北师大版九年级数学上册 第二章 章末培优、拔高检测卷及答案
北师大版九年级数学上册 第二章 章末培优、拔高检测卷及答案时间：120分钟 满分：120分班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下列方程是一元二次方程的是（ ） A ．3x 2＋1x＝0 B ．2x －3y ＋1＝0C ．(x －3)(x －2)＝x 2D ．(3x －1)(3x ＋1)＝32．一元二次方程x 2－8x －1＝0配方后可变形为（ ）A ．(x ＋4)2＝17B ．(x ＋4)2＝15C ．(x －4)2＝17D ．(x －4)2＝153．方程(x －1)(x ＋3)＝12化为ax 2＋bx ＋c ＝0的形式后，a ，b ，c 的值分别为（ ） A ．1，2，－15 B ．1，－2，－15 C ．－1，－2，－15 D ．－1，2，－154．要使代数式3x 2－6的值等于21，则x 的值是（ ） A ．3 B ．－3 C ．±3 D ．± 35．方程x 2－2x ＋3＝0的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．只有一个实数根 C ．没有实数根 D ．有两个不相等的实数根6．方程3x 2－2＝1－4x 的两个根的和为（ ） A.43 B.13 C ．－23 D ．－437．李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物20件，若设有n 人参加聚会，根据题意可列出方程为（ ）A.n （n ＋1）2＝20 B ．n (n －1)＝20 C.n （n －1）2＝20 D ．n (n ＋1)＝208．一个等腰三角形的两边长分别是方程x 2－7x ＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）A ．12B ．9C ．13D ．12或99．若关于x 的方程ax 2－(3a ＋1)x ＋2(a ＋1)＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，且有x 1－x 1x 2＋x 2＝1－a ，则a 的值是（ ）A ．1B ．－1C ．1或－1D ．210．如图，在一次函数y ＝－x ＋6的图象上取一点P ，作PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，且矩形PBOA 的面积为5，则在x 轴上方满足上述条件的点P 个数共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题(每小题3分，共24分)11．把一元二次方程(x－3)2＝4化为一般形式，其中二次项为_______，一次项系数为_______，常数项为________.12．若一元二次方程ax2－bx－2017＝0有一根为x＝－1，则a＋b＝_______.13．已知关于x的一元二次方程x2－23x－k＝0有两个相等的实数根，则k的值为_____.14．已知方程x2＋mx＋3＝0的一个根是1，则它的另一个根是_____，m的值是_______.15．若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋2x－2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________.16．已知一个两位数，它的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于这个两位数，则这个两位数是___________.17．已知x为实数，且满足(x2＋3x)2＋2(x2＋3x)－3＝0，则x2＋3x的值为_______.18．已知m，n是方程x2＋2x－5＝0的两个实数根，则m2－mn＋3m＋n＝_________.三、解答题(共66分)19．(12分)用适当的方法解下列方程：(1)(6x－1)2＝25；(2)x2－2x＝2x－1；(3)x2－2x＝2；(4)x(x－7)＝8(7－x)．20．(6分)随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每次降价的百分率．21.(8分)“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：x2＋4x＋5＝x2＋4x＋4＋1＝(x＋2)2＋1，∵(x＋2)2≥0，∴(x＋2)2＋1≥1，∴x2＋4x ＋5≥1.试利用“配方法”解决下列问题：(1)填空：因为x2－4x＋6＝(x_____)2＋______，所以当x＝_____时，代数式x2－4x＋6有最_____(填“大”或“小”)值，这个最值为_______；(2)比较代数式x2－1与2x－3的大小．22．(8分)如图，在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为1.6m2，已知床单的长是2m，宽是1.4m，求花边的宽度．23．(10分)已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0.(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若x1，x2是原方程的两根，且|x1－x2|＝22，求m的值．24．(10分)泰兴鑫都小商品市场以每副60元的价格购进800副羽毛球拍．九月份以单价100元销售，售出了200副．十月份如果销售单价不变，预计仍可售出200副．鑫都小商品市场为增加销售量，决定降价销售．根据市场调查，销售单价每降低5元，可多售出10副，但最低销售单价应高于购进的价格．十月份结束后，批发商将对剩余的羽毛球拍一次性清仓，清仓时销售单价为50元．设十月份销售单价降低x元．(1)填表：(2)如果鑫都小商品市场希望通过销售这批羽毛球拍获利9200元，那么十月份的销售单价应是多少元？25．(12分)如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，AD＝6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2 cm/s 的速度向点D移动，当点P停止运动时，点Q也停止运动．问：(1)P，Q两点从开始出发多长时间时，四边形PBCQ的面积是33 cm2?(2)P，Q两点从开始出发多长时间时，点P与点Q之间的距离是10 cm?参考答案1．D 2.C 3.A 4.C 5.C 6.D 7.B8．A 解析：∵x 2－7x ＋10＝0，∴(x －2)(x －5)＝0，∴x 1＝2，x 2＝5.若等腰三角形的三边为2，5，5，则2＋5>5，满足三角形三边关系，此时周长为12；若等腰三角形的三边为2，2，5，则2＋2<5，不满足三角形三边关系，舍去．故选A.9．B 解析：依题意得Δ＝(3a ＋1)2－8a (a ＋1)＞0，∴a 2－2a ＋1＞0，∴(a －1)2＞0，∴a ≠1.∵关于x 的方程ax 2－(3a ＋1)x ＋2(a ＋1)＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，且有x 1－x 1x 2＋x 2＝1－a ，∴3a ＋1a －2（a ＋1）a＝1－a ，解得a ＝±1.∴a ＝－1.故选B.10．C 解析：根据题意，可设点P 的坐标为(x ，－x ＋6)．∵点P 在x 轴上方，∴y ＞0，即－x ＋6＞0，x ＜6.∵矩形PBOA 的面积为5，∴|x |(－x ＋6)＝5，即x (－x ＋6)＝5或－x (－x ＋6)＝5，解得x 1＝1，x 2＝5，x 3＝3＋14，x 4＝3－14.∵3＋14>6，∴符合要求的点P 共有3个．故选C.11．x 2 －6 5 12.2017 13.－3 14.3 －415．k >12且k ≠1 16.25或3617．1 解析：∵(x 2＋3x )2＋2(x 2＋3x )－3＝0，∴(x 2＋3x ＋3)(x 2＋3x －1)＝0，∴x 2＋3x ＋3＝0或x 2＋3x －1＝0，而x 2＋3x ＋3＝0时，Δ＝－3<0，∴x 2＋3x ＝1.18．8 解析：由已知得m 2＋2m －5＝0，∴m 2＝5－2m ，∴m 2－mn ＋3m ＋n ＝5－2m －mn ＋3m ＋n ＝m ＋n －mn ＋5.根据根与系数的关系，得m ＋n ＝－2，mn ＝－5，∴原式＝－2－(－5)＋5＝8.19．解：(1)两边开平方，得6x －1＝±5，即6x －1＝5或6x －1＝－5，∴x 1＝1，x 2＝－23；(3分) (2)移项，得x 2－4x ＝－1，配方，得x 2－4x ＋4＝－1＋4，即(x －2)2＝3，两边开平方，得x －2＝±3，即x －2＝3或x －2＝－3，∴x 1＝2＋3，x 2＝2－3；(6分)(3)将原方程化为一般形式，得x 2－2x －2＝0.∴b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×(－2)＝10，∴x ＝2±102×1，∴x 1＝2＋102，x 2＝2－102；(9分)(4)移项，得x (x －7)＋8(x －7)＝0，变形，得(x －7)(x ＋8)＝0，∴x －7＝0或x ＋8＝0，∴x 1＝7，x 2＝－8.(12分)20．解：设该种药品平均每次降价的百分率是x ，(1分)根据题意得200(1－x )2＝98，(3分)解得x 1＝1.7(不合题意，舍去)，x 2＝0.3＝30%.(5分)答：该种药品平均每次降价的百分率是30%.(6分) 21．解：(1)－2 2 2 小 2(5分)(2)∵x 2－1－(2x －3)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0，∴x 2－1＞2x －3.(8分)22．解：设花边的宽度为x m ，(1分)依题意得(2－2x )(1.4－2x )＝1.6，(3分)解得x 1＝1.5，x 2＝0.2.(5分)∵2－2x ＞0，1.4－2x ＞0，∴x ＜0.7，∴x ＝0.2.(7分)答：花边的宽度为0.2m.(8分)23．(1)证明：∵Δ＝(m ＋3)2－4(m ＋1)＝m 2＋2m ＋5＝(m ＋1)2＋4＞0，(2分)∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(4分)(2)解：∵x 1，x 2是原方程的两根，∴x 1＋x 2＝－(m ＋3)，x 1x 2＝m ＋1.(6分)∵|x 1－x 2|＝22，∴(x 1－x 2)2＝8，(7分)∴(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝8，(8分)∴(－m －3)2－4(m ＋1)＝8，整理，得m 2＋2m －3＝0，解得m 1＝1，m 2＝－3.(10分)24．解：(1)100－x 200＋2x 800－200－(200＋2x )(3分)(2)根据题意得100×200＋(100－x )(200＋2x )＋50[800－200－(200＋2x )]－60×800＝9200，(5分)解得x 1＝20，x 2＝－70(舍去)．(8分)当x ＝20时，100－x ＝80＞60，符合题意．(9分)答：十月份的销售单价应是80元．(10分)25．解：(1)设P ，Q 两点从开始出发x s 时，四边形PBCQ 的面积是33cm 2.(1分)则由题意得12×(16－3x ＋2x )×6＝33，(2分)解得x ＝5.(3分)∵16÷3＝163>5，∴x ＝5符合题意．(4分)故P ，Q 两点从开始出发5s 时，四边形PBCQ 的面积是33cm 2；(5分) (2)设P ，Q 两点从开始出发y s 时，点P 与Q 之间的距离是10cm.(6分)过点Q 作QH ⊥AB 于H ，∴∠QHA ＝90°.∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠D ＝90°，∴四边形ADQH 是矩形，∴AH ＝DQ ＝(16－2y )cm ，QH ＝AD ＝6cm ，∴当P 点在H 点上方时，PH ＝AH －AP ＝16－2y －3y ＝(16－5y )(cm)；当P 点在H 点下方时，PH ＝AP －AH ＝3y －(16－2y )＝(5y －16)(cm)，∴PH ＝|16－5y |cm.(8分)在Rt △PQH 中，根据勾股定理得PH 2＋QH 2＝PQ 2，即(16－5y )2＋62＝102，(9分)解得y 1＝1.6，y 2＝4.8.(10分)∵16÷3＝163，∴y 1＝1.6和y 2＝4.8均符合题意．(11分)故P ，Q 两点从开始出发1.6s 或4.8s 时，点P 与点Q 之间的距离是10cm.(12分)。
2019-2020北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程单元培优试卷(含解析)
2019-2020北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程单元培优试卷一．选择题（每小题3分，共30分）1.一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为（）A．（y+）2=1 B．（y﹣）2=1 C．（y+）2=D．（y﹣）2=2．若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（）A．﹣1 B．0 C．1或﹣1 D．2或03. x＝1是关于的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（）A. －2 .B. －3 .C. 4 .D. －6.4.一元二次方程（x+1）（x﹣3）=2x﹣5根的情况是（）A．无实数根 B．有一个正根，一个负根C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于35.某种植基地2017年蔬菜产量为80吨，预计2019年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．80（1+x）2=100 B．100（1﹣x）2=80 C．80（1+2x）=100 D．80（1+x2）=100 6.宾馆有50间房供游客居住，当毎间房毎天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房毎天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房毎天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有（）A．（180+x﹣20）（50﹣）=10890 B．（x﹣20）（50﹣）=10890C．x（50﹣）﹣50×20=10890 D．（x+180）（50﹣）﹣50×20=108907.关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k的值（）A．0或2 B．﹣2或2 C．﹣2 D．28.若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜19.欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=．则该方程的一个正根是（）A．AC的长B．AD的长C．BC的长D．CD的长10.小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（）A．不存在实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根二．填空题（每小题4分，共24分）11.一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是．12.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为．13.已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，则k的值为．14.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为．15.关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是．16.广州市某电脑城一间批发店的一款鼠标垫现在的售价为每个30元，每星期可卖出1000个. 市场调查反映，每涨价1元，每星期要少卖出100个；每降价1元，则多卖出100个. 已知进价为每个20元，当鼠标垫售价为______________元/个时，这星期利润为9600元. 三．解答题（共66分）17.（1）解方程：x2﹣2x﹣1=0．（2）解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．18.已知关于x的一元二次方程x2－(m－3)x－m＝0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两实根为x1，x2，且x12＋x22－x1x2＝7，求m的值．19.关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0.(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一根小于1，求k的取值范围.20.已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2－(2k ＋3)x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根．(1) 求证：无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根；(2) k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？(3) k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周长．21.在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？22.某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．23.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降价3元，则平均每天销售数量为件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？24.我省积极响应党中央的号召，2017年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2019年在2017年的基础上增加投入资金1600万元．（1）从2017年到2019年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在2019年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求2019年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励．2019-2020北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程单元培优试卷四．选择题（每小题3分，共30分）1.一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为（）A．（y+）2=1 B．（y﹣）2=1 C．（y+）2=D．（y﹣）2=解：y2﹣y﹣=0y2﹣y=y2﹣y+=1（y﹣）2=1故选：B．2．若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（）A．﹣1 B．0 C．1或﹣1 D．2或0解：把x＝﹣1代入方程得：1+2k+k2＝0，解得：k＝﹣1，故选：A．3. x＝1是关于的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（）A. －2 .B. －3 .C. 4 .D. －6.解：将x＝1代入方程x2+ax+2b＝0，得a+2b＝－1，2a+4b＝2（a+2b）＝2×（－1）＝－2. 故选A.4.一元二次方程（x+1）（x﹣3）=2x﹣5根的情况是（）A．无实数根 B．有一个正根，一个负根C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于3解：（x+1）（x﹣3）=2x﹣5整理得：x2﹣2x﹣3=2x﹣5，则x2﹣4x+2=0，（x﹣2）2=2，解得：x1=2+＞3，x2=2﹣，故有两个正根，且有一根大于3．5.某种植基地2017年蔬菜产量为80吨，预计2019年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．80（1+x）2=100 B．100（1﹣x）2=80 C．80（1+2x）=100 D．80（1+x2）=100 解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，根据2017年蔬菜产量为80吨，则2018年蔬菜产量为80（1+x）吨，2019年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，预计2019年蔬菜产量达到100吨，即：80（1+x）（1+x）=100或80（1+x）2=100．故选：A．6.宾馆有50间房供游客居住，当毎间房毎天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房毎天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房毎天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有（）A．（180+x﹣20）（50﹣）=10890 B．（x﹣20）（50﹣）=10890C．x（50﹣）﹣50×20=10890 D．（x+180）（50﹣）﹣50×20=10890解：设房价定为x元，根据题意，得（x﹣20）（50﹣）=10890．故选：B．7.关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k的值（）A．0或2 B．﹣2或2 C．﹣2 D．2解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0的两个实数根为x1，x2，∴x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2．∵（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，即（x1+x2）2﹣2x1x2﹣4＝﹣3，∴（k﹣1）2+2k﹣4﹣4＝﹣3，解得：k＝±2．∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有实数根，∴△＝[﹣（k﹣1）]2﹣4×1×（﹣k+2）≥0，解得：k≥2﹣1或k≤﹣2﹣1，故选：D．8.若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜1解：∵方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4m＞0，解得：m＜1．故选：D．9.欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=．则该方程的一个正根是（）A．AC的长B．AD的长C．BC的长D．CD的长解：欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=，设AD=x，根据勾股定理得：（x+）2=b2+（）2，整理得：x2+ax=b2，则该方程的一个正根是AD的长，故选：B．10.小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（）A．不存在实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根解：∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1，∴（﹣1）2﹣4+c＝0，解得：c＝3，故原方程中c＝5，则b2﹣4ac＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，则原方程的根的情况是不存在实数根．故选：A．五．填空题（每小题4分，共24分）11.一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是．解：x2﹣7x+10=0，（x﹣2）（x﹣5）=0，x﹣2=0，x﹣5=0，x1=2，x2=5，①等腰三角形的三边是2，2，5∵2+2＜5，∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5=12；即等腰三角形的周长是12．12.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为．解：∵a=1，b=2，c=m﹣2，关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有实数根∴△=b2﹣4ac=22﹣4（m﹣2）=12﹣4m≥0，∴m≤3．∵m为正整数，且该方程的根都是整数，∴m=2或3．∴2+3=5．13.已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，则k的值为．解：∵x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣（3k+1），x1x2＝2k2+1．∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，即x1x2﹣（x1+x2）+1＝8k2，∴2k2+1+3k+1+1＝8k2，整理，得：2k2﹣k﹣1＝0，解得：k1＝﹣，k2＝1．∵关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，∴△＝（3k+1）2﹣4×1×（2k2+1）＞0，解得：k＜﹣3﹣2或k＞﹣3+2，∴k＝1．故答案为：1．14.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为．解：设参加酒会的人数为x人，根据题意得： x（x﹣1）=55，整理，得：x2﹣x﹣110=0，解得：x1=11，x2=﹣10（不合题意，舍去）．故答案为：11人．15.关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，∴m﹣2≠0且△≥0，即22﹣4×（m﹣2）×1≥0，解得m≤3，∴m的取值范围是 m≤3且m≠2．16.广州市某电脑城一间批发店的一款鼠标垫现在的售价为每个30元，每星期可卖出1000个. 市场调查反映，每涨价1元，每星期要少卖出100个；每降价1元，则多卖出100个. 已知进价为每个20元，当鼠标垫售价为______________元/个时，这星期利润为9600元.答案： 28或32（注意分两种情况）六．解答题（共66分）17.（1）解方程：x2﹣2x﹣1=0．解：（1）这里a=1，b=﹣2，c=﹣1，△=b2﹣4ac=4+4=8＞0，方程有两个不相等的实数根，x===1，则x1=1+，x2=1﹣．（2）解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．解：2（x ﹣3）=3x （x ﹣3）， 移项得：2（x ﹣3）﹣3x （x ﹣3）=0， 整理得：（x ﹣3）（2﹣3x ）=0， x ﹣3=0或2﹣3x=0， 解得：x 1=3或x 2=．18.已知关于x 的一元二次方程x 2－(m －3)x －m ＝0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两实根为x 1，x 2，且x 12＋x 22－x 1x 2＝7，求m 的值．解：(1)证明：∵x 2－(m －3)x －m ＝0，∴Δ＝[－(m －3)]2－4×1×(－m)＝m 2－2m ＋9＝(m －1)2＋8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)∵x 2－(m －3)x －m ＝0，方程的两实根为x 1，x 2，且x 12＋x 22－x 1x 2＝7，∴(x 1＋x 2)2－3x 1x 2＝7，∴(m －3)2－3×(－m)＝7，解得，m 1＝1，m 2＝2，即m 的值是1或2.19.关于x 的一元二次方程x 2－(k ＋3)x ＋2k ＋2＝0. (1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一根小于1，求k 的取值范围.解：(1)∵在方程x 2－(k ＋3)x ＋2k ＋2＝0中，Δ＝[－(k ＋3)]2－4×1×(2k ＋2)＝k2－2k ＋1＝(k －1)2≥0，∴方程总有两个实数根；(2)∵x 2－(k ＋3)x ＋2k ＋2＝(x －2)(x －k －1)＝0， ∴x 1＝2，x 2＝k ＋1.∵方程有一根小于1， ∴k ＋1＜1，解得k ＜0， ∴k 的取值范围为k ＜0.20.已知△ABC 的一条边BC 的长为5，另两边AB ，AC 的长是关于x 的一元二次方程x 2－(2k＋3)x ＋k 2＋3k ＋2＝0的两个实数根．(1) 求证：无论k 为何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2) k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形？(3) k 为何值时，△ABC 是等腰三角形？并求△ABC 的周长．解：(1)∵Δ＝b 2－4ac ＝[－(2k ＋3)]2－4×1×(k 2＋3k ＋2)＝1＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根；(2) 根据根与系数的关系：AB ＋AC ＝2k ＋3，AB ·AC ＝k 2＋3k ＋2，则AB 2＋AC 2＝(AB ＋AC)2－2AB ·AC ＝25，则(2k ＋3)2－2(k 2＋3k ＋2)＝25， 解得k ＝2或k ＝－5.根据三角形的边长必须是正数，因而两根的和x 1＋x 2＝2k ＋3＞0且两根的积x 1x 2＝3k ＋2＞0，解得k ＞－23，∴k ＝2；(3) 若AB ＝AC ＝5时，5是方程 x 2－(2k ＋3)x ＋k 2＋3k ＋2＝0的实数根， 把x ＝5代入原方程，解得k ＝3或k ＝4. 由(1)知，无论k 为何值时，Δ＞0，∴AB≠AC，∴k只能取3或4.根据一元二次方程根与系数的关系可得：AB＋AC＝2k＋3，∴当k＝3时，AB＋BC＝9，则周长是9＋5＝14；当k＝4时，AB＋BC＝8＋3＝11，则周长是11＋5＝16.21.在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，将（22.6，34.8）、（24，32）代入y=kx+b，，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y=﹣2x+80．当x=23.5时，y=﹣2x+80=33．答：当天该水果的销售量为33千克．（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）=150，解得：x1=35，x2=25．∵20≤x≤32，∴x=25．答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元．22.某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．解：（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1﹣x）2=361，解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%．（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元）．答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．23.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降价3元，则平均每天销售数量为件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？解：（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件．故答案为26；（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．根据题意，得（40﹣x）（20+2x）=1200，整理，得x2﹣30x+200=0，解得：x1=10，x2=20．∵要求每件盈利不少于25元，∴x2=20应舍去，解得：x=10．答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．24.我省积极响应党中央的号召，2017年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2019年在2017年的基础上增加投入资金1600万元．（1）从2017年到2019年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在2019年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求2019年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励．解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意得：1280（1+x）2=1280+1600，解得：x1=0.5=50%，x2=﹣2.5（舍去）．答：从2017年到2019年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%．（2）设2019年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意得：8×1000×400+5×400（a﹣1000）≥5000000，解得：a≥1900．答：2019年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．。
北师大版数学九年级上册第二章检测题及答案
北师大版数学九年级上册第二章检测题(一元二次方程)一、选择题（每题3分，共36分）1．（3分）一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根2．（3分）在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x 人参加这次聚会，则列出方程正确的是（）A．x（x﹣1）=10 B．=10 C．x（x+1）=10 D．=103．（3分）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50（1+x）2=182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2=182C．50（1+2x）=182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）2=1824．（3分）已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1•x2=1，则b a的值是（）A．B．﹣C．4 D．﹣15．（3分）定义运算：a⋆b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，则b⋆b﹣a⋆a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．与m有关6．（3分）使用墙的一边，再用13m的铁丝网围成三边，围成一个面积为20m2的长方形，求这个长方形的两边长．设墙的对边长为xm，可得方程（）A．x（13﹣x）=20 B．x•=20 C．x（13﹣x）=20 D．x•=20 7．（3分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．B．ax2+bx+c=0C．（x﹣1）（x+2）=1 D．3x2﹣2xy﹣5y2=08．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜1 B．k≠0 C．k＜1且k≠0 D．k＞19．（3分）方程x2﹣kx﹣1=0根的情况是（）A．方程有两个不相等的实数根B．方程有两个相等的实数根C．方程没有实数根D．方程的根的情况与k的取值有关10．（3分）等腰三角形的底和腰是方程x2﹣7x+12=0的两个根，则这个三角形的周长是（）A．11 B．10 C．11或10 D．不能确定11．（3分）某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件150元降至96元，平均每次降价的百分率是（）A．20% B．27% C．28% D．32%12．（3分）餐桌桌面是长为160cm，宽为100cm的长方形，妈妈准备设计一块桌布，面积是桌面的2倍，且使四周垂下的边等宽．若设垂下的桌布宽为xcm，则所列方程为（）A．（160+x）（100+x）=160×100×2 B．（160+2x）（100+2x）=160×100×2 C．（160+x）（100+x）=160×100 D．2（160x+100x）=160×100二、填空题（每题3分，共12分）13．（3分）方程x2﹣3=0的根是．14．（3分）当k=时，方程x2+（k+1）x+k=0有一根是0．15．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+1=0的两个根，则x1+x2=，x1x2=，x12+x22=．16．（3分）如图，在一块矩形的荒地上修建两条互相垂直且宽度相同的小路，使剩余面积是原矩形面积的一半，具体尺寸如图所示．求小路的宽是多少？设小路的宽是xm，根据题意可列方程为．三、解答题17．（18分）解方程：（1）2x2﹣6x+3=0（2）（x+3）（x﹣1）=5（3）4（2x+1）2=9（2x﹣1）2．18．（10分）某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利40元．为了扩大销售，减少库存，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多售出2件，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，那么每件童装应降价多少元？19．（6分）阅读下面的例题，范例：解方程x2﹣|x|﹣2=0，解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0，解得：x1=2，x2=﹣1（不合题意，舍去）．（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=1（不合题意，舍去）．∴原方程的根是x1=2，x2=﹣2请参照例题解方程x2﹣|x﹣1|﹣1=0．20．（8分）龙华天虹商场以120元/件的价格购进一批上衣，以200元/件的价格出售，每周可售出100件．为了促销，该商场决定降价销售，尽快减少库存．经调查发现，这种上衣每降价5元/件，每周可多售出20件．另外，每周的房租等固定成本共3000元．该商场要想每周盈利8000元，应将每件上衣的售价降低多少元？21．（10分）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿A边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从C 点开始沿CB边向点B以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）．（1）如果P、Q分别从A、C两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一？（2）如果P、Q两点分别从A、C两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从C出发，沿CB移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？（3）如果P、Q两点分别从A、C两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从C出发，沿CB移动（到达点B即停止运动），是否存在一个时刻，PQ同时平分△ABC的周长与面积？若存在求出这个时刻的t 值，若不存在说明理由．参考答案一、选择题。
北师大版九年级数学上册第二章达标检测卷附答案
北师大版九年级数学上册第二章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列等式中是关于x的一元二次方程的是()A．3(x＋1)2＝2(x＋1) B.1x2＋1x－2＝0C．ax2＋bx＋c＝0 D．x2＋2x＝x2－12．一元二次方程x2－6x＋5＝0配方后可化为()A．(x－3)2＝－4 B．(x＋3)2＝－14 C．(x－3)2＝4 D．(x＋3)2＝14 3．关于x的一元二次方程(m－1)x2－2x－1＝0有两个实数根，则实数m的取值范围是()A．m≥0 B．m＞0C．m≥0且m≠1 D．m＞0且m≠14．已知关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的一个实数根为2，则另一个实数根及m的值分别为()A．4，－2 B．－4，－2 C．4，2 D．－4，25．已知x为实数，且满足(x2＋3x)2＋2(x2＋3x)－3＝0，那么x2＋3x的值为() A．1 B．－3或1 C．3 D．－1或36．某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有()A．7队B．6队C．5队D．4队7．关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是() A．－1或5 B．1 C．5 D．－18．已知x＝2是关于x的方程x2－2mx＋3m＝0的一个根，并且等腰三角形ABC 的腰长和底边长恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长为()A．10 B．14 C．10或14 D．8或109．若关于x的方程2x2＋mx＋n＝0的两个根是－2和1，则n m的值为() A．－8 B．8 C．16 D．－1610．如图，将边长为2 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1 cm2，则AA′等于()A．0.5 cm B．1 cmC．1.5 cm D．2 cm二、填空题(每题3分，共24分)11．一元二次方程x(x－7)＝0的解是________．12．若关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2－1＝0的一个根是0，则a＝________.13．已知关于x的方程x2－6x＋k＝0的两根分别是x1，x2，且满足1x1＋1x2＝3，则k＝________.14．某市加大了对雾霾的治理力度，第一季度投入资金100万元，第二季度和第三季度共投入资金260万元，求这两个季度投入资金的平均增长率．设这两个季度投入资金的平均增长率为x，根据题意可列方程为________________________．15．关于x的两个方程x2－4x＋3＝0与1x－1＝2x＋a有一个解相同，则a＝________.16．已知线段AB的长为2，以AB为边在AB的下方作正方形ABCD，取AB边上一点E(不与点A，B重合)，以AE为边在AB的上方作正方形AENM.过点E作EF⊥CD，垂足为点F，如图．若正方形AENM与四边形EFCB的面积相等，则AE的长为________．17．已知(2a＋2b＋1)(2a＋2b－1)＝19，则a＋b＝________.18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以 2 cm/s的速度向点D运动．设△ABP 的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t s(0<t<8)，则t＝________时，S1＝2S2.三、解答题(19题12分，20～23题每题8分，24题10分，25题12分，共66分)19．用适当的方法解下列方程．(1)x2－x－1＝0; (2)3x(x－2)＝x－2；(3)x2－22x＋1＝0; (4)(x＋8)(x＋1)＝－12.20．已知关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2mx＋m＋3＝0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．21．解方程(x－1)2－5(x－1)＋4＝0时，我们可以将x－1看成一个整体，设x－1＝y，则原方程可化为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，即x－1＝1，解得x＝2；当y＝4时，即x－1＝4，解得x＝5，所以原方程的解为x1＝2，x2＝5.请利用这种方法求方程(2x＋5)2－4(2x＋5)＋3＝0的解．22．关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根分别为x1，x2.(1)求m的取值范围；(2)若2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m的值．23．一个矩形周长为56 cm.(1)当矩形的面积为180 cm2时，长和宽分别为多少？(2)这个矩形的面积能为200 cm2吗？请说明理由．24．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，若点P从点A出发沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，两点同时出发．(1)问几秒后，△PBQ的面积为8 cm2?(2)出发几秒后，线段PQ的长为4 2 cm?(3)△PBQ的面积能否为10 cm2？若能，求出时间；若不能，请说明理由．25．某中学九年级准备组织学生去方特梦幻王国进行春游活动．方特梦幻王国给出了学生团体门票的优惠价格：如果学生人数不超过30名，那么门票为每张240元；如果人数超过了30名，则每超过1名，每张门票就降低2元，但每张门票最低不能少于200元．(1)若一班共有40名学生参加了春游活动，则需要交门票费多少元？(2)若二班共有52名学生参加了春游活动，则需要交门票费多少元？(3)若三班交了门票费9 450元，请问该班参加春游的学生有多少名？答案一、1.A 2.C 3.C 4.D 5.A 6.C7．D8.B9.C10．B【点拨】设AC交A′B′于H.∵∠DAC＝45°，∠AA′H＝90°，∴△AA′H是等腰直角三角形．设AA′＝x cm，则A′H＝x cm，A′D＝(2－x)cm.∴x(2－x)＝1，解得x1＝x2＝1，即AA′＝1 cm.故选B.二、11.x1＝0，x2＝712.－113．2【点拨】∵x2－6x＋k＝0的两根分别为x1，x2，∴x1＋x2＝6，x1x2＝k.∴1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2＝6k＝3.解得k＝2.经检验，k＝2满足题意．14．100(1＋x)＋100(1＋x)2＝260【点拨】根据题意知，第二季度投入资金100(1＋x)万元，第三季度投入资金100(1＋x)2万元，∴100(1＋x)＋100(1＋x)2＝260.15．1【点拨】由方程x2－4x＋3＝0，得(x－1)(x－3)＝0，∴x－1＝0或x－3＝0.解得x1＝1，x2＝3.当x＝1时，分式方程1x－1＝2x＋a无意义；当x＝3时，13－1＝23＋a，解得a＝1.经检验，a＝1是方程13－1＝23＋a的解．16.5－1【点拨】本题主要考查了根据几何图形列一元二次方程，解题的关键是根据已知条件和图形找出等量关系，列出方程．17．±5 【点拨】设t ＝2(a ＋b )，则原方程可化为(t ＋1)(t －1)＝19，整理，得t 2＝20，解得t ＝±25，则a ＋b ＝t 2＝±5.换元法的一般步骤是：(1)设新元，即根据问题的特点或关系，引进适当的辅助元作为新元；(2)换元，用新元去代替原问题中的代数式或旧元；(3)求解新元，将解出的新元代回所设的换元式，求解原问题的未知元．18．6 【点拨】∵在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝16 cm ，AD 为BC 边上的高，∴AD ＝BD ＝CD ＝8 2 cm.又∵AP ＝2t cm ，∴S 1＝12AP ·BD ＝12×2t ×82＝8t (cm 2)，PD ＝(82－2t )cm.易知PE ＝AP ＝2t cm ，∴S 2＝PD ·PE ＝(82－2t )·2t cm 2.∵S 1＝2S 2，∴8t ＝2(82－2t )·2t .解得t 1＝0(舍去)，t 2＝6.三、19.解：(1)(公式法)a ＝1，b ＝－1，c ＝－1，∴b 2－4ac ＝(－1)2－4×1×(－1)＝5.∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a＝1±52， 即原方程的根为x 1＝1＋52，x 2＝1－52.(2)(因式分解法)移项，得3x (x －2)－(x －2)＝0，即(3x －1)(x －2)＝0，∴x 1＝13，x 2＝2.(3)(配方法)配方，得(x －2)2＝1，∴x －2＝±1，∴x1＝2＋1，x2＝2－1.(4)(因式分解法)原方程可化为x2＋9x＋20＝0，即(x＋4)(x＋5)＝0，解得x1＝－4，x2＝－5.20．解：(1)∵关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2mx＋m＋3＝0有两个不相等的实数根，∴m－2≠0且Δ＝(2m)2－4(m－2)(m＋3)＝－4(m－6)＞0，解得m＜6且m≠2.∴m的取值范围是m＜6且m≠2.(2)在m＜6且m≠2的范围内，最大整数为5.此时，方程化为3x2＋10x＋8＝0，解得x1＝－2，x2＝－4 3.21．解：设2x＋5＝y，则原方程可化为y2－4y＋3＝0，所以(y－1)(y－3)＝0，解得y1＝1，y2＝3.当y＝1时，即2x＋5＝1，解得x＝－2；当y＝3时，即2x＋5＝3，解得x＝－1，所以原方程的解为x1＝－2，x2＝－1.22．解：(1)由题意得Δ＝9－4(m－1)≥0，∴m≤13 4.(2)由根与系数的关系得x1＋x2＝－3，x1x2＝m－1. ∵2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，∴－6＋(m－1)＋10＝0，∴m＝－3，∵m≤134，∴m的值为－3.23．解：(1)设矩形的长为x cm，则宽为(28－x)cm，由题意列方程，得x(28－x)＝180，整理，得x2－28x＋180＝0，解得x1＝10(舍去)，x2＝18.答：矩形的长为18 cm，宽为10 cm.(2)不能．理由如下：设矩形的长为y cm，则宽为(28－y) cm，由题意列方程，得y(28－y)＝200，整理，得y2－28y＋200＝0，则Δ＝(－28)2－4×200＝784－800＝－16＜0.∴该方程无实数解．故这个矩形的面积不能为200 cm 2.24．解：(1)设t s 后，△PBQ 的面积为8 cm 2，则PB ＝(6－t )cm ，BQ ＝2t cm ， ∵∠B ＝90°，∴12(6－t )×2t ＝8，解得t 1＝2，t 2＝4，∴2 s 或4 s 后，△PBQ 的面积为8 cm 2.(2)设出发x s 后，PQ ＝4 2 cm ，由题意，得(6－x )2＋(2x )2＝(42)2，解得x 1＝25，x 2＝2，故出发25 s 或2 s 后，线段PQ 的长为4 2 cm.(3)不能．理由：设经过y s ，△PBQ 的面积等于10 cm 2，则12×(6－y )×2y ＝10，即y 2－6y ＋10＝0，∵Δ＝b 2－4ac ＝36－4×10＝－4＜0，∴该方程无实数解．∴△PBQ 的面积不能为10 cm 2.25．解：(1)240－(40－30)×2＝220(元)，220×40＝8 800(元)．答：若一班共有40名学生参加了春游活动，则需要交门票费8 800元．(2)240－(52－30)×2＝196(元)，∵196＜200，∴每张门票200元．200×52＝10 400(元)．答：若二班共有52名学生参加了春游活动，则需要交门票费10 400元．(3)∵9 450不是200的整数倍，且240×30＝7 200(元)＜9 450元，∴每张门票的价格高于200元且低于240元．设三班参加春游的学生有x 名，则每张门票的价格为[240－2(x －30)]元， 根据题意，得[240－2(x －30)]x ＝9 450，整理，得x 2－150x ＋4 725＝0，解得x 1＝45，x 2＝105，∵240－2(x －30)＞200， ∴x ＜50.∴x ＝45.答：若三班交了门票费9 450元，则该班参加春游的学生有45名．北师大版九年级数学上册期末达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1. 下列方程中，不是一元二次方程的是( )A.3y 2＋2y ＋1＝0B.12x 2＝1－3xC.110a 2－16a ＋23＝0 D ．x 2＋x －3＝x 2 2．如图放置的几何体的左视图是( )3．下列命题为真命题的是( )A ．四边相等的四边形是正方形B ．对角线相等的四边形是菱形C ．四个角相等的四边形是矩形D ．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 4．若反比例函数y ＝kx的图象经过点(m ，3m )，其中m ≠0，则反比例函数的图象在( )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限5．已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2－2x ＋1＝0有两个实数根，则k 的取值范围是( ) A ．k ≤－2B ．k ≤2C ．k ≥2D ．k ≤2且k ≠16．有三张正面分别标有数－2，3，4的不透明卡片，它们除数不同外，其他全部相同．现将它们背面朝上洗匀后，从中任取两张，则抽取的两张卡片上的数之积为正偶数的概率是( ) A.49B.112C.13D.167．如图，在△ABC中，已知点D，E分别是边AC，BC上的点，DE∥AB，且CE：EB ＝2：3，则DE AB等于()A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．4：58．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，P为AB的中点，折叠该纸片使点C落在点C′处，且点P在DC′上，折痕为DE，则∠CDE的度数为()A．30°B．40°C．45°D．60°9．设△ABC的一边长为x，这条边上的高为y，y与x之间的反比例函数关系如图所示．当△ABC为等腰直角三角形时，x＋y的值为()A．4 B．5 C．5或3 2 D．4或3 210．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边上的中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB＝DE，DE与BM相交于点N，EF⊥AC于点F，有以下结论：①∠DBM＝∠CDE；②S△BDE<S四边形BMFE；③CD·EN＝BN·BD；④AC＝2DF.其中正确结论的数量是()A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题(每题3分，共24分)11．已知一元二次方程(m－2)x2－3x＋m2－4＝0的一个根为0，则m＝________.12．如图，物理课上张明做小孔成像实验，已知蜡烛与成像板之间的距离为24 cm，要使烛焰的像A′B′是烛焰AB的2倍，则蜡烛与成像板之间带小孔的纸板应放在离蜡烛________的地方．13．一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成的，其主视图与左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体最少有________个．14．为预防流感，某学校对教室进行“药熏消毒”．消毒期间，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)之间的函数关系如图所示．已知在药物燃烧阶段，y与x成正比例，燃烧完后y与x成反比例．现测得药物10 min燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为8 mg.当每立方米空气中含药量低于 1.6 mg时，对人体无毒害作用．那么从消毒开始，经过________min后教室内的空气才能达到安全要求．15．已知三角形纸片(△ABC)中，AB＝AC＝5，BC＝8，将三角形按照如图所示的方式折叠，使点B落在直线AC上，记为点B′，折痕为EF.若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是________．16．为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者首先从鱼塘中捕获10条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞100条鱼．如果在这100条鱼中有2条鱼是有记号的，则可估计鱼塘中约有鱼________条．17．如图，以▱ABCO 的顶点O 为原点，边OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，顶点A ，C 的坐标分别为(2，4)，(3，0)，过点A 的反比例函数y ＝kx 的图象交BC 于点D ，连接AD ，则四边形AOCD 的面积是________．18．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，垂足为O ，点E ，F ，G ，H 分别为AD ，AB ，BC ，CD 的中点．若AC ＝8，BD ＝6，则四边形EFGH 的面积为________． 三、解答题(19～22题每题8分，23，24题每题11分，25题12分，共66分) 19．解方程：(1)x 2－6x －6＝0; (2)(x ＋2)(x ＋3)＝1.20．已知关于x 的一元二次方程kx 2＋x －2＝0有两个不相等的实数根．(1)求实数k 的取值范围；(2)设方程的两个实数根分别为x 1，x 2，且满足(x 1＋x 2)2＋x 1·x 2＝3，求k 的值．21．在一个不透明的布袋里装有4个分别标有数字1，2，3，4的小球，它们除所标数字外其他完全相同，小明从布袋里随机取出1个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机取出1个小球，记下数字为y.(1)计算由x，y确定的点(x，y)在函数y＝－x＋5的图象上的概率．(2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若x，y满足xy＞6，则小明胜，若x，y满足xy＜6，则小红胜，这个游戏公平吗？请说明理由．若不公平，请写出公平的游戏规则．22．如图，九(1)班的小明与小艳两位同学去操场测量旗杆DE的高度，已知直立在地面上的竹竿AB的长为3 m．某一时刻，测得竹竿AB在阳光下的投影BC的长为2 m.(1)请你在图中画出此时旗杆DE在阳光下的投影，并写出画图步骤；(2)在测量竹竿AB的影长时，同时测得旗杆DE在阳光下的影长为6 m，请你计算旗杆DE的高度．23．如图，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为(0，1)，点B的坐标为(0，－2)，反比例函数y ＝kx 的图象经过点C ，一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过A ，C 两点．(1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)若点P 是反比例函数图象上的一点，△OAP 的面积恰好等于正方形ABCD 的面积，求点P 的坐标．24．如图①，在正方形ABCD 中，P 是BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且P A＝PE ，PE 交CD 于F . (1)求证：PC ＝PE ； (2)求∠CPE 的度数；(3)如图②，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，当∠ABC ＝120°时，连接CE ，试探究线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由．25．在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，D 是AB 延长线上一点，E 是AC 上一点，DE 交BC 于点F .(1)如图①，若BD ＝CE ，求证：DF ＝EF .(2)如图②，若BD ＝1n CE ，试写出DF 和EF 之间的数量关系，并证明．(3)如图③，在(2)的条件下，若点E 在CA 的延长线上，那么(2)中的结论还成立吗？试证明．答案一、1.D 2.C 3.C4．B 【点拨】把点(m ，3m )的坐标代入y ＝kx ，得到k ＝3m 2，因为m ≠0，所以k >0.所以图象在第一、三象限． 5．D 6.C 7.B 8.C9．D 【点拨】由题意得xy ＝4，当等腰直角三角形ABC 的斜边长为x 时，x ＝2y ，所以2y 2＝4，解得y ＝2或y ＝－2(不合题意，舍去)，所以x ＝22，所以x ＋y ＝32；当等腰直角三角形ABC 的一条直角边长为x 时，x ＝y ，所以y 2＝4，解得y ＝2或y ＝－2(不合题意，舍去)，所以x ＝2，所以x ＋y ＝4.故x ＋y 的值为4或3 2.故选D. 10．C 【点拨】设∠EDC ＝x ，则∠DEF ＝90°－x ，从而可得到∠DBE ＝∠DEB ＝180°－(90°－x )－45°＝45°＋x ，∠DBM ＝∠DBE －∠MBE ＝45°＋x －45°＝x ，从而可得到∠DBM ＝∠CDE ，所以①正确．可证明△BDM ≌△DEF ，然后可证明S △DNB ＝S 四边形NMFE，所以S △DNB ＋S △BNE ＝S四边形NMFE＋S △BNE ，即S △BDE ＝S 四边形BMFE .所以②错误．可证明△DBC ∽△NEB ，所以CD BD ＝BNEN，即CD ·EN ＝BN ·BD .所以③正确．由△BDM ≌△DEF ，可知DF ＝BM ，由直角三角形斜边上的中线的性质可知BM ＝12AC ，所以DF ＝12AC ，即AC ＝2DF .所以④正确．故选C. 二、11.－2 12.8 cm13．5 【点拨】综合左视图和主视图知，这个几何体有两层，底层最少有2＋1＝3(个)小正方体，第二层有2个小正方体，因此组成这个几何体的小正方体最少有3＋2＝5(个)． 14．50 【点拨】设药物燃烧完后y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx ，把点(10，8)的坐标代入y ＝k x ，得8＝k 10，解得k ＝80，所以药物燃烧完后y 与x 之间的函数表达式为y ＝80x .当y ＝1.6时，由y ＝80x 得x ＝50，所以从消毒开始，经过50 min 后教室内的空气才能达到安全要求． 15．4或4013 16.50017．9 【点拨】由题易知OC ＝3，点B 的坐标为(5，4)，▱ABCO 的面积为12.设直线BC 对应的函数表达式为y ＝k ′x ＋b ，则⎩⎨⎧3k ′＋b ＝0，5k ′＋b ＝4，解得⎩⎨⎧k ′＝2，b ＝－6.∴直线BC 对应的函数表达式为y ＝2x －6.∵点A (2，4)在反比例函数y ＝kx 的图象上，∴k ＝8.∴反比例函数的表达式为y ＝8x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －6，y ＝8x解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－8(舍去)．∴点D 的坐标为(4，2)． ∴△ABD 的面积为12×2×3＝3. ∴四边形AOCD 的面积是9.18．12 【点拨】易知EF ∥BD ∥HG ， 且EF ＝HG ＝12BD ＝3，EH ∥AC ∥GF 且EH ＝GF ＝12AC ＝4.∵AC ⊥BD ，∴EF ⊥FG . ∴四边形EFGH 是矩形．∴四边形EFGH 的面积＝EF ·EH ＝3×4＝12. 三、19.解：(1)x 2－6x －6＝0， x 2－6x ＋9＝ 15， (x －3)2＝ 15， x －3＝ ±15，∴x 1＝3＋15，x 2＝3－15. (2)(x ＋2)(x ＋3)＝1， x 2＋5x ＋6＝ 1， x 2＋5x ＋5＝ 0， ∵a ＝1，b ＝5，c ＝5，∴b 2－4ac ＝52－4×1×5＝5. ∴x ＝－5±52.∴x 1＝－5＋52，x 2＝－5－52. 20．解：(1)∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝12＋8k ＞0， ∴k ＞－18. 又∵k ≠0，∴k 的取值范围是k ＞－18且k ≠0.(2)由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－1k ，x 1·x 2＝－2k . ∵(x 1＋x 2)2＋x 1·x 2＝3，∴⎝⎛⎭⎫－1k 2－2k ＝3，即3k 2＋2k －1＝0， 解得k ＝13或k ＝－1. 由(1)得k ＞－18且k ≠0， ∴k ＝13.21．解：(1)画树状图如图．由树状图可知共有12种等可能的结果．其中在函数y ＝－x ＋5的图象上的有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)， ∴点(x ，y )在函数y ＝－x ＋5的图象上的概率为412＝13.(2)不公平．理由：∵x ，y 满足xy ＞6的有(2，4)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，共4种结果，x ，y 满足xy ＜6的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，共6种结果， ∴P (小明胜)＝412＝13，P (小红胜)＝612＝12. ∵13≠12，∴游戏不公平．公平的游戏规则为：若x ，y 满足xy ≥6，则小明胜，若x ，y 满足xy ＜6，则小红胜．(规则不唯一)22．解：(1)如图，线段EF 就是此时旗杆DE 在阳光下的投影．作法：连接AC ，过点D 作DF ∥AC ，交直线BE 于点F ，则线段EF 即为所求．(2)∵AC ∥DF ，∴∠ACB ＝∠DFE .又∠ABC ＝∠DEF ＝90°，∴△ABC ∽△DEF .∴AB DE ＝BC EF .∵AB ＝3 m ，BC ＝2 m ，EF ＝6 m ，∴3DE ＝26. ∴DE ＝9 m.即旗杆DE 的高度为9 m.23．解：(1)∵点A 的坐标为(0，1)，点B 的坐标为(0，－2)，∴AB ＝1＋2＝3，即正方形ABCD 的边长为3，∴点C 的坐标为(3，－2)．将点C 的坐标代入y ＝k x可得k ＝－6， ∴反比例函数的表达式为y ＝－6x .将C (3，－2)，A (0，1)的坐标分别代入y ＝ax ＋b ，得⎩⎨⎧3a ＋b ＝－2，b ＝1， 解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1，∴一次函数的表达式为y ＝－x ＋1.(2)设P ⎝⎛⎭⎫t ，－6t ， ∵△OAP 的面积恰好等于正方形ABCD 的面积，∴12×1×|t |＝3×3，解得t ＝±18.∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫18，－13或⎝⎛⎭⎫－18，13. 24．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠ADP ＝∠CDP .又∵DP ＝DP ，∴△ADP ≌△CDP .∴P A ＝PC .又∵P A ＝PE ，∴PC ＝PE .(2)解：由(1)知△ADP ≌△CDP ，∴∠DAP ＝∠DCP .∵P A ＝PE ，∴∠DAP ＝∠E .∴∠FCP ＝∠E .又∵∠PFC ＝∠DFE ，∠EDF ＝90°，∴∠CPE ＝∠EDF ＝90°.(3)解：AP ＝CE .理由如下：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝CD ，∠ADP ＝∠CDP .又∵DP ＝DP ，∴△ADP ≌△CDP .∴P A ＝PC ，∠DAP ＝∠DCP .又∵P A ＝PE ，∴PC ＝PE ，∠DAP ＝∠DEP .∴∠DCP ＝∠DEP .又∵∠PFC ＝∠DFE ，∴∠CPF ＝∠EDF .∵在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，∴∠ADC ＝120°.∴∠EDC ＝60°.∴∠CPE ＝∠EDF ＝60°.又∵PC ＝PE ，∴△PCE 是等边三角形．∴PE ＝CE .又∵P A ＝PE ，∴AP ＝CE .25．(1)证明：在题图①中作EG ∥AB 交BC 于点G ， 则∠ABC ＝∠EGC ，∠D ＝∠FEG .∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C .∴∠EGC ＝∠C .∴EG ＝EC .∵BD ＝CE ，∴BD ＝EG .又∵∠D ＝∠FEG ，∠BFD ＝∠GFE ，∴△BFD ≌△GFE .∴DF ＝EF .(2)解：DF ＝1n EF .证明：在题图②中作EG ∥AB 交BC 于点G ，则∠D ＝∠FEG . 同(1)可得EG ＝EC .∵∠D ＝∠FEG ，∠BFD ＝∠EFG ，∴△BFD ∽△GFE .∴BD EG ＝DF EF. ∵BD ＝1n CE ＝1nEG ， ∴DF ＝1n EF .(3)解：成立．证明：在题图③中作EG ∥AB 交CB 的延长线于点G ， 则仍有EG ＝EC ，△BFD ∽△GFE .∴BD EG ＝DF EF .∵BD ＝1n CE ＝1n EG ，∴DF ＝1nEF .。
北师大版2020九年级数学上册第二章一元二次方程自主学习培优测试卷A(附答案详解)
北师大版2020九年级数学上册第二章一元二次方程自主学习培优测试卷A （附答案详解）1．已知关于x 的方程20x px q -+=的两个根分别是0和2-，则p 和q 的值分别是（ ）A ．2p =-，0q =B ．2p =，0q =C ．12p =，0q =D ．12p =-，0q =2．关于 x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+3x+m 2﹣1=0 的一根为 0，则 m 的值是（ ） A ．±1 B ．±2 C ．﹣1 D ．﹣23．党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番．在本世纪的前20年（2001～2020年），要实现这一目标，以10年为单位计算，设每10年的国民生产总值的增长率都是x ，那么x 满足的方程为（ ）．A ．（1+x ）2=2B ．（1+x ）2=4C ．1+2x=2D ．（1+x ）+2（1+x ）=44．若关于x 的一元二次方程()20a x m b ++=的解是123,1x x =-=，（a ，b ，m 均为常数，a≠0），则方程()220a x m b +-+=的解是（ ）A ．125,1x x ==B ．123,7x x =-=-C ．123,1x x ==-D ．121,5x x =-=- 5．关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠．下列论断：()1若0a b c -+=，则它有一根为1-；()2若它有一根为c -，则一定有1ac b -=-；()3若2b a c =+，则它一定有两个不相等的实数根；其中正确的是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．若方程||(2)310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则A ．2m =±B ．2m ≠±C ．m=–2D ．m=27．将方程23610x x +-=配方，变形正确的是（ ）A ．2(31)10x +-=B ．2(31)20x +-=C ．23(1)40x +-=D ．2 3(1)10x +-=8．将方程x 2+4x ＝5左边配方成完全平方式，右边的常数应该是( )A ．9B ．1C ．6D ．49．我们解方程3x 2-6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x （x-2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x-2=0，进而得到原方程的解为x 1=0，x 2=2．这种解法体现的数学思想是（ ）A ．函数思想B ．数形结合思想C ．公理化思想D ．转化思想10．关于x 的方程2m(x h)k 0(m ++=，h ，k 均为常数，m 0)≠的解是1x 3=-，2x 2=，则方程2m(x h 3)k 0+-+=的解是（ ）A ．1x 6=-，2x 1=-B ．1x 0=，2x 5=C ．1x 3=-，2x 5=D ．1x 6=-，2x 2=11．有一个矩形铁片，长是30cm ，宽是20cm ，中间挖去2144cm 的矩形，剩下的铁框四周一样宽，若设宽度为xcm ，那么挖去的矩形长是________cm ，宽是________cm ，根据题意可得方程________．12．在实数范围内因式分解2243=x x +- _____________.13．已知关于x 的方程x 2﹣kx ﹣6=0的一个根为x=3，则实数k 的值为_____．14．请写出一个根为x 1=，另一个根满足2x 1-<<的一元二次方程________．15．关于x 的一元二次方程（x ﹣2）2=k +2有解，则k 的取值范围是_____．16．已知x 1、x 2是一元二次方程x 2＋x －3＝0的两个根，则x 1＋x 2＝______．17．一元二次方程x 2=4x 的根是_____．18．一种微波炉每台成本价原来是400元，经过两次技术改进后，成本降为256元，如果每次降低率相同，则降低率为________．19．已知关于x 的方程()()2m 1x 2m 1x m 10-+-++=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是________．20．一条长64cm 的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形．若两个正方形的面积和等于2160cm ，则两个正方形的边长分别为________．21．如图，有长为30m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20m ），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB ）的矩形花圃ABCD ．设花圃的一边AB 为()x m ．()1则BC =________（用含x 的代数式表示），矩形ABCD 的面积=________（用含x 的代数式表示）；()2如果要围成面积为263m 的花圃，AB 的长是多少？()3将()1中表示矩形ABCD 的面积的代数式通过配方，问：当AB 等于多少时，能够使矩形花圃ABCD 面积最大，最大的面积为多少？22．解方程:(1)(3x +8)2-(2x -3)2=0;(2)2x 2-6x +3=0.23．（1）不解方程，求方程5x 2﹣1=2x 的两个根x 1、x 2的和与积；（2）求证：无论p 取何值，方程（x ﹣2）（x ﹣1）﹣p 2=0总有两个不相等的实数根． 24．计算题；；；．25．已知|a －1|＋2b +＝0,求方程a x ＋bx ＝1的解. 26．解方程： ()211(3)13x +=； ()()22(21)327x x x -=+-． 27．已知m ，n 是一元二次方程x 2－3x ＋1＝0的两根，求代数式2m 2＋4n 2－6n ＋1999的值．(提示：用根的定义和根与系数的关系来解)28．某服装店销售一批衬衫，每件进价元，开始以每件元的价格销售，每星期能卖出件，后来因库存积压，决定降价销售，经两次降价后的每件售价元，每星期能卖出件．已知两次降价百分率相同，求每次降价的百分率；聪明的店主在降价过程中发现，适当的降价既可增加销售又可增加收入，且每件衬衫售价每降低元，销售会增加件，若店主想要每星期获利元，应把售价定为多少元？参考答案1．A【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可以计算出两根之和，两根之积，然后可以求出p，q的值．【详解】由题意知，x1x2=q=0，x1+x2=p=-2．∴p=-2，q=0．故选A．【点睛】本题考查对韦达定理（根与系数的关系）的简单运用，由于选项中q=0是确定的，所以只要考虑p就可以了，由p=-2即可确定．2．C【解析】【分析】把x=0 代入方程得到一个关于m 的方程，求出方程的解．【详解】解：把x=0 代入方程得：0+0+m2﹣1=0，解得：m=±1，∵m﹣1≠0，∴m=﹣1，故选C．【点睛】本题主要考查对一元二次方程的解，一元二次方程的定义等知识点的理解和掌握，解此题的关键是能理解一元二次方程的解的含义．3．B【解析】试题分析：主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可用x表示出2010年的国民生产总值，再根据2010年的生产总值表示出2020年的生产总值．最后根据已知条件列出方程化简即可得出本题的答案．解：设2000年生产总值为1，则2020年的国民生产总值为22=4，依题意得：2010年的国民生产总值=1×（1+x）=1+x，则2020年的国民生产总值=（1+x）（1+x）=（1+x）2=4∴（1+x）2=4．故选B．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．4．C【解析】【分析】先根据题意求出x与a、b、m的关系及，进而将方程a（x＋m－2）2＋b＝0变形求出解即可.【详解】∵方程a（x＋m）2＋b＝0的解为x1＝﹣3，x2＝1，∴x＝﹣3或1.a（x＋m－2）2＋b＝0可变形为x＝2－所以方程a（x＋m－2）2＋b＝0的两根分别为x1＝2－3＝﹣1，x2＝2＋1＝3.故选C.【点睛】此题考查解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键.5．C【解析】【分析】（1）与（2）根据方程的根的定义，代入方程分别把x＝−1和x＝−c代入检验即可；（3）将b＝a＋2c代入△中，再判断△与0的关系即可确定方程根的个数．【详解】（1）∵方程有一根为−1；∴ax2＋bx＋c＝0可变形为a−b＋c＝0；所以（1）正确；（2）∵方程有一根为−c；∴a（−c）2＋b（−c）＋c＝0可变形为ac2−bc＋c＝0；化简得：c（ac−b＋1）＝0，当c≠0时，ac−b＋1＝0，ac−b＝−1；但是当c＝0时，上面的关系不一定成立，所以（2）不一定成立；（3）∵b＝a＋2c，∴△＝b2−4ac＝（a＋2c）2−4ac＝a2＋4c2；∵a≠0；∴△＝a2＋4c2＞0；∴方程一定有两个不相等的实数根；所以（3）正确．故选：C．【点睛】本题考查了方程的根的定义，方程解的个数的判定可以转化为判定判别式与0的大小关系．6．D【解析】m=2且m+2≠0，解得m=2．故选D．根据一元二次方程的定义可得：||7．C【解析】【分析】首先把二次项系数化为1，然后进行移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式．【详解】∵3x2+6x-1=0∴3（x2+2x）-1=0∴3（x2+2x+1-1）-1=0∴3（x2+2x+1）-3-1=0∴3（x+1）2-4=0故选：C【点睛】先把二次项的系数化为1，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．8．A【解析】【分析】在方程两边都加上4，配方即可.【详解】解：∵245x x +=，∴44454x x ++=+，∴()229x +=，故选：A .【点睛】本题考查了一元二次方程的配方法，掌握一元二次方程的配方法是解决本题的关键. 9．D【解析】【分析】由题意可知，题目中所给的解方程的方法是把一元二次方程转化为两个一元一次方程，由此解答即可.【详解】题目中所给的解方程的方法叫因式分解法，把一元二次方程转化为两个一元一次方程，体现了转化的数学思想.故选D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程运用的数学思想，利用因式分解法把一元二次方程转化为两个一元一次方程，运用了转化的数学思想.10．B【解析】【分析】利用直接开平方法得方程m （x+h ）2+k=0的解x=﹣，则﹣h ﹣3，﹣=2，再解方程m （x+h ﹣3）2+k=0得x=3﹣x 1=0，x 2=5．【详解】解方程()20m x h k ++=（,,m h k 均为常数）得 ，∵关于x 的方程m （x+h ）2+k=0（m ，h ，k 均为常数，m≠0）的解是x 1=-3，x 2=2，∴，，∵方程()230m x h k +-+=的解为， ∴x 1=3-3=0，x 2=3+2=5．故选B.【点睛】 本题考查了一元二次方程的解法——直接开平方法，熟练运用直接开平方法解方程是解决本题的关键.11．18 8 ()()302202144x x -⨯-=【解析】【分析】设宽度为xcm ，则挖去的矩形长是（30-2x ）cm ，宽是（20-2x ）cm ，根据矩形的面积为2144cm ，列出方程，解方程即可.【详解】设宽度为xcm ，则挖去的矩形长是（30-2x ）cm ，宽是（20-2x ）cm ，根据题意可得， （30-2x ）（20-2x ）=144解得，x=6或19（19不符合题意，舍去）∴挖去的矩形长是30-2×6=18cm ，挖去的矩形宽是20-2×6=8cm.答：挖去矩形的长为18cm ，宽为8cm ．故答案为：18；8；（30-2x ）（20-2x ）=144.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设宽为xcm ，用x 表示出挖去矩形的长和宽，利用矩形的面积公式列方程是解决本题的基本思路.12．2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】当要求在实数范围内进行因式分解时，分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．2x 2+4x-3不是完全平方式，所以只能用求根公式法分解因式．【详解】2x 2+4x-3=0的解是x 1=22-，x 2=-22-，所以可分解为2x 2+4x-3=2（）（）．即: 2x 2+4x-3=2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭.故答案为: 2x x ⎛+ ⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．求根公式法分解因式：ax 2+bx+c=a （x-x 1）（x-x 2），其中x 1，x 2是方程ax 2+bx+c=0的两个根．13．1【解析】【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．【详解】∵x=3是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得32-3k-6=0，解此方程得到k=1．【点睛】本题逆用一元二次方程解的定义易得出k 的值．14．2x x 0-=【解析】【分析】在-1＜x ＜1的范围内选取x 的一个值，作为方程的另一根，再根据因式分解法确定一元二次方程即可．本题答案不唯一．解：由题意知，另一根为0时，满足-1＜x＜1，∴方程可以为：x（x-1）=0，化简，得x2-x=0故答案为x2-x=0．（本题答案不唯一，符合要求即可）【点睛】本题考查的是已知方程的两根，写出方程的方法．本题解法不唯一，答案也不唯一，只要符合要求即可．15．k≥﹣2．【解析】【分析】由于方程左边为非负数，则k+2≥0，然后解不等式即可．【详解】∵关于x的一元二次方程（x﹣2）2=k+2有解，∴k+2≥0，解得k≥-2．故答案是：k≥-2．【点睛】考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．16．-1【解析】【分析】根据韦达定理即可解题.【详解】∵x1、x2是一元二次方程x2＋x－3＝0的两个根∴x1+x2=-ba=-1本题考查根与系数的关系,属于简单题.韦达定理的掌握是解题关键.17．10x =，24x =．【解析】【分析】移项并采用因式分解的方法解方程.【详解】解：移项得，240x x -=，x(x-4)=0，解得x=0或4，故答案为10x =，24x =.【点睛】本题考查了因式分解法解方程.18．20%【解析】【分析】设平均每次降价的百分率为x ，根据“原来的价格×（1-x ）2=两次降价后的价格”列出方程，解方程即可.【详解】设平均每次降价的百分率为x ，根据题意得：400（1-x ）2=256解得：x=20%或x=1.8（舍去），故答案是：20%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b ． 19．5m 4<且m 1≠ 【解析】【分析】根据方程有两个不相等的实数根时，b2﹣4ac＞0且m﹣1≠0列出不等式，解不等式即可．【详解】∵方程有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac=（2m﹣1）2﹣4×（m﹣1）（m+1）＞0，解得：m＜54．∵m﹣1≠0，∴m≠1，∴实数m的取值范围是m＜54且m≠1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．20．12cm和4cm【解析】【分析】可设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为6444x-cm，又因两个正方形的面积和等于160cm2，则可列出方程求解即可．【详解】设一个正方形的边长为xcm，∵正方形的四边相等，∴此正方形的周长是4xcm,另一个正方形的边长是6444x-cm，根据题意得x2+(6444x-)2=160，解得x1=12,x2=4.当x=12时,6444x-=4；当x=4时,6444x-=12，所以另一个正方形的边长为4或12.答：两个正方形的边长为12cm和4cm.故答案为：12cm和4cm.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的应用.21．（1）303x -，2330x x -+；（2）7；（3）当AB=5时，矩形花圃ABCD 面积最大，最大面积为75m 2．【解析】【分析】（1）用总长减去与墙垂直的三条篱笆的长度的和即为BC 的长，然后利用长乘以宽即可求得面积；（2）根据面积为63列出一元二次方程求解即可；（3）配方后即可确定面积的最值及AB 的长．【详解】解：（1）BC =30﹣3x ，矩形ABCD 的面积=﹣3x 2+30x ；（2）当矩形ABCD 的面积为63时，﹣3x 2+30x =63，解此方程得：x 1=7，x 2=3，当x =7时，30﹣3x =9＜20，符合题意；当x =3时，30﹣3x =21＞20，不符合题意，舍去；∴当AB 的长为7m 时，花圃的面积为63m 2．（3）矩形ABCD 的面积=﹣3x 2+30x =﹣3（x ﹣5）2+75．∵（x ﹣5）2≥0，∴﹣3（x ﹣5）2≤0，∴﹣3（x ﹣5）2+75≤75．∵0＜30﹣3x ≤20即：10103x ≤＜，∴当x =5时，满足10103x ≤＜． 即当AB =5时，矩形花圃ABCD 面积最大，最大面积为75m 2．【点睛】本题考查了配方法的应用及一元二次方程的应用的知识，根据题目的条件，合理地建立等量关系式，会根据等量关系列方程．22．（1）x 1=-1,x 2=-11.（2）x 1=32+,x 2【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可.【详解】(1) (3x +8+2x -3)(3x +8-2x +3)=5(x +1)(x +11)=0,∴x +1=0或x +11=0,∴x 1=-1,x 2=-11. (2) ∵a =2,b =-6,c =3, ∴b 2-4ac =36-24=12. ∴x =612623332242±±±==⨯, ∴x 1=332+,x 2=3-3. 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解方程时会根据所给的方程选择适当的方法解方程． 23．（1）x 1+x 2=25，x 1x 2=﹣15；（2）见解析. 【解析】【分析】（1）先把右边的项移到左边，然后根据一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）先整理成一元二次方程的一般形式，然后求出∆的值即可判断.【详解】（1）方程可化为5x 2﹣2x ﹣1=0，∴x 1+x 2=25，x 1x 2=﹣15； （2）方程可化为x 2﹣3x +2﹣p 2=0，∴△=（﹣3）2﹣4（2﹣p 2）=4p 2+1＞0，∴无论p 取何值，方程（x ﹣2）（x ﹣1）﹣p 2=0总有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）根的判别式及根与系数的关系，若x 1，x 2为方程的两个根，则x 1，x 2与系数的关系式：12b x x a +=-，12c x x a ⋅= . 24．，；，，，；，【解析】【分析】（1）先找a ，b ，c ，再求△，判断方程根的情况，代入求根公式计算即可．（2）先移项，然后进行因式分解．（3）提取公因式进行因式分解．（4）先整理成一般式，然后进行因式分解．【详解】解：∵，，，，∴，，；；，，或，解方程得：，，；，或，解方程得：，；．整理得，或，解方程得：，．【点睛】本题考查了一元二次方程的知识点，解题的关键是熟练的掌握因式分解法解一元二次方程.25．x1＝－1,x2＝1 2 .【解析】首先根据非负数的性质，可求出a、b的值，然后再代入方程求解即可．解：由|a－1|2b 0,得a＝1,b＝－2.由方程1x－2x＝1得2x2＋x－1＝0,解得x1＝－1,x2＝1 2 .经检验,x 1＝－1,x 2＝12是原方程的解. 点睛：本题考查非负数的性质和解分式方程.利用非负数的性质得出a 、b 的值是解题的关键.26．(1)1 3x =-，23x =-(2)12x =，24x =．【解析】【分析】【详解】解：()1由原方程，得2(3)3x +=，直接开平方，得3x +=解得13x =-23x =-()()22(21)327x x x -=+-，22441327x x x x -+=+-，2680x x -+=，()()240x x --=，解得12x =，24x =．【点睛】本题考查了学生解一元二次方程的能力，掌握配方法或者公式法解方程是解决此题的关键. 27．2011【解析】【分析】根据方程的根的定义，把x=m ，x=n 分别代入方程，等式成立，然后将已知式子变形降次，结合根与系数的关系，得出结果．【详解】解：依题意有223,1,310,310,m n mn m m n n +=⎧⎪=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩ ∴2m 2＋4n 2－6n ＋1 999＝2(m 2＋n 2)＋2(n 2－3n)＋1999＝2[(m ＋n)2－2]＋2×(－1)＋1999＝14－2＋1999＝2011【点睛】此题主要考查了方程的根的定义及根与系数的关系，将它们与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．28．应把售价定为185元或175元．【解析】【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得每次降价的百分率；（2）根据题意可以列出相应的方程，求出相应的售价.【详解】 解：设每次降价的百分率为，解得，，（舍去），即每次降价的百分率是； 设店主将售价降价元，解得，， ∴，，即应把售价定为元或元. 【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.。
2020-20212学年北师大版数学九年级上册第二章测试题附答案(含2套)
北师大版数学九年级上册第二章测试题（一）（一元二次方程测试卷）一．选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的）1．（3分）把方程x（x+2）=5（x﹣2）化成一般式，则a、b、c的值分别是（）A．1，﹣3，10 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，3，2 2．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（）A．（x﹣3）2=14 B．（x﹣3）2=4 C．（x+3）2=14 D．（x+3）2=4 3．（3分）如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＞B．k＞且k≠0 C．k＜D．k≥且k≠04．（3分）用换元法解方程﹣=3时，设=y，则原方程可化为（）A．y﹣﹣3=0 B．y﹣﹣3=0 C．y﹣+3=0 D．y﹣+3=05．（3分）等腰三角形的底和腰是方程x2﹣7x+12=0的两个根，则这个三角形的周长是（）A．11 B．10 C．11或10 D．不能确定6．（3分）若分式的值为零，则x的值为（）A．3 B．3或﹣3 C．0 D．﹣37．（3分）一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根8．（3分）在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x 人参加这次聚会，则列出方程正确的是（）A．x（x﹣1）=10 B．=10 C．x（x+1）=10 D．=109．（3分）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50（1+x）2=182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2=182C．50（1+2x）=182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）2=18210．（3分）已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1•x2=1，则b a的值是（）A．B．﹣C．4 D．﹣111．（3分）定义运算：a⋆b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，则b⋆b﹣a⋆a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．与m有关12．（3分）使用墙的一边，再用13m的铁丝网围成三边，围成一个面积为20m2的长方形，求这个长方形的两边长．设墙的对边长为xm，可得方程（）A．x（13﹣x）=20 B．x•=20 C．x（13﹣x）=20 D．x•=20二．填空题（每小题3分，共12分）13．（3分）方程x2﹣3=0的根是．14．（3分）当k=时，方程x2+（k+1）x+k=0有一根是0．15．（3分）设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，则m2+3m+n=．16．（3分）写出以4，﹣5为根且二次项的系数为1的一元二次方程是．三．解答题（本题有7小题，共52分）17．（10分）解方程（1）x2﹣4x﹣5=0（2）3x（x﹣1）=2﹣2x．18．（5分）试证明关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1=0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．。
北师大版九年级上册数学同步培优第二章一元二次方程 用因式分解法求解一元二次方程
直接开平方法→因式分解法→公式法，如无特殊要 求一般不用配方法． 解：x2－2x－3＝0，(x－3)(x＋1)＝0. x－3＝0或x＋1＝0. ∴x1＝3，x2＝－1.
(2)【2021·常德】x2－x－2＝0；
解：x2－x－2＝0，(x－2)(x＋1)＝0， x－2＝0或x＋1＝0. ∴x1＝2，x2＝－1.
∴x＝
－b±
b2－4ac 2a
－2± 9 －2±3 ＝__2_×_1____＝____2____，
∴x1＝___12_____，x2＝__－__52____.
(4)用因式分解法解方程：x(x＋2)＝3x＋6. 解：移项，得__x_(x_＋__2_)_－__3_(_x_＋__2_)＝__0____， 因式分解，得__(_x_＋__2_)(_x_－__3_)_＝__0___， 于是得_x_＋__2_＝__0_或__x_－__3_＝__0___， 解得x1＝___－__2___，x2＝__3______.
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9．【2021·嘉兴】小敏与小霞两位同学解方程3(x－3)＝(x －3)2的过程如下框： 小霞：
小敏： 移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0，
两边同除以(x－3)，得 提取公因式，得(x－3)(3－x－3)＝0.
3＝x－3， 则x－3＝0或3－x－3＝0，
则x＝6. 解得x1＝3，x2＝0.
解：原方程化成__(_x_－__3_)2_＝__3__， 开平方，得__x_－__3_＝__±__3__． ∴x1＝_3_＋___3___，x2＝_3_－___3___.
(2)用配方法解方程：3x2－x－4＝0.
解：移项，得_3_x_2_－__x_＝__4___， 二次项系数化为1，得_x_2_－__13_x_＝__43_． 配方，得_x_2_－__13_x_＋__16__2_＝__43_＋__31_6__，即_x_－__16__2_＝__43_96__． 开平方，得__x_－__16_＝__±_76___．
北师大版九年级数学上册《第二章 一元二次方程》章节测试卷-带答案
北师大版九年级数学上册《第二章 一元二次方程》章节测试卷-带答案知识点总结：①配方法和十字叉乘法求解一元二次方程{二次项系数为±1二次项系数不是±1配方法：(a±b)2=a2+b2±2ab十字叉乘法：化简成(x±a)(x±b)=0的形式，解得x=∓a或∓b②公式法求解一元二次方程公式法：x=−b±√b2−4ac2a③因式分解法求解一元二次方程因式分解法：{(a±b)2=a2+b2±2ab a2−b2=(a−b)(a+b)④一元二次方程的根与系数的关系关系：x1+x2=−ba ；x1∙x2=ca⑤应用一元一次方程应用题第二章一元二次方程测试1（拔高题）1、下列方程为一元二次方程，求a的取值范围或者具体值：①2ax2−2bx+a=4x2②(a−1)x|a|+1−2x−7=0③ax2+6x+1=0没有实数根2、已知一元二次方程x2+k+3=0有一个根为1，则k的值为.3、已知一元二次方程为5x2+x=0，其中二次项系数为，一次项系数为，常数项为，x1x2=，x1+x2=.x2+3x−2=0 的两根，则(x1−x2)2的值为.4、设x1与x2为一元二次方程−125、关于x的一元二次方程x2−(k−3)x−k+1=0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．实数根的个数由k的值确定6、已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2−m=0的两实数根为x1，x2，且满足x1x2=2，则x1+x2的值为（）A．4B．−4C．4或−2D．−4或27、配方法解方程x2+6x+9=23x2−2=5x8、公式法解方程(x−2)(3x−5)=19x2+6x+1=49、直接开平方法解方程2(x−1)2 −18=010、因式分解法解方程3x(x−1)=3(x+2)(1−x)3(4−x)2=x2−16(1−2x)(x−8)=8x−411、如图，在矩形ABCD 中，AB =10 cm ，AD =8 cm ，点P 从点A 出发沿AB 以2cm /s 的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发沿BC 以1cm /s 的速度向点C 运动，点P 到达终点后，P ，Q 两点同时停止运动。
2021年北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程单元综合培优训练2(附答案)
2021年北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程单元综合培优训练1（附答案） 1．已知()m 1m 2x30-++=为一元二次方程式，则m 的值为（ ） A ．2 B ．2- C ．2或2?- D ．以上都不对 2.已知2是关于x 的方程x 2－(m ＋1)x ＋m ＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为( )A ．6B ．4C ．5D ．4或53．一元二次方程22310x x ++=用配方法解方程，配方结果是（ ）A ．2312()048x --= B ．2312()048x +-= C ．231()048x --= D ．231()048x +-= 4.小明在解方程x 2－4x －15＝0时，他是这样求解的：移项，得x 2－4x ＝15，两边同时加4，得x 2－4x ＋4＝19，∴x －2＝x －2＝x 1＝2x 2＝2这种解方程的方法称为( )A ．待定系数法B ．配方法C ．公式法D ．因式分解法 5．已知实数x 满足22110x x x x +++=，那么1x x +的值是（ ） A ．1或﹣2 B ．﹣1或2C ．1D ．﹣2 6．方程x 2＝4的解是( )A ．x 1＝4，x 2＝－4B ．x 1＝x 2＝2C ．x 1＝2，x 2＝－2D ．x 1＝1，x 2＝4 7．一元二次方程x 2+3x =0的根为（ ）A ．﹣3B ．3C ．0，3D ．0，﹣38．为了让某市的山更绿、水更清，2014年市委、市政府提出了确保到2016年实现全市森林覆盖率达到63%的目标，已知2014年该市森林覆盖率为60%．设从2014年起森林覆盖率的年平均增长率为x ，则可列方程（ ）A ．60（1+2x ）=63%B ．60（1+2x ）=63C ．60（1+x ）2=63%D ．60（1+x ）2=639．若(1－a )x 2＋bx ＋c ＝0是关于x 的一元二次方程，则( )A ．a ＝0B ．a ≠0C ．a ≠1D ．a ≠－110．若m 为有理数，且方程2x 2＋（m ＋1）x-（3m 2-4m+n ）=0的根为有理数，则n 的值为 （ ）．A ．4；B ．1；C ．-2；D ．-6．11．方程（2x+1）（x－3）=x2 +1化为一般形式为_______，二次项系数、一次项系数、常数项的和为_______.12．已知关于x的方程()22mx1m x04+-+=有两个相等的实数根，则m的值是________．13．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈=10尺），如果设门的宽为x尺，那么这个门的高为（x+6）尺，根据题意得方程：_____．14．把一个正方形的一边增加，另一边增加，得到矩形面积的倍比正方形面积多，则原正方形边长为________．15．方程x2＋2|x|－1＝0的根为________________．16．若2是方程x2﹣2kx+3=0的一个根，则方程的另一根为______．17．关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围________．18．用换元法解方程2231512x xx x-+=-，设y=21xx-，那么原方程化为关于y的整式方程是_____．19．已知方程x2－3x＋m＝0的一个根是1，则它的另一个根是___，m的值为___．. 20．已知关于x的一元二次方程220x kx k++-=的一个根是2，那么这个方程的另一个根是___________。
北师大版九年级上册数学第二章测试题及答案
北师大版九年级上册数学第二章测试题及答案(考试时间：120分钟 满分：120分)第Ⅰ卷(选择题 共18分)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)1．用配方法解一元二次方程x 2＋4x －5＝0，此方程可变形为( A )A ．(x ＋2)2＝9B ．(x －2)2＝9C ．(x ＋2)2＝1D ．(x －2)2＝12．若方程x 2－3kx ＋k ＋1＝0的两根之积为2，则( D )A ．k ＝2B ．k ＝－1C ．k ＝0D ．k ＝13．关于x 的方程(m ＋1)x 2＋2mx －3＝0是一元二次方程，则m 的取值是( C )A ．任意实数B ．m ≠1C ．m ≠－1D ．m ＞14．(衡阳中考)绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米，设绿地的宽为x 米，根据题意，可列方程为( B )A ．x (x －10)＝900B ．x (x ＋10)＝900C ．10(x ＋10)＝900D ．2[x ＋(x ＋10)]＝9005．菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长为方程y 2－7y ＋10＝0的一个根，则菱形ABCD 的周长为( B )A ．8B ．20C ．8或20D ．106．如果关于x 的一元二次方程kx 2－2k ＋1x ＋1＝0有两个不相等的实根，则k 的取值范围是( D )A ．－12≤k ＜12B ．k ≠0C ．k ＜12且k ≠0D ．－12≤k ＜12且k ≠0 第Ⅱ卷(非选择题 共102分)二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．已知方程3x 2－9x ＋m ＝0的一个根是1，则m 的值 6 .8．已知关于x 的一元二次方程(m －2)x 2＋3x ＋m 2－4＝0的常数项为0，则m 的值为__－2 .9．已知x 为实数，且满足(x 2＋3x )2＋2(x 2＋3x )－3＝0，则x 2＋3x 的值为 1 .10．三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x 2－13x ＋40＝0的根，则该三角形的周长为 12 .11．某种T 恤衫，平均每天销售40件，每件盈利20元．若每降价1元，则每天可多售出10件．如果每天盈利1 400元，那么每件应降价 6或10 元．12．(成都中考)已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－5x ＋a ＝0的两个实数根，且x 21－x 22＝10，则a ＝ 214.三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．解方程：(1)(2017·兰州)2x 2－4x －1＝0；解：原方程可化为(x －1)2＝32， ∴x 1＝1＋62，x 2＝1－62； (2)(山西中考)2(x －3)2＝x 2－9.解：2(x －3)2－(x ＋3)(x －3)＝0，(x －3)(2x －6－x －3)＝0，(x －3)(x －9)＝0，x －3＝0或x －9＝0，∴x 1＝3，x 2＝9.14．(巴中中考)定义新运算：对于任意实数m ，n 都有m ☆n ＝m 2n ＋n ，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算，例如：－3☆2＝(－3)2×2＋2＝20.根据以上知识解决问题：若2☆a 的值小于0，请判断方程2x 2－bx ＋a ＝0的根的情况．解：∵2☆a 的值小于0，∴22a ＋a ＝5a ＜ 0，解得a ＜ 0.在方程2x 2－bx ＋a ＝0中，Δ＝(－b)2－8a ≥ －8a ＞ 0，∴方程2x 2－bx ＋a ＝0有两个不相等的实数根．15.已知关于x 的方程x 2＋2x ＋a －2＝0.(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围；(2)当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根．解：(1)依题意有Δ＝22－4(a －2)＞ 0，解得a ＜ 3；(2)依题意得1＋2＋a －2＝0，解得a ＝－1，∴原方程为x 2＋2x －3＝0.∴x ＝－2±4－4× 1× （－3）2× 1＝－2±162， 即x 1＝1，x 2＝－3，∴a ＝－1，方程的另一根为－3.16．一个直角三角形的斜边为4 5 cm ，两条直角边的长相差4 cm ，求这个直角三角形两条直角边的长．解：设其中一条较长的直角边长为x cm ， 则另一条直角边长为(x －4) cm.根据题意，得x 2＋(x －4)2＝(45)2，解得x 1＝－4(舍去)，x 2＝8.∴x －4＝4.∴两条直角边的长分别为4 cm ，8 cm.17．某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份的营业额的月平均增长率．解：3月份到5月份月增长是经过2次增长，平均月增长率是每次增长的百分数相同．设平均月增长率为x，则5月份的营业额是：3月份的营业额× (1＋x)2，因此，应先求3月份的营业额．显然，3月份的营业额是2月份的营业额×(1＋10%)＝400(1＋10%)＝440，故依题意，得440(1＋x)2＝633.6，(1＋x)2＝1.44，两边直接开平方，得1＋x＝± 1.2，所以x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．故3月份到5月份的营业额的月平均增长率为20%.四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．(菏泽中考)某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20 000元？解：设销售单价为x，则：(x－360)[160＋2(480－x)]＝20 000，∴x2－920x＋211 600＝0，解得x1＝x2＝460.答：这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20 000元．19．(十堰中考)已知关于x的一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＋2＝0.(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；(2)若方程两实数根分别为x1，x2，且满足x21＋x22＝31＋|x1x2|，求实数m的值．解：(1)Δ＝b2－4ac＝[－(2m＋3)]2－4(m2＋2)＝12m＋1，∵方程有实数根，∴12m＋1≥ 0，解得m≥－1 12.(2)∵x1，x2是方程x2－(2m＋3)x＋m2＋2＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝2m＋3，x1x2＝m2＋2＞0.∵x21＋x22＝31＋x1x2，∴(x1＋2)2－2x1x2＝31＋x1x2，∴(2m＋3)2－2(m2＋2)＝31＋m2＋2，∴m2＋12m－28＝0，解得m1＝2，m2＝－14.∵m≥－112，∴m＝2.20.中秋节前夕，旺客隆超市采购了一批土特产，根据以往销售经验，每天的售价与销(1)求y与x的函数表达式；(2)如果这种土特产的成本价是20元/kg，为使某一天的利润为780元，那么这一天的销售价应为多少元？(利润＝销售总金额－成本)解：(1)∵y与x是一次函数关系．∴设y 与x 之间的函数表达式是y ＝kx ＋b(k ≠0)．根据题意，得⎩⎨⎧20k ＋b ＝86，35k ＋b ＝56，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝126. 所以，所求的函数表达式是y ＝－2x ＋126.(2)设这一天的销售价为x 元/kg, 根据题意，得(x －20)(－2x ＋126)＝780.整理，得x 2－83x ＋1 650＝0，解得x 1＝33，x 2＝50.答：这一天的销售价应为33元/kg 或50元/kg.五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．已知关于x 的一元二次方程(a ＋c )x 2＋2bx ＋a －c ＝0，其中a ，b ，c 分别为△ABC 三边的长．(1)如果x ＝－1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由．解：(1)△ABC 是等腰三角形．理由如下：∵x ＝－1是方程的根，∴将x ＝－1代入得(a ＋c)× (－1)2－2b ＋a －c ＝0，∴a ＋c －2b ＋a －c ＝0，∴a －b ＝0，∴a ＝b ，∴△ABC 是等腰三角形；(2)△ABC 是直角三角形．理由如下：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝(2b)2－4(a ＋c)(a －c)＝0，∴4b 2－4a 2＋4c 2＝0，∴a 2＝b 2＋c 2，∴△ABC 是直角三角形．22．某单位于“三·八”妇女节期间组织女职工到温泉“星星竹海”观光旅游．下面是领队与旅行社导游收费标准的一段对话：领队：组团去“星星竹海”旅游每人收费是多少？导游：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元．领队：超过25人怎样优惠呢？导游：如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元．该单位按旅行社的收费标准组团浏览“星星竹海”结束后，共支付给旅行社2 700元． 请你根据上述信息，求该单位这次到“星星竹海”观光旅游的共有多少人？ 解：设该单位这次参加旅游的共有x 人，∵100× 25＜ 2 700，∴x ＞ 25.依题意，得[100－2(x －25)]x ＝2 700，整理，得x 2－75x ＋1 350＝0.解得x 1＝30，x 2＝45.当x ＝30时，100－2(x －25)＝90＞ 70，符合题意．当x ＝45时，100－2(x －25)＝60＜ 70，不符合题意，舍去．∴x ＝30.答：该单位这次参加旅游的共有30人．六、(本大题共12分)23．如图，在△ABC 中，AB ＝6 cm ，BC ＝7 cm ，∠ABC ＝30°，点P 从A 点出发，以1 cm/s 的速度向B 点移动，点Q 从B 点出发，以2 cm/s 的速度向C 点移动．如果P ，Q 两点同时出发：(1)经过几秒后△PBQ 的面积等于4 cm 2?(2)当△PBQ 的面积等于4 cm 2时，△PBQ 是什么形状的三角形？解：(1)如图，过点Q 作QE ⊥PB 于E ，则∠QEB ＝90°.∵∠ABC ＝30°，∴2QE ＝QB.∴S △PBQ ＝12·PB·QE. 设经过t s 后△PBQ 的面积等于4 cm 2，则PB ＝6－t ，QB ＝2t ，QE ＝t.根据题意，12·(6－t)·t ＝4. t 2－6t ＋8＝0，t 1＝2，t 2＝4.当t ＝4时，2t ＝8，8＞ 7，不合题意舍去，所以t ＝2.答：经过2 s 后△PBQ 的面积等于4 cm 2.(2)∵△PBQ 的面积等于4 cm 2时，t ＝2，∴PB ＝6－t ＝6－2＝4，QB ＝2t ＝4，∴QB ＝PB ，∴△PBQ 是等腰三角形．。
北师大版九年级上册数学第二章检测试题(附答案)
北师大版九年级上册数学第二章检测试题（附答案）一、单选题（共12题；共24分）1.下列方程中，属于一元二次方程的是（）A. B. C. D.2.方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是( )A. x2－5x+5=0B. x2+5x+5=0C. x2+5x－5=0D. x2+5=03.一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2，则p的值为（）A. 1B. 2C. -1D. -24.两圆的半径分别为R和r，圆心距为1，且R、r分别是方程的两个根，则两圆的位置关系是（）A. 相交B. 外切C. 内切D. 外离5.某商店四月份的利润为6.3万元，此后两个月进入淡季，利润均以相同的百分比下降，至六月份利润为5.4万元．设下降的百分比为x，由题意列出方程正确的是（）A. 5.4（1+x）2=6.3B. 5.4（1﹣x）2=6.3C. 6.3（1+x）2=5.4D. 6.3（1﹣x）2=5.46.把一块长80mm、宽60mm的铁皮的4个角分别剪去一个边长相等的小正方形，做成一个底面积是1500mm2的无盖铁盒．若设小正方形的边长为x mm，下面所列的方程中，正确的是（）A. （80﹣x）（60﹣x）=1500B. （80﹣2x）（60﹣2x）=1500C. （80﹣2x）（60﹣x）=1500D. （80﹣x）（60﹣2x）=15007.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2-4x+3=0的根，则该三角形的周长可以是（）A. 5B. 7C. 5或7D. 108.若α、β为方程的两个实数根，则的值为（）。
A. B. 12 C. 14 D. 159.若方程是一元二次方程，则m的值为（）A. 0B. ±1C. 1D. –110.下面结论错误的是（）A. 方程x2+4x+5=0，则x1+x2=﹣4，x1x2=5B. 方程2x2﹣3x+m=0有实根，则m≤C. 方程x2﹣8x+1=0可配方得（x﹣4）2=15D. 方程x2+x﹣1=0两根x1=，x2=11.已知关于x的一元四次方程x4+px2+qx+r=0有三个相等的实根和另一个与之不同的实根，则下列三个命题中真命题有（）个①p+q=r可能成立；②p+r=q可能成立；③q+r=p可能成立．A. 1B. 2C. 3D. 412.如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数y=（x>0）的图像上，则点E的坐标为（）A. (,)B. （1,）C. （2,）D. （,)二、填空题（共6题；共14分）13.一元二次方程的二次项系数是________.14.某水果店销售一种进口水果，其进价为每千克40元，若按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克．水果店想要能尽可能让利于顾客，赢得市场，又想要平均每天获利2090元，则该店应降价________元出售这种水果．15.去年2月“蒜你狠”风潮又一次来袭，某市蔬菜批发市场大蒜价格猛涨，原来单价4元/千克的大蒜，经过2月和3月连续两个月增长后，价格上升很快，物价部门紧急出台相关政策控制价格，4月大蒜价格下降了36%，恰好与涨价前的价格相同，则2月，3月的平均增长率为________．16.已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是________．17.已知方程x2+100x+10=0的两根分别为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2的值等于________．18.方程：（2x+1）（x-1）=8（9-x）-1的根为________。