解析函数的高阶导数
《高阶导数数分教案》课件
《高阶导数数分教案》课件第一章：高阶导数的基本概念1.1 高阶导数的定义引入函数的二阶导数、三阶导数等高阶导数的概念解释高阶导数在函数图像上的表现1.2 高阶导数的计算法则掌握基本函数的高阶导数公式学习高阶导数的四则运算法则举例说明高阶导数的计算过程第二章：隐函数求导2.1 隐函数的定义解释隐函数的概念，理解隐函数与显函数的区别2.2 隐函数求导法则学习隐函数求导的基本法则举例说明隐函数求导的过程2.3 隐函数求导的应用利用隐函数求导解决实际问题探讨隐函数求导在物理学、工程学等领域的应用第三章：参数方程求导3.1 参数方程的定义引入参数方程的概念，理解参数方程与普通方程的区别3.2 参数方程求导法则学习参数方程求导的基本法则举例说明参数方程求导的过程3.3 参数方程求导的应用利用参数方程求导解决实际问题探讨参数方程求导在几何学、物理学等领域的应用第四章：高阶导数在图像分析中的应用4.1 高阶导数与函数图像的关系分析高阶导数在函数图像上的表现解释高阶导数在函数图像分析中的作用4.2 利用高阶导数判断函数的极值学习利用高阶导数判断函数的极值的方法举例说明利用高阶导数判断函数极值的过程4.3 利用高阶导数研究函数的凹凸性学习利用高阶导数研究函数凹凸性的方法举例说明利用高阶导数研究函数凹凸性的过程第五章：高阶导数在实际问题中的应用5.1 高阶导数在物理学中的应用探讨高阶导数在物理学中的具体应用实例5.2 高阶导数在工程学中的应用分析高阶导数在工程学中的实际应用场景5.3 高阶导数在其他领域的应用探索高阶导数在其他领域，如经济学、生物学等中的应用第六章：高阶导数与函数逼近6.1 泰勒公式的介绍引入泰勒公式的概念，解释泰勒公式的意义展示泰勒公式的基本形式6.2 利用高阶导数求解泰勒展开式学习如何利用高阶导数求解函数的泰勒展开式举例说明求解泰勒展开式的过程6.3 泰勒展开式的应用探讨泰勒展开式在逼近实际问题中的应用分析泰勒展开式在数值计算领域的应用第七章：高阶导数与函数极限7.1 函数极限的概念回顾函数极限的基本概念，理解函数极限的意义7.2 高阶导数与函数极限的关系探讨高阶导数在函数极限过程中的作用解释高阶导数在求解函数极限时的应用7.3 利用高阶导数求解函数极限学习如何利用高阶导数求解函数极限问题举例说明求解函数极限的过程第八章：高阶导数与微分中值定理8.1 微分中值定理的介绍引入微分中值定理的概念，理解微分中值定理的意义8.2 高阶导数与罗尔定理学习罗尔定理及其与高阶导数的关系举例说明罗尔定理在高阶导数中的应用8.3 高阶导数在拉格朗日中值定理中的应用探讨高阶导数在拉格朗日中值定理中的作用解释高阶导数在拉格朗日中值定理中的应用第九章：高阶导数与泰勒公式9.1 高阶导数与泰勒公式的关系分析高阶导数与泰勒公式之间的联系解释高阶导数在泰勒公式中的应用9.2 利用高阶导数求解泰勒公式学习如何利用高阶导数求解函数的泰勒公式举例说明求解泰勒公式的过程9.3 泰勒公式在实际问题中的应用探讨泰勒公式在实际问题中的应用实例分析泰勒公式在科学研究和工程领域的应用第十章：高阶导数的综合应用10.1 高阶导数在数学分析中的应用10.2 高阶导数在其他学科中的应用探讨高阶导数在其他学科，如物理学、经济学等领域的应用10.3 高阶导数的实际意义与价值分析高阶导数在解决实际问题中的意义和价值强调高阶导数在科学研究和工程领域中的重要性重点和难点解析重点一：高阶导数的基本概念和计算法则补充说明：高阶导数是函数导数的进一步延伸，理解高阶导数的概念对于掌握函数图像的凹凸性和拐点等性质至关重要。
《高阶导数数分教案》课件
《高阶导数数分教案》课件一、教学目标1. 理解高阶导数的定义和性质。
2. 学会计算常见函数的高阶导数。
3. 掌握高阶导数在实际问题中的应用。
二、教学内容1. 高阶导数的定义：二阶导数、三阶导数等。
2. 高阶导数的计算法则：和的导数、乘积的导数、商的导数等。
3. 高阶导数的性质：单调性、极值、拐点等。
三、教学重点与难点1. 重点：高阶导数的定义和计算法则。
2. 难点：高阶导数的性质的理解和应用。
四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解高阶导数的定义和性质。
2. 采用案例教学法，让学生通过计算具体函数的高阶导数，加深对高阶导数计算法则的理解。
3. 采用问题驱动法，引导学生运用高阶导数解决实际问题。
五、教学过程1. 导入：回顾一阶导数的定义和计算法则，引导学生思考高阶导数的概念。
2. 新课：讲解高阶导数的定义，引导学生理解二阶导数、三阶导数等概念。
3. 案例分析：计算常见函数的二阶导数、三阶导数，让学生掌握高阶导数的计算法则。
4. 性质讲解：讲解高阶导数的单调性、极值、拐点等性质，引导学生理解高阶导数在实际问题中的应用。
5. 问题解决：布置练习题，让学生运用高阶导数解决实际问题。
7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学内容。
六、教学活动设计1. 互动提问：在讲解高阶导数之前，先回顾一阶导数的概念和计算方法，通过提问方式检查学生对一阶导数的掌握情况。
2. 小组讨论：让学生分组讨论高阶导数的定义，每组提出自己的理解和观点，促进学生之间的交流和思考。
3. 实例分析：选取几个具体函数，让学生计算其二阶导数和三阶导数，通过实际操作加深对高阶导数概念的理解。
七、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和提问情况，评估学生对高阶导数的理解和掌握程度。
2. 练习题完成情况：检查学生完成课后练习题的情况，评估学生对高阶导数计算法则和性质的应用能力。
3. 小组讨论报告：评估学生在小组讨论中的表现，包括观点提出、交流和合作能力。
柯西积分公式与高阶导数公式
dz
(n 1,2,3, ),
高阶导数公式
C z0
D
说明: 1) 解析函数具有任意阶导数；
2) f (n)(z0 ) 可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一 确定。
说明:
3)
高阶导数公式的应用: 可求积分
C
f (z) (z z0 )n1 d z
要注意: a) f(z)在简单闭曲线C及其内部解析,
进行, f (z0
则
)f2(1πzi 0C
)f (z)
z z0
1
dz.
2
i
C
f (z) (z z0 )2
dz,
(1) 解析函数是否存 在各阶导数?
f (z0 )
21
2 i C
f (z) (z z0 )3 dz,
(2) 导数运算可否在 积分号下进行?
f
(n)(z0 )
C
(
z
f
(z0z))nC1是d定Dz内,理分2.6段设光函滑数(或f可(z)求在长单)
z
z3 1 2 (z 1)4
dz
2i [z3 3!
1]
z1
C的2内i部. 区域,
则f (z)在z0处
f(n)(z0 )n!2 i
f (z) C (z z0 )n1
二、高阶导数公式
由 Cauchy积分公式 , 解析函数的积分表达式为
z0
是定D内理的2.5一个设点f (,z)C是是单任连意f通一(区z条域0含)D上z0 的在2解内1析部i函区C数域,zf(
z) z0
dz.
的分段光如滑(或果可求各长阶) Jor导dan数曲线存, 则在, 并且导数运算可在积分号下
复变函数3-4
z z z
打洞!
C
பைடு நூலகம்
i C1 C -i 2 x
o
9
C1
ez ez ( z i)2 ( z i)2 dz dz 2 2 C2 ( z i ) ( z i)
z
2i e 2 (2 1)! ( z i )
z i
2
2i e 2 (2 1)! ( z i ) y
d 1 2 z z 0 z z z 0 z 2 z z 0 z d
z0
d
z
C
D
6
1 I 2
z f ( z ) z z 0 z z z 0
2
C
2
ds
1 I z 2
z 0
21 M ds z 3 C M d d d 显然， lim I 0, 从而有
f ( z0 z ) f ( z0 ) 1 f ( z) f ' ( z0 ) lim dz 2 z 0 z 2i C ( z z0 ) 依次类推，用数学归纳法可得
n! f ( z) f ( z0 ) dz n 1 2i C ( z z0 ) 用途 : 利用它计算积分.
z f ( z ) z z0 z z z0
2
C
ds
0
5
f ( z )在C上解析 f ( z )在C上连续 M 0, 1 f ( z ) M .定义d min z z0 , 且取 z d , 则有 zC 2
z z0 d
1 1 . z z0 d
08.(40)高阶导数公式与调和函数
C f ( z ) d z 0.
定理1 如果函数 f (z ) 在单连通区域 D内解析，那么 积分 C f ( z ) d z与连接起点与终点的路线无关. Theorem2. If a function f is analytic at all points interior to and on a simple closed contour C, then
NUDT
第三章 复变函数的积分
§1 §2 复变函数积分的概念 柯西—古萨（Cauchy-Goursat）基本定理
§3
§4 §5 §6 §7
复合闭路定理
原函数与不定积分 柯西积分公式 解析函数的高阶导数 解析函数与调和函数的关系
NUDT
上次课主要内容的回顾
定理（Cauchy-Goursat基本定理）设函数 f (z ) 在单连 C 通区域 D 内解析， 为 D 内的闭曲线，则 f (z ) 在C上的 积分等于零，即
NUDT
§6 解析函数的高阶导数
Morera定理 设 f (z ) 在单连通区域 B 内连续，且对于B 内的任何简单闭曲线 C ，有
数学三导数知识点总结
数学三导数知识点总结导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
在数学三中，导数的概念得到了进一步的发展，涉及到高阶导数、隐函数求导、参数方程求导等内容。
本文将对数学三中的导数知识点进行总结，希望能帮助学生对这一部分知识有一个更加清晰的理解。
一、高阶导数在数学三中，我们首先要了解高阶导数的概念。
高阶导数是指对一个函数进行多次求导得到的导数。
对于一个函数f(x)，它的n阶导数表示为f^(n)(x)，其中n是一个正整数。
高阶导数的计算通常是通过多次应用链式法则和求导法则来完成的。
高阶导数有很多重要的应用，比如在物理学中，高阶导数可以用来描述速度、加速度等物理量的变化情况；在工程学中，高阶导数可以用来描述系统的动态响应特性。
因此，学习高阶导数的概念和计算方法对于理解和应用微积分是非常重要的。
二、隐函数求导在数学三中，我们还要了解隐函数求导的概念和方法。
所谓隐函数，是指在一个方程式中，由于表达式中没有显式地表示出y，而只表示出x和y的关系。
在实际应用中，有很多情况下，我们遇到的函数并不是显式的解析函数，而是通过方程式隐含表示的。
这时就需要用到隐函数求导的方法。
隐函数求导的基本思想是将所有含有y的项看作y的函数，对x求导时，使用链式法则。
具体的求导方法会依赖于具体的方程形式，可能需要一些技巧和方法来将隐函数表示成显式函数，然后再进行求导。
因此，隐函数求导的过程可能会比较复杂，需要加强练习和理解。
三、参数方程求导参数方程是一种用参数表示的曲线方程，常见于微积分和几何学中。
在数学三中，我们也需要了解如何对参数方程进行求导。
参数方程求导的基本思路是将参数方程中的参数视为自变量，对参数方程进行求导，最后得到关于参数的导数表达式。
参数方程求导的关键是要正确理解参数方程的意义和特性，灵活运用导数的定义和求导法则。
在求导的过程中，可能会需要使用到参数的不同形式，比如用极坐标、直角坐标等进行表示，或者进行一些变换和替换来简化计算。
解析函数与调和函数的关系
定义 2：对于给定的调和函数 u(x, y) ，把使 u iv 构成解
析函数的调和函数 v(x, y) 称为 u(x, y) 的共轭调和函数。 注：解析函数的虚部是实部的共轭调和函数。但是，一
解析函数 f (z) 。 例 5：用不定积分法求例 2 中的 f (z) 。 例 6：已知 u v (x y)(x2 4xy y2 ) 2(x y) ，试
确定解析函数 f (z) u iv 。
般来说，解析函数的实部不是虚部的共轭调和函数。 3.如何求解析函数
问题：如给定实部（或虚部），如何选择虚部（或实部）， 使 f (z) u iv 解析？
1)偏积分法
------如果已知调和函数 u ，可利用条件，求它的共轭调
和函数 v ，以构成解析函数。
例 1：证明： u y3 3x2 y 为调和函数，并求其共轭调和
2.4解析函数与调和函数的关系
设 f (z) u(x, y) iv(x, y) 在区域 E 上解析，由 C R 条件，
解析函数的高阶导数定理即得在 E 上有
2u x2
2u y 2
0及
2v x2
2v y 2
0
一、调和函数
定义 1：若二元实函数(x, y) 在区域 E 内具有连续的二
f (z) f (z)dz U(z)dz c ---适用于已知 u ，求 v 。 f (z) f (z)dz V (z)dz c ---适用于已知 v ，求 u 。
第二章第四讲高阶导数与隐函数求导参数方程求导36页PPT
26.04.2020
泰山医学院信息工程学院 刘照军
1
3.f(x)在x处有n阶导数，那么 f (n1)(x)在x的某一邻域内必 定具有一切低于n阶的导数；二阶及二阶以上的导数统称 高阶导数
4.问题：如何求函数的高阶导数？ 一步一步来，利用已知函数的一阶导数公式及运算法则
高阶导数应用举例 例1 y=ax+b, 求 y 解 ya,y0
例2 ssint,求s
解 sco t,s2sitn
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2
2、应用
例3 证明:函数 y 2xx2 满足关系式
y3y10
证 将 y 2xx2 求导,得
y 22x 1x ,
22xx2 2xx2
2xx2(1x) 22x
y
2 2xx2 2xx2
2 x x 2 (1 x )2 (2x x)2 2x x2
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4
解 ysinx,
ycoxssinx ( ),
ycox s()s2ix n ()
2
22
si nx( 2 ),
2
ycox s2()six n 3 (),
2
2
y(4)cox s3()six n 4 (),
2
2
一般地,可得
y(n) sinx(n),
即
(sixn )(n) coxs2(n).
重点：隐含数、参数方程求导方法
难点：隐含数、参数方程求导方法的应用，对
数求导法的应用。特别注意参数方程的高阶导 数的求法。
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• 一．解析函数的高阶导数 • 二、解析函数的等价概念
第三章 复变函数的积分
一．解析函数的高阶导数
一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它的值可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这不同于实变函数. 一个实变函数在某一区间上可导, 它的导数在这区间 上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导数存在了.
z0 的简单闭曲线.
解 当点z0位于C的外部时， 由柯西定理得 I 0
当点z0位于C的内部时， 由高阶导数公式得
I
2i
2!
(z4
z 2 )|z
z0
i (12z 2
2)
|zz0
2i(6z02 1)
第三章 复变函数的积分
1
例5 求复积分 C (z2 1)2 dz 的值，其中Ｃ：|z|>1的正向圆周．
常遇到一种函数，称为调和函数，调和函数与解析
函数关系密切.
定义 如果二元实变函数φ (x,y) 在区域D内具有二阶
连续偏导数，
并且满足Laplace方程
2
x 2
2
y 2
0,
则称φ (x,y) 为D内的调和函数.
第三章 复变函数的积分
例1. 证明φ (x,y)= y3-3x2y 为调和函数.
证明
当n=0 时即为柯西积分公式
解
1
1
(z 2 1)2 [( z i)( z i)]2
在C内的z=±i 处不解析.
C
(z2
1 1) 2
dz
C
[( z
1 i)( z
i)]2
dz
1
1
C1
C2
y
(z C1( z
ii))22dz
(z (z
ii))22dz
C2
2i
1!
(
z
1 i)2
z
i
2i
1!
(z
1 i)2
z
i
C
i C1
o
x
-i C2
2i
(
2 z i)3
z i
2 (z i)3
z
0
i
第三章 复变函数的积分
二、解析函数的等价概念
莫累拉(Morera)定理
定理2 在单连通区域D内 f(z)连续，若对D内任意一条
闭曲线C都有 f (z)dz 0 ，则在D内f(z)解析.
C
莫累拉定理连同柯西定理组成解析函数的一个等价概念.
6xy ,
x
3y2 3x2 ,
y
2
x2 6 y ,
2
y 2
6y
,
2 2
x2 y2 0
所以φ(x,y)= y3-3x2y 为调和函数.
2. 解析函数与调和函数的关系
定理1 任何在区域D内解析的函数，它的实部和虚部都是 D内的调和函数.
第三章 复变函数的积分
证明 设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内解析，则
z
1
2
z
1
2i
1 (z 2)2
2i
z 1 9
第三章 复变函数的积分
例3
求复积分I
|z|2
(
sin z z 1)3
dz 的值.
解
I
2i
2!
(sin z)
z 1 i ( sin z) |z1
i sin1
例4
求复积分
I
z4 z2 dz C (z z0 )3
的值，其中C是不通过
?
即
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz 与
f
(z0 )
的关系如何？
高阶导数公式
第三章 复变函数的积分
定理1 设解析函数 f(z) 的导数仍为解析函数， 它的n阶
导数为
f
(n) (z0 )
n!
2i
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
(n 1,2,3,...)
或
C
f (z) (z z0 )n1
dz
z0
封闭曲 线积分
1.柯西-古萨基本定理 C f (z)dz 0
2.
1 dz 2i , z0在C的内部
C z z0
0 , z0在C的外部
n
3.复合闭路定理 f (z)dz
f (z)dz
c
i1 ci
4.柯西积分公式
C
f (z) z z0
dz
2if
( z0 )
5.高阶导数公式
f (z) C (z z0 )n1
得 g( y) 1, 因此 g( y) y c zez (1 i)z c c为任意实数.
c为e任z 意e实x数iy .
所以 u ex (x cos y y sin y) x y c 由 f (0) = 0 得 c=0
ex (cos y i sin y)
所以 f (z) zez (1 i)z
所以 f (z) [ez zez (1 i)]dz
ez (z 1)ez (1 i)z c zez (1 i)z c 其中c为任意实数.
复变函数的积分
曲线积分
参数方程求积分C f (z)d z f [z(t)]z(t)dt
原函数求积分
z1
f (z)dz F(z1 ) F(z0 )
第三章 复变函数的积分 （2）不定积分法
由于解析函数 f (z) =u+iv 的导数 f (z) 仍为解析函数，
且 f (z) ux ivx ux iuy vy ivx 把ux iuy与 vy ivx 还原成 z 的函数，得
f (z) ux iuy U (z) , f (z) vy ivx V (z)
第三章 复变函数的积分
C
dz (z z0 )n1
2 i
0
n0 n0
（1）f(z) 为解析函数，且n=0时
C
f (z) z z0
dz 2if (z0 ) 或
1
2i C
f (z) z z0
dz
f (z0)
柯西积分公式
（2）f(z) 为解析函数，且n≠0时
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
2i
n!
f
(n) (z0 )
其中C为在函数f(z)的解析区域D内围绕 z0 的任何一条 正向简单闭曲线， 而且它的内部全含于D.
注：高阶导数公式的作用，不在于通过积分来求导数，
而是通过求导数来求积分.
第三章 复变函数的积分
例1
求复积分
I
|z|3
(z
ez 2)4
dz
的值.
解 由公式
C
f (z) (z z0 )n1
dz
2i
n!
f
(n) (z0 )
I
|z|3
(z
ez 2)4
dz
2i
3!
(ez
)
z 2
i e2
3
1
例2 求复积分 I C (z 2)( z 1)2 dz 的值，其中C:
|z+1|=r<2 的正向圆周.
解 z=2是解析点，此时 f (z) 1
1
z2
I
C
z2 (z 1)
2dz
2i
1!
3xuy2x63xyc, v
3xx2
y
x i(3xy2
x3
=
-36xx2yy得i2 v3xy
6xydy 2i x3i
u y
3x2
z x iy
3y2 (, x iy)3
c) 3xy
2x3
3x2 g(x)
yi
3xy
ci
2i
2
i3
y3
再由 yv3xi433xy2 y2 i2 g3(xxy) 2i3uxy3i3cxi2 3y2
定理2 f(z) =u+iv解析的充要条件为：虚部v为实部u的
共轭调和函数.
第三章 复变函数的积分
2.已知调和函数 u 或 v 求解析函数 f (z) 的方法
（1）偏积分法 例1. 求函数u(x,y)= y3-3x2y 的共轭调和函数v ,并求u, v组
成的解析函数f(z) =u+iv.
f
v解(x, y)v (z) yy3 由vy =yu3ix4
在单连通域D内 f (z)为解析函数的充要条件是：
在D内f(z)连续，且对D内任意一条闭曲线C都有
f (z)dz 0
C
第六节 解析函数与调和函数
• 一．调和函பைடு நூலகம்的概念 • 二、共轭调和函数
第三章 复变函数的积分
一、 调和函数的概念
1.调和函数的定义
在流体力学、电磁学等领域的许多实际问题中，经
得 ig(x(3x) 3x32xy2i 3xy2gi2(x)i3 yx33) cic c为任意实数. 所以i(x viy(x)3, y)ic 3ixzy32icx3 c
f (z) iz3 ic
第三章 复变函数的积分
例2. 已知一调和函数 v= ex (ycosy + xsiny)+x +y，求一解
f (z) vy ivx = ex (cosy -ysiny+ xcosy)+1+i[ex (ycosy +xsiny+ siny)+1] = ex (cosy+ isiny) +ex (x+iy)cosy+iex (x+iy)siny + (1+i) = ex+iy +ex (x+iy)[cosy+isiny]+ (1+i) = ex+iy +ex+iy (x+iy) + (1+i) = ez+ zez+ (1+i)