复合函数求导高阶导数
复合导数的求导
复合导数的求导
复合函数指的是由两个或多个函数构成的函数，例如f（x）= g（h（x））就是一个复合函数。
对于复合函数的求导，我们需要运用链式法则。
链式法则：如果y = f（g（x）），那么y的导数可以表示为dy/dx = dg/dx * df/dg。
换句话说，链式法则告诉我们，如果y是由两个或多个函数g和f组合而成的，那么y 的导数可以通过对每个函数执行单独的导数计算，然后将它们相乘得到。
二、复合函数的高阶导数
复合函数的高阶导数可以通过重复应用链式法则来计算。
首先，我们需要计算的是一阶导数，然后再利用这一阶导数计算二阶导数，以此类推。
然后，二阶导数可以计算如下：
y'' = f''（g（x））* g'（x）^2 + f'（g（x））* g''（x）
依此类推，我们可以计算出更高阶的导数。
三、复合函数的实例
下面通过一个实例来演示如何求解复合函数的导数。
例： y = e^(x^2-1)
首先，我们需要将y表示为复合函数，其中一个函数为g（x）= x^2 – 1，另一个函数为f（x）= e^x。
然后，我们需要分别计算出g（x）和f（x）的导数，并带入链式法则公式中来计算y 对x的导数：
g’（x）=2x
f’（x）=e^x
因此，y对x的导数为2xe^(x^2-1)。
接下来，我们可以通过重复应用链式法则来计算复合函数的高阶导数。
例如，我们想求解y对x的二阶导数，可以进行如下计算：
y'' = 2e^(x^2-1) + 4xe^(x^2-1)
四、总结。
7-4 多元复合函数求导
多元复合函数的高阶导数 注意： 注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 验证解的问题中经常遇到 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的高阶导数求导技巧与常用导数符号. 这方面问题的高阶导数求导技巧与常用导数符号 高阶导数求导技巧与常用导数符号
例. 设
f 具有二阶连续偏导数 具有二阶连续偏导数,
所以 例1 . z = sinucos v, u = x y, v = x y , 求 ∂z , ∂z . ∂x ∂y
例
都可微， 设函数 z = f ( u, x , y ), u = ϕ ( x , y ) 都可微，
求复合函数 z = f (ϕ ( x , y ), x , y), u = ϕ ( x , y ) 的偏导数 .
∂z dz ∂u = ⋅ , 有公式(2) 则有公式 ∂ x du ∂x
∂z dz ∂u = ⋅ ∂ y du ∂y
又如 z = f ( u, v , w ) , u = ϕ ( x , y ) , v = ψ ( x , y ), w = τ ( x , y )
∂ z ∂ z ∂u ∂ z ∂ v ∂z ∂w , = ⋅ + + ⋅ 则有公式(3) 则有公式 ∂ x ∂u ∂x ∂ v ∂ x ∂w ∂ x
解: dz = d(sin ucos v)
+ sinudcos v
= cos(xy)cos x ( ydx + xdy)
y
= [ y cos( xy ) cos x -yx
y
y −1
sin( xy )sinx ]dx
y
+ [ x cos( xy ) cos x y -x y lnxsin( xy )sinx y ]dy
常用高阶导数公式
常用高阶导数公式1. 常数函数的高阶导数：任何常数函数的高阶导数都是0。
例如，f(x) = c（c为常数），则 f'(x) = f''(x) = f'''(x) = = 0。
2. 幂函数的高阶导数：对于幂函数 f(x) = x^n，其n阶导数为f^n(x) = n! / (n k)! x^(n k)，其中k为导数的阶数，n!表示n的阶乘。
3. 指数函数的高阶导数：对于指数函数 f(x) = a^x，其中a为常数，其n阶导数为 f^n(x) = a^x ln(a)^n。
4. 对数函数的高阶导数：对于对数函数 f(x) = ln(x)，其n阶导数为 f^n(x) = (1)^(n1) (n1)! / x^n。
5. 三角函数的高阶导数：对于三角函数 f(x) = sin(x) 或 f(x) = cos(x)，其n阶导数可以表示为 f^n(x) = (1)^(n/2) sin(x +nπ/2) 或f^n(x) = (1)^(n/2) cos(x + nπ/2)。
这些常用的高阶导数公式可以帮助我们在求解函数的高阶导数时更加简便和快速。
在实际应用中，这些公式经常被用于求解物理、工程、经济等领域中的问题。
掌握这些高阶导数公式对于深入理解和应用微积分知识至关重要。
常用高阶导数公式6. 反三角函数的高阶导数：对于反三角函数 f(x) = arcsin(x)或 f(x) = arccos(x)，其n阶导数可以表示为 f^n(x) = (1)^(n1) (n1)! / (1 x^2)^(n/2)。
7. 指数函数的复合函数的高阶导数：对于指数函数的复合函数f(x) = a^(g(x))，其中a为常数，g(x)为可导函数，其n阶导数可以表示为 f^n(x) = a^(g(x)) (ln(a))^n g'(x) g''(x) g^n(x)。
8. 对数函数的复合函数的高阶导数：对于对数函数的复合函数f(x) = ln(g(x))，其中g(x)为可导函数，其n阶导数可以表示为f^n(x) = (1)^(n1) (n1)! / g(x)^n g'(x) g''(x) g^n(x)。
复合函数求高阶导数
复合函数求高阶导数复合函数是指由两个或多个函数组合而成的函数，它在微积分中有着广泛的应用。
在求复合函数的高阶导数时，我们可以采用链式法则来简化求导过程。
链式法则指出，如果 $y$ 是一个由 $u$ 和 $v$ 两个函数组合而成的函数，即 $y=f(u)$，其中 $u=g(x)$ 和 $v=h(u)$，那么$y$ 对 $x$ 的导数可以表示为：$$frac{dy}{dx}=frac{dy}{du}cdotfrac{du}{dx}$$其中，$frac{dy}{du}$ 表示 $y$ 对 $u$ 的导数，$frac{du}{dx}$ 表示 $u$ 对 $x$ 的导数。
这个公式可以推广到求高阶导数的情况。
例如，如果我们要求 $y$ 对 $x$ 的二阶导数，即$frac{d^2y}{dx^2}$，那么可以先求出 $frac{dy}{dx}$，再对其求导：$$frac{d^2y}{dx^2}=frac{d}{dx}left(frac{dy}{dx}right)=frac{d} {du}left(frac{dy}{dx}right)cdotfrac{du}{dx}$$其中，$frac{d}{du}$ 表示对 $u$ 求导。
同理，我们可以继续求得 $y$ 对 $x$ 的任意阶导数。
需要注意的是，在复合函数求导的过程中，我们要先对内层函数求导，再对外层函数求导。
具体来说，如果 $y=f(u)$，$u=g(x)$，$v=h(u)$，那么 $y$ 对 $x$ 的导数可以表示为：$$frac{dy}{dx}=frac{dy}{du}cdotfrac{du}{dx}=frac{df}{du}cdotf rac{dg}{dx}$$而 $y$ 对 $x$ 的二阶导数则可以表示为：$$frac{d^2y}{dx^2}=frac{d}{dx}left(frac{dy}{dx}right)=frac{d} {du}left(frac{dy}{dx}right)cdotfrac{du}{dx}=frac{d}{du}left (frac{df}{du}cdotfrac{dg}{dx}right)cdotfrac{du}{dx}=frac{d^ 2f}{du^2}cdotleft(frac{dg}{dx}right)^2+frac{df}{du}cdotfrac {d^2g}{dx^2}$$其中，$frac{d^2f}{du^2}$ 表示 $f$ 对 $u$ 的二阶导数，$frac{d^2g}{dx^2}$ 表示 $g$ 对 $x$ 的二阶导数。
7(4)多元复合函数的求导法则
多元复合函数的求导法则
三、全微分形式不变性
设函数 z f ( u, v ) 具有连续偏导数, 则有 z z 全微分 dz du dv; u v 当u ( x , y ), v ( x , y )时, 则有全微分 z z dz dx dy , x y z vv v z z zu u u z z vu dx dy dx dy y ux u y v v y x u v xy x z z du d v . u v
z z u z v z z u z v z , . x u x v x y u y v y
u x v y
8
多元复合函数的求导法则
4. z f [u, v, w)], u ( x, y), v ( x, y), w ( x, y )
纯偏导
z 2 z z 2 z f yx ( x , y ) f xy ( x , y ), x y xy y x yx
混合偏导 定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为 高阶偏导数.
16
多元复合函数的求导法则
11
多元复合函数的求导法则
思考题解答
f ( tx , ty , tz ) t k f ( x , y , z )
k f ( tx , ty , tz ) t f ( x, y, z ) 令 u tx , v ty , w tz , 则
k f ( u , v , w ) t f ( x , y , z ), 两边对t求导,得 f u f v f w kt k 1 f ( x , y , z ) u t v t w t f f f t kt k 1 f ( x , y , z ) t x t y t z u v w k t k f ( x , y , z ) kf ( u, v , w ) f f f z) u kf (x u, y v, w x y v w z y z v u w x f f f (C ) x y z kf ( x , y , z ); x y z
复合导数求导公式
复合导数求导公式导数是微积分中的重要概念之一，用于描述函数在某一点的变化率。
在计算导数时，我们经常需要使用复合函数，即一个函数作为另一个函数的输入。
复合导数求导公式是用于计算复合函数导数的工具。
在复合函数中，由于函数之间存在依赖关系，因此需要使用链式法则来计算复合导数。
链式法则是指导数的乘积规则，它告诉我们如何计算复合函数的导数。
设有函数f(x)和g(x)，其中g(x)是f(x)的内函数。
如果g(x)是可导的，且f(x)在x点可导，则复合函数F(x) = f[g(x)]在x点的导数可以由链式法则得到：F'(x) = f'[g(x)] · g'(x)其中，f'(x)表示f(x)的导数，g'(x)表示g(x)的导数。
这个公式告诉我们，当我们要计算复合函数在某一点的导数时，首先需要计算外函数的导数，然后乘以内函数的导数。
通过这个公式，我们可以计算各种复合函数的导数。
下面将介绍一些常见的例子。
1. 复合函数的求导假设我们要求函数F(x) = (3x^2 + 2x)^3的导数。
首先，我们可以将F(x)表示为复合函数，f(g(x))的形式，其中f(x) = x^3，g(x) = 3x^2 + 2x。
根据链式法则公式，我们可以得到：F'(x) = f'[g(x)] · g'(x)f'(x) = 3x^2 的导数为 6x，g'(x) = (3x^2 + 2x)的导数为 6x + 2。
将这些结果代入公式，我们可以得到复合函数F(x)的导数：F'(x) = 6x · (6x + 2)通过化简运算，我们最终得到F(x)的导数为：F'(x) = 36x^2 + 12x2. 链式法则的推广上述例子介绍了链式法则的基本形式，但实际上，链式法则还可以推广到更高阶的复合函数。
例如，假设我们有一个三次复合函数F(x) = [f(g(h(x)))]^2，其中f(x)，g(x)，h(x)分别为函数。
复合函数高阶导数
复合函数高阶导数复合函数是高等数学中一个很常见的概念，在微积分中更是有着广泛的应用。
复合函数的高阶导数是复合函数和其所有导数的组合，对于深入理解和应用复合函数有非常重要的意义。
复合函数的定义是：设y=f(u)，u=g(x)，则复合函数h(x)=f[g(x)]。
在下面的讨论中我们设y=f(u)，u=g(x)，v=f'(u)，w=g'(x)。
我们先计算h'(x)，即h(x)的一阶导数：h'(x)=f'[g(x)]g'(x)这个式子非常重要，它告诉我们复合函数的一阶导数是由内函数的导数和外函数的导数共同推导出来的。
但是，如果我们想求复合函数的二阶导数，该怎么做呢？我们先对h'(x)做一次求导，得到：h''(x)=f''[g(x)]g'(x)^2+f'[g(x)]g''(x)这个式子告诉我们复合函数的二阶导数是由内函数的两阶导数和外函数的一阶和二阶导数共同推导出来的。
接下来，如果我们要计算复合函数的三阶导数，我们就要对h''(x)再做一次求导，得到：h'''(x)=f'''[g(x)]g'(x)^3+3f''[g(x)]g'(x)g''(x)+f'[g(x)]g'''(x)这个式子告诉我们复合函数的三阶导数是由内函数的三阶导数和外函数的一阶、二阶、三阶导数共同推导出来的。
可以看出，随着阶数的增加，复合函数的高阶导数的计算将变得越来越复杂。
当然，如果我们遇到某些特殊函数的复合，高阶导数的计算会变得相对简单。
例如，对于指数函数和对数函数的复合，即f(u)=e^u，g(x)=ln x，则复合函数为h(x)=e^(ln x)=x。
对于这种情况，由于一次求导后，复合函数的结果就只有常数，所以高阶导数均为0。
2,复合函数求导法则与高阶导数
e 求lim
y→ y→0
sin(x+ y )
2 2
−e
sinx
2
y
2
复习题
1, 复习基本初等函数求导 公式 2，已知f ′( x0 )存在，指出下列极限的 意义 f ( x0 + 2h) − f ( x0 ) 1 （） 1 lim (2) lim h[ f ( x0 + ) − f ( x0 )] h→0 h→∞ h h 3, y = e x (4 sin x + 3 ln x + e)求y′
二、高阶导数
仍可导， 设f ( x )的导函数f ' ( x )仍可导，则称其导数为原来函数 y = f ( x )的二阶导数，记为 的二阶导数， y′′, f ′′( x ), d2y dx 2
dy d( ) 2 d y '' ' dx = d ( dy ) 即 f ( x) = [ f ( x)] , = 2 dx dx dx dx
( n −1 )
d y d d y ( x )], ( n −1 ) = n dx dx dx
n
n −1
二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数
• 莱布尼兹公式
(uv)
(n)
= ∑c u v
k =0 k n
n
( k ) ( n−k )
y = e cos x 求y
x
( 4)
1, y = 4x + 2x +5求 y
3 2
(n)
2, y = 3x + 6,求 y
(8) 2
(10)Biblioteka 3, y = ex 求 y(n) 5, y = sinx 求 y
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(1)n1
(n 1)!
(1 x)n
规定 0 ! = 1
思考:
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例4. 设
求
解:
y
cos x
sin(x
2
)
y
cos(
x
2
)
sin(x
2
2
)
sin(x
2
2
)
y
cos( x
2
2
)
sin(x
3
2
)
一般地 ,
(sin
x)(n)
sin( x
n
2
)
类似可证:
(cos
x)(n)
cos(
解 dy = 10(x2 - 1)9 (x2 - 1) dx
= 10(x2 - 1)9 2x
这一步可省略。
= 20x(x2 - 1)9
1
例9
求函数 y = e x
-
e
x
2
的导数。
1
y = (e x ) - (e x2 )
1
= ex(
-1 x2
) - 2xe x2
=
-1 x2
1
ex
- 2xe x2
所以 k = f (0) = 3 这样所求切线方程为
16
y - 1 = 3 (x - 0) 8 16
即 16y - 3x = 2
第三节 高阶导数
第二章
一、高阶导数的概念 二、高阶导数的运算法则
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一、高阶导数的概念
引例：变速直线运动 速度
即 v s
加速度
即
a (s)
x
n
2
)
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二、高阶导数的运算法则
设函数
及
都有 n 阶导数 , 则
(C为常数) n(n 1) 2!
n(n 1)(n k 1) k!
莱布尼兹(Leibniz) 公式
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例7.
求
解: 设 u e2x , v x2 , 则
u(k) 2k e2x ( k 1 , 2 ,, 20 )
1、引例 (1) 求 y = e2x 的导数
猜 已知 (e x，)则= e x (e2x ) = e2x ?
解 ： 因为e2x = e x e,x则 (e2x ) = (e x )e x + e x (e x )
= e x e x + e x e x = e2x + e2x = 2e2x 解1是错误的。y = e2x 是复合函数。
=2cosx (-sinx) = -sin2x 例7 求 y = sin(1 + x3 ) 的导数
解: y = cos(1 + x3 )(1 + x 3 )
= 3x2cos(1 + x3 )
例5. 设
求
解:
1 cos(e
x
)
(sin(ex )) ex
ex tan(ex )
思考: 若
存在 , 如何求 f (ln cos(ex )) 的导数?
直接套用基本初等函数求导公式 求复合函数的导数是不行的。
2、法则
定理3.7 设 u = f(x)关于 x 可导，y = g(u) 关于 u 可 导，则由 u = f(x)，y = g(u)复合而成的 y = g(f(x)) 关 于 x 可导，且有
dy dx
=
dy du 或
du dx
yx
=
yu .ux
设
y eax, 求 y(n).
解: y aeax , y a2 eax , y a3eax , ,
y(n) aneax
特别有: (ex )(n) e x
例3. 设
求
y 1 1 x
y
1 (1 x)2
解:
y 1 , 1 x
y
1 (1 x)2
,
y
(1)2
1 (1
2 x)3
,
,
y(n)
链式法则
如：求 y = e2x 的导数， 令y = eu ,u = 2x ，
于是 yx = yu ux = (eu )u (2x)x
= eu 2 = 2e2x
例1 求 f(x) = sin5x 的导数
解：设 y = sinu,u = 5x f (x) = yx = yu ux = sinuu (5x)x
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定义. 若函数 y f (x) 的导数 y f (x) 可导, 则称
的导数为 f (x) 的二阶导数 , 记作 或
即
y ( y)
或
d2 y d x2
d (dy) d x dx
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,
n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
或
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例1. 设
求
解: y a1 2a2 x 3a3x2 nan xn1 y 2 1a2 3 2a3x n(n 1)an xn2
依次类推 , 可得
y(n) n!an
思考: 设 y x ( 为任意常数), 问
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例2.
所以 yx' = yu' ux' = eu sec2 x = etanx sec2 x
练习 2、求函数 y = lnsinx 的导数
解： y = lnu, u = sinxyx = yu 源自x = (lnu)u (sinx)x
= 1 cosx = 1 cosx = cotx
u
sinx
例4 求 g(x) = x2 + 1 的导数
解
2
g(x)
u= x +1
1 x2 + 1
g(x) = u 2 x 2 + 1
= 1 2x 2 x2 + 1
=x x2 + 1
通过这道题你有什么体会？
熟悉了复合函数的求导法则后，中间变量默 记在心，由外向内、由表及里逐层求导。
例6 求 y = cos2 x 的导数
解： y'=[(cosx)2]'=2cosx(cosx) '
练习 求下列函数的导数
1. 3 1 + x2
解
dy
=
1 (1 +
x2
2
)3
2x
dx 3
=
2
x(1 +
x2
2
)3
3
2. y = e2xsin3x
解： y = (e2x )sin3x + e2x (sin3x)
= 2e2x sin3x + 3e2xcos3x
例10 求曲线y = ( 2x + 1 )3 在点 (0, 1 ) 处的切线方程。
解：设 y = lnu 则 u = 1 - x2
因为
yu'
=
1 u
,ux'
=
-2x,
所以
yx'
=
yu'
ux'
=
1 u
(-2x)
-2x = 1- x2
=
2x x2 - 1
练习 1、求函数 y = etanx 的导数
解： 设 y = eu ,u = tanx
因为 yu' = eu ,ux' = sec 2 x
3x + 2
8
解 曲线在点 (0, 1 ) 处的切线斜率 k = f (0) ，且
8
因为
y
=
(
2x 3x
+ +
1 2
)3
=
(u3
) (
2x 3x
+ +
1 2
)
=
3u2
2(3x
+ 2) - 3(2x (3x + 2)2
+
1)
=
3(
2x + 1 3x + 2
)2
1 (3x +
2)2
=
3(2x + 1)2 (3x + 2)4
第四节 目录 上页 下页 返回 结束
= cosu 5 = cos5x 5 = 5cos5x
例2 求函数 y = (3x + 2)5的导数
解：设 y = u5 则 u = 3x + 2,
因为 yu = 5u4 ,ux = 3, 所以 yx = yu ux = 5u4 3 = 5(3x + 2)4 3
= 15(3x + 2)4
例3 求函数 y = ln(1 - x2 )的导数
v 2x , v 2 ,
v(k) 0 (k 3 ,, 20)
代入莱布尼兹公式 , 得
y(20) 220 e2x x2 20 219 e2x 2x 20 19 218 e2x 2
2!
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作业
P103 1 (9) , (12) ; 3 ; 4 (2) ;
课前复习
复合函数 y = sin(2x + 3) 可分解为 ?
令 u = (2x + 3) 则 y = sinu
所以复合函数 y = sin(2x + 3)可分解为：
y = sinu,u = (2x + 3)
一般的 y = f((x)) 可分解为
y = f(u),u = (x)
一、复合函数的求导法则
d f f ( ln cos(ex ) ) (ln cos(ex )) dx