解析函数的高阶导数(1)
解析函数的高阶导数 ppt课件
1)2
dz
C 1 (z2e z1)2dzC 2 (z2e z1)2dz
ez
ez
C1 (z2 1)2 dz
C1
( (
z z
i i
)2 )2
dz
y
• •
(221i)!(zezi)2
(1 i)ei 2
,
zi
C1 i
o
C 2 i
C
x
同理可 C2 (得 z2ez1)2dz
(1i)ei 2
,
于是 C
z00在 z1内 , n1,
ez cosz
z 1 z2 dz
2i(ezcozs)
1!
z0
2 i[ e zcz o e s zsiz]n2i. z 0
例3 求积分 z1eznzdz. (n为整)数
解
(1)n0,
ez zn
在z
1上解,析
由柯西－古萨基本定理得
z
1
ez zn
dz
0;
(2)n1, 由柯西积分公式得
(51)!
z1
5i ; 12
(2)函(数 z2ez1)2在 C内z的 i处不, 解析 在C内以 i为中心作一个C 正 1, 向圆周
以i为中心作一个正 C2,向圆y 周
则函数ez (z21)2
在由 C,C1,C2
围成的区域, 内解析
• •
C1 i
o
C 2 i
C
x
根据复合闭路定理
C
ez (z2
二、主要定理
定理3.9
设函数 f (z)在简单闭曲 C所线围成的区 D内域
解析在 ，DDC连续，则函数 f (z)的各阶导函数
在区域 D内解析对， D内任意一z,有 点
解析函数的高阶导数
• 一．解析函数的高阶导数 • 二、解析函数的等价概念
第三章 复变函数的积分
一．解析函数的高阶导数
一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它的值可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这不同于实变函数. 一个实变函数在某一区间上可导, 它的导数在这区间 上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导数存在了.
z0 的简单闭曲线.
解 当点z0位于C的外部时， 由柯西定理得 I 0
当点z0位于C的内部时， 由高阶导数公式得
I
2i
2!
(z4
z 2 )|z
z0
i (12z 2
2)
|zz0
2i(6z02 1)
第三章 复变函数的积分
1
例5 求复积分 C (z2 1)2 dz 的值，其中Ｃ：|z|>1的正向圆周．
常遇到一种函数，称为调和函数，调和函数与解析
函数关系密切.
定义 如果二元实变函数φ (x,y) 在区域D内具有二阶
连续偏导数，
并且满足Laplace方程
2
x 2
2
y 2
0,
则称φ (x,y) 为D内的调和函数.
第三章 复变函数的积分
例1. 证明φ (x,y)= y3-3x2y 为调和函数.
证明
当n=0 时即为柯西积分公式
解
1
1
(z 2 1)2 [( z i)( z i)]2
在C内的z=±i 处不解析.
C
(z2
1 1) 2
dz
C
[( z
1 i)( z
i)]2
dz
1
1
C1
C2
y
(z C1( z
复变函数与积分变换第五版习题解答
复变函数与积分变换第五版答案目录练 习 一...............................1 练 习 二...............................3 练 习 三...............................5 练 习 四...............................8 练 习 五..............................13 练 习 六..............................16 练 习 七..............................18 练 习 八..............................21 练 习 九 (24)练 习 一1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。
（1）i iii 524321----； 解：i i i i 524321---- =i 2582516+ zk k Argz z z z ∈+====π221arctan2558258Im 2516Re（2）3)231(i + 解： 3)231(i +zk k Argz z z z e i i∈+===-=-==+=πππππ210Im 1Re 1][)3sin 3(cos 3332．将下列复数写成三角表示式。
1）i 31-解：i 31-)35sin 35(cos2ππi +=（2）i i +12解：i i+12)4sin 4(cos21ππi i +=+=3．利用复数的三角表示计算下列各式。
（1）i i2332++- 解：i i 2332++-2sin2cosππi i +==（2）422i +-解：422i +-41)]43sin 43(cos 22[ππi +=3,2,1,0]1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 28383=+++=+++=k ki k k i k ππππππ4．.设321,,z z z 三点适合条件：321z z z ++=0，,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位圆z =1的一个正三角形的项点。
柯西积分公式与高阶导数公式
dz
(n 1,2,3, ),
高阶导数公式
C z0
D
说明: 1) 解析函数具有任意阶导数；
2) f (n)(z0 ) 可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一 确定。
说明:
3)
高阶导数公式的应用: 可求积分
C
f (z) (z z0 )n1 d z
要注意: a) f(z)在简单闭曲线C及其内部解析,
进行, f (z0
则
)f2(1πzi 0C
)f (z)
z z0
1
dz.
2
i
C
f (z) (z z0 )2
dz,
(1) 解析函数是否存 在各阶导数?
f (z0 )
21
2 i C
f (z) (z z0 )3 dz,
(2) 导数运算可否在 积分号下进行?
f
(n)(z0 )
C
(
z
f
(z0z))nC1是d定Dz内,理分2.6段设光函滑数(或f可(z)求在长单)
z
z3 1 2 (z 1)4
dz
2i [z3 3!
1]
z1
C的2内i部. 区域,
则f (z)在z0处
f(n)(z0 )n!2 i
f (z) C (z z0 )n1
二、高阶导数公式
由 Cauchy积分公式 , 解析函数的积分表达式为
z0
是定D内理的2.5一个设点f (,z)C是是单任连意f通一(区z条域0含)D上z0 的在2解内1析部i函区C数域,zf(
z) z0
dz.
的分段光如滑(或果可求各长阶) Jor导dan数曲线存, 则在, 并且导数运算可在积分号下
柯西积分公式
17
至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解 析函数. 依次类推, 利用数学归纳法可证 n! f (z) ( n) f ( z0 ) dz . n 1 2i C ( z z0 )
[证毕]
z
1
ez 2 (z i) 2 dz (z i)
i
C1
y
i
2i e (1 i )e , 2 ( 2 1)! ( z i ) 2
z i
C
x
o
C2
i
22
同理可得 于是
C
2
e (1 i )e i , 2 2 dz ( z 1) 2
则 0, ( ) 0,
C
z0
D
2
当 z z0 时,
f ( z ) f ( z0 ) .
设以 z0 为中心, 半径为 R ( R ) 的正向圆周K : z z0 R全在 D内,
1 f (z) 则 | dz f ( z0 ) | C 2i z z0 1 f (z) 1 f ( z0 ) | dz dz | K K 2i z z0 2i z z0 1 f ( z ) f ( z0 ) | K dz | 2 z z0
C
z0 R
K
D
3
f ( z ) f ( z0 ) 1 ds K 2 z z0
2πR
K ds .
所以:
1 f (z) | dz f ( z0 ) | 0 C 2i z z0
[证毕]
1 f (z) f ( z0 ) dz 柯西积分公式 C 2i z z0
第二讲 柯西积分公式高阶导数
应用解析函数有任意阶导数，可以证明 柯西定理的逆定理， 莫勒拉定理：如果函数f(z)在区域D内连续， 并且对于 D 内的任一条简单闭曲线 C ，我们
有
C
f ( z )dz 0
那么f(z)在区域D内解析。
小结：本章五个定理都是为积分计 算服务
1)柯西-古萨定理用于计算闭合曲线内部无奇点 的积分。 2)高阶导数公式用于计算闭合曲线内部有一个 奇点的积分。(其中n=0就是柯西积分公式). 3)复合闭路变形原理用于化简闭合曲线内部有 多个奇点的积分。 4)只有N-L公式用于不闭合曲线积分。
定理3.9 设f(z) 在以简单闭曲线C所围成的区域D
.
内解析. 在 阶导数，且
f
( n)
D D C上连续，则f(z)在D内有任意
n! (z) 2i
f ( ) ( z )
n1
C
d ( n 1,2,3,...)
1 (注：f ( z ) 2i
f ( ) d ) C z
1 2
2
0
f ( z0 Re )d
i
说明：一个解析函数在圆心处的值 等于它在圆周上的平均值.
推论2 设 f ( z ) 在由简单闭曲线 C 1、 C 2 围成的二连通
C2在C1 区域 D内解析， 并在曲线 C1、C2上连续，
z0为D内一点，则 的内部， 1 f (z) 1 f (z) f ( z0 ) dz dz 2i C z z0 2i C z z0
f ( z )不是常数， 则在区域 D内 f z 没有最大值。
推论1在区域 D内的解析函数， 若其模在区域
D 内达到最大值，则此函数必恒等于常数.
函数的高阶导数与泰勒展开
函数的高阶导数与泰勒展开函数的高阶导数和泰勒展开是微积分中重要的概念和工具。
高阶导数描述了函数在不同阶数上的变化率，而泰勒展开则能够将一个函数近似表示为一组无穷阶的多项式。
一、函数的高阶导数函数的导数可以理解为函数变化的速率。
一阶导数描述了函数变化的一阶特征，而高阶导数则进一步描述了函数的更高阶特征。
在数学符号中，函数f的n阶导数可以表示为fn(x)，其中x为自变量。
高阶导数可以通过重复对函数进行求导得到。
例如，f的二阶导数f''(x)可以通过对一阶导数f'(x)再次求导得到。
具体而言，f''(x)是f'(x)的导数。
二、泰勒展开泰勒展开是一种将函数近似表示为多项式的方法。
它基于函数在某一点附近的导数值来构建多项式。
泰勒展开的公式如下：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，f(a)表示函数在点a处的函数值，f'(a)表示函数在点a处的一阶导数值，f''(a)表示函数在点a处的二阶导数值，以此类推。
泰勒展开可以通过截断多项式的无穷级数来得到一个有限项级数，用有限项级数逼近原函数。
在实际应用中，一般取近似项为三阶或四阶，以保证精度和计算效率。
三、函数的高阶导数与泰勒展开的应用函数的高阶导数和泰勒展开在数学和物理学中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 最值问题：通过求函数的高阶导数，可以找到函数的驻点和拐点，从而帮助解决最值问题。
例如，求一个函数在某个区间上的最大值或最小值。
2. 函数逼近：通过使用泰勒展开，可以将一个复杂的函数近似为一个简单的多项式函数，从而简化计算，并提高计算效率。
这在数值计算和数值模拟中特别有用。
3. 常微分方程：高阶导数为描述常微分方程提供了基础。
§3.6—解析函数的高阶导数
1 1 2 3 2i 1 ( z 2) z dz ( z 2) 2 3 2 dz 2 ! z ( z 2 ) C1 C2
z 0
例4
设函数 f ( z ) 在单连通域 B 内连续, 且对于
C
B 内任何一条简单闭曲线C 都有 f ( z )dz 0, 证明 f ( z ) 在 B 内解析. (莫雷拉Morera定理) 证明： 在 B 内取定一点z0 , z 为 B 内任意一点 , 依题意可知
( 3) n 1, 根据公式 f ( n ) ( z0 )
2i;
n! f (z) dz 2i C ( z z0 )n1
2i ez 2i z ( n 1 ) . (e ) n dz z 0 ( n 1)! z ( n 1)! z 1
14
§ 3.6
1 f (z) dz C 2i ( z z0 )( z z0 z )
=I
1 f (z) 1 zf ( z ) d z dz 2 2 2i C ( z z0 ) 2i C ( z z0 ) ( z z0 z )
z f ( z ) 1 1 zf ( z ) ds I dz 2 2 C 2 z z0 z z0 z 2 C ( z z0 ) ( z z0 z )
§3.6 解析函数的高阶导数
一、问题的提出 二、主要定理
三、典型例题
四、小结与思考
1
§ 3.6
一、问题的提出
解析函数的高阶导数
(1) 解析函数是否有高阶导数? (2) 若有高阶导数, 其定义和求法是否与实变函数相同? 问题的解答 (1) 解析函数有各高阶导数. (2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分
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一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高 阶导数, 它的值也可用函数在边界上的值通 过积分来表示. 这一点和实变函数完全不同. 一个实变函数在某一区间上可导, 它的导数 在这区间上是否连续也不一定,更不要说它 有高阶导数存在了.
定理 解析函数f(z)的导数仍为解析函数, 它的n阶
(n)(z)
n!
2 i
C
(
f ( )
z)n1
d
)
高阶导数公式的作用, 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分.
C
f (z) dz 2 i
(z z0 )n1
n!
f (n) (z0 )
例1 求下列积分的值, 其中C为正向圆周: | z | = r >
1.
c osz
ez
1)
C
(z
1)5
C
f (z) (z z0 )2
d
z
再利用同样的方法去求极限:
lim f (z0 Δ z) f (z0 )
Δ z0
Δz
便可得
f
(z0 )
2! 2πi
C
f (z) (z z0 )3
d
z
依此类推, 用数学归纳法可以证明:
f (n) (z0 )
n! 2πi
C
(
z
f
(z) z0 )n1
d
z
(f
f (z0
Δ z)
1 2πi
C
f (z)
z z0 Δ z d z
f (z0 Δ z) f (z0 ) 1
f (z)
dz
Δz
2 π i C (z z0 )(z z0 Δ z)
因此
1
2πi
C
f (z) (z z0 )2
dz
f (z0
Δ z) Δz
f (z0 )
1 2πi
导数为:
f
(n) (z0 )
n! 2πi
C
(z
f (z) z0 )n1
d
z
(n 1, 2,
)
其中C为在函数 f (z)的解析区域D内围绕 z0的任 何一条正向简单闭曲线, 而且它的内部全含于D.
[证] 设z0为D内任意一点, 先证n=1的情形,
即
f
(z0 )
1 2πi
C
f (z) (z z0 )2
|
1 d
,
d
z0
d
D
|
|
z z0 Δ z || z
1
2
z z0 Δ z | d
z0 ,
| |I
|Δ |
z | 1 2π
, 2 C |z
| Δ z || z0 |2|
f z
(z) | z0
d
s Δ
z
|
|
Δ
z
|
ML πd3
这就证得了当 Dz0时, I0.
这就证得了
f
(z0 )
1 2πi
1
2
| Δ z || f (z) | d s C | z z0 |2| z z0 Δ z |
f (z)在C上连续, 则有界, 设界为M, 则在C上有| f (z) |
M. d为 z0 到C上各点的最短距离, 则d/2,因此
C
|
z
z0
|
d,
|
z
1 z0
C
f (z) (z z0 )2
d
z
1 2πi
C
(z
f (z) z0 )(z z0
Δ
z)
d
z
1
Δ zf (z)
dzI
2 π i C (z z0 )2 (z z0 Δ z)
现要证当Dz0时I0, 而
| I | 1 2 π
C
Δ zf (z) d z (z z0 )2 (z z0 Δ z)
d
z
按定义
f (z0 )
lim
Δ z0
f
( z0
Δ z) Δz
f
(z0 ) ,
因此就是要证
1
f (z) d z f (z0 Δ z) f (z0 )
2 π i C (z z0 )2
Δz
在Δ z 0时也趋向于零.
按柯西积分公式有
f
(z0 )
1 2πi
C
f (z) z z0
d z.
C z
其中C: |ζ|=2,取
|z|≠2,计算
(1) f (3 5i); (2) f (1 i).
ez
2)
dz
C (z2 1)2
C1
C2
C1 CC12
C
C2
ez
ez
(z i)2 dz (z i)2 dz
C1 (z i) 2
C2 (z i)2
i
2
i
(
z
ez i)
2
z i
(z
ez i)2
zi
2 sin(1 )
4
例2 设 正向，
f (z) 3 2 6 5d ,
d
z;
2)
C
(z2
1) 2
d
z
cosz
[解] 1) 函数(z 1)5
在C内的z=1处不解析, 但c
osz在C内却是处处解析的. 由高阶导数公式，
| C
cosz
(z 1)5
dz
2i (cosz)(4)
(5 1)!
5i .
z 1
12
由多连通域Cauchy和高阶 导数Cauchy公式，可解：