第17章 一元二次方程(整理与复习)
第17章 一元二次方程(知识清单+典型例题)(原卷版)
第17章 一元二次方程（知识清单+典型例题）【知识导图】【知识清单】1.一元二次方程的概念一元二次方程2(0)0a x bx c a ìïíï=¹î++一个未知数2整式方概念：只含有，且未知数的一程最高次数是的.般式：C ．()()513x x -+=D ．()212y x =-+【变式】方程25610x x --=的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）A ．5，6-，1-B ．5，6，1C ．1，6-，1D ．1，6，1-2.一元二次方程的解法解法2212,0(0)0,0a c x ax c a x x c c x a a c ì=ïïï+=¹Þ=íï===ïïîìíî-开平方法无实数根因式分解法一次因式积零异号时，：形如：的方程同号公时，；时，：把一元二次方程分解成两个等于的形式，分别令两个一次因式为零求解。
把常数项移到方程右边；把二次项系数化为；方程两边都加上：半；左边配成配方法一次项系数一的平方完程全平方式①②1③④.24b ac x ìïïïïïïïïïíïïïïìïïD ==ïíïïîïïî-式：化成一般式；计算判别式法；①②③【例2】解下列方程：(1)22(1)18x -=．(2)2450x x --=．【变式】解下列方程：(1)()()273273x x +=+；(2)2640x x --=．3.一元二次方程的判别式000.D >ÛìïD ÛíïD <Ûî两个不相等两个方程有的实数根；＝方程有的实数根；方实数根没有程相等【例3】（2023上·上海金山·八年级校考期中）下列方程是关于x 的一元二次方程，一定有实数解的是（ ）A ．220x x ++=B ．220x x m ++=C ．2230x x -+-=D ．2240x x --=4.二次三项式的因式分解：步骤：21212220(0),()()40ax bx c a a x x a x x x c x b ac x bx ì-³ïí++=ï++=¹--î如果，先求出方程，再写出分解式：的两根①②5.一元二次方程的应用题一般步骤：ìíî找出题中的；设；列出，即根据找出的等量等量关系未知数方程含有未知数的等关系列出；解方作式检程；。
第17章一元二次方程(单元复习课件)(1个概念1个解法2个关系1个应用+易错集训+素养提升)-202
（1）有两个相等实根； m-1≠0且Δ=0
（2）有两个不等实根； m-1≠0且Δ＞0
（3）有实根； （4）无实数根；
△≥0或者m-1=0 △＜0且m-1≠0
（5）只有一个实数根； m-1=0
（6）有两个实数根。 △≥0且m-1≠0
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的根与系数的关系
解析 本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系用表析分如
下：设公司每天的销售价为x元.
单件利润 销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售
4
32
128
涨价销售
x-20
32-2(x-24)
150
其等量关系是：总利润=单件利润×销售量.
解：（1）32-(x-24) ×2=80-2x; （2）由题意可得(x-20)(80-2x)=150.
x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
【例3】 已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等的
实数根，则m的取值范围是（ A ）
A. m 4 B. m<2
3
C. m ≥0
D. m<0
解析 根据方程根的情况可知，此方程的根的判别式 Δ >0, 即42-4×1×（-3m)=16+12m>0,解m得 4 ,故选A.
根与系数的关系
x1
x2
b a
c x1 x2 a
一元二次方 几何问题、数字问题
程 的 应 用 营销问题、平均变化率问题
1个概念
考点01一元二次方程的基本概念
1.定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化 为 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的 方程叫做一元二次方程．
17章一元二次方程的解法专题复习
程用直接开平方法求解
1. 方程4x2－25＝0的解为C ( )
A．x＝ 2
B．x＝ 5
5
2
C．x＝5
2
D．x＝2
5
2. 用直接开平方法解下列一元二次方程，其
中无实数解的方程为( C )
A．x2－5＝5
B．－3x2＝0
C．x2＋4＝0
D．(x＋1)2＝0
类型2 当二次项系数为 1 ，且一次 项系数为偶数时，用配方法求解.
解：经验证 x 0不是方程的根，原方程 两边同除以 x2 得6x2 35x 62 35 x
设 y＝x＋1x，则 x2＋x12＝y2－2， 原方程可变为 6(y2－2)－35y＋62＝0. 解得 y1＝52，y2＝130. 当 x＋1x＝52时，解得 x1＝2，x2＝12； 当 x＋1x＝130时，解得 x3＝3，x4＝13. 经检验，均符合题意． 原方程的解为 x1＝2，x2＝12，x3＝3，x4＝31.
(3)x2 2x 339 0; 配方法
(4)(2x 1)2 3(2x 1). 因式分解法
(5)5x2 17 x 0 因式分解法
(6)(2x 1)2 4(3x 2)2 0 因式分解法
(7)40 x 2
600 x
640
0 化去系数的最大公因 数,再用因式分解法
(8)(x 8)2 16(x 8) 64 0 用整体完全 平方公式
(6) x2 1 0 7
2、若关于x的方程
(m 1)xm21 (m 2)x 3 0
（1）是一元二次方程, 则m的取值范围是什么
（２）是一元一次方程, 则m的取值范围是什么?
一般地，任何一个一元二次方程经过整理，____b_x____c_____0______（其中____≠0 ）
第17章 一元二次方程单元练习题(含答案)
第17章一元二次方程练习题1 一元二次方程x 2－6x －5＝0配方后可变形为( )A ．(x －3)2＝14B ．(x －3)2＝4C ．(x ＋3)2＝14D ．(x ＋3)2＝42一元二次方程x 2＋2x ＋1＝0的根的情况是( )A ．有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根3下列一元二次方程没有实数根的是( )A ．x 2＋2x ＋1＝0B ．x 2＋x ＋2＝0C ．x 2－1＝0D ．x 2－2x －1＝04. 若关于x 的一元二次方程x 2＋4x ＋k ＝0有两个相等的实根，则k 的值为( )A ．k ＝－4B ．k ＝4C ．k ≥－4D ．k ≥45 若方程3x 2－4x －4＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝( )A ．－4B ．3C ．－43D .436 已知关于x 的一元二次方程x 2＋mx －8＝0的一个实数根为2，则另一实数根及m 的值分别为( )A ．4，－2B ．－4，－2C ．4，2D ．－4，27 有x 支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是( )A .12x (x －1)＝45B .12x (x ＋1)＝45 C ．x (x －1)＝45 D ．x (x ＋1)＝458 若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2＋32ax －a 2＝0的一个根，则a 的值为( ) A ．－1或4 B ．－1或－4 C ．1或－4 D ．1或49若x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两个根，则x 12－x 1＋x 2的值为( )A ．－1B ．0C ．2D ．310 已知M ＝29a －1，N ＝a 2－79a (a 为任意实数)，则M ，N 的大小关系为( ) A ．M ＜N B ．M ＝N C ．M ＞N D ．不能确定11 若x 0是方程ax 2＋2x ＋c ＝0(a ≠0)的一个根，设M ＝1－ac ，N ＝(ax 0＋1)2，则M 与N 的大小关系正确的为( )A ．M ＞NB ．M ＝NC ．M ＜ND ．不确定12 方程x 2－3＝0的根是________．13若方程2x －4＝0的解也是关于x 的方程x 2＋mx ＋2＝0的一个解，则m 的值为________．14 某加工厂九月份加工了10吨干果，十一月份加工了13吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为x ，根据题意可列方程为________________．15 已知m 是关于x 的方程x 2－2x －3＝0的一个根，则2m 2－4m ＝________．16] 若一个三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x 2－13x ＋40＝0的根，则该三角形的周长为________．17 若关于x 的一元二次方程x 2＋6x ＋k ＝0有两个相等的实数根，则k ＝________．18若关于x的一元二次方程x2＋2x－2m＋1＝0的两个实数根之积为负数，则实数m的取值范围是________．19．如果关于x的一元二次方程kx2－3x－1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是________．20] 某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是________．21设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2018＝0的两个实数根，则m2＋3m＋n＝________．22解方程：x2－2x＝4.23定义新运算：对于任意实数m，n都有m☆n＝m2n＋n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：－3☆2＝(－3)2×2＋2＝20.根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程2x2－bx＋a＝0的根的情况．24已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－1＝0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．25.已知关于x的一元二次方程x2－6x＋(2m＋1)＝0有实数根．(1)求m的取值范围；(2)如果方程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1x 2＋x 1＋x 2≥20，求m 的取值范围．26 一幅长20 cm 、宽12 cm 的图案，如图17－Y －1，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3∶2.设竖彩条的宽度为x cm ，图案中三条彩条所占面积为y cm 2.(1)求y 与x 之间的函数表达式；(2)若图案中三条彩条所占面积是图案面积的25，求横、竖彩条的宽度．图17－Y －127某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．(1)求该种商品每次降价的百分率；(2)若该种商品的进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件．为使两次降价销售的总利润不少于3210元，则第一次降价后至少要售出该种商品多少件？参考答案1．A2．B3．B [解析] A ．Δ＝22－4×1×1＝0，方程有两个相等实数根，此选项错误；B ．Δ＝12－4×1×2＝－7＜0，方程没有实数根，此选项正确；C ．Δ＝0－4×1×(－1)＝4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；D ．Δ＝(－2)2－4×1×(－1)＝8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误．4．B 5.D 6.D 7.A8．C [解析] 将x ＝－2代入方程x 2＋32ax －a 2＝0，得4－3a －a 2＝0，即a 2＋3a －4＝0，左边分解因式得(a －1)(a ＋4)＝0，∴a －1＝0，或a ＋4＝0，解得a ＝1或－4.9．D [解析] ∵x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两个根，∴x 1＋x 2＝－b a＝2，x 1x 2＝c a＝－1.x 12－x 1＋x 2＝x 12－2x 1－1＋x 1＋1＋x 2＝1＋x 1＋x 2＝1＋2＝3. 10．A [解析] ∵M ＝29a －1，N ＝a 2－79a (a 为任意实数)，∴N －M ＝a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34，N －M >0，∴N ＞M ，即M ＜N . 11．B [解析] ∵x 0是方程ax 2＋2x ＋c ＝0(a ≠0)的一个根，∴ax 02＋2x 0＋c ＝0，即ax 02＋2x 0＝－c ，则N －M ＝(ax 0＋1)2－(1－ac )＝a 2x 02＋2ax 0＋1－1＋ac ＝a (ax 02＋2x 0)＋ac ＝－ac ＋ac ＝0，∴M ＝N .12．x 1＝3，x 2＝－ 313．－314．10(1＋x )2＝1315．616．1217．918．m ＞1219．k ＞－94且k ≠0 20．10%21．2016 [解析] ∵m 为一元二次方程x 2＋2x －2018＝0的实数根，∴m 2＋2m －2018＝0，即m 2＝－2m ＋2018，∴m 2＋3m ＋n ＝－2m ＋2018＋3m ＋n ＝2018＋m ＋n ，∵m ，n 分别为一元二次方程x 2＋2x －2018＝0的两个实数根，∴m ＋n ＝－2，∴m 2＋3m ＋n ＝2018－2＝2016.22．解：配方x 2－2x ＋1＝4＋1，∴(x －1)2＝5，∴x ＝1±5，∴x 1＝1＋5，x 2＝1－ 5.23．解：∵2☆a 的值小于0，∴22a ＋a ＝5a ＜0，解得a ＜0.在方程2x 2－bx ＋a ＝0中，Δ＝(－b )2－8a ≥－8a ＞0，∴方程2x 2－bx ＋a ＝0有两个不相等的实数根．24．解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2－1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝(2m ＋1)2－4×1×(m 2－1)＝4m ＋5＞0，解得m ＞－54. (2)m ＝1，此时原方程为x 2＋3x ＝0，即x (x ＋3)＝0，解得x 1＝0，x 2＝－3.(答案不唯一，正确即可)25．解：(1)根据题意得Δ＝(－6)2－4(2m ＋1)≥0，解得m ≤4.(2)根据题意得x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝2m ＋1，而2x 1x 2＋x 1＋x 2≥20，所以2(2m ＋1)＋6≥20，解得m ≥3，由(1)可得m ≤4，所以m 的范围为3≤m ≤4.26．解：(1)根据题意可知，横彩条的宽度为32x cm ， ∴y ＝20×32x ＋2×12x －2×32x ·x ＝－3x 2＋54x ， 即y 与x 之间的函数表达式为y ＝－3x 2＋54x .(2)根据题意，得－3x 2＋54x ＝25×20×12， 整理，得x 2－18x ＋32＝0，解得：x 1＝2，x 2＝16(舍去)，∴32x ＝3， 答：横彩条的宽度为3 cm ，竖彩条的宽度为2 cm .27．解：(1)设该种商品每次降价的百分率为x %，依题意得400×(1－x %)2＝324，解得x ＝10或x ＝190(舍去)．答：该种商品每次降价的百分率为10%.(2)设第一次降价后售出该种商品m 件，则第二次降价后售出该种商品(100－m )件， 第一次降价后的单件利润为400×(1－10%)－300＝60(元/件)；第二次降价后的单件利润为324－300＝24(元/件)．依题意得60m ＋24×(100－m )＝36m ＋2400≥3210.解得m ≥22.5.∴m ≥23.答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元，第一次降价后至少要售出该种商品23件．。
沪科版八年级数学下第17章一元二次方程知能素养小专题(四)根的判别式及根与系数的关系的应用习题课件
材料 2：已知实数 m，n 满足 m2－m－1＝0，n2－n－1＝0，且 m≠n，求nm＋
m n的值．
第 22 页
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解：由题知 m，n 是方程 x2－x－1＝0 的两个不相等的实数根，根据材料
n m m2＋n2 （m＋n）2－2mn 1＋2
1 得 m＋n＝1，mn＝－1，故m＋n＝ mn ＝
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∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0， ∴a－b＝0，b－c＝0，a－c＝0，∴a＝b＝c， ∴△ABC 为等边三角形．
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类型 5：利用根与系数的关系求字母的值 6．已知关于 x 的方程 x2＋2(k－1)x＋k2－7k－4＝0 的两根为 α，β，且 满足α3 ＋β3 －α4β＝1.求 k 的值．
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由题知 p，2q 是方程 x2－7x＋2＝0 的两个不相等的实数根，根据材料 1 得 p＋2q＝7，2pq＝2， ∴p2＋4q2＝(p＋2q)2－4pq＝72－2×2＝45.
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类型 6：利用根与系数的关系求代数式的值 9．已知关于 x 的一元二次方程 x2＋(2m－1)x＋m2－3＝0 有实数根． (1)求实数 m 的取值范围； 解：由题意，得 Δ≥0， ∴(2m－1)2－4(m2－3)≥0， 解得 m≤143.
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解：∵α＋β＝2－2k，αβ＝k2－7k－4， 由已知等式变形得 3(α＋β)－αβ＝4. ∴3(2－2k)－(k2－7k－4)＝4， 解得 k＝3 或 k＝－2， 又∵Δ＝4(k－1)2－4(k2－7k－4)≥0， ∴k≥－1，∴k＝3.
沪教版初二上第十七章《一元二次方程》全章复习与巩固练习(有解析)
沪教版初二上第十七章《一元二次方程》全章复习与巩固练习（有解析）【巩固练习】 一、选择题1. 关于x 的一元二次方程（a －1）x2＋x ＋|a|－1＝0的一个根是0，则实数a 的值为（ ）A.－1B.0C.1D.－1或12．已知a 是方程x2+x ﹣1=0的一个根，则22211a a a---的值为（ ） A.152-+ B.152-± C.﹣1D.13．若方程式（3x ﹣c ）2﹣60=0的两根均为正数，其中c 为整数，则c 的最小值为何？（ ）A.1B.8C.16D.614．已知关于x 的方程2(2)230m x mx m -+++=有实根，则m 的取值范畴是（ ）A ．2m ≠B ．6m ≤且2m ≠C ．6m <D ．6m ≤ 5．假如是α、β是方程2234x x +=的两个根，则22αβ+的值为（ ） A ．1 B ．17 C ．6.25 D ．0.25 6．在一幅长80 cm,宽50 cm 的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示.假如要使整个挂图的面积是5 400 cm2,设金色纸边的宽为x cm,那么x 满足的方程是( )A.x2+130x －1 400=0B.x2+65x －350=0C.x2－130x －1 400=0D.x2－65x －350=07. 方程x2+ax+1=0和x2-x-a=0有一个公共根，则a 的值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．38. 若关于x 的一元二次方程的两个实数根分别是，且满足．则k 的值为（ ）A.－1或B.－1C.D.不存在 二、填空题9．关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是x1=－2，x2=1（a ，m ，b 均为常数，a ≠0），则方程2(2)0a x m b +++=的解是 .10．已知关于x 的方程x2+2(a+1)x+(3a2+4ab+4b2+2)＝0有实根，则a 、b 的值分别为 ．11．已知α、β是一元二次方程2430x x --=的两实数根，则(α-3)(β-3)＝________．12．当m_________时，关于x 的方程是一元二次方程；当m_________时，此方程是一元一次方程.13．把一元二次方程3x2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是____________；若多项式x2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________.14．已知，则的值等于_________. 15．已知，那么代数式的值为________.16．当x=_________时，既是最简二次根式，被开方数又相同.三、解答题17. 设m 为整数，且4＜m ＜40，方程有两个不相等的整数根，求m 的值及方程的根.18．设(a ，b)是一次函数y ＝(k-2)x+m 与反比例函数ny x=的图象的交点，且a 、b 是关于x 的一元二次方程22(3)(3)0kx k x k +-+-=的两个不相等的实数根，其中k 为非负整数，m 、n 为常数．（1）求k 的值；（2）求一次函数与反比例函数的解析式．19. 长沙市某楼盘预备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格通过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．(1)求平均每次下调的百分率；(2)某人预备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优待方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业治理费，物业治理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优待?20．已知某项工程由甲、乙两队合做12天能够完成，共需工程费用13 800元，乙队单独完成这项工程所需时刻是甲队单独完成这项工程所需时刻的2倍少10天，且甲队每天的工程费用比乙队多150元.(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？(2)若工程治理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？请说明理由.【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】A ；【解析】先把x ＝0代入方程求出a 的值，然后依照二次项系数不能为0，把a ＝1舍去．2．【答案】D ； 【解析】先化简22211a a a---，由a 是方程x2+x ﹣1=0的一个根，得a2+a ﹣1=0，则a2+a=1，再整体代入即可．解：原式=2(1)(1)(1)a a a a a -++-=1(1)a a +，∵a 是方程x2+x ﹣1=0的一个根， ∴a2+a ﹣1=0， 即a2+a=1， ∴原式=1(1)a a +=1．故选D ． 3．【答案】B ；【解析】利用平方根观念求出x ，再依照一元二次方程的两根都为正数，求出c 的最小值即可．解：（3x ﹣c ）2﹣60=0 （3x ﹣c ）2=60 3x ﹣c=±3x=c ±x=又两根均为正数，且＞7．因此整数c 的最小值为8故选B ． 4.【答案】D ；【解析】△≥0得6m ≤，方程有实根可能是一元二次方程有实根，也可能是一元一次方程有实根.5．【答案】C ；【解析】22+=+-=6.25αβαβαβ2（）2. 6．【答案】B ；【解析】上、下两条金色纸边的面积一样,左、右两条金色纸边的面积一样,∴2(80+x)·x+2(50+x)·x+80×50=5 400. 整理得x2+65x －350=0. 7．【答案】C ；【解析】提示：先求公共根m=-1,再把那个公共根m=-1代入原先任意一个方程可求出a=2.8．【答案】C ；【解析】由题意，得： 二、填空题9．【答案】x1=﹣4，x2=﹣1．【解析】解：∵关于x 的方程a （x+m ）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1，（a ，m ，b 均为常数，a ≠0），∴则方程a （x+m+2）2+b=0的解是x1=﹣2﹣2=﹣4，x2=1﹣2=﹣1． 故答案为：x1=﹣4，x2=﹣1． 10.【答案】a ＝1，12b =-．【解析】 判别式△＝[2(a+1)]2-4(3a2+4ab+4b2+2) ＝4(a2+2a+1)-(12a2+16ab+16b2+8) ＝-8a2-16ab-16b2+8a-4＝-4(2a2+4ab+4b2-2a+1)＝-4[(a2+4ab+4b2)+(a2-2a+1)]． ＝-4[(a+2b)2+(a-1)2]．因为原方程有实根，因此-4[(a+2b)2+(a-1)2]≥0， (a+2b)2+(a-1)2≤0，又∵ (a+2b)2≥0，(a-1)2≥0， ∴ a-1＝0且a+2b ＝0， ∴ a ＝1，12b =-． 11．【答案】-6；【解析】∵ α、β是一元二次方程2430x x --=的两实数根， ∴ α+β＝4，αβ＝-3． 12．【答案】-3；．13．【答案】；2或6.【解析】即2(-)232a a =-.a=2或6. 14.【答案】4；【解析】原方程化简为：（x2+y2）2-2(x2+y2)-8=0,解得x2+y2=-2或4，-2不符题意舍去.15.【答案】-2； 【解析】原方程化为：.16.【答案】-5；【解析】由x2+3x=x+15解出x=-5或x=3, 当x=3时，不是最简二次根式，x=3舍去.故x=-5.三、解答题17. 【答案与解析】 解方程，得，∵原方程有两个不相等的整数根，∴2m+1为完全平方数， 又∵m 为整数，且4＜m ＜40，∴m=12或24. ∴当m=12时，，；当m=24时，.18. 【答案与解析】(1)因为关于x 的方程22(3)(3)0kx k x k +-+-=有两个不相等的实数根，因此220,44(3)4(3)0,k b ac k k k ≠⎧⎨=-=--->⎩△ 解得k ＜3且k ≠0， 又因为一次函数y ＝(k-2)x+m 存在，且k 为非负整数，因此k ＝1． (2)因为k ＝1，因此原方程可变形为2420x x --=，因此由根与系数的关系知a+b ＝4，ab ＝-2，又当k ＝1时，一次函数y x m =-+过点(a ，b)，因此a+b ＝m ，因此m ＝4，同理可得n ＝-2，故所求的一次函数与反比例函数的解析式分别为4y x =-+与2y x=-． 19. 【答案与解析】(1)设平均每次下调的百分率是x ． 依题意得5000(1-x)2＝4050． 解得x1＝10%，x2＝1910(不合题意，舍去)． 答：平均每次下调的百分率为10%． (2)方案①优待：4050×100×(1-0.98)＝8100(元)；方案②优待：1.5×100×12×2＝3600(元) ∵ 8100＞3600．∴ 选方案①更优待. 20. 【答案与解析】(1) 设甲队单独完成需x 天，则乙队单独完成需要(2x －10)天. 依照题意,有11121012xx +=-，解得x1=3，x2=20. 经检验均是原方程的根，x1=3不符题意舍去.故x=20.∴乙队单独完成需要 2x －10=30(天).答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需要20天、30天. (2) 设甲队每天的费用为y 元，则由题意有 12y+12(y －150)=138 000，解得y=650 .∴选甲队时需工程费用650×20=13 000，选乙队时需工程费用500×30=15 000.∵13 000 <15 000，∴从节约资金的角度考虑，应该选择甲工程队.。
八年级下册数学课件-17《一元二次方程复习题》 沪科版
题型三：传播问题
例6：有一人患了流感，经过两轮传染 后共有121人患了流感，每轮传染中 平均一个人传染了几个人？
解：设每轮传染中平均每个人传染了x人， 依题意得1+x+x（1+x）=121， ∴x1=10或x2=-12（不合题意舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染了10个人
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配方法的一般步 骤:
二移----把常数项移到方程的右边;
三配----把方程的左边配成一个完全平方式; 四开----利用开平方法求出原方程的两个解.
★一除、二移、三配、四开、五解.
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4 x
2
3x 1 0
2
用公式法的条件是:适应于任何一个一元 二次方程，先将方程化为一般形式，再 求出b2-4ac的值， b2-4ac≥0则方程有 实数根， b2-4ac<0则方程无实数根;
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第17章· 一元二次方程
一元二次方程复习题
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知识复习1.一元二次方程的有关概念.
核心考点：
（1）概念：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元）， 并且未知数的最高次数是2（二次）的方程（等式），叫 做一元二次方程． （2） 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都 能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一 元二次方程的一般形式．
m1 1, m2 2
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1、若 m 2x2 m 2x 2 0 是关于x的一元二次方 程则m ≠-2 。
2、若方程
(m 2) x
初中数学中考第十七讲一元二次方程知识点分析
第十七讲：一元二次方程知识梳理知识点1. 一元二次方程的概念 重点：掌握一元二次方程的概念 难点：判断方程是否为一元二次方程 1、一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程叫做一元二次方程。
2、关于x 的一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0,(a ≠0)，其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
例1. .下列方程中是一元二次方程的是（ ）①20x =②243(25)x x =-③2111x x =++④213x -=2=⑥2545(2)(1)x x x x -=+-A . ①②③⑥B . ①②④⑥C . ①②④D . ②③④⑥ 解题思路：根据一元二次方程的概念 答案：B 例2将下列方程化成一元二次方程的一般形式，1.(1)(2)61x x x ++=+2.2(2)(2)2(3)x x x +-=- 解题思路：根据一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0,(a ≠0) ， 例2、1.： 2.：223261310x x x x x ++=+-+=2222242(69)42121812220x x x x x x x x -=-+-=-+-+= 练习1. 当a 时，方程2(1)(21)10a x a x ++--=是关于x 的一元二次方程；当a 时，方程22(5)740a x x a ++-=是关于x 的一元二次方程.221)0x x -+=答案：1.1a ≠-，a 为任意实数2.22)20x x -++=知识点2. 一元二次方程的解法重点：掌握一元二次方程的解法难点：熟练解一元二次方程灵活运用四种解法解一元二次方程：一元二次方程的一般形式:a2x+bx+c=0(a≠0) 四种解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，公式法：x= (b2-4ac≥0)注意：掌握一元二次方程求根公式的推导；主要数学方法有：配方法，换元法，“消元”与“降次”。
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ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0）
二次项 常数项
判别一个方程是 一元二次方程的 重要条件！
a为二次项系数 一次项 b为一次项系数
3、一元二次方程的解法
直 接 开 平 方 法 配 方 0) 当b 2 4ac 0时，它的根是 b b 2 4ac x 2a
解法
因式分解法 最常用的方法是因式分解法； 比较
最通用的方法是公式法；
最具有局限性的方法是直接开平方法； 最繁琐的方法是配方法.
4、一元二次方程根的判别式
一元二次方程 ax
2
bx c 0a 0 根的判式是:
b 4ac
2
一元二次方程 判别式的情况
根的情况
定理与逆定理
b 2 4ac 0 两个不相等实根 b 2 4ac 0 两个相等实根 b 2 4ac 0 无实根(无解)
(400 x)(8 4 x) 4800 50
2
2.若关于x的方程 (a 2) x a 则a= -2 。
2
2
2 x 5 0 是一元二次方程，
点拨：由题意知a2-2=2且a-2≠0.解得：a=-2
类型二：解法类问题（解方程）
例3 用配方法解方程： 2x2-3X=2
解：化二次项系数为1 3 x2 x 1 2 3 3 3 x 2 x ( ) 2 1 ( ) 2 2 4 4 3 25 (x )2 4 16 3 5 x 4 4 1 x1 2, x 2 2
2
的两个实数根的平方和为23，求m的值。
类型五：应用类问题（面积问题）
例7 用7m长的铝合金做成透光面积（矩形ABCD的面积） 为2 m2的“日”型窗框（2AB>3BC)，求窗框的宽度？（铝 合金的宽度忽略不计）
A E D F 解：设窗框的宽度BC=xm，则高度AB=
根据题意得： x
4
7 3x 2 2
原方程可化为x2-4x=-3
x2-4x+4=-3+4 (x-2)2=1
原方程可化为x2-4x+3=0
∵b2-4ac=4,代入公式 ∴x1=1,x2=3
x-2=±1
∴x1=1,x2=3
类型三：解法类问题（判别式）
例5 不解方程，判别方程3x2+2x-9=0根的情况.
解：由方程知：a=3,b=2,c=-9 b2-4ac=22-4×3×（-9）=112＞0 ∴原方程有两个不相等的实数根.
请用四种方法解方程：（2x-3)2=x2
解法一（因式分解法）： （2x-3)2-x2=0 (2x-3+x)(2x-3-x)=0 (3x-3)(x-3)=0 ∴x1=1,x2=3 解法三（公式法）： 解法四（配方法）： 解法二（直接开平方法）： 2x-3 =x或2x-3 =-x ∴x1=1,x2=3
P
A
根据题意，得：(16-2x-3x)2+62=102 解得x1=1.6,x2=4.8. 经检验x1=1.6,x2=4.8都是方程的根且符合题意. 答：经过1.6s或4.8s后，P、Q两点之间距离为10cm.P
Q
Q
B E
C E
B
C
PE=16-3x-2x
PE=3x+2x-16
某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天 能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决 定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元， 平均每天就能多售出4台．商场要想在这种冰箱销售中每天盈 利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？ 解： 设每台冰箱应降价x元.
x1 x2 k
x1 3 x2 1 ∴ 3 x2 1 x2 13 ∴ x2 3 x1 10
∵ ∴ k 3 10 30 检验：当k=30时，△=169-120=49＞0 ∴k=30
1、a≠0 2、△≥0 3、实际
已知关于x的一元二次方程
x mx 2m 1 0
7 3x 2
B
C
解得：x1 , x2 1 3 4 3 当 x AB 3 2 当 x 1 AB 2. 答：窗框的宽度为1m.
类型五：应用类问题（经济问题）
例8 某商场销售一批衬衫，每件成本为50元，如果按每件60元 出售，可销售800件；如果每件提价5元出售，其销售量就减少 100件.如果商场销售这批衬衫要获利润12000元，又使顾客获得 更多的优惠，那么这种 衬衫售价应定为多少元？
例6 是否存在k，使方程 (k 1) x 2 (k 2) x 4 0 有两个相等的实数根？若存在，求出k的值；若 不存在，请说明理由。
类型四：一元二次方程根与系数的关系 例7、已知 x1 、 x 2 是一元二次方程 x 2 13 x k 0 的两根，且 x1 3 x2 1 求k的值。 解：依题意得， x1 x2 13
0 0 0
两不相等实根 两相等实根 无实根
5、一元二次方程根与系数的关系
如果ax bx c 0, a 0 的两个根是x1 , x2
2
b c 那么x1 x2 , x1 x2 a a
6、用一元二次方程解决问题
1、类型 （1）面积（体积）问题；
2、思路
实际问题
解：因为每件提价5元出售，其销售量就减少100件.所以每件提价 1元出售，其销售量就减少20件.于是设这种衬衫的售价为x元. 根据题意，得 （x-50)［800-20(x-60)］=12000 (x-70)(x-80)=0 x1=70,x2=80 经检验x1=70,x2=80是方程的解，因为使顾客获得更多的优惠，所 以x2=80不符合题意，应舍去. 答：这种衬衫的定价应定为70元.
第17章 一元二次方程 整理与复习
1、了解一元二次方程及相关概念； 2、会用适当的方法解一元二次方程；
3、能以一元二次方程为工具解决一些简单的实际问题。
1、一元二次方程的概念
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程称为一元二次方程. 2、一元二次方程的一般形式
二次项系数a为 什么不等于0呢？
类型五：应用类问题（运动问题）
例10 如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB=16cm， BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的 速度向点B移动，一直到达点B为止；点Q以2cm/s的速度向点 D移动.经过多长时间 P、Q之间的距离是10cm？ A D D
解：经过xs后，P、Q两点之间的距离是10cm.
（2）增长率问题；
（3）经济问题； （4）运动问题； …… 数学模型（一元二次方程） 检验 数学问题
3、步骤 （1）审（2）设（3）列（4）解（5）验（6）答
类型一：概念类问题
例1 下列关于x的方程：
3 (1)2 x x 3 0, (2) x 5, (3) x 2 2 x 3 0, (4) x 2 y 2 1 x
例4 用适当的方法解下列方程. （1） 2（x-1)2=32 解：（x-1)2=16 x-1=±4 ∴x1=5,X2=-3
(2) 3x2+4x=2
解：原方程可变形为3x2+4x-2=0 ∵a=3,b=4,c=-2 ∴b2-4ac=42+4×3×（-2）=40＞0
4 40 x 23 2 10 2 10 x1 , x2 3 3
2 2
其中是一元二次方程的有（ D ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
|m|-1-2x+4=0是一元二次方程， 例2 关于x的方程（m+3)x 则m= .3
解：由题意得： |m|-1=2且m+3≠0 解得 m=3
1.下列方程是一元二次方程的是（ A ）
3 A.2 x 9, B.x 2 5, C.x( x 5) x 2 2 x, D.x 2 y 1 x