二维问题 - 报告

2015 年秋季学期研究生课程考核（读书报告、研究报告）考核科目:偏微分方程数值解法学生所在院（系）:理学院数学系学生所在学科:数学学生姓名:H i t e r学号:1X S012000学生类别:考核结果阅卷人二维问题 摘要双曲型方程是偏微分方程中三大方程（椭圆方程、抛物方程和双曲方程）之一，由于在课上已经跟着老师学习过一阶线性双曲型方程的相关知识，如分析其稳定性以及其他性质，并且把一阶线性双曲型方程推广到一阶线性双曲型方程组。

但也仅限于此，所以在此我们再推广一下，讨论二维的双曲型方程的相关性质。

先从二维的一阶双曲型方程出发，到一阶双曲型方程组，再到隐士格式和ADI 格式。

关键字：双曲型方程， 二维问题，一阶线性AbstractThe hyperbolic equation is one of the three major equations (elliptic equations, parabolic equations and hyperbolic equations), which has been followed by the teacher to learn the relevant knowledge of first order linear hyperbolic equations, such as the analysis of its stability and other properties, and the first order linear hyperbolic equations to the first order linear hyperbolic equations. But it is also limited to this, so we can then extend it to discuss the related properties of the two dimensional hyperbolic equation. Starting from the first order hyperbolic equations, to the first order hyperbolic equations, and then to the hermit format and ADI format.Keywords: hyperbolic equation, two dimensional problems, first order linear1 前言如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。

双曲型偏微分方程是描述振动或波动现象的一类重要的偏微分方程。

双曲型偏微分方程（Hyperbolic partial differential equations ）：描述振动或波动现象的偏微分方程。

它的一个典型特例是波动方程和n=1时的波动方程。

可用来描述弦的微小横振动，称为弦振动方程。

这是最早得到系统研究的一个偏微分方程。

我们已经讨论了一位空间变量的双曲型方程和双曲型方程组的差分方法。

原则上都可以推广到二维甚至于三维问题，但也存在着一定的问题，特别是稳定性的限制比一维问题严得多。

2 一阶双曲型方程考虑双曲型方程的初值问题[1]t y x yu b x u a t u <∞<<-∞=∂∂+∂∂+∂∂0,,,0 （2.1） ∞<<-∞=y x y x g y x u ,),,()0,,( （2.2）此初值问题的解为),(),,(bt y at x g t y x u --=。

下面以Lax-Friedrichs 格式为例，给出二维差分格式及稳定性分析。

为方便起见，不妨设x 方向和y 方向是等步长的，即h y x =∆=∆，这样初值问题（2.1）、（2.2）的Lax-Friedrichs 格式为),(,022)(4101,1,,1,1,1,11,1,1m j jm n m j n m j n m j n m j nm j n m j n m j n m j n jm y x g u hu u b h u u a u u u u u ==-+-++++--+-+-+-++τ （2.3） 取hτλ=为常数，易知Lax-Friedrichs 格式是一阶精度的。

下面讨论（2.3）式的稳定性。

令)(21m h k jh k i n n jm ev v += 代入（2.3）式有n n v h k b h k a i h k h k v )]sin sin ()cos (cos 21[21211+-+=+λ所以增长因子为)sin sin ()cos (cos 21),(2121h k b h k a i h k h k k G +-+=λτ 其中),(21k k K =。

2122122212)sin sin ()cos (cos 41),(G G h k b h k a h k h k k G +=+++=λτ 其中)](21)[sin (sin 122222121b a h k h k G +-+-=λ22122212)sin sin ()cos (cos 41h k b h k a h k h k G ----=λ注意到上式2G 为负的，因此有)](21)[sin (sin 1),(22222122b a h k h k k G +-+-≤λτ如果21)(222≤+b a λ 即2222≤+b a λ （2.4） 成立，那么von Neumann 条件满足，所以格式（2.3）在（2.4）式满足时是稳定的。

如果在方程（2.1）中，令a b =，那么条件（2.4）就化为21≤λa 。

由此可以看出，二维问题的Lax-Friedrichs 格式比一维问题的Lax-Friedrichs 格式的稳定性条件要严。

为了放宽稳定性条件，出现了各种技巧。

在此仅讨论分数步长法，这是一个二步方法。

第一步是由x 方向的差分把n t 推进到2τ+n t ；第二步是由y 方向的差分把2τ+n t 推进到1+n t 。

⎪⎩⎪⎨⎧+=+=++++212211121n jm n jm n jmn jmn jm n jm u D u u u D u u ττ （2.5） 其中1D 和2D 分别是关于x 方向和y 方向的差分算子。

这样的二步法称为分数步长法，亦称为局部一维格式。

考虑由Lax-Wendroff 格式来完成这二步算法，此时xx x ha h aD -+∆∆+∆-=22011221τ yy y hb h b D -+∆∆+∆-=2221221τ 其中m j jm jm xjm m j jm xm j m j jm xu u u u u u u u u ,1,1,1,10;;--++-+-=∆-=∆-=∆；对于yy y -+∆∆∆,,0可以同样定义。

为讨论用Lax-Wendroff 格式构成的分数步长法的精度，先构造二维问题（2.1）的Lax-Wendroff 格式。

设u 是方程（2.1）的充分光滑的解，那么有2222222222yu b y x u ab x u a t u ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂ 因此有)(),,()]2(2)([),,(322222222ττττO t y x u yb y x ab x a x b x a I t y x u n m j n m j +∂∂+∂∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=+对于上式右边的偏导数皆用中心差商来代替，就得到逼近（2.1）式的Lax-Wendroff 格式njm y y y x x x y x n jm u b ab a b a I u )]21(21)(2[20022001-+-++∆∆+∆∆+∆∆+∆+∆-=λλ（2.6） 易知这是二阶精度的差分格式。

对于分数步长法（2.5）式，容易得到n jm n jm n jm u D D D D I u D I D D I u ])([)]()[(212211211τττττ+++=+++=+用一维的Lax-Wendroff 格式代入有)(]21)(21)(2[300222001τλλO u ab b a b a I u n jm y x y y x x y x n jm +∆∆+∆∆+∆∆+∆+∆-=-+-++ 此式与（2.6）式相比较，分数步长法是二阶精度的格式。

分数步长法的稳定性是容易得到的。

设),(11k G τ和),(22k G τ是分别对应于（2.5）中两个式子的增长因子，因此，整个（2.5）式的增长因子),(),(),(2211k G k G k G τττ∙=。

由一维Lax-Wendroff 格式的稳定性条件知，当1≤λa 时，有1),(11≤k G τ；当1≤λb 时，有1),(22≤k G τ。

由此可以得出，用Lax-Wendroff 方法形成的分数步长法稳定性条件为1≤λa 和1≤λb3 一阶双曲型方程组考虑最简单的一阶常系数方程组0=∂∂+∂∂+∂∂yu B x u A t u （3.1） 其中T p u u u ],,[1 =，A ，B 为实的p 阶方阵。

我们称方程组（3.1）是双曲型方程组，如果对所有的1,,=+βαβα，有非奇异矩阵S 使得1)(-+=ΛS B A S βα其中Λ是对角线元素为实数的对角矩阵。

显然，如果A ，B 是对角矩阵，则方程组（3.1）是双曲型方程组，此时称为对称双曲型方程组。

仍以Lax-Wendroff 格式为例来讨论。

仿二维双曲型方程的推导，逼近方程组（3.1）的Lax-Wendroff 格式是n jm h n jm u L u =+1 （3.2）其中h L 的差分算子，])[(21)(21)(2100222200yx y y x x y x h BA AB B A B A I L ∆∆++∆∆+∆∆+∆+∆-=-+-+λλλ利用Fourier 方程来讨论（3.2）的稳定性。

令)(21m h k jh k i n n jm ev u += 代入（3.2）式可得增长矩阵32212221)]1(cos )1(cos [)sin sin (),(G h k B h k A h k B h k A i I k G +-+-+++=λλτ其中),(21k k k =，h k h k BA AB G 2123sin sin )(21+-=λ。

如果A ，B 是对称矩阵，那么可以证明Lax-Wendroff 格式的稳定性条件是221)(≤A λρ，221)(≤B λρ （3.3）可以看出，比一维Lax-Wendroff 格式稳定性条件1)(≤A λρ要严得多。