人教版数学高一学案第三章章末复习课

章末复习课网络构建核心归纳1．两角和与差的正余弦、正切公式 cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β2．倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos αcos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α tan 2α＝2tan α1－tan 2α3．半角公式 sin α2＝±1－cos α2 cos α2＝±1＋cos α2tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α4．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，tan φ＝baa sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2cos(x －φ)，tan φ＝ab要点一 三角函数式的化简三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一个环节，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．【例1】 化简：(1)(1＋sin θ＋cos θ)⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0<θ<π)；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan α2－tan α2·⎝⎛⎭⎫1＋tan α·tan α2． 解 (1)原式＝⎝⎛⎭⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ24cos 2θ2＝cos θ2⎝⎛⎭⎫sin 2θ2－cos 2θ2⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2·cos θ⎪⎪⎪⎪cos θ2．因为0<θ<π， 所以0<θ2<π2，所以cos θ2>0，所以原式＝－cos θ．(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2sin α2－sin α2cos α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin αcos α·sin α2cos α2＝cos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2·cos αcos α2＋sin αsinα2cos αcos α2＝2cos αsin α·cos α2cos αcosα2＝2sin α． 【训练1】 化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ．解 原式＝－2sin 2x cos 2x ＋122sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x＝12(1－sin 22x )2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝12cos 22x sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x＝12cos 2x ． 要点二 三角函数求值 三角函数求值的三种情况(1)“给角求值”：一般给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．【例2】 (1)sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( )A ．－12B ．12C ．32D ．－32解析 原式＝sin 70°sin 20°cos 310°＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12．答案 B(2)已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝( )A ．－255B ．－3510C ．－31010D ．255解析 因为tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12，所以tan α＝－13，因为－π2<α<0，所以sin α＝－1010， 则2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)＝2sin α(sin α＋cos α)22(cos α＋sin α)＝22sin α＝－255．答案 A【训练2】 已知sin(π4－α)＝513，0<α<π4，求cos 2αcos (π4＋α)的值．解 ∵cos(π4＋α)＝sin(π4－α)＝513，0<α<π4，∴sin(α＋π4)＝1213，又∵cos 2α＝sin(π2＋2α)＝sin2(π4＋α)，∴cos 2αcos (π4＋α)＝2sin (π4＋α)cos (π4＋α)cos (π4＋α)＝2sin(π4＋α)＝2413.利用三角恒等变换研究函数性质的方法步骤： (1)运用和、差、倍角公式化简；(2)统一把f (x )化成f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx ＋k 的形式；(3)利用辅助角公式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，研究其性质． 方向1 利用三角恒等变换研究函数的性质【例3-1】 已知函数f (x )＝cos x sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34，x ∈R ．(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间上的最大值和最小值．解 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·(12sin x ＋32cos x )－3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin(2x －π3)． 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π．(2)∵－π4≤x ≤π4，∴－5π6≤2x －π3≤π6，∴－1≤sin(2x －π3)≤12，∴－12≤f (x )≤14，所以，函数f (x )在闭区间上的最大值为14，最小值为－12．方向2 三角恒等变换与向量的综合应用【例3-2】 已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255． (1)求cos(α－β)的值；(2)若－π2<β<0<α<π2，且sin β＝－513，求sin α的值．解 (1)因为向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)， |a －b |＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2－2cos (α－β)＝255，所以2－2cos(α－β)＝45，所以cos(α－β)＝35．(2)因为0<α<π2，－π2<β<0，所以0<α－β<π，因为cos(α－β)＝35，所以sin(α－β)＝45，且sin β＝－513，cos β＝1213，所以sin α＝sin ＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)·sin β＝45×1213＋35×(－513)＝3365．【训练3】 已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图象过点(π12，3)和点(2π3，－2)．(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．解 (1)由题意知f (x )＝a ·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x ． 因为y ＝f (x )的图象过点(π12，3)和(2π3，－2)，所以⎩⎨⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎨⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin(2x ＋π6)．由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin(2x ＋2φ＋π6)．设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)， 由题意知x 20＋1＝1， 所以x 0＝0，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)． 将其代入y ＝g (x )得sin(2φ＋π6)＝1，因为0<φ<π，所以φ＝π6，因此g (x )＝2sin(2x ＋π2)＝2cos 2x ．由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为，k ∈Z ．。