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(完整版)高考椭圆题型总结
椭圆题型总结一、 椭圆的定义和方程问题 (一) 定义:PA+PB=2a>2c1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙： P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆,则命题甲是命题乙的 ( )A 。
充分不必要条件 B.必要不充分条件 C 。
充要条件 D.既不充分又不必要条件2. 已知1F 、2F 是两个定点，且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是( ）A 。
椭圆 B.圆 C.直线 D.线段3. 已知1F 、2F是椭圆的两个焦点， P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ，使得2PF PQ =，那么动点Q的轨迹是( ）A.椭圆B.圆C.直线D.点4. 已知1F 、2F 是平面α内的定点，并且)0(221>=c c F F ,M 是α内的动点，且a MF MF 221=+，判断动点M 的轨迹。
5. 椭圆192522=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是 。
(二) 标准方程求参数范围1. 若方程13522=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的范围。
（3，4）U(4，5） 2.轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 1022=+>>( ） A.充分而不必要条件 B 。
必要不充分条件 C 。
充要条件 D 。
既不充分又不必要条件3. 已知方程112522=-+-m y m x 表示焦点在Y 轴上的椭圆，则实数m 的范围是 。
4. 已知方程222=+ky x 表示焦点在Y 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 . 5. 方程231y x -=所表示的曲线是 .6. 如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数k 的取值范围. 7. 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为)2,0(，求m 的值。
理科数学2010-2019高考真题分类训练-椭圆.docx
专题九解析几何第二十六讲椭圆20XX 年1．（20XX 全国I 理10）已知椭圆C 的焦点为F 1(-1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A，B 两点．若|AF 2|=2|F 2B |，|AB |=|BF 1|，则C 的方程为x 2x 2y 2x 2y 2x 2y 22=1=1=1A．+y =1B．+C．+D．+23243542.（20XX 全国II 理21（1））已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM 与BM 的斜率之积为−.记M 的轨迹为曲线C.21（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；1x 2y 23.（20XX 北京理4）已知椭圆2+2=1(a >b >0)的离心率为，则a b 2（A）a 2=2b 2.（B）3a 2=4b 2.（C）a =2b （D）3a =4bx 2y 2=1的两个焦点，M 为C 上4.（20XX 全国III 理15）设F 1，F 2为椭圆C:+3620一点且在第一象限.若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为___________.2010-20XX 年一、选择题x 2y 21．(20XX 全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：2+2=1(a >b >0)的左，右焦a b 3点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为的直线上，△PF 1F 2为等腰6三角形，∠F 1F 2P =120︒，则C 的离心率为1211B．C．D．3324x 2y 2=1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距2．(20XX 上海)设P 是椭圆+53离之和为（）A．A．22B．23C．25D．42x 2y 2=1的离心率是3．（20XX 浙江）椭圆+9413552B．C．D．3393x 2y 24．（20XX 新课标Ⅲ）已知椭圆C ：2+2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，a b A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx -ay +2ab =0相切，则C 的离心率为A．6321B．C．D．3333x 2y 25．(20XX 年全国III)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C：2+2=1(a >b >0)的左a b 焦点，A，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF⊥x 轴．过点AA．的直线l 与线段PF 交于点M，与y 轴交于点E．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为1123B．C．D．32342x 2x 6．(20XX 年浙江)已知椭圆C 1：2+y 2=1(m >1)与双曲线C 2：2-y 2=1(n >0)m n 的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则A．A．m >n 且e 1e 2>1B．m >n 且e 1e 2<1C．m <n 且e 1e 2>1D．m <n 且e 1e 2<1x 27．(20XX 福建)设P ,Q 分别为x +(y -6)=2和椭圆+y 2=1上的点，则P ,Q10两点间的最大距离是22A．52B．46+2C．7+2D．62x 2y 28．（20XX 新课标1）已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的a b 直线交椭圆于A、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝145363627271818922x y 9．(20XX 新课标)设F 1、F 2是椭圆E ：2+2=1(a >b >0)的左、右焦点，Pa b 3a 为直线x =上一点，∆F 2PF 1是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为212二、填空题A、B、23C、34D、45x 2+y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足10．(20XX 浙江)已知点P (0,1)，椭圆4AP =2PB ，则当m =___时，点B 横坐标的绝对值最大．x 2y 2x 2y 211．(20XX 北京)已知椭圆M ：2+2=1(a >b >0)，双曲线N ：2-2=1．若双a b m n 曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．yC F 是椭圆B12．(20XX 江苏省)如图，在平面直角坐标系xOy 中，x 2y 2b 与椭圆交于+2=1(a >b >0)的右焦点，直线y =x B ,C 两点，且2O F a b 2∠BFC =90︒，则该椭圆的离心率是．x 2y 2=1的三个顶点，且圆心在x 的正13．（20XX 新课标1）一个圆经过椭圆+164半轴上，则该圆的标准方程为_________．x 2y 2114．（20XX 江西）过点M (1,1)作斜率为-的直线与椭圆C ：2+2=1(a >b >0)a b 2相交于A ,B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于．x 2y 2=1，点M 与C 的焦点不重合，若M 关15．（20XX 辽宁）已知椭圆C ：+94于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |+|BN |=．x 2y 2F 2，作F 2作16．（20XX 江西）设椭圆C :2+2=1(a >b >0)的左右焦点为F 1，a b x 轴的垂线与C 交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．y 217．（20XX 安徽）设F 1,F 2分别是椭圆E :x +2=1(0<b <1)的左、右焦点，b 过点F 1的直线交椭圆E 于A ,B 两点，若AF 1=3BF 1,AF 2⊥x 轴，则椭圆E2的方程为_____．x 2y 218．（20XX 福建）椭圆Γ:2+2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，焦距a b 为2c ．若直线y =3(x +c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于x 2y 219．（20XX 江西）椭圆2+2=1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ,B ，左、右焦a b 点分别是F 1,F 2．若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为_________．x 220．（2011浙江）设F 1,F 2分别为椭圆+y 2=1的左、右焦点，点A ,B 在椭圆3上，若F 1A =5F 2B ；则点A 的坐标是．三、解答题x 221．（20XX 全国卷Ⅰ）设椭圆C :+y 2=1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交2于A ,B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；(2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA =∠OMB ．x 2y 2=1交于A ，B 22．（20XX 全国卷Ⅲ）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：+43两点，线段AB 的中点为M (1,m )(m >0)．1(1)证明：k <-；2(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP +FA +FB =0．证明：|FA |，|FP |，|FB |成等差数列，并求该数列的公差．x 2x 223．(20XX 天津)设椭圆2+2=1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ．已知a b 5椭圆的离心率为，点A 的坐标为(b ,0)，且FB ⋅AB =62．3(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y =kx (k >0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ．AQ52若=sin ∠AOQ (O 为原点)，求k 的值．PQ 4x 2y 2P 2(0,1)，24．（20XX 新课标Ⅰ）已知椭圆C ：2+2=1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，a b 33P 3=(-1,)，P 4=(1,)中恰有三点在椭圆C 上．22(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为-1，证明：l 过定点．x 225．（20XX 新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：+y 2=1上，过M 2做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =2NM ．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线x =-3上，且OP ⋅PQ =1．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．x 2y 226．（20XX 江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：2+2=1(a >b >0)a b 1的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P 在2椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，过点F 2作直线PF2的垂线l 2．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．x 2y 227．（20XX 天津）设椭圆2+2=1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，离a b 1心率为．已知A 是抛物线y 2=2px (p >0)的焦点，F 到抛物线的准线l 的21距离为．2（Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（Ⅱ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D ．若△APD 的面积为的方程．x 2y 228．（20XX 山东）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：2+2=1(a >b >0)的离ya b 2心率为，焦距为2．26，求直线AP2（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，动直线l ：y =k 1x -M 3交椭圆E 于A ,B 两点，C 是椭圆E 上一22C k 1k 2T 点，直线OC 的斜率为k 2，且，M 是线段OC 延长线上一=4点，且MC :AB =2:3，M 的半径为MC ，OS ,OT x 是M 的两条切线，切点分别为S ,T ．求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线l A 的斜率．SOlBx 2y 2329．(20XX 年北京)已知椭圆C ：2+2=1(a >b >0)的离心率为，A (a ,0)，2a b B (0,b )，O (0,0)，ΔOAB 的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：|AN |⋅|BM |为定值．30．(20XX 新课标2）已知椭圆C：9x 2+y 2=m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A，B，线段AB 的中点为M．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；m （Ⅱ）若l 过点(,m )，延长线段OM 与C 交于点P，四边形OAPB 能否3为平行四边行？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．2x 2y 21)和31．（20XX 北京）已知椭圆C ：2+2=1(a >b >0)的离心率为，点P (0，2a b n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．点A (m ，（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM =∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．x 2y 232．（20XX 安徽）设椭圆E 的方程为2+2=1(a >b >0)，点O 为坐标原点，a b 点A 的坐标为(a ，0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足BM =2MA ，直线OM 的斜率为（Ⅰ）求E 的离心率e ；5．10（Ⅱ）设点C 的坐标为(0，-b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 7，求E 的方程．2x 2y 233．（20XX 山东）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2+2=1(a >b >0)的a b 3离心率为，左、右焦点分别是F 1、F 2．以F 1为圆心以3为半径的圆与以2F 2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．的对称点的纵坐标为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；x 2y 2（Ⅱ）设椭圆E ：2+2=1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线4a 4b y =kx +m 交椭圆E 于A ,B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ．|OQ |的值；|OP |（ii）求△ABQ 面积的最大值．( i )求x 2y 234．(20XX 新课标1)已知点A (0,-2)，椭圆E ：2+2=1(a >b >0)的离心a b 323率为，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为，O 为坐标原23点．（Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 相交于P ,Q 两点，当∆OPQ 的面积最大时，求l 的方程．x 2y 235．(20XX 浙江)如图，设椭圆C :2y +2=1(a >b >0),动直线l 与椭圆C 只有一a b 个公共点P ，且点P 在第一象限．l1P （Ⅰ）已知直线l 的斜率为k ，用a ,b ,k 表示点P 的坐标；xO 证明：点P 到直线l 1的距离的最大值为（Ⅱ）若过原点O 的直线l 1与l 垂直，la -b ．2y 2x 36．（20XX 新课标2）设F 1，F 2分别是椭圆C ：2+2=1(a >b >0)的左，右a b 焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N ．（Ⅰ）若直线MN 的斜率为3，求C 的离心率；4（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且MN =5F 1N ，求a ,b ．x 2y 37．（20XX 安徽）设F 1,F 2分别是椭圆E ：2+2=1(a >b >0)的左、右焦点，a b 过点F 1的直线交椭圆E 于A ,B 两点，|AF 1|=3|BF 1|2（Ⅰ）若|AB |=4,∆ABF 2的周长为16，求|AF 2|；3（Ⅱ）若cos ∠AF 2B =，求椭圆E 的离心率．5x 2y 238．（20XX 山东）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :2+2=1(a >b >0)的a b离心率为3410，直线y =x 被椭圆C 截得的线段长为．25（Ｉ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C 交于A，B 两点（A，B 不是椭圆C 的顶点）．点D 在椭圆C 上，且AD ⊥AB ，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M，N 两点．(ⅰ)设直线BD，AM 的斜率分别为k 1,k 2，证明存在常数λ使得k 1=λk 2，并求出λ的值；(ⅱ)求∆OMN 面积的最大值．x 2y239．（20XX 湖南）如图5，O 为坐标原点，双曲线C 1:2-2=1(a 1>0,b 1>0)a b 1x 2y 2231和椭圆C 2:2+2=1(a 2>b 2>0)均过点P (,1)，且以C 1的两个顶点a 2b 23和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．（Ｉ）求C 1,C 2的方程；（Ⅱ）是否存在直线l ，使得l 与C 1交于A ,B 两点，与C 2只有一个公共点，且|OA +OB |=|AB |？证明你的结论．x 2y 240．（20XX 四川）已知椭圆C：2+2=1（a >b >0）的焦距为4，其短轴a b 的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x =-3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P，Q．（i）证明：OT 平分线段PQ（其中O 为坐标原点）；|TF |最小时，求点T 的坐标．|PQ |x 2y 241．（20XX安徽）已知椭圆C :2+2=1(a >b >0)的焦距为4，且过点a b P (2，3)．（ii）当（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设Q (x 0,y 0)(x 0y 0≠0)为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E ．取点A (0,22),连接AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D ．点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由．42．（20XX 湖北）如图，已知椭圆C 1与C 2的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2n (m >n )，过原点且不与x 轴重合的直线l 与B，C，D．记λ=C 1，C 2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，和△ABN 的面积分别为S 1和S 2．yAm ，△BDMn2，求λ的值；B S （Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若S 1=λO N x M（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S 1=λS 2并说明C理由．Dx 2y 2第20题图343．(20XX 天津)设椭圆2+2=1(a >b >0)的左焦点为F，离心率为，过3a b 43点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．3(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设A，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C，D 两点．若AC ·DB +AD ·CB =8，求k 的值．x 2y 244．（20XX 山东）椭圆C :2+2=1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1,F 2，离心a b 3率为，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为l．2（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1,PF 2．设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m ,0)，求m 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点．设直线PF 1,PF 2的斜率分别为k 1,k 2，若k ≠0，试证明11+为定值，并求出这个定值．kk 1kk 2x 2y 245．（20XX 北京）已知椭圆C :2+2=1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心a b2．直线y =k (x -1与椭圆C 交于不同的两点M,N．）2（Ⅰ）求椭圆C 的方程；率为10y（Ⅱ）当△AMN 得面积为时，求Ak 的值．3x 2y 246．（20XX 安徽）如图，F 1,F 2分别是椭圆C ：2+2=1（a >b >0）的左、a b F 2O x 右焦点，A 是椭圆C 的顶点，是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF B 1F 2=60°．B（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）已知△A F 1B 的面积为403，求a, b 的值．x 2y 247．（20XX 广东）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2+2=1(a >b >0)a b 2的离心率e =，且椭圆C 上的点到Q (0,2)的距离的最大值为3．3（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在椭圆C 上，是否存在点M (m ,n )使得直线l ：mx +ny =1与圆O：x 2+y 2=1相交于不同的两点A ,B ，且∆OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的∆OAB 的面积；若不存在，请说明理由．x 2y 2348．（2011陕西）设椭圆C:2+2=1(a >b >0)过点（0，4），离心率为a b 5（Ⅰ）求C 的方程；4的直线被C 所截线段的中点坐标．5x 249．（2011山东）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :+y 2=1．如图所示，3斜率为k (k ＞0)且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x =-3于点D (-3,m )．（Ⅰ）求m 2+k 2的最小值；（Ⅱ）若OG =OD ∙OE ，（i）求证：直线l 过定点；（ii）试问点B ，G 能否关于x 轴对称？若能，求出此时ABG 的外接圆方程；若不能，请说明理由．2E-3OxB A+版-Applicable Achives）三教上人（y 250．（2010新课标）设F 1,F 2分别是椭圆E：x +2=1（0<b <1）的左、右b 焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AF 2，AB ，BF 2成等差2数列．（Ⅰ）求AB ；（Ⅱ）若直线l 的斜率为1，求b 的值．x 2y 251．（2010辽宁）设椭圆C：2+2=1(a >b >0)的左焦点为F，过点F 的直线a b 与椭圆C 相交于A，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ，AF =2FB ．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）如果|AB|=15，求椭圆C 的方程．4专题九解析几何第二十六讲椭圆答案部分1.解析如图所示，设BF 2=x ，则AF 2=2x ，所以y ABF 2=AB =3x .由椭圆定义BF 1+BF 2=2a ，即4x =2a .又AF 1+AF 2=2a =4x ，AF 2=2x ，所以AF 1=2x .因此点A 为椭圆的上顶点，设其坐标为(0,b ).⎛3b ⎫,-⎪.AF =2BF 由22可得点B 的坐标为 22⎭⎝OF 1F 2Bx91x 2y 2因为点B 在椭圆2+2=1(a >b >0)上，所以2+=1.4a 4a b x 2y 2=1.故选B.解得a =3.又c =1，所以b =2.所以椭圆方程为+3222y y 1x 2y 2⋅=-，化简得+=1(|x |≠2)，所以C 为2．解析（1）由题设得42x +2x -22中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．c 21a 2-b 21c 13.解析由题意，e ==，得2=，则=，2a 4a 4a 2所以4a 2-4b 2=a 2，即3a 2=4b 2．故选B．x 2y 2m ,n >0，c =2，C :+=1的a =6，4.解析设M (m ,n )，椭圆C：b =25，3620c 2e ==，由于M 为C 上一点且在第一象限，可得|MF 1|>|MF 2|，a 3△MF 1F 2为等腰三角形，可能|MF 1|=2c 或|MF 2|=2c ，26+m =8，即m =3，n =15；即有326-m =8，即m =-3<0，舍去．可得M (3,15).3y2010-20XX 年PAF 1OF 2x1．D【解析】由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|=2c ，所以∆PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P =120，∴|PF 2|=|F 1F 2|=2c ，∵|OF 2|=c ，∴点P 坐标为(c +2c cos 60,2c sin 60)，即点3的直线上，63c 31c 1=∴，解得=．∴e =，故选D．2c +a 64a 42．C【解析】由题意a 2=5，a =5．由椭圆的定义可知，P 到该椭圆的两个焦P (2c ,3c )．∵点P 在过点A ，且斜率为点的距离之和为2a =25，故选C．3．B 【解析】由题意可知a 2=9，b 2=4，∴c 2=a 2-b 2=5，∴离心率e =选B4．A 【解析】以线段A 1A 2为直径的圆是x 2+y 2=a 2，直线bx -ay +2ab =0与圆相a 22+b 2c 2c 6即a 2=3(a 2-c 2)⇒2a 2=3c 2，即2=，e ==，故选A．a 3a 3x y =15．A 【解析】设E (0,m )，则直线AE 的方程为-+，由题意可知mc m m m a -b -mc m a 2=2，化简得M (-c ,m -)，(0,)和B (a ,0)三点共线，则a 2-c -ac 5=，a 3切，所以圆心到直线的距离d =2ab=a ，整理为a 2=3b 2，c 1=．故选A．a 36．A【解析】由题意知m 2-1=n 2+1，即m 2=n 2+2，a =3c ，则C 的离心率e =m 2-1n 2+1n 2+1n 2+1n 4+2n 2+11(e 1e 2)=⋅=⋅==1+>1，m 2n 2n 2+2n 2n 4+2n 2n 4+2n 2所以e 1e 2>1．故选A．27．D【解析】由题意可设Q (10cos α,sin α)，圆的圆心坐标为C (0,6)，圆心到Q 的距离为2|CQ |=(10cos α)2+(sin α-6)2=50-9(sin α+)2≤50=52，当且32仅当sin α=-时取等号，所以|PQ |max ≤|CQ |max +r =52+2=62，所3以P ,Q 两点间的最大距离是62．8．D【解析】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则x 1+x 2=2，y 1+y 2=－2，22x 12y 12x 2y 2+=1①2+2=1②a 2b 2a b (x +x )(x -x )(y +y )(y -y )①－②得12212+12212=0，a 2b 2y 1-y 2b b 210+11b (x 1+x 2)∴k AB ==-2=2，又k AB ==，∴2=，又9=c 2=x 1-x 2a 3-122a (y 1+y 2)a 22x y =1，故选D.a 2-b 2，解得b 2=9，a 2=18，∴椭圆方程为+1899．C【解析】∆F 2PF 1是底角为30的等腰三角形3c 3⇒PF 2=F 2F 1=2(a -c )=2c ⇔e ==2a 4⎧-x =2x 10．5【解析】设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由AP =2PB ，得⎨⎧41x 22，22-y 1=2(-y 2x -1)+(3⎩12)=m ⎪⎪即x 1=-2x 2，y 1=3-2y 2．因为点A ，B 在椭圆上，所以⎨4，2⎪x 2+y 2=m 132⎪得，以y 2=m +⎩4所4415912x 2=m -(3-2y 2)2=-m 2+m -=-(m -5)2+4≤4，4244所以当m =5时，点B 横坐标的绝对值最大，最大值为2．11．3-1；2【解析】设椭圆的右焦点为F (c ,0)，双曲线N 的渐近线与椭圆Mc 3c )，由点A 在椭圆M 上得，在第一象限内的交点为A ，由题意可知A (,22c 23c 2+2=1，∴b 2c 2+3a 2c 2=4a 2b 2，b 2=a 2-c 2，∴24a 4b (a 2-c 2)c 2+3a 2c 2=4a 2(a 2-c 2)，422∴4a 4-8a 2c 2+c 4=0，∴e 椭=4±23，-8e 椭+4=0，∴e 椭三教上人（A+版-Applicable Achives）A ∴e 椭=3+1（舍去）或e 椭=3-1，∴椭圆M 的离心率3-1，yc 3c )，渐近线方程为y =3x ，∵双曲线的渐近线过点A (,F x2222O m +n 故双曲线的离心率e 双==2．m 212．32513．(x -)2+y 2=【解析】由题意圆过(4,0),(0,2),(0,2)三个点，设圆心为243，所以圆的方程为(a ,0)，其中a 0，由4-a =a 2+4，解得a 2325．(x -)2+y 2=24214．【解析】设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，分别代入椭圆方程相减得2(x 1-x 2)(x 1+x 2)(y 1-y 2)(y 1+y 2)+=0，根据题意有x 1+x 2=2,y 1+y 2=2，22a b y 1-y 21221=-，所以2+2⨯(-)=0，得a 2=2b 2，整理a 2=2c 2，且x 1-x 22a b 22所以e =．215．12【解析】设MN 交椭圆于点P ，连接F 1P 和F 2P ，利用中位线定理可得6b 【解析】由题意得F (c ,0)，直线y =与椭圆方程联立可得32⎛⎫⎛⎫3a b 3a b B -,C ，⎪ ⎪ 2,2⎪⎪，由∠BFC =90︒可得BF ⋅CF =0，22⎝⎭⎝⎭⎛⎛3a b ⎫3a b ⎫32122BF = c +,-CF =c -,-，，则c -a +b =0，由⎪ ⎪ ⎪ ⎪222244⎝⎭⎝⎭31b 2=a 2-c 2可得c 2=a 2，42c 26则e ==．=a 33AN +BN =2F 1P +2F 2P =2⨯2a =4a =12．b 23b 216．【解析】由题意可得A (c ,)，B (c ,-)，由题意可知点D 为F 1B 的中3a ab 2点，所以点D 的坐标为(0,-)，由AD ⊥F 1B ，所以k AD ⋅k F 1B =-1，整理2a3得3b 2=2ac ，解得e =．335c 1=b 2，∴点B 坐标为B (-,-b 2)17．x 2+y 2=1【解析】由题意得通径AF 21233(-b 2)25c 2将点B 坐标带入椭圆方程得(-)+32=1，⎧223b b =⎪3⎪322又b =1-c ，解得⎨∴椭圆方程为x 2+y 2=1．2⎪c 2=1⎪3⎩18．3-1【解析】由题意可知，∆MF 1F 2中，⎧MF 1+MF 2=F 1F 2=(2c )2c 所以有⎪，整理得e ==3-1，故答案为3-1．⎨MF 1+MF 2=2a a ⎪53MF 1⎩MF 2=19．【解析】由椭圆的性质可知：AF 1=a -c ，F 1F 2=2c ，F 1B =a +c .又已∠MF 1F 2=60︒,∠MF F =30︒,∠F 1MF 2=90︒，222125知AF 1，F 1F 2，F 1B 成等比数列，故(a -c )(a +c )=(2c )2，即a 2-c 2=4c 2，c 55.即椭圆的离心率为．=a 5520．(0,±1)【解析】设点A 的坐标为(m ,n )，B 点的坐标为则a 2=5c 2.故e =(c ,d )．F 1(-2,0),F 2(2,0)，可得F 1A =(m +2,n )，F 2B =(c -2,d )，∵F 1A =5F 2B ，m +62n ,d m =+6∴c =，又点A ,B 在椭圆上，225(5)n m 225+n =1，+()2=1，解得m =0,n =±1，∴335∴点A 的坐标是(0,±1)．21．【解析】(1)由已知得F (1,0)，l 的方程为x =1．22)或(1,-)．2222x +2或y =x -2．所以AM 的方程为y =-22(2)当l 与x 轴重合时，∠OMA =∠OMB =0︒．由已知可得，点A 的坐标为(1,当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA =∠OMB ．当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y =k (x -1)(k ≠0)，A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则x 1<2，x 2<2，直线MA ，MB 的斜率之和为y 1y +2．x 1-2x 2-2由y 1=kx 1-k ，y 2=kx 2-k 得k MA +k MB =2kx 1x 2-3k (x 1+x 2)+4k ．(x 1-2)(x 2-2)x 2将y =k (x -1)代入+y 2=1得2(2k 2+1)x 2-4k 2x +2k 2-2=0．k MA +k MB =4k 22k 2-2所以，x 1+x 2=2，x 1x 2=2．2k +12k +14k 3-4k -12k 3+8k 3+4k =0．则2kx 1x 2-3k (x 1+x 2)+4k =22k +1从而kMA +kMB=0，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以∠OMA =∠OMB ．综上，∠OMA =∠OMB ．22x 12y 12x 2y 2=1，+=1．22．【解析】(1)设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则+4343y -y x +x y +y 两式相减，并由12=k 得12+12⋅k =0．x 1-x 243x 1+x 2y 1+y 2由题设知=1，=m ，223于是k =-．①4m31由题设得0<m <，故k <-．22(2)由题意得F (1,0)，设P (x 3,y 3)，则(x 3-1,y 3)+(x 1-1,y 1)+(x 2-1,y 2)=(0,0)．由(1)及题设得x 3=3-(x 1+x 2)=1，y 3=-(y 1+y 2)=-2m <0．333，从而P (1,-)，|FP |=．2224x x 于是|FA |=(x 1-1)2+y 12=(x 1-1)2+3(1-1)=2-1．42x 同理|FB |=2-2．21所以|FA |+|FB |=4-(x 1+x 2)=3．2故2|FP |=|FA |+|FB |，即|FA |，|FP |，|FB |成等差数列．又点P 在C 上，所以m =设该数列的公差为d ，则11|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2-4x 1x 2．②223将m =代入①得k =-1．471所以l 的方程为y =-x +，代入C 的方程，并整理得7x 2-14x +=0．443211故x 1+x 2=2，x 1x 2=，代入②解得|d |=．2828321321所以该数列的公差为或-．2828c 2523．【解析】设椭圆的焦距为2c ，由已知知2=，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ．a 9由已知可得，FB =a ，AB =2b ，由FB ⋅AB =62，可得ab =6，从而a =3，2|d |=||FB |-|FA ||=b =2．x 2y 2=1．所以，椭圆的方程为+94(2)设点P 的坐标为(x 1,y 1)，点Q 的坐标为(x 2,y 2)．由已知有y 1>y 2>0，故PQ sin ∠AOQ =y 1-y 2．y2π又因为AQ =，而∠OAB =，故AQ =2y 2．sin ∠OAB 4AQ 52由PQ=4sin ∠AOQ ，可得5y 1=9y 2．⎧y =kx ，6k ⎪由方程组⎨x 2y 2消去x ，可得y 1=．2+=1，9k +4⎪4⎩9⎧y =kx ，x +y -2=0易知直线AB 的方程为，由方程组⎨x +y -2=0，⎩2k 消去x ，可得y 2=．由5y 1=9y 2，可得5(k +1)=39k 2+4，k +1111两边平方，整理得56k 2-50k +11=0，解得k =，或k =．228111所以，k 的值为或．22824．【解析】（1）由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过P 3，P 4两点．又由21+2>2+2知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上．⎧a =b 1a 4b 2⎪⎧a 2=4⎪⎪b 因此⎨，解得⎨2．⎪⎩b =1⎪1+3=12a 24b 2x +y 2=1．⎩故C ⎪的方程为41113（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A，B 的坐标分别为4-t 24-t 2（t，），（t，-）．224-t 2-24-t 2+2-=-1，得t =2，不符合题设．则k 1+k 2=2t 2tx 2从而可设l ：y =kx +m （m ≠1）．将y =kx +m 代入+y 2=1得4(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2-4=0由题设可知∆=16(4k 2-m 2+1)>0．4m 2-48km 设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则x 1+x 2=-2，x 1x 2=2．4k +14k +1y -1y -1kx 1+m -1kx 2+m -1而k 1+k 2=1+2=+x 1x 2x 1x22kx 1x 2+(m -1)(x 1+x 2)=．x 1x2由题设k 1+k 2=-1，故(2k +1)x 1x 2+(m -1)(x 1+x 2)=0．4m 2-4-8km 即(2k +1)⋅2+(m -1)⋅2=0．4k +14k +1m +1解得k =-．2当且仅当m >-1时，∆>0，欲使l ：y =-所以l 过定点（2，-1）M (x 0,y 0)，25．【解析】（1）设P (x ,y )，则N (x 0,0)，NP =(x -x 0,y )，NM =(0.y 0)．m +1m +1即y +1=-x +m ，(x -2)，222y ．2x 2y 2=1．因为M (x 0,y 0)在C 上，所以+22因此点P 的轨迹方程为x 2+y 2=2．由NP =2NM 得x 0=x ，y 0=（2）由题意知F (-1,0)．设Q (-3,t )，P (m ,n )，则OQ =(-3,t )，PF =(-1-m ,-n )，OQ ⋅PF =3+3m -tn ，OP =(m ,n )，PQ =(-3-m ,t -n )，由OP ⋅PQ =1得-3m -m 2+tn -n 2=1，又由（1）知m 2+n 2=2，故3+3m -tn =0．所以OQ ⋅PF =0，即OQ ⊥PF ．又过点P 存在唯一直线垂直与OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．26．【解析】（1）设椭圆的半焦距为c .c 11因为椭圆E 的离心率为，两准线之间的距离为8，所以=，a 222a 2=8，c解得a =2,c =1，于是b =a 2-c 2=3，x 2y 2=1.因此椭圆E 的标准方程是+43（2）由（1）知，F 1(-1,0)，F 2(1,0).设P (x 0,y 0)，因为点P 为第一象限的点，故x 0>0,y 0>0.当x 0=1时，l 2与l 1相交于F 1，与题设不符.y 0y0x ≠1PF PF 当0时，直线1的斜率为，直线2的斜率为.x 0+1x 0-1-x 0+1l ⊥PF l ⊥PF l 因为1，直线l 2的斜率为1，22，所以直线1的斜率为y0x -1-0，y 0x 0+1y =-(x +1)，①l 从而直线1的方程：yx 0-1y =-(x -1).②l 直线2的方程：y221-x 01-x 0).由①②，解得x =-x 0,y =，所以Q (-x 0,y 0y021-x 02222+y 0=1.-y 0=1或x 0=±y 0，即x 0因为点Q 在椭圆上，由对称性，得y022x 0y 0+=1.E 又P 在椭圆上，故2222⎧x 0⎧x 0-y 0=1+y 0=143⎪2⎪4737222,y 0=由⎨x 0y 0，解得x 0=；⎨x 0，无解.y 077=1=1⎪+⎪+33⎩4⎩44737,).因此点P 的坐标为(77c 1p 127．【解析】（Ⅰ）设F 的坐标为(-c ,0).依题意，=，=a ，a -c =，解a 22213得a =1，c =，p =2，于是b 2=a 2-c 2=.2424y =1，抛物线的方程为y 2=4x .所以，椭圆的方程为x 2+3（Ⅱ）设直线AP 的方程为x =my +1(m ≠0)，与直线l 的方程x =-1联立，4y 2222=1联立，消去x ，可得点P (-1,-)，故Q (-1,).将x =my +1与x +3m m-6m 整理得(3m 2+4)y 2+6my =0，解得y =0，或y =.23m +4-3m 2+4-6m ,).由点B 异于点A ，可得点B (3m 2+43m 2+42由Q (-1,)，可得直线BQ 的方程为m-6m 2-3m 2+422-3m 2(2-)(x +1)-(+1)(y -)=0，令y =0，解得x =，223m +4m 3m +4m 3m +22-3m 26m 22-3m 2,0).所以|AD |=1-2=故D (2.3m +223m 2+23m +216m 266又因为△APD 的面积为，故⨯2，⨯=223m +2|m |266整理得3m 2-26|m |+2=0，解得|m |=，所以m =±.33所以，直线AP 的方程为3x +6y -3=0，或3x -6y -3=0.28．【解析】（I）由题意知e ==所以a =2,b =1，c a2，2c =2，2x 2因此椭圆E 的方程为+y 2=1．2A (2x ,y ,B x ,y （Ⅱ）设⎧x 11)(22)，+y 2=1,⎪⎪联立方程⎨2⎪y =k x -3,1⎩x 2-43k 12得4k 12+2⎪x -1=0，()由题意知∆>0，且x 1+x 2=23k 11，,x 1x 2=-222k 1+12(2k 1+1)所以AB =1+k x 1-x 2=2211+k 121+8k 121+2k 12．1+k 121+8k 122k +121222AB =由题意可知圆M 的半径r 为r =332由题设知k 1k 2=，4所以k 2=24k 1因此直线OC ⎧x 2的方程为y =2⎪+y =1,2联立方程⎪⎨2⎪2y =x ,18k ⎪2214k 得x =⎩2,y 1=，1+4k 11+4k 121+8k 1222因此OC =x +y =．1+4k 12∠SOT r 1由题意可知sin 1+8k 2=，=1OC 2r +OC+OC 1+4k 121+2k 12312r =而，=2222r 41+4k 11+k 1221+k 11+8k 12x ．4k12令t =1+2k 13，2k 12+1则t >1,∈(0,1)，3t 3131==≥1，22r 22t +t -12112⎛11⎫92+-2-+11 k -⎪2t t 当且仅当=，即t =2时等号成立，此时=±t 24⎝1⎭，2t 2∠SOT 1所以sin ≤，22∠SOT π因此≤，26因此1tOC =所以∠SOT 最大值为⎧c π32=，取得最大值时直线,综上所述：∠SOT 的最大值为．⎪l 的斜率为k 1=±a 223⎪⎪1ab =1,解得a =2,b =1.29．【解析】（Ⅰ）由题意得⎨2⎪222x 22b +c ,a =⎪所以椭圆C 的方程为+y =1.4⎪⎩22+4y 0=4.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A (2,0),B (0,1)，设P (x 0,y 0)，则x 0π．3当x 0≠0时，直线PA 的方程为y =y 0(x -2).x 0-22y 02y 0令x =0，得y M =-.从而BM =1-y M =1+.x 0-2x 0-2y -1x +1.直线PB 的方程为y =0x 0x x 令y =0，得x N =-0.从而AN =2-x N =2+0.y 0-1y 0-1x 02y 0⋅1+所以AN ⋅BM =2+y 0-1x 0-222x 0+4y 0+4x 0y 0-4x 0-8y 0+44x 0y 0-4x 0-8y 0+8===4.x 0y 0-x 0-2y 0+2x 0y 0-x 0-2y 0+2当x 0=0时，y 0=-1，BM =2,AN =2,所以AN ⋅BM =4.综上，AN ⋅BM 为定值.A (x 1,y 1)，M (x M,y M)．B (x 2,y 2)，30．【解析】(Ⅰ)设直线l :y =kx +b (k ≠0,b ≠0)，将y =kx +b 代入9x 2+y 2=m 2得(k 2+9)x 2+2kbx +b 2-m 2=0，x 1+x 2kb 9b ，y M =kx M +b =2．=-22k +9k +9y 9于是直线OM 的斜率k OM =M =-，即k OM ⋅k =-9．x Mk所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．故x M =（Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形．m ,m )，3所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k >0，k ≠3．因为直线l 过点(9由(Ⅰ)得OM 的方程为y =-x ．设点P 的横坐标为x P ．9k ⎧22y =-x ,k m ±km ⎪2由⎨得x P =2，即x P =．k29k +813k +9222⎪9x m +y =m ,m ⎩(,m )的坐标代入直线l 的方程得b =(3-k )，因此x =mk (k -3)．将点M 3(k 2+9)33四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P=2x M．mk (k -3)．解得k 1=4-7，k 2=4+7．223(k +9)3k +9因为k i >0,k i≠3，i =1，2，所以当l 的斜率为4-7或4+7时，四边形于是±km=2⨯OAPB 为平行四边形．⎧b =1,⎪2⎪c 31．【解析】（Ⅰ）由题意得⎨=,解得a 2=2．2⎪a x 22222=1故椭圆C 的方程为+y ⎪．a =b +c .⎩2设M (x N，0)．因为m ≠0，所以-1<n <1．n -1x ，mm m ,0)．所以x M =，即M (1-n 1-n（Ⅱ）因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B (m ,-n )，直线PA 的方程为y -1=m ．1+nOM“存在点Q (0,y Q )使得∠OQM =∠ONQ 等价”，“存在点Q (0,y Q )使得=OQOQ”即y Q 满足y Q 2=x M x N ．ONm 2m m +n 2=1，因为x M =，x N =，21-n 12+nm =2．所以y Q 2=x M x N =21-n 所以y Q=2或y Q=-2．设N (x N ,0)，则x N =故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM =∠ONQ ．点Q 的坐标为(0,2)或(0,-2)．52132．【解析】（1）由题设条件知，点M 的坐标为(a ,b )，又k OM =，从而1033b 5c 25=，进而得a =5b ,c =a 2-b 2=2b ，故e ==．2a 10a 5x y +=1，点（2）由题设条件和（I）的计算结果可得，直线AB 的方程为5b b517N 的坐标为(b ,-⎧b )，设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为(x 1,)，225b +x 1-1b +72⎪x 5172(+b 4+1,4-=1b +)．又点T 在直线AB 上，且则线段NS 的中点T 的坐标为⎪44b 245b 4⎪⎪k NS ⋅k AB =-1,从而有⎨，解得b =3，所以b =35，71⎪y 22+2b x 2=1．=5故椭圆E 的方程为⎪+45⎪9x -5bc 31⎪⎩2a =4，则2a =2，又=33．【解析】（Ⅰ）由题意知，a 2-c 2=b 2，a 2x 2可得b =1，所以椭圆C 的方程为+y 2=1．4x 2y 2=1．（Ⅱ）由（I）知椭圆E 的方程为+164|OQ |=λ，由题意知Q (-λx 0,-λy 0)，（i）设P (x 0,y 0),|OP |22x 0(-λx 0)2(-λy 0)2λx 022+y 0=1，又+=1，即(+y 0)=1，因为416444|OQ |=2．所以λ=2，即|OP |（ii）设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，将y =kx +m 代入椭圆E 的方程，可得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2-16=0，由∆>0，可得m 2<4+16k 2，8km 4m 2-16,x 1x 2=则有x 1+x 2=-，221+4k 1+4k 416k 2+4-m 2所以|x 1-x 2|=．1+4k 2因为直线y =kx +m 与y 轴交点的坐标为(0,m )，216k 2+4-m 2|m |1所以∆OAB 的面积S =|m ||x 1-x 2|=221+4k 2(16k 2+4-m 2)m 2m 2m 2=2(4-)=2221+4k 1+4k 1+4k m 2=t ，将y =kx +m 代入椭圆C 的方程，令1+4k 2可得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2-4=0，由∆≥0，可得m 2≤1+4k 2，由①②可知0<t ≤1，因此S =2(4-t )t =2-t 2+4t ，故S ≤23，当且仅当t =1时，即m 2=1+4k 2时取得最大值23，由（i）知，∆ABQ 面积为3S ，所以∆ABQ 面积的最大值为63．223（I ）设F (c,0)，由条件知，=，得c = 3.34．【解析】c 3c 3x 2222又=,所以a =2,b =a -c =1.故E 的方程为+y 2=1.a 24（Ⅱ）当l ⊥x 轴时不合题意，故设l :y =kx -2,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2).x 2将y =kx -2代入+y 2=1得(1+4k 2)x 2-16kx +12=0.438k ±24k 2-322当∆=16(4k -3)>0,即k >时，x 1,2=.244k +14k 2+1⋅4k 2-32从而PQ =k +1x 1-x 2=.24k +12又点O 到直线PQ 的距离d =.所以∆OPQ 的面积2k +1144k 2-3S ∆OPQ =d ⋅PQ =.24k 2+14t 4设4k 2-3=t ,则t >0,S ∆OPQ =2=.t +4t +447t因为t +≥4,当且仅当t =2，即k =±时等号成立，且满足∆>0.t 2所以，当∆OPQ 的面积最大时，ι的方程为77x -2或y =-x -2．22⎧y =kx +m⎪35．【解析】（Ⅰ）设直线l 的方程为y =kx +m (k <0)，由⎨x 2y 2，⎪2+2=1ab 222222222消去y 得，b +a k x +2a kmx +a m -a b =0，⎩y =()由于直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，故∆=0，即b 2-m 2+a 2k 2=0，⎛a 2km b 2m ⎫解得点P 的坐标为 -2，由点P 在第一象限，,22222⎪b +a k b +a k ⎭⎛⎝a 2k ⎫b 2故点P 的坐标为 -,⎪；222222b +a k b +a k ⎭⎝2（Ⅱ）由于直线l 1过原点O ，且与l a 垂直，故直线k b 2l 1的方程为x +ky =0，-+222b +a k b 2+a 2k 2所以点P 到直线l 1的距离d =，21+k 2b a 2-b 222整理得d =，因为a k +2≥2ab ，k b 222222222b a b -+b a +a k +2a -b 所以≤k =a -b ，当且仅当k 2=时等号成a b 2b 2+a 2+2ab2222b +a +a k +2立，k 所以点P 到直线l 1的距离的最大值为a -b .b 236．【解析】（Ⅰ）根据c =a -b 及题设知M (c ,),2b 2=3ac ac 1c 将b 2=a 2-c 2代入2b 2=3ac ，解得=,=-2（舍去）a 2a1故C 的离心率为．2（Ⅱ）由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点22b 2D (0,2)是线段MF 1的中点，故=4，即b 2=4a①a由MN =5F 1N 得DF 1=2F 1N 。
椭圆历年高考题
椭圆历年高考题(总6页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除椭圆历年高考真题（选填题）1.(2018·全国卷I高考文科·T4)已知椭圆C :+=1的一个焦点为,则C的离心率为()A .B .C .D .2.(2018·全国卷II高考理科·T12)已知F1,F2是椭圆C :+=1(a>b>0)的左,右焦点,A是C的左顶点,点P在过A 且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为()A .B .C .D .3.(2018·全国卷II高考文科·T11)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为()A.1-B.2-C .D .-14.(2017·全国乙卷文科·T12)设A,B是椭圆C:23x+2ym=1长轴的两个端点,若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是()A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,3]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0, 3]∪[4,+∞)5.(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A. 6B.3C.23D.136.(2017·全国丙卷·文科·T11)同(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.63B.33C.23D.137.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T5)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为()A.13B.12C.23D.348.(2016·全国卷3·理科·T11)已知O为坐标原点,F是椭圆C:2222x ya b=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A.13B.12C.23D.349.(2016·江苏高考T10)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆2222x y+=1a b(a>b>0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是.10.(2015·全国1卷理科·T14)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 .椭圆历年高考真题（选填题）参考答案1.(2018·全国卷I高考文科·T4)已知椭圆C:+=1的一个焦点为,则C的离心率为()A.B.C.D.【解析】选C.因为椭圆的一个焦点为(2,0),则c=2,所以a2=b2+c2=8,a=2,所以离心率e=.2.(2018·全国卷II高考理科·T12)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为()A.B.C.D.【命题意图】本题考查了椭圆的标准方程和椭圆的性质的应用以及数学运算能力.【解析】选D.由题意直线AP的方程为y=(x+a),△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,所以PF2=2c,∠PF2x=60°,故P(2c,c),代入y=(x+a)得,(2c+a)=c,解得e==.3.(2018·全国卷II高考文科·T11)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为()A.1-B.2-C.D.-1【命题意图】本题考查椭圆的定义和性质的应用,考查了学生的运算和转化能力. 【解析】选D .在直角三角形PF 1F 2中,F 1F 2=2c ,∠PF 2F 1=60°, 所以PF 1=c ,PF 2=c ,又PF 1+PF 2=2a ,所以c +c =2a ,解得e ===-1.4.(2017·全国乙卷文科·T12)设A,B 是椭圆C:23x +2y m =1长轴的两个端点,若C 上存在点M 满足∠AMB=120°,则m 的取值范围是( ) A.(0,1]∪[9,+∞)3∪[9,+∞) C.(0,1]∪[4,+∞)3∪[4,+∞)【命题意图】本题主要考查椭圆的性质,利用椭圆的性质解决相关问题.【解析】选A.当0<m<3时,焦点在x 轴上,要使C 上存在点M 满足∠AMB=120°,则ab3即3m3,得0<m≤1;当m>3时,焦点在y 轴上,要使C 上存在点M 满足∠AMB=120°,则a b 3即3m3,得m≥9,故m 的取值范围为(0,1]∪[9,+∞),故选A. 5.(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C: 22x a +22y b=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C 的离心率为 ( ) A.63 B. 33 C.23 D.13【命题意图】本题考查椭圆的性质及直线和圆的位置关系,考查学生的运算求解能力. 【解析】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切,所以圆心到直线的距离22a b=a,整理得a 2=3b 2,即a 2=3(a 2-c 2)⇒2a 2=3c 2,即22c a =23,e=ca =63. 6.(2017·全国丙卷·文科·T11)同(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:22x a +22yb=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C 的离心率为 ( )A.6 B.3 C.2 D.13【命题意图】本题考查椭圆的性质及直线和圆的位置关系,考查学生的运算求解能力. 【解析】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切,所以圆心到直线的距离d=22ab+=a,整理为a 2=3b 2,即a 2=3(a 2-c 2)⇒2a 2=3c 2,即22c a=23,e=c a =63.7.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T5)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为 ( ) A.13B.12C.23D.34【解析】选B.设椭圆的标准方程为22x a+22y b =1(a>b>0),右焦点F(c,0),则直线l 的方程为x c +yb =1,即bx+cy-bc=0,22bcb c -+=12b,又a 2=b 2+c 2,得b 2c 2=14b 2a 2,所以e=c a =12.8.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T12)与(2016·全国卷3·理科·T11)相同已知O 为坐标原点,F 是椭圆C:2222x y a b+ =1(a>b>0)的左焦点,A,B 分别为C 的左,右顶点.P 为C 上一点,且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M,与y 轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为 ( ) A.13B.12C.23D.34【解题指南】点M 是直线AE 和直线BM 的交点,点M 的横坐标和左焦点相同,进而找到a,b,c 的联系. 【解析】选A.由题意可知直线AE 的斜率存在,设为k,直线AE 的方程为y=k ()x a +,令x=0可得点E 坐标为()0,ka ,所以OE 的中点H 坐标为ka 0,2⎛⎫⎪⎝⎭,又右顶点B(a,0),所以可得直线BM 的斜率为-k 2,可设其方程为y=-k 2x+k 2a,联立()y k x a ,k k y x a,22⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩可得点M 横坐标为-a 3,又点M 的横坐标和左焦点相同,所以-a 3=-c,所以e=13.9.(2016·江苏高考T10)如图,在平面直角坐标系xOy 中,F是椭圆2222x y +=1a b (a>b>0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于B,C 两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是 .【解题指南】利用k BF ·k CF =-1计算得出离心率的值. 【解析】将直线y=2b与椭圆的方程联立得B 3b a,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,C 3b a,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,F(c,0),则k BF =b 23a c --,k CF =b23a c -, 因为∠BFC=90°,所以k BF ·k CF =b 23a c 2--×b23a c 2-=-1, 整理得b 2=3a 2-4c 2,所以a 2-c 2=3a 2-4c 2,即3c 2=2a 2⇒e=ca =6. 答案:6 10.(2015·全国1卷理科·T14)（14）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 。
(完整word版)高考数学椭圆填空题题集(附答案)
椭圆填空题11、(1)离心率一条准线方程为x=的椭圆的标准方程为________________；(2)短轴端点与焦点间的距离等于5，一条准线的方程是椭圆的方程为___________________。
2、(1)上有一点P到右焦点的距离为1，则P的坐标为_______；(2)AB A、B的横坐标之和为-7，。
3、椭圆的中心在原点，一个焦点为F（0，6），中心到准线的距离为10，则椭圆方程为＿＿＿。
4、椭圆的中心在原点，短轴端点到焦点的距离是6，一条准线方程是y=9，则椭圆方程为_____________.5、b= 。
6、(1)y2=1上点P到右焦点F P到左准线的距离为______；(2)1：3，则这点到左、右准线的距离分别为_______________。
7、(1)中心在原点，长半轴长与短半轴长的和为0.6的椭圆的方程为________；(2)对称轴是坐标轴,(2，0)的椭圆的方程是_______。
8、(1)短轴长为6，且过点(1，4)的椭圆标准方程是__________；(2)顶点(-6，0)，(6，0)过点(3，3)的椭圆方程是__________。
9、的焦距为4，则这个椭圆的焦点在_____轴上，坐标是_____。
10、m= 。
11、一个椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为36，一条准线为x=3，则该椭圆的方程是＿＿＿＿.12、椭圆的一个焦点和短轴两端点连成三角形，这个三角形有一个角为120°，则该椭圆的离心率为＿＿＿＿.13、椭圆的准线间的距离是焦距的2倍，则它的离心率为＿＿＿＿。
14、椭圆的长、短轴都在坐标轴上，长、短轴的长度之和为36，离心率为53，则椭圆方程为＿＿＿＿＿。
15、椭圆的中心在原点，一个顶点为(2,0)且短轴长等于焦距则椭圆的方程为＿＿＿。
16、椭圆13610022=+y x 上一点M 到左、右焦点的距离之比为1：3，则点M 到左准线的距离为＿＿＿。
2024全国高考真题数学汇编：椭圆(1)精选全文完整版
2024全国高考真题数学汇编椭圆一、单选题1．（2024全国高考真题）已知曲线C ：2216x y （0y ），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ，P 为垂足，则线段PP 的中点M 的轨迹方程为（）A ．221164x y（0y ）B ．221168x y （0y ）C ．221164y x （0y ）D ．221168y x （0y ）二、解答题2．（2024天津高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b椭圆的离心率12e ．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △(1)求椭圆方程．(2)过点30,2的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．3．（2024北京高考真题）已知椭圆E ： 222210x y a b a b，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点 0,t t 且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和 0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．4．（2024全国高考真题）已知(0,3)A 和33,2P 为椭圆2222:1(0)x yC a b a b上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．5．（2024全国高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b的右焦点为F ，点31,2M 在C 上，且MF x 轴．(1)求C 的方程；(2)过点 4,0P 的直线交C 于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y 轴．参考答案1．A【分析】设点(,)M x y ，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P x y ，代入圆的方程即可求解.【详解】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x ，因为M 为PP 的中点，所以02y y ，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y 上，所以22416(0)x y y ，即221(0)164x y y ，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y .故选：A2．(1)221129x y (2)存在 30,32T t t，使得0TP TQ 恒成立.【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.（2）设该直线方程为：32y kx， 1122,,,,0,P x y Q x y T t ，联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t 表示TP TQ，再根据0TP TQ 可求t 的范围.【详解】（1）因为椭圆的离心率为12e，故2a c，b ，其中c 为半焦距，所以2,0,0,,0,2A c B C，故122ABC S c △故ca ，3b ，故椭圆方程为：221129x y .（2）若过点30,2的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：32y kx ，设 1122,,,,0,P x y Q x y T t ，由22343632x y y kx可得223412270k x kx ，故 222Δ144108343245760k k k 且1212221227,,3434k x x x x k k而 1122,,,TP x y t TQ x y t，故121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t22121233122kx x k t x x t22222731231342342k k k t t kk2222222327271812332234k k k t t t k k22223321245327234t t k t k，因为0TP TQ 恒成立，故 223212450332702t t t，解得332t .若过点30,2的动直线的斜率不存在，则 0,3,0,3P Q 或 0,3,0,3P Q ，此时需33t ，两者结合可得332t.综上，存在 30,32T t t，使得0TP TQ 恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.3．(1)221,422x y e(2)2t 【分析】（1）由题意得b c a ，由此即可得解；（2）设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立椭圆方程，由韦达定理有2121222424,1221kt t x x x x k k ，而 121112:y y AD y x x y x x ，令0x ，即可得解.【详解】（1）由题意b c，从而2a ，所以椭圆方程为22142x y，离心率为e；（2）直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立22142x y y kx t，化简并整理得222124240k x ktx t ，由题意 222222Δ1682128420k t k t k t ，即,k t 应满足22420k t ，所以2121222424,1221kt t x x x x k k ，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设 22,D x y ，所以 121112:y y AD y x x y x x，在直线AD 方程中令0x ，得 2122112121221121212422214C k t x kx t x kx t kx x t x x x y x y y t x x x x x x kt ，所以2t ，此时k 应满足222424200k t k k，即k应满足2k或2k ，综上所述，2t满足题意，此时2k或2k .4．(1)12(2)直线l 的方程为3260x y 或20x y .【分析】（1）代入两点得到关于,a b 的方程，解出即可；（2）方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设 00,B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线3y kx ，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设3:(3)2PB y k x，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【详解】（1）由题意得2239941b a b，解得22912b a ，所以12e .（2）法一：3312032APk，则直线AP 的方程为132y x ，即260x y ，AP 1）知22:1129x y C ，设点B 到直线AP 的距离为d，则d则将直线AP 沿着与AP 此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ，6C 或18C ，当6C 时，联立221129260x y x y，解得03x y 或332x y ，即 0,3B 或33,2，当 0,3B 时，此时32l k，直线l 的方程为332y x ，即3260x y ，当33,2B时，此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，当18C 时，联立2211292180x y x y得22271170y y ，227421172070 ，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP 的距离d设 00,B x y，则220012551129x y，解得00332x y 或0003x y ，即 0,3B 或33,2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP的距离d设,3sin B ，其中 0,2联立22cos sin 1，解得cos 21sin 2或cos 0sin 1，即 0,3B 或33,2，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时 0,3B ，16392PAB S ，符合题意，此时32l k ，直线l 的方程为332y x ，即3260x y ，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx ，联立椭圆方程有2231129y kx x y，则2243240k x kx ，其中AP k k ，即12k ，解得0x 或22443kx k，0k ，12k ，令22443k x k ，则2212943k y k ，则22224129,4343k k B k k同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP的距离d，解得32k =，此时33,2B，则得到此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A到PB 距离3d ，此时1933922ABP S 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x，令 1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y，消y 可得 22224324123636270k x k k x k k ，2222Δ24124433636270k kk k k ，且AP k k ，即12k ，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k，A 到直线PB距离192PAB d S，12k或32，均满足题意，1:2l y x 或332y x ，即3260x y 或20x y .法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A到PB 距离3d ，此时1933922ABP S 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(2l y k x，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x ，则30,32Q k，联立223323436y kx k x y，则有2223348336362702k x k k x k k ，2223348336362702k xk k x k k，其中22223Δ8343436362702k k k k k，且12k ，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k，则211312183922234P B k S AQ x x k k，解的12k 或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x或332y x ，即3260x y 或20x y .5．(1)22143x y (2)证明见解析【分析】（1）设 ,0F c ，根据M 的坐标及MF x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设:(4)AB y k x ， 11,A x y ， 22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y ，结合韦达定理化简前者可得10Q y y ，故可证AQ y 轴.【详解】（1）设 ,0F c ，由题设有1c 且232b a ，故2132a a ，故2a，故b ，故椭圆方程为22143x y .（2）直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x ， 11,A x y ， 22,B x y，由223412(4)x y y k x 可得 2222343264120k x k x k ，故 422Δ102443464120k k k ，故1122k ，又22121222326412,3434k k x x x x k k ，而5,02N，故直线225:522y BN y x x ，故22223325252Qy y y x x，所以 1222112225332525Q y x y y y y y x x12224253425k x x k x x222212122264123225825834342525k k x x x x k k k kx x2222212824160243234025k k k k k x ，故1Q y y ，即AQ y 轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为 1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意 的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x 、12x x （或12y y 、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.。
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考点11 椭圆1.（2019·广东高考文科·Ｔ7）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ） A ．45 B ．35 C ．25 D ．15【思路点拨】由椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，列出a 、b 、c 的关系，再转化为a 、c 间的关系，从而求出e . 【规范解答】选B .椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,∴ 2b a c =+，∴ 224()b a c =+，即： 22242b a ac c =++，又 222a b c =+，∴ 224()a c -=222a ac c ++，即 223250a ac c --=，()(35)0a c a c +-=，∴0a c +=（舍去）或 350a c -=，∴ 35c e a ==，故选B . 2.（2019·福建高考文科·Ｔ１1）若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为（ ） A.2 B.3 C.6 D.8【命题立意】本题考查椭圆的基本概念、平面向量的内积、利用二次函数求最值. 【思路点拨】先求出椭圆的左焦点，设P 为动点，依题意写出OP FP ⋅的表达式，进而转化为求解条件最值的问题，利用二次函数的方法求解.【规范解答】选C ，设()00P x ,y ，则22220000x y 3x 1y 3434+==-即，又因为()F 1,0- ()2000OP FP x x 1y ∴⋅=⋅++2001x x 34=++()201x 224=++，又[]0x 2,2∈-，()[]OP FP 2,6∴⋅∈，所以 ()max6OP FP⋅=.3.（2019·海南高考理科·T20）设12,F F 分别是椭圆E:22221x y a b+=（a>b>0）的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相交于,A B 两点，且2AF ,AB ,2BF 成等差数列. （Ⅰ)求E 的离心率；（Ⅱ）设点P （0,-1）满足PA PB =,求E 的方程.【命题立意】本题综合考查了椭圆的定义、等差数列的概念以及直线与椭圆的关系等等.解决本题时，一定要灵活运用韦达定理以及弦长公式等知识.【思路点拨】利用等差数列的定义，得出2AF ,AB ,2BF 满足的一个关系，然后再利用椭圆的定义进行计算.【规范解答】（Ⅰ)由椭圆的定义知，224AF BF AB a ++=，又222AB AF BF =+ 得 43AB a =，l 的方程为y x c =+，其中c =设()()1122,,,A x y B x y ，则,A B 两点坐标满足方程组22221y x c x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简得，2222222()2()0a b x a cx a c b +++-= 则 212222a c x x a b -+=+，2221222()a cb x x a b-=+. 因为直线AB 斜率为1，所以21AB x =-=得 222443a ab a b =+，故222a b =,所以E的离心率2c e a ===. （Ⅱ）设,A B 两点的中点为()00,N x y ，由（Ⅰ)知212022223x x a c x c a b +-===-+，003cy x c =+=. 由PA PB =，可知1PN k =-.即0011y x +=-，得3c =，从而3a b ==. 椭圆E 的方程为221189x y +=. 【方法技巧】熟练利用圆锥曲线的定义及常用的性质，从题目中提取有价值的信息，然后列出方程组进行相关的计算.4.（2019·北京高考文科·Ｔ１9）已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(，，y t =与椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P,圆心为P .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标；（Ⅲ）设Q （x,y ）是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值.【命题立意】本题考查了求椭圆方程，直线与圆的位置关系，函数的最值。
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(椭圆)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（椭圆）练习一. 基础小题练透篇1.已知定点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝8，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．直线 D ．线段2．[2023ꞏ山西省忻州市高三联考]“m >0”是“方程x 24 ＋y 2m ＝1表示椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.[2023ꞏ重庆市高三模拟]几何学中，把满足某些特定条件的曲线组成的集合叫做曲线族．点Q 是椭圆族T 上任意一点，如图所示，椭圆族T 的元素满足以下条件：①长轴长为4；②一个焦点为原点O ；③过定点P ()0，3 ，则||QP ＋||QO 的最大值是( )A ．5B ．7C ．9D ．114．[2023ꞏ四川省遂宁市模拟]已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12 ，则( ) A ．a 2＝2b 2 B ．3a 2＝4b 2 C ．a ＝2b D ．3a ＝4b5．[2023ꞏ甘肃省张掖市高三检测]已知椭圆x 2＋y 2b 2 ＝1(1>b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 是椭圆上一点，点A 是线段F 1F 2上一点，且∠F 1MF 2＝2∠F 1MA ＝2π3 ，|MA |＝32 ，则该椭圆的离心率为( )A ．3B ．12C ．223D ．36．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，3 )，B (0，－3 )，动点M 满足|MA |＋|MB |＝4，则MA → ꞏMB →的最大值为( )A ．－2B ．0C ．1D ．27．已知椭圆C 的焦点在x 轴上，过点(322 ，2)且离心率为13 ，则椭圆C 的焦距为________． 8．[2023ꞏ陕西省西安市模拟]椭圆x 29 ＋y 23 ＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，如果PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的________倍．二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ陕西省安康市高三联考]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 215 ＝1(a >15 )的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°.||PF 1 ＝5||PF 2 ，则C 的方程为( )A ．x 221 ＋y 215 ＝1B ．x 218 ＋y 215 ＝1C ．x 236 ＋y 215 ＝1 D ．x 242 ＋y 215 ＝12．[2023ꞏ广西贵港市高三联考]若2<m <8，椭圆C ：x 2m ＋y 22 ＝1与椭圆D ：x 2m ＋y 28 ＝1的离心率分别为e 1，e 2，则( )A ．e 1ꞏe 2的最小值为32B ．e 1ꞏe 2的最小值为12C ．e 1ꞏe 2的最大值为3D ．e 1ꞏe 2的最大值为123．[2023ꞏ江西名校联盟模拟]在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交PQ 于点M ，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为( )A.22 B ．12 C ．13 D ．144．[2023ꞏ陕西省西安市高三检测]设椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1()a >b >0 的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A ，B 关于原点对称，且满足F A → ꞏFB →＝0，||FB ≤||F A ≤2||FB ，则椭圆C 的离心率的最大值是( )A ．13B ．33C ．23D ．535．[2023ꞏ陕西省咸阳市摸底]已知椭圆C ：x 2m 2－1＋y 2m 2 ＝1(m ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一点，且△PF 1F 2面积的最大值为3 ，则椭圆C 的短轴长为________．6．[2023ꞏ福建省高三联考]抛物线C 1：y 2＝4x 的焦点F ，点P ()3，2 ，以点F ，P 为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为________．三. 高考小题重现篇1.[2021ꞏ山东卷]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29 ＋y 24 ＝1的两个焦点，点M 在C 上，则||MF 1 ꞏ||MF 2 的最大值为( )A ．13 B. 12 C ．9 D. 62．[全国卷Ⅰ]已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 24 ＝1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．22 D ．2233．[2022ꞏ全国甲卷]已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的离心率为13 ，A 1，A 2分别为C的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA → 1ꞏBA →2＝－1，则C 的方程为( )A ．x 218 ＋y 216 ＝1B ．x 29 ＋y 28 ＝1C ．x 23 ＋y 22 ＝1 D ．x 22 ＋y 2＝14．[2022ꞏ全国甲卷]椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为()A．32B．22C．12D．135．[2019ꞏ全国卷Ⅲ]设F1，F2为椭圆C：x236＋y220＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．6．[2021ꞏ全国甲卷]已知F1，F2为椭圆C：x216＋y24＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．四. 经典大题强化篇1.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e＝5，直线l交椭圆于M，N两点．(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦|MN|的长；(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．2．[2022ꞏ湖北武汉调研]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为22，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为103时，求k的值．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：D答案解析：因为|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|，所以动点P 的轨迹是线段F 1F 2. 2．答案：B答案解析：当m >0时方程x 24 ＋y 2m ＝1不一定表示椭圆，如m ＝4时方程x 24 ＋y 24＝1，即x 2＋y 2＝4就表示一个圆，所以“m >0”不是“方程x 24 ＋y2m＝1表示椭圆”的充分条件；但是当方程x 24 ＋y 2m ＝1表示椭圆时，应有m >0，所以“m >0”是“方程x 24 ＋y 2m＝1表示椭圆”的必要条件，故选B. 3．答案：A答案解析：如图所示设点Q 所在椭圆的另一焦点为F ，则||QP ＋||QO ＝||QP ＋4－||QF ≤||PF ＋4＝4－||PO ＋4＝5. 故选A. 4．答案：B答案解析：椭圆的离心率e ＝c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，化简得3a 2＝4b 2，故选B.5．答案：B答案解析：设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2，则r 1＋r 2＝2a ＝2，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|cos 2π3，即4c 2＝r 21 ＋r 22 ＋r 1r 2＝（r 1＋r 2）2－r 1r 2＝4－r 1r 2，所以r 1r 2＝4－4c 2，因为S △F 1MF 2＝S △F 1MA ＋S △AMF 2，所以12 r 1r 2sin 23 π＝12 r 1·|MA |·sin π3 ＋12 r 2·|MA |·sin π3，整理得r 1r 2＝（r 1＋r 2）·|MA |，即4－4c 2＝2×32 ，整理得c 2＝14，所以c ＝12 ，a ＝1，e ＝c a ＝12.故选B. 6．答案：C答案解析：易知M 的轨迹为椭圆，其方程为y 24＋x 2＝1，设M （x ，y ），则x 2＝1－y 24，∴MA → ·MB → ＝（－x ，3 －y ）·（－x ，－3 －y ）＝x 2＋y 2－3＝y 2＋（1－y 24）－3＝3y24－2， 因为y ∈[－2，2]，所以34y 2∈[0，3]，即3y24 －2∈[－2，1]，∴（MA → ·MB →）max ＝1. 7．答案：2答案解析：设椭圆方程为x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1，由离心率为13 可得c a ＝13，由a 2＝b 2＋c 2可得b 2a 2＝89 ，又92a 2 ＋4b 2 ＝1，解得a 2＝9，b 2＝8，c ＝1，焦距为2. 8．答案：5答案解析：由题得c ＝6 ，由题得PF 2⊥x 轴，当x ＝6 时，69＋y 23 ＝1，所以y ＝±1，∴|PF 2|＝1，所以|PF 1|＝2×3－|PF 2|＝6－1＝5， 所以|PF 1|是|PF 2|的5倍．二 能力小题提升篇1．答案：C答案解析：在椭圆C ：x 2a 2 ＋y 215＝1（a >15 ）中，由椭圆的定义可得||PF 1 ＋||PF 2 ＝2a ，因为||PF 1 ＝5||PF 2 ，所以||PF 2 ＝a 3，||PF 1 ＝5a3，在△PF 1F 2中，||F 1F 2 ＝2c ，由余弦定理得||F 1F 2 2＝||PF 1 2＋||PF 2 2－2||PF 1 ||PF 2 cos ∠F 1PF 2，即4c 2＝25a 29 ＋a29－5a 29 ＝21a 29 ，所以c 2a 2 ＝2136 ，又b 2＝15.所以a 2＝36，所以椭圆C 的方程为x 236 ＋y 215 ＝1. 故选C. 2．答案：D答案解析：因为2<m <8，所以e 1＝ 1－2m ，e 2＝ 1－m8，所以e 1·e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 8 ＝1＋14－⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋m 8 ≤54－22m ·m 8 ＝12， 当且仅当m ＝4时，等号成立，故e 1·e 2的最大值为12，e 1·e 2无最小值．故选D.3．答案：C答案解析：不妨设点P 在x 轴上方，如图，连接BQ ，则由椭圆的对称性易得∠PBF ＝∠QBF ，∠EAB ＝∠EBA ，所以∠EAB ＝∠QBF ，所以ME ∥BQ ，所以|PE ||EB | ＝|PM ||MQ | .因为OE ∥PF ，所以|OF ||OB |＝|EP ||EB | ，从而有|PM ||MQ | ＝|OF ||OB | .又M 是线段PF 的中点，所以e ＝c a ＝|OF ||OB | ＝|PM ||MQ | ＝13 . 4．答案：D答案解析：如图所示：设椭圆的左焦点F ′，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF ′为平行四边形，又FA → ·FB →＝0，即FA ⊥FB ， 所以平行四边形AFBF ′为矩形，所以||AB ＝||FF ′ ＝2c ，设||AF ′ ＝|BF |＝n ，||AF ＝m, 在直角△ABF 中，m ＋n ＝2a ，m 2＋n 2＝4c 2，得mn ＝2b 2，所以m n＋n m ＝2c 2b 2 ，令m n ＝t ，得t ＋1t ＝2c2b 2 ，又由||FB ≤||FA ≤2||FB ，得m n ＝t ∈[1，2]，所以t ＋1t ＝2c 2b 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 ，所以c 2b 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，54 ，即b 2a 2 ＝11＋c 2b2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤49，12 ， 所以e ＝ca＝1－b 2a 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，53 ，所以离心率最大值为53 .故选D.5．答案：23答案解析：由椭圆的方程可知，椭圆的焦点F 1，F 2在y 轴上，且|F 1F 2|＝2m 2－（m 2－1） ＝2，由题意可知，当点P 为椭圆C 左右顶点时，△PF 1F 2的面积最大，且12 |F 1F 2|m 2－1 ＝3 ，解得m ＝2，所以椭圆C 的短轴长为2m 2－1 ＝23 .6．答案：22答案解析：抛物线C 1：y 2＝4x 的焦点F （1，0），根据题意2c ＝（3－1）2＋（2－0）2＝22 ，c ＝2 .设椭圆和抛物线的交点为Q ，Q 到抛物线准线x ＝－1的距离为d ，离心率最大，即a 最小，a ＝||QF ＋||QP 2 ＝d ＋||QP 2 ≥3－（－1）2＝2， 当PQ 与准线垂直时等号成立，此时e ＝ca ＝22. 三 高考小题重现篇1．答案：C答案解析：由题，a 2＝9，b 2＝4，则||MF 1 ＋||MF 2 ＝2a ＝6，所以||MF 1 ·||MF 2 ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫||MF 1＋||MF 22 2＝9（当且仅当||MF 1 ＝||MF 2 ＝3时，等号成立）.2．答案：C答案解析：由题意可知c ＝2，b 2＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝4＋22＝8，则a ＝22 ，∴e ＝c a ＝222 ＝22 . 3．答案：B答案解析：由椭圆C 的离心率为13 ，可得e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝13.化简，得8a 2＝9b 2.易知A 1（－a ，0），A 2（a ，0），B （0，b ），所以BA 1·BA 2＝（－a ，－b ）·（a ，－b ）＝－a 2＋b 2＝－1.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝9b 2，－a 2＋b 2＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝8. 所以C 的方程为x 29 ＋y 28 ＝1.故选B.4．答案：A答案解析：A ()－a ，0 ，设P ()x 1，y 1 ，则Q ()－x 1，y 1 ，则k AP ＝y 1x 1＋a ，k AQ ＝y 1－x 1＋a， 故k AP ·k AQ ＝y 1x 1＋a ·y 1－x 1＋a ＝y 21 －x 21 ＋a 2 ＝14， 又x 21 a2 ＋y 21 b2 ＝1，则y 21 ＝b 2()a 2－x 21 a 2， 所以b 2()a 2－x 21 a 2－x 21 ＋a2 ＝14 ，即b 2a 2 ＝14 ， 所以椭圆C 的离心率e ＝c a＝1－b 2a 2 ＝32 .故选A. 5．答案：（3，15 ）答案解析：不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20 ＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M （x ，y ），则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y220＝1，|F 1M |2＝（x ＋4）2＋y 2＝64，x >0，y >0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为（3，15 ）.6．答案：8答案解析：根据椭圆的对称性及|PQ |＝|F 1F 2|可以得到四边形PF 1QF 2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF 1QF 2为矩形．设|PF 1|＝m ，则|PF 2|＝2a －|PF 1|＝8－m ，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝m 2＋（8－m ）2＝2m 2＋64－16m ＝|F 1F 2|2＝4c 2＝4（a 2－b 2）＝48，得m （8－m ）＝8，所以四边形PF 1QF 2的面积为|PF 1|×|PF 2|＝m （8－m ）＝8.四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）由已知得b ＝4，且c a ＝55 ，即c 2a 2 ＝15，∴a 2－b 2a 2 ＝15，解得a 2＝20，∴椭圆方程为x 220 ＋y 216＝1. 则4x 2＋5y 2＝80与y ＝x －4联立，消去y 得9x 2－40x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝409，∴所求弦长|MN |＝1＋12|x 2－x 1|＝4029. （2）椭圆右焦点F 的坐标为（2，0），设线段MN 的中点为Q （x 0，y 0），由三角形重心的性质知BF → ＝2FQ →， 又B （0，4），∴（2，－4）＝2（x 0－2，y 0）， 故得x 0＝3，y 0＝－2， 即Q 的坐标为（3，－2）. 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4，且x 21 20 ＋y 21 16 ＝1，x 22 20 ＋y 2216＝1， 以上两式相减得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2 ＝－45 ·x 1＋x 2y 1＋y 2 ＝－45 ×6－4 ＝65，故直线MN 的方程为y ＋2＝65（x －3），即6x －5y －28＝0.2．答案解析：（1）由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，得b ＝2 ，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.（2）由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y22＝1， 得（1＋2k 2）x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.Δ＝24k 2＋16>0恒成立． 设点M ，N 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则y 1＝k （x 1－1），y 2＝k （x 2－1），x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2 ，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2 ，所以|MN |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝2（1＋k 2）（4＋6k 2）1＋2k 2. 又点A （2，0）到直线y ＝k （x －1）的距离d ＝|k |1＋k2 ，所以△AMN的面积S＝12|MN|·d＝|k|4＋6k21＋2k2，由|k|4＋6k21＋2k2＝103，得k＝±1.所以当△AMN的面积为103时，k＝±1.。
椭圆历年高考题
解得 e= = = -1.
4.(2017·全国乙卷文科·T12)设 A,B 是椭圆 C: x2 + y2 =1 长轴的两个端点,若 C 上存在点 M 满足 3m
A.
B.
C.
D.
3.(2018·全国卷 II 高考文科·T11)已知 F1,F2 是椭圆 C 的两个焦点,P 是 C 上的一点,若 PF1⊥PF2,且 ∠PF2F1=60°,则 C 的离心率为( )
C.
4.(2017·全国乙卷文科·T12)设 A,B 是椭圆 C: x2 + y2 =1 长轴的两个端点,若 C 上存在点 M 满足 3m
6
A.
3
3
B.
3
2
1
C.
D.
3
3
7.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T5)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 l 的距离为其
短轴长的 ,则该椭圆的离心率为( )
1
1
A. 3
B. 2
2
3
C. 3
D. 4
8.(2016·全国
卷
3·理
科·T11)已知
O
为坐
标原点,F是椭圆C:x2 a2
y2 b2
即
a2=3(a2-c2)?2a2=3c2,即
c2 a2
=
2 3
,e=
c a
=
6
.
3
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近年高考题 椭圆部分选编
1．已知椭圆，长轴在轴上. 若焦距为，则等于 （ ）22
1102
x y m m +=--y 4m A 、 B 、 C 、 D 、4578
2．设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，12F F 、1F P 12F PF ∆则椭圆的离心率为（
）
A B C 、D 213．已知△的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在ABC C B ,13
22
=+y x A 边上，则△的周长是（
）BC ABC A 、2 B 、6 C 、4 D 、12
334．曲线与曲线的（ ）221(6)106x y m m m +=<--)95(1952
2<<=-+-n n y n x A 、焦距相等 B 、离心率相等 C 、焦点相同 D 、准线相同
5．已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>(3,0)F F ,A B AB 标为,则的方程为（ ）
(1,1)-E A ．B ．C ．D ．22
14536x y +=2213627x y +=2212718x y +=221189
x y +=6．已知椭圆:的左、右焦点分别为，，椭圆上点满足. 若点是椭圆上C 22
143x y +=1F 2F C A 212AF F F ⊥P C 的动点，则的最大值为 （ ）
12F P F A ⋅
B. C. D. 2339415
4
7．设12F F 是椭圆的左、右焦点,为直线32
a x =上一点,21F PF 是底角为30 的等2222:1(0)x y E a
b a b +=>>P ∆腰三角形,则的离心率为（ ）
E A ．B ．C ．D ．12233445
8．椭圆22
143
x y +=的左焦点为F ,直线x m =与椭圆相交于点A 、B ,当FAB ∆的周长最大时,FAB ∆的面积是____________.
9．椭圆的左.右焦点分别为,焦距为2c,若直线与椭圆的一个交22
22:1(0)x y a b a b
Γ+=>>12,F F )y x c =+Γ点M 满足,则该椭圆的离心率等于__________
12212MF F MF F ∠=∠10．椭圆(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数22221x y a b
+=列,则此椭圆的离心率为_______________.
11．设AB 是椭圆的长轴,点C 在上,且,若AB=4,,则的两个焦点之间的距离为
ΓΓ4CBA π
∠=BC =Γ________ .
12．已知正方形，则以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为______________；
ABCD A B ，C D ，13．在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，则xOy ABC △(40)A -，(40)C ，B 22
1259
x y +=_____；sin sin sin A C B
+=
14．已知椭圆中心在原点，一个焦点为(－2，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是
F 3 。
15．如图把椭圆的长轴分成8分，过每个分点作轴的垂线交椭圆的22
12516
x y +=AB x 上半部分于,,……七个点，是椭圆的一个焦点，则
1P 2P 7P F ____________．1
27......PF P F P F +++=二、解答题
1． 已知椭圆的离心率为，过椭圆右焦点的2222:1(0)y x G a b a b +=>>12
G F 直线与椭圆交于点（点在第一象限）.
:1m x =G M M （Ⅰ）求椭圆的方程；
G （Ⅱ）已知为椭圆的左顶点，平行于的直线与椭圆相交于，两点. 请
A G AM l
B
C 判断直线，是否关于直线对称，并说明理由.
MB MC m
2．已知椭圆经过点．2222:1(0)x y C a b a b +=>>（Ⅰ）求椭圆的方程；
C （Ⅱ）直线与椭圆交于两点，点是椭圆的右顶点．直线与直线
(1)(0)y k x k =-≠C ,A B M C AM 分别与轴交于点，试问以线段为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；BM y ,P Q PQ x 若不是，说明理由．
3．椭圆C ：22
22+1x y a b =(a ＞b ＞0)的离心率为12
，其左焦点到点P (2，1)．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆
C 的右顶点.求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．。