什么是递归算法概述
noi递归算法
noi递归算法
NOI递归算法
NOI（National Olympiad in Informatics，全国青少年信息学奥林匹克竞赛）是指计算机竞赛中的一项比赛，由于它的高难度和广泛性，备受程序员们的热爱。
其中递归算法是NOI竞赛中的重要内容之一。
递归算法是指在一个函数中调用自身来解决问题的方法。
在程序中，递归算法通常使用函数的参数来控制递归的深度，并且需要定义一个结束条件来避免无限递归。
递归算法的优点是可以简化代码结构，使代码更加清晰易懂。
同时，递归算法也可以用来解决一些复杂的问题，例如树的遍历、图的搜索等。
在NOI竞赛中，递归算法的应用非常广泛。
比如，在解决树的问题时，递归算法可以用来进行树的遍历，例如先序遍历、中序遍历、后序遍历等。
此外，在解决图的问题时，递归算法可以用来进行图的深度优先搜索（DFS）。
举个例子，下面是一个求斐波那契数列的递归算法：
```
int fib(int n){
if(n==0 || n==1) return n;
return fib(n-1) + fib(n-2);
}
```
在上面的代码中，如果n等于0或1，则返回n；否则，递归调用fib函数来计算n-1和n-2的斐波那契数列值，然后将它们相加并返回结果。
需要注意的是，递归算法的缺点是在处理大规模数据时可能会出现栈溢出的问题，因为每次递归调用都会在栈中占用一定的空间。
为了避免这种情况的发生，可以使用迭代算法或者尾递归优化来替代递归算法。
递归算法是NOI竞赛中不可或缺的一部分，程序员们需要熟练掌握递归算法的编写和应用，才能在竞赛中取得好的成绩。
递归算法实现
递归算法实现递归算法是一种常用的问题求解方法，它将一个问题分解为相同类型的子问题，并通过解决这些子问题来解决原始问题。
递归算法的实现通常使用函数的递归调用来实现。
递归算法的实现可以分为两个步骤：基本情况和递归情况。
基本情况是指当问题达到某个简单的条件时，直接返回结果。
递归情况是指通过调用自身来解决规模较小的子问题，并将子问题的结果合并为原始问题的解。
在实现递归算法时，我们需要考虑以下几个方面：1. 确定基本情况：递归算法必须有一个或多个基本情况，即递归的终止条件。
在基本情况下，问题已经足够简单，可以直接返回结果，而不需要再进行递归调用。
2. 确定递归情况：递归算法必须能够将原始问题分解为规模更小的子问题，并通过递归调用来解决这些子问题。
递归情况的实现需要考虑如何将问题分解，以及如何将子问题的结果合并为原始问题的解。
3. 确定递归调用：递归算法的实现中，需要调用自身来解决子问题。
递归调用的位置和参数需要根据具体问题来确定。
递归调用的过程中，问题的规模应该不断减小，直到达到基本情况。
例如，我们可以使用递归算法来计算斐波那契数列。
斐波那契数列是一个数列，第一个和第二个数字都是1，从第三个数字开始，每个数字都是前两个数字之和。
在实现斐波那契数列的递归算法中，我们可以将问题分解为计算前两个数字的和。
如果要计算第n个斐波那契数，我们需要计算第n-1个和第n-2个斐波那契数的和。
这样，问题的规模不断减小，直到达到基本情况。
下面是一个用Python实现斐波那契数列的递归算法的例子：```pythondef fibonacci(n):if n <= 0:return "输入有误"elif n == 1 or n == 2:return 1else:return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)```在这个例子中，我们首先判断输入是否合法，如果n小于等于0，则返回错误信息。
必备算法：递归！无论你是前端开发，还是后端开发，都需要掌握它！
必备算法：递归！⽆论你是前端开发，还是后端开发，都需要掌握它！递归是⼀种⾮常重要的算法思想，⽆论你是前端开发，还是后端开发，都需要掌握它。
在⽇常⼯作中，统计⽂件夹⼤⼩，解析xml⽂件等等，都需要⽤到递归算法。
它太基础太重要了，这也是为什么⾯试的时候，⾯试官经常让我们⼿写递归算法。
本⽂呢，将跟⼤家⼀起深⼊挖掘⼀下递归算法~什么是递归？递归，在计算机科学中是指⼀种通过重复将问题分解为同类的⼦问题⽽解决问题的⽅法。
简单来说，递归表现为函数调⽤函数本⾝。
在知乎看到⼀个⽐喻递归的例⼦，个⼈觉得⾮常形象，⼤家看⼀下：❝递归最恰当的⽐喻，就是查词典。
我们使⽤的词典，本⾝就是递归，为了解释⼀个词，需要使⽤更多的词。
当你查⼀个词，发现这个词的解释中某个词仍然不懂，于是你开始查这第⼆个词，可惜，第⼆个词⾥仍然有不懂的词，于是查第三个词，这样查下去，直到有⼀个词的解释是你完全能看懂的，那么递归⾛到了尽头，然后你开始后退，逐个明⽩之前查过的每⼀个词，最终，你明⽩了最开始那个词的意思。
❞来试试⽔，看⼀个递归的代码例⼦吧，如下：递归的特点实际上，递归有两个显著的特征,终⽌条件和⾃⾝调⽤:✿⾃⾝调⽤：原问题可以分解为⼦问题，⼦问题和原问题的求解⽅法是⼀致的，即都是调⽤⾃⾝的同⼀个函数。
✿终⽌条件：递归必须有⼀个终⽌的条件，即不能⽆限循环地调⽤本⾝。
结合以上demo代码例⼦，看下递归的特点：递归与栈的关系其实，递归的过程，可以理解为出⼊栈的过程的，这个⽐喻呢，只是为了⽅便读者朋友更好理解递归哈。
以上代码例⼦计算sum（n=3）的出⼊栈图如下：为了更容易理解⼀些，我们来看⼀下函数sum（n=5）的递归执⾏过程，如下：✿计算sum（5）时，先sum（5）⼊栈，然后原问题sum（5）拆分为⼦问题sum（4），再⼊栈，直到终⽌条件sum（n=1）=1，就开始出栈。
✿ sum（1）出栈后，sum（2）开始出栈，接着sum（3）。
✿最后呢，sum（1）就是后进先出，sum（5）是先进后出，因此递归过程可以理解为栈出⼊过程啦~递归的经典应⽤场景哪些问题我们可以考虑使⽤递归来解决呢？即递归的应⽤场景⼀般有哪些呢？✿阶乘问题✿⼆叉树深度✿汉诺塔问题✿斐波那契数列✿快速排序、归并排序（分治算法体现递归）✿遍历⽂件，解析xml⽂件递归解题思路解决递归问题⼀般就三步曲，分别是：✿第⼀步，定义函数功能✿第⼆步，寻找递归终⽌条件✿第⼆步，递推函数的等价关系式这个递归解题三板斧理解起来有点抽象，我们拿阶乘递归例⼦来喵喵吧~1、定义函数功能定义函数功能，就是说，你这个函数是⼲嘛的，做什么事情，换句话说，你要知道递归原问题是什么呀？⽐如你需要解决阶乘问题，定义的函数功能就是n的阶乘，如下：2、寻找递归终⽌条件递归的⼀个典型特征就是必须有⼀个终⽌的条件，即不能⽆限循环地调⽤本⾝。
递归算法原理
递归算法原理
递归是一种算法设计技巧，它的原理是通过将一个问题分解成一个或多个规模较小但类似于原问题的子问题来解决。
递归算法通过反复调用自身来解决这些子问题，直到子问题的规模足够小并可以直接解决为止。
递归算法的主要思想是将问题转化为更小的同类问题的子问题，并在每一次递归调用中将问题的规模减小。
递归算法需要定义一个基准情况，即问题的最小规模情况，当问题达到基准情况时，递归的调用将停止，得到最终的解。
当使用递归算法时，需要注意以下几点：
1. 递归的结束条件：为了避免无限递归，递归函数必须定义结束条件，即基准情况。
2. 递归调用：在函数内部调用自身来解决规模较小的子问题。
3. 子问题规模的减小：每次递归调用时，子问题的规模应该比原问题要小。
4. 递归栈：在每次递归调用时，系统会将当前的函数调用信息存储在递归栈中，当递归调用结束后，系统将会按照递归栈的顺序逐个弹出函数调用信息，直到返回最终的解。
递归算法在解决某些问题时非常有效，例如树和图的遍历、排列组合、分治算法等。
然而，递归算法也存在一些缺点，例如
递归调用会消耗较多的内存空间和时间复杂度较高等问题，因此在实际应用中需要根据具体情况来选择是否使用递归算法。
递归算法知识点总结
递归算法知识点总结一、基本概念递归算法的基本概念是基于递归函数的思想。
递归函数是一个调用自身的函数。
递归算法通常可以分为两种类型：简单递归和复杂递归。
简单递归是指在递归函数中直接调用自身，而复杂递归则是指在递归函数中可能会有多个递归调用。
递归算法通常用于解决可以分解为若干子问题的问题，这种方法通常可以更加简洁地解决问题，但同时也可能会带来一些计算复杂度的问题。
递归算法的设计通常包括以下几个步骤：1. 确定基本情况：在设计递归函数时，通常需要确定一个或多个基本情况。
基本情况通常是指在递归函数中不需要再次调用自身的情况。
2. 确定递归情况：在设计递归函数时，需要确定一个或多个递归情况。
递归情况通常是指在递归函数中需要调用自身的情况。
3. 确定递归方式：当确定了递归函数的基本情况和递归情况之后，就需要确定递归函数的调用方式。
通常有两种方式：直接递归和间接递归。
4. 编写递归函数：根据确定的基本情况、递归情况和递归方式，编写递归函数。
5. 测试递归函数：编写递归函数后，需要对递归函数进行测试，确保递归函数能够正确地解决问题。
二、递归算法的原理递归算法的原理是基于递归函数的调用。
当一个递归函数被调用时，它会将自身的执行环境保存到栈中，并且在栈中分配一些空间。
在递归函数中，如果有一些局部变量，这些变量会在栈中分配空间。
随着递归函数的深入调用，栈中的空间也会不断增加。
在递归函数的执行过程中，通常需要考虑递归栈的压栈和出栈操作。
在递归函数被调用时，会执行一些初始化操作，并将递归参数保存到栈中。
在递归函数中，如果遇到递归情况，会再次调用自身，并且将自身的执行环境保存到栈中。
在递归函数的执行过程中，如果遇到基本情况，就会结束当前递归调用，并且从栈中释放空间。
递归算法的原理是基于递归函数的深度调用的。
当递归函数被调用时，会执行一些初始化过程，并将递归参数保存到栈中。
当递归函数执行完毕后，会从栈中释放空间。
在递归函数的执行过程中，栈中的空间会不断增加和释放。
递归算法思路
递归算法思路一、概念递归算法是指函数自身调用自身的方法，将一个问题分解为更小的同类问题直到问题简单到可以直接解决。
递归算法是由一种表达方式所实现的，这种表达方式就是递归定义。
二、递归算法的思路（1）确定递归函数的参数和返回值确定参数和返回值的关键是看待问题的方法。
递归函数所处理的问题应该是可以分解为若干个子问题的，而这些子问题其实就是原问题的缩小范围。
（2）递归边界问题在递归函数中，我们必须要规定好对应的递归边界，也就是终止条件。
如果没有递归边界，那么整个递归链式结构将不断进行推进，直到系统无法承受，连程序都无法正常运行。
（3）将原问题分解为更小的子问题我们需要在递归函数中对原问题进行分解，即将原问题转化为若干个子问题。
这些子问题与原问题是同类问题，由于子问题的规模比原问题更小，我们可以通过解决子问题来解决原问题。
（4）进行递归调用确定好递归边界和子问题之后，就可以通过递归调用将问题规模不断缩小，使得问题最终可以直接得到解决。
（5）整合所有递归的结果递归算法的最后一步是整合所有递归的结果，将其合并为一个完整的解决方案。
这可能需要对递归结果进行一些计算和转换，然后将它们组合在一起形成最终结果。
三、递归算法的优缺点（1）优点递归算法可以清晰地表达问题的递归结构，很容易理解和实现。
对于复杂的问题，递归算法往往比起迭代算法更具可读性。
同时，递归算法还可以缩小问题的规模，使问题的求解更为高效。
（2）缺点递归算法的缺点在于它可能导致许多不必要的重复计算，这样会大大降低算法的效率。
此外，在调用函数时，需要保存参数、返回值和局部变量等一些额外的信息，这些信息都需要分配内存并占用空间。
当递归调用太深时，可能会引起严重的栈溢出问题。
四、递归算法的应用（1）数学问题递归算法常常在解决数学问题时得到应用。
例如，斐波那契数列、阶乘问题、最大公约数和最小公倍数问题等，都可以通过递归算法来解决。
（2）树形问题当我们需要处理树形问题时，递归算法也可以起到很好的作用。
递归算法 递推公式求解
递归算法递推公式求解递归算法是一种自我调用的算法，它通过不断将问题分解为更小的子问题来求解问题。
递归算法的核心是递推公式，也称为递归式，它描述了如何将问题分解为子问题，并如何从子问题的解中得到原问题的解。
递推公式通常具有以下形式：T(n) = aT(n/b) + f(n)其中，T(n) 表示问题规模为n 时的时间复杂度，a 表示每次递归调用的次数，b 表示每次递归调用后问题规模缩小的比例，f(n) 表示除了递归调用外的其他操作的时间复杂度。
为了求解递推公式，我们可以使用以下方法：1.迭代法：通过迭代递推公式的方式逐步计算出T(n) 的值。
这种方法比较直观，但对于较大的n 值，迭代次数可能非常多，计算量也会非常大。
2.替换法：通过猜测T(n) 的形式，并将其代入递推公式中进行验证。
如果猜测正确，则可以得到T(n) 的解。
这种方法需要对问题有一定的了解和猜测能力。
3.大师定理：大师定理是一种求解递推公式的通用方法。
它可以根据递推公式的形式，直接给出T(n) 的时间复杂度。
大师定理有多种形式，其中最常用的是以下三种：a. 如果f(n) = O(n^c)，其中c < log_b(a)，则T(n) = O(n^log_b(a))。
b. 如果f(n) = O(n^c)，其中c = log_b(a)，则T(n) = O(n^c * log_n)。
c. 如果f(n) = O(n^c)，其中c > log_b(a)，且对于所有足够大的n，有af(n/b) <= f(n)，则T(n) = O(f(n))。
需要注意的是，大师定理只是一种求解递推公式的工具，它并不能解决所有类型的递推公式。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的求解方法。
什么是递归算法
什么是递归算法?
递归算法：是一种直接或者间接地调用 自身的算法。在计算机编写程序中，递归 算法对解决一大类问题是十分有效的，它 往往使算法的描述简洁而且易于理解。
斐波那契的兔子Байду номын сангаас题
某人有一对兔子饲养在围墙中，如果 它们每个月生一对兔子，且新生的兔子在 第二个月后也是每个月生一对兔子，问一 年后围墙中共有多少对兔子。
(1)分析问题
我们可以根据题意列出表来解决这个问题：
兔子问题分析表
交流:
仔细研究兔子问题分析表，你有些什么 发现？每一个月份的大兔数、小兔数与上 一个月的数字有什么联系，能肯定这个规 律吗？
(2)设计算法。 “兔子问题”很容易列出一条递推式而得到 解决。假设第N个月的兔子数目是F(N)，我们有：
递归算法所体现的“重复”一般有三个要求： 一是每次调用在规模上都有所缩小(通常是减半)； 二是相邻两次重复之间有紧密的联系，前一次要为 后一次做准备(通常前一次的输出就作为后一次的 输入)； 三是在问题的规模极小时必须用直接给出解答而不 再进行递归调用，因而每次递归调用都是有条件 的(以规模未达到直接解答的大小为条件)，无条 件递归调用将会成为死循环而不能正常结束。
(4)调试程序 因为这个算法的效率不高，建议在调试 程序时月份数不要大于40。
知识迁移：
(1)利用递归方法编写一求N的阶乘。 分析： 根据N!=N*(N-1)*(N-2)*(N-3)*……*3*2*1 可以推出下列式子：
Function F(ByVal n As Integer) As Long If n = 1 Then F = 1 Else F = n * F(n - 1) End Function Private Sub Form_Click() Dim n As Integer n = Val(InputBox("请输入正整数N：", "求N 的阶乘")) Print " 输入的正整数是"; n; Print "，阶乘是"; F(n) End Sub
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(1)分析问题
我们可以根据题意列出表来解决这个问题：
兔子问题分析表
交流:
仔细研究兔子问题分析表，你有些什么 发现？每一个月份的大兔数、小兔数与上 一个月的数字有什么联系，能肯定这个规 律吗？
(2)设计算法。 “兔子问题”很容易列出一条递推式而得到 解决。假设第N个月的兔子数目是F(N)，我们有：
本节小结：
递归算法的特点 递归过程一般通过函数或子过程来实现。 递归算法：在函数或子过程的内部，直接或 者间接地调用自己的算法。 递归算法的实质：是把问题转化为规模缩小 了的同类问题的子问题。然后递归调用函 数(或过程)来表示问题的解。
递归算法解决问题的特点： (1) 递归就是在过程或函数里调用自身。 (2) 在使用递增归策略时，必须有一个明确的递归 结束条件，称为递归出口。 (3) 递归算法解题通常显得很简洁，但递归算法解 题的运行效率较低。所以一般不提倡用递归算法 设计程序。 (4) 在递归调用的过程当中系统为每一层的返回点、 局部量等开辟了栈来存储。递归次数过多容易造 成栈溢出等。所以一般不提倡用递归算法设计程 序。
(4)调试程序 因为这个算法的效率不高，建议在调试 程序时月份数不要大于40。
知识迁移：
(1)利用递归方法编写一求N的阶乘。 分析： 根据N!=N*(N-1)*(N-2)*(N-3)*……*3*2*1 可以推出下列式子：
Function F(ByVal n As Integer) As Long If n = 1 Then F = 1 Else F = n * F(n - 1) End Function Private Sub Form_Click() Dim n As Integer n = Val(InputBox("请输入正整数N：", "求N 的阶乘")) Print " 输入的正整数是"; n; Print "，阶乘是"; F(n) End Sub
开动脑筋：
我们有没有更简单的方法解决该问题呢？
中医讲“肾藏精”指的是人体的“精”要储藏在“肾”当中，不 能随意消耗、透支。藏在肾中的“精”赖于肾阳的闭藏和激发作 用，才得以不断的化生和滋长。肾透支了，出现，腰腿酸痛，周 身乏力，四肢发冷，性功能下降以及房事后太累，乏力等症状， 让人感觉身体被掏空了。肾透支的根源是肾阳虚衰，导致肾精不 足，不固，不生而引起的。因此，只要平时注意，温补肾阳，就 能把消耗的“精”补回来。医圣张震岳认为，阴阳互根，故善补 阳者，必于阴中求阳，则阳得阴助，而生化无穷，所以肾阳虚， 不能单纯的补肾阳，最佳办法是补肾阳的同时也滋肾阴。、补肾 气。这样才能把肾阳虚导致的肾透支补的更好，这就好比一盏很 暗的油灯，单纯的挑大油芯(补阳)只会加快油灯的熄灭，只有在 挑大灯芯的同时添加灯油(滋阴)，并保证充足的氧气(补气)才能 光亮。马氏中医徽芯msdf003
算法:
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 输入计算兔子的月份数：n If n < 3 Then c = 1 Else a = 1: b = 1 i=3 c = a + b：a = b：b = c i=i+1,如果i≤n则返回④ 结束
Private Sub Command1_Click() n = Val(Text1.Text) If n < 3 Then c = 1 Else a = 1: b = 1 For i = 3 To n c=a+b a=b b=c Next i Text2.Text = "第" & n & "月的兔子数目是：" & c End Sub
知识复习：
自定义函数的定义格式: Function procedurename(arguments) [As type] Statements End Function 其中的procedurename是函数名，arguments是函 数中的参数表，type是函数返回值的数据类型，[] 表示可有可无的部分，statements是过程中的代 码 调用函数的格式： procedurename(arguments)
递 归 算 法
பைடு நூலகம்
什么是递归算法?
递归算法：是一种直接或者间接地调用 自身的算法。在计算机编写程序中，递归 算法对解决一大类问题是十分有效的，它 往往使算法的描述简洁而且易于理解。
斐波那契的兔子问题
某人有一对兔子饲养在围墙中，如果 它们每个月生一对兔子，且新生的兔子在 第二个月后也是每个月生一对兔子，问一 年后围墙中共有多少对兔子。
(3)编写程序 窗体中开设一个文本框Text1用于填人 月数N，设置命令框Commandl，点击它即 执行程序求出第N月的兔子数。然后用文本 框Text2输出答案。
根据递推式可以写出递归程序如下：
Function Fib(ByVal N As Integer) As Long If N < 3 Then Fib = 1 Else Fib = Fib(N - 1) + Fib(N - 2) End Function Private Sub Command1_Click() N = Val(Text1.Text) Text2.Text = "第" & N & "月的兔子数目是：" & Fib(N) End Sub
分析:
第一个月是最初的一对兔子生下一对兔 子，围墙内共有两对兔子。第二个月仍是 最初的一对兔子生下一对兔子，共有3对兔 子。到第三个月除最初的兔子新生一对兔 子外，第一个月生的兔子也开始生兔子， 因此共有5对兔子。继续推下去，第12个月 时最终共有对377对兔子。每个月的兔子总 数可由前两个月的兔子数相加而得。
递归算法所体现的“重复”一般有三个要求： 一是每次调用在规模上都有所缩小(通常是减半)； 二是相邻两次重复之间有紧密的联系，前一次要为 后一次做准备(通常前一次的输出就作为后一次的 输入)； 三是在问题的规模极小时必须用直接给出解答而不 再进行递归调用，因而每次递归调用都是有条件 的(以规模未达到直接解答的大小为条件)，无条 件递归调用将会成为死循环而不能正常结束。
这是因为每月的大兔子数目一定等于上月的 兔子总数，而每个月的小兔子数目一定等于上月 的大兔子数目(即前一个月的兔子的数目)。 由上述的递推式我们可以设计出递归程序。 递归程序的特点是独立写出一个函数(或子过程)， 而这个函数只对极简单的几种情况直接给出解答， 而在其余情况下通过反复的调用自身而把问题归 结到最简单的情况而得到解答。