解析函数的高阶导数
解析函数的一个充要条件及高阶导数公式
丽
Ｏ ～ Ｄ 、 ｘ ｒ ，
＋
～
蔓一
一Ｏ０
． 一
＋ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一
ａ ～ Ｄ ｙ ｒ
十Ｏ ＋Ｙ ０
这 ， ， ， 也 内 续 因 】 件 宝， 也 区 网 凶 样 ， 在 域Ｄ 连 ，而 安， Ｄ Ｏ 仕 一一 ｒ ０ 毪 ｍ
１ ｒ ０ ， ｒ ０ 在 区域 Ｄ 内可微 ． １ ， ） （ ， ） ， （ 再由 ｃ ． 程： ．一 方 ＝ ， ＝一
关 键词 ： 解析 函数 ； 自变 量 ； 数 导 中图 分类 号 ： １２ １ ０ ７． 文献 标识 码 ： Ａ 文章 编 号 ：０１ ７４ ｛０８０ 一ＯＯ —０ １０ — ５２２０ ）１ Ｏ３ ２
定 义 如果 函数 ｆ ｚ 在 区域 Ｄ 内可微 ， （） 则称 厂ｚ 为区域 Ｄ 内的解 析 函数 ． （） 引理 １ 设 函数 厂ｚ （）＝ Ｍ ｒ０ ＋ｉ（， ）ｚ （ ，） ｖ ｒ０ ，
＝
＋
（） 、１
Ｄｕ 十 ｜ Ｄｖ ＋Ｙ 一
Ｄｕ Ｄｒ
（０ ｃｓ
＋ｓ ｉ ｎ
）＋ ｉｃｓＯ （ｏｋ
一ａ ２＋
—
’２ ，
）
（） ２ ，
象．／／ ｓ ＂ ｉ３ ｎ ￣
当 ｎ＝ 后＋１ 时得
（）× ＋（）×Ｙ （）×Ｙ一（）× 分另得 １ ２ ，１ ２ ０
鱼 ｚ
一 ｖ ａｕ ＋Ｙ
一ａ ａ 一一 ‘ ｙ’ ｙ
Ｖ ｘ Ｙ ， （ ， ） 区域 Ｄ 内有 连续偏导数 ， （ ，）ｖｘＹ 在 并且
Ｏｘ — Ｄｒ ａＵ Ｄｕ
并 ／ ） ＋宝＝ 一 ． 且， ＝ （ ｚ
引理 ３ 若 函数 ｚ ）在 区域 Ｄ 内解 析 ， 则
《高阶导数数分教案》课件
《高阶导数数分教案》课件一、教学目标1. 理解高阶导数的定义和性质。
2. 学会计算常见函数的高阶导数。
3. 掌握高阶导数在实际问题中的应用。
二、教学内容1. 高阶导数的定义：二阶导数、三阶导数等。
2. 高阶导数的计算法则：和的导数、乘积的导数、商的导数等。
3. 高阶导数的性质：单调性、极值、拐点等。
三、教学重点与难点1. 重点：高阶导数的定义和计算法则。
2. 难点：高阶导数的性质的理解和应用。
四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解高阶导数的定义和性质。
2. 采用案例教学法，让学生通过计算具体函数的高阶导数，加深对高阶导数计算法则的理解。
3. 采用问题驱动法，引导学生运用高阶导数解决实际问题。
五、教学过程1. 导入：回顾一阶导数的定义和计算法则，引导学生思考高阶导数的概念。
2. 新课：讲解高阶导数的定义，引导学生理解二阶导数、三阶导数等概念。
3. 案例分析：计算常见函数的二阶导数、三阶导数，让学生掌握高阶导数的计算法则。
4. 性质讲解：讲解高阶导数的单调性、极值、拐点等性质，引导学生理解高阶导数在实际问题中的应用。
5. 问题解决：布置练习题，让学生运用高阶导数解决实际问题。
7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学内容。
六、教学活动设计1. 互动提问：在讲解高阶导数之前，先回顾一阶导数的概念和计算方法，通过提问方式检查学生对一阶导数的掌握情况。
2. 小组讨论：让学生分组讨论高阶导数的定义，每组提出自己的理解和观点，促进学生之间的交流和思考。
3. 实例分析：选取几个具体函数，让学生计算其二阶导数和三阶导数，通过实际操作加深对高阶导数概念的理解。
七、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和提问情况，评估学生对高阶导数的理解和掌握程度。
2. 练习题完成情况：检查学生完成课后练习题的情况，评估学生对高阶导数计算法则和性质的应用能力。
3. 小组讨论报告：评估学生在小组讨论中的表现，包括观点提出、交流和合作能力。
第二讲 柯西积分公式高阶导数
应用解析函数有任意阶导数，可以证明 柯西定理的逆定理， 莫勒拉定理：如果函数f(z)在区域D内连续， 并且对于 D 内的任一条简单闭曲线 C ，我们
有
C
f ( z )dz 0
那么f(z)在区域D内解析。
小结：本章五个定理都是为积分计 算服务
1)柯西-古萨定理用于计算闭合曲线内部无奇点 的积分。 2)高阶导数公式用于计算闭合曲线内部有一个 奇点的积分。(其中n=0就是柯西积分公式). 3)复合闭路变形原理用于化简闭合曲线内部有 多个奇点的积分。 4)只有N-L公式用于不闭合曲线积分。
定理3.9 设f(z) 在以简单闭曲线C所围成的区域D
.
内解析. 在 阶导数，且
f
( n)
D D C上连续，则f(z)在D内有任意
n! (z) 2i
f ( ) ( z )
n1
C
d ( n 1,2,3,...)
1 (注：f ( z ) 2i
f ( ) d ) C z
1 2
2
0
f ( z0 Re )d
i
说明：一个解析函数在圆心处的值 等于它在圆周上的平均值.
推论2 设 f ( z ) 在由简单闭曲线 C 1、 C 2 围成的二连通
C2在C1 区域 D内解析， 并在曲线 C1、C2上连续，
z0为D内一点，则 的内部， 1 f (z) 1 f (z) f ( z0 ) dz dz 2i C z z0 2i C z z0
f ( z )不是常数， 则在区域 D内 f z 没有最大值。
推论1在区域 D内的解析函数， 若其模在区域
D 内达到最大值，则此函数必恒等于常数.
第三讲 柯西积分公式与解析函数的高阶导数
工程数学II 课程教案授课时间：第 周 周 第 节 课时安排 课次__ 授课方式（请打√）：理论课□ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 综合课□ 其他□ 授课题目（教学章、节或主题）：§3.5 柯西积分公式；§3.6 解析函数的高阶导数．教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1．熟练掌握柯西积分公式；2．熟练掌握高阶导数公式．教学重点及难点：重点： 柯西积分公式；高阶导数公式．难点： 柯西积分公式．教学基本内容（要体现出教学方法及手段）：§3.5 柯西积分公式一、问题的提出0 , .B z B 设为一单连通域为中一点 () , f z B 如果在内解析那末()f z z z -在0.z 不解析0() d ,Cf z z z z -⎰所以一般不为零0.C B z 为内围绕的闭曲线根据闭路变形原理知, 该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变, 求这个值. C 积分曲线取作以 00 , ,z z z δδ-=为中心半径为很小的的正向圆周 () ,f z 由的连续性 C 在上0 () ,f z z δ函数的值将随着的缩小而逐渐接近于它在圆心处的值0()d Cf z z z z -⎰00() d .()Cf z z z z δ-⎰将接近于缩小，00()d Cf z z z z -⎰0001()d 2().Cf z z if z z z π==-⎰二、柯西积分公式定理 () , f z D C D 如果函数在区域内处处解析为内的任何一条正向简单闭 0, , , D z C 曲线它的内部完全含于为内任一点那末001()()d .2πCf z f z z iz z =-⎰证 0 () , f z z 因为在连续0,ε∀>则()0,δε∃>0,z z δ-<当时 0()() .f z f z ε-<0 , ():z R R K δ<设以为中心半径为的正向圆周 0 ,z z R C -=全在的内部则()d Cf z z z z -⎰()d Kf z z z z =-⎰000()()()d d KKf z f z f z z z z z z z -=+--⎰⎰000()()2()d Kf z f z if z z z z π-=+-⎰00()()d Kf z f z z z z --⎰00()()d Kf z f z s z z -≤-⎰d 2π.Ks Rεε<=⎰上不等式表明, 只要 R 足够小, 左端积分的模就可以任意小,根据闭路变形原理知, 左端积分的值与 R 无关, 所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能.[证毕]柯西积分公式：001()()d 2Cf z f z z iz z π=-⎰关于柯西积分公式的说明:(1) 把函数在C 内部任一点的值用它在边界上的值表示.(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分表达式.(3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.2π0001()()d .2πi f z f z R e θθ=+⋅⎰三、典型例题例1 441sin 12 (1)d ;(2)d .213z z z z z izz z π==⎛⎫+⎪+-⎝⎭⎰⎰ 求下列积分 解 41s i n (1)d 2z z z izπ=⎰()s i n f z z =因为在复平面内解析 ()s i n f z z =因为在,复平面内解析由柯西积分公式41sin d 2z z z iz π=⎰12sin 2z i ziππ==⋅⋅0;=412(2)d .13z z z z =⎛⎫+⎪+-⎝⎭⎰ 4412d d 13z z z z z z ===++-⎰⎰2122i i ππ=⋅+⋅6.i π=例2 2d .1zz ez z =-⎰计算积分 解 () , zf z e =因为在复平面内解析12 , z z =<位于内由柯西积分公式12d 21zz z z ez i ez π===⋅-⎰2.e i π=例3 2121d .(1)z i z z z -=+⎰计算积分 解21(1)z z =+1()()z z i zi +-1()z z i z i+=-()f z =，1 () , 2f z z i -≤因为在内解析由柯西积分公式2121d (1)z i z z z -=+⎰121()d z i z z i z z i-=+=-⎰12()z ii z z i π==⋅+2122i iπ=⋅.i π=-例4 2223713, ()d , (1)CC x y f z f i zξξξξ++'+==+-⎰设表示正向圆周求解 根据柯西积分公式知, ,z C 当在内时2()2π(371)zf z i ξξξ==⋅++22(371),i z z π=++ ()2(67),f z i z π'=+故 1 , i C +而在内所以(1)2(613).f i i π'+=-+例5 2sin14 d , :(1) 1;12Czz C z z π+=-⎰计算积分其中1(2) 1;2z -=(3) 2.z =解 2112s i n 4(1)d 1z zz z π+=-⎰112s i n 41d 1z zz z z π+=-=+⎰1s i n 421z z i z ππ=-=⋅-;2i =(2)2112sin4d 1z zz z π-=-⎰112sin41d 1z zz z z π-=+=-⎰1sin 421z zi z ππ==⋅+;2i =(3) 由闭路复合定理, 得22sin4d 1z z z z π==-⎰2112sin4d 1z z z z π+=-⎰2112πsin4d 1z zz z -=+-⎰22i i =+.i =课堂练习 23d .(1)zz ez z z =-⎰计算积分 答案 0,1,1z z z ===-有三个奇点 123d (2).(1)zz ez i e ez z π-==+--⎰§3.6 解析函数的高阶导数．一、问题的提出问题: (1) 解析函数是否有高阶导数?(2) 若有高阶导数, 其定义和求法是否与实变函数相同?回答:(1) 解析函数有各高阶导数.(2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示, 这与实变函数完全不同. 解析函数高阶导数的定义是什么? 二、主要定理定理 () , f z n 解析函数的导数仍为解析函数它的阶:导数为()01!()()d (1,2,)2π()n n Cn f z fz z n i z z+==-⎰0 () C f z D z 其中为在函数的解析区域内围绕的任何一条正向简, 单闭曲线D 而且它的内部全含于证 0 ,z D 设为内任一点根据导数的定义, 0000()()()limz f z z f z f z z∆→+∆-'=∆从柯西积分公式得 001()()d ,2Cf z f z z iz z π=-⎰ 001()()d ,2Cf z f z z z iz z zπ+∆=--∆⎰ 00()()f z z f z z+∆-∆001()()d d ,2C Cf z f z z z zi z z zz z π⎡⎤=-⎢⎥∆--∆-⎣⎦⎰⎰001()d 2()()Cf z z i z z z z z π=---∆⎰220001()1()d d 2()2()()CCf z zf z z z iz z iz z z z z ππ∆=+----∆⎰⎰2001()d 2()()Czf z I z z z z z z π∆=---∆⎰20()1d 2Cz f z s z z z z zπ∆≤---∆⎰() , f z C 因为在上解析,C 所以在上连续 () , f z C 故在上有界 0,M ∃>于是(),f z M ≤使得0 ,d z C 设为从到曲线上各点的最短距离 ,z ∆并取适当地小1 , 2z d ∆<满足0 ,z z d -≥则011 , z z d≤-00z z z z z z --∆≥--∆，012,z z zd≤--∆3,M LI zdπ<∆3,M LI zdπ<∆ .L C 这里为的长度 0,z ∆→如果0,I →那末0000()()()limz f z z f z f z z∆→+∆-'=∆201()d ,2()Cf z z iz z π=-⎰再利用以上方法求极限 000()()lim z f z z f z z∆→''+∆-∆可得0302!()()d .2()Cf z f z z iz z π''=-⎰至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.依次类推, 利用数学归纳法可证()010!()()d .2()n n Cn f z fz z iz z π+=-⎰ [证毕]高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分.三、典型例题例1 , : 1. C z r =>计算下列积分其中为正向圆周522cos (1)d ;(2)d .(1)(1)zCCz ez z z z π-+⎰⎰解 5c o s (1) 1 ,(1)zC z z π=-函数在内处不解析 c o s z C π但在内处处解析 ()010!() ()d 2()n n Cn f z fz z iz z π+=-⎰根据公式5cos d (1)Cz z z π-⎰(4)12(cos )(51)!z i z ππ==-5;12i π=-22(2),(1)zeC z i z =±+函数在内的处不解析 C i 在内以为中心作一个1 ,C 正向圆周2 ,i C -以为中心作一个正向圆周1222,,(1)zeC C C z +则函数在由根据复合闭路定理22d (1)zCez z +⎰122222d d (1)(1)zzC C eez z z z =+++⎰⎰122d (1)zC ez z +⎰122()d ()zC ez i z z i +=-⎰22(21)!()z z iie z i π='⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦(1),2ii e π-=同理可得 222d (1)zC ez z +⎰ (1),2ii e π--+=于是22d (1)zCez z +⎰(1)2ii e π-=(1)2ii eπ--++(1)()2i ii e ie π-=--2(1)(cos1sin 1)2i π=--1.4i ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭例2 342211cos (1)d ;(2)d (1)zz z z ez z z z z-==++⎰⎰求积分解 3(1) 1 ,z +函数在复平面内解析01 2 ,z z =-≤在内3,n =()010!() ()d 2()n n Cn f z fz z iz z π+=-⎰根据公式3421d (1)z z z z =++⎰312[1]3!z i z π=-'''=+2;i π=21cos (2)d zz ez z z-=⎰cos ,zez -函数在复平面内解析00 1 ,z z =≤在内1,n =21cos d zz ez z z-=⎰2(cos )1!zz i ez π-='=2[cos sin ]zzz i ez ez π--==--2.i π=-∙例3 1d .( )z nz e z n z=⎰求积分为整数 解 (1)0,n ≤1 , z n ez z ≤在上解析由柯西－古萨基本定理得1d 0;zn z e z z ==⎰ (2)1,n =由柯西积分公式得1d z nz e z z==⎰2()zz i e π=⋅2;i π=(3)1,n >()010!() ()d 2()n n Cn f z fz z iz z π+=-⎰根据公式1d z nz e z z=⎰(1)2()(1)!z n z i e n π-==-2.(1)!i n π=-例4 231 d .(2)Cz z z-⎰求积分:(1)32;(2)13.C z z -=-=其中 解 2312 0,(2)z z z z==-函数有两个奇点和(1)32,z -= 2, z =仅包含奇点31 (),f z z=取231d (2)C z z z -⎰ 321d (2)Cz z z =-⎰ 32211!z i z π='⎛⎫= ⎪⎝⎭3;8i π=-(2)13z -= 2 0 ,z z C ==两个奇点和都含在内12 0 2,C C 作简单闭曲线和分别包含和12 ,C C 和互不包含且互不相交根据复合闭路定理和高阶导数公式,231d (2)Cz z z-⎰ 12232311d d (2)(2)C C z z z zz z=+--⎰⎰12233211(2) d d (2)C Cz zz z zz -=+-⎰⎰ 2322121 2!(2)1!z z i i z z ππ=="'⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦3388i i ππ=-0.=作业和思考题：第三章习题 82),4) ,6)；92),4) ,5)．课后小结：（1）柯西积分公式是复积分计算中的重要公式,它的证明基于柯西–古萨基本定理, 它的重要性在于: 一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示, 所以它是研究解析函数的重要工具.柯西积分公式:001()()d .2Cf z f z z iz z π=-⎰（2）高阶导数公式是复积分的重要公式. 它表明了解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重要的结论, 同时表明了解析函数与实变函数的本质区别.高阶导数公式()010!()()d 2()n n Cn f z fz z iz z π+=-⎰。
§3.6—解析函数的高阶导数
1 1 2 3 2i 1 ( z 2) z dz ( z 2) 2 3 2 dz 2 ! z ( z 2 ) C1 C2
z 0
例4
设函数 f ( z ) 在单连通域 B 内连续, 且对于
C
B 内任何一条简单闭曲线C 都有 f ( z )dz 0, 证明 f ( z ) 在 B 内解析. (莫雷拉Morera定理) 证明： 在 B 内取定一点z0 , z 为 B 内任意一点 , 依题意可知
( 3) n 1, 根据公式 f ( n ) ( z0 )
2i;
n! f (z) dz 2i C ( z z0 )n1
2i ez 2i z ( n 1 ) . (e ) n dz z 0 ( n 1)! z ( n 1)! z 1
14
§ 3.6
1 f (z) dz C 2i ( z z0 )( z z0 z )
=I
1 f (z) 1 zf ( z ) d z dz 2 2 2i C ( z z0 ) 2i C ( z z0 ) ( z z0 z )
z f ( z ) 1 1 zf ( z ) ds I dz 2 2 C 2 z z0 z z0 z 2 C ( z z0 ) ( z z0 z )
§3.6 解析函数的高阶导数
一、问题的提出 二、主要定理
三、典型例题
四、小结与思考
1
§ 3.6
一、问题的提出
解析函数的高阶导数
(1) 解析函数是否有高阶导数? (2) 若有高阶导数, 其定义和求法是否与实变函数相同? 问题的解答 (1) 解析函数有各高阶导数. (2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分
36解析函数的高阶导数
§6 解析函数的高阶导数一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各高阶导数，它的值也可以用函数在边界上的值通过积分来表示.这一点跟实变函数完全不同.一个实变函数在某一区间上可导，它的导数在这区域上是否连续也不一定，更不要说它有高阶导数存在了.关于解析函数的高阶导数我们有下面的定理.定理 解析函数的导数仍为解析函数，它的n 阶导数为： )(z f 010!()()2()n n cn f z fz i z z π+=-⎰ （）dz （n=1,2,） （3.6.1） 其中C 为在函数的解析域D 内围绕的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部全属于D。
)(z f 0z [证] 设为D 内任意一点，我们先证n=1的情形，即0z 0201()'()2()c f z f zd i z z π=-⎰ z 根据定义0000()('()limz )f z z f z f z z∆→+∆-=∆，从柯西积分公式得0201()()2()c f z f z d i z z π=-⎰ z 001()()2cf z f z z d i z z z π+∆=--∆⎰ z 从而有00200()()1()()[]2(c cf z z f z f z f z dz dz z i z z z z z z π+∆-=-∆∆--∆-⎰⎰ ) 001()2()()cf z dz i z z z z z π=---∆⎰ 220001()1()2()2()()c c f z zf z dz dz i z z i z z z z z ππ∆=+---⎰⎰ -∆ 设后一个积分为I，那么220000()1()12()()2ccz f z dszf z dz I dz z z z z z z z z z zππ∆∆=≤---∆---∆⎰⎰因为在C 上是解析的，所以在C 上连续，有第一章§6知在C 上是有界的.由此可)(z f知比存在一个正数M，使得在C 上有()f z M ≤.设d 为从到曲线C 上各点的最短距离（图3.11），并取0z z ∆适当地小，使其满足12z d ∆≤，那么我们就有 0011,z z d z z d-≥≤-; 00011,2z z z z z z d z z z d--∆≥--∆><--∆2 所以 3dMLzI π∆<， 这里L 为C 的长度. 如果，那么，从而得0→∆z 0→I 000200()()1()()lim2()z cf z z f z f z f z d z i z z π∆→+∆-'==∆-⎰ z ， （3.6.2）图3.11这表明了在的导数可以由把（3.5.1）的右端在积分号下对求导而得. )(z f 0z 0z 我们再利用（3.6.2）以及推出（3.6.2）的方法去求极限：zz f z z f z ∆'-∆+'→∆)()(lim000，便可得到''0302!()()2()c f z f zd i z z π=-⎰ z . 到这里我们已经证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.依次类推，用数学归纳法可以证明：()()010!()2()n n c n f z f z d i z z π+=-⎰ z [证毕]公式（3.6.1）可以这样记忆：把柯西积分公式（3.5.1）的两边对求n 阶导数，右边求导在积分号下进行，求导时把被积函数看作是的函数，而把0z 0z z 看作常数.高阶导数公式的作用，不在于通过积分来求导，而在于通过求导来求积分. 例1 求下列积分的值，其中C 为正向圆周：1>=r z。
第二章第四讲高阶导数与隐函数求导参数方程求导36页PPT
26.04.2020
泰山医学院信息工程学院 刘照军
1
3.f(x)在x处有n阶导数，那么 f (n1)(x)在x的某一邻域内必 定具有一切低于n阶的导数；二阶及二阶以上的导数统称 高阶导数
4.问题：如何求函数的高阶导数？ 一步一步来，利用已知函数的一阶导数公式及运算法则
高阶导数应用举例 例1 y=ax+b, 求 y 解 ya,y0
例2 ssint,求s
解 sco t,s2sitn
26.04.2020
泰山医学院信息工程学院 刘照军
2
2、应用
例3 证明:函数 y 2xx2 满足关系式
y3y10
证 将 y 2xx2 求导,得
y 22x 1x ,
22xx2 2xx2
2xx2(1x) 22x
y
2 2xx2 2xx2
2 x x 2 (1 x )2 (2x x)2 2x x2
26.04.2020
泰山医学院信息工程学院 刘照军
4
解 ysinx,
ycoxssinx ( ),
ycox s()s2ix n ()
2
22
si nx( 2 ),
2
ycox s2()six n 3 (),
2
2
y(4)cox s3()six n 4 (),
2
2
一般地,可得
y(n) sinx(n),
即
(sixn )(n) coxs2(n).
重点：隐含数、参数方程求导方法
难点：隐含数、参数方程求导方法的应用，对
数求导法的应用。特别注意参数方程的高阶导 数的求法。
26.04.2020
泰山医学院信息工程学院 刘照军
10
柯西积分公式 解析函数的高阶导数公式
分可化为定积分来计算； 3）对于解析函数的积分，可通过牛顿—莱布尼兹公式计
算； 4）对于沿封闭曲线的积分，往往以柯西积分定理，复合
闭路定理、闭路变形公式、柯西积分公式、高阶导数公式等 为工具。
3.5柯西积分公式 3.6解析函数的高阶导数公式
一、柯西积分公式
定理 1：(柯西积分公式)如果 f (z) 在区域 E 内解析，C 为
E 内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于 E ，z 为
C 内的任一点，则
fБайду номын сангаас
(z)
1
2 i
C
f
( )d
z
。
证明：z C
，令 F( )
f ( ) z
1
1） 2i
sin z
z 4 z dz ，2）
z
2
ez dz z 1
。
例 4：计算 I
zi 1 2
1 dz z(z2 1)
。
sin z
例 5：计算 I C
z
2
4 1
dz
,其中：
1） C
:
z
1
1 2
，2） C
:
z
1
1 2
，3） C :
z
2.
二、高阶导数公式
d
注 1.解析函数的导数仍是解析函数。
注 2. 析不在于通过积分求导，而是通过
求导来求积分，即
C
(
z
f
(z z0
) )
n1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
z∈C
1 取 Δz < d , 则有 2
2 < z − z0 − Δz d 1
ML ( L — C 的长度） ∴ I < Δz 3 πd 显然， lim I = 0 , 从而有
两边在积分号下对 z 0求导得 f (z) 1 f ' ( z0 ) = dz 2 ∫ C 2π i ( z − z 0 )
2! f (z) f " ( z0 ) = dz 3 ∫ 2π i C ( z − z 0 ) n! f (z) ( n) f ( z0 ) = ( n = 1,2, n+1 dz ∫ 2πi C ( z − z0 )
1 I = 2π
∫
C
Δ zf ( z ) dz 2 ( z − z 0 − Δ z )( z − z 0 )
1 ≤ 2π
∫
Δz f ( z ) z − z0 − Δz z − z0
2
C
ds
∵ f ( z )在C上解析， ∴ f ( z )在C上连续 则∃M , ∂ f ( z ) ≤ M , d = min z − z0
)
以下将对这些公式的正确性加以证明。
定理
解析函数 f ( z )的导数仍为解析函数 , n! ( z0 ) = 2π i
它的 n 阶导数为 f
(n)
∫
f (z) ( z − z0 )
n+1
C
dz
( n = 1, 2,
)
其中 C 为在 f ( z )的解析区域 D 内围绕 z 0的 ∀ − 正向简单闭曲线 , 而且它的内部 ⊂ D .
z
cos π z 1) ∫ dz 5 C ( z − 1)
解
1) ∵ cos πz在全平面处处解析 cos πz 2πi (4) (cos πz ) ∫C ( z − 1)5 dz =（5 − 1） !
5 π 2πi = i ( −π 4 ) = − 4! 12 z =1
e 2) ∵ 2 在 z = ± i处不解析 .取 C 1 : z − i = ρ 1 2 ( z + 1) C 2 : z + i = ρ 2 , C 1 , C 2不相交且在 C的内部 ez ez ez ∴∫ dz = ∫ dz + ∫ dz 2 2 2 2 2 2 C (1 + z ) C (1 + z ) C (1 + z ) ez ez ( z + i )2 ( z + i )2 dz + ∫ dz =∫ 2 2 C1 ( z − i ) C2 ( z + i ) z z 2πi e 2πi e = ( )' + ( )' 2 2 ( 2 − 1)! ( z + i ) z = i ( 2 − 1)! ( z − i ) z = − i
1 2
z
= =
π
2
(1 − i )( e − ie )
i
−i
π
2
(1 − i ) (cos 1 − sin 1) = πi 2 sin(1 −
2
π
4
)
Δz→ 0
f ( z 0 + Δz ) − f ( z 0 ) 1 f (z) = f ' ( z0 ) = lim dz （*） 2 ∫ Δz → 0 Δz 2πi C ( z − z0 )
再利用(∗)式及推导(∗)的方法可证 n = 2的情形 .
f ' ( z0 + Δz ) − f ' ( z0 ) f ' ' ( z 0 ) = lim Δz → 0 Δz f (z) 2! dz 依次类推，用数学归纳法可得 = 3 ∫ 2π i C ( z − z 0 )
f
(n)
n! ( z0 ) = 2π i
f (z) ∫C ( z − z0 ) n +1 dz
定理表明 f ( z )在 z平面上 D 内解析 ⇒ f ( z )在 D 内 具有各阶导数 , 即在 D 内解析 − − 无穷次可导 .
一个解析函数的导数仍为解析函数。
例1 求下列积分值
C : z = r >1 e 2)∫ dz 2 2 C (1 + z )
§6 解析函数的高阶导数 内 容 简 介
本节研究解析函数的无穷次可导性，并导 出高阶导数计算公式。研究表明：一个解析函 数不仅有一阶导数，而且有各阶导数，它的值 也可用函数在边界上的值通过积分来表示。这 一点与实变函数有本质区别。
形式上， 1 对积分公式 f ( z 0 ) = 2π i
∫
C
f (z) dz ( z 0 ∈ D ) z − z0
证明 用数学归纳法和导数定义。 先证 n = 1的情形 .
∀z0 ∈ D
f ( z0 + Δz ) − f ( z0 ) f ' ( z 0 ) = lim Δz → 0 Δz
f (z) 1 由柯西积分公式 f ( z 0 ) = dz ∫ 2π i C z − z 0 1 f (z) f ( z0 + Δz ) = dz ∫ 2π i C z − z 0 − Δ z f ( z 0 + Δz ) − f ( z 0 ) 1 f (z) f (z) dz] [∫ dz − ∫ = C z−z 2πiΔz C z − z0 − Δz Δz 0 f (z) 1 dz = ∫ 2πi C ( z − z0 − Δz )( z − z0 ) 令为I 1 1 Δ zf ( z ) f (z) dz + dz = 2 2 ∫ ∫ 2π i C ( z − z 0 ) 2π i C ( z − z 0 − Δ z )( z − z 0 )