第2章 光波导的理论基础

2 2
(2.2-15)
长春理工大学
第2章 光波导的理论基础
2.2.4 全反射时的相移
由式(2.2-14)和(2.2-15)可知，当 r 取复数时，其模值为1， 因此， r 可以表示为： r exp i 2 ，则在反射时，TE模 和TM模的位相满足
tan TE
tan TM
2 n12 sin 2 i n2 n1 cos i


(2.2-20)
波矢量的标量形式
k k0n1 c / n1
(2.2-21)
由图2.4可知，若入射角为 i ，则波矢量的x分量和z分量 可写为：
长春理工大学
第2章 光波导的理论基础
kx k0n1 cosi
kz k0 n1 sin i 由此，薄膜中的波动场空间部分可写为： E (r ) E0 exp i k x x k z z
q p 12 arc tan 13 arc tan kx kx
(2.2-29)
(2.2-30)
上式代入(2.2-26)式当中，得到TE模的模式本征方程
p q k x h m arc tan arc tan kx 2k x h ，覆盖层当中的相 移为 213 ，衬底当中的相移为 212 。因此，形成导模
的条件为：
即
2k x h 213 212 2m
k x h 13 12 m
(2.2-25) (2.2-26)
长春理工大学
第2章 光波导的理论基础
长春理工大学
第2章 光波导的理论基础
2.2.3 光入射到介质界面处的基本定律
长春理工大学
第2章 光波导的理论基础
1、斯涅尔定律（Snell’s law）。
i r
n1 sin i n2 sin t
Er rEi
(2.2-1)
(2.2-2)
(2.2-3)
上面的三个式子给出了反射波和透射波的传播方向以 及它们与入射波的振幅关系。
式(2.2-25)和(2.2-26)称为模式本征方程。
对于TE模，由式（2.2-18）知在衬底层和覆盖层因反射 而形成的相移满足
tan12
2 k z2 k 02 n2
，
k 02 n12 k z2
tan13
2 k z2 k 02 n3
(2.2-27)
k 02 n12 k z2
2.1 光波导种类
按光波导的形状、折射率分布，可分成不同的种类
2.1.1 按形状分
按形状可以将光波导分成平面（板）波导、柱形波 导和条形波导，而条形光波导又可以分为脊形、镶 入形和埋入形，如图2.1所示。
第2章 光波导的理论基础
第2章 光波导的理论基础
2.1.2 按折射率分布分
按折射率分布可以将光波导分成折射率突变波导和 折射率渐变波导，如图2.2所示
因为
2 2 2 2 2 2 k02 n12 k z2 k0 n1 k0 n1 sin 2 i k0 n1 cos2 i k x 若令
2 k z2 k 02 n 2 p
2 k z2 k 02 n3 q
(2.2-28)
长春理工大学
第2章 光波导的理论基础
则(2.2-27)式可以改写为 p q tan12 , tan13 kx kx 因此，衬底层和覆盖层中相移为
3、制作平面（板）波导的目的：要在μm量级介质薄膜 上完成光的发射，传输，调制和探测等功能。
长春理工大学
第2章 光波导的理论基础
长春理工大学
第2章 光波导的理论基础
2.2.2 射线光学模型
射线光学模型就是光线在薄膜-衬底和薄膜-覆盖层 分界面上发生全内反射，沿z字形路径在薄膜中传播， 如图2.4所示。
2 2 n2 cos i n1 n2 n12 sin 2 i 2 2 n2 cos i n1 n2 n12 sin 2 i
rTE =
(2.2-12)
rTM
(2.2-13)
3、全反射（Total reflection）。
(2.2-12)和(2.2-13)应当改写为
rTE
2 n12 n12 sin 2 i n2 2 n2 n1 cos i
(2.2-16) (2.2-17)
长春理工大学
第2章 光波导的理论基础
若令 k z k 0 n1 sin 1 则
tan TE
tan TM
2 k z2 k02 n2 k02 n12 k z2
2 n12 k z2 k02 n2
长春理工大学
第2章 光波导的理论基础
3、有效折射率（模折射率）。由于 kz k0n1 sin i ，考虑全 n2 n1 sin i n1，可知 k 的变化范围为 反射时有： z
n2 k 0 k z n1k 0
(2.2-33)
即导模的传播常数介于平面波在衬底和薄膜的波数之间。 定义有效折射率
(2.2-6)
(2.2-7)
Ets 2sin t cos i ts Eis sin(i t )
利用Snell’s law，可以将上面的四个表达式改写为
长春理工大学
第2章 光波导的理论基础
rp
Erp Eip

n2 cos i n1 cos t n2 cos i n1 cos t
1）在式(2.2-31)和(2.2-32)当中，由于m只能取有限个正整 13又是 i 的函数，由此可看出，只有满足方 数，而 12 ， 程(2.2-26)的人射角，才为波导所接受。所以导模对入射 角有选择性，因此，导模数量也是有限的。 2）在式(2.2-31)和(2.2-32)当中，在厚度h确定的情况下， 平板波导所能维持的导模数量是有限的，对于给定的m， m 称为m阶导模 就有确定的 m，由式(2.2-23)可以得到 k zm， k zm 称为m阶导模的传 的模角，即形成m阶导模的入射角， 播常数。
n2
第2章 光波导的理论基础
要点与习题
什么是平面波导？ 什么是条形波导？ 什么是柱形波导？ 什么是突变波导？
什么是渐变波导？
第2章 光波导的理论基础
2.1 光波导种类
2.2 光波导的射线光学理论 2.3 古斯-汉欣线移和有效厚度原理
2.4 光波导的电磁理论
长春理工大学
第2章 光波导的理论基础
2.2 光波导的射线光学理论
。
长春理工大学
第2章 光波导的理论基础
当 oc sc 时，则平面光波在衬底和覆盖层与波导层 的交界面处都会全反射，此时光波被限制在波导层当中传 播，如图2.7c）所示。此时，称为导波模式或导引模式， 简称导模。 2、模式本征方程。要形成导模，则在波导中传播的光波 必须满足相干条件，即一个周期后，相移的总和必须是
(2.2-22)
(2.2-23)
(2.2-24)
k x 前面的正负号对应斜向上和斜向下。如图2.7所示。
长春理工大学
第2章 光波导的理论基础
在衬底层和覆盖层处发生全反射的临界角分别满足
n3 n2 sin sc , sin oc n1 n1
当 oc sc 时，则平面光波在衬底和覆盖层与波导层 的交界面处都得不到全反射，而只有部分反射，因此，会 有一部分光将辐射到衬底和覆盖层里去，称它们为辐射模 式，如图2.7a）所示。此时又称为空气模式。 当 oc sc 时，则平面光波在覆盖层与波导层的交界面 处发生全反射，但在衬底和波导层的交界面处只发生部分 反射，因此，一部分光波将辐射到衬底里去，如图2.7b） 所示。此时，称为衬底模式。
rTM
2 n1 cos i i n12 sin 2 i n2 2 n1 cos i i n12 sin 2 i n2
2 2 n2 cos i in1 n12 sin 2 i n2
(2.2-14)
n cos i in1 n sin i n
2 2 2 1 2
(2.2-18)
n
2 2
k n k
2 2 0 1
2 z
(2.2-19)
图2.6示出了 TE 对入射角 i 的依赖关系。对于固定 n2
与
n1 比值， TE 随入射角 i
增大而增大。
长春理工大学
第2章 光波导的理论基础
长春理工大学
第2章 光波导的理论基础
2.2.5 平面波导的导模
1、波导中的平面波。平面波的表达式为： E (r , t ) E0 exp i k r t
(2.2-31)
同样可以得到TM模的模式本征方程。
n12 p n12 q k x h m arc tan 2 arc tan 2 n2 k x n2 k x 长春理工大学
(2.2-32)
第2章 光波导的理论基础
下面对TE/TM模的模式本征方程进行讨论：
kz N n1 sin i (2.2-34) k0 根据式(2.2-33)可以知道，有效折射率变化范围为
n2 N n1
长春理工大学
(2.2-35)
第2章 光波导的理论基础
利用式(2.2-34)，可将式(2.2-31)和(2.2-32)表示的TE模和 TM模的模式本征方程改写为
N n N n 2 2 2 (n1 N ) k x h m arc tan 2 arc tan 2 (2.2-36) n1 N n1 N
光 波 导 种 类
第2章 光波导的理论基础
1、折射率突变波导：折射率突变波导指光波导各 个区的光学性质是均匀的，只在各层交界面处发生 光学性质突变。图2.2 a)当中，在 a x a 区域折射率为 n1 ，在 x a 区域折射率为 n2 2、折射率渐变波导：折射率渐变波导指波导层介 质的光学性质是逐渐变化的，其折射率分布一般为 抛物线形和双曲线形。图2.2a)当中，在 a x a 区域折射率为 n2 n x n1，在 x a 区域折射率为