抛物线最值问题求法备课讲稿
高中数学抛物线最值问题精品
抛物线求最值问题（第一类）1.已知抛物线和一条直线，求抛物线上的一点到直线与（y 轴、准线、焦点）距离之和的最小值问题。
此类题常用方法转化为求焦点到直线的距离。
例题已知抛物线方程为x y 42=,直线l 的方程为04=+-y x ,在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d1到直线l 的距离为d2,则d12的最小值为多少？ 分析：如图点P 到y 轴的距离等于点P 到焦点F 的距离减1，过焦点F 作直线4=0的垂线，此时d12最小，依据抛物线方程求得F ，进而利用点到直线的距离公式求得d12的最小值．解：如图点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，从而P 到y 轴的距离等于点P 到焦点F 的距离减1．过焦点F 作直线4=0的垂线，此时d122-1最小，∵F （1，0），则2，则d12的最小值为．抛物线求最值问题（其次类）2.已知抛物线和一个定点，①：定点在抛物线“内”，求抛物线上的一点到定点与（焦点、准线）距离之和的最值问题；②定点在抛物线“外”，求抛物线上的一点到定点与（焦点、准线）距离之差肯定值的最值问题。
此类题常用方法转化为三点共线或者顶点到直线问题。
例题已知点P在抛物线y2=4x上，则点P到点Q（2，-1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A.⎪⎭⎫⎝⎛-1,41B．⎪⎭⎫⎝⎛1,41C．（1，2）D．（1，-2）分析：先推断点Q与抛物线的位置，即点Q在抛物线内，再由点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，依据图象知最小值在M，P，Q三点共线时取得，可得到答案．解：点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图，故最小值在M，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是-1，抛物线求最值问题（第三类）3.已知抛物线和一条直线，求抛物线上的一点到直线距离最小值问题。
此类题常用方法：①设点转化成二次函数问题；②求导数，让抛物线上点的切线斜率等于直线斜率。
1.利用二次函数解抛物线形的最值应用课件(浙教版)
(2)因实际需要，在离AB为3 m的位置处用一根立柱MN撑起绳子， 如图②，使左边抛物线F1的最低点距MN为1 m，离地面1.8 m，求MN的长；
解：在 y＝110x2－45x＋3 中，令 x＝0 得 y＝3， ∴A(0，3)．由题意，可设抛物线 F1 的表达式为 y＝a(x－2)2＋1.8. 将点 A(0，3)的坐标代入得 4a＋1.8＝3，解得 a＝0.3，∴抛物线 F1 的表达式为 y＝0.3(x－2)2＋1.8.当 x＝3 时，y＝0.3×1＋1.8＝2.1， ∴MN 的长为 2.1 m.
7．【中考·青岛】如图，隧道的截面由抛物线和长方 形构成，长方形的长是 12 m，宽是 4 m．按照图中
所示的直角坐标系，抛物线可以用 y＝－16x2＋bx＋c 表示，且抛物线上的点 C 到墙面 OB 的水平距离为
3 m，到地面 OA 的距离为127 m.
(1)求该抛物线的函数表达式，并计算出拱顶 D 到地面 OA 的距离；
ZJ版九年级上
第1章 二次函数
1.4 二次函数的应用 第3课时 利用二次函数解抛物线形
的最值应用
提示：点击 进入习题
1C 2B 3 y＝－19(x＋6)2＋4 4A
5D 6 24 7 见习题 8 见习题 9 见习题
答案显示
1．【中考·铜仁】河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似 的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系， 其函数的关系式为 y＝－215x2，当水面离桥拱顶 的高度 DO 是 4 m 时，这时水面宽度 AB 为( C ) A．－20 m B．10 m C货车最外侧与地面 OA 的交点为(2， 0)或(10，0)，当 x＝2 或 x＝10 时，y＝232＞6，所 以这辆货车能安全通过．
(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离 地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过 8 m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
《用二次函数求实际中“抛物线”型的最值问题》PPT课件
下列结论：①足球距离地面的最大高度为 20 m；②足球飞行路 线的对称轴是直线 t＝92； ③足球被踢出 9 s 时落地； ④足球被踢出 1.5 s 时，距离地面的高度是 11 m. 其中正确结论的个数是( B ) A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，需在一面墙上绘制几个相同的“抛物线”形图案．按照 图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用 y＝ax2＋bx(a≠0) 表示．已知抛物线上 B，C 两点到地面的距离均为34 m，到墙 边 OA 的距离分别为12 m，32 m.
A．此抛物线对应的解析式是 y＝－15x2＋3.5 B．篮圈中心的坐标是(4，3.05) C．此抛物线的顶点坐标是(3.5，0) D．篮球出手时离地面的高度是 2 m 【点拨】A.∵抛物线的顶点坐标为(0，3.5)， ∴可设抛物线对应的函数解析式为 y＝ax2＋3.5. ∵篮圈中心(1.5，3.05)在抛物线上，将它的坐标代入上式，
∴这次跳投时，篮球出手时离地面的高度是 2.25 m．故本选项错误．
7．(中考·临沂)足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢 出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球 距离地面的高度 h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间 t(单 位：s)之间的关系如下表： t 0 1 2 3 4 5 6 7… h 0 8 14 18 20 20 18 14 …
*4.(2018·武汉)飞机着陆后滑行的距离 y(单位：m)关于滑行时间 t(单位：s)的函数解析式是 y＝60t－32t2.在飞机着陆滑行中，最 后 4 s 滑行的距离是___2_4____m.
【点拨】当 y 取得最大值时，飞机停下来．因为 y＝60t－32t2＝－32(t －20)2＋600，所以 t＝20 时，飞机着陆后滑行 600 m 才能停下来．
三种求抛物线表达式的方法教案
第三种方法：交点式法
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PART.05
交点式法原理
交点式方程反映了抛物线与x轴的交点信息，便于求解和分析。 利用抛物线与x轴的交点坐标，结合抛物线的对称性质，可以构造出抛物线的交点式方程。
交点式法步骤
确定抛物线与x轴的交点坐标，记为(x1, 0)和(x2, 0)。 利用抛物线上另外一点的坐标信息，代入交点式方程求解a的值。 根据交点坐标，构造抛物线的交点式方程：y = a(x - x1)(x - x2)，其中a为待求系数。 将求得的a值代入交点式方程，得到抛物线的表达式。
示例解析
【例1】已知抛物线的顶点坐标为$(2, -3)$，且经过点$(1, -1)$，求该抛物线的表达式。
【解析】根据顶点坐标$(2, -3)$，设抛物线方程为$y = a(x - 2)^{2} - 3$。将点$(1, -1)$代入方程，得$-1 = a(1 - 2)^{2} - 3$，解得$a = 2$。因此，该抛物线的表达式为$y = 2(x - 2)^{2} - 3$。
抛物线的顶点
抛物线的离心率等于1，即其焦点到任意一点的距离等于该点到准线的距离。
抛物线的离心率
抛物线的准线是垂直于对称轴且过焦点的直线，焦点是抛物线上任意一点到准线和对称轴距离之和最小的点。
抛物线的准线和焦点
抛物线性质
第一种方法：待定系数法
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PART.03
待定系数法原理
通过给定的条件（如抛物线上的两个点或顶点等），可以列出关于 $a, b, c$ 的方程组。 解这个方程组，就可以求出 $a, b, c$ 的值，从而得到抛物线的表达式。 抛物线的一般表达式为 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a, b, c$ 是待定的系数。
抛物线中的最值问题ppt课件
则 由 (y2x3x2)y2 r2
x 2 5 9 x r 2 0
可 得 :Δ( -25)41( 9r2)0
r
11 2
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
练习：
若P为抛物线y2=x上一动点，Q为圆（x-3)2+y2=1 上
练习、
P为抛物线x2=4y上的一动点，定点A（8,7）,求 P到x轴与到点A的距离之和的最小值 9
y P A
F
O
xy P AFra bibliotek所求p
F
点位置
O
x
Q
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
小结：
几何法，运用数形结合的思想，利用抛物线的定 义，将到焦点的距离转化为到准线的距离，将图 形局部进行转化，使最值问题得以求解
几何法：利用数形结合的思想，借助于几何图形中的 一些特点，将图形局部进行转化，使最值问 题得以求解。
及此时点P的坐标。
分析1：动点在弧AB上运动，可以 设出点P的坐标，只要求出点P到线 段AB所在直线AB的最大距离即为 点P到线段AB的最大距离，也就求 出了△ABP的最大面积。
分析2：我们可以连接AB，作平 行AB的直线L与抛物线相切，求 出直线L的方程，即可求出直线L 与AB间的距离，从而求出△ABP 面积的最大值和点P的坐标。
y x2
y
y=x2
3x 4y 6 d
5
3x 4x 2 6
5
4 ( x 3 ) 2 87
8
高中数学抛物线最值问题讲课稿
抛物线求最值问题（第一类）1.已知抛物线和一条直线，求抛物线上的一点到直线与（y 轴、准线、焦点）距离之和的最小值问题。
此类题常用方法转化为求焦点到直线的距离。
例题已知抛物线方程为x y 42=,直线l 的方程为04=+-y x ,在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d1,P 到直线l 的距离为d2,则d1+d2的最小值为多少？分析：如图点P 到y 轴的距离等于点P 到焦点F 的距离减1，过焦点F 作直线x-y+4=0的垂线，此时d1+d2最小，根据抛物线方程求得F ，进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值．解：如图点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，从而P 到y 轴的距离等于点P 到焦点F 的距离减1．过焦点F 作直线x-y+4=0的垂线，此时d1+d2=|PF|+d2-1最小， ∵F （1，0），则|PF|+d2==，则d1+d2的最小值为．抛物线求最值问题（第二类）2.已知抛物线和一个定点，①：定点在抛物线“内”，求抛物线上的一点到定点与（焦点、准线）距离之和的最值问题；②定点在抛物线“外”，求抛物线上的一点到定点与（焦点、准线）距离之差绝对值的最值问题。
此类题常用方法转化为三点共线或者顶点到直线问题。
例题已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，-1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A.⎪⎭⎫⎝⎛-1,41B．⎪⎭⎫⎝⎛1,41C．（1，2）D．（1，-2）分析：先判断点Q与抛物线的位置，即点Q在抛物线内，再由点P 到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，根据图象知最小值在M，P，Q三点共线时取得，可得到答案．解：点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图PF+PQ=PM+PQ，故最小值在M，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是-1，抛物线求最值问题（第三类）3.已知抛物线和一条直线，求抛物线上的一点到直线距离最小值问题。
抛物线中的最值问题
抛物线中的最值问题
例题：如图，已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A （—1，0）、C （0，—3）两点，与x 轴交于另一点B ．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）在抛物线的对称轴x ＝1上求一点P ，使点P 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，并求出此时点P 的坐标；
图1
（3）在抛物线的对称轴x ＝1上求一点Q ，使点Q 到点A 的距离与到点C 的距离之差的绝对值最大，并求出此时点Q 的坐标；
（4）若P 是抛物线上位于直线BC 下方的一个动点，求△BCP 的面积的最大值．．
练习：(2012•扬州)若抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)设点Q是直线l上的一个动点，当△QAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|MB－MC|的值最大，求出点M的坐标．
（4）若P是抛物线上位于直线BC上方的一个动点，求△BCP的面积的最大值．
图1 图2。
初中数学《用二次函数求实际中“抛物线”型的最值问题》课件PPT
1.抛物线型建筑物问题：几种常见抛物线型建筑 物有拱形桥洞、隧道洞口、拱形门等．解决这类 问题关键是根据已知条件选择合理位置建立 直角坐标系,结合问题中数据求出函数解析式, 然后利用函数解析式解决问题．
60 故y与x函数解析式为 y= -
(1x-6)2+2.6.
(2)当x=9时,
y=-
1 60
60 (x-6)2+2.6=2.45>2.43,
所以球能过球网;
当y=0时, - 1 (x-6)2+2.6=0, 60
解得: x1=6+2 39 >18, x2=6-2 39 (舍去),
故会出界.
知2－讲
(3)当球正好过点(18,0)时,抛物线y=a(x-6)2+h还过点
(0, 2), 以及当球刚能过网, 此时函数图象过(9, 2.43),抛物
线y=a(x-6)2+h 还过点(0, 2)时分别得出h取值范围, 即
可得出答案.
知2－讲
解：(1)∵h=2.6,球从O点正上方2mA处发出,
∴抛物线y=a(x-6)2+h过点(0, 2),
∴2=a(0-6)2+2.6,解得:a= - 1 ,
知1－讲
设这条抛物线表示二次函数为y＝ax2.
由抛物线经过点(2,－2),可得－2＝a×22,a＝－
1 .
这条抛物线表示二次函数为y＝－ x12.
2
2
当水面下降1 m时,水面纵坐标为－3.请你根据上面
函数解析式求出这时水面宽度．
当y=-3时,-
1 2
x2=-3,解得x1=
6
,x2=-
6
(舍去).
所以当水面下降1 m时,水面宽度为 2 6m.
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上 任 一 点 ,则 y2=4x
M
x- y+ 4
d=
2
y2 - y + 4 4
( y - 2)2 + 12
=
=
2
42
Fx
\当 y=2 时 ， dm in=32 2,此 时 M (1 ,2 )
解 法 二 、 设 直 线 y = x + b 与 抛 物 线 相 切 y M
联 立 ìïïíïïîy y2 = = x 4 + xb?x2 (2 b-4 )x+b 2=0
y
B1
AF + BF
M1
=
2
AB ?
3
A1
2
2
\ d+1砛 3 d? 5
42
4
B
M
Fx
A
2、 求 点 P(0,3 2)到 椭 圆 x 4 2y21上 点 的 最 大 距 离 ，
并 求 此 时 椭 圆 上 点 的 坐 标
y
P
Q
x
分析：将椭圆上任意一点Q与点P
的距离表示成一个变量的函数然后
求最值。
解 ： 设 点 Q ( x ,y ) 是 椭 圆 上 任 一 点 ， 则x2 + y2 = 1 4
\P Q =(x -0 )2 + (y -3 )2 =-3 y 2 -3 y + 2 5
2
4
= - 3(y+ 1)2 + 7 2
Q -1＃ y 1 \当 y=-1时 ， P Q = 7
2
m ax
此 时 ， Q (3,-1),(- 3,-1)
2
2
四、课后作业：讲义
拓展题:
求 点 P ( 0 ,m ) 使 其 到 椭 圆 x 4 2 + y 2 = 1 上 点 的 最 大 距 离 是 7
2、构造二次函数，利用配方法求最值； 3、利用作切线法求最值；
四、课堂练习
1 、 定 长 是 3 的 线 段 A B 的 端 点 A 、 B 在 抛 物 线 y 2 x 上 移 动 ， 求 线 段 A B 的 中 点 M 到 y 轴 距 离 d 的 最 小 值
分 析 ： 如 图 MM1=A A 1+ 2B B 1
并 求 此 时 抛 物 线 上 点 的 坐 标 解 ： 设 点 Ｍ (ｘ ,ｙ )是 抛 物 线 ｙ ２ ＝ ４ ｘ
y M
上 任 一 点 ,则 y2=4x AM= (x-m )2+y2 = (x- m)2+4x= x2+(4-2m )x+m 2
F Ax
=(x+2-m )2+4m -4 Qx³ 0
\当 m ?2 时 ， x0 ,A M=m 2 ; m a x
线 准 线 距 离 ｄ ２ ， 求 ｄ １ ＋ ｄ ２ 的 最 小 值 及 此 时 Ｍ 点 坐 标 A
解、由抛物线定义ｄ １ ＋ｄ ２ ＝ＭＡ＋ＭＦ
y
M1
M
当且仅当Ａ、Ｍ、Ｆ三点共线 ＭＡ＋ ＭＦ最小是 ＡＦ＝１０
Fx
易求此时Ｍ（４，４）
变式训练2：已知点F是双曲线x2
y2
1的左焦点，
4 12
定点A(1,4),P是双曲线右支上的动点，求PA+PF
抛物线中常见最值问题求法
一、复习引入
1.抛物线的定义:
2.抛物线的标准方程和性质:
二、典例分析
问 题 一 、 在 抛 物 线 y24x上 找 一 点 M,
使MAMF最 小 ， 其 中 ， A(3,2),F（ 1， 0）
求 M点 的 坐 标 及 此 时 的 最 小 值 。 y
解：如图，由抛物线定义
( x-3 ) 2+y2=1 上 运 动 ， 求 M Q 的 最 小 值
分 析 ： “ 动 中 求 静 ”
y M
只 需 求 出 动 点 M到 圆 心 A(3,0)
Q
距 离 最 小 值 再 减 去 圆 半 径 即 可 。 F A x
MQ =2 2- 1 min
变式训练2：
求 点 Ａ (m ,０ ) 到 抛 物 线 ｙ ２ ＝ ４ ｘ 上 点 距 离 的 最 小 值 ，
y M
上 任 一 点 ,则 y2=4x
AM= (x-3)2+y2
= (x- 3)2+4x= x2- 2x+9
F Ax
= (x- 1)2+8 Qx³ 0
\当 x = 1 时 ， A M = 2 2 ,此 时 M ( 1 ,? 2 ) m i n
变式训练1：
动 点 M 在 抛 物 线 y2=4x上 运 动 ， 动 点 Q 在 圆
F Ax
D = ( 2 b -4 ) 2 -4 b 2 = 0 ?b1
此 时 ， 切 点 （ 1 ,2 ） 即 为 所 求 点 M
两 平 行 线 x -y + 4 = 0 和 x -y + 1 = 0 的 距 离 d = 3 2 2 即 为 所 求
变式训练：
y
动点M
在椭圆
x2 4
+F = MA MM１
Fx
当 且 仅 当 Ａ 、 Ｍ 、 Ｍ１三 点 共 线 时 ，
MA MM１ 最小４，此时Ｍ（１，２）
变 式 训 练 1、 已 知 抛 物 线 ｙ ２ ＝ ４ ｘ 和 定 点 Ａ （ ７ ， ８ ） ，
抛 物 线 上 有 一 动 点 Ｍ ， Ｍ 到 点 Ａ 的 距 离 为 ｄ １ ， Ｍ 到 抛 物
的最小值。
yA
P
F
x
解：设双曲线右焦点是F', 由双曲线定义 PF PF' =2a
yA P
PF PA
2a PA PF F
F' x
4AF 9
问 题 二 ： 求 点 Ａ ( ３ , ０ ) 到 抛 物 线 ｙ ２ ＝ ４ ｘ 上 点 距 离 的 最 小 值 ，
并 求 此 时 抛 物 线 上 点 的 坐 标 解 ： 设 点 Ｍ (ｘ ,ｙ )是 抛 物 线 ｙ ２ ＝ ４ ｘ
M到直线y=x+4距离d的最大值
o
x
和最小值。
思 路 分 析 ： 求 与 直 线 y = x + 4 平 行 的 椭 圆 的 切 线
切 线 与 直 线 y = x + 4 的 距 离 即 为 最 值
dm in=42-210,dm ax=42+ 210
三、课时小结
抛物线最值问题常用求法：
1、利用定义求最值；
\当 m > 2 时 ， x = m -2 ,A M = 4 m -4 ; m a x
问 题 三 ： 动 点 M 在 抛 物 线 y 2 = 4 x 上 , 求 点 M 到 直 线 y = x + 4
距 离 d 的 最 小 值 ， 并 求 此 时 点 M 的 坐 标
解 法 一 ： 设 点 Ｍ (ｘ ,ｙ )是 抛 物 线 ｙ ２ ＝ ４ ｘ y