工程数学-复变函数 3-6 解析函数的高阶导数
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解析函数的高阶导数 ppt课件
1)2
dz
C 1 (z2e z1)2dzC 2 (z2e z1)2dz
ez
ez
C1 (z2 1)2 dz
C1
( (
z z
i i
)2 )2
dz
y
• •
(221i)!(zezi)2
(1 i)ei 2
,
zi
C1 i
o
C 2 i
C
x
同理可 C2 (得 z2ez1)2dz
(1i)ei 2
,
于是 C
z00在 z1内 , n1,
ez cosz
z 1 z2 dz
2i(ezcozs)
1!
z0
2 i[ e zcz o e s zsiz]n2i. z 0
例3 求积分 z1eznzdz. (n为整)数
解
(1)n0,
ez zn
在z
1上解,析
由柯西－古萨基本定理得
z
1
ez zn
dz
0;
(2)n1, 由柯西积分公式得
(51)!
z1
5i ; 12
(2)函(数 z2ez1)2在 C内z的 i处不, 解析 在C内以 i为中心作一个C 正 1, 向圆周
以i为中心作一个正 C2,向圆y 周
则函数ez (z21)2
在由 C,C1,C2
围成的区域, 内解析
• •
C1 i
o
C 2 i
C
x
根据复合闭路定理
C
ez (z2
二、主要定理
定理3.9
设函数 f (z)在简单闭曲 C所线围成的区 D内域
解析在 ，DDC连续，则函数 f (z)的各阶导函数
在区域 D内解析对， D内任意一z,有 点
解析函数的高阶导数
第五节 解析函数的高阶导数
• 一．解析函数的高阶导数 • 二、解析函数的等价概念
第三章 复变函数的积分
一．解析函数的高阶导数
一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它的值可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这不同于实变函数. 一个实变函数在某一区间上可导, 它的导数在这区间 上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导数存在了.
z0 的简单闭曲线.
解 当点z0位于C的外部时， 由柯西定理得 I 0
当点z0位于C的内部时， 由高阶导数公式得
I
2i
2!
(z4
z 2 )|z
z0
i (12z 2
2)
|zz0
2i(6z02 1)
第三章 复变函数的积分
1
例5 求复积分 C (z2 1)2 dz 的值，其中Ｃ：|z|>1的正向圆周．
常遇到一种函数，称为调和函数，调和函数与解析
函数关系密切.
定义 如果二元实变函数φ (x,y) 在区域D内具有二阶
连续偏导数，
并且满足Laplace方程
2
x 2
2
y 2
0,
则称φ (x,y) 为D内的调和函数.
第三章 复变函数的积分
例1. 证明φ (x,y)= y3-3x2y 为调和函数.
证明
当n=0 时即为柯西积分公式
解
1
1
(z 2 1)2 [( z i)( z i)]2
在C内的z=±i 处不解析.
C
(z2
1 1) 2
dz
C
[( z
1 i)( z
i)]2
dz
1
1
C1
C2
y
(z C1( z
• 一．解析函数的高阶导数 • 二、解析函数的等价概念
第三章 复变函数的积分
一．解析函数的高阶导数
一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它的值可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这不同于实变函数. 一个实变函数在某一区间上可导, 它的导数在这区间 上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导数存在了.
z0 的简单闭曲线.
解 当点z0位于C的外部时， 由柯西定理得 I 0
当点z0位于C的内部时， 由高阶导数公式得
I
2i
2!
(z4
z 2 )|z
z0
i (12z 2
2)
|zz0
2i(6z02 1)
第三章 复变函数的积分
1
例5 求复积分 C (z2 1)2 dz 的值，其中Ｃ：|z|>1的正向圆周．
常遇到一种函数，称为调和函数，调和函数与解析
函数关系密切.
定义 如果二元实变函数φ (x,y) 在区域D内具有二阶
连续偏导数，
并且满足Laplace方程
2
x 2
2
y 2
0,
则称φ (x,y) 为D内的调和函数.
第三章 复变函数的积分
例1. 证明φ (x,y)= y3-3x2y 为调和函数.
证明
当n=0 时即为柯西积分公式
解
1
1
(z 2 1)2 [( z i)( z i)]2
在C内的z=±i 处不解析.
C
(z2
1 1) 2
dz
C
[( z
1 i)( z
i)]2
dz
1
1
C1
C2
y
(z C1( z
-复变函数的导数与解析函数
v bx ay 2 x 1 y 而 lim
1 x 2 y
(x) (y )
2 2
x 0 y 0
0, lim
2 x 1 y
(x) (y )
2 2
x 0 y 0
0
u( x, y), v( x, y)在点 ( x0 , y0 ) 处可微
满足C R条件.
但当z沿 y kx(x 0)趋于零时，有
z (1 ki ) x 0
lim
lim
z 0
f z f 0 z
k f z f 0 lim z 1 ki x 0 (1 ki) x k (x) 2
当z沿虚轴趋于零，即 x 0, z iy 0时，有
u x0 , y 0 y 0 iv x0 , y 0 y 0 u x0 , y 0 iv x0 , y 0 lim iy y 0 v u i y y
z iy 0
需要注意的是，复变函 数的导数定义与一元实 函数的 导数定义，虽然形式上 一样，但在本质上有很 大的不 同。因为一元实函数导 数定义中的极限是一元 实函数 的极限，而复变函数导 数定义中的极限对应于 二元实 函数的极限。
设 f ( z ) 在 z0 可导，即极限 f z0 z f z0 w lim 存在. lim z z 0 z z 0 f z0 z f z0 z
u x x u y y o( (x) (y) ) i[v x x v y y o( (x) (y) )]
2 2 2 2
x iy
u x x u y y o( (x) 2 (y) 2 ) i[v x x v y y o( (x) 2 (y) 2 )] x iy
1 x 2 y
(x) (y )
2 2
x 0 y 0
0, lim
2 x 1 y
(x) (y )
2 2
x 0 y 0
0
u( x, y), v( x, y)在点 ( x0 , y0 ) 处可微
满足C R条件.
但当z沿 y kx(x 0)趋于零时，有
z (1 ki ) x 0
lim
lim
z 0
f z f 0 z
k f z f 0 lim z 1 ki x 0 (1 ki) x k (x) 2
当z沿虚轴趋于零，即 x 0, z iy 0时，有
u x0 , y 0 y 0 iv x0 , y 0 y 0 u x0 , y 0 iv x0 , y 0 lim iy y 0 v u i y y
z iy 0
需要注意的是，复变函 数的导数定义与一元实 函数的 导数定义，虽然形式上 一样，但在本质上有很 大的不 同。因为一元实函数导 数定义中的极限是一元 实函数 的极限，而复变函数导 数定义中的极限对应于 二元实 函数的极限。
设 f ( z ) 在 z0 可导，即极限 f z0 z f z0 w lim 存在. lim z z 0 z z 0 f z0 z f z0 z
u x x u y y o( (x) (y) ) i[v x x v y y o( (x) (y) )]
2 2 2 2
x iy
u x x u y y o( (x) 2 (y) 2 ) i[v x x v y y o( (x) 2 (y) 2 )] x iy
复变函数的积分
f ( z ) |z 1i f (1 i) 2πi[6(1 i) 7]= 12π 2πi
工程数学---------复变函数
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2. 解析函数的高阶导数
n阶导数为: 定理2 解析函数 f (z)的导数仍为解析函数它的 ,
f
(n)
n! f ( z) ( z0 ) dz n 1 2 i C ( z z0 )
1 z i 2
1 z ( z 1)
2
dz.
1 1 1 1 1 dz 1 z 2 z i 2 z i z i
2
1 1 1 z dz 2
z i 2
z i
1 2
1 1 dz z i 2
z i
( n 1, 2, )
其中 C 为在 f (z) 的解析区域D内围绕 z0 的任何一条正向
K
D
z0
R
f ( z0 ) f ( z ) f ( z0 ) dz dz K z z0 z z0
K
C
2 if ( z0 )
f ( z ) f ( z0 ) dz z z0
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工程数学---------复变函数
而
0
1 2
1 dz z i
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返回
结束
1 2
z i
1 2
1 dz z i
1 2 i i. 2
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3-5解析函数的高阶导数 共11页
2! f(z)
2iC(zz0)3
dz
至此，我们已经导出：解析函数的导数仍是解析函数。
利用归纳法，类似 (3.5.2) 的推导可得：
f
(n)(z0)2n!i
f (z) C(zz0)n1
d
z.
说明：高阶导数公式的作用，不是在于通过积分求导，
而是通过求导而求积分。
例1 计算下列积分
ez 1
dz
|z2|1 ( z
z
2)2
dz
2i[
(z
1 2)2
z0
(1 ) ] z z2
2i[11]0
44
3）
|z2|1
ez z(z
2)2
dz
解 由于 f ( z) e z 在 |z2|1上解析，所以
z
ez
|z2|1
ez z(z
2)2
为D内环绕 z 0 的一条正向简单闭曲线，且C的内部仍 在D内，我们先证 n1情况，即
f(z0)21iC(zf(zz0))2dz
根据定义 f(z0) lz i0m f(z0 zz )f(z0)
由柯西积分公式
f(z0)21iCzf(zz)0dz f(z0z)21 iCzfz0 (z )zdz
1）
C
z4
dz
其中C为正向圆周：| z|1
解 1） 原式 2i(ez1)
3!
z0
i ez i
3 z0 3
2）
C
(z
1 2)2
z
dz
其中C为正向圆周：| z|4
解 利用复合闭路定理得
原式
|z|1 |z2|1
1
3-6解析函数的高阶导数
z
zi
2i
e z z i e z 2z i
2
z i 4
2i e z i dz C f z dz C 2 2 2 1 ! z i z i z i 2 4 4i i e z z i e z 2z i 2 i e 2i 1 i ie i 4 4 2 z i 2 zi i i 2 f z dz 1 i e ie 1 i cos 1 i sin 1 i cos 1 i sin1 C
1 2 i
C
积分变量一样，积分路径一样，可合并。
f z z dz z z0 z z0 z C
z z z z
2
f z z z0 z z
2 i C z z0
则
1
f z
2
dz
2 i C z z0 z z0 z
§6 解析函数的高阶导数
定理 解析函数f(z)的导数仍为解析函数,它的n阶导数为：
f
n
n! f z z0 dz n 1,2, C n1 2 i z z0
其中C为在函数f(z)的解析区域D内 围绕z0的任何一条正向简单闭曲线， 而且它的内部全含于D. [证 ] 主要证明n=1的情形，即
1 2
B
C2
z
z0
C1
因此积分 C1 f ( z)dz C2 f ( z)dz
Z
Z0
f d
的值与连接z0和z的路线无关,而它定义了一个z的单值函数：
F z f d
zi
2i
e z z i e z 2z i
2
z i 4
2i e z i dz C f z dz C 2 2 2 1 ! z i z i z i 2 4 4i i e z z i e z 2z i 2 i e 2i 1 i ie i 4 4 2 z i 2 zi i i 2 f z dz 1 i e ie 1 i cos 1 i sin 1 i cos 1 i sin1 C
1 2 i
C
积分变量一样，积分路径一样，可合并。
f z z dz z z0 z z0 z C
z z z z
2
f z z z0 z z
2 i C z z0
则
1
f z
2
dz
2 i C z z0 z z0 z
§6 解析函数的高阶导数
定理 解析函数f(z)的导数仍为解析函数,它的n阶导数为：
f
n
n! f z z0 dz n 1,2, C n1 2 i z z0
其中C为在函数f(z)的解析区域D内 围绕z0的任何一条正向简单闭曲线， 而且它的内部全含于D. [证 ] 主要证明n=1的情形，即
1 2
B
C2
z
z0
C1
因此积分 C1 f ( z)dz C2 f ( z)dz
Z
Z0
f d
的值与连接z0和z的路线无关,而它定义了一个z的单值函数：
F z f d
工程数学复变函数西安交通大学出版社§3.5-3.6-new
故 f (z) 2i(6z 7), 而 1 i 在 C 内,
所以 f (1 i) 2(6 13i).
12
例5 求积分 ez dz, 并证明 π ecos cos(sin )d π .
z 1 z
0
解 根据柯西积分公式知,
ez dz 2i ez 2i;
z 1 z
z0
令 z rei , (π π ) z r 1,
2i 1 z(z i) zi
2
2
2i
1 2i 2
i.
11
例４ 设 C 表示正向圆周x2 y2 3,
f (z)
C
3
2 7 z
1d ,
求
f (1 i).
解 根据柯西积分公式知, 当 z 在 C 内时,
f (z) 2πi (3 2 7 1) 2i(3z2 7z 1), z
(2) 不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的 一种方法, 而且给出解析函数的一个积分表达式.
(这是研究解析函数的有力工具)
(3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上
的平均值. 如果 C 是圆周z z0 R ei ,
f
( z0
)
1 2π
2π 0
f (z0
R ei )d .
7
三、典型例题
K z z0
K
R K
ds
2π .
f (z) f (z0 ) ds z z0
则
C
f (z) z z0
dz
2if
(z0 )
2
根据闭路变形原理知, 上式成立与 R 无关, 故有
f
( z0
)
1 2i
f (z) dz C z z0
所以 f (1 i) 2(6 13i).
12
例5 求积分 ez dz, 并证明 π ecos cos(sin )d π .
z 1 z
0
解 根据柯西积分公式知,
ez dz 2i ez 2i;
z 1 z
z0
令 z rei , (π π ) z r 1,
2i 1 z(z i) zi
2
2
2i
1 2i 2
i.
11
例４ 设 C 表示正向圆周x2 y2 3,
f (z)
C
3
2 7 z
1d ,
求
f (1 i).
解 根据柯西积分公式知, 当 z 在 C 内时,
f (z) 2πi (3 2 7 1) 2i(3z2 7z 1), z
(2) 不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的 一种方法, 而且给出解析函数的一个积分表达式.
(这是研究解析函数的有力工具)
(3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上
的平均值. 如果 C 是圆周z z0 R ei ,
f
( z0
)
1 2π
2π 0
f (z0
R ei )d .
7
三、典型例题
K z z0
K
R K
ds
2π .
f (z) f (z0 ) ds z z0
则
C
f (z) z z0
dz
2if
(z0 )
2
根据闭路变形原理知, 上式成立与 R 无关, 故有
f
( z0
)
1 2i
f (z) dz C z z0
通信工程专业函授(业余)本科教学大纲
（二）参考书目
[1]《概率论与数理统计》,印凡成、夏乐天主编，河海大学校出版社，2000
[2]《概率论与数理统计》，浙江大学编，1989.8(第二版)
[3]《概率论与数理统计》,陈希孺编著,中国科学技术大学出版社，1992.5
[4]《概率论与数理统计教程》，魏宗舒编，高等教育出版社，1983.10
[5]沈恒范主编，《概率论与数理统计》，高等教育出版社
三、开课对象通信工程专业函授本科
四、学时分配
总学时：168学时其中面授：42学时自学：126学时
五、教学内容与基本要求、教学的重点和难点
第1章绪论（面授4学时、自学12学时）
教学内容：
§1-1信号传输系统
§1-2信号的概念
§1-3系统的概念
§1-4线性非时变系统的分析
教学重点和难点：深刻理解信号和系统的概念以及两者的关系，初步理解信号分析和系统的方法，掌握信号的分类情况。深刻理解和熟练掌握并且能熟练运用线性非时变系统的五条重要性质。
[6]同济大学数学系主编，《概率论与数理统计》，高等教育出版社
复变函数与积分变换教学大纲
一、课程类别专业必修课
二、教学目的
本课程讲述复变函数的基本理论和两种常用的积分变换及其应用。内容包括复数与复变函数，解析函数及其充要条件，复变函数的积分与计算，柯西-古萨基本定理及复合闭路原理，柯西积分公式及解析函数的高阶导数公式，复数项级数和复函数项级数（泰勒级数和罗伦级数），留数及其在定积分计算上的应用，共形映射，傅立叶变换及其性质，拉普拉斯变换及性质与应用。本课程是继高等数学之后的数学类课。其目的是用积分变换等手段简化复杂问题的处理方法。坚持的原则是以应用为目的，在教学过程中培养学生分析问题，解决问题的能力。
[1]《概率论与数理统计》,印凡成、夏乐天主编，河海大学校出版社，2000
[2]《概率论与数理统计》，浙江大学编，1989.8(第二版)
[3]《概率论与数理统计》,陈希孺编著,中国科学技术大学出版社，1992.5
[4]《概率论与数理统计教程》，魏宗舒编，高等教育出版社，1983.10
[5]沈恒范主编，《概率论与数理统计》，高等教育出版社
三、开课对象通信工程专业函授本科
四、学时分配
总学时：168学时其中面授：42学时自学：126学时
五、教学内容与基本要求、教学的重点和难点
第1章绪论（面授4学时、自学12学时）
教学内容：
§1-1信号传输系统
§1-2信号的概念
§1-3系统的概念
§1-4线性非时变系统的分析
教学重点和难点：深刻理解信号和系统的概念以及两者的关系，初步理解信号分析和系统的方法，掌握信号的分类情况。深刻理解和熟练掌握并且能熟练运用线性非时变系统的五条重要性质。
[6]同济大学数学系主编，《概率论与数理统计》，高等教育出版社
复变函数与积分变换教学大纲
一、课程类别专业必修课
二、教学目的
本课程讲述复变函数的基本理论和两种常用的积分变换及其应用。内容包括复数与复变函数，解析函数及其充要条件，复变函数的积分与计算，柯西-古萨基本定理及复合闭路原理，柯西积分公式及解析函数的高阶导数公式，复数项级数和复函数项级数（泰勒级数和罗伦级数），留数及其在定积分计算上的应用，共形映射，傅立叶变换及其性质，拉普拉斯变换及性质与应用。本课程是继高等数学之后的数学类课。其目的是用积分变换等手段简化复杂问题的处理方法。坚持的原则是以应用为目的，在教学过程中培养学生分析问题，解决问题的能力。
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分
i(zez 2ez )
-9-
第六节 解析函数的高阶导数
第六节 解析函数的高阶导数
定理 解析函数的导数仍是解析函数， 它的 n
第 阶导数为：
三 章 复 变
f
(n)(z0 )
n! 2i
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
(3.6.1)
其中 C 为函数 f (z) 的解析域内的环绕 z0 正向简单闭
函
数 的
曲线，且 C 的内部仍在 f (z)的解析域内。
f
( n) ( z0
)
n!
2i
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
第 高阶导数公式的作用，不是在于通过积分求导，而
三
章 是通过求导而求积分。
复 变
例1 计算下列积分
函 数 的 积
1）
C
e
z z4
1
dz
其中C 为正向圆周：| z | 1
分 解 1） 原式 2i (ez 1)
3!
z0
i ez i
3 z0 3
-6-
第六节 解析函数的高阶导数
2）
C
(
z
1 2)2
z
dz
其中C 为正向圆周：| z | 4
解 利用复合闭路定理得
第 三
原式
章
|z|1 |z2|1
1
1
复 变 函 数
|z|1
(z
2)2 z
dz
|z2|1 (z
z 2)2
dz
的
积 分
2i[
(z
1 2)2
z0
(1) ] z z2
-4-
第六节 解析函数的高阶导数
f (z0 )
lim
z0
f (z0
z) z
f (z0 )
第 三
1
2i
C
(z
f (z) z0 )2
dz
(3.6.2)
章 同理，我们可以利用 (3.6.2) 及其 (3.6.2) 的推导方法
复 求极限f (z0 z) f (z0 )
变
函
数
的
积 分
得
f (
积
分 ［证明］ 设 z0 为 f (z) 的解析域 D 内任意一点，C
为D内环绕 z0 的一条正向简单闭曲线，且C 的内部仍
在D 内，我们先证 n 1 情况，即
-1-
第六节 解析函数的高阶导数
f
( z0
)
1 2i
C
(z
f (z) z0 )2
dz
第 根据定义
三 章
f (z0 )
lim
z0
f (z0
| f (z) | M(z C) |
因此，当 z C 时，有
I
|
1
2
C
|
z
| f (z) z0 |2| z
|| z z0
|
z
ds |
的 积 分
| z z0 | d
| z z0 z |
|
z
z0
|
|
z
|
d 2
所以
|
I
||
z
|
ML d 3
其中 L 为 C 的弧长，令z 0, 则 I 0, 从而
2
i[
ze
z z2
e
z
]
z2
e2i
2
-8-
第六节 解析函数的高阶导数
例2
求
f
(
z
)
|
z| 2
e ( z
)3
d
.
解 令 g( ) e , 则由高阶导数公式知
第 三 章
g(z)
2!
2i
g( ) | z|2 ( z)3
d
,
复 所以
变
函 数
f (z) ig(z)
的 积
i(ez zez )
2i[1 1] 0
44
-7-
第六节 解析函数的高阶导数
3）
|z2|1
z(
z
ez
2)2
dz
第 解 由于 f (z) ez 在 | z 2 | 1 上解析，所以
三 章
z
ez
复 变 函
|z2|1
ez z(z
2)2
dz
|z 2|1
(
z
z
2)2dz
数 的 积 分
2i ( e z
z
)
z2
)
dz
则
|
I
|
1
2
C
|
z
| f (z) z0 |2| z
|| z z0
|
z
ds |
-3-
第六节 解析函数的高阶导数
设 d 为 z0 到 C 上的点的最短
距离，选取适当小的
z,使|
z
|
d 2
第 由于 f (z) 在 C 上连续，从而在C
三
章 上有界，即存在正数 M 使得：
C
z0• d
D
复
变 函 数
z) z
f (z0 )
复 变
由柯西积分公式
函 数 的 积 分
f
( z0
)
1 2i
C
f (z) z z0
dz
f
( z0
z)
1 2i
C
z
f (z) z0 z
dz
其中 z0 z 在曲线 C 的内部。从而有
-2-
第六节 解析函数的高阶导数
f (z0 z) f (z0 ) 1 [ f (z) f (z) ]dz
z
2iz C z z0 z z z0
第 三
1
f (z)
dz
2i C (z z0 )(z z0 z)
章 复 变
1
2i
C
f (z) (z z0 )2
dz
1
2i
C (z
zf z0 )2(z
(z) z0
dz z)
函 数
设
的 积 分
I 1
2i
(
z
z0
f )2
(z (z
)z z0
z
lizm10
2i C (
z0 z z) z f(zz0i C
(
z
z0
zf )2 ( z
(z) z0
z
)
dz
f
(z0 )
2!
2i
C
(z
f (z) z0 )3
dz
至此，我们已经导出：解析函数的导数仍是解析函数。
-5-
第六节 解析函数的高阶导数
利用归纳法。类似(3.6.2) 的推导可得：