高考数学总复习 课时作业34 新人教版
高考数学课时作业34 文(含解析)北师大版
课时作业(三十四)一、选择题1．(2012年海淀区一模)在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝a 3a 5，则a 7＝( ) A.116B.18C.14D.12解析：在等比数列{a n }中a 24＝a 3a 5，又a 4＝a 3a 5，所以a 4＝1，故q ＝12，所以a 7＝18.答案：B2．(2012年新课标全国)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝ A ．7 B ．5 C ．－5D ．－7解析：a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8⇒a 4＝4，a 7＝－2或a 4＝－2，a 7＝4.若a 4＝4，a 7＝－2⇒a 1＝－8，a 10＝1⇔a 1＋a 10＝－7；若a 4＝－2，a 7＝4⇒a 10＝－8，a 1＝1⇔a 1＋a 10＝－7. 答案：D3．(2013年长春调研测试)在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n＋1＝324，则n ＝ ( )A ．11B ．12C ．13D ．14解析：由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12可得q 9＝3，a n －1·a n ·a n ＋1＝a 31·q 3n －3＝324，因此q3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14，故选C.答案：C4．(2012年安徽)公比为32的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 16＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：a 3a 11＝16⇔a 27＝16⇔a 7＝4⇒a 16＝a 7×q 9＝32⇔log 2a 16＝5. 答案：B5．(2012年徐州联考)等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：设等比数列的项数为2n 项，所有奇数项之和为S 奇，所有偶数项之和为S 偶，则S 奇＝85，S 偶＝170，所以q ＝2，因此1－4n1－4＝85，解得n ＝4，故这个等比数列的项数为8.答案：C6．(2013年厦门质检)设数列{2n －1}按“第n 组有n 个数(n ∈N *)”的规则分组如下：(1)，(2,4)，(8,16,32)，…则第100组中的第一个数是( )A ．24 951B ．24 950C ．25 051D ．25 050解析：前99组共有1＋2＋3＋…＋99＝4 950，第100组中的第一个数24 950.答案：B 二、填空题7．(2013年济南质检)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 3＋a 7＝3，a 2·a 8＝2，则a 11a 7＝________.解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＋a 1q 6＝3，a 1q ·a 1q 7＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 21＋q 4＝3， ①a 21q 8＝2， ②由①知a 1>0，又{a n }为递增数列，∴q >1. ①2除以②得：1＋q42q 4＝92， 解得q 4＝2或q 4＝12(舍)，∴a 11a 7＝q 4＝2. 答案：28．(2012年莆田一模)若数列{a n }(a n ∈R )对任意的正整数m ，n 满足a m ＋n ＝a m a n ，且a 3＝22，那么a 12＝________.解析：令m ＝1，则a n ＋1＝a n a 1⇒a 1＝q ，a 3＝a 1q 2＝22⇒q 3＝22，a 12＝q 12＝64. 答案：649．(2012年兰州模拟)已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝________.解析：设数列{a n }的公比为q ，则由等比数列的性质知，a 2·a 3＝a 1·a 4＝2a 1，即a 4＝2.由a 4与2a 7的等差中项为54知，a 4＋2a 7＝2×54，∴a 7＝12(2×54－a 4)＝14.∴q 3＝a 7a 4＝18，即q ＝12.∴a 4＝a 1q 3＝a 1×18＝2，∴a 1＝16，∴S 5＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝31.答案：31 三、解答题10．设等比数列{a n }的公比q <1，前n 项和为S n .已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求数列{a n }的通项公式．解：由题设知a 1≠0，S n ＝a 11－q n1－q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝2， ①a 11－q 41－q＝5×a 11－q 21－q ， ②由②式得1－q 4＝5(1－q 2)， 即(q －2)(q ＋2)(q －1)(q ＋1)＝0， 因为q <1，所以q ＝－1或q ＝－2. 当q ＝－1时，代入①式得a 1＝2， 所以通项公式a n ＝2×(－1)n －1；当q ＝－2时，代入①式得a 1＝12，所以通项公式a n ＝12×(－2)n －1.11．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式． 解：(1)证明：b 1＝a 2－a 1＝1， 当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n2－a n＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1，∴{b n }是首项为1，公比为－12的等比数列．(2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ＝1时，53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－1＝1＝a 1，∴a n ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1(n ∈N *)．12．(2012年西安质检)设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1＋3＋a 3＋42＝3a 2，解得a 2＝2.设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q，a 3＝2q .又S 3＝7，可知2q＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0， 解得q 1＝2，q 2＝12.由题意，得q >1， ∴q ＝2，∴a 1＝1. 故数列{a n }的通项是a n ＝2n －1.(2)由于b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…， 由(1)得a 3n ＋1＝23n，∴b n ＝ln 23n＝3n ln 2， 又b n ＋1－b n ＝3ln 2， ∴数列{b n }是等差数列． ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n b 1＋b n2＝n 3ln 2＋3n ln 22＝3n n ＋12ln 2.故T n ＝3n n ＋12ln 2.[热点预测]13．各项都是正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 4＋a 5a 3＋a 4的值为A.5＋12B.5－12C ．－1－52D.5－12或5＋12解析：设{a n }的公比为q ，q >0，由已知得a 1＋a 2＝a 3， 即a 1＋a 1q ＝a 1q 2，q 2－q －1＝0， 解得q ＝1＋52或q ＝1－52(舍去)，所以a 4＋a 5a 3＋a 4＝a 3＋a 4q a 3＋a 4＝q ＝1＋52. 答案：A14．等比数列{a n }中，q ＝2，S 99＝77，则a 3＋a 6＋…＋a 99＝________. 解析：∵S 99＝(a 1＋a 4＋…＋a 97)＋(a 2＋a 5＋…＋a 98)＋(a 3＋a 6＋…＋a 99)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1q2＋1q＋1(a 3＋a 6＋…＋a 99)， ∴a 3＋a 6＋…＋a 99＝44. 答案：4415．数列{a n }中，S n ＝1＋ka n (k ≠0，k ≠1)． (1)证明：数列{a n }为等比数列； (2)求通项a n ；(3)当k ＝－1时，求和a 21＋a 22＋…＋a 2n . 解：证明：(1)∵S n ＝1＋ka n ，S n －1＝1＋ka n －1，①－②得S n －S n －1＝ka n －ka n －1(n ≥2)， ∴(k －1)a n ＝ka n －1，a n a n －1＝kk －1为常数，n ≥2，∴{a n }是公比为kk －1的等比数列．(2)∵S 1＝a 1＝1＋ka 1，∴a 1＝11－k， ∴a n ＝11－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1n －1＝－kn －1k －1n.(3)∵{a n }中a 1＝11－k ，q ＝k k －1，∴{a 2n }为首项为⎝⎛⎭⎪⎫1k －12，公比为⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －12的等比数列．当k ＝－1时，等比数列{a 2n }的首项为14，公比为14，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n .。
【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业34
课时作业40 数学归纳法1．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( D )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2 C.(k ＋1)4＋4(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2解析：观察可知，等式的左端是n 2个连续自然数的和，当n ＝k 时为1＋2＋3＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时为1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.2．如果命题P (n )(n ∈N *)对n ＝k (k ∈N *)成立，则它对n ＝k ＋1也成立，现已知P (n )对n ＝4不成立，则下列结论中正确的是( D )A ．P (n )对任意n ∈N *成立B ．P (n )对n ＞4成立C ．P (n )对n ＜4成立D ．P (n )对n ≤4不成立解析：由题意可知P (n )对n ＝3不成立(否则n ＝4也成立)，同理可推得P (n )对n ＝2，n ＝1也不成立，故选D.3．(2019·岳阳模拟)用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( B )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：左边求和可得1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，右边＝12764＝2－164，故2－12n －1＞2－164，即12n －1＜164＝126，所以2n －1＞26，解得n ＞7. 所以初始值至少应取8.4．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，利用归纳法假设证明n ＝k ＋1时，只需展开( A )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3解析：假设n ＝k 时，原式k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除，当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．5．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( D )A ．若f (1)＜1成立，则f (10)＜100成立B ．若f (2)＜4成立，则f (1)≥1成立C ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立D ．若f (4)≥16成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立解析：由条件可知不等式的性质只对大于或等于号成立，所以A 错误；若f (1)≥1成立，则得到f (2)≥4，与f (2)＜4矛盾，所以B 错误；当f (3)≥9成立，无法推导出f (1)，f (2)，所以C 错误；若f (4)≥16成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立，正确．6．(2019·九江模拟)已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3，f (32)＞72，则其一般结论为 f (2n)＞n ＋22(n ≥2，n ∈N *) .解析：观察规律可知f (22)＞2＋22，f (23)＞3＋22，f (24)＞4＋22，f (25)＞5＋22，…，故得一般结论为f (2n)＞n ＋22(n ≥2，n ∈N *)．7．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝ 5 ；当n ＞4时，f (n )＝ 12(n ＋1)(n －2) (用n 表示)．解析：由题意知f (3)＝2，f (4)＝5，f (5)＝9，可以归纳出每增加一条直线，交点增加的个数为原有直线的条数，所以f (4)－f (3)＝3，f (5)－f (4)＝4， 猜测得出f (n )－f (n －1)＝n －1(n ≥4)． 有f (n )－f (3)＝3＋4＋…＋(n －1)， 所以f (n )＝12(n ＋1)(n －2)．8．已知f (m )＝1＋12＋13＋…＋1m (m ∈N *)，用数学归纳法证明f (2n )＞n 2时，f (2k ＋1)－f (2k)＝ 12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1 .解析：当n ＝k 时，f (2k)＝1＋12＋13＋…＋12k ，当n ＝k ＋1时，f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1，所以f (2k ＋1)－f (2k)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋12k ＝12k＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1. 9．用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n (2n ＋2)＝n4(n ＋1)(n ∈N *)． 证明：(1)当n ＝1时，等式左边＝12×1×(2×1＋2)＝18，等式右边＝14(1＋1)＝18，等式左边＝等式右边，所以等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时等式成立，即有12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＝k4(k ＋1)，则当n ＝k ＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＋12(k ＋1)[2(k ＋1)＋2]＝k 4(k ＋1)＋14(k ＋1)(k ＋2) ＝k (k ＋2)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝(k ＋1)24(k ＋1)(k ＋2)＝k ＋14(k ＋2) ＝k ＋14[(k ＋1)＋1]. 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立，由(1)(2)可知，对于一切n ∈N *，等式都成立．10．已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g (n )＝32－12n 2，n ∈N *. (1)当n ＝1,2,3时，试比较f (n )与g (n )的大小； (2)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并给出证明． 解：(1)当n ＝1时，f (1)＝1，g (1)＝1， 所以f (1)＝g (1)；当n ＝2时，f (2)＝98，g (2)＝118， 所以f (2)＜g (2)；当n ＝3时，f (3)＝251216，g (3)＝312216， 所以f (3)＜g (3)．(2)由(1)猜想f (n )≤g (n )，下面用数学归纳法给出证明．①当n ＝1,2,3时，不等式显然成立， ②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时不等式成立， 即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3＜32－12k 2. 那么，当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )＋1(k ＋1)3＜32－12k 2＋1(k ＋1)3.因为f (k ＋1)－g (k ＋1)＜32－12k 2＋1(k ＋1)3－⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－12(k ＋1)2＝12(k ＋1)2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12k 2－1(k ＋1)3＝k ＋32(k ＋1)3－12k2＝－3k －12(k ＋1)3k 2＜0，所以f (k ＋1)＜g (k ＋1)．由①②可知，对一切n ∈N *，都有f (n )≤g (n )成立．11．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝a n 2＋1a n－1且a n ＞0，n∈N *.(1)求a 1，a 2，a 3，并猜想{a n }的通项公式； (2)证明通项公式的正确性． 解：(1)当n ＝1时，由已知得a 1＝a 12＋1a 1－1，a 21＋2a 1－2＝0.所以a 1＝3－1(a 1＞0)．当n ＝2时，由已知得a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1，将a 1＝3－1代入并整理得 a 22＋23a 2－2＝0. 所以a 2＝5－3(a 2＞0)． 同理可得a 3＝7－ 5.猜想a n ＝2n ＋1－2n －1(n ∈N *)．(2)证明：①由(1)知，当n ＝1,2,3时，通项公式成立．②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时，通项公式成立，即a k ＝2k ＋1－2k －1.由a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝a k ＋12＋1a k ＋1－a k 2－1a k ，将a k ＝2k ＋1－2k －1代入上式并整理， 得a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0.解得a k ＋1＝2k ＋3－2k ＋1(负值舍去)． 即当n ＝k ＋1时，通项公式也成立．由①和②，可知对所有n ∈N *，a n ＝2n ＋1－2n －1都成立．12．已知函数f (x )＝a ln x ＋2x ＋1(a ∈R )．(1)当a ＝1时，求f (x )在[1，＋∞)上的最小值． (2)求证：ln(n ＋1)＞13＋15＋17＋…＋12n ＋1.解：(1)当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋2x ＋1，定义域为(0，＋∞)．因为f ′(x )＝1x －2(x ＋1)2＝x 2＋1x (x ＋1)2＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以f (x )在x ∈[1，＋∞)内的最小值为f (1)＝1. (2)证明：当n ＝1时，ln(n ＋1)＝ln2， 因为3ln2＝ln8＞1，所以ln2＞13，即当n ＝1时，不等式成立． 假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时， ln(k ＋1)＞13＋15＋17＋…＋12k ＋1成立．那么，当n ＝k ＋1时，ln(k ＋2)＝ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＞13＋15＋…＋12k ＋1＋ln k ＋2k ＋1.根据(1)的结论可知，当x ＞1时，ln x ＋2x ＋1＞1，即ln x ＞x －1x ＋1.令x ＝k ＋2k ＋1，所以ln k ＋2k ＋1＞12k ＋3，则有ln(k ＋2)＞13＋15＋…＋12k ＋1＋12k ＋3，即当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 综上可知不等式成立．13．设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数．(1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N *，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围． 解：由题设得，g (x )＝x1＋x (x ≥0)．(1)由已知，g 1(x )＝x1＋x ，g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x1＋2x， g 3(x )＝x 1＋3x ，…，可猜想g n (x )＝x1＋nx .下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，g 1(x )＝x 1＋x ，结论成立．②假设n ＝k 时结论成立， 即g k (x )＝x1＋kx .那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k (x )1＋g k (x )＝x 1＋kx 1＋x 1＋kx ＝x1＋(k ＋1)x ， 即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立． (2)已知f (x )≥ag (x )恒成立， 即ln(1＋x )≥ax1＋x 恒成立．设φ(x )＝ln(1＋x )－ax1＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x －a(1＋x )2＝x ＋1－a (1＋x )2，当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)， ∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增． 又φ(0)＝0，∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax1＋x 恒成立(仅当x ＝0时等号成立)．当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )≤0， ∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a －1)<φ(0)＝0，即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0， ∴ln(1＋x )≥ax1＋x不恒成立．综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，1]．。
高考数学一轮复习 34课时作业
高考数学一轮复习 34课时作业一、选择题1．函数y ＝ax 3＋bx 2取得极大值和极小值时的x 的值分别为0和13，则( )A ．a －2b ＝0B ．2a －b ＝0C ．2a ＋b ＝0D ．a ＋2b ＝0答案 D解析 y ′＝3ax 2＋2bx ，据题意， 0、13是方程3ax 2＋2bx ＝0的两根 ∴－2b 3a ＝13， ∴a ＋2b ＝0.2．(2011·江南十校)当函数y ＝x ·2x取极小值时，x ＝( ) A.1ln2B ．－1ln2C ．－ln2D ．ln2答案 B解析 由y ＝x ·2x得y ′＝2x＋x ·2x·ln2 令y ′＝0得2x(1＋x ·ln2)＝0 ∵2x＞0，∴x ＝－1ln23．函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则( ) A ．0＜b ＜1 B ．b ＜1 C ．b ＞0 D ．b ＜12答案 A解析 f (x )在(0,1)内有极小值，则f ′(x )＝3x 2－3b 在(0,1)上先负后正，∴f ′(0)＝－3b ＜0，∴b ＞0，f ′(1)＝3－3b ＞0，∴b ＜1 综上，b 的范围为0＜b ＜14．连续函数f (x )的导函数为f ′(x )，若(x ＋1)·f ′(x )>0，则下列结论中正确的是( ) A ．x ＝－1一定是函数f (x )的极大值点 B ．x ＝－1一定是函数f (x )的极小值点 C ．x ＝－1不是函数f (x )的极值点 D ．x ＝－1不一定是函数f (x )的极值点答案 B解析 x >－1时，f ′(x )>0x <－1时，f ′(x )<0∴连续函数f (x )在(－∞，－1)单减，在(－1，＋∞)单增，∴x ＝－1为极小值点． 5．函数y ＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( )A ．－173B ．－103C ．－4D ．－643答案 A解析 y ′＝x 2＋2x －3.令y ′＝x 2＋2x －3＝0，x ＝－3或x ＝1为极值点．当x ∈[0,1]时，y ′<0.当x ∈[1,2]时，y ′>0，所以当x ＝1时，函数取得极小值，也为最小值．∴当x ＝1时，y min ＝－173.6．函数f (x )的导函数f ′(x )的图象，如右图所示，则( )A ．x ＝1是最小值点B ．x ＝0是极小值点C ．x ＝2是极小值点D ．函数f (x )在(1,2)上单增 答案 C解析 由导数图象可知，x ＝0，x ＝2为两极值点，x ＝0为极大值点，x ＝2为极小值点，选C.7．已知函数f (x )＝12x 3－x 2－72x ，则f (－a 2)与f (－1)的大小关系为( )A ．f (－a 2)≤f (－1) B ．f (－a 2)<f (－1) C ．f (－a 2)≥f (－1)D ．f (－a 2)与f (－1)的大小关系不确定 答案 A解析 由题意可得f ′(x )＝32x 2－2x －72.由f ′(x )＝12(3x －7)(x ＋1)＝0，得x ＝－1或x ＝73.当x <－1时，f (x )为增函数；当－1<x <73时，f (x )为减函数．所以f (－1)是函数f (x )在(－∞，0]上的最大值，又因为－a 2≤0，故f (－a 2)≤f (－1)．8．函数f (x )＝e －x·x ，则( ) A ．仅有极小值12eB ．仅有极大值12eC ．有极小值0，极大值12eD ．以上皆不正确 答案 B解析 f ′(x )＝－e －x·x ＋12x·e －x ＝e －x(－x ＋12x )＝e －x·1－2x 2x . 令f ′(x )＝0，得x ＝12.当x >12时，f ′(x )<0；当x <12时，f ′(x )>0.∴x ＝12时取极大值，f (12)＝1e ·12＝12e. 二、填空题9．(2011·西城区)若y ＝a ln x ＋bx 2＋x 在x ＝1和x ＝2处有极值，则a ＝________，b ＝________.答案 －23 －16解析 y ′＝a x＋2bx ＋1.由已知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0a2＋4b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23b ＝－1610．已知函数f (x )＝13x 3－bx 2＋c (b ，c 为常数)．当x ＝2时，函数f (x )取得极值，若函数f (x )只有三个零点，则实数c 的取值范围为________答案 0<c <43解析 ∵f (x )＝13x 3－bx 2＋c ，∴f ′(x )＝x 2－2bx ，∵x ＝2时，f (x )取得极值，∴22－2b ×2＝0，解得b ＝1.∴当x ∈(0,2)时，f (x )单调递减，当x ∈(－∞，0) 或x ∈(2，＋∞)时，f (x )单调递增． 若f (x )＝0有3个实根，则⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝c >0f 2＝13×23－22＋c <0，，解得0<c <4311．设m ∈R ，若函数y ＝e x＋2mx (x ∈R )有大于零的极值点，则m 的取值范围是________． 答案 m <－12解析 因为函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R )有大于零的极值点，所以y ′＝e x＋2m ＝0有大于0的实根．令y 1＝e x，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图象可得－2m >1，即m <－12.12．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴相切于(1,0)，则极小值为________． 答案 0解析 f ′(x )＝3x 2－2px －q ， 由题知f ′(1)＝3－2p －q ＝0. 又f (1)＝1－p －q ＝0，联立方程组，解得p ＝2，q ＝－1.∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1. 由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0， 解得x ＝1或x ＝13，经检验知x ＝1是函数的极小值点， ∴f (x )极小值＝f (1)＝0. 三、解答题13．(2010·安徽卷，文)设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0＜x ＜2π，求函数f (x )的单调区间与极值．解析 由f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0＜x ＜2π， 知f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1，于是f ′(x )＝1＋2sin(x ＋π4)．令f ′(x )＝0，从而sin(x ＋π4)＝－22，得x ＝π，或x ＝3π2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因此，由上表知f (x )的单调递增区间是(0，π)与(2，2π)，单调递减区间是(π，3π2)，极小值为f (3π2)＝3π2，极大值为f (π)＝π＋2.14．(2010·江西卷)设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax . (1)若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，求实数a 的值；(2)是否存在实数a ，使得f (x )是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解析 f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .(1)由已知有f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a18＝1，所以a ＝9；(2)由于Δ＝36(a ＋2)2－4×18×2a ＝36(a 2＋4)>0，所以不存在实数a ，使得f (x )是(－∞，＋∞)上的单调函数． 15．已知定义在R 上的函数f (x )＝x 2(ax －3)，其中a 为常数． (1)若x ＝1是函数f (x )的一个极值点，求a 的值；(2)若函数f (x )在区间(－1,0)上是增函数，求a 的取值范围． 解析 (1)f (x )＝ax 3－3x 2，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)． ∵x ＝1是f (x )的一个极值点，∴f ′(1)＝0，∴a ＝2.(2)解法一 ①当a ＝0时，f (x )＝－3x 2在区间(－1,0)上是增函数，∴a ＝0符合题意； ②当a ≠0时，f ′(x )＝3ax (x －2a )，令f ′(x )＝0得：x 1＝0，x 2＝2a.当a >0时，对任意x ∈(－1,0)，f ′(x )>0，∴a >0符合题意；当a <0时，当x ∈(2a ，0)时，f ′(x )>0，∴2a≤－1，∴－2≤a <0符合题意；综上所述，a ≥－2.解法二 f ′(x )＝3ax 2－6x ≥0在区间(－1,0)上恒成立，∴3ax －6≤0，∴a ≥2x在区间(－1,0)上恒成立，又2x <2－1＝－2，∴a ≥－2.16．(2011·沧州七校联考)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋1－ln x . (1)若f (x )在(0，12)上是减函数，求a 的取值范围；(2)函数f (x )是否既有极大值又有极小值？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解析 (1)f ′(x )＝－2x ＋a －1x ，∵f (x )在(0，12)上为减函数，∴x ∈(0，12)时－2x ＋a －1x<0恒成立，即a <2x ＋1x恒成立．设g (x )＝2x ＋1x ，则g ′(x )＝2－1x 2.∵x ∈(0，12)时1x 2>4，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，12)上单调递减，g (x )>g (12)＝3，∴a ≤3.(2)若f (x )既有极大值又有极小值，则f ′(x )＝0必须有两个不等的正实数根x 1，x 2，即2x 2－ax ＋1＝0有两个不等的正实数根．故a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0a2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－8>0a >0⇒a >22，∴当a >22时，f ′(x )＝0有两个不等的实数根，不妨设x 1<x 2，由f ′(x )＝－1x(2x 2－ax ＋1)＝－2x(x －x 1)(x －x 2)知，0<x <x 1时f ′(x )<0，x 1<x <x 2时f ′(x )>0，x >x 2时f ′(x )<0，∴当a >22时f (x )既有极大值f (x 2)又有极小值f (x 1)．。
高考数学总复习高效课时作业3-4文新人教版
一、选择题1． (2011 年天津 ) 已知函数f (x) ＝ 2sin (＋) ，∈R，此中ω>0，－π <≤π . 若f()ωx φxφx的最小正周期为6π，且当x＝π)时， f ( x)获得最大值，则(2A．f ( x) 在区间 [ － 2π， 0] 上是增函数B．f ( x) 在区间 [ － 3π，－π ] 上是增函数C．f ( x) 在区间 [3 π， 5π ] 上是减函数D．f ( x) 在区间 [4 π， 6π ] 上是减函数分析：∵ f ( x)的最小正周期为6π，1∴ω＝3，π∵当 x＝2时， f ( x)获得最大值，∴ 1×π＋φ＝π＋2kπ (k∈Z)，φ＝π＋ 2kπ ( ∈Z) ，3223kπ∵－π <φ≤π，∴φ＝3 .xπ∴f ( x)＝2sin3＋3，由此函数图象易得(图略)，在区间 [ － 2π， 0]上是增函数，而在区间[ － 3π，－π ] 或 [3 π， 5π ] 上均没单一性，在区间 [4 π， 6π ] 上是增函数．应选 A.答案： A．年日照二模要获得函数＝π的图象，则＝的图象(2012)y3cos2x－y3sin 2x() 24πA．沿x轴向左平移个单位πB．沿x向右平移8 个单位πC．沿x轴向左平移 4 个单位D．沿x向右平移π个单位4分析： y＝3cos2x－π＝3sinπ＋ 2x－π424ππ＝ 3sin 2x＋4＝3sin2x＋8.选 A.答案： Aπ23．已知函数 f ( x ) ＝A cos ( ωx ＋ φ) 的图象如下图，f 2 ＝－ 3，则 f (0) ＝ ()2 1 A ．－ B ．－322 1 C. 3D. 22 11π， 0 代入分析式得 11π 分析：由题中图象可知所求函数的周期为π，故 ω＝ 3，将4312π ＋ 2k π，因此 φ＝－9ππf ( x ) ＝ A cos 3x －π ， ＋ φ＝＋ 2k π，令 φ＝－ 代入分析式得 424 4ππ 2ππ 2又由于 f 2 ＝－ A sin4 ＝－ 3，因此 f (0) ＝A cos－ 4 ＝ A cos4 ＝ 3，应选 C.答案： C4．如图是函数y ＝ A sin( ωx ＋ φ)( x ∈R)在区间π 5π 上图象，为了获得这个函数的图 － ，6 6象，只需将 y ＝ sin x ( x ∈R)的图象上全部的点()A ．向左平移π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到本来的 1倍，纵坐标不变3 2B ．向左平移 π2 倍，纵坐标不变3 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到本来的 C ．向左平移π1 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到本来的倍，纵坐标不变2πD ．向左平移 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到本来的 2 倍，纵坐标不变分析：由题中函数的图象可知，其振幅为1 且最大值为 1，最小值为－ 1，∴纵坐标不变．联合选项可知，图象是先向左平移，后横向伸缩．π将 y ＝ sinx ( x ∈R)向左平移 3 个单位长度为：π- 2 -π1π∴需将 y ＝ sin x ＋ 3 各点的横坐标缩短到本来的2倍．分析式变成： y ＝ sin2x ＋ 3 .答案： A5．定义队列式运算a 1a 2 ＝ 1 4－ 2 3，将函数f ( x ) ＝ 3sinx 的图象向左平移( n ＞0)个3 4a a a a1cosxna a单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为 ()π πA. 6B. 35π 2π C. 6D. 3分析： f ( x ) ＝3sin xx ＝ 2cos (πn 个单位1cosx ＝ 3cos x － sinx ＋) ，图象向左平移6π得 f ( x ＋n ) ＝ 2cos ( x ＋ n ＋ 6 ) ，∵ f ( x ＋n ) 是偶函数，∴ n ＋π π ＝ k π，∴ n ＝ k π－，66则 n 的最小值为 5π6 时，函数为偶函数．答案： C二、填空题π6．(2011年辽宁 ) 已知函数 f ( x ) ＝ A tan( ωx ＋ φ)( ω>0，| φ|< 2 ) ，y ＝ f ( x ) 的部分图象如图，则 fπ24 ＝ ________．3π π ππ分析：由题中图象可知，此正切函数的半周期等于8 － 8 ＝ 4，即最小正周期为 2 ，所以 ω＝ 2. 由题意可知，图象过定点3π， 0 ，因此 0＝ A tan 2× 3π＋ φ ，即 3π ＋ φ ＝k 88 4 π ( k ∈Z) ，因此 φ＝ k π－3π ( k ∈Z) ，又 | φ|< π，因此， φ＝ π . 又图象过定点 (0 ， 1) ， 4 2 4因此 ＝ 1.综上可知， f ( x )＝tan2x ＋π 故有 π ＝ tan2×π ＋ π ＝ tan π ＝ 3.A4.f242443答案：37．设函数f ( x) ＝ 2sin π xπ，若对随意 x∈R都有 f ( x1)≤ f ( x)≤ f ( x2)建立，则| x1－x2| 2＋5的最小值为 ______．分析：f (x) 的周期为＝2π＝ 4，由题意f(x1)和f(2)分别为f(x) 的最小值和最大值，故Tπx2| x1－x2| 的最小值应为 f ( x)的半周期 2.答案： 28．给出下边的三个命题：①函数 y＝sinπ的最小正周期是π2x＋3；2②函数 y＝sin x－3π在区间π，3π上单一递加；225π是函数y＝sin 5π③ x＝2x＋的图象的一条对称轴．42此中正确的命题是________( 将正确命题的序号写在题中横线上) ．分析：∵ y＝sin2x＋π的最小正周期为π，3π的最小正周期为π∴ y＝sin 2x＋，故①正确．3233π当 x∈ π，π时， x－π∈ －，0，222∴ y＝sin33上是单一递加的，故②也正确．x－π在π，π225555当 x＝4π时，2x＋2π＝2π＋2π＝5π，5此时 sin2x＋2π＝ 0，5故 x＝4π不是它的图象的一条对称轴，故③不对．答案：①②9．(2011 年安徽 ) 设f (x) ＝sin 2x＋cos 2x，此中a，∈R，≠0，若f(x) ≤fπ对a b b ab6全部 x∈R恒建立，则① f 11π＝ 0；12② f 7π< fπ；105③ f ( x ) 既不是奇函数也不是偶函数；④ f ( x ) 的单一递加区间是 k π＋ π ，k π＋ 2π ( k ∈Z) ；6 3⑤存在经过点 ( a ， b ) 的直线与函数 f ( x ) 的图象不订交．以上结论正确的选项是 ________( 写出全部正确结论的编号 ) ．22b分析： f ( x ) ＝ a sin 2x ＋b cos 2 x ＝ a ＋ b sin (2 x ＋φ)(此中 tan φ＝a ) ，由于对全部πππ x ∈R ， f ( x ) ≤ f 6恒建立，因此 sin3 ＋φ ＝± 1，可得 φ＝k π＋ 6 ( k ∈Z) ，22π故 f ( x ) ＝± a ＋ b sin 2x ＋ 6 .11π 2 211π π 而 f 12 ＝± a ＋ b sin 2× 12 ＋6 ＝ 0，因此①正确；f 7π 2 2 47 a 2 2 17 π ，＝ a ＋b sinπ ＝ ＋ b sin 3010 30π22177ππf5＝a ＋b sin30 π ，因此 f10＝ f5，故②错误；③显然正确；④错误；由函数 f ( x ) ＝ 2 22 ＋π222 x＋πa ＋b sin x 6 和 f ( x ) ＝－ a ＋ b sin 6 的图象可知 (图略)，不存在经过点 ( a ， b ) 的直线与函数 f ( x ) 的图象不订交，故⑤错．答案：①③三、解答题10．已知函数 f ( x ) ＝ sin( π－ ωx )cosωx ＋cos2ωx ( ω>0) 的最小正周期为π .(1) 求 ω 的值；1(2) 将函数 y ＝ f ( x ) 的图象上各点的横坐标缩短到本来的2，纵坐标不变， 获得函数 y ＝ g ( x )π 的图象，求函数 g ( x ) 在区间 0， 16 上的最小值． 分析： (1) ∵ f ( x ) ＝ sin( π－ ωx )cosωx ＋cos 2ωx ，1＋ cos 2 ωx∴ f ( x ) ＝ sinωx cos ωx ＋21 1 1＝ 2sin 2ωx ＋2cos 2 ωx ＋ 22π1＝ 2 sin2ωx ＋ 4 ＋ 2.2πω＝π，∴ω＝1.2π1(2) 由 (1) 知f ( x) ＝2 sin2x＋4＋2，2π1∴ g( x)＝ f (2 x)＝2sin4x＋4＋2.ππππ当 0≤x≤16时，4≤ 4x＋4≤2，2π∴2≤sin 4x＋4≤ 1，∴1≤ (1＋ 2) ≤.g x2故 g( x)在区间π0，16上的最小值为 1.11．(2011 年福建 ) 设函数f ( θ) ＝ 3sinθ＋cosθ，此中，角θ 的极点与坐标原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边经过点P( x，y)，且0≤θ≤π.(1)若点 P 的坐标为1，3，求 f (θ)的值；2 2x＋ y≥1，(2) 若点 (，) 为平面地区Ω：x≤1，上的一个动点，试确立角θ的取值范围，并P x yy≤1求函数 f (θ)的最小值和最大值．3sinθ＝2，分析： (1) 由点P的坐标和三角函数的定义可得1cosθ＝2.于是 f (θ)＝3sin31θ＋cosθ＝3×＋＝2.22(2) 作出平面地区Ω ( 即三角形地区) 如下图，此中(1 ，0)， (1 ，1) ， (0 ，1) ．ABC A B Cπ于是 0≤θ≤2 .又 f (θ)＝3sinθ＋cosθ＝2sinπθ ＋6，ππ 2π且 6 ≤ θ＋ 6 ≤ 3 ，π ππ故当 θ＋ 6 ＝ 2 ，即 θ＝ 3 时， f ( θ) 获得最大值，且最大值等于2；π π，即 θ ＝ 0 时， f ( θ) 获得最小值，且最小值等于 1.当 θ＋ ＝ 66．年浙江已知函数＝πx ＋ φ ， ∈ ， ， ∈ π＝的部分图12(2011 )f ( x ) A sin3φ< 2 . y f ( x )x R A >0 0 象如下图， P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，点 P 的坐标为 (1 ，A ) ．(1) 求 f ( x ) 的最小正周期及 φ 的值；(2) 若点R 的坐标为 (1 ， 0) ，∠＝ 2π ，求 A 的值．PRQ 3分析： (1) 由题意得， T ＝ 2π ＝ 6.π 3 由于 P (1 ， A ) 在 y ＝ A sinπ x ＋ φ 的图象上，3因此 sinπ ＋ φ ＝ 1.3π又由于 0<φ< 2 ，π因此 φ＝ 6 .(2) 设点 Q 的坐标为 ( x 0，－ A ) ，则题意可知π0＋ π＝ 3π ，得 x 0＝ 4，因此(4，－ )．3x62QA如图，连结 PQ ，在△ PRQ 中，∠ PRQ＝2π3 ，由余弦定理得2 2 2cos∠ ＝ RP ＋ RQ － PQ PRQ2RP · RQA 2＋ 9＋ A 2 －（ 9＋ 4A 2）1＝2＝－ ，2 ·9＋ A2A解得 A 2＝ 3.又 A>0，因此 A＝ 3.。
高考数学总复习 课时作业36 新人教版
高考数学总复习 课时作业36 新人教版1．若椭圆x 216＋y 2b2＝1过点(－2，3)，则其焦距为( )A ．2 5B ．2 3C ．4 5D ．4 3答案 D解析∵椭圆过(－2，3)，则有416＋3b2＝1，b 2＝4，c 2＝16－4＝12，c ＝23，2c ＝4 3.故选D.2．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．8答案 D解析 椭圆焦点在y 轴上，∴a 2＝m －2，b 2＝10－m . 又c ＝2，∴m －2－(10－m )＝c 2＝4. ∴m ＝8.3．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值为( )A ．3B ．3或253C.15D.15或5153答案B解析 若焦点在x 轴上，则有⎩⎪⎨⎪⎧5>m ，5－m 5＝105.∴m ＝3.若焦点在y 轴上，则有⎩⎪⎨⎪⎧m >5，m －5m ＝105.∴m ＝253.4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1、F 2，b ＝4，离心率为35.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( ) A ．10 B ．12 C ．16 D ．20答案 D解析 如图，由椭圆的定义知△ABF 2的周长为4a ，又e ＝c a ＝35，即c ＝35a ， ∴a 2－c 2＝1625a 2＝b 2＝16.∴a ＝5，△ABF 2的周长为20.5．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任一点到两焦点的距离分别为d 1，d 2，焦距为2c .若d 1,2c ，d 2成等差数列，则椭圆的离心率为( ) A.12 B.22C.32D.34答案 A解析 由d 1＋d 2＝2a ＝4c ，∴e ＝c a ＝12.6．已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到y 轴的距离为( ) A.233 B.263C.33D. 3答案B解析 由题意，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设M (x ，y )，则MF 1→·MF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝0，整理得x 2＋y 2＝3.① 又因为点M 在椭圆上，故x 24＋y 2＝1，即y 2＝1－x 24.②将②代入①，得34x 2＝2，解得x ＝±263.故点M 到y 轴的距离为263.7．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈(12，1)，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(3，163)C ．(0,3)∪(163，＋∞)D ．(0,2)答案 C解析 当k >4时，c ＝k －4，由条件知14<k －4k <1，解得k >163；当0<k <4时，c ＝4－k ，由条件知14<4－k4<1，解得0<k <3，综上知选C.8．(2013·温州五校)已知P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，若PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( )A.12B.23C.13D.53答案 D解析 由PF 1→·PF 2→＝0，得△PF 2F 2为直角三角形，由tan ∠PF 1F 2＝12，设|PF 2|＝s ，则|PF 1|＝2s ，又|PF 2|2＋|PF 1|2＝4c 2(c ＝a 2－b 2)，即4c 2＝5s 2，c ＝52s ，而 |PF 2|＋|PF 1|＝2a ＝3s ，∴a ＝3s 2.∴离心率e ＝c a ＝53，故选D.9．已知椭圆x 24＋y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，点P 为该椭圆上一动点，则当PF 2→·PA 1→取最小值时|PA 1→＋PF 2→|的取值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5答案 B解析 由已知得a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以F 2(1,0)，A 1(－2,0)，设P (x ，y )，则PF 2→·PA 1→＝(1－x ，－y )·(－2－x ，－y ) ＝(1－x )(－2－x )＋y 2.又点P (x ，y )在椭圆上，所以y 2＝3－34x 2，代入上式，得PF 2→·PA 1→＝14x 2＋x ＋1＝14(x ＋2)2.又x ∈[－2,2]，所以x ＝－2时，PF 2→·PA 1→取得最小值． 所以P (－2,0)，求得|PF 2→＋PA 1→|＝3.10．设F 1，F 2为椭圆的两个焦点，以F 2为圆心作圆，已知圆F 2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于点M ，若直线MF 1恰与圆F 2相切，则该椭圆的离心率为( )A.3－1 B ．2－ 3 C.22D.32答案 A解析 由题意知∠F 1MF 2＝π2，|MF 2|＝c ，|F 1M |＝2a －c ，则c 2＋(2a －c )2＝4c 2，e 2＋2e －2＝0，解得e ＝3－1.11．已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则△ABM 的周长为______________．答案 8解析 直线y ＝k (x ＋3)过定点N (－3，0)，而M 、N 恰为椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM 的周长为4a ＝4×2＝8.12．已知点A (4,0)和B (2,2)，M 是椭圆x 225＋y 29＝1上一动点，则|MA |＋|MB |的最大值为________．答案 10＋210 解析显然A 是椭圆的右焦点，如图所示，设椭圆的左焦点为A 1(－4,0)，连BA 1并延长交椭圆于M 1，则M 1是使|MA |＋|MB |取得最大值的点．事实上，对于椭圆上的任意点M 有：|MA |＋|MB |＝2a －|MA 1|＋|MB |≤2a ＋|A 1B |(当M 1与M 重合时取等号)，∴|MA |＋|MB |的最大值为2a ＋|A 1B |＝2×5＋62＋22＝10＋210.13．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，直线l 为圆O ：x 2＋y 2＝b 2的一条切线，记椭圆C 的离心率为e .若直线l 的倾斜角为π3，且恰好经过椭圆的右顶点，则e 的大小为______．答案12解析如图所示，设直线l 与圆O 相切于C 点，椭圆的右顶点为D ，则由题意，知△OCD 为直角三角形，且OC ＝b ，OD ＝a ，∠ODC ＝π3，∴CD ＝OD 2－OC 2＝a 2－b 2＝c (c 为椭圆的半焦距)，∴椭圆的离心率e ＝c a ＝cos π3＝12.14．F 1，F 2是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左，右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |的长为________．答案23解析 由椭圆的定义可知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝1，|BF 1|＋|BF 2|＝1，相加得 |AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝2.∴|AF 2|＋|BF 2|＝2－(|AF 1|＋|BF 1|)＝2－|AB |. ∵|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列， ∴2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|.于是2|AB |＝2－|AB |，∴|AB |＝23.15.如右图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程．解析 (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形．所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22. (2)由题知A (0，b )，F 2(1,0)，设B (x ，y )， 由AF 2→＝2F 2B →，解得x ＝32，y ＝－b2.代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b 2＝1.即94a 2＋14＝1，解得a 2＝3. 所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.16．(2013·沧州七校联考)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶ 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．答案 (1)x 216＋y 212＝1 (2)1≤m ≤4解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a b ＝23，a 2＝b 2＋4，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝12.∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1.(2)设P (x 0，y 0)，且x 2016＋y 2012＝1，∴|MP →|2＝(x 0－m )2＋y 20 ＝x 20－2mx 0＋m 2＋12(1－x 2016)＝14x 20－2mx 0＋m 2＋12 ＝14(x 0－4m )2－3m 2＋12. ∴|MP →|2为关于x 0的二次函数，开口向上，对称轴为4m . 由题意知，当x 0＝4时，|MP →|2最小，∴4m ≥4，∴m ≥1. 又点M (m,0)在椭圆长轴上，∴1≤m ≤4.17．(2013·潍坊质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，且与椭圆x 2＋y 22＝1有相同的离心率，斜率为k 的直线l 经过点M (0,1)，与椭圆C 交于不同的两点A 、B .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当椭圆C 的右焦点F 在以AB 为直径的圆内时，求k 的取值范围． 解析 (1)∵椭圆C 的焦距为4，∴c ＝2. 又∵椭圆x 2＋y 22＝1的离心率为22，∴椭圆C 的离心率e ＝c a ＝2a ＝22，∴a ＝22，b ＝2.∴椭圆C 的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y24＝1消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kx －6＝0.∴x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－61＋2k2.由(1)知椭圆C 的右焦点F 的坐标为(2,0)， ∵右焦点F 在圆的内部，∴AF →·BF →<0. ∴(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2<0，即x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1<0. ∴(1＋k 2)x 1x 2＋(k －2)(x 1＋x 2)＋5＝(1＋k 2)·－61＋2k 2＋(k －2)·－4k 1＋2k 2＋5＝8k －11＋2k 2<0，∴k <18.经检验，当k <18时，直线l 与椭圆C 相交．∴直线l 的斜率k 的取值范围为(－∞，18)．1．已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P (－2，1)在椭圆上，线段PF 2与y 轴的交点M 满足PM →＋F 2M →＝0.(1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 上任一动点N (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为N 1(x 1，y 1)，求3x 1－4y 1的取值范围．解析 (1)由已知，点P (－2，1)在椭圆上， ∴有2a 2＋1b2＝1.①又∵PM →＋F 2M →＝0，M 在y 轴上， ∴M 为PF 2的中点． ∴－2＋c ＝0，c ＝ 2. ∴a 2－b 2＝2，②解得①②，得b 2＝2(b 2＝－1舍去)，∴a 2＝4.故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)∵点N (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为N 1(x 1，y 1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－y 1x 0－x 1×2＝－1，y 0＋y 12＝2×x 0＋x12.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝4y 0－3x 05，y 1＝3y 0＋4x5.∴3x 1－4y 1＝－5x 0.∵点N (x 0，y 0)在椭圆C ：x 24＋y 22＝1上，∴－2≤x 0≤2. ∴－10≤－5x 0≤10，即3x 1－4y 1的取值范围为[－10,10]．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 及点A (0，b )，原点O 到直线FA 的距离为22b .(1)求椭圆C 的离心率e ；(2)若点F 关于直线l ：2x ＋y ＝0的对称点P 在圆O ：x 2＋y 2＝4上，求椭圆C 的方程及点P 的坐标．解析 (1)由点F (－ae,0)，点A (0，b )及b ＝1－e 2a 得直线FA 的方程为x －ae ＋y1－e 2a ＝1，即1－e 2x －ey ＋ae 1－e 2＝0，∵原点O 到直线FA 的距离为22b ＝a1－e22， ∴ae 1－e 21－e 2＋e2＝a 1－e 22，解得e ＝22. (2)∵F (－22a,0)关于直线l 的对称点P 在圆O 上，且直线l ：2x ＋y ＝0经过圆O ：x 2＋y 2＝4的圆心O (0,0)，∴F (－22a,0)也在圆O 上．从而(－22a )2＋02＝4，得a 2＝8，∴b 2＝(1－e 2)a 2＝4. ∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.∵F (－2,0)与P (x 0，y 0)关于直线l 对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0＋2＝12，2·x 0－22＋y2＝0.解得x 0＝65，y 0＝85.∴点P 的坐标为(65，85)．3.如图，从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，且它的长轴端点A 与短轴端点B 的连线AB ∥OM .(1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上任一点，F 2是右焦点，F 1是左焦点，求∠F 1QF 2的取值范围；(3)设Q 是椭圆上任一点，当QF 2⊥AB 时，延长QF 2与椭圆交于另一点P ，若△F 1PQ 的面积为203，求此时椭圆的方程．解析 (1)∵MF 1⊥x 轴，∴x M ＝－c .代入椭圆方程，得y M ＝b 2a ，∴k OM ＝－b 2ac.又∵k AB ＝－ba且OM ∥AB ，∴－b 2ac ＝－b a .故b ＝c ，从而e ＝22.(2)设|QF 1|＝r 1，|QF 2|＝r 2，∠F 1QF 2＝θ. ∵r 1＋r 2＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，∴cos θ＝r 21＋r 22－4c22r 1r 2＝r 1＋r 22－2r 1r 2－4c22r 1r 2＝4b 22r 1r 2－1＝a 2r 1r 2－1≥a 2r 1＋r 222－1＝0.(当且仅当r 1＝r 2时，等号成立)- 11 - ∵0≤cos θ≤1，故θ∈[0，π2]． (3)∵b ＝c ，a ＝2c ，∴设椭圆方程为x 22c 2＋y 2c 2＝1. ∵PQ ⊥AB ，k AB ＝－22，k PQ ＝2， ∴直线PQ 的方程为y ＝2(x －c )． 联立可得5x 2－8cx ＋2c 2＝0.∴|PQ |＝[8c 52－4×2c25]1＋2＝62c5.又点F 1到PQ 的距离d ＝263c ，∴S △F 1PQ ＝12d |PQ |＝12×263c ×625c ＝435c 2. 由435c 2＝203，得c 2＝25，故2c 2＝50. ∴所求椭圆方程为x 250＋y 225＝1.。
高考数学总复习 课时作业31 新人教版
高考数学总复习 课时作业31 新人教版1．空间四点A ，B ，C ，D 中，每两点所连线的长都等于a ，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段CD 上，则P 与Q 的最短距离为( )A.12aB.22aC.32a D ．a 答案 B解析 易知，以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，如右图所示，取P ，Q 分别为AB ，CD 的中点，因为AQ ＝BQ ＝32a ，所以PQ ⊥AB . 同理可证PQ ⊥CD ，故线段PQ 的长为P ，Q 两点间的最短距离． 在Rt △APQ 中，PQ ＝AQ 2－AP 2＝32a 2－12a 2＝22a . 故应选B.2.如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCO —A ′B ′C ′D ′，A ′C 的中点E 与AB 的中点F 的距离为( )A.2aB.22a C ．a D.12a答案 B解析 由图易知A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，A ′(a,0，a )．∴F (a ，a 2，0)，E (a2，a 2，a2)． ∴|EF |＝a －a 22＋a 2－a22＋0－a22＝a 24＋a 24＝22a . 3．在直角坐标系中，A (－2,3)，B (3，－2)，沿x 轴把直角坐标系折成120°的二面角，则AB 的长度为( )A.2B ．211 C ．32D ．4 2 答案 B解析 设A 、B 在x 轴上的射影分别为C 、D ，则AC ＝3，BD ＝2，CD ＝5，又AB →＝AC →＋CD →＋DB →，AC →，DB →所夹的角为60°，易求得|AB →|＝AC →＋CD →＋DB→2＝211.4．如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，则AB A ′B ′等于( )A ．2 1B ．3 1C ．3 2D ．4 3 答案 A解析 在Rt △ABB ′中，AB ′＝AB ·sin π4＝22AB .在Rt △ABA ′中，AA ′＝AB ·sin π6＝12AB .在Rt △AA ′B ′中，A ′B ′＝AB ′2－AA ′2＝12AB .∴AB A ′B ′＝21.5．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若E 、F 分别是BC 、DD 1的中点，则B 1到平面ABF 的距离为( )A.33B.55C.53D.255答案 D解析 方法一 由VB 1－ABF ＝VF －ABB 1可得解． 方法二 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,1)，B 1(1,1,0)．设F (0,0，12)，E (12，1,1)，B (1,1,1)，AB →＝(0,1,0)．∴B 1E →＝(－12，0,1)，AF →＝(－1,0，－12)．∵AF →·B 1E →＝(－1,0，－12)·(－12，0,1)＝0，∴AF →⊥B 1E →，又AB →⊥B 1E →，∴B 1E →⊥平面ABF . 平面ABF 的法向量为B 1E →＝(－12，0,1)，AB 1→＝(0,1，－1)．B 1到平面ABF 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB 1→·B 1E →|B 1E →|＝255.6．(2013·济南统考)等腰Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝1，M 为AC 中点，沿BM 把它折成二面角，折后A 与C 的距离为1，则二面角C —BM —A 的大小为( )A ．30° B．60° C ．90° D．120° 答案 C解析 如图，由AB ＝BC ＝1， ∠ABC ＝90°，得AC ＝ 2. ∵M 为AC 中点，∴MC ＝AM ＝22， 且CM ⊥BM ，AM ⊥BM .∴∠CMA 为二面角C －BM －A 的平面角． ∵AC ＝1，MC ＝MA ＝22， ∴∠CMA ＝90°.7．二面角α－l －β为60°，A ，B 是棱l 上的两点，AC ，BD 分别在半平面α，β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB ＝AC ＝a ，BD ＝2a ，则CD 的长为( )A ．2a B.5a C ．a D.3a 答案 A 解析 |CD →|＝CD →2＝CA →＋AB →＋BD→2＝a 2＋a 2＋4a 2＋2×a ×2a cos120°＝2a .8．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点在同一个球面上，且AB ＝2，AD ＝3，AA 1＝1，则顶点A 、B 间的球面距离是________．答案22π 解析 ∵(2R )2＝AB 2＋AD 2＋AA 21＝4＋3＋1＝8， ∴R ＝ 2.又|AB |＝2，∴∠AOB ＝π2.∴l ＝|α|R ＝π2·2＝22π.9．如图，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，AB ＝2，AA 1＝1，直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为30°，AE 垂直BD 于E ，F 为A 1B 1的中点．(1)求异面直线AE 与BF 所成的角；(2)求平面BDF 与平面AA 1B 所成二面角(锐角)的大小； (3)求点A 到平面BDF 的距离．解析 方法一 (1)连接B 1D 1，过F 作B 1D 1的垂线，垂足为K ，∵BB 1与两底面ABCD ，A 1B 1C 1D 1都垂直，⎭⎪⎬⎪⎫FK ⊥BB 1FK ⊥B 1D 1B 1D 1∩BB 1＝B 1⇒FK ⊥平面BDD 1B 1. 又⎭⎪⎬⎪⎫AE ⊥BB 1AE ⊥BD BB 1∩BD ＝B ⇒AE ⊥平面BDD 1B 1， 因此FK ∥AE ，∴∠BFK 为异面直线BF 与AE 所成的角，连接BK ，由FK ⊥面BDD 1B 1，得FK ⊥BK . 从而△BKF 为Rt △.在Rt △B 1KF 和Rt △B 1D 1A 1中，由FK B 1F ＝A 1D 1B 1D 1，得FK ＝A 1D 1·B 1F B 1D 1 ＝AD ·12ABBD＝233×122＋2332＝12. 又BF ＝2，∴cos ∠BFK ＝FK BF＝24. ∴异面直线BF 与AE 所成的角为arccos24.(2)由于DA ⊥面AA 1B ，过点A 作BF 的垂线AG ，垂足为G ，连接DG ，由三垂线定理知BG ⊥DG . ∴∠AGD 即为平面BDF 与平面AA 1B 所成二面角的平面角．且∠DAG ＝90°，在平面AA 1B 中，延长BF 与AA 1的延长线交于点S ，∵F 为A 1B 1的中点，A 1F ＝12AB ，∴A 1、F 分别为SA 、SB 的中点， 即SA ＝2A 1A ＝2＝AB .∴Rt △BAS 为等腰直角三角形，垂足G 点实为斜边SB 的中点F ，即F 、G 重合． 易得AG ＝AF ＝12SB ＝ 2.在Rt △AGD 中，AD ＝233.∴tan ∠AGD ＝AD AG＝2332＝63. ∴∠AGD ＝arctan63. 即平面BDF 与平面AA 1B 所成二面角(锐角)的大小为arctan63. (3)由(2)知平面AFD 是平面BDF 与平面AA 1B 所成二面角的平面角所在的平面． ∴面AFD ⊥面BDF .在Rt △ADF 中，由A 作AH ⊥DF 于H ，则AH 即为点A 到平面BDF 的距离． 由AH ·DF ＝AD ·AF ，得AH ＝AD ·AF DF＝233×22332＋22＝25 5. 所以点A 到平面BDF 的距离为255.方法二 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AA 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系(如图)．由已知AB ＝2，AA 1＝1，可得A (0,0,0)、B (2,0,0)、F (1,0,1)．又AD ⊥平面AA 1B 1B ，从而BD 与平面AA 1B 1B 所成的角即为∠DBA ＝30°，又AB ＝2，AE ⊥BD ，AE ＝1，AD ＝233. 从而易得E (12，32，0)，D (0，233，0)．(1)∵AE →＝(12，32，0)，BF →＝(－1,0,1)．∴cos 〈AE →，BF →〉＝AE →·BF →|AE →||BF →|＝－122＝－24.即异面直线AE 、BF 所成的角为arccos24. (2)易知平面AA 1B 的一个法向量m ＝(0,1,0)， 设n ＝(x ，y ，z )是平面BDF 的一个法向量． BD →＝(－2，233，0)． 由⎩⎨⎧n ⊥BF →，n ⊥BD→⇒⎩⎨⎧n ·BF →＝0，n ·BD →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，2x －233y ＝0⇒⎩⎨⎧x ＝z ，3x ＝y .取n ＝(1，3，1)，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝31×5＝155.即平面BDF 与平面AA 1B 所成二面角(锐角)大小为 arccos155. (3)点A 到平面BDF 的距离，即AB →在平面BDF 的法向量n 上的投影的绝对值．所以距离d ＝||AB →|·cos〈AB →，n 〉|＝||AB →|·AB →·n|AB →|·|n ||＝|AB →·n ||n |＝25＝255.所以点A 到平面BDF 的距离为255.10．如下图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝a ，D 、E 分别为棱AB 、BC 的中点，M 为棱AA 1上的点，二面角M －DE －A 为30°.(1)证明：A 1B 1⊥C 1D ；(2)求MA 的长，并求点C 到平面MDE 的距离．解析 (1)证明：连接CD . ∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱， ∴CC 1⊥平面ABC .∴CD 为C 1D 在平面ABC 内的射影． ∵△ABC 中，AC ＝BC ，D 为AB 中点， ∴AB ⊥CD ，∴AB ⊥C 1D . ∵A 1B 1∥AB ，∴A 1B 1⊥C 1D .(2)方法一 过点A 作CE 的平行线，交ED 的延长线于F ，连接MF . ∵D 、E 分别为AB 、BC 的中点，∴DE ∥AC . 又∵AF ∥CE ，CE ⊥AC ，∴AF ⊥DE .∵MA ⊥平面ABC ，∴AF 为MF 在平面ABC 内的射影． ∴MF ⊥DE .∴∠MFA 为二面角M －DE －A 的平面角，∠MFA ＝30°.在Rt △MAF 中，AF ＝12BC ＝a 2，∠MFA ＝30°，∴AM ＝36a .作AG ⊥MF ，垂足为G .∵MF ⊥DE ，AF ⊥DE ，∴DE ⊥平面AMF . ∴平面MDE ⊥平面AMF . ∴AG ⊥平面MDE .在Rt △GAF 中，∠GFA ＝30°，AF ＝a2.∴AG ＝a 4，即A 到平面MDE 的距离为a4.∵CA ∥DE ，∴CA ∥平面MDE .∴C 到平面MDE 的距离与A 到平面MDE 的距离相等，为a4.方法二 过点A 作CE 的平行线，交ED 的延长线于F ，连接MF . ∵D 、E 分别为AB 、CB 的中点， ∴DE ∥AC .又∵AF ∥CE ，CE ⊥AC ，∴AF ⊥DE .∵MA ⊥平面ABC .∴AF 为MF 在平面ABC 内的射影， ∴MF ⊥DE .∴∠MFA 为二面角M －DE －A 的平面角，∠MFA ＝30°. 在Rt △MAF 中，AF ＝12BC ＝a2，∠MFA ＝30°，∴AM ＝36a . 设C 到平面MDE 的距离为h . ∵V M －CDE ＝V C －MDE ， ∴13S △CDE ·MA ＝13S △MDE ·h ， S △CDE ＝12CE ·DE ＝a 28，MA ＝36a ，S △MDE ＝12DE ·MF ＝12DE ·AFcos30°＝312a 2.∴13×a 28×36a ＝13×312a 2×h . ∴h ＝a 4，即C 到平面MDE 的距离为a4. 11．已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E 、F 分别为棱AB 、BC 的中点．(1)求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1； (2)求点D 1到平面B 1EF 的距离．解析 (1)证明 建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (22，22，0)，E (22，2，0)， F (2，22，0)，D 1(0,0,4)， B 1(22，22，4)．∴EF →＝(－2，2，0)， DB →＝(22，22，0)，DD 1→＝(0,0,4)．∴EF →·DB →＝0，EF →·DD 1→＝0. ∴EF ⊥DB ，EF ⊥DD 1，DD 1∩BD ＝D . ∴EF ⊥平面BDD 1B 1. 又EF ⊂平面B 1EF ， ∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.(2)由(1)知D 1B 1→＝(22，22，0)，EF →＝(－2，2，0)，B 1E →＝(0，－2，－4)．设平面B 1EF 的法向量为n ，且n ＝(x ，y ，z )， 则n ⊥EF →，n ⊥B 1E →.即n ·EF →＝(x ，y ，z )·(－2，2，0)＝－2x ＋2y ＝0，n ·B 1E →＝(x ，y ，z )·(0，－2，－4)＝－2y －4z ＝0.令x ＝1，则y ＝1，z ＝－24. ∴n ＝(1,1，－24)，∴D 1到平面B 1EF 的距离d ＝|D 1B 1→·n ||n |＝|22＋22|12＋12＋－242＝161717. 12．(2012·重庆)如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝4，AC ＝BC ＝3，D 为AB 的中点．(1)求点C 到平面A 1ABB 1的距离；(2)若AB 1⊥A 1C ，求二面角A 1－CD －C 1的平面角的余弦值．解析 (1)由AC ＝BC ，D 为AB 的中点，得CD ⊥AB .又CD ⊥AA 1.故CD ⊥平面A 1ABB 1，所以点C 到平面A 1ABB 1的距离为CD ＝BC 2－BD 2＝ 5.(2)方法一 如图，取D 1为A 1B 1的中点，连接DD 1，则DD 1∥AA 1∥CC 1.又由(1)知CD ⊥面A 1ABB 1，故CD ⊥A 1D ，CD ⊥DD 1，所以∠A 1DD 1为所求的二面角A 1－CD －C 1的平面角．因A 1D 为A 1C 在面A 1ABB 1上的射影，又已知AB 1⊥A 1C ，由三垂线定理的逆定理得AB 1⊥A 1D ，从而∠A 1AB 1、∠A 1DA 都与∠B 1AB 互余，因此∠A 1AB 1＝∠A 1DA ，所以Rt △A 1AD ∽Rt △B 1A 1A .因此AA 1AD ＝A 1B 1AA 1，即AA 21＝AD ·A 1B 1＝8，得AA 1＝2 2. 从而A 1D ＝AA 21＋AD 2＝2 3.所以，在Rt △A 1DD 1中，cos ∠A 1DD 1＝DD 1A 1D ＝AA 1A 1D ＝63. 方法二 如图，过D 作DD 1∥AA 1交A 1B 1于D 1，在直三棱柱中，易知DB ，DC ，DD 1两两垂直．以D 为原点，射线DB ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D －xyz .设直三棱柱的高为y ，则A (－2,0,0)，A 1(－2,0，h )，B 1(2,0，h )，C (0，5，0)，C 1(0，5，h )，从而AB 1→＝(4,0，h )，A 1C →＝(2，5，－h )．由AB 1→⊥A 1C →，有8－h 2＝0，解得h ＝2 2.故DA 1→＝(－2,0,22)，CC 1→＝(0,0,22)，DC →＝(0，5，0)．设平面A 1CD 的法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)，则m ⊥DA 1→，m ⊥DC →，即⎩⎨⎧ 5y 1＝0，－2x 1＋22z 1＝0.取z 1＝1，得m ＝(2，0,1)． 设平面C 1CD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 则n ⊥DC →，n ⊥CC 1→，即⎩⎨⎧ 5y 2＝0，22z 2＝0.取x 2＝1，得n ＝(1,0,0)．所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝22＋1×1＝63.所以二面角A 1－CD －C 1的平面角的余弦值为63.。
2022版新教材高考数学一轮复习课时质量评价34等比数列作业课件新人教A版
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13．(多选题)(2020·青岛质检)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1 ＝1，Sn＋1＝Sn＋2an＋1，数列an·2ann＋1的前 n 项和为 Tn，n∈N*，则下 列选项正确的是( )
－2 3 解析：设等比数列{an}共有 2k＋1(k∈N*)项，则 a2k＋1 ＝192，则 S 奇＝a1＋a3＋…＋a2k－1＋a2k＋1＝1q(a2＋a4＋…＋a2k)＋a2k＋1 ＝1qS 偶＋a2k＋1＝－12q6＋192＝255，解得 q＝－2.而 S 奇＝a1－1－a2qk＋21q2＝ a1－11－92－×2－2 22＝255，解得 a1＝3.
A．1094－0 1 B．10950－0 1 C．1095－0 9 D．10940－0 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
B 解析：由题意知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列{an}， 且 a1＝100，q＝110，an＝10－2.
故乌龟爬行的总距离为 Sn＝a11－－aqnq＝100－1－101－102×110＝10950－0 1.
之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响．十二平均律的数学
意义是：在 1 和 2 之间插入 11 个正数，使包含 1 和 2 的这 13 个数依
次成递增的等比数列，依此规则，插入的第四个数应为( )
1
A．24
1
B．23
3
C．213
4
D．213
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2022年高考数学总复习 高效课时作业3-4 理 新人教版
2022年高考数学总复习高效课时作业3-4 理新人教版一、选择题1．2022年天津已知函数f＝2in ω＋φ，∈R，其中ω>0，－π1a2a0，|φ|0的最小正周期为π1求ω的值；2将函数＝f的图象上各点的横坐标缩短到原来的错误!，纵坐标不变，得到函数＝g的图象，求函数g在区间错误!上的最小值．解析：1∵f＝inπ－ωco ω＋co 2ω，∴f＝in ωco ω＋错误!＝错误!in 2ω＋错误!co 2ω＋错误!＝错误!in 错误!＋错误!∵ω>0，依题意得：错误!＝π，∴ω＝12由1知f＝错误!in 错误!＋错误!，∴g＝f2＝错误!in 错误!＋错误!当0≤≤错误!时，错误!≤4＋错误!≤错误!，∴错误!≤in 错误!≤1，∴1≤g≤错误!故g在区间错误!上的最小值为111．2022年福建设函数fθ＝错误!in θ＋co θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点P，，且0≤θ≤π1若点P的坐标为错误!，求fθ的值；2若点P，为平面区域Ω：错误!上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数fθ的最小值和最大值．解析：1由点P的坐标和三角函数的定义可得错误!于是fθ＝错误!in θ＋co θ＝错误!×错误!＋错误!＝22作出平面区域Ω即三角形区域ABC如图所示，其中A1，0，B1，1，C0，1．于是0≤θ≤错误!又fθ＝错误!in θ＋co θ＝2in 错误!，且错误!≤θ＋错误!≤错误!，故当θ＋错误!＝错误!，即θ＝错误!时，fθ取得最大值，且最大值等于2；当θ＋错误!＝错误!，即θ＝0时，fθ取得最小值，且最小值等于112．2022年浙江已知函数f＝A in 错误!，∈R，A>0，0∈φ0，所以A＝错误!。
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高考数学总复习 课时作业34 新人教版1．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( ) A ．a <－2或a >23B ．－23<a <0C ．－2<a ≤0D ．－2<a <23答案 D解析 方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0转化为(x ＋a 2)2＋(y ＋a )2＝－34a 2－a ＋1，所以若方程表示圆，则有－34a 2－a ＋1>0.∴3a 2＋4a －4<0⇒－2<a <23.2．过点P (0,1)与圆x 2＋y 2－2x －3＝0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是( ) A ．x ＝0 B ．y ＝1 C ．x ＋y －1＝0 D ．x －y ＋1＝0答案 C解析 依题意得所求直线是经过点P (0,1)及圆心(1,0)的直线，因此所求直线方程是x ＋y ＝1，即x ＋y －1＝0，选C.3．圆心在抛物线x 2＝2y (x >0)上，并且与抛物线的准线及y 轴均相切的圆的方程是 A ．x 2＋y 2－x －2y －14＝0B ．x 2＋y 2＋x －2y ＋1＝0 C ．x 2＋y 2－x －2y ＋1＝0 D ．x 2＋y 2－2x －y ＋14＝0答案 D解析∵圆心在抛物线上， ∴设圆心(a ，a 22)．∴圆的方程为(x －a )2＋(y －a 22)2＝r 2.∴x 2＋y 2－2ax －a 2y ＋a 2＋a 44－r 2＝0.对比A 、B 、C 、D 项， 仅D 项x 、y 前系数符合条件．4．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为 A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－1,0) D ．(0，－1)答案 D解析r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2，当k ＝0时，r 最大．5．设A (0,0)，B (1,1)，C (4,2)，若线段AD 是△ABC 外接圆的直径，则点D 的坐标是 A ．(－8,6) B ．(8，－6) C ．(4，－6) D ．(4，－3)答案 B解析 线段AB 的垂直平分线x ＋y －1＝0与线段AC 的垂直平分线2x ＋y －5＝0的交点即圆心(4，－3)，直径为10，易得点D 的坐标为(8，－6)．6．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，－1) C ．(1，＋∞) D ．(2，＋∞)答案 D解析 曲线C 的方程可化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，其圆心为(－a,2a )，要使得圆C 的所有的点均在第二象限内，则圆心(－a,2a )必须在第二象限，从而有a >0，并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C 的半径，易知圆心到纵坐标轴的最短距离为|－a |，则有|－a |>2，故a >2，选D.7．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)，且被x 轴分成两段弧长之比为2，则圆的方程为( )A ．(x ±33)2＋y 2＝43B ．(x ±33)2＋y 2＝13C ．x 2＋(y ±33)2＝43D ．x 2＋(y ±33)2＝13答案 C解析 方法一 (待定系数法)设出圆的方程求解．方法二 (排除法)由圆心在y 轴上，则排除A 、B ，再由过(1,0)，故半径大于1，排除D.8．在平面直角坐标系中，动点M (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，y －1≥0，动点Q 在曲线(x －1)2＋y 2＝12上，则|MQ |的最小值为( ) A. 2 B.322C ．1－22D.5－12答案 C解析 作出平面区域，由图形可知|MQ |的最小值为1－22.9．若圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－3，－1)∪(1,3) B ．(－3,3)C ．[－1,1]D ．(－3，－1]∪[1,3)答案 A解析a ≥0时，若存在两点到原点距离为 2. ∴圆上距原点最近点d <2，最远点32<d <5 2. ∴最近点(a －2，a －2)，最远点(a ＋2，a ＋2)． ∴a －22＋a －22<2，32<a ＋22＋a ＋22<5 2.∴a ∈(1,3)．同理a <0时有a ∈(－3，－1)． 综上a ∈(－3，－1)∪(1,3)．10．已知圆心(a ，b )(a <0，b <0)在直线y ＝2x ＋1上的圆，其圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径，在y 轴上截得的弦长为25，则圆的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝9 B ．(x ＋3)2＋(y ＋5)2＝25 C ．(x ＋6)2＋(y ＋73)2＝499D ．(x ＋23)2＋(y ＋73)2＝499答案 A解析 由圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径知，所求圆与x 轴相切，由题意得圆的半径为|b |，则圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2.由于圆心在直线y ＝2x ＋1上，得b ＝2a ＋1 ①，令x ＝0，得(y －b )2＝b 2－a 2，此时在y 轴上截得的弦长为|y 1－y 2|＝2b 2－a 2，由已知，得2b2－a 2＝25，即b 2－a 2＝5 ②，由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝73(舍去)．所以，所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝9.故选A.11．已知圆C 的圆心在曲线y ＝2x上，圆C 过坐标原点O ，且分别与x 轴、y 轴交于A 、B两点，则△OAB 的面积是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8答案 C解析 设圆心C 的坐标是(t ，2t)．∵⊙C 过坐标原点，∴|OC |2＝t 2＋4t2.设圆C 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝t 2＋4t2.令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t.∴B 点的坐标为(0，4t)；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t .∴A 点的坐标为(2t,0)，∴S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12×|4t |×|2t |＝4，即OAB 的面积为4.12．(2013·衡水调研)从原点O 向圆：x 2＋y 2－6x ＋274＝0作两条切线，切点分别为P 、Q ，则圆C 上两切点P 、Q 间的劣弧长为________．答案 π解析 如图，圆C ：(x －3)2＋y 2＝94，所以圆心C (3,0)，半径r ＝32.在Rt △POC 中，∠POC ＝π6.则劣弧PQ 所对圆心角为2π3.弧长为23π×32＝π.13．已知两点A (－1,0)、B (0,2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△PAB 面积的最大值与最小值是________．答案12(4＋5)，12(4－5)解析 如图所示，圆心(1,0)到直线AB ：2x －y ＋2＝0的距离为d ＝45，故圆上的点P 到AB 的最大值是45＋1，最小值是45－1.又|AB |＝5，所以△PAB 面积的最大值和最小值分别是2＋52和2－52. 14．一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，求此圆的方程．答案x 2＋y 2－2x －6y ＋1＝0或x 2＋y 2＋2x ＋6y ＋1＝0解析 方法一 ∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，且与y 轴相切， ∴设所求圆的圆心为C (3a ，a )，半径为r ＝3|a |. 又圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27， 圆心C (3a ，a )到直线y ＝x 的距离为d ＝|3a －a |12＋12. ∴有d 2＋(7)2＝r 2. 即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1. 故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. 方法二 设所求的圆的方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则圆心(a ，b )到直线x －y ＝0的距离为|a －b |2.∴r 2＝(|a －b |2)2＋(7)2.即2r 2＝(a －b )2＋14.①由于所求的圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2.② 又因为所求圆心在直线x －3y ＝0上， ∴a －3b ＝0.③ 联立①②③，解得a ＝3，b ＝1，r 2＝9或a ＝－3，b ＝－1，r 2＝9.故所求的圆的方程是(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. 方法三 设所求的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆心为(－D 2，－E 2)，半径为12D 2＋E 2－4F .令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0.由圆与y 轴相切，得Δ＝0，即E 2＝4F .④又圆心(－D 2，－E2)到直线x －y ＝0的距离为|－D 2＋E2|2，由已知，得⎝⎛⎭⎪⎪⎫|－D 2＋E 2|22＋(7)2＝r 2，即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F )．⑤ 又圆心(－D 2，－E2)在直线x －3y ＝0上，∴D －3E ＝0.⑥ 联立④⑤⑥，解得D ＝－6，E ＝－2，F ＝1或D ＝6，E ＝2，F ＝1.故所求圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0 或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.15．已知实数x 、y 满足x 2＋y 2－2y ＝0. (1)求2x ＋y 的取值范围；(2)若x ＋y ＋c ≥0恒成立，求实数c 的取值范围． 答案 (1)1－5≤2x ＋y ≤1＋ 5 (2)c ≥2－1解析 (1)方法一 圆x 2＋(y －1)2＝1的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ，∴2x ＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1.∵－5≤2cos θ＋sin θ≤5， ∴1－5≤2x ＋y ≤5＋1.方法二 2x ＋y 可看作直线y ＝－2x ＋b 在y 轴的截距，当直线与圆相切时b 取最值，此时|2×0＋1－b |5＝1. ∴b ＝1±5，∴1－5≤2x ＋y ≤1＋ 5.(2)∵x ＋y ＝cos θ＋1＋sin θ＝2sin(θ＋π4)＋1，∴x ＋y ＋c 的最小值为1－2＋c . ∴x ＋y ＋c ≥0恒成立等价于1－2＋c ≥0. ∴c 的取值范围为c ≥2－1.16．在以O 为原点的直角坐标系中，点A (4，－3)为△OAB 的直角顶点，已知|AB |＝2|OA |，且点B 的纵坐标大于0.(1)求AB →的坐标；(2)求圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程． 答案 (1)(6,8) (2)(x －1)2＋(y －3)2＝10解析 (1)设AB →＝(x ，y )，由|AB |＝2|OA |，AB →·OA →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝100，4x －3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－8.若AB →＝(－6，－8)，则y B ＝－11与y B >0矛盾． 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－8舍去．即AB →＝(6,8)．(2)圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0，即(x －3)2＋(y ＋1)2＝(10)2，其圆心为C (3，－1)，半径r ＝10.∵OB →＝OA →＋AB →＝(4，－3)＋(6,8)＝(10,5)， ∴直线OB 的方程为y ＝12x .设圆心C (3，－1)关于直线y ＝12x 的对称点的坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a －3＝－2，b －12＝12·a ＋32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，则所求的圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10.1．在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R)的图像与两个坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为C .(1)求实数b 的取值范围； (2)求圆C 的方程；(3)问圆C 是否经过定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论．解析 (1)显然b ≠0，否则，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图像与两个坐标轴只有两个交点(0,0)，(－2,0)，这与题设不符．由b ≠0知，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图像与y 轴有一个非原点的交点(0，b )，故它与x 轴必有两个交点，从而方程x 2＋2x ＋b ＝0有两个不相等的实数根，因此方程的判别式4－4b >0，即b <1.所以b 的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)．(2)由方程x 2＋2x ＋b ＝0，得x ＝－1±1－b .于是，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图像与两个坐标轴的交点是(－1－1－b ，0)，(－1＋1－b ，0)，(0，b )．设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，因圆C 过上述三点，将它们的坐标分别代入圆C 的方程，得⎩⎨⎧－1－1－b2＋D －1－1－b ＋F ＝0，－1＋1－b 2＋D －1＋1－b ＋F ＝0，b 2＋Eb ＋F ＝0.又b ≠0，解上述方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－b ＋1，F ＝b ，所以圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0. (3)圆C 过定点，证明如下：假设圆C 过定点(x 0，y 0)(x 0，y 0不依赖于b )，将该点的坐标代入圆C 的方程， 并变形为x 20＋y 20＋2x 0－y 0＋b (1－y 0)＝0.(*)为使(*)式对所有满足b <1(b ≠0)的b 都成立，必须有1－y 0＝0，结合(*)式得x 20＋y 20＋2x 0－y 0＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝1.经检验知，点(0,1)，(－2,1)均在圆C 上． 因此，圆C 过定点．。