第6章自旋与全同粒

第6章自旋与全同粒子

非相对论量子力学在解释许多实验现象上获得了成功，如原子的能级结构，谱线频率，谱线强度等，但进一步的实验事实发现，还有许多现象留待进一步解释，如光谱线在磁场中的分裂，光谱线的精细结构。这说明微观粒子还有一些特性有待我们去认识，即电子存在自旋角动量，在非相对论量子力学中，自旋是作为一个新的附加量子数引入的，是根据电子具有自旋的实验事实,在薛定谔方程中硬加上的。在相对论量子力学中，电子自旋像电荷一样，自然地包含在相对论的波动方程：狄拉克方程中。

§6.1 电子自旋的实验根据及自旋的特点

一．实验事实

1．斯特恩(stern)－革拉赫（Gerlach）实验：

现象：K射出的处于S态的氢原子束通过狭缝BB和不均匀磁场，最后射到照相片PP上，实验结果是照片上出现两条分立线。

解释：氢原子具有磁矩，设沿Z方向

如在空间可取任何方向，应连续变化，照片上应是一连续带，但实验结果只有两条, 说明是空间量子化的，只有两个取向，对S 态, ,没轨道角动量，所以原子所具有的磁矩是电子固有磁矩。即自旋磁矩。

2．碱原子光谱的双线结构

如钠原子光谱中一条很亮的黄线，如用分辨本领较高的光谱仪进行观测，发现它

是由很靠近的两条谱线组成

3．反常塞曼(Zeeman)效应

1912年，Passhen 和Back发现反常Zeeman效应－在弱磁场中原子光谱线的复杂分裂（分裂成偶条数）。

二．乌伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱(Goudsmit)的自旋假设

1．每个电子具有自旋角动量S，它在空间任何方向上的投影只能取两个值

2．每个电子具有自旋磁矩，它和自旋角动量S的关系是

为玻尔磁子

这个比值称为电子自旋的回转磁比率.

轨道运动的回转磁比率是

三．电子自旋的特点

乌伦贝克最初提出的电子自旋概念具有机械的性质，认为与地球绕太阳的运动相似，电子一方面绕原子核运动;一方面又有自转。但把电子的自转看成机械的自转是错误的。设想电子为均匀分布的电荷小球，若要它的磁矩达到一个磁子，则其表面旋转速度将超过光速，这是不正确的。电子自旋及相应的磁矩是电子本身的内禀属性。

特点：

1．电子具有自旋角动量这一特点纯粹是量子特性，它不可能用经典力学来解释。它是电子的本身的内禀属性，标志了电子还有一个新自由度。

2．电子自旋与其它力学量的根本区别为，一般力学量可表示为坐标和动量的函数，自旋角动量与电子坐标和动量无关，不能表示为，它是电子内部状态的表征，是一个新的自由度。

3．电子自旋值是，而不是的整数倍。

4．，而两者在差一倍。

自旋角动量也具有其它角动量的共性，即满足同样的对易关系

§6.2 电子的自旋算符和自旋函数

一．自旋角动量算符

在空间任意方向上的投影只能取值（由实验所得假设）

本征值都是 ,

叫自旋量子数

引入一新算符 ,

由

相加

定义反对易

重要关系式

二．自旋函数与矩阵

考虑到电子具有一新的自由度：自旋角动量，电子的波函数

是（自旋向上），位置在r处的几率密度.

是（自旋向下）, 位置在r处的几率密度.

自旋向上的几率, 自旋向下的几率.

归一化条件

自旋算符应是矩阵

,

,

是厄密算符

设

为实数, ,

由

取

矩阵

这是在表象中的表示，在表象中，本征函数 ,

当自旋和轨道运动之间无相互作用，即电子的自旋不影响轨道运动。和对的依赖关系是一样的。

叫自旋函数，自旋算符仅对波函数中的有作用。

自旋与轨道运动无相互作用

自旋算符为矩阵，自旋算符任一函数也是矩阵

算符在态中对自旋平均为：

对坐标的自旋同时平均

§6.3 简单塞曼效应

氢原子或类氢原子处于均匀的磁场中，设外磁场足够大，（自旋与轨道相互作用忽略）由于自旋的存在而产生的能级分裂现象。

取沿方向

体系定态方程

或

无磁场时，

对氢对碱金属

有外磁场时：

取即仍是两方程的解。

时

同样时

原来不同而能量相同的简并现象被外磁场消除，能级与有关。当原子处于态，，原来的能级分裂为两个，正如斯特恩－革拉赫实验中所观测到的。

由选择定则

简单塞曼效应：在强磁场作用下，原来没有外磁场时的一条谱线分裂为三条。

复杂塞曼效应：外磁场弱时，需考虑电子自能与轨道相互作用，能级分裂更复杂。

§6.4 两个角动量的耦合

一．角动量的对易关系

粒子既有轨道角动量又有自旋角动量，他们之间会存在耦合。

设为体系的的两个角动量算符

相互独立. 分量都对易

体系的总角动量

[证明]：

即

同样有

还有

注意:

二．无耦合表象和耦合表象

相互对易,它们有共同的本征矢组成正交归一的完全系，

以这些本征矢作基矢的表象称为无耦合表象。

另一方面, { } 也相互对易,他们有共同本征矢

以为基矢的表象称为耦合表象，

两表象之间的关系

:克来布希－高登(Clebsch-Gordon)系数

三．总角动量的取值范围

1．的最大值

: 最大值为

最大值为

最大值为

又

2．的最小值

对 , 给定. : 个取值

对 , 给定 : 个取值

, 固定有个

是各种的线性叠加

确定时，的数目也是，对应不同的