混沌及应用读书报告
混沌理论及其应用
混沌理论及其应用■背景混沌是非线性系统所独有且广泛存在的一种非周期运动形式⩸其覆盖面涉及到自然科学和社会科学的几乎每一个分支。
混沌运动的早期研究可以追溯到1963年美国气象学家Lorenz对两无限平面间的大气湍流的模拟。
在用计算机求解的过程中，Lorenz发现当方程中的参数取适当值时，解是非周期的且具有随机性，即由确定性方程可得出随机性的结果，这与几百年来统治人们思想的拉普拉斯确定论相违背（确定性方程得出确定性结果）。
随后，Henon和Rossler等也得到类似结论。
Ruelle，May等对这类随机运动的特性进行了进一步研究，从而开创了混沌这一新的研究方向，近二三十年来，近似方法、非线性微分方程的数值积分法，特别是计算机技术的飞速发展，为人们对混沌的深入研究提供了可能，混沌理论研究取得的可喜成果也使人们能够更加全面透彻地认识、理解和应用混沌。
本文将介绍与混沌有关的基本概念和基本理论以及混沌应用研究的最新进展。
■混沌的基本知识混沌又称为蝴蝶效应，对于初始的条件非常敏感，目前尚无通用的严格的定义，一般认为，一周期信号输入某一确定的系统产生的貌似随机的信号，这种信号具有无穷嵌套和内秉随机性。
例如Logistic 映射，是非线性方程中出现的一个能成功地进行实验数学研究的不寻常的实例，它虽然简单却能体现出所有非线性现象的本质。
以Logistic 映射这只“小麻雀”为例来说明混沌运动的基本性质。
映射如式（1）最初用来描述昆虫的世代变化规律：（1）其中α为控制参量。
从[0,1]内点x0出发，由Logistic映射的迭代形成了一个序列，即x n= f n(x0), n = 0,1,2,…α值确定后，由任意初值x0在[0,1]内变化可迭代出一个确定的时间序列{x n}（称为x0的轨道）。
对于不同的α值系统将呈现不同的特性，如下图（1）所示。
纵坐标为变量x，所属区间为[0,1]，横坐标为控制参量α，所属区间为[0,4]，把参量空间分,500步，对每个固定的参量值α，变量x0从某一个初值开始迭代，把后继500个轨道点都画到所选参量的纵方向上这样扫过全部的参量范围。
浅谈混沌理论及其在生活中的应用
浅谈混沌理论及其在生活中的应用摘要：随着科学技术的不断发展以及科学研究的不断加深，最近几十年混沌学开始兴起。
在非线性科学上，混沌现象指的是一种确定的但不可预测的运动状态。
它的外在表现和纯粹的随机运动很相似，即都不可预测。
但和随机运动不同的是，混沌运动在动力学上是确定的，它的不可预测性是来源于运动的不稳定性。
或者说混沌系统对无限小的初值变动和微扰也具于敏感性，无论多小的扰动在长时间以后，也会使系统彻底偏离原来的演化方向。
本文将简单讨论一下混沌理论及其在生活中的应用。
关键词：混沌理论生活中的应用1、混沌理论的提出美国麻省理工学院气象学家爱德华·罗伦兹（Edward N.Lorentz）为了预报天气，他用计算机求解仿真地球大气的13个方程式，意图是利用计算机的高速运算来提高长期天气预报的准确性。
1963年的一次试验中，为了更细致地考察结果，在科学计算时，洛伦兹对初始输入数据的小数点后第四位进行了四舍五入。
他把一个中间解0.506取出，提高精度到0.506127再送回。
而当他喝了杯咖啡以后，回来再看时大吃一惊：本来很小的差异，前后计算结果却偏离了十万八千里!前后结果的两条曲线相似性完全消失了。
再次验算发现计算机并没有毛病，洛伦兹发现，由于误差会以指数形式增长，在这种情况下，一个微小的误差随着不断推移造成了巨大的后果。
后来，洛伦兹在一次演讲中提出了这一问题。
他认为，在大气运动过程中，即使各种误差和不确定性很小，也有可能在过程中将结果积累起来，经过逐级放大，形成巨大的大气运动。
于是，洛伦兹认定，他发现了新的现象：事物发展的结果，对初始条件具有极为敏感的依赖性。
1979年12月，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会的一次讲演中提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。
他的演讲和结论给人们留下了极其深刻的印象。
时至今日，这一论断仍为人津津乐道，更重要的是，它激发了人们对混沌学的浓厚兴趣。
混沌操作法学习心得
混沌操作法学习心得期货交易获得财务自由交易要有正确的地图混沌理论：随机与刺激非线性关系非直接因果关系左脑右脑混沌脑核心：两股冲突力量界面不是混沌而是较高层次的自我组织自然界充满菲波纳奇数列和0.618黄金分割混沌理论提供了一种精确可预测的方法市场能量法则：1、永远遵循阻力最小法则；2、不可见的根本结构决定阻力最小途径；3、根本结构可以被发现与改变。
推论：辨识主导交易行为的市场结构，根据交易宗旨改变结构。
改变自己的结构，顺应市场结构。
不要总是试图解决问题，而是提升一个层次，在新的结构里顺应自然，超越原有的问题本身。
原有问题不再那么重要时，自然会有解决的办法。
充分发挥脑部功能：左脑：线性分析16件/秒分析、判断、拟定决策。
计划功能、整体决策。
培养习惯行为，解决问题。
右脑：直觉、灵感对知识的无限包容脑核心：产生感知300万件/秒、控制体内运作、无意识控制、自动驾驶结论：充分运用脑部的功能、用合适的功能做合适的事梦想→现实思维方式自信、乐在其中的交易程序核心理念：在一个无风险的市场结构中，我能够享有乐趣与利润。
无风险：盘后分析制订操作策略，纳入最坏预期，设定安全气囊，从而随后的交易中所有情况都在预料之中。
所谓无风险，并非无亏损，而是心理上的无风险状态。
市场结构：根据波浪时空结构，提前确定好止损、加仓、反转、离场的位置与仓位。
机会出现进才交易，没有机会决不交易。
自由操作：在确信市场结构的基础上，享受交易的乐趣与利润。
交易过程中，不是用左脑去拼斗（左脑已在风险控制和市场结构环节发挥了功能），而是发挥右脑潜能，在脑核心协调下，享受交易的乐趣与利润。
总结论：洞悉市场结构→调整自身结构与市场结构共振（获得一致性体验）→确定交易策略→在交易过程中以最小阻力自由滑行，享受交易的乐趣。
混沌开创一门新科学读后感
混沌开创一门新科学读后感
书中通过大量实例阐述了混沌理论的原理和应用，让我明白了生活中的许多现象其实都受到混沌规律的影响。
比如，天气预报的不可预测性，股市的波动，甚至是我们体内的生理节律，都与混沌密切相关。
读完这本书，我对以下几点印象深刻：
1.简单的规则可以产生复杂的现象。
这是混沌理论的核心思想，也是我在这本书中学到的最重要的一课。
自然界中的许多复杂现象，其实都是由简单的规则迭代生成的。
2.混沌边缘是创新和进化的源泉。
在混沌边缘，系统既不是完全有序，也不是完全无序，这种状态为生物进化、科技创新等提供了可能性。
3.混沌理论启示我们要尊重复杂性。
在处理问题时，我们不能仅仅依靠简化模型，而应该充分考虑事物的复杂性，这样才能更好地应对现实世界。
4.混沌理论为我们提供了一种全新的思维方式。
它让我们认识到，世界并非线性发展，而是充满曲折和不确定性。
这种思维方式有助于我们更好地认识世界，把握事物的发展规律。
混沌及其应用听课心得
混沌及其应用听课心得
学习混沌已经有段时间了，尤其是让我对于刻意练习及如何有效的刻意练习，提升关键技能有了进一步的认识。
尤其是在思维模型是什么，如何获取思维模型以及应用有了比较大的改观。
其实对于自己最大的提升在于，看事物的视角不再相同。
比如之前，没有完成促成，我只知道结果不好，需要提升。
但是为什么，关键点在哪里？如何有效的提升其实是不知道的，于是只有反复的去提升面谈的技能，对图自己缺乏正确的认识。
现在我知道，一个完整的销售对于消费者包括了稀缺感，客户有需求可能他自己都不知道。
如何找到稀缺，找到稀缺就能成交吗？原来还需要帮对方找到目标感，找到目标感以后如果让对方采取行动。
其实是个科学的过程。
让我发现我们平时认为偶然的行为其实有必然的原因，这个原因就是混沌教给我们的模型。
《混沌》读后感
《混沌》是一本科幻小说，讲述了人类在未来世界中与机器人
斗争的故事。
以下是《混沌》的读后感:
首先，这本书让我深刻认识到了机器人的复杂性危险性。
小说
中的机器人不仅拥有超强的智能和力量，而且还具有自我意识和情感。
这让人类不得不重新审视自己和机器人之间的关系。
其次，这本书让我感受到了科技对人类的影响。
随着科技的不
断发展，人类的生活变得越来越便利，但同时也面临着越来越多的
问题和挑战。
小说中的机器人就是科技发展的产物，它们给人类带
来了便利，但也带来了安全隐患和道德困境。
最后，这本书让我意识到了人类自身的重要性。
虽然机器人可
以模拟人类的思维和行为，但它们始终无法替代人类的地位和价值。
人类应该保持警觉和清醒，不断探索和发展，为未来创造更好的前景。
总之，《混沌》是一本值得一读的科幻小说。
它让我深刻认识
到了机器人、科技和人类自身的重要性，同时也让我对未来充满了
期待和思考。
混沌报告
混沌及应用读书报告0、引言混沌学是随着现代科学技术的迅猛发展，特别是在计算机技术出现和普遍应用的基础上发展起来的一门新兴交叉学科。
混沌学属于非线性科学的范畴，而非线性科学是近代才发展起来的、解决传统线性科学不能解决的问题的科学。
要了解混沌理论的重要性和意义，有必要回顾一下线性科学的特点及其不足。
1、线性科学的不足和非线性科学的出现线性是指量与量之间的正比关系；在直角坐标系里，这是用一根直线表征的关系。
近代自然科学正是从研究线性系统这种简单对象开始的。
由于人的认识的发展总是从简单事物开始的，所以在科学发展的早期，首先从线性关系来认识自然事物，较多地研究了事物间的线性相互作用，这是很自然的。
因而在经典物理学中，首先考察的是没有摩擦的理想摆，没有粘滞性的理想流体，温度梯度很小的热流等；数学家们首先研究的是线性函数、线性方程等。
理论家们在对大自然中的许多现象进行探索时，总是力求在忽略非线性因素的前提下建立起线性模型，至少是力求对非线性模型做线性化处理，用线性模型近似或局部地代替非线性原型，或者借助于对线性过程的微小扰动来讨论非线性效应。
经过长期的发展，在经典科学中就铸造出一套处理线性问题的行之有效的方法，例如傅立叶变换、拉普拉斯变换、传递函数、回归技术等；就是设计物理实验，也主要是做那些可以做线性分析的实验。
从这个特点看来，经典科学实质上是线性科学。
线性科学在理论研究和实际应用上都有十分光辉的进展，在自然科学和工程技术领域，对线性系统的研究都取得了很大的成绩。
线性科学的长期发展，也形成了一种扭曲的认识或“科学思想”，认为线性系统才是客观世界中的常规现象和本质特征，才有普遍规律，才能建立一般原理和普适方法；而非线性系统只是例外的病态现象和非本质特征，没有普遍的规律，只能作为对线性系统的扰动或采取特殊的方法做个别处理。
由此得出结论说，线性系统才是科学探索的基本对象，线性问题才存在理论体系；所以经典科学的长期发展，都是封闭在线性现象的圈子里进行的。
混沌及其应用心得体会
混沌及其应用心得体会混沌是一个非线性系统中的现象，也被称为“无序的序”。
在混沌状态下，系统的演化变得极为敏感，微小的初始条件的改变会引起系统演化的巨大不同。
混沌现象已经被广泛应用于不同的领域，包括物理学、生物学、经济学等等。
在我的学习和实践中，我对混沌有着一些体会和心得。
首先，混沌对于探究系统的复杂性起到了重要的作用。
混沌现象的出现意味着系统的演化是非线性的、不可预测的。
这为我们理解和研究复杂系统提供了新的视角。
在物理学中，混沌现象的研究已经为我们揭示了许多自然界中的复杂现象，如天气系统中的气象变化、流体力学中的湍流现象等等。
混沌的出现使得我们不再简单地从线性的、可预测的角度去分析问题，而是需要考虑到非线性的、不可预测的因素。
其次，混沌的应用给我们的科学研究提供了新的方法和工具。
混沌现象的复杂性使得我们无法用常规的数学方法来描述和分析，因此我们需要借助于一些新的工具和数学方法。
分形理论是研究混沌现象的一种重要工具，它可以用来描述非线性系统中的自相似性。
通过分形理论，我们可以揭示出混沌现象背后的一些规律和结构。
另外，计算机模拟和数值计算也成为了研究混沌现象的重要手段。
通过计算机模拟，我们可以模拟和重现一些复杂系统的演化过程，从而深入研究混沌现象的性质和规律。
再次，混沌的应用也对我们的实际生活产生了一定的影响。
混沌的非线性和不可预测性使得我们无法准确地预测和控制系统的演化结果。
这对于一些实际问题的决策和控制带来了新的挑战。
例如，在金融市场中，由于市场的复杂性和混沌现象的存在，风险的控制和投资的决策变得更加困难。
另外，在气候预测和地震预警等领域，由于系统的复杂性和混沌性质，我们往往只能进行一些近似和概率的预测。
综上所述，混沌是一个具有重要意义和广泛应用的现象。
混沌的研究对于我们揭示和理解复杂系统的本质和规律有着重要的作用，同时也为我们提供了新的方法和工具。
在将来的研究中，我们应该进一步深入研究混沌现象的性质和规律，并将其应用于更多的领域中，为解决实际问题提供更好的方法和思路。
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混沌学是随着现代科学技术的迅猛发展，特殊是在计算机技术浮现和普遍应用的基础上发展起来的一门新兴交叉学科。
混沌学属于非线性科学的范畴，而非线性科学是近代才发展起来的、解决传统线性科学不能解决的问题的科学。
要了解混沌理论的重要性和意义，有必要回顾一下线性科学的特点及其不足。
线性是指量与量之间的正比关系；在直角坐标系里，这是用一根直线表征的关系。
近代自然科学正是从研究线性系统这种简单对象开始的。
由于人的认识的发展总是从简单事物开始的，所以在科学发展的早期，首先从线性关系来认识自然事物，较多地研究了事物间的线性相互作用，这是很自然的。
于是在经典物理学中，首先考察的是没有磨擦的理想摆，没有粘滞性的理想流体，温度梯度很小的热流等；数学家们首先研究的是线性函数、线性方程等。
理论家们在对大自然中的许多现象进行探索时，总是力求在忽略非线性因素的前提下建立起线性模型，至少是力求对非线性模型做线性化处理，用线性模型近似或者局部地代替非线性原型，或者借助于对线性过程的弱小扰动来讨论非线性效应。
经过长期的发展，在经典科学中就铸造出一套处理线性问题的行之有效的方法，例如傅立叶变换、拉普拉斯变换、传递函数、回归技术等；就是设计物理实验，也主要是做那些可以做线性分析的实验。
从这个特点看来，经典科学实质上是线性科学。
线性科学在理论研究和实际应用上都有十分光辉的发展，在自然科学和工程技术领域，对线性系统的研究都取得了很大的成绩。
线性科学的长期发展，也形成为了一种扭曲的认识或者“科学思想”，认为线性系统才是客观世界中的常规现象和本质特征，才有普遍规律，才干建立普通原理和普适方法；而非线性系统只是例外的病态现象和非本质特征，没有普遍的规律，只能作为对线性系统的扰动或者采取特殊的方法做个别处理。
由此得出结论说，线性系统才是科学探索的基本对象，线性问题才存在理论体系；所以经典科学的长期发展，都是封闭在线性现象的圈子里进行的。
然而，线性与非线性物理现象有着质的差异和不同的特征：(1)从结构上看，线性系统的基本特征是可叠加性或者可还原性，部份之和等于整体，几个因素对系统联合作用的总效应，等于各个因素单独作用效应的加和；于是描述线性系统的方程遵从叠加原理，即方程的不同解加起来仍然是方程的解；分割、求和、取极限等数学操作，都是处理线性问题的有效方法；非线性则指整体不等于部份之和，叠加原理失效。
(2)从运动形式上看，线性现象普通表现为时空中的平滑运动，可以用性能良好的函数表示，是连续的，可微的。
而非线性现象则表现为从规则运动向不规则运动的转化和跃变，带有明显的间断性、突变性。
(3)从系统对扰动和参量变化的响应来看，线性系统的响应是平缓光滑的，成比例变化；而非线性系统在一些关节点上，参量的弱小变化往往导致运动形式质的变化，浮现与外界激励有本质区别的行为，发生空间规整性有序结构的形成和维持。
正是非线性作用，才形成为了物质世界的无限多样性、丰富性、蜿蜒性、奇妙性、复杂性、多变性和演化性。
在科学还处在主要以简单关系为研究对象的阶段，线性方法曾经是十分有效的。
线性关系容易思量，容易解决，可以把它一块块地分割开进行考察，然后再一块块地拼合起来。
而非线性问题、非线性方程往往是桀骜不驯、个性很强的，很难找到普遍的解决方法，只能对具体问题做具体分析，针对个别问题的特点采取特殊的处理方法。
所以历史上虽然有过一些解非线性方程的巧妙方法，但与大量存在的非线性问题相比，只算是凤毛麟角；甚至人们一遇到非线性系统或者发现方程中的非线性项时，就想尽办法回避，或者加以舍弃，使之“线性化”。
到20 世纪60 年代以后，情况才有了改变。
由于电子计算机的广泛应用和由此发展起来的“计算物理”和“实验数学”的方法的利用，人们从研究可积系统的无穷多自由度的非线性偏微分方程中，在浅水波方程中发现了“孤子”，并得出了一套一些类型非线性方程的解法；从一些看起来不甚复杂的不可积系统的研究中，发现了确定性动力系统中存在着对初值极其敏感的混沌运动。
人们越来越明白地认识到，“大自然无情地是非线性的。
”在现实世界中，能解的、有序的线性系统才是少见的例外，非线性才是大自然的普遍特性；线性系统其实只是对少数简单非线性系统的一种理论近似，非线性才是世界的魂魄。
要真正进一步认识这个世界，必须研究非线性现象。
这样，就逐渐形成为了贯通物理学、数学、天文学、生物学、生命科学、空间科学、气象科学、环境科学等广泛领域，揭示非线性系统的共性，探讨复杂性现象的新的科学领域“非线性科学”。
每一门科学有它自己的非线性问题，并形成各自的非线性学科分支。
非线性科学不是各门非线性学科的简单综合，它研究浮现于各种具体的非线性现象中的那些共性。
这些共性有的已可以用适当的数学工具描述，表现为一些数学定律，但有的还难找到相应的数学描述，没有严格的数学理论。
非线性科学着眼于定量的规律，主要用于自然科学和工程技术，对社会科学的应用普通还局限在类比和猜测，难以有实质性的定量结果。
普通认为非线性科学应包括以下3 个主要部份：孤立波，混沌，分形。
孤立波是在传播中形状不变的单波，有些孤立波在彼此碰撞后仍能保持原形，带有粒子的性质，称为孤立子，它们在不少自然现象和工程问题中遇到，如光导纤维通信技术的改进需要对光学孤立子性质有进一步的了解。
混沌是一种由确定性规律支配却貌似无规的运动过程。
近几十年通过数值实验、物理观测和数学分析得到确认并在自然和工程系统里找到许多有趣的例子。
分形是一个几何概念，它由像云彩、海岸线、树枝、闪电等不规整但具有某种无穷嵌套自相似性的几何图形抽象概括得出。
上述3 项内容在一个具体的非线性课题里又往往是联系着的。
如耗散系统的混沌过程往往可用相空间里一个分形描述。
又如近代前沿课题图型动力学里，某一系统的整体空间图型可能是分形，而局部的时间动态又要用混沌过程刻划。
再如在分岔理论里，要考虑系统怎样由于其参量改变而导致性态发生定性的变化，它除了引用传统的平衡、振动、稳定性等概念外，也考虑涉及混沌动态和分形图型的分岔问题。
混沌行为是在确定性非线性系统中不需附加任何随机因素就可浮现的类似随机的行为。
混沌学被认为是继相对论和量子力学问世以来，上世纪物理学的第三次革命，是非线性现象的核心问题。
混沌之所以受到学术界如此广泛的重视，主要是因为在现代的物质世界中，混沌现象无处不在，大至宇宙，小至基本粒子，无不受混沌理论的支配。
如气候变化会浮现混沌，数学、物理、化学、生物、哲学、经济学、社会学、音乐、体育中也存在混沌现象。
因此科学家们认为，在现代科学中普遍存在的混沌现象，打破了不同科学间的界限，混沌科学是涉及系统总体本质的一门新兴科学。
混沌研究提出了一些新问题，它向传统的科学提出了挑战。
如“决定论非周期流”即确定性系统中有时会表现出随机行为，这一论点打破了拉普拉斯决定论的经典理论，以至于连根深蒂固的牛顿力学也受到了它的冲击。
美国数学家彭加莱(Poincare)及洛伦兹(Lorenz)的发现表明：在复杂性面前，牛顿力学也是无能为力的，从而拉开了混沌研究的序幕，使混沌的研究成果给自然科学的一些最基本概念如确定性、随机性、统计规律等注入了新的含义，进而也给一些更普遍的哲学范畴如因果、机遇等赋予了新的含义。
同时，数学中的动态系统理论、分叉理论、遍历性理论和分形几何学等都在混沌研究中起着不可替代的作用。
实际上，混沌科学的研究也表明了，现实世界是一个有序与无序相伴、确定性与随机性统一、简单与复杂一致的世界，而那种只追求有序、精确、简单的观点是不全面的。
混沌有如下基本特征：1．轨道不稳定性(非周期性) 对某些参量值，在几乎所有的初始条件下，都将产生非周期性动力学过程，即混沌运动具有轨道不稳定性。
2．对初始条件的敏感性随着时间的推移，任意挨近的各个初始条件将表现出各自独立的时间演化，即存在对初始条件的敏感依赖性。
即著名的“胡蝶效应”。
3．长期不可预测由于初始条件仅限于某个有限精度，而初始条件的弱小差异可能对以后的时间演化产生巨大的影响，因此不可能长期预测将来某一时刻之外的动力学特性。
4．具有分形的性质分形(Fractal)这个词是由曼德布罗特在70 年代创立分形几何学时所使用的一个新词。
分形几何是以非规则几何形状为研究对象的几何学。
5．遍历性遍历性也称为混杂性。
混沌的“定常状态”不是通常概念下确定性运动的三种定常状态：静止(平衡)、周期运动、准周期运动：而是一种始终限于有限区域且轨道永不重复的、性态复杂的运动。
混沌系统的表现具有复杂性。
混沌系统的表现貌似随机的，它不是周期运动，也不是准周期运动，具有良好的自相关性和低频宽带的特点。
混沌信号具有逼近于高斯白噪声的统计特性。
需要指出的是：混沌的随机性与噪声的随机性不同。
噪声的随机性自始至终均是随机的，而混沌是遵守决定性方程，在一定条件下，浮现了貌似随机性，于是这种随机与噪声有所不同。
有的称为“假随机”或者“貌似随机”。
混沌的貌似随机是由于非线性方程对初值敏感而造成的。
混沌与随机过程的区别：从现象上看，混沌运动貌似随机过程，而实际上混沌运动却与随机过程有着本质的区别。
混沌运动是由确定性的物理规律这个内在特性引起的，是源于内在特性的外在表现，因此又称确定性混沌；而随机过程则是由外部的噪音引起的。
混沌具有确定性运动的特征：无周期而有序、Feigenbaum 普适常数、有界性和对初值具有强的敏感性，这些都是随机运动所没有的。
同时，Guckenheimer 还提出了一种依据“随机运动根本不可预测而混沌运动短期可以预测，长期不可预测”的算法，用来区分两种运动。
1 ．相空间。
在连续动力学系统中，用一组一阶微分方程描述运动，以状态变量(或者状态向量)为坐标轴的空间构成系统的相空间。
系统的一个状态用相空间的一个点表示，通过该点有惟一的一条积分曲线。
2 ．流和映射。
动力学系统随时间的变化，当发生在连续时间中时，将其称之为流，其对应于相空间的一条连续轨线；当发生在离散时间中时，则称之为映射，对应于相空间中的一些离散的相点。
3 ．不动点。
若 f ( x ) = x ，则x 为 f ( x )的不动点。
若 f '(x ) < 1，则x 为 f ( x ) 的吸引不0 0 0 0 0动点；若 f '(x ) > 1 ，则x 为 f ( x ) 的排斥不动点。
吸引不动点为稳定不动点，排0 0斥不动点为不稳定不动点。
4 ．吸引子。
指相空间的这样的一个点集S (或者一个子空间)，对邻域的几乎任意一点，当t → ∞ 时，所有轨迹线均趋于S ，吸引子是稳定不动点集。
5 ．奇妙吸引子。
又称混沌吸引子，指相空间中具有分数维的吸引子的集合。
该吸引子由永不重复自身的一系列点组成，并且无论如何也不表现出任何周期性。