2020高考数学(文)刷题1+1(2019高考题+2019模拟题)讲练试卷：素养提升练(五) Word版含解析
素养提升练(五)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·天津高考)设集合A ＝{－1,1,2,3,5}，B ＝{2,3,4}，C ＝{x ∈R |1≤x <3}，则(A ∩C )∪B ＝( )A ．{2}B ．{2,3}C ．{－1,2,3}D ．{1,2,3,4}答案 D解析 ∵A ∩C ＝{－1,1,2,3,5}∩{x ∈R |1≤x <3}＝{1,2}，∴(A ∩C )∪B ＝{1,2}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}．故选D.2．(2019·昆明一中二模)设i 是虚数单位，若复数z 满足z ·i ＝4－9i ，则其共轭复数＝( )z －A ．－9－4iB ．－9＋4iC ．9－4iD ．9＋4i 答案 B 解析 因为z ＝＝－9－4i ，故＝－9＋4i ，故选B.4－9i iz －3．(2019·成都七中三模)国家统计局统计了我国近10年(2009～2018年)的GDP(GDP 是国民经济核算的核心指标，也是衡量一个国家或地区总体经济状况的重要指标)增速的情况，并绘制了下面的折线统计图．根据该折线统计图，下面说法错误的是( )A ．这10年中有3年的GDP 增速在9.00%以上B ．从2010年开始GDP 的增速逐年下滑C ．这10年GDP 仍保持6.5%以上的中高速增长D ．2013～2018年GDP 的增速相对于2009～2012年，波动性较小答案 B解析 由题图可知，这10年中有3年的GDP 增速在9.00%以上，故A 正确；2017年相比于2016年GDP 的增速上升，故B 错误；这10年GDP 增速均超过6.5%，故C 正确；显然D 正确．故选D.4．(2019·南充高中一模))已知双曲线－＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与圆(x ＋x 2a 2y 2b 2a )2＋y 2＝a 2相切，则双曲线的离心率等于( )14A. B. C ．2 D.23233答案 D解析 双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，因其与圆相切，故＝a ，所|－ab |c 12以c ＝2b ，故e ＝，故选D.2335．(2019·太原一模)已知函数f (x )＝x ln x ＋a 在点(1，f (1))处的切线经过原点，则实数a ＝( )A ．1B ．0 C. D ．－11e 答案 A解析 函数f (x )＝x ln x ＋a ，f ′(x )＝ln x ＋1，∴f ′(1)＝1，切线方程为y ＝x －1＋a ，故0＝0－1＋a ，解得a ＝1.故选A.6．(2019·全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A. B. C. D.23352515答案 B解析 设5只兔子中测量过某项指标的3只为a 1，a 2，a 3，未测量过这项指标的2只为b 1，b 2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a 1，a 2，a 3)，(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 1，b 1，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，(a 2，b 1，b 2)，(a 3，b 1，b 2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为＝.故选B.610357．(2019·内江一模)函数f (x )＝ln (x 2＋2)－e x －1的图象可能是( )答案 A解析 当x →＋∞时，f (x )→－∞，故排除D ；易知f (x )在R 上连续，故排除B ；f (0)＝ln 2－e －1＞0，故排除C ，故选A.8．(2019·重庆八中三模))在如图的程序框图中，若n ＝2019，则输出y ＝( )A ．0 B. C. D.122232答案 C解析 流程图的作用是计算函数y ＝cos 的值，其中n ≤4，而n 的初始值为πn 2019，由程序框图中的判断可知，若n ＞5，则需要减去5，直至小于5为止，因2019＝2015＋4，故y ＝cos ＝.故选C.π4229．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦x 23p y 2p点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8答案 D 解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为，椭圆＋＝1的焦点坐标(p 2，0)x 23p y 2p为.由题意得＝，∴p ＝0(舍去)或p ＝8.故选D.(±2p ，0)p22p 10．(2019·成都模拟)若函数f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的定义域与值域都是[m ，n ](m ＜n )，则a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(e ，＋∞)C ．(1，e) D. (1，e )答案 D解析 函数f (x )＝log a x 的定义域与值域相同等价于方程log a x ＝x 有两个不同的实数解．因为log a x ＝x ⇔＝x ⇔ln a ＝，所以问题等价于直线y ＝ln a 与函数y ＝ln x ln a ln xx 的图象有两个交点．y ′＝′＝，则y ＝在(0，e)上单调递增，ln x x (ln x x )1－ln x x 2ln xx在(e ，＋∞)上单调递减，在x ＝e 处取得极大值.作出函数y ＝的图象，如图1e ln xx所示．根据图象可知，当0＜ln a ＜，即1＜a ＜e ，直线y ＝ln a 与函数y ＝1e ln xx 的图象有两个交点．故选D.11．(2019·怀化一模)已知圆O 与直线l 相切于点A ，点P ，Q 同时从A 点出发，P 沿着直线l 向右、Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q 运动到点A 时，点P 也停止运动，连接OQ ，OP (如图)，则阴影部分面积S 1，S 2的大小关系是( )A ．S 1＝S 2B ．S 1≤S 2C ．S 1≥S 2D ．先S 1<S 2，再S 1＝S 2，最后S 1>S 2答案 A解析 ∵直线l 与圆O 相切，∴OA ⊥AP ，∴S 扇形AOQ ＝··r ＝··OA ，S △12AQ ︵ 12AQ ︵AOP ＝·OA ·AP ，∵＝AP ，∴S 扇形AOQ ＝S △AOP ，即S 扇形AOQ －S 扇形AOB ＝S △AOP －S 12AQ ︵扇形AOB ，∴S 1＝S 2.故选A.12．(2019·武汉二中三模)若函数f (x )＝x －sin2x ＋a cos x 在(－∞，＋∞)内13单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．[－2,2] B.[－2，43]C. D.[－43，43][－2，－43]答案 C解析 f ′(x )＝sin 2x －a sin x ＋，因为f (x )为R 上的增函数，故f ′(x )≥0恒4313成立，即sin 2x －a sin x ＋≥0，若sin x ＝0，则a ∈R ；若sin x ＞0，则a ≤＋，431313sin x 4sin x3令t ＝sin x ，则a ≤＋，其中t ∈(0,1]，因＋≥，当且仅当t ＝时等号成13t 4t 313t 4t 34312立，故a ≤.若sin x ＜0，则a ≥＋，令t ＝sin x ，则a ≥＋，其中t ∈[－4313sin x 4sin x 313t 4t31,0)，因＋≤－，当且仅当t ＝－时等号成立，故a ≥－.综上，－≤a ≤.13t 4t 34312434343故选C.第Ⅱ卷 (选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·台州中学二模)已知向量a ＝(m,1)，b ＝(3,3)．若(a －b )⊥b ，则实数m ＝________.答案 5解析 因为(a －b )⊥b ，故(a －b )·b ＝0，即3m ＋3－18＝0，故m ＝5.14．(2019·吉林三模)某煤气站对外输送煤气时，用1～5号五个阀门控制，且必须遵守以下操作规则：(1)若开启3号，则必须同时开启4号并且关闭2号；(2)若开启2号或4号，则关闭1号；(3)禁止同时关闭5号和1号．现要开启3号，则同时开启的另两个阀门是________．答案 4号和5号解析 由(1)知开启3号时，4号开启，2号关闭；由(2)知因为4号开启，所以1号关闭；由(3)知因为1号关闭，所以5号开启．15．(2019·贵阳一中二模)关于圆周率π的近似值，数学发展史上出现过很多有创意的求法，其中可以通过随机数实验来估计π的近似值．为此，李老师组织100名同学进行数学实验教学，要求每位同学随机写下一个实数对(x ，y )，其中0＜x ＜1，0＜y ＜1，经统计数字x ，y 与1可以构成钝角三角形三边的实数对(x ，y )为28个，由此估计π的近似值是________(用分数表示)．答案 7825解析 实数对(x ，y )落在区域Error!的频率为0.28，又设A 表示“实数对(x ，y )满足Error!且能与1构成钝角三角形”，则A 中对应的基本事件如图中阴影部分所示．其面积为－，故P (A )＝－≈0.28，所以π≈.π412π412782516．(2019·全国卷Ⅰ)已知∠ACB ＝90°，P 为平面ABC 外一点，PC ＝2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为，那么P 到平面ABC 的距离为________．3答案2解析 如图，过点P 作PO ⊥平面ABC 于O ，则PO 为P 到平面ABC 的距离．再过O 作OE ⊥AC 于E ，OF ⊥BC 于F ，连接PC ，PE ，PF ，则PE ⊥AC ，PF ⊥BC .又PE ＝PF ＝，所以OE ＝OF ，3所以CO 为∠ACB 的平分线，即∠ACO ＝45°.在Rt △PEC 中，PC ＝2，PE ＝，所以CE ＝1，3所以OE ＝1，所以PO ＝＝ PE 2－OE 2(3)2－12.2三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅰ)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：K 2＝.n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )P (K 2≥k 0)0.0500.0100.001k 03.8416.63510.828解 (1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为＝0.8，因此男4050顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.女顾客中对该商场服务满意的比率为＝0.6，因此女顾客对该商场服务满3050意的概率的估计值为0.6.(2)K 2＝≈4.762.100×(40×20－30×10)250×50×70×30由于4.762>3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．18．(本小题满分12分)(2019·四川遂宁三模)已知函数f (x )＝cosπx －sinπx 3在x ∈(0,1)上的零点为等差数列{a n }(n ∈N *)的首项a 1，且数列{a n }的公差d ＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n ，求数列{b n }的前n 项和T n .(12)(a n ＋23)解 (1)因为f (x )＝cosπx －sinπx ＝2cos ，3(πx ＋π6)所以，由题意有πx ＋＝k π＋(k ∈Z )⇒x ＝k ＋(k ∈Z )．π6π213由于x ∈(0,1)，所以{a n }是以为首项，1为公差的等差数列．13所以a n ＝n －(n ∈N *)．23(2)b n ＝n ＝n ·n ，(12)(a n ＋23)(12)T n ＝1·1＋2·2＋3·3＋…＋(n －1)·n －1＋n ·n，①(12)(12)(12)(12)(12)T n ＝1·2＋2·3＋3·4＋…＋(n －1)·n ＋n ·n ＋1，②12(12)(12)(12)(12)(12)①－②得T n ＝＋2＋3＋…＋n －n ·n ＋1＝－n ·n ＋11212(12)(12)(12)(12)12－(12)n ·121－12(12)＝1－(n ＋2)·n ＋1，(12)所以T n ＝2－(n ＋2)·n ＝2－.(12)n ＋22n 19．(本小题满分12分)(2019·湖南怀化模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD 交于点O ，AC ＝6，BD ＝8，E 是棱PC 上的动点，连接DE.(1)求证：平面BDE ⊥平面PAC ；(2)当△BED 面积的最小值是4时，求此时动点E 到底面ABCD 的距离．解 (1)证明：∵底面ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BD 又PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC ，又BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面PAC .(2)连接OE ，由(1)知BD ⊥平面PAC ，OE ⊂平面PAC ，∴BD ⊥OE .∵BD ＝8，由(S △BDE )min ＝BD ·OE ＝4，得(OE )min ＝1.12∴当OE ⊥PC 时，OE 取得最小值1.此时CE ＝＝＝2OC 2－OE 232－122作EH ∥PA 交AC 于H ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴EH ⊥平面ABCD ，由EH ＝＝，得点E 到底面ABCD 的距离EH ＝.OE ·CE OC 22322320．(本小题满分12分)(2019·长春二模)已知椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)过点x 2a 2y 2b2，焦距长为2.(1，32)3(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设不垂直于坐标轴的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，点N (4,0)．设O 为坐标原点，且∠ONP ＝∠ONQ .证明：动直线PQ 经过定点．解 (1)由题意知c ＝.3又因为＋＝1，即＋＝1，1a 234b 213＋b 234b 2解得b 2＝1，a 2＝4.故椭圆C 的标准方程是＋y 2＝1.x 24(2)证明：设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，联立Error!消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－4＝0，Δ＝16(4k 2－b 2＋1)．设P (x 1，kx 1＋b )，Q (x 2，kx 2＋b )，则x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝.8kb 1＋4k 24b 2－41＋4k 2于是k PN ＋k QN ＝＋kx 1＋b x 1－4kx 2＋bx 2－4＝.2kx 1x 2－(4k －b )(x 1＋x 2)－8b (x 1－4)(x 2－4)由∠ONP ＝∠ONQ 知，k PN ＋k QN ＝0.即2kx 1x 2－(4k －b )(x 1＋x 2)－8b ＝2k ·－(4k －b )·－8b ＝4b 2－41＋4k 2－8kb 1＋4k 28kb 2－8k 1＋4k 2＋－8b ＝0，32k 2b －8kb 21＋4k 2得b ＝－k ，Δ＝16(3k 2＋1)＞0.故动直线l 的方程为y ＝kx －k ，过定点(1,0)．21．(本小题满分12分)(2019·石家庄二模)设函数g (x )＝t e 2x ＋(t ＋2)e x －1，其中t ∈R .(1)当t ＝－1时，求g (x )的单调区间与极值；(2)若t 是非负实数，且函数f (x )＝g (x )－4e x －x ＋1在R 上有唯一零点，求t 的值．解 (1)当t ＝－1时，g (x )＝－e 2x ＋e x －1.由g ′(x )＝－2e 2x ＋e x ＝e x (1－2e x )＝0，得x ＝－ln 2.因此g (x )的单调递增区间是(－∞，－ln 2)，单调递减区间是(－ln 2，＋∞)．极大值是g (－ln 2)＝－，无极小值．34(2)函数f (x )＝g (x )－4e x －x ＋1＝t e 2x ＋(t －2)e x －x ，x ∈R .当t ＞0时，由f ′(x )＝2t e 2x ＋(t －2)e x －1＝(t e x －1)·(2e x ＋1)＝0得，x ＝－ln t .f (－ln t )是极小值，所以只要f (－ln t )＝0，即ln t －＋1＝0.1t令F (t )＝ln t －＋1，则F ′(t )＝＋＞0，F (t )在(0，＋∞)内单调递增．1t 1t 1t 2因为F (1)＝0，所以当0＜t ＜1时，F (t )＜F (1)＝0；当t ＞1时，F (t )＞F (1)＝0.实数t 的值是1.当t ＝0时，f (x )＝－2e x －x .f (x )为R 上的减函数，而f (1)＝－2e －1＜0，f (－2)＝2－2e －2＞0，所以f (x )有且只有一个零点．故实数t 的值是1或0.(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·呼和浩特二模)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为Error!(其中t 为参数)．以坐标原点O 为原点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin .2(θ＋π4)(1)写出曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)设点P ，Q 分别在曲线C 1，C 2上运动，若P ，Q 两点间距离的最小值为2，求实数m 的值．2解 (1)曲线C 1：x ＋y －m ＋1＝0；曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin ＝2(θ＋π4)4(sin θ＋cos θ)，即ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得C 2：(x －2)2＋(y －2)2＝8.(2)因为曲线C 2的半径r ＝2，若点P ，Q 分别在曲线C 1，C 2上运动，P ，Q 2两点间距离的最小值为2，则圆C 2的圆心到直线C 1的距离为4，即22＝4，解得m ＝－3或m ＝13.|5－m |2223．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲](2019·长春模拟)已知函数f (x )＝|x －2|＋2.(1)解不等式f (x )＋f (x ＋1)＞f (7)；(2)设g (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，若对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得g (x 1)＝f (x 2)成立，求实数a 的取值范围．解 (1)不等式f (x )＋f (x ＋1)＞f (7)等价于|x －2|＋|x －1|＞3，①当x ＞2时，原不等式即为2x －3＞3，解得x ＞3，所以x ＞3；②当1＜x ≤2时，原不等式即为1＞3，解得x ∈∅，所以x ∈∅；③当x ≤1时，原不等式即为－2x ＋3＞3，解得x ＜0，所以x ＜0；所以不等式f (x )＋f (x ＋1)＞f (7)的解集为{x |x ＜0或x ＞3}．(2)对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得g (x 1)＝f (x 2)成立，则{y |y ＝g (x )}⊆{y |y ＝f (x )}．因为g(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|(2x－a)－(2x＋3)|＝|a＋3|，当且仅当(2x－a)(2x＋3)≤0时取等号，又f (x)＝|x－2|＋2≥2，所以|a＋3|≥2.从而a≥－1或a≤－5，所以实数a的取值范围为(－∞，－5]∪[－1，＋∞)．。
2020高考数学文科刷题(2019真题+2019模拟)讲练(课件+优选练)专题06 平面向量(教师版)
专题六 平面向量本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·四川省乐山市高中第一次调研)如图所示，AD 是三角形ABC 的中线，O 是AD 的中点，若CO→＝λAB →＋μAC →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ的值为( )A ．－12 B.12 C ．－14 D.14答案 A解析 由题意知，CO →＝12(CD →＋CA →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12CB →＋CA →＝14(AB →－AC →)＋12CA →＝14AB→－34AC →，∴λ＝14，μ＝－34，∴λ＋μ＝－12.故选A.2．(2019·广东韶关调研)如果等腰三角形ABC 的周长是底边长BC 的5倍，BC ＝1，则AB →·BC→＝( ) A.12 B.14 C ．－12 D ．－14 答案 C解析 设D 是边BC 的中点，Rt △ABD 中，cos ∠ABC ＝14，AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(π－∠ABC )＝2×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－12.故选C.3．(2019·广东茂名综合测试)在▱ABCD 中，E 为AC 上一点，且AC→＝3AE →，记AD →＝a ，AB →＝b ，则BE →＝( )A ．－23a ＋13bB ．13a －23b C ．43a ＋13b D ．－43a ＋13b答案 B解析 如图，BE→＝BA →＋AE →＝－AB →＋13AC →＝－AB →＋13(AB →＋AD →)＝－23AB →＋13AD→＝13a －23b .故选B.4．(2019·河北衡水中学一模)如图，在等腰梯形ABCD 中，DC ＝12AB ，BC ＝CD ＝DA ，DE ⊥AC 于点E ，则DE→＝( )A.12AB →－12AC →B.12AB →＋12AC →C.12AB →－14AC →D.12AB →＋14AC → 答案 A解析 由题意得，DE→＝12DA →＋12DC →＝12(DC →＋CA →)＋12DC →＝DC →－12AC →＝12AB →－12AC →.故选A.5．(2019·四川绵阳二诊)设a ，b 是互相垂直的单位向量，且(λa ＋b )⊥(a ＋2b )，则实数λ的值是( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1答案 B解析 依题意，有|a |＝|b |＝1，且a ·b ＝0，又(λa ＋b )⊥(a ＋2b )，所以(λa ＋b )·(a ＋2b )＝0，即λa 2＋2b 2＋(2λ＋1)a ·b ＝0，即λ＋2＝0，所以λ＝－2.故选B.6．(2019·榆林市模拟)已知a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，若a ·b ＝25，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A.13 B.17 C.27 D.23 答案 B解析 由题意可得a ·b ＝cos2α＋sin α(2sin α－1)＝cos2α＋2sin 2α－sin α＝1－2sin 2α＋2sin 2α－sin α＝1－sin α＝25，故有sin α＝35.再由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，得cos α＝－45，∴tan α＝－34，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17.故选B.7．(2019·温州市高三适应性测试)在平面上，e 1，e 2是方向相反的单位向量，|a |＝2，(b －e 1)·(b －e 2)＝0，则|a －b |的最大值为( )A ．1B ．4C ．2D ．3 答案 D解析 (b －e 1)·(b －e 2)＝0，得b 2－b ·(e 1＋e 2)＋e 1·e 2＝0，e 1，e 2是方向相反的单位向量，所以e 1＋e 2＝0，e 1·e 2＝－1，所以，|b |＝1，设a 与b 的夹角为θ，则|a －b |＝a 2＋b 2－2|a ||b |cos θ＝5－4cos θ， 当向量a ，b 反向时，|a －b |取得最大值为3.故选D.8．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 B解析 设a 与b 的夹角为θ，∵(a －b )⊥b ，∴(a －b )·b ＝0，即a ·b －|b |2＝0.又a ·b ＝|a ||b |·cos θ，|a |＝2|b |，∴2|b |2cos θ－|b |2＝0，∴cos θ＝12.又0≤θ≤π，∴θ＝π3.故选B.9．(2019·成都二诊)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(－3，3)，则向量b 在向量a 方向上的投影为( )A ．－ 3 B. 3 C ．－1 D ．1 答案 A解析 由投影的定义可知，向量b 在向量a 方向上的投影为|b |cos 〈a ，b 〉，又∵a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，∴|b |cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |＝3×(－3)＋33＋1＝－ 3.故选A.10．(2019·湖南联考)已知△ABC 的一内角A ＝π3，O 为△ABC 所在平面上一点，满足|OA |＝|OB |＝|OC |，设AO→＝mAB →＋nAC →，则m ＋n 的最大值为( ) A.23 B ．1 C.43 D ．2 答案 A解析 由题意可知，O 为△ABC 外接圆的圆心，如图所示，在圆O 中，CAB ︵所对的圆心角为2π3，点B ，C 为定点，点A 为优弧上的动点，则点A ，B ，C ，O 满足题中的已知条件，延长AO 交BC 于点D ，设AO →＝λAD →，由题意可得，AD →＝1λAO →＝m λAB →＋n λAC →，由于B ，C ，D 三点共线，据此可得，m λ＋n λ＝1，则m ＋n ＝λ，则m ＋n 的最大值即λ＝|AO →||AD →|的最大值，由于|AO →|为定值，故|AD →|最小时，m ＋n 取得最大值，由几何关系易知当AB ＝AC 时，|AD →|取得最小值，此时λ＝|AO→||AD →|＝23.故选A.11．(2019·山东二模)已知点A (1,1)，B (2,3)，向量AC→＝(－4，－3)，则向量BC →＝( )A ．(－5，－5)B ．(6,4)C ．(－2,4)D ．(2,4)答案 A解析 AB→＝(1,2)；∴BC →＝AC →－AB →＝(－5，－5)．故选A.12．(2019·上饶模拟)已知单位向量a ，b ，满足|a ＋b |＝|a －b |，则a 与b －a 的夹角为( )A.π6B.π3C.π4D.3π4 答案 D解析 ∵|a ＋b |＝|a －b |，∴|a ＋b |2＝|a －b |2，∴a ·b ＝0，|b －a |2＝2，∴|b －a |＝2，∴cos 〈a ，b －a 〉＝a ·(b －a )|a ||b －a |＝－12＝－22，所以a 与b －a 的夹角为3π4.故选D.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·北京高考)已知向量a ＝(－4,3)，b ＝(6，m )，且a ⊥b ，则m ＝________.答案 8解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0. 又∵a ＝(－4,3)，b ＝(6，m )， ∴－4×6＋3m ＝0，解得m ＝8.14．(2019·江西九校联考)已知向量a ＝(cos α－1，sin α＋3)(α∈R )，b ＝(4,1)，则|a ＋b |的最小值为________．答案 4解析 已知向量a ＝(cos α－1，sin α＋3)(α∈R )，b ＝(4,1)，|a ＋b |＝(cos α＋3，sin α＋4)＝26＋10sin (α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝35，当sin(α＋φ)＝－1时，|a ＋b |取得最小值4.15．(2018·江苏省南通市模拟)点M 是边长为2的正方形ABCD 内或边界上一动点，N 是边BC 的中点，则AN →·AM →的最大值是________．答案 6解析 以A 为坐标原点，AD 方向为x 轴正方向，AB 方向为y 轴负方向建立坐标系，那么有A N →＝(1，－2)，设M 点坐标为(x ，y )，则AM →＝(x ，y )，其中0≤x ≤2，－2≤y ≤0，AN →·AM →＝x －2y ，当x 取得最大值2，y 取得最小值－2时，A N →·AM →取得最大值6.16．(2019·娄底二模)已知平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(－1,1)，|b |＝1，则|a －2b |＝________.答案2解析 由题意知，|a －2b |＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝ 2.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2019·四川省自贡市第一次诊断)已知向量m ＝(－cos x,1)，n ＝(3，2sin x )．(1)当m ⊥n 时，求3cos x sin x1＋cos 2x的值；(2)已知钝角△ABC 中，角B 为钝角，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且c ＝2b sin(A ＋B )，若函数f (x )＝4m 2－n 2，求f (B )的值．解 (1)∵向量m ＝(－cos x,1)，n ＝(3，2sin x )，m ⊥n ， ∴3cos x ＝2sin x ，即tan x ＝32， ∴3cos x sin x 1＋cos 2x ＝3tan x 2＋tan 2x ＝611. (2)∵c ＝2b sin(A ＋B )，∴sin C ＝2sin B sin C ， ∵sin C ≠0， ∴sin B ＝12，由角B 为钝角知，B ＝5π6， ∵f (x )＝4m 2－n 2＝4cos2x ＋1， ∴f (B )＝4cos 5π3＋1＝3.18．(本小题满分12分)(2019·湖北省部分重点第一次联考)设函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，cos2x ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，－3，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期和对称轴；(2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上有解，求实数m 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝a ·b ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos2x ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos2x＝1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos2x ＝sin2x －3cos2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，∴最小正周期T ＝π，由2x －π3＝π2＋k π，得x ＝5π12＋k π2，k ∈Z ， ∴f (x )的对称轴为x ＝5π12＋k π2，k ∈Z .(2)因为f (x )－m ＝2可化为m ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－1在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上有解，等价于求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－1的值域，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∴y ∈[0,1]，故实数m 的取值范围是[0,1]．19．(本小题满分12分)(2019·盐城二模)设向量a ＝(cos α，λsin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中λ>0,0<α<β<π2，且a ＋b 与a －b 相互垂直．(1)求实数λ的值；(2)若a ·b ＝45，且tan β＝2，求tan α的值．解 (1)由a ＋b 与a －b 互相垂直，可得(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0， 所以cos 2α＋λ2sin 2α－1＝0.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以(λ2－1)sin 2α＝0. 因为0<α<π2，所以sin 2α≠0，所以λ2－1＝0. 又因为λ>0，所以λ＝1. (2)由(1)知a ＝(cos α，sin α)，由a ·b ＝45，得cos αcos β＋sin αsin β＝45， 即cos(α－β)＝45.因为0<α<β<π2，所以－π2<α－β<0， 所以sin(α－β)＝－1－cos 2(α－β)＝－35. 所以tan(α－β)＝sin (α－β)cos (α－β)＝－34，因此tan α＝tan(α－β＋β)＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12.20．(本小题满分12分)(2019·南宁二模)如图所示，在△ABO 中，OC→＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA→＝a ，OB →＝b ，试用a 和b 表示向量OM →.解 设OM→＝m a ＋n b ，则AM→＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b ， AD→＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b .又∵A ，M ，D 三点共线，∴AM →与AD →共线． ∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →，即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b .∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b . ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t ，n ＝t 2，消去t ，得m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1. ①又∵CM→＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ， CB→＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又∵C ，M ，B 三点共线，∴CM →与CB →共线．∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1，n ＝t 1，消去t 1，得4m ＋n ＝1. ② 由①②得m ＝17，n ＝37， ∴OM→＝17a ＋37b . 21．(本小题满分12分)(2019·湖南师大附中月考)已知锐角三角形ABC 的三个内角A ，B ，C 满足sin B sin C ＝(sin 2B ＋sin 2C －sin 2A )tan A .(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的外接圆的圆心是O ，半径是1，求OA →·(AB →＋AC →)的取值范围．解 (1)由正弦定理得b 2＋c 2－a 22bc ·sin A cos A ＝12， 由余弦定理得b 2＋c 2－a 22bc ＝cos A ，∴sin A ＝12.又∵A 是锐角，∴A ＝π6.(2)OA →·(AB →＋AC →)＝OA →·(OB →＋OC →－2OA →) ＝OA →·OB →＋OA →·OC →－2OA →2 ＝cos ∠AOB ＋cos ∠AOC －2 ＝cos2C ＋cos2B －2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2B ＋cos2B －2＝32cos2B －32sin2B －2 ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6－2.∵△ABC 是锐角三角形， ∴⎩⎪⎨⎪⎧B <π2，B ＋A >π2，∴π3<B <π2，∴2π3<2B <π，则5π6<2B ＋π6<7π6， ∴－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6<－32.故OA →·(AB→＋AC →)的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2－3，－72. 22．(本小题满分12分)(2019·河南长葛第一高级中学月考)已知向量a ＝(2sin x,1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，1，函数f (x )＝a ·b ，x ∈R . (1)若|a |＝2，x ∈(－π，0)，求x 的值； (2)求f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上的值域；(3)将f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得到g (x )的图象，设h (x )＝g (x －1)＋x 2－2x ，判断h (x )的图象是否关于直线x ＝1对称，请说明理由．解 (1)∵|a |＝4sin 2x ＋1＝2， ∴sin 2x ＝14，即sin x ＝±12.11 又∵x ∈(－π，0)，∴x ＝－π6或－5π6.(2)由题知f (x )＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1 ＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x ＋1 ＝3sin2x －2sin 2x ＋1＝3sin2x －(1－cos2x )＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ∵x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，7π6， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1， 故f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上的值域为(－1,2]． (3)由题知g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x ， ∴h (x )＝2cos(2x －2)＋(x －1)2－1.∵h (2－x )＝2cos(2－2x )＋(1－x )2－1＝2cos(2x －2)＋(x －1)2－1＝h (x )， ∴h (x )的图象关于直线x ＝1对称．。
2020高考数学文科刷题(2019真题+2019模拟)讲练(课件+优选练)专题10 线性规划(学生版)
专题十 线性规划本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分90分，考试时间50分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·温州市高考适应性测试)以下不等式组表示的平面区域是三角形的是( )A.⎩⎨⎧ x ≥1，x －y ≥0，x ＋2y －6≥0B.⎩⎨⎧ x ≥1，x －y ≥0，x ＋2y －6≤0C.⎩⎨⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋2y －6≥0D.⎩⎨⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋2y －6≤02．(2019·江西分宜中学、玉山一中、临川一中等九校联考)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －2≥0，x ＋y ≤6，2x －y ≤6，则z ＝|x －2y ＋1|的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．53．(2019·开封一模)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋y ≥2，y －x ≤2，x －2≤0，则yx ＋2的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞)C ．[0,1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 4．(2019·柳州市高三毕业班模拟)某公司每月都要把货物从甲地运往乙地，货运车有大型货车和小型货车两种．已知4台大型货车与5台小型货车的运费之和少于22万元，而6台大型货车与3台小型货车的运费之和多于24万元．则2台大型货车的运费与3台小型货车的运费比较( )A ．2台大型货车运费贵B ．3台小型货车运费贵C ．二者运费相同D ．无法确定5．(2019·北京朝阳区模拟)在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式(x ＋2y －1)(x －y ＋3)>0表示的平面区域内的是 ( )A ．(0,0)B ．(－2,0)C ．(0，－1)D ．(0,2)6．(2019·黑龙江实验中学月考)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－17．(2019·厦门二模)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ＋a ≤0，y ≥0，且z ＝x ＋3y 的最大值为8，则a 的值是( )A ．－16B ．－6C ．2D ．－28．(2019·全国卷Ⅲ)记不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ，y )∈D,2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D,2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题：①p ∨q ②綈p ∨q ③p ∧綈q ④綈p ∧綈q 这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③ D ．③④9．(2019·肥城模拟)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，x －2y －8≤0，2x －y －4≥0，若目标函数z＝y ＋2x －a的取值范围为[0,2)，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥1 B ．a ≤2 C ．a <2 D ．a <110．(2019·宣城市八校联考)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧a ≤x ＋y ≤5，1≤2x －y ≤5，且z ＝2x＋y 的最小值为－1，则a ＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．111．(2019·哈尔滨师大附中二模)设点(x ，y )满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋3≥0，x －5y －1≤0，3x ＋y －3≤0，且x ∈Z ，y ∈Z ，则这样的点共有( )A ．12个B ．11个C ．10个D ．9个12．(2019·河北联考)已知m >0，设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ＋2≥0，x －2≤0，2x －y ＋m ≥0，且z ＝x ＋y 的最大值与最小值的比值为k ，则( )A ．k 为定值－1B ．k 不是定值，且k <－2C ．k 为定值－2D ．k 不是定值，且－2<k <－1第Ⅱ卷 (非选择题，共30分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)13．(2019·北京高考)若x ，y 满足⎩⎨⎧x ≤2，y ≥－1，4x －3y ＋1≥0，则y －x 的最小值为________，最大值为________．14．(2019·山西晋城一模)若实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ≤2，x ＋2y ≥6，y ≤3，则z ＝y －2x ＋1的取值范围为________．15．(2019·山东省高三第一次大联考)关于x ，y 的不等式组⎩⎨⎧x －y －1≥0，x ＋3y －1≥0，x ≤4表示的平面区域为Ω，若平面区域Ω内存在点P (x 0，y 0)，满足y 0＝kx 0－2，则实数k 的取值范围是________．16．(2019·成都双流中学模拟)某校今年计划招聘女教师x 人，男教师y 人，若x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ≥5，x －y ≤2，x <6，x ∈N ，y ∈N ，则该学校今年计划最多招聘教师________人．17．(2019·陕西八校联考)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋4y ＋2≥0，4x ＋y －7≤0，x －y ＋2≥0，则z ＝－5x ＋y 的最大值为________．18．(2019·北京市海淀区模拟)设关于x ，y 的不等式组⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，y ≥kx ＋1表示的平面区域为Ω.记区域Ω上的点与点A (0，－1)距离的最小值为d (k )，则(1)当k ＝1时，d (1)＝________；(2)若d (k )≥2，则k 的取值范围是________．。
2020高考数学(文)刷题1+1(2019高考题+2019模拟题)讲练试卷：素养提升练(七) 含解析
素养提升练(七)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·吉林实验中学一模)在复平面内与复数z＝2i1＋i所对应的点关于实轴对称的点为A，则A对应的复数为()A．1＋i B．1－i C．－1－i D．－1＋i 答案 B解析∵复数z＝2i1＋i＝2i(1－i)(1＋i)(1－i)＝1＋i，∴复数z的共轭复数是1－i，就是复数z＝2i1＋i所对应的点关于实轴对称的点为A对应的复数，故选B.2．(2019·永州三模)已知集合A＝{0,1,2,3,4}，B＝|x|e x－1＞1}，则A∩B＝() A．{1,2,3,4} B．{2,3,4}C．{3,4} D．{4}答案 B解析因为e x－1＞1＝e0，所以，x－1＞0，即x＞1，集合A中大于1的有{2,3,4}，故A∩B＝{2,3,4}．3．(2019·衡阳联考)为比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分为5分，分值高者为优)，绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是()A．乙的逻辑推理能力优于甲的逻辑推理能力B ．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C ．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D ．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值 答案 C解析 对于选项A ，甲的逻辑推理能力指标值为4，优于乙的逻辑推理能力指标值为3，所以该命题是假命题；对于选项B ，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，所以该命题是假命题；对于选项C ，甲的六维能力指标值的平均值为16×(4＋3＋4＋5＋3＋4)＝236，乙的六维能力指标值的平均值为16×(5＋4＋3＋5＋4＋3)＝4，因为236＜4，所以选项C 正确；对于选项D ，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故该命题是假命题．故选C.4．(2019·西安中学二模)若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )A.12B.32C.34D.64 答案 A解析 由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，即2c ＝a ，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝12，故选A.5．(2019·郑州一中三模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，11－x ，x ＜1，则不等式f (x )≤1的解集为( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，0]∪(1,2]C ．[0,2]D ．(－∞，0]∪[1,2]答案 D解析 当x ≥1时，f (x )≤1，即log 2x ≤1，解得1≤x ≤2；当x ＜1时，f (x )≤1，即11－x≤1，解得x ≤0，综上可得，原不等式的解集为(－∞，0]∪[1,2]，故选D.6．(2019·河北衡水中学一模)若将函数f (x )＝sin ωx ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象向左平移π6个单位长度后的图象关于y 轴对称，则当ω取最小整数时，函数f (x )的图象的一个对称中心是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0 答案 B解析 因为f (x )＝sin ωx ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝sin ωx ＋32cos ωx －12sin ωx ＝12sin ωx ＋32cos ωx＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，又将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度后的图象关于y 轴对称，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，则π6ω＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝6k ＋1(k ∈Z )．因为ω＞0，所以ωmin ＝1，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，令x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π－π3(k ∈Z )，易知B 正确．7．(2019·聊城一模)数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有刍甍(méng)，下广三丈，袤(mào)四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”．现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为(单位：立方丈)( )A ．5.5B ．5C ．6D ．6.5 答案 B解析 根据三视图可知，该几何体是三棱柱，截去两个三棱锥，如图所示：结合图中数据，计算该几何体的体积为V ＝V 三棱柱－2V 三棱锥＝12×3×1×4－2×13×12×3×1×1＝5(立方丈)．故选B.8．(2019·浙江高考)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －3y ＋4≥0，3x －y －4≤0，x ＋y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值是( )A ．－1B ．1C ．10D ．12 答案 C解析 如图，不等式组表示的平面区域是以A (－1,1)，B (1，－1)，C (2,2)为顶点的△ABC 区域(包含边界)．作出直线y ＝－32x 并平移，知当直线y ＝－32x ＋z2经过C (2,2)时，z 取得最大值，且z max ＝3×2＋2×2＝10.故选C.9．(2019·吉林模拟)已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在α的始边上有点A ，终边上有点B (－m ，2m )(m ＞0)，满足|OA |＝|OB |，若∠OAB ＝θ，则sin2θ＋2sin 2θ1＋cos2θ＝( )A.12 B ．2 C ．4 D ．1 答案 D解析 根据题意知α＋2θ＝2k π＋π(k ∈Z )，所以 tan2θ＝tan(2k π＋π－α)＝－tan α＝2，即2tan θ1－tan 2θ＝2.整理得tan θ＋tan 2θ＝1，所以sin2θ＋2sin 2θ1＋cos2θ＝2sin θcos θ＋2sin 2θ2cos 2θ＝tan θ＋tan 2θ＝1.故选D. 10．(2019·九江二模)勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛(1829～1905)首先发现，所以以他的名字命名，其作法为：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自等边三角形内部的概率为( )A.2π－332(π－3)B.32(π－3)C.32(π＋3)D.2π－332(π＋3) 答案 B解析 如图，设BC ＝2，以B 为圆心的扇形的面积为π×226＝2π3，∴△ABC 的面积为12×32×2×2＝3，∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形的面积，即2π3×3－23＝2π－23，故在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形的概率为32π－23＝32(π－3)，故选B.11．(2019·启东中学一模)若椭圆x 225＋y 216＝1和双曲线x 24－y 25＝1的共同焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A.212 B ．84 C ．3 D ．21 答案 D解析 依据题意作出椭圆与双曲线的图象如下图所示：由椭圆的方程x 225＋y216＝1，可得a 21＝25，a 1＝5， 由椭圆的定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1＝10.① 由双曲线的方程x 24－y 25＝1，可得a 22＝4，a 2＝2， 由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a 2＝4.② 联立方程①②，解得|PF 1|＝7，|PF 2|＝3， 所以|PF 1|·|PF 2|＝3×7＝21，故选D.12．(2019·江西分宜中学、玉山一中、临川一中等九校联考)已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ＝f (x )，f (－2)＝－2，数列{a n }满足a 1＝－1，且S n n ＝2×a n n ＋1(S n 为{a n }的前n 项和)，则f (a 5)＝( )A ．－3B ．－2C ．3D ．2 答案 D解析 ∵函数f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ＝－f (－x )．∴f (3＋x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )．∴f (x )是以3为周期的周期函数．∵数列{a n }满足a 1＝－1，且S n n ＝2×a nn ＋1，∴a 1＝－1，且S n ＝2a n ＋n ，∴a 5＝－31，f (a 5)＝f (－31)＝f (2)＝－f (－2)＝2.故选D.第Ⅱ卷 (选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·衡水二中模拟)已知函数 f (x )＝⎩⎨⎧sin 2x －tan x ，x ＜0，e －2x ，x ≥0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π4＝________.答案 1e 3解析 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π4＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π4－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π4＝12＋1＝32，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝e -2×32 ＝e －3＝1e 3.14．(2019·江苏高考)如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积是120，E 为CC 1的中点，则三棱锥E －BCD 的体积是________．答案 10解析 设长方体中BC ＝a ， CD ＝b ，CC 1＝c ，则abc ＝120， ∴V E －BCD ＝13×12ab ×12c ＝112abc ＝10.15．(2019·天津高考)在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝23，AD ＝5，∠A ＝30°，点E 在线段CB 的延长线上，且AE ＝BE ，则BD →·AE→＝________. 答案 －1解析 ∵AD ∥BC ，且∠DAB ＝30°，∴∠ABE ＝30°.又∵AE ＝BE ，∴∠EAB ＝30°. ∴∠E ＝120°.∴在△AEB 中，AE ＝BE ＝2. ∴BD →·AE →＝(BA →＋AD →)·(AB →＋BE →)＝－BA →2＋BA →·BE →＋AD →·AB →＋AD →·BE→ ＝－12＋23×2×cos30°＋5×23×cos30°＋5×2×cos180° ＝－12＋6＋15－10＝－1.16．(2019·辽南一模)若直线y ＝x ＋1是曲线f (x )＝x ＋1x －a ln x (a ∈R )的切线，则a 的值是________．答案 －1解析 设切点的横坐标为x 0，f ′(x )＝1－1x 2－a x ＝x 2－ax －1x 2＝1⇒x 0＝－1a ⇒－a ＝1x 0，则有f (x 0)＝x 0＋1x 0－a ln x 0＝x 0＋1⇒ln x 0－x 0＋1＝0，令h (x )＝ln x －x ＋1⇒h ′(x )＝1x－1＝0⇒x ＝1，则h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 又因为h (1)＝0，所以x 0＝1⇒a ＝－1.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·石家庄一模)已知△ABC 的面积为33，且内角A ，B ，C 依次成等差数列．(1)若sin C ＝3sin A ，求边AC 的长；(2)设D 为AC 边的中点，求线段BD 长的最小值．解 (1)∵△ABC 的三个内角A ，B ，C 依次成等差数列，∴B ＝60°.设A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由△ABC 的面积 S ＝33＝12ac sin B 可得ac ＝12.∵sin C ＝3sin A ，∴由正弦定理知c ＝3a ，∴a ＝2，c ＝6. 在△ABC 中，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝28，∴b ＝27. 即AC 的长为27.(2)∵BD 是AC 边上的中线，∴BD→＝12(BC →＋BA →)，∴BD →2＝14(BC →2＋BA →2＋2BC →·BA→)＝14(a 2＋c 2＋2ac cos ∠ABC )＝14(a 2＋c 2＋ac )≥14(2ac ＋ac )＝9，当且仅当a ＝c 时取“＝”，∴|BD→|≥3，即BD 长的最小值为3.18．(本小题满分12分)(2019·云南师大附中一模)互联网＋时代的今天，移动互联快速发展，智能手机(Smartphone)技术不断成熟，价格却不断下降，成为了生活中必不可少的工具．中学生是对新事物和新潮流反应最快的一个群体之一．逐渐地，越来越多的中学生开始在学校里使用手机．手机特别是智能手机在让我们的生活更便捷的同时也会带来一些问题，同学们为了解手机在中学生中的使用情况，对本校高二年级100名同学使用手机的情况进行调查．针对调查中获得的“每天平均使用手机进行娱乐活动的时间”进行分组整理得到如图所示的饼图．注：图中i(i＝1,2，…7)(单位：小时)代表分组为[i－1，i)的情况．(1)求饼图中a的值；(2)假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生每天平均使用手机的平均时间在第几组？(只需写出结论)(3)从该校随机选取一名同学，能否根据题目中所给信息估计出这名学生每天平均使用手机进行娱乐活动小于3.5小时的概率？若能，请算出这个概率；若不能，请说明理由．解(1)由饼图得100%－6%－9%－27%－12%－14%－3%＝29%.(2)假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，估计样本中的100名学生每天平均使用手机的平均时间在第4组．(3)∵样本是从高二年级抽取的，根据抽取的样本只能估计该校高二年级学生每天使用手机进行娱乐活动的平均时间，不能估计全校学生情况，∴若抽取的同学是高二年级的学生，则可以估计这名同学每天平均使用手机小于3.5小时的概率大约为0.48，若抽到高一、高三的同学则不能估计．19．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅱ) 如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD 是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－BB1C1C的体积．解(1)证明：由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE ⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB ＝∠A 1EB 1＝45°， 故AE ＝AB ＝3，AA 1＝2AE ＝6.如图，作EF ⊥BB 1，垂足为F ，则EF ⊥平面BB 1C 1C ，且EF ＝AB ＝3. 所以四棱锥E －BB 1C 1C 的体积 V ＝13×3×6×3＝18.20．(本小题满分12分)(2019·烟台一模)已知F 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，过F 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点．当直线与x 轴垂直时，|AB |＝4.(1)求抛物线C 的方程；(2)设直线AB 的斜率为1且与抛物线的准线l 相交于点M ，抛物线C 上存在点P 使得直线P A ，PM ，PB 的斜率成等差数列，求点P 的坐标．解 (1)因为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，在抛物线方程y 2＝2px 中，令x ＝p 2，可得y ＝±p .于是当直线与x 轴垂直时，|AB |＝2p ＝4，解得p ＝2. 所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)因为抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1， 由题意可得直线AB 的方程为y ＝x －1， 所以M (－1，－2)．联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝x －1消去x ，得y 2－4y －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝－4. 若点P (x 0，y 0)满足条件，则2k PM ＝k P A ＋k PB ， 即2·y 0＋2x 0＋1＝y 0－y 1x 0－x 1＋y 0－y 2x 0－x 2，因为点P ，A ，B 均在抛物线C 上， 所以x 0＝y 204，x 1＝y 214，x 2＝y 224.代入化简可得2(y 0＋2)y 20＋4＝2y 0＋y 1＋y 2y 20＋(y 1＋y 2)y 0＋y 1y 2，将y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝－4代入，解得y 0＝±2. 将y 0＝±2代入抛物线方程，可得x 0＝1. 于是点P 的坐标为(1,2)或(1，－2)．21．(本小题满分12分)(2019·汉中二模)已知函数f (x )＝ln xx －kx (k ∈R )． (1)当k ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若f (x )＜0恒成立，求k 的取值范围．解 (1)当k ＝0时，f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln x x 2， ∴f (1)＝0，f ′(1)＝1，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝x －1.(2)若f (x )＜0对x ∈(0，＋∞)恒成立，即k ＞ln xx 2对x ＞0恒成立， 设g (x )＝ln xx 2，可得g ′(x )＝1－2ln x x 3， 由g ′(x )＝0，可得x ＝e ，当0＜x ＜e 时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增； 当x ＞e 时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减．∴g (x )在x ＝e 处取得极大值，且极大值也是最大值为12e ，∴k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12e ，＋∞. (二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·郑州二模)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝12，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)．直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．(1)若点P 的极坐标为(2，π)，求|PM |·|PN |的值；(2)求曲线C 的内接矩形周长的最大值．解 (1)已知曲线C 的标准方程为x 212＋y 24＝1，P 的直角坐标为(－2,0)， 将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t与曲线C 的标准方程x 212＋y 24＝1联立，得t 2－2t －4＝0，则|PM |·|PN |＝|t 1t 2|＝4.(2)由曲线C 的标准方程为x 212＋y 24＝1，可设曲线C 上的动点A (23cos θ，2sin θ)，则以A 为顶点的内接矩形的周长为4(23cos θ＋2sin θ)＝16sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，0＜θ＜π2. 因此该内接矩形周长的最大值为16，当且仅当θ＝π6时等号成立． 23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲](2019·郑州二模)设函数f (x )＝|ax ＋1|＋|x －a |(a ＞0)，g (x )＝x 2－x . (1)当a ＝1时，求不等式g (x )≥f (x )的解集； (2)已知f (x )≥2恒成立，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎨⎧－2x ，x ≤－1，2，－1＜x ＜1，2x ，x ≥1，当x ≤－1时，由x 2－x ≥－2x ，得x ≤－1.当－1＜x ＜1时，由x 2－x ≥2，得x ≤－1或x ≥2，舍去． 当x ≥1时，由x 2－x ≥2x ，得x ≥3.综上，原不等式的解集为{x |x ≤－1或x ≥3}． (2)f (x )＝|ax ＋1|＋|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)x －1＋a ，x ≤－1a ，(a －1)x ＋1＋a ，－1a ＜x ＜a ，(a ＋1)x ＋1－a ，x ≥a ，当0＜a ≤1时，由f (x )min ＝f (a )＝a 2＋1≥2，得a ＝1；当a ＞1时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝a ＋1a >2，所以a ＞1；综上，a ∈[1，＋∞)．。
2020高考数学文科刷题(2019真题+2019模拟)讲练(课件+优选练)专题02 常用逻辑用语(教师版)
专题二常用逻辑用语本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分100分，考试时间60分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·江西九校联考)下列语句中正确的个数是()①∀φ∈R，函数f (x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数；②命题“若x＝y则sin x＝sin y”的否命题是真命题；③若p或q为真，则p，q均为真；④“a·b>0”的充分不必要条件是“a与b夹角为锐角”．A．0 B．1 C．2 D．3答案B解析∀φ∈R，函数f (x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数，是错误的，当φ＝π2时，函数表达式为y＝cos2x，是偶函数，故①错误．命题“若x＝y则sin x＝sin y”的否命题为“若x≠y，则sin x≠sin y”，是错误的，当x＝π，y＝3π时，函数值相等，故②错误．若p或q为真，则p，q至少一个为真即可，故③错误．“a·b>0”的充分不必要条件是“a与b夹角为锐角”，正确，夹角为锐角则两向量的数量积一定大于0，反之两向量的数量积大于0，夹角有可能为0角，故④正确．故选B.2．(2019·四川绵阳二诊)“a＝b＝1”是“直线ax－y＋1＝0与直线x－by－1＝0平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析a＝b＝1时，两直线分别为x－y＋1＝0与x－y－1＝0，斜率相同，所以平行，充分性成立；当直线ax－y＋1＝0与直线x－by－1＝0平行时，b＝0显然不符合，所以b≠0，由斜率相等，得a＝1b，显然不一定是a＝b＝1，所以必要性不成立，故选A.3．(2019·全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面答案B解析若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，反之不成立；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一平面，则α与β可以平行也可以相交，故A，C，D均不是充要条件．根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立．因此B中条件是α∥β的充要条件．故选B.4．(2019·沈阳质量监测)设命题p：∀x∈R，x2－x＋1>0，则綈p为() A．∃x∈R，x2－x＋1>0 B．∀x∈R，x2－x＋1≤0C．∃x∈R，x2－x＋1≤0 D．∀x∈R，x2－x＋1<0答案C解析全称量词命题的否定是存在性量词命题．故选C.5．(2019·北京高考)设函数f (x)＝cos x＋b sin x(b为常数)，则“b＝0”是“f (x)为偶函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析∵f (x)＝cos x＋b sin x为偶函数，∴对任意的x∈R，都有f (－x)＝f (x)，即cos(－x)＋b sin(－x)＝cos x＋b sin x，∴2b sin x＝0.由x的任意性，得b＝0.故f (x)为偶函数⇒b＝0.必要性成立．反过来，若b＝0，则f (x)＝cos x是偶函数．充分性成立．∴“b＝0”是“f (x)为偶函数”的充分必要条件．故选C.6．(2019·广州市高三调研)下列命题中，是真命题的为()A．∃x0∈R，e xo≤0 B．∀x∈R,2x>x2C．a＋b＝0的充要条件是ab＝－1D．若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1答案D解析指数函数y＝e x＞0，A错误；当x＝2时，2x＝x2＝4，B错误；当a＝0，b＝0时，满足a＋b＝0，但ba没有意义，C错误；对于D，应用反证法，当x，y都不大于1时，不可能有x＋y>2，D正确．7．(2019·浙江高考)若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析∵a>0，b>0，若a＋b≤4，则2ab≤a＋b≤4.∴ab≤4，此时充分性成立．当a>0，b>0，ab≤4时，令a＝4，b＝1，则a＋b＝5>4，这与a＋b≤4矛盾，因此必要性不成立．综上所述，当a>0，b>0时，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A.8．(2019·合肥质量检测)命题p：∀a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解，则綈p为()A．∃a<0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解B．∃a<0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实数解C．∃a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实数解D．∃a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解答案C解析根据全称命题的否定可知，綈p为∃a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实数解．故选C.9．(2019·唐山五校联考)已知命题p：“a>b”是“2a>2b”的充要条件；命题q：∃x0∈R，|x0＋1|≤x0，则()A ．(綈p )∨q 为真命题B ．p ∨q 为真命题C ．p ∧q 为真命题D ．p ∧(綈q )为假命题答案 B 解析 对于命题p ，由函数y ＝2x 是R 上的增函数，知命题p 是真命题．对于命题q ，当x ＋1≥0，即x ≥－1时，|x ＋1|＝x ＋1>x ；当x ＋1<0，即x <－1时，|x ＋1|＝－x －1，由－x －1≤x ，得x ≥－12，无解，因此命题q 是假命题．所以(綈p )∨q 为假命题，A 错误；p ∨q 为真命题，B 正确；p ∧q 为假命题，C 错误；p ∧(綈q )为真命题，D 错误．故选B.10．(2019·滁州一模)下面几个命题中，是假命题的是( )A ．“若a ≤b ，则2a ≤2b －1”的否命题B ．“∀a ∈(0，＋∞)，函数y ＝a x 在定义域内单调递增”的否定C ．“π是函数y ＝sin x 的一个周期”或“2π是函数y ＝sin2x 的一个周期”D ．“x 2＋y 2＝0”是“xy ＝0”的必要条件答案 D解析 “若a ≤b ，则2a ≤2b －1”的否命题是“若a ＞b ，则2a ＞2b －1”，故A 是真命题；“∀a ∈(0，＋∞)，函数y ＝a x 在定义域内单调递增”的否定为“∃a ∈(0，＋∞)，函数y ＝a x 在定义域内不单调递增”，故B 是真命题，例如a ＝12时，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上单调递减；“π是函数y ＝sin x 的一个周期”不正确，“2π是函数y ＝sin2x 的一个周期”正确，故C 是真命题；“x 2＋y 2＝0”⇒“xy ＝0”，反之不成立，因此“x 2＋y 2＝0”是“xy ＝0”的充分不必要条件，故D 是假命题．故选D.11．(2019·深圳调研)设有下面四个命题：p 1：∃n ∈N ，n 2>2n ；p 2：x ∈R ，“x >1”是“x >2”的充分不必要条件；p 3：命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题是“若sin x ≠sin y ，则x ≠y ”； p 4：若“p ∨q ”是真命题，则p 一定是真命题．其中为真命题的是( )A ．p 1，p 2B ．p 2，p 3C ．p 2，p 4D ．p 1，p 3答案 D 解析 ∵n ＝3时，32>23，∴∃n ∈N ，n 2>2n ，∴p 1为真命题，可排除B ，C 两项；∵(2，＋∞)⊆(1，＋∞)，∴x >2能推出x >1，x >1不能推出x >2，“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，∴p 2是假命题，排除 A.根据逆否命题的定义可知p 3为真命题；根据复合命题的真假判断法则可知p 4为假命题．故选D.12．(2019·西安质量检测大联考)已知命题p ：∀x ∈R ，不等式ax 2＋22x ＋1<0的解集为空集，命题q ：f (x )＝(2a －5)x 在R 上满足f ′(x )<0，若命题p ∧(綈q )是真命题，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，3 B ．[3，＋∞) C ．[2,3]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52∪[3，＋∞) 答案 D解析 由题意，命题p ：∀x ∈R ，不等式ax 2＋22x ＋1<0的解集为空集，当a ＝0时，不满足题意．当a ≠0时，必须满足⎩⎨⎧ a >0，Δ＝(22)2－4a ≤0，解得a ≥2. 命题q ：f (x )＝(2a －5)x 在R 上满足f ′(x )<0，可得函数f (x )在R 上单调递减，∴0<2a －5<1，解得52<a <3.∵命题p ∧(綈q )是真命题，∴p 为真命题，q 为假命题．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2，a ≤52或a ≥3，解得2≤a ≤52或a ≥3，则实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52∪[3，＋∞)．故选D.第Ⅱ卷 (非选择题，共40分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·南通二调)命题“∃x ∈R,2x >0”的否定是________．答案 ∀x ∈R,2x ≤0解析 根据特称命题的否定法则可得．14．(2019·郑州模拟)已知“命题p ：(x －m )2>3(x －m )”是“命题q ：x 2＋3x－4<0”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．答案 (－∞，－7]∪[1，＋∞)解析 由命题p 中的不等式(x －m )2>3(x －m )，得(x －m )(x －m －3)>0，解得x >m ＋3或x <m .由命题q 中的不等式x 2＋3x －4<0，得(x －1)(x ＋4)<0，解得－4<x <1.因为命题p 是命题q 的必要不充分条件，所以q ⇒p ，即m ＋3≤－4或m ≥1，解得m ≤－7或m ≥1.所以m 的取值范围为m ≥1或m ≤－7.15．(2019·江西玉山一中月考)已知命题p ：关于x 的方程x 2－mx －2＝0在[0,1]上有解；命题q ：f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2mx ＋12在[1，＋∞)上单调递增．若“綈p ”为真命题，“p ∨q ”为真命题，则实数m 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，34 解析 对于命题p ：令g (x )＝x 2－mx －2，则g (0)＝－2，∴g (1)＝－m －1≥0，解得m ≤－1，故命题p ：m ≤－1.∴綈p ：m >－1.对于命题q ：⎩⎪⎨⎪⎧m ≤1，1－2m ＋12>0，解得m <34.又由题意可得p 假q 真，∴－1<m <34，即实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，34. 16．(2019·福建闽侯二中模拟)设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 解析 由|4x －3|≤1，得12≤x ≤1；由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a＋1.∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件．∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1⊆[a ，a ＋1]．∴a ≤12且a ＋1≥1，两个等号不能同时成立，解得0≤a ≤12.∴实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 三、解答题(本大题共2小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2019·山东德州模拟)命题p ：实数a 满足a 2＋a －6≥0；命题q ：函数y ＝ax 2－ax ＋1的定义域为R .若命题p ∧q 为假，p ∨q 为真，求实数a 的取值范围．解 当命题p 为真时，即a 2＋a －6≥0，解得a ≥2或a ≤－3； 当命题q 为真时，可得ax 2－ax ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立，若a ＝0，则满足题意；若a ≠0，则有⎩⎨⎧ a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4， ∴0≤a ≤4.∵p ∧q 为假，p ∨q 为真，∴“p 真q 假”或“p 假q 真”，①当p 真q 假时，则⎩⎨⎧ a ≥2或a ≤－3，a >4或a <0，∴a >4或a ≤－3；②当p 假q 真时，则⎩⎨⎧－3<a <2，0≤a ≤4，∴0≤a <2. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[0,2)∪(4，＋∞)．18．(本小题满分10分)(2019·潍坊联考)已知m ∈R ，设p ：∀x ∈[－1,1]，x 2－2x －4m 2＋8m －2≥0成立；q ：∃x ∈[1,2]，log 12 (x 2－mx ＋1)<－1成立．如果“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求实数m 的取值范围．解 若p 为真，则∀x ∈[－1,1]，4m 2－8m ≤x 2－2x －2恒成立． 设f (x )＝x 2－2x －2，配方得f (x )＝(x －1)2－3，∴f (x )在[－1,1]上的最小值为－3，∴4m 2－8m ≤－3，解得12≤m ≤32，∴p 为真时，12≤m ≤32.若q 为真，则∃x ∈[1,2]，x 2－mx ＋1>2成立，即m <x 2－1x 成立． 设g (x )＝x 2－1x ＝x －1x ，则g (x )在[1,2]上是增函数，∴g (x )的最大值为g (2)＝32，∴m <32，∴q 为真时，m <32.∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 与q 一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧ 12≤m ≤32，m ≥32，∴m ＝32； 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧ m <12或m >32，m <32，∴m <12.综上所述，实数m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪ m <12或m ＝32.。
2020高考数学文科刷题(2019真题+2019模拟)讲练(课件+优选练)专题20 推理与证明(学生版)
专题二十推理与证明本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分80分，考试时间50分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·菏泽模拟)命题：“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明过程：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)·(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”应用了()A．分析法B．综合法C．综合法与分析法D．放缩法2．(2019·深圳二模)已知“正三角形的内切圆与三边相切，切点是各边的中点”，利用类比的方法可以猜想：正四面体的内切球与各面相切，切点是() A．各面内某边的中点B．各面内某条中线的中点C．各面内某条高的三等分点D．各面内某条角平分线的四等分点3．(2019·三明期末)某演绎推理的“三段论”分解如下：①函数f (x)＝13x是减函数；②指数函数y＝a x(0<a<1)是减函数；③函数f (x)＝13x是指数函数．则按照演绎推理的“三段论”模式，排序正确的是()A．①→②→③B．③→②→①C．②→①→③D．②→③→①4．(2019·洛阳质检)对于大于或等于2的正整数幂运算有如下分解方式：22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7，…23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，…根据以上规律，若m，p均为正整数且m2＝1＋3＋5＋…＋11，p3的分解式中的最小正整数为21，则m＋p＝()A．9 B．10 C．11 D．125．(2019·桂林一模)设f (n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n>2，n∈N)，经计算可得f(4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，…，观察上述结果，可得出的一般结论是()A．f (2n)>2n＋12(n≥2，n∈N)B．f (n2)≥n＋22(n≥2，n∈N)C．f (2n)>n＋22(n≥2，n∈N)D．f (2n)≥n＋22(n≥2，n∈N)6．(2019·临川两校联考)甲、乙、丙、丁四名同学参加某次过关考试，甲、乙、丙三个人分别去老师处询问成绩，老师给每个人只提供了其他三人的成绩．然后，甲说：我们四人中至少两人不过关；乙说：我们四人中至多两人不过关；丙说：甲、乙、丁恰好有一人过关．假设他们说的都是真的，则下列结论正确的是()A．甲没过关B．乙过关C．丙过关D．丁过关7．(2019·德州模拟)设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是()A．②③B．①②③C．③D．③④⑤8．(2019·南昌市摸底)用反证法证明命题①：“已知p3＋q3＝2，求证：p＋q≤2”时，可假设“p＋q>2”；命题②：“若x2＝4，则x＝－2或x＝2”时，可假设“x≠－2或x≠2”．以下结论正确的是()A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确，②的假设错误D．①的假设错误，②的假设正确9．(2019·焦作模拟)用分析法证明不等式(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)时，最后得到的一个显然成立的不等式是( )A ．(ac ＋bd )2≥0B ．a 2＋b 2≥0C ．(ad －bc )2≥0D ．c 2＋d 2≥010．(2019·全国卷Ⅲ)设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－32 )>f (2－23 )B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－23 )>f (2－32 )C ．f (2－32 )>f (2－23 )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314D ．f (2－23 )>f (2－32 )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 31411．(2019·濮阳联考)有一个由奇数组成的数列1,3,5,7,9，…，现进行如下分组：第1组含有一个数{1}，第2组含有两个数{3,5}，第3组含有三个数{7,9,11}，……，则第n 组各数之和为( )A ．n 2B ．n 3C ．n 4D ．n (n ＋1)12．(2019·岳阳一中月考)将棱长相等的正方体按如图所示的形状摆放，从上往下依次为第1层，第2层，第3层，…，则第2019层正方体的个数为( )A ．2018B ．4028C ．2037171D ．2039190第Ⅱ卷 (非选择题，共20分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·山西吕梁一模)在某次语文考试中，A ，B ，C 三名同学中只有一名同学优秀，当他们被问到谁得到了优秀时，C 说：“A 没有得优秀”；B 说：“我得了优秀”；A 说：“C 说得是真话”．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是________．14．(2019·宣城市八校联考)如图，在△OAB 中，OA ⊥AB ，OB ＝1，OA ＝12，过B 点作OB 延长线的垂线交OA 延长线于点A 1，过点A 1作OA 延长线的垂线交OB 延长线于点B 1，如此继续下去，设△OAB 的面积为a 1，△OA 1B 的面积为a 2，△OA 1B 1的面积为a 3，…，以此类推，则a 6＝________.15．(2019·宁夏育才中学二模)凸函数具有以下性质定理：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .已知函数f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________．16．(2019·株洲二模)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术，得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝5524，…，则按照以上规律，若88n ＝88n 具有“穿墙术”，则n＝________.。
2020届全国高考数学（文）刷题1+1（2019模拟题）模拟重组卷（三）
2020届全国高考数学（文）刷题1+1（2019模拟题）模拟重组卷（三）（解析版）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·濮阳市二模)已知集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2(3x －1)＜2}，则( ) A ．A ∪B ＝(0，＋∞) B ．A ∩B ＝⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 C ．A ∪B ＝R D ．A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53答案 A解析 依题意，得B ＝{x |log 2(3x －1)＜2}＝{x |0＜3x －1＜4}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜53，所以A ∩B＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，53，A ∪B ＝(0，＋∞)．故选A. 2．(2019·成都外国语学校一模)已知复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝3－i(i 为虚数单位)，则z 1z 2＝( )A.45－35i B ．－45＋35i C ．－45－35i D.45＋35i答案 B解析 ∵复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z 1＝3－i ，∴z 2＝－3－i ∴z 1z 2＝3－i－3－i ＝(3－i )(－3＋i )(－3－i )(－3＋i )＝－45＋35i.故选B. 3．(2019·合肥一中模拟)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝55，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为( )A.255 B ．－255 C.55 D ．－55 答案 D解析 由题意可得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－55.故选D. 4．(2019·全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )A.16B.14C.13D.12 答案 D解析 设两位男同学分别为A ，B ，两位女同学分别为a ，b ，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“”的情况)共有12种，故所求概率为1224＝12.故选D.5．(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin x ＋xcos x ＋x 2在[－π，π]的图象大致为( )答案 D 解析 ∵f (－x )＝sin (－x )－x cos (－x )＋(－x )2＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除A.当x ＝π时， f (π)＝π－1＋π2>0，排除B ，C.故选D.6．(2019·江南十校联考)已知边长为1的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，点E 满足BE →＝2EC →，则AE →·BD→的值是( ) A ．－13 B ．－12 C ．－14 D ．－16 答案 D解析 由题意可得大致图象如下：AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →；BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →，∴AE →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋23BC →·(BC →－AB →)＝AB →·BC →－AB →·AB →＋23BC →·BC →－23AB →·BC →＝13AB →·BC →－|AB →|2＋23|BC →|2，又|AB →|＝|BC →|＝1，AB →·BC→＝|AB →|·|BC →|cos ∠BAD ＝12.∴AE →·BD→＝13×12－1＋23＝－16.故选D.7．(2019·河南九师联盟联考)下面框图的功能是求满足1×3×5×…×n ＞111111的最小正整数n ，则空白处应填入的是( )A ．输出i ＋2B ．输出iC ．输出i －1D ．输出i －2 答案 D解析 根据程序框图得到循环是：M ＝1，i ＝3；M ＝1×3，i ＝5；M ＝1×3×5，i ＝7；M ＝1×3×5×7，i ＝9；…；M ＝1×3×5×…×(n －2)，i ＝n 之后进入判断，不符合题意时，输出，输出的是i －2.故选D.8．(2019·天津高考)已知a ＝log 27，b ＝log 38，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b 答案 A解析 ∵a ＝log 27>log 24＝2，b ＝log 38<log 39＝2且b >1，c ＝0.30.2<0.30＝1，∴c <b <a .故选A.9．(2019·漳州一模)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵．”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有( )A ．17(87－8)人 B ．17(89－8)人 C ．8＋17(87－8)人 D ．8＋17(89－84)人答案 D解析 由题意可得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、士兵依次成等比数列，且首项为8，公比也为8，所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有：8＋84＋85＋86＋87＋88＝8＋84(1－85)1－8＝8＋17(89－84)，故选D.10．(2019·深圳调研)已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个定点，∠ABC ＝60°，AC ＝2，P 为球O 的球面上的动点，记三棱锥P －ABC 的体积为V 1，三棱锥O －ABC 的体积为V 2，若V 1V 2的最大值为3，则球O 的表面积为( )A.16π9B.64π9C.3π2 D ．6π 答案 B解析 由题意，设△ABC 的外接圆圆心为O ′，其半径为r ，球O 的半径为R ，且|OO ′|＝d ，依题意可知⎝ ⎛⎭⎪⎫V 1V 2max ＝R ＋d d ＝3，即R ＝2d ，显然R 2＝d 2＋r 2，故R ＝23r ，又由2r ＝AC sin ∠ABC ＝43，故r ＝23，∴球O 的表面积为4πR 2＝163πr 2＝64π9.故选B.11．(2019·西工大附中模拟)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为( )A. 2B.32C. 3D.62 答案 C解析 因为F 1，F 2是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上一点，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，不妨设P 是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，∵a ＜c ，∴|PF 2|＜|F 1F 2|，∴|PF 2|为△PF 1F 2的最小边，∴△PF 1F 2的最小内角∠PF 1F 2＝30°，根据余弦定理，|PF 2|2＝|F 1F 2|2＋|PF 1|2－2|F 1F 2||PF 1|·cos ∠PF 1F 2，即4a 2＝4c 2＋16a 2－2×2c ×4a ×32，∴c 2－23ca ＋3a 2＝0，∴c ＝3a ，所以e ＝ca ＝ 3.故选C.12．(2019·四川诊断)已知定义在R 上的函数f (x )关于y 轴对称，其导函数为f ′(x )．当x ≥0时，不等式xf ′(x )＞1－f (x )．若∀x ∈R ，不等式e x f (e x )－e x ＋ax －ax ·f (ax )＞0恒成立，则正整数a 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 ∵xf ′(x )＞1－f (x )，∴xf ′(x )－1＋f (x )＞0，令F (x )＝x [f (x )－1]，则F ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )－1＞0，又∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴F (x )是定义在R 上的奇函数，∴F (x )是定义在R 上的单调递增函数，又∵e x f (e x )－axf (ax )＞e x －ax ，可化为e x [f (e x )－1]＞ax [f (ax )－1]，即F (e x )＞F (ax )，又∵F (x )是在R 上的单调递增函数，∴e x －ax ＞0恒成立，令g (x )＝e x －ax ，则g ′(x )＝e x －a ，∵a ＞0，∴g (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，∴g (x )min ＝a －a ln a ＞0，则1－ln a ＞0，∴0＜a ＜e ， ∴正整数a 的最大值为2.故选B.第Ⅱ卷 (选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·武威十八中一模)学校艺术节对A ，B ，C ，D 四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：甲说：“是C 或D 作品获得一等奖”；乙说：“B 作品获得一等奖”；丙说：“A ，D 两件作品未获得一等奖”；丁说：“是C 作品获得一等奖”．评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是________．答案 B解析 若A 为一等奖，则甲、乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意；若B 为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意；若C 为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意；若D 为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意；综上所述，故B 获得一等奖．14．(2019·全国卷Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 3＝5，a 7＝13，则S 10＝________. 答案 100解析 ∵{a n }为等差数列，a 3＝5，a 7＝13，∴公差d ＝a 7－a 37－3＝13－54＝2，首项a 1＝a 3－2d ＝5－2×2＝1，∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝100.15．(2019·淮北一中模拟)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧4x －y －1≥0，y ≥1，x ＋y ≤4，则z ＝ln y －ln x 的最小值是________．答案 －ln 3解析 根据题中所给的约束条件，画出可行域，如图中阴影部分所示．又因为z ＝ln y －ln x ＝ln y x ，当y x 取最小值时z 取最小值，根据yx 表示的是点(x ，y )与原点连线的斜率，根据图形可知，在点C 处取得最小值，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，y ＝1，解得C (3,1)，此时z取得最小值ln 13＝－ln 3.16．(2019·浙江高考)已知椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________．答案15解析 如图，左焦点F (－2,0)，右焦点F ′(2,0)．线段PF 的中点M 在以O (0,0)为圆心，2为半径的圆上，因此OM ＝2. 在△FF ′P 中，OM 綊12PF ′， 所以PF ′＝4.根据椭圆的定义，得PF ＋PF ′＝6， 所以PF ＝2. 又因为FF ′＝4， 所以在Rt △MFF ′中， tan ∠PFF ′＝MF ′MF ＝FF ′2－MF 2MF＝15，即直线PF 的斜率是15.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·北京高考)在△ABC 中，a ＝3，b －c ＝2，cos B ＝－12.(1)求b ，c 的值； (2)求sin(B －C )的值．解 (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得 b 2＝32＋c 2－2×3×c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12.因为b ＝c ＋2，所以(c ＋2)2＝32＋c 2－2×3×c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，解得c ＝5，所以b ＝7. (2)由cos B ＝－12得sin B ＝32.由正弦定理得sin C ＝c b sin B ＝5314.在△ABC 中，∠B 是钝角，所以∠C 为锐角， 所以cos C ＝1－sin 2C ＝1114.所以sin(B －C )＝sin B cos C －cos B sin C ＝437.18．(本小题满分12分)(2019·济南市模拟)如图1所示，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝45°，AB ＝2CD ＝4，点E 为AB 的中点．将△ADE 沿DE 折起，使点A 到达P 的位置，得到如图2所示的四棱锥P －EBCD ，点M 为棱PB 的中点．(1)求证：PD ∥平面MCE ；(2)若平面PDE ⊥平面EBCD ，求三棱锥M －BCE 的体积． 解 (1)在题图1中，因为BE ＝12AB ＝CD 且BE ∥CD ， 所以四边形EBCD 是平行四边形．如图，连接BD，交CE于点O，连接OM，所以点O是BD的中点，又点M为棱PB的中点，所以OM∥PD，因为PD⊄平面MCE，OM⊂平面MCE，所以PD∥平面MCE.(2)在题图1中，因为EBCD是平行四边形，所以DE＝BC，因为四边形ABCD是等腰梯形，所以AD＝BC，所以AD＝DE，因为∠BAD＝45°，所以AD⊥DE.所以PD⊥DE，又平面PDE⊥平面EBCD，且平面PDE∩平面EBCD＝DE，所以PD⊥平面EBCD.由(1)知OM∥PD，所以OM⊥平面EBCD，在等腰直角三角形ADE中，因为AE＝2，所以AD＝DE＝2，所以OM＝12PD＝12AD＝22，S△BCE＝S△ADE＝1，所以V三棱锥M－BCE＝13S△BCE ·OM＝26.19．(本小题满分12分)(2019·蚌埠二模)随着人民生活水平的日益提高，某小区居民拥有私家车的数量与日俱增．由于该小区建成时间较早，没有配套建造地下停车场，小区内无序停放的车辆造成了交通的拥堵．该小区的物业公司统计了近五年小区登记在册的私家车数量(累计值，如124表示2016年小区登记在册的所有车辆数，其余意义相同)，得到如下数据：编号x 1 2 3 4 5 年份 2014 2015 2016 2017 2018 数量y (单位：辆)3495124181216(1)预测2020年该小区的私家车数量；(2)小区于2018年底完成了基础设施改造，划设了120个停车位．为解决小区车辆乱停乱放的问题，加强小区管理，物业公司决定禁止无车位的车辆进入小区．由于车位有限，物业公司决定在2019年度采用网络竞拍的方式将车位对业主出租，租期一年，竞拍方式如下：①截至2018年已登记在册的私家车业主拥有竞拍资格；②每车至多申请一个车位，由车主在竞拍网站上提出申请并给出自己的报价，根据物价部门的规定，竞价不得超过1200元；③申请阶段截止后，将所有申报的业主报价自高到低排列，排在前120位的业主以其报价成交；④若最后出现并列的报价，则以提出申请的时间在前的业主成交．为预测本次竞拍的成交最低价，物业公司随机抽取了有竞拍资格的40位业主进行竞拍意向的调查，统计了他们的拟报竞价，得到如下频率分布直方图：(ⅰ)求所抽取的业主中有意向竞拍报价不低于1000元的人数；(ⅱ)如果所有符合条件的车主均参加竞拍，利用样本估计总体的思想，请你据此预测至少需要报价多少元才能竞拍车位成功？(精确到整数)参考公式：对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b ^＝∑ni ＝1 (x i －x －)(y i －y －)∑ni ＝1(x i －x －)2，a ^＝y －－b ^x －. 解 (1)由表中数据，计算得，x －＝15×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，y －＝15×(34＋95＋124＋181＋216)＝130，b ^＝(－2)×(－96)＋(－1)×(－35)＋0＋1×51＋2×86(－2)2＋(－1)2＋0＋12＋22＝45010＝45， a ^＝y －－b ^x －＝130－45×3＝－5，故所求线性回归方程为y ^＝45x －5，令x ＝7，得y ^＝310，所以预测2020年该小区的私家车数量为310辆．(2)(ⅰ)由频率分布直方图可知，有意向竞拍报价不低于1000元的频率为(0.25＋0.05)×1＝0.3，共抽取40位业主，则40×0.3＝12，所以有意向竞拍报价不低于1000元的人数为12人．(ⅱ)由题意，120216＝59，所以竞价自高到低排列位于前59比例的业主可以竞拍成功，结合频率分布直方图，预测竞拍成功的最低报价为1000－⎝ ⎛⎭⎪⎫59－0.3×100＝87709≈974元． 20．(本小题满分12分)(2019·合肥二模)已知直线l ：x －y ＋1＝0与焦点为F 的抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)相切．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 的直线m 与抛物线C 交于A ，B 两点，求A ，B 两点到直线l 的距离之和的最小值．解 (1)∵直线l ：x －y ＋1＝0与抛物线C 相切．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y 2＝2px 消去x 得，y 2－2py ＋2p ＝0，从而Δ＝4p 2－8p ＝0，解得p ＝2.∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)由于直线m 的斜率不为0，所以可设直线m 的方程为ty ＝x －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ty ＝x －1，y 2＝4x消去x 得，y 2－4ty －4＝0， ∴y 1＋y 2＝4t ，从而x 1＋x 2＝4t 2＋2，∴线段AB 的中点M 的坐标为(2t 2＋1,2t )．设点A 到直线l 的距离为d A ，点B 到直线l 的距离为d B ，点M 到直线l 的距离为d ，则d A ＋d B ＝2d ＝2·|2t 2－2t ＋2|2＝22|t 2－t ＋1|＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34， ∴当t ＝12时，可使A ，B 两点到直线l 的距离之和最小，最小值为322.21．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋2.(1)讨论f (x )的单调性；(2)当0<a <3时，记f (x )在区间[0,1]的最大值为M ，最小值为m ，求M －m 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )．令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a 3.若a >0，则当x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3时，f ′(x )<0， 故f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3单调递减； 若a ＝0，f (x )在(－∞，＋∞)单调递增；若a <0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，0时，f ′(x )<0， 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3，(0，＋∞)单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，0单调递减．(2)当0<a <3时，由(1)知，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，1单调递增，所以f (x )在[0,1]的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－a 327＋2，最大值为f (0)＝2或f (1)＝4－a . 于是m ＝－a 327＋2，M ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4－a ，0<a <2，2，2≤a <3.所以M －m ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a ＋a 327，0<a <2，a 327，2≤a <3.当0<a <2时，可知2－a ＋a 327单调递减，所以M －m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫827，2. 当2≤a <3时，a 327单调递增，所以M －m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫827，1. 综上，M －m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫827，2. (二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·黄山二模)设极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α是参数)，直线l 的极坐标方程为3ρsin θ－ρcos θ＋1＝3m .(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；(2)设点P (1，m )，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|P A |＝8|PB |，求m 的值．解 (1)由题可得，曲线C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.直线l 的直角坐标方程为3y －x ＋1＝3m ，即x －3y －1＋3m ＝0.由于直线l 过点P (1，m )，倾斜角为30°，故直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋32t ，y ＝m ＋12t (t 是参数)．注意：直线l 的参数方程的结果不是唯一的．(2)设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程并化简得：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t －12＋⎝⎛⎭⎪⎫m ＋12t 2＝1⇒t 2＋mt ＋m 2－1＝0 所以|P A ||PB |＝|t 1t 2|＝|m 2－1|＝8解得m ＝±3.23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲](2019·长春二模)已知f (x )＝|2－x |－|4－x |.(1)关于x 的不等式f (x )≥a 2－3a 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若f (m )＋f (n )＝4，且m ＜n ，求m ＋n 的取值范围．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＋4－x ＝2(x ≥4)，x －2－4＋x ＝2x －6(2＜x ＜4)，2－x －4＋x ＝－2(x ≤2)，所以f (x )min ＝－2，∵f (x )≥a 2－3a 恒成立，则a 2－3a ≤f (x )min ＝－2，解得1≤a ≤2.(2)∵f (x )max ＝2，∴f (m )≤2，f (n )≤2，则f (m )＋f (n )≤4，又f (m )＋f (n )＝4，所以f (m )＝f (n )＝2，于是n ＞m ≥4，故m ＋n ＞8.。
2020高考数学(文)刷题1+1(2019高考题+2019模拟题)讲练试卷：素养提升练(八) 含解析
素养提升练(八)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·江西分宜中学、玉山一中、临川一中等九校联考)已知m ，n ∈R ，集合A ＝{2，log 7m }，集合B ＝{m ，n }，若A ∩B ＝{1}，则m ＋n ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8 答案 D解析 因为A ∩B ＝{1}，则log 7m ＝1，m ＝7，B ＝{m ，n }＝{7，n }，n ＝1，则m ＋n ＝8.故选D.2．(2019·无锡一中三模)已知i 为虚数单位，且复数z 满足z (1＋i)＝2＋i 2019，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋12＋i 的值为( ) A.12 B.52 C.32 D ．2答案 B解析 z (1＋i)＝2＋i 2019，∴z ＝2＋i 20191＋i ＝2－i 1＋i＝(2－i )(1－i )2＝12－32i ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋12＋i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12i ＝1＋14＝52，故选B.3．(2019·厦门一中三模)古希腊数学家阿基米德用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和抛物线所包围的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四．”如图，已知直线x ＝2交抛物线y 2＝4x 于A ，B 两点，点A ，B 在y 轴上的射影分别为D ，C .从长方形ABCD 中任取一点，则根据阿基米德这一理论，该点位于阴影部分的概率为( )A.12B.13C.23D.25 答案 B解析 在抛物线y 2＝4x 中，取x ＝2，可得y ＝±22，∴S 矩形ABCD ＝82，由阿基米德理论可得弓形面积为43×12×82＝1623，则阴影部分的面积为S ＝82－1623＝823.由测度比为面积比可得，该点位于阴影部分的概率为82382＝13.故选B.4．(2019·全国卷Ⅱ)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( )A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙 答案 A解析 由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确．若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，又假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误．综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．故选A.5．(2019·梧州一模)函数f (x)＝(e x＋1)ln x2e x－1(e是自然对数的底数)的图象大致为()答案 A解析 f (x)的定义域是{x|x≠0}，关于原点对称，f (－x)＝(e－x＋1)ln (－x)2e－x－1＝(1＋e x)ln x21－e x ＝－(e x＋1)ln x2e x－1＝－f (x)，则函数f (x)是奇函数，图象关于原点对称，排除B，C.当x＞1时，f (x)＞0，排除D，故选A.6．(2019·莱阳一中一模)已知△ABC中，sin A＋2sin B cos C＝0，3b＝c，则tan A的值是()A.33 B.233 C. 3 D.433答案 A解析∵sin A＋2sin B cos C＝0，∴sin(B＋C)＋2sin B cos C＝0，∴3sin B cos C＋cos B sin C ＝0，由cos B≠0，cos C≠0，化为3tan B＝－tan C，又3b＝c，∴B为锐角，C为钝角，∴tan A＝－tan(B＋C)＝－tan B＋tan C1－tan B tan C＝2tan B1＋3tan2B＝21tan B＋3tan B≤223＝33，当且仅当tan B＝33时，取等号，∴tan A的最大值是33.7．(2019·莆田三模)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.154B.133C.173D.112 答案 C解析 根据几何体的三视图可知，该几何体为正方体截去一个三棱锥与一个三棱柱，则该几何体的体积为V ＝23－13×12×22×2－2×12×1×1＝173.故选C.8．(2019·四川二诊)在数列{a n }中，已知a 1＝1，且对于任意的m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝nB ．a n ＝n ＋1C ．a n ＝n (n －1)2D ．a n ＝n (n ＋1)2答案 D解析 令m ＝1，得a n ＋1＝a n ＋n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，∴a n －1＝2＋3＋4＋…＋n ，∴a n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2.故选D.9．(2019·湖北六市联考)将直线x ＋y －1＝0绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15°得到直线l ，则直线l 与圆(x ＋3)2＋y 2＝4的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切 答案 B解析 依题意得，直线l 的倾斜角为150°，所以直线l 的方程是y ＝tan150°(x －1)＝－33(x －1)，即x ＋3y －1＝0，圆心(－3,0)到直线l 的距离d ＝|－3－1|3＋1＝2，故直线l 与圆相切．10．(2019·上饶一模)已知定义在R 上的函数满足 f (x ＋1)＝f (x －1)，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－5，0＜x ≤1，ln x －1e 5，1＜x ≤2，若关于x 的不等式f (x )＋a (x －2018)≤0在(2018,2020]上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，2) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，52 答案 C解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－5，0＜x ≤1，ln x －1e 5，1＜x ≤2，可得当0＜x ≤1时，f (x )递增，且f (x )∈(－4，－3]；当1＜x ≤2时，f (x )＝ln (x －1)－5≤－5.由f (x ＋1)＝f (x －1)，可得f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )的最小正周期为2，关于x 的不等式f (x )＋a (x －2018)≤0在(2018,2020]上恒成立，即f (x )在(2018,2020]上的图象在直线y ＝－a (x －2018)的下方．可得当2018＜x ≤2019时，f (x )＝2x －2018－5∈(－4，－3]；当2019＜x ≤2020时，f (x )＝ln (x －2019)－5≤－5，如上图，直线y ＝－a (x －2018)恒过定点(2018,0)，当直线经过点(2020，－5)时，即－5＝－2a ，解得a ＝52，由图象可得a ≤52时，直线恒在f (x )在(2018,2020]上图象的上方，故选C.11．(2019·徐州一中二模)已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长为4，M ，N 分别为AB ，BC 上的点，且满足AM ＝BN ，当三棱锥B 1－BMN 的体积最大时，三棱锥B 1－BMN 的外接球的表面积为( )A.13π3 B ．4πC.16π3D.64π3 答案 D解析 正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长为4，∠ABC ＝60°，设AM ＝BN ＝x (0＜x ＜4)，则V B 1－BMN ＝13×4×12(4－x )x sin π3＝23(4－x )x ×32≤23×32⎝⎛⎭⎪⎫4－x ＋x 22＝433，当且仅当4－x ＝x 即x ＝2时取等号，可知△BMN 为等腰三角形，R ＝22＋⎝⎛⎭⎪⎫2332＝43＝433，S ＝4πR 2＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫4332＝64π3，故选D.12．(2019·北大附中一模)已知函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，且满足当x ＞0时，ln x ·f ′(x )＜－1x f (x )，则(x －2019)f (x )＞0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1,2019)B ．(－2019，－1)∪(1,2019)C ．(0,2019)D ．(－1,1) 答案 C解析 设g (x )＝ln x ·f (x )，则g ′(x )＝1x ·f (x )＋ln x ·f ′(x )＜0，可知函数g (x )在x ＞0时单调递减，又g (1)＝0，可知函数g (x )＝ln x ·f (x )在(0,1)上大于零，且ln x ＜0，可知f (x )＜0；在(1，＋∞)上，g (x )<0，f (x )＜0；当x ＝1时，f ′(1)ln 1＜－11f (1)，可得f (1)＜0，可知函数f (x )在(0，＋∞)上均有f (x )＜0，而函数f (x )为奇函数，可知f (x )在(－∞，0)上均有f (x )＞0，可知(x －2019)f (x )＞0，即⎩⎨⎧ x －2019＞0，f (x )＞0(无解)或⎩⎨⎧x －2019＜0，f (x )＜0，可知不等式的解集为(0,2019)．第Ⅱ卷 (选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·南昌二中模拟)已知AB →＝(1,2)，AC →＝(2,3)，向量m ＝(a,2)与BC →垂直，则向量m 的模为________．答案 2 2解析 由已知得BC →＝AC →－AB →＝(1,1)，因为m ＝(a,2)与BC →垂直，所以m ·BC →＝(a,2)·(1,1)＝a ＋2＝0，解得a ＝－2，则m ＝(－2,2)，|m |＝2 2.14．(2019·东北三校联考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧－1≤x －y ≤1，－2≤2x ＋y ≤2，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．答案 3解析 根据约束条件可以画出可行域，如图中阴影部分所示：由z ＝3x ＋y ，可知直线y ＝－3x ＋z 过A (1,0)时，z 有最大值为3×1＋0＝3. 15．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．答案 4解析 解法一：由题意可设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋4x 0(x 0>0)，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋x 0＋4x 02＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＋4x 02≥22x 0·4x 02＝4，当且仅当2x 0＝4x 0，即x 0＝2时取等号．故所求最小值是4.解法二：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，4x 0＋x 0(x 0>0)，则曲线在点P 处的切线的斜率为k ＝1－4x 20.令1－4x 20＝－1，结合x 0>0得x 0＝2，∴P (2，32)，曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的点P 到直线x ＋y ＝0的最短距离即为此时点P 到直线x ＋y ＝0的距离，故d min ＝|2＋32|2＝4.16．(2019·扬州中学模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线MN 过F 2，且与双曲线右支交于M ，N 两点，若cos ∠F 1MN ＝cos ∠F 1F 2M ，|F 1M ||F 1N |＝12，则双曲线的离心率等于________．答案 2解析如图，由cos∠F1MN＝cos∠F1F2M可得∠F1MN＝∠F1F2M，∴|F1M|＝|F1F2|＝2c，|F1N|＝2|F1M|＝4c，由双曲线的定义可得|MF2|＝2c－2a，|NF2|＝4c－2a，∴|MN|＝6c－4a，在△F1MN中，由余弦定理得cos∠F1MN＝(2c)2＋(6c－4a)2－(4c)22×2c×(6c－4a)＝3c2－6ac＋2a2c(3c－2a)，在△F1F2M中，由余弦定理得cos∠F1F2M＝(2c)2＋(2c－2a)2－(2c)22×2c×(2c－2a)＝c－a2c，∵cos∠F1MN＝cos∠F1F2M，∴3c2－6ac＋2a2c(3c－2a)＝c－a2c，整理得3c2－7ac＋2a2＝0，∴3e2－7e＋2＝0，解得e＝2或e＝13(舍去)．∴双曲线的离心率等于2.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·太原一模)如图，已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a sin A＋(c－a)sin C＝b sin B，点D是AC的中点，DE⊥AC，交AB于点E，且BC＝2，DE＝6 2.(1)求B ；(2)求△ABC 的面积．解 (1)∵a sin A ＋(c －a )sin C ＝b sin B ， 且a sin A ＝b sin B ＝csin C ，可得：a 2＋c 2－ac ＝b 2， 由余弦定理得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12， ∵0＜B ＜π， ∴B ＝60°.(2)连接CE ，如图，D 是AC 的中点，DE ⊥AC ， ∴AE ＝CE ，∴CE ＝AE ＝DE sin A ＝62sin A ， 在△BCE 中，由正弦定理得CEsin B ＝BC sin ∠BEC＝BCsin2A ，∴62sin A sin60°＝22sin A cos A ，∴cos A ＝22， ∵0＜A ＜180°， ∴A ＝45°， ∴∠ACB ＝75°，∴∠BCE ＝∠ACB －∠ACE ＝30°，∴∠BEC ＝90°， ∴CE ＝AE ＝3，AB ＝AE ＋BE ＝3＋1， ∴S △ABC ＝12AB ·CE ＝3＋32.18．(本小题满分12分)(2019·东北三省三校三模)哈师大附中高三学年统计学生的最近20次数学周测成绩(满分150分)，现有甲、乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示．(1)根据茎叶图求甲、乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整；(2)根据茎叶图比较甲、乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(3)现从甲、乙两位同学不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，记事件A为“其中2个成绩分别属于不同的同学”，求事件A发生的概率．解(1)甲同学成绩的中位数是116＋1222＝119，乙同学成绩的中位数是128.乙的成绩的频率分布直方图补充后如图．(2)从茎叶图可以看出，乙同学成绩的平均分比甲同学成绩的平均分高，且乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中．(3)甲同学不低于140分的成绩有2个设为a，b，乙同学不低于140分的成绩有3个，设为c，d，e.现从甲、乙两位同学不低于140分的成绩中任意选出2个有：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10种，其中2个成绩分属不同同学的情况有：(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，共6种．因此事件A发生的概率P(A)＝610＝35.19．(本小题满分12分)(2019·株洲一模)如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中四边形ABCD 为矩形，四边形ADEF 为直角梯形，AF ∥DE ，AF ⊥FE ，AF ＝2EF ＝2DE ＝2.(1)求证：平面BFD ⊥平面ABCD ；(2)若三棱锥B －ADF 的体积为13，求BD 与平面BAF 所成角的正弦值． 解 (1)证明：如图，作DH ⊥AF 于H ， ∵AF ⊥FE ，AF ＝2EF ＝2DE ＝2. ∴四边形DEFH 是正方形， ∴HF ＝DH ＝1，∠HDF ＝45°， ∵AF ＝2，∴AH ＝1，∴∠ADH ＝45°. ∴∠ADF ＝90°，即DF ⊥AD ，∵平面ABCD ⊥平面ADEF ，AD 为两个面的交线， ∴FD ⊥平面ABCD . ∴平面BFD ⊥平面ABCD .(2)因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面ADEF ，V B －ADF ＝13S △ADF ·AB ＝13×12×2×1·AB ＝13， 所以AB ＝1，又∵AD 2＝AF 2－DF 2＝22－2＝2， ∴BD ＝AB 2＋AD 2＝ 3连接BH ，易知∠DBH 为BD 与平面BAF 所成的角， 在直角△BDH 中，BD ＝3，DH ＝1， ∴sin ∠DBH ＝13＝33， 所以BD 与平面BAF 所成角的正弦值为33.20．(本小题满分12分)(2019·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .已知3|OA |＝2|OB |(O 为原点)．(1)求椭圆的离心率．(2)设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线x ＝4上，且OC ∥AP .求椭圆的方程．解 (1)设椭圆的半焦距为c ，由已知有3a ＝2b ，又由a 2＝b 2＋c 2，消去b 得a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＋c 2，解得c a ＝12.所以，椭圆的离心率为12.(2)由(1)知，a ＝2c ，b ＝3c ，故椭圆方程为x 24c 2＋y 23c 2＝1. 由题意，F (－c,0)，则直线l 的方程为y ＝34(x ＋c )．点P 的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x 24c 2＋y 23c 2＝1，y ＝34(x ＋c )，消去y 并化简，得到7x 2＋6cx －13c 2＝0， 解得x 1＝c ，x 2＝－13c7.代入到l 的方程，解得y 1＝32c ，y 2＝－914c . 因为点P 在x 轴上方，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，32c .由圆心C 在直线x ＝4上，可设C (4，t )． 因为OC ∥AP ，且由(1)知A (－2c,0)， 故t4＝32c c ＋2c，解得t ＝2.因为圆C 与x 轴相切，所以圆C 的半径为2. 又由圆C 与l 相切，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪34(4＋c )－21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝2，可得c ＝2.所以，椭圆的方程为x 216＋y212＝1.21．(本小题满分12分)(2019·济宁二模)已知函数f (x )＝x ln x ＋ax 在x ＝x 0处取得极小值－1.(1)求实数a 的值；(2)设g (x )＝xf (x )＋b (b ＞0)，讨论函数g (x )的零点个数． 解 (1)易知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1＋a . ∵函数f (x )＝x ln x ＋ax 在x ＝x 0处取得极小值－1， ∴⎩⎨⎧ f ′(x 0)＝ln x 0＋1＋a ＝0，f (x 0)＝x 0ln x 0＋ax 0＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝－1，x 0＝1.当a ＝－1时，f ′(x )＝ln x ，则当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝1时，函数f (x )取得极小值－1， ∴a ＝－1.(2)由(1)知函数g (x )＝xf (x )＋b ＝x 2ln x －x 2＋b ，定义域为(0，＋∞)． g ′(x )＝2x ln x ＋x －2x ＝2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －12. 令g ′(x )＝0，得x ＝e ，易得g (x )在(0，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝e 时，函数g (x )取得极小值(也是最小值)b －e 2.当b －e 2＞0，即b ＞e2时，函数g (x )没有零点．当b －e 2＝0，即b ＝e2时，函数g (x )有一个零点． 当b －e 2＜0，即0＜b ＜e2时，g (e)＝b ＞0. ∴g (e)g (e)＜0，故存在x 1∈(e ，e)，使g (x 1)＝0， ∴g (x )在(e ，e)上有一个零点x 1. 设h (x )＝ln x ＋1x －1，x ∈(0,1)， 则h ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2. 当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，∴h (x )在(0,1)上单调递减．∴h (x )＞h (1)＝0，即当x ∈(0,1)时，ln x ＞1－1x .∴当x ∈(0,1)时，g (x )＝x 2ln x －x 2＋b ＞x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x －x 2＋b ＝b －x . 取x ′＝{b,1}min ，则g (x ′)＞0， g (e)g (x ′)＜0，∴存在x 2∈(x ′，e)，使函数g (x 2)＝0，∴g (x )在(x ′，e)上有一个零点x 2， ∴g (x )在(0，＋∞)上有两个零点x 1，x 2， 综上可得，当b ＞e2时，函数g (x )没有零点，当b ＝e2时，函数g (x )有一个零点， 当0＜b ＜e2时，函数g (x )有两个零点．(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·合肥市第一次教学质量检测)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)求C 1，C 2交点的直角坐标；(2)设点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，点B 是曲线C 2上的点，求△AOB 面积的最大值．解 (1)C 1：x 2＋y 2＝1，C 2：ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝2x .联立方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝12，y 1＝32或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝12，y 2＝－32.∴所求交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32.(2)设B (ρ，θ)，则ρ＝2cos θ，∴△AOB 的面积S ＝12·|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪4ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4cos θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6＋3 ∴当θ＝23π12时，S max ＝2＋ 3.23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] (2019·合肥市第一次教学质量检测)设函数f (x )＝|x ＋1|. (1)若f (x )＋2x ＞2，求实数x 的取值范围；(2)设g (x )＝f (x )＋f (ax )(a ＞1)，若g (x )的最小值为12，求a 的值． 解 (1)∵f (x )＋2x ＞2，即|x ＋1|＞2－2x ，当x ≥－1时，原不等式化为x ＋1>2－2x ，解得x >13； 当x <－1时，原不等式化为x ＋1<2x －2，无解． ∴实数x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.(2)∵a ＞1，∴－1＜－1a ，∴g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)x －2，x ∈(－∞，－1)，(1－a )x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－1a ，(a ＋1)x ＋2，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞，易知函数g (x )在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－1a 上单调递减，在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递增，∴g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝1－1a .∴1－1a ＝12，解得a ＝2.。
2020高考数学文科刷题(2019真题+2019模拟)讲练(课件+优选练)专题23 选考部分(学生版)
专题二十三 选考部分本试卷满分80分，考试时间80分钟．一、(2019·榆林一模)22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2＋t ，y ＝2t －2(t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝2(sin θ－cos θ)． (1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)若点P 为圆C 上一动点，求点P 到直线l 的最小距离．23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]已知函数f (x )＝|x －m |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |1≤x ≤7}，求实数m 的值；(2)满足(1)的条件，若f (x )＋f (x ＋5)≥t 对一切实数x 恒成立，求实数t 的取值范围．二、(2019·宜宾一模)22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2(4＋5sin 2θ)＝36.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设P (－2,0)，直线l 和曲线C 相交于A ，B 两点，若|P A |·|PB |＝4，求sin α的值．23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]设函数f (x )＝k |x |－|2x －1|.(1)当k ＝1时，求不等式f (x )>0的解集；(2)当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＋b >0恒成立，求k ＋b 的最小值．三、(2019·全国卷Ⅰ)22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－t 21＋t 2，y ＝4t 1＋t 2(t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ＋3ρsin θ＋11＝0.(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)求C 上的点到l 距离的最小值．23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1.证明：(1)1a ＋1b ＋1c ≤a 2＋b 2＋c 2；(2)(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.四、(2019·汕头模拟)22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝a ＋2sin α(α为参数，a >0)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2. (1)设P 是曲线C 上的一个动点，若点P 到直线l 的距离的最大值为22＋2，求a 的值；(2)若曲线C 上任意一点(x ，y )都满足y ≥|x |＋2，求a 的取值范围．23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]已知函数f (x )＝|2x ＋k |＋|x －2|(k ∈R )．(1)若k ＝4，求不等式f (x )≥x 2－2x －4的解集；(2)设k <－4，当x ∈[－1,2]时都有f (x )≥x 2－2x ＋4，求k 的取值范围．五、(2019·武汉市高三第二次诊断性考试)22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，以点O 为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝3，l 与x 轴交于点M .(1)求l 的直角坐标方程，点M 的极坐标；(2)设l 与C 相交于A ，B 两点，若|MA |，|AB |，|MB |成等比数列，求p 的值．23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]设函数f (x )＝|x －a |.(1)若关于x 的不等式f (x )＋b <0的解集为(－1,3)，求a ，b 的值；(2)若g (x )＝2f (x )＋2f (x ＋1)，求g (x )的最小值．六、(2019·浙江七校联考)22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]已知在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝3－12，曲线C 的极坐标方程为ρ(1－cos 2θ)－2cos θ＝0，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴，建立平面直角坐标系．(1)写出直线l 和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l ′：y ＝3(x －2)与曲线C 交于P ，Q 两点，M (2,0)，求|MP |2＋|MQ |2的值．23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]已知函数f (x )＝|x ＋2a |＋|x －1|，a ∈R .(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≤5；(2)若f (x )≥2对于任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．七、(2019·兰州二模)22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋12t ，y ＝32t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝10.(1)若l 与C 相交于A ，B 两点，P (－2,0)，求|P A |·|PB |；(2)圆M的圆心在极轴上且圆M经过极点，若l被圆M截得的弦长为1，求圆M的半径．23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]设函数f (x)＝|x－1|＋|x＋3|.(1)求不等式|f (x)－6|<1的解集；(2)证明：4－x2≤f (x)≤2|x|＋4.八、(2019·全国卷Ⅱ)22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]已知f (x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)．(1)当a＝1时，求不等式f (x)<0的解集；(2)若x∈(－∞，1)时，f (x)<0，求a的取值范围．。
2020高考数学文科刷题(2019真题+2019模拟)讲练(课件+优选练)专题16 圆锥曲线方程(学生版)
专题十六 圆锥曲线方程本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·全国卷Ⅲ)已知F 是双曲线C ：x 24－y 25＝1的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若|OP |＝|OF |，则△OPF 的面积为( )A.32B.52C.72D.922．(2019·上饶模拟)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，离心率为12，F 1为圆M ：x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心，则椭圆的方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 28＋y 26＝1C.x 23＋y 24＝1D.x 26＋y 28＝1∴a ＝2，b ＝ 3.故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.故选A.3．(2019·陕西十二校联考)若二次函数f (x )＝k (x ＋1)·(x －2)的图象与坐标轴的交点是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的顶点或焦点，则k ＝( ) A.32 B ．±32 C. 3 D ．±34．(2019·广西三市联考)设P 为椭圆C ：x 27＋y 23＝1上一动点，F 1，F 2分别为左、右焦点，延长F 1P 至点Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，则动点Q 的轨迹方程为( )A ．(x －2)2＋y 2＝28B ．(x ＋2)2＋y 2＝7C ．(x ＋2)2＋y 2＝28D ．(x －2)2＋y 2＝75．(2019·武邑中学质检)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，四点P 1(4,2)，P 2(2,0)，P 3(－4,3)，P 4(4,3)中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为( )A.52 B.52 C.72 D.726．(2019·潮州质量检测)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与直线y＝－1所围成的三角形面积为2，则该双曲线的离心率为()A.52 B. 2 C.3 D. 57．(2019·天津高考)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线x2 a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A. 2B. 3 C．2 D. 58．(2019·揭阳模拟)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两焦点且与x轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为()A．2 B.32 C.5－1 D.5＋129．(2019·吉林市调研)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点A(4,3)，P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则当△P AF周长取得最小值时，线段PF的长为()A．1 B.134C．5 D.21410．(2019·郑州质量检测)已知抛物线C：y2＝2x，过原点作两条互相垂直的直线分别交C于A，B两点(A，B均不与坐标原点重合)，则抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为()A．2 B．3 C.32D．411．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1C.x 24＋y 23＝1D.x 25＋y 24＝112．(2019·洛阳二模)我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知F 1，F 2是一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当∠F 1PF 2＝60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是( ) A. 3 B. 2 C.233 D ．2第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·温州市高考适应性测试)已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b a x 交椭圆于A ，B 两点，若cos ∠AFB ＝13，则椭圆C 的离心率是________．14．(2019·沈阳质量监测)抛物线y 2＝6x 上一点M (x 1，y 1)到其焦点的距离为92，则点M 到坐标原点的距离为________．15．(2019·江西九校联考)已知椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点为F ，P 是椭圆上一点，点A (0,23)，当点P 在椭圆上运动时，△APF 的周长的最大值为________．16．(2019·北京市海淀区模拟)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1和双曲线C 2：x 2m 2－y 2＝1(m >0)．经过C 1的左顶点A 和上顶点B 的直线与C 2的渐近线在第一象限的交点为P ，且|AB |＝|BP |，则椭圆C 1的离心率e 1＝________；双曲线C 2的离心率e 2＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2019·江淮十校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，以椭圆短轴为直径的圆经过点M (1，2)，椭圆的右顶点为A .(1)求椭圆C 的方程；(2)过点D (2，－2)的直线l 与椭圆C 相交于两个不同的点P ，Q ，记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，问k 1＋k 2是否为定值？并证明你的结论．18．(本小题满分12分)(2019·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点为(1,0)，且经过点A (0,1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点，直线l ：y ＝kx ＋t (t ≠±1)与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N .若|OM |·|ON |＝2，求证：直线l 经过定点．19．(本小题满分12分)(2019·丹东质量测试)已知离心率为2的双曲线C 的一个焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为 3.(1)求双曲线C 的方程；(2)设A 1，A 2分别为C 的左、右顶点，P 为双曲线C 上异于A 1，A 2的一点，直线A 1P 与A 2P 分别交y 轴于M ，N 两点，求证：以线段MN 为直径的圆D 经过两个定点．20．(本小题满分12分)(2019·广东质量检测)已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)与抛物线C 2：y ＝x 2－1相交于A (－1,0)，B (1,0)两点，C 2的顶点是C 1的一个焦点，过点B 且斜率为k (k ≠0)的直线l 与C 1，C 2分别交于点M ，N (均异于点A ，B )．(1)求C 1的方程；(2)若点A 在以线段MN 为直径的圆外，求k 的取值范围．21．(本小题满分12分)(2019·安徽质量检查)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，直线y＝x－1与C相交所得的弦长为8.(1)求p的值；(2)过原点O的直线l与抛物线C交于M点，与直线x＝－1交于H点，过点H作y轴的垂线交抛物线C于N点，求证：直线MN过定点．22．(本小题满分12分)(2019·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2：(x－1)2＋y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B，连接BF2交椭圆C于点E，连接DF1.已知DF1＝5 2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求点E的坐标．。
2020高考数学文科刷题(2019真题+2019模拟)讲练(课件+优选练)专题07 解三角形(教师版)
专题七解三角形本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·山西晋城一模)在△ABC中，若AB＝8，A＝120°，其面积为43，则BC＝()A．213 B．413C．221 D．47答案C解析S△ABC ＝12AB·AC·sin A＝43，故AC＝2；由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝84，故BC＝221.故选C.2．(2019·长春质量监测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝a cos C＋12c，则角A为()A．60°B．120°C．45°D．135°答案A解析由b＝a cos C＋c cos A可知cos A＝12，A＝60°.故选A.3．(2019·郴州模拟)在△ABC中三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－3bc＝a2，bc＝3a2，则角C的大小是()A.π6或2π3 B.π3C.2π3 D.π6答案A解析由b2＋c2－3bc＝a2，得b2＋c2－a2＝3bc，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝32， 则A ＝π6，由bc ＝3a 2，得sin B sin C ＝3sin 2A ＝3×14＝34，即4sin(π－C －A )sin C ＝3，即4sin(C ＋A )sin C ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6sin C ＝3， 即4⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin C ＋12cos C sin C ＝23sin 2C ＋2sin C cos C ＝3，即3(1－cos2C )＋sin2C ＝3－3cos2C ＋sin2C ＝3， 则－3cos2C ＋sin2C ＝0， 则3cos2C ＝sin2C ， 则tan2C ＝3，即2C ＝π3或4π3，即C ＝π6或2π3.故选A.4．(2019·漳州质量监测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3a cos A ＝b cos C ＋c cos B ，b ＋c ＝3，则a 的最小值为( )A ．1 B. 3 C ．2 D ．3 答案 B解析 在△ABC 中，∵3a cos A ＝b cos C ＋c cos B ，∴3sin A cos A ＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A ，即3sin A cos A ＝sin A ， 又A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴cos A ＝13.∵b ＋c ＝3，∴两边平方可得b 2＋c 2＋2bc ＝9，由b 2＋c 2≥2bc ，可得9≥2bc ＋2bc ＝4bc ，解得bc ≤94，当且仅当b ＝c 时等号成立，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a 2＝b 2＋c 2－23bc ＝(b ＋c )2－8bc 3≥9－83×94＝3，当且仅当b ＝c 时等号成立，∴a 的最小值为 3.故选B.5．(2019·安徽联考)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ac sin B ＝10sin C ，a ＋b ＝7，且cos C 2＝155，则c ＝( )A ．4B ．5C ．2 6D ．7 答案 B解析 ∵ac sin B ＝10sin C .由正弦定理可得abc ＝10c ，即ab ＝10.∵cos C2＝155，∴cos C ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1552－1＝15，则c ＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝72－2×10－20×15＝5.故选B.6．(2019·赣州中学模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝ 3.则S △ABC ＝( )A. 2B. 3C.32 D ．2答案 C解析 ∵A ，B ，C 依次成等差数列，∴B ＝60°，∴由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得c ＝2，∴由正弦定理得S △ABC ＝12ac sin B ＝32.故选C.7．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3 答案 A解析 ∵a sin A －b sin B ＝4c sin C ，∴由正弦定理得a 2－b 2＝4c 2，即a 2＝4c 2＋b 2.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－(4c 2＋b 2)2bc ＝－3c 22bc ＝－14，∴bc ＝6.故选A.8．(2019·哈尔滨三中二模)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，cos A cos B cos C >0，则a sin Ab 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫36，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫36，12 答案 D解析 由cos A cos B cos C >0，可知，三角形是锐角三角形，由正弦定理可知，sin B ＝sin2A ＝2sin A cos A ，b ＝2a cos A ，a sin A b ＝12tan A ，∵A ＋B ＋C ＝180°，B ＝2A ，∴3A ＋C ＝180°，A ＝60°－C 3>30°，∵2A <90°，∴A ∈(30°，45°)，33<tan A <1，则36<a sin A b <12.故选D.9．(2019·曲靖一中质量监测)在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，R 是△ABC 的外接圆半径，且b ＋a cos C ＋c cos A ＝22R ，则B ＝( )A.π6B.π4C.π3D.2π3 答案 B解析 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，则a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sinC ，由b ＋a cos C ＋c cos A ＝22R ，得2R sin B ＋2R sin A cos C ＋2R sin C cos A ＝22R ，即sin B ＋sin A cos C ＋sin C cos A ＝2，则sin B ＋sin(A ＋C )＝2，即sin B ＋sin(π－B )＝sin B ＋sin B ＝2sin B ＝2，则sin B ＝22，因为△ABC 是锐角三角形，所以B ＝π4，故选B.10．(2019·呼和浩特二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形 答案 C解析 ∵sin A sin B ＝a c ，∴a b ＝ac ，∴b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．故选C.11．(2019·东莞模拟)已知△ABC 的内角分别为A ，B ，C ，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高为( )A.32B.332C.3＋62D.3＋394答案 B解析 由余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，得7＝AB 2＋4－4AB cos60°，即AB 2－2AB －3＝0，得AB ＝3，得BC 边上的高为AB sin60°＝332.故选B.12．(2019·沈阳二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是( )A ．a ＝5，b ＝5，A ＝50°B ．a ＝3，b ＝4，A ＝30°C ．a ＝5，b ＝10，A ＝30°D ．a ＝12，b ＝10，A ＝135°答案 B解析 对于A ，a ＝5，b ＝5，A ＝50°，由a ＝b 得，B ＝A ＝50°，所以C ＝80°，故△ABC 有唯一解；对于B ，a ＝3，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝b sin A a ＝23，又b >a ，所以B >A ，故B 可以是锐角也可以是钝角，故△ABC 有两个解；对于C ，a ＝5，b ＝10，A ＝30°，则sin B ＝b sin A a ＝1，B 为直角，故△ABC 有唯一解；对于D ，a ＝12，b ＝10，A ＝135°，则sin B ＝b sin A a ＝5212，在△ABC 中，A ＝135°，故B 为锐角，所以△ABC 有唯一解．故选B.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·吉林市第一次调研测试)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3b ，c ＝5，且cos C ＝56，则a ＝________.答案 3解析 ∵a ＝3b ，c ＝5，且cos C ＝56，由余弦定理可得，cos C ＝56＝a 2＋b 2－c22ab＝9b 2＋b 2－52×3b ×b， 解得b ＝1，a ＝3.14．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＋a cos B ＝0，则B ＝________.答案 3π4解析 ∵b sin A ＋a cos B ＝0，∴a sin A ＝b－cos B .由正弦定理，得－cos B ＝sin B ，∴tan B ＝－1.又B ∈(0，π)，∴B ＝3π4.15．(2019·河北衡水中学一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c ＝4，a ＝42sin A ，且C 为锐角，则△ABC 面积的最大值为________．答案 4＋42解析 因为c ＝4，又c sin C ＝a sin A ＝42，所以sin C ＝22，又C 为锐角，所以C ＝π4.因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－2ab ≥(2－2)ab ， 所以ab ≤162－2＝8(2＋2)， 当且仅当a ＝b ＝8(2＋2)时等号成立，即S △ABC ＝12ab sin C ＝24ab ≤4＋42，即当a ＝b ＝8(2＋2)时，△ABC 面积的最大值为4＋4 2.16．(2019·江苏省南通市模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a ＝8，b ＝10，△ABC 的面积为203，则△ABC 的最大角的正切值是________．答案533或－3解析 ∵203＝12×8×10sin C ，∴sin C ＝32，∵0<C<π，∴C＝π3或2π3，当C＝2π3时，显然C是最大角，那么有tan2π3＝－3，当C＝π3时，由余弦定理得c＝82＋102－2×8×10×cos π3＝221<10，∴b是最大边，由余弦定理得cos B＝2114，∴tan B＝533.综上，△ABC的最大角的正切值为533或－ 3.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2019·四川省达州市第一次诊断)在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且cos2A＋cos B cos C＋1＝sin B sin C.(1)求角A；(2)若a＝7，c＝2，求b.解(1)由题意得，cos2A＋cos B cos C＋1＝sin B sin C，整理后，cos2A＋1＝sin B sin C－cos B cos C＝－cos(B＋C)＝cos A＝2cos2A－1＋1，化简结果后得cos A＝1 2.∵A∈(0，π)，∴A＝π3.(2)由余弦定理得，cos A＝b2＋c2－a22bc，由于a＝7，c＝2，整理得b2－2b－3＝0，解得b＝3或b＝－1，又∵b>0，∴b＝3.18．(本小题满分12分)(2019·吉林市第一次调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的边长分别为a ，b ，c ，且c ＝2.(1)若A ＝π3，b ＝3，求sin C 的值；(2)若sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A 2＝3sin C ，且△ABC 的面积S ＝252sin C ，求a 和b 的值．解 (1)△ABC 中，c ＝2，A ＝π3，b ＝3； 由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝9＋4－2×3×2×cos π3＝7，解得a ＝7.由正弦定理a sin A ＝csin C ， 得sin C ＝2·sin π37＝217.(2)由sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A2＝3sin C ，降幂得sin A ·1＋cos B 2＋sin B ·1＋cos A2＝3sin C ， 化简得sin A ＋sin B ＋(sin A cos B ＋cos A sin B )＝6sin C ， 又∵sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin C ， ∴sin A ＋sin B ＝5sin C ， 即a ＋b ＝5c ＝10. ① 又S ＝12ab sin C ＝252sin C ， 得ab ＝25. ② 由①②解得a ＝b ＝5.19．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． 解 (1)由题设及正弦定理得 sin A sin A ＋C2＝sin B sin A .因为sin A ≠0，所以sin A ＋C2＝sin B . 由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B2， 故cos B 2＝2sin B 2cos B 2.因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°. (2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝32tan C ＋12.由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°. 由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°<C <90°，故12<a <2，从而38<S △ABC <32. 因此，△ABC 面积的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫38，32.20．(本小题满分12分)(2019·蚌埠二模)如图，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝4，点P 为△ABC 内一点，且tan ∠P AB ＝13，tan ∠PBA ＝12.(1)求∠APB ； (2)求PC .解 (1)由条件及两角和的正切公式，得 tan(∠P AB ＋∠PBA )＝tan ∠P AB ＋tan ∠PBA1－tan ∠P AB ·tan ∠PBA＝13＋121－13×12＝1，而0<∠P AB＋∠PBA<π，所以∠P AB＋∠PBA＝π4，则∠APB＝π－(∠P AB＋∠PBA)＝π－π4＝3π4.(2)由(1)知，∠P AB＋∠PBA＝π4，而在等腰直角三角形ABC中，CA＝22，∠CAB＝∠CAP＋∠P AB＝π4，所以∠CAP＝∠PBA，则tan∠CAP＝tan∠PBA＝12，进而可求得sin∠CAP＝sin∠PBA＝55，cos∠CAP＝cos∠PBA＝25 5.在△P AB中，由正弦定理，得P A＝sin∠PBAsin∠APB·AB＝5522×4＝4105.在△P AC中，由余弦定理，得PC2＝AC2＋AP2－2AC·AP·cos∠CAP＝8＋325－2×22×4105×255＝85，∴PC＝210 5.21．(本小题满分12分)(2019·陕西联考)某市规划一个平面示意图为如右图五边形ABCDE的一条自行车赛道，ED，DC，CB，BA，AE为赛道(不考虑宽度)，BE为赛道内的一条服务通道，∠BCD＝∠CDE＝∠BAE＝2π3，DE＝4 km，BC＝CD＝ 3 km.(1)求服务通道BE 的长度；(2)当∠AEB ＝π4时，求赛道BA 的长度．解 (1)连接BD ，在△BCD 中，由余弦定理得，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ＝9，∴BD ＝3.∵BC ＝CD ，∴∠CBD ＝∠CDB ＝π6，又∠CDE ＝2π3，∴∠BDE ＝π2，在Rt △BDE 中，BE ＝BD 2＋DE 2＝5.故服务通道BE 的长度为5 km.(2)在△BAE 中，∠BAE ＝2π3，BE ＝5，∠AEB ＝π4，由正弦定理得，BE sin 2π3＝AB sin π4， 即532＝AB 22，得BA ＝563， 故赛道BA 的长度为563 km.22．(本小题满分12分)(2019·乌鲁木齐二诊)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，b ＝2c .(1)若C ＝30°，求b ；(2)求△ABC 的面积S 的最大值．解(1)∵a＝2，b＝2c，∴bsin B＝csin C⇔2csin B＝c12⇔sin B＝1，∴B＝90°，∴A＝60°，∴b＝a sin Bsin A＝433.(2)S△ABC＝12ab sin C＝2c sin C＝2c1－cos2C＝－9c4＋40c2－164≤43，当c＝253时，△ABC的面积S有最大值43.。