微积分基础知识[优质ppt]
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微积分基础知识PPT演示课件
A lim f ( i )xi
0 i 1
6
4)无穷级数
1 1 1 1 1 lim n n 2 2 4 2 4 1 1 (1 n ) 2 1 lim 2 n 1 1 2
1 2n
7
具备的数学素质：
从实际问题抽象出数学模型的能力
1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分 (上册) 多元微积分 (下册) 3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程
2
三、如何学习高等数学 ?
1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.会运用 数学能力。
一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .
y a0 a1 x an x 为初等函数
n
y a0 a1x an x 不是初等函数
n
y e sin x 1
x 2
x y x 1 y x, x,
x0 不是初等函数 x0 x 0 可表为 2 故为初等函数. y x , x0 20
１． 定义 设数集 D，若存在对应法则 f ，使对 x D ， 存在唯一确定 y M R 与之对应，则称 f 是定义在数集Ｄ 上的函数。记作 f : D M ( x | y ). 函数 f 在点 x 的函数值，记为 f ( x ) ， 全体函数值的集合称为函数 f 的值域，记作 f ( D) 。 即 f ( D) y | y f ( x), x D 。
o
x
-1
x sgn x x
13
(2) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 x 的最大整数 4 3 2 1 o
微积分ppt课件
和趋势。
02
微积分在机器学习中的应用
利用微积分优化算法，提高机器学习的效率和准确性。
03
微积分在金融工程中的应用
研究微积分在金融衍生品定价、风险管理等领域的应用，推动金融工程
的发展。
THANKS
感谢观看
用微积分解决经济学问题
总结词
微积分在经济学中用于研究经济现象的变化规律和优 化资源配置。
详细描述
在经济学中，微积分被用于分析边际成本、边际收益、 边际效用等问题，以及研究经济增长、通货膨胀、供需 关系等经济现象的变化规律。此外，微积分还可以用于 优化生产和分配资源，提高经济效率。
06
微积分的未来发展与展望
微积分与其他学科的交叉研究
微积分与物理学的交叉
01
研究微积分在解决物理问题中的应用，如流体力学、电磁学等
领域的数学模型。
微积分与经济学的交叉
02
探讨微积分在经济学理论和应用方面的作用，如最优控制理论
、动态规划等。
微积分与计算机科学的交叉
03
研究微积分在算法设计、数据科学、人工智能等领域的应用。
微积分的未来发展方向
上的整体性质，如求面积、体积等。
微积分提供了研究函数和解决实际问题的有效工具， 是高等数学的重要基础。
微积分的发展历史
17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微 积分学，为微积分的发展奠定了基础。
19世纪，柯西、黎曼等数学家对微积分的概念和基 础进行了深入的研究和探讨，进一步完善了微积分理
论。
微积分的发展经历了漫长的过程，最早可以追 溯到古代数学家对面积、体积等问题的研究。
1 2
微积分的理论深化
进一步探索微积分的数学原理，发展新的理论和 方法。
大学微积分课件(PPT幻灯片版)pptx
高阶导数计算
高阶导数的计算一般采用归纳法 或莱布尼茨公式等方法进行求解。 需要注意的是，在计算过程中要 遵循求导法则和运算顺序。
应用举例
高阶导数在物理学、工程学等领 域有着广泛的应用。例如，在物 理学中，加速度是速度的一阶导 数，而速度是位移的一阶导数； 在工程学中，梁的挠度是荷载的 一阶导数等。
03 一元函数积分学
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点 $(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
求导法则与技巧总结
基本求导法则
包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导 数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。
求导技巧
连续性与可微性关系
连续性
函数在某一点连续意味着函数在 该点有定义，且左右极限相等并 等于函数值。连续性是函数的基 本性质之一。
可微性
函数在某一点可微意味着函数在 该点的切线斜率存在，即函数在 该点有导数。可微性反映了函数 局部变化的快慢程度。
连续性与可微性关
系
连续不一定可微，但可微一定连 续。即函数的连续性是可微性的 必要条件，但不是充分条件。
历史发展
微积分起源于17世纪，由牛顿和莱布尼 茨独立发展。经过数百年的完善，已成 为现代数学的重要基础。
极限思想与运算规则
极限思想
极限是微积分的基本概念，表示函数在某一点或无穷远处的变 化趋势。通过极限思想，可以研究函数的局部和全局性质。
运算规则
极限的运算包括极限的四则运算、复合函数的极限、无穷小量 与无穷大量的比较等。这些规则为求解复杂函数的极限提供了 有效方法。
高等数学(微积分)ppt课件
，且f'(x0)=0，则可通过二阶导数 f''(x0)的符号来判断f(x)在x0处取得极大值还是极小值。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
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非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
微积分讲解ppt课件
多元函数的表示 方法
多元函数可用记号 f(x1,x2,…,xn)或z=f(x,y) 表示。
多元函数的定义 域
使多元函数有意义的自 变量组合(x1,x2,…,xn) 的集合。
多元函数的值域
多元函数所有值的集合 。
偏导数与全微分
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x的偏导数。
齐次方程法
通过变量替换，将齐次方程转化为可分离变 量的形式
一阶线性微分方程法
利用积分因子，将方程转化为可积分的形式
二阶常微分方程解法
可降阶的二阶微分方程
通过变量替换或分组，将方程降为一阶微分方 程求解
二阶线性微分方程法
利用特征根的性质，求解二阶线性常系数齐次 和非齐次微分方程
常系数线性微分方程组法
在经济学中的应用
边际分析
通过求导计算边际成本、边际收益等，为企业的决策 提供依据。
弹性分析
研究价格、需求等经济变量之间的相对变化关系，微 积分可用于计算弹性系数。
最优化问题
在资源有限的情况下，通过微积分求解最大化或最小 化某一经济指标的问题。
在工程学中的应用
结构力学
分析建筑、桥梁等结构的受力情况和稳定性，微积分可用 于求解复杂的力学方程。
通过消元法或特征根法，求解常系数线性微分方程组
05
多元函数微积分
多元函数的基本概念
多元函数的定义
设D为一个非空的n元有 序数组的集合，f为某一 确定的对应规则。若对 于每一个有序数组 (x1,x2,…,xn)∈D，通过 对应规则f，都有唯一确 定的实数y与之对应， 则称对应规则f为定义在 D上的n元函数。
微积分初步ppt课件
设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切 线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程.
25
微分学: 积分学:
[F( x)]' ( ? ) 互逆问题 ( ? ) f ( x)
26
不定积分的概念和性质 一、原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、 不定积分的性质
Hale Waihona Puke 27一、原函数与不定积分的概念
例3 证明近似公式： ex 1 x（当x 很小时） 证明 令f (x) e x，取x0 0, x x，
由公式f (x0 x) f (x0 ) f (x0 )x得 e x f (0 x) f (0) f (0)x e0 e0 x 1 x.
类似地，可以证明当 x 较小时有下面近似公式
①求 f (x) 。 ②令 f (x) 0 ，求一阶驻点。 ③分区间讨论 f (x) 的正负号，确定单调区间
进而确定极值点。
④将极值点代入f(x)算出极值。
11
函数的极值: 请注意几点
(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点 的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不 意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是 说极值与最值是两个不同的概念.
（1）n 1 x 1 x n
(3) tan x x
(2) sin x x (4) ln(1 x) x
23
微分学问题：已知变速直线运动方程s s t , 求瞬时速度v t .
已知曲线方程y x2 1，求过点1，2的
切线方程.
积分学问题： 已知瞬时速度v t , 求变速直线运动方程s st .
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端
点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点
25
微分学: 积分学:
[F( x)]' ( ? ) 互逆问题 ( ? ) f ( x)
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不定积分的概念和性质 一、原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、 不定积分的性质
Hale Waihona Puke 27一、原函数与不定积分的概念
例3 证明近似公式： ex 1 x（当x 很小时） 证明 令f (x) e x，取x0 0, x x，
由公式f (x0 x) f (x0 ) f (x0 )x得 e x f (0 x) f (0) f (0)x e0 e0 x 1 x.
类似地，可以证明当 x 较小时有下面近似公式
①求 f (x) 。 ②令 f (x) 0 ，求一阶驻点。 ③分区间讨论 f (x) 的正负号，确定单调区间
进而确定极值点。
④将极值点代入f(x)算出极值。
11
函数的极值: 请注意几点
(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点 的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不 意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是 说极值与最值是两个不同的概念.
（1）n 1 x 1 x n
(3) tan x x
(2) sin x x (4) ln(1 x) x
23
微分学问题：已知变速直线运动方程s s t , 求瞬时速度v t .
已知曲线方程y x2 1，求过点1，2的
切线方程.
积分学问题： 已知瞬时速度v t , 求变速直线运动方程s st .
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端
点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点
高等数学微积分第一章函数及其图形(共44张PPT)
如果A，B互相包含，即A B且B A，则称A与B相等，记为A=B。
如果把 y看作自变量，x 看作因变量，按照函数的定义就得到一个新的函数，这个新函数称为函数y=f(x)的反函数，记作 x=j(y)。
解: 要使函数有意义，必须x 0，且x2-4³0。
如果A，B互相包含，即A B且B A，则称A与B相等，记为A=B。
1
O
x
3．对数函数
指数函数y=ax的反函数叫做对数函数，记为
y=logax(a>0，a 1)． 对数函数的定义域是区间(0，+ )．
单调性：
若a>1，则logax单调增加； 若0<a<1，则logax单调减少．
性质见书P34
y y=ax
1
O
y=logxax
a>1
4．三角函数
U(a)。 设>0，则称区间(a-, a+)为点a 的邻域，记作U(a, )，
即 U(a, ) ={x|a-<x<a+} ={x| |x-a|<}。
其中点 a 称为邻域的中心, 称为邻域的半径。
O a-
a+ x
去心邻域:
U
(a,)
={x
|0<|
x-a
|<}。
O a- a a+ x
左（右）邻域、M领域的概念见书中第七页。
bx
[a, b]={x|axb}称为闭区间。
[a， b]
Oa
bx
[a, b)={x|ax<b}及 (a, b]={x|a<xb}称为
半开区间。 [a， b)
Oa
bx
(a， b]
Oa
bx
微积分ppt
其中 , 为任意常数.
积分举例 例4 求积分
x 1 dx.
3
x2
解 先将 x 1 展开, 然后再利用积分公式及运算法
3
则, 得
3 1 x3 3x 2 3x 1 dx x 3 2 dx 2 x2 dx x x x x2 1 3x 3ln x C. 2 x
也是 f ( x) 的原函数.其中 C 为任意常数; 并且 f ( x) 的 原函数一定可写成 F ( x) C 的形式.
2.不定积分 由上面的讨论, 可得到如下定义. 定义 在区间 I上, 函数 f ( x) 的带有任意常数的原函数,
称为 f ( x) 在区间 I 上的不定积分, 记作
即 f x dx F x C, 其中 F ( x) 是 f ( x) 的原函数.
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
3.基本积分公式
1 0dx C.
dx 3 ln x C x dx arcsin x C. 5 1 x2
1 x 2 x C 1 . dx 1 dx arctan x C. 4 2 1 x
cos x sin x.
又如,
1 ln x 1 x 2 , 1 x2
故,
1 1 x
2 ln x 1 x . 的原函数为 2
我们知道, 对函数而言, 如果导函数存在的话, 导函 数是唯一的, 但某个函数的原函数是否唯一呢？为此,
线过 1, 2 代入曲线方程得 C 1, 故所求曲线的方程为
y x 1.
积分举例 例4 求积分
x 1 dx.
3
x2
解 先将 x 1 展开, 然后再利用积分公式及运算法
3
则, 得
3 1 x3 3x 2 3x 1 dx x 3 2 dx 2 x2 dx x x x x2 1 3x 3ln x C. 2 x
也是 f ( x) 的原函数.其中 C 为任意常数; 并且 f ( x) 的 原函数一定可写成 F ( x) C 的形式.
2.不定积分 由上面的讨论, 可得到如下定义. 定义 在区间 I上, 函数 f ( x) 的带有任意常数的原函数,
称为 f ( x) 在区间 I 上的不定积分, 记作
即 f x dx F x C, 其中 F ( x) 是 f ( x) 的原函数.
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
3.基本积分公式
1 0dx C.
dx 3 ln x C x dx arcsin x C. 5 1 x2
1 x 2 x C 1 . dx 1 dx arctan x C. 4 2 1 x
cos x sin x.
又如,
1 ln x 1 x 2 , 1 x2
故,
1 1 x
2 ln x 1 x . 的原函数为 2
我们知道, 对函数而言, 如果导函数存在的话, 导函 数是唯一的, 但某个函数的原函数是否唯一呢？为此,
线过 1, 2 代入曲线方程得 C 1, 故所求曲线的方程为
y x 1.
大学微积分课件(PPT版)
微分方程是包含未知函数及其导数的等式。
微分方程的解
满足微分方程的函数称为微分方程的解。
一阶微分方程
一阶线性微分方程
形如y'=f(x)y' = f(x)y'=f(x)y=f(x)的一阶微 分方程，可以通过分离变量法求解。
一阶非线性微分方程
形如y'=f(y/x)y' = f(y/x)y'=f(y/x)的一阶微 分方程，可以通过变量代换法求解。
定积分的计算
计算方法与技巧
定积分的计算是微积分中的重要技能。常用的计算方法包括换元法、分部积分法、牛顿-莱布尼兹公 式等。通过这些方法，可以将复杂的定积分转化为易于计算的形式。
反常积分
概念与计算方法
VS
反常积分分为无穷积分和瑕积分两种 类型。对于无穷积分，需要讨论其在 有限的区间上收敛的情况；对于瑕积 分，需要讨论其在某一点附近的收敛 情况。反常积分的计算方法与定积分 的计算方法类似，但需要注意收敛的 条件。
极限与连续性
极限的定义与性质
极限的定义
极限是描述函数在某点附近的变化趋势 的一种数学工具。对于函数$f(x)$，如果 当$x$趋近于$a$时，$f(x)$的值趋近于 某个确定的常数$L$，则称$L$为函数 $f(x)$在点$a$处的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性和 局部有界性等性质。这些性质有助于 我们更好地理解极限的概念和应用。
连续函数的图像
连续函数的图像是连续不断的曲线。在微积分中，我们经常需要研究连续函数的性质和 变化规律，以便更好地解决实际问题。
03
导数与微分
导数的定义与性质
要点一
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜 率。
微分方程的解
满足微分方程的函数称为微分方程的解。
一阶微分方程
一阶线性微分方程
形如y'=f(x)y' = f(x)y'=f(x)y=f(x)的一阶微 分方程，可以通过分离变量法求解。
一阶非线性微分方程
形如y'=f(y/x)y' = f(y/x)y'=f(y/x)的一阶微 分方程，可以通过变量代换法求解。
定积分的计算
计算方法与技巧
定积分的计算是微积分中的重要技能。常用的计算方法包括换元法、分部积分法、牛顿-莱布尼兹公 式等。通过这些方法，可以将复杂的定积分转化为易于计算的形式。
反常积分
概念与计算方法
VS
反常积分分为无穷积分和瑕积分两种 类型。对于无穷积分，需要讨论其在 有限的区间上收敛的情况；对于瑕积 分，需要讨论其在某一点附近的收敛 情况。反常积分的计算方法与定积分 的计算方法类似，但需要注意收敛的 条件。
极限与连续性
极限的定义与性质
极限的定义
极限是描述函数在某点附近的变化趋势 的一种数学工具。对于函数$f(x)$，如果 当$x$趋近于$a$时，$f(x)$的值趋近于 某个确定的常数$L$，则称$L$为函数 $f(x)$在点$a$处的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性和 局部有界性等性质。这些性质有助于 我们更好地理解极限的概念和应用。
连续函数的图像
连续函数的图像是连续不断的曲线。在微积分中，我们经常需要研究连续函数的性质和 变化规律，以便更好地解决实际问题。
03
导数与微分
导数的定义与性质
要点一
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜 率。
微积分入门精华课件
n
1 6
1
1 n
2
1 n
1. 3
五、定积分 的性质
性质1
b[ a(
x)]dx
b
a
f
(
x)dx
b
a
g(
x)dx
.
证
b
a[
f
(
x)
g(
x)]dx
n
lim
0
[
i 1
f
(i
)
g(i
)]xi
n
n
lim
0
(i )xi
n
n
lim k 0 i1
f (i )xi
k lim 0 i1
f (i )xi
b
k a f ( x)dx.
趋近于零 ( x 0或者 0) 时，
n
曲边梯形面积为
A
lim
0
i 1
f
(i )xi
实例2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度v v(t)是 时 间 间 隔 [T1 ,T2 ]上 t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v(t) 0，求物体在这段时间内所经过的路程.
定积分
第一节 定积分的概念与性质
一、问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积）
y
曲边梯形由连续曲线
y f (x)
y f ( x)( f ( x) 0)、
x轴与两条直线x a 、
x b所围成.
A?
oa
bx
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
1 6
1
1 n
2
1 n
1. 3
五、定积分 的性质
性质1
b[ a(
x)]dx
b
a
f
(
x)dx
b
a
g(
x)dx
.
证
b
a[
f
(
x)
g(
x)]dx
n
lim
0
[
i 1
f
(i
)
g(i
)]xi
n
n
lim
0
(i )xi
n
n
lim k 0 i1
f (i )xi
k lim 0 i1
f (i )xi
b
k a f ( x)dx.
趋近于零 ( x 0或者 0) 时，
n
曲边梯形面积为
A
lim
0
i 1
f
(i )xi
实例2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度v v(t)是 时 间 间 隔 [T1 ,T2 ]上 t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v(t) 0，求物体在这段时间内所经过的路程.
定积分
第一节 定积分的概念与性质
一、问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积）
y
曲边梯形由连续曲线
y f (x)
y f ( x)( f ( x) 0)、
x轴与两条直线x a 、
x b所围成.
A?
oa
bx
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
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绪论
考核形式
80 考试（５学分） 作业问题
课前预习、重点听讲、简记笔记、 整理咀嚼、后作练习
1
参考书目
＜微积分学习指导＞ ＜高等数学＞ 同济大学数学系 编（高等教育出版社）
2
主要内容
1. 基础: 函数ห้องสมุดไป่ตู้, 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分 (上册)
多元微积分 (下册) 3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程
单调增函数 ;
若 f(x 1 )f(x 2 ),称 f (x) 为 I 上的
单调减函数 .
y
x1 x2 x
18
(3) 奇偶性
xD,且有 xD,
若 f(x)f(x),则称 f (x) 为偶函数;
y
若 f( x)f(x),则称 f (x) 为奇函数.
说明: 若 f (x)在 x = 0 有定义 , 则当 x o xx
证明：设 g ( x ) f ( x ) f ( x ) h ( x , ) f ( x ) f ( x )
显然 g(x)是偶函数，h(x)是奇函数,而
故命题的证.
f(x)g(x)h(x) 2
20
(4) 周期性
x D , l 0 ,且 xlD, 若 f(x l)f(x)
则称 f ( x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).
y
函y数 f(x)
y
反 函 数xf1(y)
W
o
W
xo
D
x D
22
习惯上, yf(x),x D 的反函数记成 yf 1(x),x f(D )
y
y
f (x)
f (x)
g(x)
o
x
g(x)
o
x
在自变量的不同变化范围中,对应法则 用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.
17
三. 函数的几种特性
(1) 有界性
设函数 yf(x),x D ,
xD, A, B , 使 Bf(x)A
称 f (x)为有界函数. A为上界，B为下界。
(2) 单调性
x1,x2I,当x1 x2时, 若 f(x 1 )f(x 2 ),称 f (x) 为 I 上的
3
高等数学研究的主要对象是函数，主要研究函数的分析 性质（连续、可导、可积等）和分析运算（极限运算、微分 法、积分法等）。那么高等数学用什么方法研究函数呢？这 个方法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方法论的观 点来看，这是高等数学区别于初等数学的一个显著标志。
由于高等数学的研究对象和研究方法与初等数学 有很大的不同，因此高等数学呈现出以下显著特点：
f (x) 为奇函数时, 必有 f(0)0.
例如,
yf(x)exex 偶函数 2
记chx 双曲余弦
ex
y e
x
ychx
o
x
19
例1 判断函数 yf(x)lnx 的 (奇1 偶性x2 .) 解： f( x )ln x( 1( x )2)
ln x ( 1x2)f(x)
∴ f(x)是奇函数.
例2 设f(x)在R上定义，证明f(x)可分解为一个奇函数与一 个偶函数的和。
y
[x]表示不超过 x的最大整数 4
3 2 -4 -3 -2 -1 1o -11 2 3 4 5 x
-2 -3 -4
阶梯曲线
15
(3) 狄利克雷函数
yD(x)10
当x是有理数时 当x是无理数时
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
16
(4) 取最值函数
y mf( a x )g x ,(x ){}y mf(ix )n g ,(x ) {}
若对于x ∈ D，变量y按照确定的法则总有
确定的数值和它对应，则称y是x的函数
记作 yf(x)
因变量
自变量
当 x 0 D 时 ,称 f(x 0)为函 x 0 处 数的 在 . 函 点
函数值全体组成的数集 W{yyf(x),xD}称为函数的 . 值域
12
函数的两要素: 定义域与对应法则.
( x D x0)
好了数学。
5
极限方法
1） 计算圆的周长
圆内接正n 边形
O
r
n
S3
S4
S5
Sn
2nrsin n
n3,4,5,
Slni m 2nrsinnlni m 2rsinn 2r
n
6
2）切线的斜率
y
yf(x)
N
CM
o
x0
T
xx
ktan lim f(x)f(x0). x x0 xx0
7
3)计算曲边梯形面积
y
yf(x)
概念更复杂 理论性更强
表达形式更加抽象 推理更加严谨
4
因此在学习高等数学时，应当认真阅读和深入钻研 教材的内容，一方面要透过抽象的表达形式，深刻理解 基本概念和理论的内涵与实质，以及它们之间的内在联 系，正确领会一些重要的数学思想方法，另一方面也要
培养抽象思维和逻辑推理的能力。
学习数学，必须做一定数量的习题，做习题不仅 是为了掌握数学的基本运算方法，而且也可以帮助我 们更好地理解概念、理论和思想方法。但我们不应该 仅仅满足于做题，更不能认为，只要做了题，就算学
M{xP(x)} P（x）表示元素具有性质
10
2.邻域:
设 a与 是两个 , 且 实 0.数
数{x集 xa()}称为 a的 邻 点 ,域
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径.
a
a
a x
点a的去心 邻的 域 , 记U 作 (a,).
U (a , ) {x0 x a }.
11
二、函数
1.定义 设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，
oa
bx
n
曲边梯形面积为
Alim
0i1
f(i)xi
8
4)无穷级数
11 1
L 24
2n
L
lim11L n2 4
1 2n
lim
1 2
(1
1 2n
)
1
n 1 1
2
9
第0章 基本知识
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的对象的全体. 组成集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM, A { a 1 ,a 2 , ,a n }
y
f (t)
2 o 2 x
2
o
2
t
周期为
周期为 2
注: 周期函数不一定存在最小正周期 .
例如, 常量函数 f(x)C 1 , 狄里克雷函数 f (x) 0,
x 为有理数
x 为无理数
21
四. 反函数
若函数 f:D f(D )为单射, 则存在逆映射
f1:f(D)D 称此映射 f 1 为 f 的反函数 .
对应法则f
(
W
y f (x0)
自变量
)
因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.
例如 y， 1x2 例如y， 1
1x2
D:[1,1] D:(1,1)
13
几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
1 当x0 ysgnx 0 当x0
1 当x0
y
1
o
x
-1
xsgxn x
14
(2) 取整函数 y=[x]
考核形式
80 考试（５学分） 作业问题
课前预习、重点听讲、简记笔记、 整理咀嚼、后作练习
1
参考书目
＜微积分学习指导＞ ＜高等数学＞ 同济大学数学系 编（高等教育出版社）
2
主要内容
1. 基础: 函数ห้องสมุดไป่ตู้, 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分 (上册)
多元微积分 (下册) 3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程
单调增函数 ;
若 f(x 1 )f(x 2 ),称 f (x) 为 I 上的
单调减函数 .
y
x1 x2 x
18
(3) 奇偶性
xD,且有 xD,
若 f(x)f(x),则称 f (x) 为偶函数;
y
若 f( x)f(x),则称 f (x) 为奇函数.
说明: 若 f (x)在 x = 0 有定义 , 则当 x o xx
证明：设 g ( x ) f ( x ) f ( x ) h ( x , ) f ( x ) f ( x )
显然 g(x)是偶函数，h(x)是奇函数,而
故命题的证.
f(x)g(x)h(x) 2
20
(4) 周期性
x D , l 0 ,且 xlD, 若 f(x l)f(x)
则称 f ( x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).
y
函y数 f(x)
y
反 函 数xf1(y)
W
o
W
xo
D
x D
22
习惯上, yf(x),x D 的反函数记成 yf 1(x),x f(D )
y
y
f (x)
f (x)
g(x)
o
x
g(x)
o
x
在自变量的不同变化范围中,对应法则 用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.
17
三. 函数的几种特性
(1) 有界性
设函数 yf(x),x D ,
xD, A, B , 使 Bf(x)A
称 f (x)为有界函数. A为上界，B为下界。
(2) 单调性
x1,x2I,当x1 x2时, 若 f(x 1 )f(x 2 ),称 f (x) 为 I 上的
3
高等数学研究的主要对象是函数，主要研究函数的分析 性质（连续、可导、可积等）和分析运算（极限运算、微分 法、积分法等）。那么高等数学用什么方法研究函数呢？这 个方法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方法论的观 点来看，这是高等数学区别于初等数学的一个显著标志。
由于高等数学的研究对象和研究方法与初等数学 有很大的不同，因此高等数学呈现出以下显著特点：
f (x) 为奇函数时, 必有 f(0)0.
例如,
yf(x)exex 偶函数 2
记chx 双曲余弦
ex
y e
x
ychx
o
x
19
例1 判断函数 yf(x)lnx 的 (奇1 偶性x2 .) 解： f( x )ln x( 1( x )2)
ln x ( 1x2)f(x)
∴ f(x)是奇函数.
例2 设f(x)在R上定义，证明f(x)可分解为一个奇函数与一 个偶函数的和。
y
[x]表示不超过 x的最大整数 4
3 2 -4 -3 -2 -1 1o -11 2 3 4 5 x
-2 -3 -4
阶梯曲线
15
(3) 狄利克雷函数
yD(x)10
当x是有理数时 当x是无理数时
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
16
(4) 取最值函数
y mf( a x )g x ,(x ){}y mf(ix )n g ,(x ) {}
若对于x ∈ D，变量y按照确定的法则总有
确定的数值和它对应，则称y是x的函数
记作 yf(x)
因变量
自变量
当 x 0 D 时 ,称 f(x 0)为函 x 0 处 数的 在 . 函 点
函数值全体组成的数集 W{yyf(x),xD}称为函数的 . 值域
12
函数的两要素: 定义域与对应法则.
( x D x0)
好了数学。
5
极限方法
1） 计算圆的周长
圆内接正n 边形
O
r
n
S3
S4
S5
Sn
2nrsin n
n3,4,5,
Slni m 2nrsinnlni m 2rsinn 2r
n
6
2）切线的斜率
y
yf(x)
N
CM
o
x0
T
xx
ktan lim f(x)f(x0). x x0 xx0
7
3)计算曲边梯形面积
y
yf(x)
概念更复杂 理论性更强
表达形式更加抽象 推理更加严谨
4
因此在学习高等数学时，应当认真阅读和深入钻研 教材的内容，一方面要透过抽象的表达形式，深刻理解 基本概念和理论的内涵与实质，以及它们之间的内在联 系，正确领会一些重要的数学思想方法，另一方面也要
培养抽象思维和逻辑推理的能力。
学习数学，必须做一定数量的习题，做习题不仅 是为了掌握数学的基本运算方法，而且也可以帮助我 们更好地理解概念、理论和思想方法。但我们不应该 仅仅满足于做题，更不能认为，只要做了题，就算学
M{xP(x)} P（x）表示元素具有性质
10
2.邻域:
设 a与 是两个 , 且 实 0.数
数{x集 xa()}称为 a的 邻 点 ,域
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径.
a
a
a x
点a的去心 邻的 域 , 记U 作 (a,).
U (a , ) {x0 x a }.
11
二、函数
1.定义 设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，
oa
bx
n
曲边梯形面积为
Alim
0i1
f(i)xi
8
4)无穷级数
11 1
L 24
2n
L
lim11L n2 4
1 2n
lim
1 2
(1
1 2n
)
1
n 1 1
2
9
第0章 基本知识
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的对象的全体. 组成集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM, A { a 1 ,a 2 , ,a n }
y
f (t)
2 o 2 x
2
o
2
t
周期为
周期为 2
注: 周期函数不一定存在最小正周期 .
例如, 常量函数 f(x)C 1 , 狄里克雷函数 f (x) 0,
x 为有理数
x 为无理数
21
四. 反函数
若函数 f:D f(D )为单射, 则存在逆映射
f1:f(D)D 称此映射 f 1 为 f 的反函数 .
对应法则f
(
W
y f (x0)
自变量
)
因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.
例如 y， 1x2 例如y， 1
1x2
D:[1,1] D:(1,1)
13
几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
1 当x0 ysgnx 0 当x0
1 当x0
y
1
o
x
-1
xsgxn x
14
(2) 取整函数 y=[x]