性无关的向量，所以1111111111111111111111000000n n i n i i n i n i n i i n i i n i n n n n n nl l k l l k l l k l l k l k l k l l k l l kl l k l l k ++-+--+-+++++++++++==-⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪+==-⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪+==-⎪⎪⎪⎪⎪⎪+==-⎩⎩，由于12,,,n k k k 全不为零，所以0,1,,1,1,,1j l j i i n ==-++，则向量组12111,,,,,,i i n ααααα-++线性无关，故121,,,+n ααα 中任意n 个向量线性无关．2-12．设向量组321,,ααα线性相关，向量组432,,ααα线性无关，（1）1α能否由32,αα线性表示？证明你的结论或举出反例．（2）4α能否由321,,ααα线性表示？证明你的结论或举出反例．解（1）1α能由32,αα线性表示. 因321,,ααα线性相关，必有一组不全为零的常数123,,k k k ，使得112233k k k O ααα++=，下面只要证明10k ≠即可.若10k =，则23,k k 不全为0，于是有2233k k O αα+=，即23,αα线性相关；又由432,,ααα线性无关，所以其部分组32,αα必线性无关，得出矛盾，从而各10k ≠，即1α能由32,αα线性表示.（2）4α不能由321,,ααα线性表示. 如，1(1,0,0)Tα=2,(1,0,0)T α=，3(0,1,0)T α=，4(0,0,1)T α=，显然，321,,ααα线性相关，432,,ααα线性无关，但是4α不能由321,,ααα线性表示.2-13．求下列矩阵的秩：（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7931181332111511.解 2131413115111511123027431810274139704148r r r r r r -------⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 324221151027400000000r r r r ----⎛⎫ ⎪-⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，所以矩阵的轶为2. （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------11011111100222021110 解 140111211011022200222001111011111101101112r r ↔--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪----⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭232421211011011100020100202r r r r r +--⎛⎫ ⎪-- ⎪−−−→ ⎪- ⎪⎝⎭4311011011100020100003r r +-⎛⎫⎪-- ⎪−−−→⎪-⎪⎝⎭，所以矩阵的轶为4.2-14．判断下列向量组是否线性相关；如果线性相关，求出向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关组表示出来：（1）TT T )6,3,1(,)3,2,1(,)1,1,1(321===ααα；解用所给的3个向量作为列构造矩阵()123111,,123136A ααα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，对矩阵A 施行行初等变换：()31221123111111,,123012136002r r r r r A B ααα---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==−−−→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，矩阵B 的秩3，所以向量组线性无关.（2）TT T )14,7,0,3(,)2,1,3,0(,)4,2,1,1(321==-=ααα解用所给的3个向量作为列构造矩阵()123103130,,2174214A ααα⎛⎫ ⎪-⎪== ⎪⎪⎝⎭，对矩阵A 施行行初等变换：()4321312212313103130033,,2170114214000r r r r r r A ααα-+-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪⎪==−−−→ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23233103011000000r r r r B -↔⎛⎫⎪ ⎪−−−→= ⎪⎪ ⎪⎝⎭，矩阵B 的秩2，所以向量组线性相关，其中12,αα是其极大无关组，3123ααα=+.2-15．利用初等变换求下列矩阵的逆矩阵：（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1111111111111111. 解 ()11111000111101001111001011110001A E ⎛⎫⎪-- ⎪=⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭21314111111000002211000202101002201001r r r r r r ---⎛⎫⎪---⎪−−−→ ⎪--- ⎪⎪---⎝⎭43234311111000020210100022110000041111r r r r r r -↔-⎛⎫⎪---⎪−−−→ ⎪--- ⎪ ⎪--⎝⎭4331412121111100001011201200011121200000114141414r r r --⎛⎫ ⎪- ⎪−−−→ ⎪- ⎪⎪--⎝⎭ 342414111034141414010014141414001014141414000114141414r r r r r r ---⎛-⎫⎪-- ⎪−−−→ ⎪-- ⎪⎪--⎝⎭123100014141414010014141414001014141414000114141414r r r --⎛⎫⎪-- ⎪−−−→ ⎪-- ⎪⎪--⎝⎭,因此 1111111111111141111A -⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭. （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2100121001120021解 ()12001000211001000121001000120001A E ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭21212001000031021000121001000120001r r -⎛⎫⎪-- ⎪−−−→⎪⎪⎪⎝⎭233234312001000012100100012000100732130r r r r r r ↔+↔⎛⎫⎪⎪−−−→ ⎪⎪⎪-⎝⎭4347(111)12001001210010001200010001211111311711r r r --⎛⎫⎪⎪−−−−→ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭34242120010000120211111141171100104112116113110001211111311711r r r r --⎛⎫ ⎪-- ⎪−−−→ ⎪-- ⎪⎪--⎝⎭2312221200111611411211010061131121111100104112116113110001211111311711r r r r --⎛--⎫⎪--⎪−−−→ ⎪-- ⎪⎪--⎝⎭,因此 11642632114263112137A ---⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭.2-16．求解矩阵方程：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛63354321X 解记矩阵方程为AX B =,其中1253,3436A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由于122034A ==-≠，所以A 可逆，故1X A B -=. 构造()211223(12)12531070343601632r r r r r A B -+⨯-⎛⎫⎛-⎫=−−−−→⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以 170632X A B --⎛⎫== ⎪-⎝⎭.（2）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--521234311111012112X . 解记矩阵方程为XA B =,其中211113210,432111125A B --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,由于30A =≠，所以A 可逆，故1X BA -=.()12133(1)211100111001|210010210010111001001110r r r r r A E -↔-⎛-⎫⎛-⎫ ⎪ ⎪=−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭13212122(13)10013013010212001110r r r r r r r --⨯+⎛⎫ ⎪−−−→-- ⎪ ⎪-⎝⎭,因此 1130********A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，从而有111313013221432212383523125110103353X BA ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==--=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2-17．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=012423321A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=87107210031B ,试用初等行变换求B A 1-．解依据()()1A B E A B -−−−−→初等行变换可得()21123130123130324102720195721010782101078r r A B -⎛--⎫⎛--⎫⎪ ⎪=-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭3213121212232322(1)2(1)(1)122887100645201957201957011121011121100645100645011121010212,001333001333r r r r r r r r r r r r r r r -+-----↔-⎛-----⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−→-−−−→- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−→-−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3332125461B A .2-18．用分块法求AB ：（1）1000103201001201,1210104111011100A B ⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎪⎪== ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭. 解 31112212212A 1110321041B =B B =B 12011100-⎛⎫=⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，3112112101024A B B 11121111--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭31222123241A B B 110100-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3111221221000E 00100A E 121011011032B B 1201B B 10411100A B ⎛⎫⎪⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪-⎛⎫⎪== ⎪⎪⎝⎭⎪-⎝⎭111231121312221032B B 1201AB=A B B A B B 24111133⎛⎫⎪-⎛⎫ ⎪=⎪⎪++-⎝⎭ ⎪⎝⎭11123112131222B B AB=A B B A B B ⎛⎫ ⎪++⎝⎭100010321032010012011201=121010412411110111001133AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪-- ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）230010121020001322,.1051140001102020000030A B -⎛⎫-⎛⎫⎪- ⎪⎪- ⎪⎪==- ⎪-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭解 23001012151230200013225091105114000250011020200004000030AB -⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎪- ⎪⎪⎪- ⎪ ⎪⎪==- ⎪ ⎪---⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭. 2-19．用分块法求下列矩阵的逆矩阵：（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1400520000120013.解 1231003100210021000025002500410041A O A OA ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎛⎫⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 因111112311125151,,2123414218A A ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则11100230000118518002919A --⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭.（2）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100001000100000cos sin 000sin cos a b a θθθθ.解 cos sin 000cos sin 000sin cos 000sin cos 00000100100010001000010001A a b a b a a θθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12A O O A ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 因 111cos sin cos sin sin cos sin cos A θθθθθθθθ---⎛⎫⎛⎫==⎪⎪-⎝⎭⎝⎭， 1212110101001001a b a a b A a a --⎛⎫--⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12cos sin 00sin cos 00000100010001A a a b a θθθθ--⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-- ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.2-20．把下列向量组正交化：（1）1(1,1,1)Tα=，2(1,2,3)T α=，3(1,4,9)T α=.解用施密特正交化方法得11111βα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，2122111111(,)6210(,)3311αββαβββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 3132331211221111(,)(,)14814102(,)(,)3239111αβαββαββββββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则321,,βββ是正交向量组．（2）()11,0,1,1Tα=-，()21,1,0,1Tα=-，()31,1,1,0Tα=-．解用施密特正交化方法得111011βα⎛⎫⎪ ⎪== ⎪- ⎪⎝⎭， 2122111111103(,)21012(,)33111αββαβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，31323312112211111033(,)(,)2211123(,)(,)31550114αβαββαββββββ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则321,,βββ是正交向量组．2-21．已知()()121,0,1,0,0,1,1,1T Tαα==--，()31,1,1,1Tα=，()40,1,0,1Tα=-，（1）求1α与2α的夹角；（2）求123423αααα-+-；（3）求一个与1234,,,αααα等价的标准正交向量组．解（1）因为α==，β==(,)100(1)110(1)1αβ=⨯+⨯-+⨯+⨯-=，所以(,)arccos arccos6αβθαβ===.（2）因123423αααα-+-()()()()() 21,0,1,00,1,1,11,1,1,130,1,0,13,1,2,5 T T T T T =---+--=-，所以123423αααα-+-==（3）先将向量组1234,,,αααα正交化1111βα⎛⎫⎪⎪==⎪⎪⎝⎭，2122111011102(,)11111(,)22102αββαβββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪=-=-=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，31323312112211121021(,)(,)2211112(,)(,)2551021αβαββαββββββ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=-+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，43414244123112233(,)(,)(,)(,)(,)(,)αβαβαββαβββββββββ=---，01120102110000112010211--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=---=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则1234,,,ββββ是正交向量组.再将1234,,,ββββ单位化11110110γββ⎛⎫ ⎪⎪==⎪⎪⎝⎭，22212112γββ-⎛⎫ ⎪-⎪==⎪⎪-⎝⎭，33321121γββ-⎛⎫ ⎪⎪==⎪⎪⎝⎭，44401101γββ⎛⎫ ⎪⎪==⎪⎪-⎝⎭，则1234,,,γγγγ即为所求．2-22*．判别以下集合对于所指的运算是否构成实数域上的线性空间？ (1)次数等于(1)n n ≥的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数乘运算； (2)n 阶实对称矩阵的全体，对于矩阵的加法和数乘运算；(3)平面上不平行于某一向量的全体向量，对于向量的加法和数乘运算；(4)主对角线上各元素之和为零的n 阶方阵的全体，对于矩阵的加法和数乘运算．解（1）否,加法与数乘运算都不满足封闭性. （2）是.（3）否，加法与数乘运算都不满足封闭性. （4）否，加法运算不满足封闭性.2-23*．在n 维线性空间nR 中，分量满足下列条件的全体向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x 21α能否构成n R 的子空间？(1)120n x x x +++=；(2)121n x x x +++=．解（1）设1122,,,n n n x y x y R x y αβαβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且满足120,n x x x +++=120n y y y +++=；又11112222n n n n x y x y x y x y x y x y αβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，满足()()1122x y x y ++++， ()0n n x y ++=，而12,,n kx kx k R k kx α⎛⎫ ⎪ ⎪∀∈= ⎪ ⎪⎝⎭满足120,n kx kx kx +++=故此条件下能构成nR 的子空间.（2）设1122,,,n n n x y x y R x y αβαβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且满足121,n x x x +++=121n y y y +++=，而 11112222n n n n x y x y x y x yx y x y αβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，有()()1122x y x y ++++，()21n n x y ++=≠，故此条件下不能构成n R 的子空间.2-24*．假设,,αβγ是线性空间V 中的向量，试证明它们的线性组合的全体构成V 的子空间．这个子空间叫做由,,αβγ生成的子空间，记做(),,L αβγ．证设有两组系数123123,,,,k k k l l l 与构成,,αβγ的两个线性组合，分别为1123k k k δαβγ=++，2123l l l δαβγ=++，且12,L δδ∈,其中L 是线性空间V 的非空子集；（i ）()()()12112233k l k l k l L δδαβγ+=+++++∈；（ii ）k 是任意数，有1k L δ∈，故L 构成V 的子空间.2-25*．设12,,,s ααα和12,,,t βββ是线性空间n V 的两组向量，证明生成子空间12(,,,)s L ααα和12(,,,)t L βββ相等的充分必要条件是12,,,s ααα和12,,,t βββ等价．证必要性.已知12(,,,)s L ααα=12(,,,)t L βββ，则必有12(,,,)s L ααα是12(,,,)t L βββ的子空间，12,,,s ααα可由12,,,t βββ线性表示，同时12(,,,)t L βββ是12(,,,)s L ααα的子空间，从而12,,,t βββ可由12,,,s ααα线性表示，故12,,,s ααα和12,,,t βββ等价.充分性.已知12,,,s ααα和12,,,t βββ等价，则12,,,s ααα可由12,,,t βββ线性表示，有12(,,,)s L ααα是12(,,,)t L βββ的子空间，同时12,,,t βββ可由12,,,s ααα线性表示，从而12(,,,)t L βββ是12(,,,)s L ααα的子空间，故12(,,,)s L ααα和12(,,,)t L βββ相等.2-26*．试证在4R 中，由(1,1,0,0)T，(1,0,1,1)T生成的子空间与由(2,1,3,3)T-，(0,1,1,1)T --生成的子空间相等．证记1(1,1,0,0)Tα=，2(1,0,1,1)T α=，1(2,1,3,3)T β=-，2(0,1,1,1)T β=-- 的两个生成子空间12(,)L αα和12(,)L ββ,由于1122123,βααβαα=-+=-且()()112212113,22αββαββ=+=+，所以向量组12,αα和12,ββ等价，故生成子空间12(,)L αα和12(,)L ββ相等.2-27*．在3R 中，求向量(3,7,1)Tα=在基123(1,3,5),(6,3,2),(3,1,0)T T T ααα===下的坐标．解构造矩阵()312212316331633,,,33173317520102110r r r αααα+-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 132133310033100333317010820211002110r r r r r ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−→−−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭3221003301082001154r r -⎛⎫ ⎪−−−→- ⎪ ⎪⎝⎭，故1233382154,αααα=-+向量α在基123,,ααα下的坐标为()33,82,154T-．2-28*．设W 是线性空间n V 的子空间，证明，若W 的维数等于n V 的维数n ，则W =n V ．证明由W 是线性空间n V 的子空间且W 的维数等于n ，则存在n 个线性无关的向量12,,,n W ααα∈是W 的一组基，故12(,,,)n W L ααα=；又由W 是线性空间n V 的子空间，则12,,,n n V ααα∈是n V 的一组基，故12(,,,)n n V L ααα=，所以W =n V ．2-29*．设1W 、2W 是线性空间V 的两个子空间，证明V 的非空子集W ={}121122,W W ααααα=+∈∈构成V 的子空间．这个子空间叫做1W 与2W 的和子空间，记做1W +2W ．证由W 的构成可知，它是线性空间V 的非空子集，下证W 构成V 的子空间:设,W αβ∈有1212,αααβββ=+=+，满足111222,,,W W αβαβ∈∈，则()()12121122αβααββαβαβ+=+++=+++，其中()111W αβ+∈，()222W αβ+∈，所以W αβ+∈；又任取数k ，有12k k k W ααα=+∈故W 构成V 的子空间．2-30．判断下列向量组的线性相关性：（1）123(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)===ααα；（2）123(1,2,3),(2,2,1),(3,4,4)===ααα；（3）123(1,1,1,0,2),(1,1,0,3,3),(1,0,0,2,3)==-=ααα．解（1）设有一组常数123,,k k k 使得112233123(1,1,1)(1,1,0)(1,0,0)k k k k k k O ++=++=ααα，即 ()()123121,,0,0,0k k k k k k +++=，得方程组 123121000k k k k k k ++=⎧⎪+=⎨⎪=⎩，据克莱姆法则知该方程组只有零解 123000k k k =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故123,,ααα线性无关．（2）法一（依内容进度）：显然312ααα=+，即有一组不全为零的常数1231,1,1k k k ===-，使112233123(1)k k k O ++=++-=αααααα成立，所以123,,ααα线性相关．（2）法二：设有一组常数123,,k k k 使得112233123(1,2,3)(2,2,1)(3,4,4)k k k k k k O ++=++=ααα，即 ()()12312312323,224,340,0,0k k k k k k k k k ++++++=，得方程组 1231231232302240340k k k k k k k k k ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，因 1232240314A ==，故方程组有非零解123,,k k k ，所以123,,ααα线性相关．（3）法一（依内容进度）：显然123,,ααα它们各自前3个分量构成的向量组线性无关（本题的（1）），由本章定理7知（线性无关的向量组，相应地增加分量后仍线性无关），123,,ααα线性无关.（3）法二：设有一组常数123,,k k k 使得123(1,1,1,0,2)(1,1,0,3,3)(1,0,0,2,3)k k k O +-+=，得方程组 123121231230003202330k k k k k k k k k k k ++=⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪-+=⎪⎪++=⎩，该方程组只有零解 123000k k k =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故123,,ααα线性无关．2-31．求下列向量组的秩，并判断其线性相关性：（1）123(1,1,1),(0,2,5),(1,3,6)TT T ===ααα；（2）T T T123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14)=-==βββ；（3）T T T123(1,1,3,1),(4,1,3,2),(1,0,1,2).==-=-γγγ解（1）用所给向量组构造矩阵()123101,,123156A ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ααα，对矩阵A 施行行初等变换：21323152101101101123022022156055000r r r r r r A B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=−−−→−−−→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，矩阵B 的秩是2，故矩阵A 的秩是2，所以向量组123,,ααα线性相关.（2）用所给向量组构造矩阵()12313130,,2174214A ⎛⎫ ⎪- ⎪== ⎪⎪⎝⎭βββ,对矩阵A 施行行初等变换：214332311223131031031300330332170110004214000000r r r r r r r r A B +---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎪⎪⎪=−−−→−−−→= ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 矩阵B 的秩是2，故矩阵A 的秩是2，向量组123,,ααα线性相关.（3）用所给向量组构造矩阵()123141110,,331122A ⎛⎫ ⎪⎪== ⎪-- ⎪⎝⎭γγγ，对矩阵A 施行行初等变换：34324342361411411411101101103310610121220120011r r r r r r r r A B ↔-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=−−−→−−−→= ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，矩阵B 的秩是3，故矩阵A 的秩是3，向量组123,,ααα线性无关.2-32．利用伴随矩阵求下列矩阵的逆矩阵：（1）123012001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.解（1）因1231210001A -==≠,故1A -存在，计算代数余子式得111213212223311,0,0,2,1,0,7A A A A A A A ====-===，32332,1A A =-=，从而得*127012001A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,所以1*1271012001A A A --⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭．（2）104227012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．解（2）因10422750012A ==≠,故1A -存在，计算代数余子式得1112132122233,4,2,4,2,1A A A A A A =-=-====-，3132338,1,2A A A =-==，从而得*348421212A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,所以1*348114215212A A A ---⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭．（3）1122401611-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭. 解（3）因11224110611A -=-=≠--,故1A -存在，计算代数余子式得111213212223313,4,2,4,2,1,8A A A A A A A =-=-=====-，32331,2A A ==，从而得*102213418A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,所以1*1021213418A A A -⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭（4）1111111111111111⎛⎫⎪--⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭. 解（4）因1111111116011111111A --==-≠----,故1A -存在，计算代数余子式得11121314212223244,4,4,44,4,4,4A A A A A A A A =-=-=-=-=-=-==， 31323334414243444,4,4,44,4,4,4A A A A A A A A =-==-==-===-，从而得*4444444444444444A ----⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭, 所以1*44441111444411111114444111116444441111A A A -----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪----⎪ ⎪==-= ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭． 2-33．（1）若322A A A E O ++-=，证明A 可逆，并求1A -；（2）若24A A E O --=，证明A E +可逆，并求1()A E -+.证（1）由322A A A E O ++-=3222(2)A A A E A A A E E ⇒++=⇒++=，即存在矩阵22B A A E =++,使得AB E =，故矩阵A 可逆，其逆矩阵为122A B A A E -==++.（2）由24A A E O --=1()(2)2()(2)2A E A E E A E A E E ⎡⎤⇒+-=⇒+-=⎢⎥⎣⎦，即存在矩阵1(2)2B A E =-,使得AB E =，故矩阵A +E 可逆，其逆矩阵为 11(2)2A B A E -==-.2-34．设矩阵,A B 满足关系式2AB B A =+，且301110014A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵B .解由关系式2AB B A =+，整理得2AB B A -=，再由矩阵的分配律得(2)A E B A -=，即 ()12B A E A -=-，又由301110014A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则有1012110012A E ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭,求其逆矩阵得()111012112110221012111A E ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，故矩阵()12113015222221110432111014223B A E A -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-=--=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2-35．将下列矩阵化为行最简形矩阵：（1）11021330701123222273-⎛⎫ ⎪- ⎪⎪- ⎪⎪--⎝⎭.解（1）213141321102111021330700001311232002112227300235r r r r r r -----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪--⎪⎪−−−→ ⎪⎪- ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭4343232313221102111007002110020400013000130002600000r r r r r r r r r r ---↔---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪−−−→−−−→ ⎪⎪--⎪⎪-⎝⎭⎝⎭21211007001020001300000r ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭-⎛⎫⎪⎪−−−→ ⎪-⎪⎝⎭. （2）11111732113201226235433112⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪⎪⎪-⎝⎭.解（2）4122111117111117321132321132012262301226235433112000000r r r --⎛⎫⎛⎫⎪⎪----⎪ ⎪−−−−→⎪⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭2323213111117111117012262301226230122623000000000000000000r r r r r r +↔-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1210115160122623000000000000r r -----⎛⎫⎪⎪−−−→ ⎪⎪⎝⎭.补充题B2-1．如果A A =2，则称n 阶矩阵A 为幂等阵．设B A ,是幂等阵，证明：（1）如果B A +也是幂等阵，则O BA AB =+；（2）如果B A ,是可交换的，则AB B A -+是幂等阵．证（1）若B A +是幂等阵，则必满足()2A B A B +=+,展开得22A AB BA B A B +++=+，又由B A ,是幂等阵，即22,A A B B ==，则上式简化得O BA AB =+，证毕.（2）已知22,A A B B ==，且B A ,是可交换的，即AB BA =，则有()22222A B AB A AB A B BA B BAB ABA AB ABAB +-=+-++---+22222A AB AB BA B AB A B AB A B =+-++---+A BAB AB AB AB AB =++---+2A AB B AB A B AB =++-=+-,故AB B A -+是幂等阵.B2-2．证明：主对角线元素全为1的上三角形矩阵的乘积，仍是主对角线元素为1的上三角形矩阵．证把主对角线元素全为1的上三角形矩阵一般形式展开得1213123231111n n n a a a a a A E B a ⎛⎫⎪⎪⎪==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭12131232301001,0001000n n n a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭其中，矩阵B 为主对角线元素全为0的上三角形矩阵.任取两个主对角线元素全为1的上三角形矩阵，分别记作11A E B =+，22A E B =+，其中12,B B 为主对角线元素全为0的上三角形矩阵，则()()121221121212A A E B E B E EB B E B B E B B B B =++=+++=+++，由矩阵乘法定义，可知12B B 为主对角线元素全为0的上三角形矩阵，再由矩阵加法定义，得1212B B B B B =++仍为主对角线元素全为0的上三角形矩阵，故有12A A E B =+是主对角线元素全为1的上三角形矩阵，证毕.B2-3．设A 是可逆矩阵．证明：如果B A ,是可交换的，则B A ,1-也是可交换的．证已知B A ,是可交换的，即满足AB BA =；又由A 是可逆矩阵，则有()()()1111111A AB A BA B A BA BA A BA A A B -------=⇒=⇒==,所以B A ,1-是可交换的.B2-4．设B A ,为n 阶矩阵，且A 可逆．证明：对n n 2⨯矩阵()B A |施行初等行变换，当把矩阵A 变为单位矩阵E 时，B 即变为B A 1-．证由初等变换的性质，对n n 2⨯矩阵()B A |施行初等行变换，相当于在矩阵()B A |的左边乘上相应的初等矩阵，即存在初等矩阵12,,,n P P P ，使得题目叙述的运算过程即为：()()()21212121|||nnnn P P P A B P P PA P P PB E P P PB ==,则有21nP P P A E =,即121n AP P P -=，从而121n PP PB A B -=,即对n n 2⨯矩阵()B A |施行初等行变换把矩阵A 变为单位矩阵E 时，B 即变为B A 1-．B2-5．设n 维向量组121,,,-n ααα 线性无关，21,ξξ和121,,,-n ααα 均正交，证明21,ξξ线性相关．证设有一组数121,,,,,n k k k k -使得1112211n n k k k k O ξααα--++++= ①则由()()111122111,,n n k k k k O ξξαααξ--++++=，得()()21111111,,0n n k k k ξξαξα--+++=，因1ξ与121,,,-n ααα 均正交，上式简化为210k ξ=，从而有10k O ξ==或．（1）若1O ξ=时，则21,ξξ必线性相关；（2）若10k O ξ=≠而时，由①可得110n k k k -====，即1121,,,,n ξααα-线性无关，由定理8推论3知n +1个n 维向量12,ξξ和121,,,-n ααα 线性相关，再由定理4知，2ξ可由1121,,,,n ξααα-唯一线性表示，记 21112211n n l l l l ξξααα--=++++ ②任取,1,2,,1i i n α=-，由正交性()2,0,1,2,,1i i n αξ==-，代入②式展开化简得20,i il α=1,2,,1i n =-即0,1,2,,1i l i n ==-，所以②式化简为21l ξξ=，得21,ξξ线性相关，证毕.B2-6．（1）设021≠n a a a ，求⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000000000000000121 n n aa a a的逆矩阵．解设12100000000000000n n na a A a a -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则有 ()12(1,2)(2,3)1,n nn a a A E E E n n B a ⎛⎫⎪⎪-== ⎪ ⎪⎝⎭，即0001100001000010n n A B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，由条件021≠n a a a ，有n B 可逆，从而10001100001000010n nA B E -⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭，又121111n n a a B a -⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，所以 111210010001100010000100010000100010n n nn a a A B a a ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）设02211≠----n n c b c b c b a ，求⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛a b bb bc c c c n n3213211000010000100001的逆矩阵．解 ()12312310001000001000100000100010000010001000001n nc c c A E c b b b b a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1111231231100010000010001000010001000001010001n n nr b r b r nn i i ni c c c c a b c b b b b +---=⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−−−−→⎪ ⎪ ⎪ ⎪----- ⎪⎝⎭∑ 记11221nn n i i i d a b c b c b c a b c ==----=-∑，由条件0d ≠，上式矩阵可进一步化简得112131231000010000100001000010000100001000011001n r dnn c c c c b db db db d d +⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪−−−→⎪ ⎪⎪⎪⎪----⎝⎭111221111213111122232221323333312312311000010100010010010*******1n n n n n n r c r n r c r n r c r n n n n n n n b c db c d b c d b c d c d b c d b c db c b c d c d b c d b c d b c d b c d c b c db c d b c d b c d c d b db db db dd +++---⎛+++−−−−→+----⎝⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎭所以所求逆矩阵为11213111122232221323333312312311111n n n n n n n n n n b c db c d b c d b c d c d b c d b c db c d b c dc d b c d b c d b c d b c d c d b c d b c d b c d b c d c d b d b d b d b dd +⎛⎫⎪+ ⎪ ⎪+ ⎪⎪ ⎪+ ⎪ ⎪----⎝⎭112111122222121211n n n nn n n n b c d b c b c c b c b c d b c c d b c b c b c d c b b b +-⎛⎫⎪+- ⎪⎪=⎪+- ⎪ ⎪---⎝⎭,其中n n c b c b c b a d ----= 2211. B2-7．如果向量β可由向量组r ααα,,,21 线性表示，证明：表示法是惟一的充分必要条件是r ααα,,,21 线性无关．证必要性．因向量β可由向量组r ααα,,,21 线性表示，且表示法惟一，则存在惟一一组数12,,,r k k k ，使得1122r r k k k βααα=+++ ①假设r ααα,,,21 线性相关，则存在一组不全为零的数12,,,r l l l 使得1122r r l l l O ααα+++=,不妨设10,l ≠则有21212111rr r r l l c c l l ααααα-=---=++ ②将②代入①可得β的新的线性表示式，这与β线性表示式惟一矛盾，故r ααα,,,21 线性无关．充分性．已知向量β可由向量组r ααα,,,21 线性表示，且r ααα,,,21 线性无关，假设向量β的线性表示式不惟一，存在两组不同的数12,,,r k k k 与12,,,r l l l 使得1122r r k k k βααα=+++，及 1122r r l l l βααα=+++，两式相减得()()()111222r r r k l k l k l O ααα-+-++-=，此时由系数(),1,2,,i i k l i r -=不全为零，得r ααα,,,21 线性相关，矛盾，故向量β的线性表示式惟一．B2-8．证明：任意1+n 个n 维向量必线性相关．证设n 维向量组121,,,n ααα+，构成(1)n n ⨯+矩阵()121,,,n A ααα+=，则矩阵A 的秩1n n ≤<+，即向量组的秩小于向量个数，必线性相关．B2-9．证明：对于任意实数a ，向量组Ta a a a ),,,(1=α,T a a a a )3,2,1,(2+++=α,T a a a a )4,3,2,(3=α线性相关．证由向量组构成矩阵()4332211231201,23013401r r r r r r a a a a a a a a a a A a a a a a a a a ααα---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪==−−−→ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭423201000000r r r r aa a a --⎛⎫⎪⎪−−−→ ⎪⎪⎝⎭，由A 的秩为2，则向量组的秩为2,小于向量个数3，故对任意实数a ，向量组必线性相关．B2-10．设1α是任意的4维向量，T)0,0,1,2(2=α，T )0,4,1,4(3=α，T )0,2,0,1(4=α，若4321,,,ββββ可由向量4321,,,αααα线性表示，则4321,,,ββββ线性相关．证由()12213222234241110110021,,042000000000r r r r r r ααα↔--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=−−−→⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则向量组234,,ααα的秩为2，又由向量1α的任意性，则向量组1234,,,αααα秩不超过3，线性相关；又由4321,,,ββββ可由向量4321,,,αααα线性表示，则向量组4321,,,ββββ的秩不超过向量组4321,,,αααα的秩，所以向量组4321,,,ββββ的秩不超过3，线性相关．B2-11．设n ααα,,,21 均为n 维向量，试证：n ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是：任一n 维向量β都可由它们线性表示．证由n 维向量组n ααα,,,21 线性无关，则它是n 维向量空间nR 的一组基，则nR 中的任一n 维向量β都可由它们线性表示．B2-12．设n ααα,,,21 均为n 维向量，若n 维线性无关的向量组nβββ,,,21 可由它们线性表示，证明：n ααα,,,21 线性无关．证由n ααα,,,21 均为n 维向量，则其秩不超过n ；又由n 维线性无关的向量组n βββ,,,21 可由它们线性表示，所以向量组n ααα,,,21 的秩不低于n ；因此，n ααα,,,21 的秩为n ，线性无关．B2-13．设β可由r ααα,,,21 线性表示，但不能由121,,,-r ααα 线性表示，则r α可由βααα,,,,121-r 线性表示．证由β可由r ααα,,,21 线性表示，则存在一组系数12,,,r k k k ，使得1122r r k k k βααα=+++ ①又由β不能由121,,,-r ααα 线性表示，故系数0r k ≠；由①式得11111r r r r rrk k k k k αβαα--=---，故r α可由βααα,,,,121-r 线性表示．B2-14．设m ααα,,,21 线性无关，任取实数121,,,-m k k k ，令m k ααβ111-=，，m m m m k ααβ111----=，m m αβ=．试证：m βββ ,,21也线性无关．证由条件m k ααβ111-=，，m m m m k ααβ111----=，m m αβ=，构造矩阵形式得()()12112112310000100,,,,,,,,00101m m m m k k k ββββαααα--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭, 简记作B AC =，由于矩阵1231000010000101C k k k ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭可逆，则B 与A 有相同的秩；又m ααα,,,21 线性无关，故()()r B r A n ==，所以m βββ ,,21线性无关．B2-15．设s αααβ+++= 321，s αααβ ++=312，，121-+++=s s αααβ ，证明：s βββ ,,21与s ααα,,,21 等价．。