全等三角形重点题型

全等三角形知识点总结知识点总结一、全等图形、全等三角形：1.全等图形：能够完全的两个图形就是全等图形。

2.全等图形的性质：全等多边形的、分别相等。

3.全等三角形：三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形的对应边、对应角分别相等。

同样，如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

说明：全等三角形对应边上的高，中线相等，对应角的平分线相等；全等三角形的周长，面积也都相等。

这里要注意：（1）周长相等的两个三角形，不一定全等；（2）面积相等的两个三角形，也不一定全等。

二、全等三角形的判定：1.一般三角形全等的判定（1）三边对应相等的两个三角形全等（“边边边”或“”）。

（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(“边角边”或“”)。

（3）两个角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等(“角边角”或“”)。

（4）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(“角角边”或“”)。

2.直角三角形全等的判定利用一般三角形全等的判定都能证明直角三角形全等．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(“斜边、直角边”或“”)．注意：两边一对角(SSA)和三角(AAA)对应相等的两个三角形不一定全等。

3.性质1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。

2、全等三角形的对应边上的高对应相等。

3、全等三角形的对应角平分线相等。

4、全等三角形的对应中线相等。

5、全等三角形面积相等。

6、全等三角形周长相等。

(以上可以简称:全等三角形的对应元素相等)三、角平分线的性质及判定：性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等。

判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上。

四、证明两三角形全等或利用它证明线段或角相等的基本方法步骤：1.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）；2.回顾三角形判定公理，搞清还需要什么；3.正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题）。

初二数学第十一章全等三角形综合复习切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。

例1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。

求证：ACF BDE ∆≅∆。

例 2. 如图，在ABC ∆中，BE 是∠ABC 的平分线，AD BE ⊥，垂足为D 。

求证：21C ∠=∠+∠。

例3. 如图，在ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=o。

F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,AE EF 和CF 。

求证：AE CF =。

例4. 如图，AB //CD ，AD //BC ，求证：AB CD =。

例5. 如图，,AP CP 分别是ABC ∆外角MAC ∠和NCA ∠的平分线，它们交于点P 。

求证：BP 为MBN ∠的平分线。

例6. 如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线。

求证：2AC AE =。

例7. 如图，在ABC ∆中，AB AC >，12∠=∠，P 为AD 上任意一点。

求证：AB AC PB PC ->-。

同步练习一、选择题：1. 能使两个直角三角形全等的条件是( ) A. 两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等 C. 两锐角对应相等D. 斜边相等2. 根据下列条件，能画出唯一ABC ∆的是( ) A. 3AB =，4BC =，8CA =B. 4AB =，3BC =，30A ∠=oC. 60C ∠=o，45B ∠=o，4AB =D. 90C ∠=o，6AB =3. 如图，已知12∠=∠，AC AD =，增加下列条件：①AB AE =；②BC ED =；③C D ∠=∠；④B E ∠=∠。

其中能使ABC AED ∆≅∆的条件有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4. 如图，12∠=∠，C D ∠=∠，,AC BD 交于E 点，下列不正确的是( ) A. DAE CBE ∠=∠ B. CE DE =C. DEA ∆不全等于CBE ∆D. EAB ∆是等腰三角形5. 如图，已知AB CD =，BC AD =，23B ∠=o，则D ∠等于( )A. 67oB. 46oC. 23oD. 无法确定二、填空题：6. 如图，在ABC ∆中，90C ∠=o，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，且:2:3CD AD =，10AC cm =，则点D 到AB 的距离等于__________cm ；7. 如图，已知AB DC =，AD BC =，,E F 是BD 上的两点，且BE DF =，若100AEB ∠=o ，30ADB ∠=o ，则BCF ∠=____________；8. 将一张正方形纸片按如图的方式折叠，,BC BD 为折痕，则CBD ∠的大小为_________；9. 如图，在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=o，AC BC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，DE AB ⊥于E ，若10AB =，则BDE ∆的周长等于____________；10. 如图，点,,,D E F B 在同一条直线上，AB //CD ，AE //CF ，且AE CF =，若10BD =，2BF =，则EF =___________；三、解答题： 11. 如图，ABC ∆为等边三角形，点,M N 分别在,BC AC 上，且BM CN =，AM 与BN 交于Q 点。

求AQN ∠的度数。

12. 如图，90ACB ∠=o，AC BC =，D 为AB 上一点，AE CD ⊥，BF CD ⊥，交CD 延长线于F 点。

求证：BF CE =。

答案例1. 思路分析：从结论ACF BDE ∆≅∆入手，全等条件只有AC BD =；由AE BF =两边同时减去EF 得到AF BE =，又得到一个全等条件。

还缺少一个全等条件，可以是CF DE =，也可以是A B ∠=∠。

由条件AC CE ⊥，BD DF ⊥可得90ACE BDF ∠=∠=o，再加上AE BF =，AC BD =，可以证明ACE BDF ∆≅∆，从而得到A B ∠=∠。

解答过程：Q AC CE ⊥，BD DF ⊥ ∴90ACE BDF ∠=∠=o 在Rt ACE ∆与Rt BDF ∆中 Q AE BF AC BD =⎧⎨=⎩ ∴Rt ACE Rt BDF ∆≅∆(HL) ∴A B ∠=∠Q AE BF =∴AE EF BF EF -=-，即AF BE =在ACF ∆与BDE ∆中 Q AF BE A B AC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴ACF BDE ∆≅∆(SAS)解题后的思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。

再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。

小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。

例2. 思路分析：直接证明21C ∠=∠+∠比较困难，我们可以间接证明，即找到α∠，证明2α∠=∠且1C α∠=∠+∠。

也可以看成将2∠“转移”到α∠。

那么α∠在哪里呢？角的对称性提示我们将AD 延长交BC 于F ，则构造了△FBD ，可以通过证明三角形全等来证明∠2=∠DFB ，可以由三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C 。

解答过程：延长AD 交BC 于F 在ABD ∆与FBD ∆中Q 90ABD FBD BD BD ADB FDB ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠=⎩o ∴ABD FBD ∆≅∆(ASA ∴2DFB ∠=∠又Q 1DFB C ∠=∠+∠ ∴21C ∠=∠+∠。

解题后的思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。

例3. 思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。

以线段AE 为边的ABE ∆绕点B 顺时针旋转90o到CBF ∆的位置，而线段CF 正好是CBF ∆的边，故只要证明它们全等即可。

解答过程：Q 90ABC ∠=o ，F 为AB 延长线上一点 ∴90ABC CBF ∠=∠=o 在ABE ∆与CBF ∆中 Q AB BC ABC CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴ABE CBF ∆≅∆(SAS) ∴AE CF =。

解题后的思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。

小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。

这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。

例4. 思路分析：关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形的问题。

解答过程：连接AC Q AB //CD ，AD //BC ∴12∠=∠，34∠=∠在ABC ∆与CDA ∆中 Q 1243AC CA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ ∴ABC CDA ∆≅∆(ASA) ∴AB CD =。

解题后的思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。

例5. 思路分析：要证明“BP 为MBN ∠的平分线”，可以利用点P 到,BM BN 的距离相等来证明，故应过点P 向,BM BN 作垂线；另一方面，为了利用已知条件“,AP CP 分别是MAC ∠和NCA ∠的平分线”，也需要作出点P 到两外角两边的距离。

解答过程：过P 作PD BM ⊥于D ，PE AC ⊥于E ，PF BN ⊥于FQ AP 平分MAC ∠，PD BM ⊥于D ，PE AC ⊥于E ∴PD PE =Q CP 平分NCA ∠，PE AC ⊥于E ，PF BN ⊥于F ∴PE PF =Q PD PE =，PE PF =∴PD PF =Q PD PF =，且PD BM ⊥于D ，PF BN ⊥于F ∴BP 为MBN ∠的平分线。

解题后的思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。

例6. 思路分析：要证明“2AC AE =”，不妨构造出一条等于2AE 的线段，然后证其等于AC 。

因此，延长AE 至F ，使EF AE =。

解答过程：延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF 在ABE ∆与FDE ∆中Q AE FE AEB FED BE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴ABE FDE ∆≅∆(SAS)∴B EDF ∠=∠Q ADF ADB EDF ∠=∠+∠，ADC BAD B ∠=∠+∠又Q ADB BAD ∠=∠ ∴ADF ADC ∠=∠ Q AB DF =，AB CD = ∴DF DC =在ADF ∆与ADC ∆中 Q AD AD ADF ADC DF DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴ADF ADC ∆≅∆(SAS) ∴AF AC =又Q 2AF AE = ∴2AC AE =。