【同步】九年级数学下册27相似小结(新人教)学案2

小结学习目标1.理解相似图形及比例线段的概念,能应用其进行计算.2.掌握平行线分线段成比例定理及推论,会用平行线判定三角形相似.3.理解并掌握相似三角形的判定和性质,能进行相关证明和计算.4.了解图形的位似,能够利用位似将一个图形放大或缩小.5.会利用图形的相似解决一些简单实际问题.学习过程第一层学习:回顾思考1.相似三角形有哪些性质?位似图形呢?答:2.三角形的相似与三角形的全等有什么关系?如何判断两个三角形相似?答:3.举例说明三角形相似的一些应用.答:4.如何利用位似将一个图形放大或缩小?你能说出平移、轴对称、旋转和位似之间的异同,并举出一些它们的实际应用的例子吗?提示:答:第二层学习:典例剖析1.比例线段【例1】已知=3,则(b+d≠0)的值是.【思路点拨】由已知可知:3b=a,3d=c,得到(b+d≠0)的值.解析:2.相似三角形的判定与性质【例2】如图所示,在△ABC中,D,E分别为BC,AC的中点,AD,BE相交于点G,若S△GDE=1,求S△ABC.【思路点拨】先求与△GDE相似的△GAB的面积,由相似比为1∶2,得S△ABG=4,再根据△AGE,△BGD分别与△GDE等高,可得面积为△GDE的面积的2倍,从而可以得到四边形ABDE 的面积,只要求出△DEC的面积即可得出所求.解:【例3】如图所示,四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E为AB的中点,连接CE.(1)求证:AC2=AB·AD;(2)求证:CE∥AD;(3)连接DE,交AC于点 F.若AD=4,AB=6,求的值.【思路点拨】(1)由AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,可得△ADC∽△ACB,从而得AC2=AB·AD.(2)由E为直角三角形斜边AB的中点,得CE=AB=AE,则∠DAC=∠ECA,得到CE∥AD.(3)证△AFD∽△CFE,由相似三角形的对应边成比例,求得的值.解:【例4】如图所示,已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,以AB为直径的☉O交BC于点D,过D作MN⊥AC于点M,交AB的延长线于点N,过点B作BG⊥MN于G.(1)求证:△BGD∽△DMA;(2)求证:直线MN是☉O的切线.【思路点拨】(1)根据垂直定义得出∠BGD=∠DMA=90°,由圆周角定理、三角形内角和定理、对顶角性质及等角的余角相等得出∠DBG=∠ADM,再根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明△BGD∽△DMA;(2)连接OD.由三角形中位线的性质得出OD∥AC,根据垂直于同一直线的两直线平行得出AC∥BG,由平行公理推论得到OD∥BG,再由BG⊥MN,可得OD⊥MN,然后根据切线的判定定理即可证明直线MN是☉O的切线.证明:3.相似三角形的应用【例5】一天晚上,李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度,如图所示,当李明走到点A处时,张龙测得李明直立身高AM与其影子长AE正好相等,接着李明沿AC方向继续向前走,走到点B处时,李明直立时(身高BN=AM)的影子恰好是线段AB,并测得AB=1.25 m.已知李明直立时的身高为1.75 m,求路灯的高CD.(结果精确到0.1 m)【思路点拨】根据AM⊥EC,CD⊥EC,BN⊥EC得到MA∥CD∥BN,从而得到△ABN∽△ACD,利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可.解:4.位似图形的画法与性质【例6】如图所示,已知O是坐标原点,B,C两点的坐标分别为(3,-1),(2,1).(1)以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大为原来的2倍(即新图与原图的相似比为2),画出图形;(2)分别写出B,C两点的对应点B',C'的坐标;(3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x,y),写出M的对应点M'的坐标.【思路点拨】(1)延长BO,CO分别到B',C',使OB',OC'的长度分别是OB,OC的2倍.顺次连接三点即可.(2)从直角坐标系中,读出B',C'的坐标.(3)观察坐标之间的关系可得M'的坐标为(-2x,-2y).解:评价作业1.(6分)下列四条线段中,不是成比例线段的是()A.a=3,b=6,c=2,d=4B.a=,b=8,c=5,d=15C.a=1,b=,c=,d=D.a=,b=1,c=,d=2.(6分)△ABC∽△A'B'C',∠A=45°,∠B=100°,则∠C'等于()A.45°B.100°C.55°D.35°3.(6分)如图所示,l1∥l2∥l3,直线a,b与l1,l2,l3分别相交于点A,B,C和点D,E,F,若,DE=4,则EF的长是()A.B.C.6D.104.(6分)如图所示,在▱ABCD中,E为CD上一点,连接AE,BD,且AE,BD交于点F,S△DEF∶S△ABF=4∶25,则DE∶EC等于()A.2∶5B.2∶3C.3∶5D.3∶25.(6分)如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D,若AC=2,则AD的长是()A.B.C.-1D.+16.(8分)如图所示,∠1=∠2,添加一个条件使△ADE∽△ACB:.7.(8分)如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足是D,BC=,BD=1,则CD=,AD=.8.(8分)为了测量一棵树AB的高度,测量者在D点立一高CD=2 m的标杆,现测量者从F 处可以看到杆顶C与树顶A在同一条直线上,如果测得BD=20 m,FD=4 m,EF=1.8 m,则树AB 的高度为m.9.(10分)如图所示,点C,D在线段AB上,△PCD是等边三角形.(1)当AC,CD,DB满足怎样的关系时,△ACP∽△PDB?(2)当△ACP∽△PDB时,求∠APB的度数.10.(10分)如图所示,在边长均为1的小正方形网格纸中,△OAB的顶点O,A,B均在格点上,且O是直角坐标系的原点,点A在x轴上.(1)以O为位似中心,将△OAB放大,使得放大后的△OA1B1与△OAB对应线段的比为2∶1,画出△OA1B1(所画△OA1B1与△OAB在原点两侧);(2)求出线段A1B1所在直线的函数关系式.11.(12分)如图所示,直线PM切☉O于点M,直线PO交☉O于A,B两点,弦AC∥PM,连接OM,BC.求证:(1)△ABC∽△POM;(2)2OA2=OP·BC.12.(14分)如图,王爷爷家院子里有一块三角形田地ABC,AB=AC=5米,BC=6米,现打算把它开垦出一个矩形MNFE区域种植韭菜,△AMN区域种植芹菜,△CME和△BNF区域种植青菜(开垦土地面积损耗均忽略不计),其中点M,N分别在AC,AB上,点E,F在BC上,已知韭菜每平方米收益100元,芹菜每平方米收益60元,青菜每平方米收益40元,设CM=5x米,王爷爷的蔬菜总收益为W元.(1)当矩形MNFE恰好为正方形时,求韭菜种植区域矩形MNFE的面积.(2)若种植韭菜的收益等于另两种蔬菜收益之和的2倍,求这时x的值.(3)求王爷爷的蔬菜总收益为W关于x的函数表达式及W的最大值.参考答案学习过程第一层学习:回顾思考1.答:相似三角形的性质有:(1)相似三角形的对应边成比例,(2)相似三角形的对应角相等,(3)相似三角形的对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于相似比,(4)相似三角形的周长比等于相似比,(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.位似图形的性质:(1)位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上,它们到位似中心的距离之比等于相似比;(2)位似图形中的对应线段平行或在同一条直线上.2.答:三角形的相似包括三角形的全等,三角形的全等是相似比为1的三角形的相似.判断两个三角形相似的常用方法是:(1)利用平行线判定三角形相似:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所构成的三角形与原三角形相似.符合这一特征的图形有两种:“A”型和“X”型.(2)判定定理1:三边成比例的两个三角形相似.(3)判定定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.(4)判定定理3:两角分别相等的两个三角形相似.(5)直角三角形相似的判定:斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似.3.答:应用相似三角形可以测量不易直接得到的距离,如测河宽、测旗杆高等.4.答:应用位似作图的一般步骤是:①确定位似中心:画位似图形时,位似中心可能在图形的内部,也可能在图形的外部,还可能在图形的边上.②连接关键点与位似中心:找出关键点(多边形常取顶点),连接位似中心和关键点.③画出对应点:根据相似比,确定原图形关键点的对应点,顺次连接所得的对应点,得到新的图形.④写出作图的结论.平移、轴对称、旋转和位似之间的异同是:图形经过平移、旋转、轴对称后,图形的位置虽然改变了,但是图形的大小和形状没有改变,即两个图形是全等的;而图形经过位似变换后,图形是相似的.第二层学习:典例剖析1.比例线段【例1】解析:由=3,得3b=a,3d=c,∴=3.答案:32.相似三角形的判定与性质【例2】解:∵D,E分别是BC,AC的中点,∴DE∥AB,DE=AB,∴△AGB∽△DGE,∴=4.∵S△GDE=1,∴S△ABG=4.∵△AGE的AG边上的高与△GDE的DG边上的高相等, ∴=2,∴S△AGE=2,同理可得S△GBD=2,∴S四边形ABDE=4+2+2+1=9.∵DE∥AB,∴△EDC∽△ABC,设S△ABC=x,则,解得x=12,即S△ABC=12.【例3】解:(1)∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠CAB.∵∠ADC=∠ACB=90°,∴△ADC∽△ACB,∴AD∶AC=AC∶AB,∴AC2=AB·AD.(2)∵E为AB的中点,∴CE=AB=AE,∴∠EAC=∠ECA.∵∠DAC=∠CAB,∴∠DAC=∠ECA,∴CE∥AD.(3)由(2)知CE∥AD,∴△A FD∽△CFE.∴AD∶CE=AF∶CF.∵CE=AB,∴CE=×6=3.∵AD=4,∴,∴.【例4】证明:(1)∵MN⊥AC于点M,BG⊥MN于G,∴∠BGD=∠DMA=90°.∵以AB为直径的☉O交BC于点D,∴AD⊥BC,∠ADC=90°,∴∠ADM+∠CDM=90°.∵∠DBG+∠BDG=90°,∠CDM=∠BDG,∴∠DBG=∠ADM.∴△BGD∽△DMA.(2)如图所示,连接OD.∵BO=OA,BD=DC,∴OD是△ABC的中位线,∴OD∥AC.∵MN⊥AC,BG⊥MN,∴AC∥BG,∴OD∥BG.∵BG⊥MN,∴OD⊥MN,∴直线MN是☉O的切线.3.相似三角形的应用【例5】解:设路灯高CD为x m,∵AM⊥EC,CD⊥EC,BN⊥EC,EA=MA,∴MA∥CD∥BN,EC=CD=x,∴△ABN∽△ACD,∴,即,解得x=6.125≈6.1.∴路灯高CD约为6.1 m.4.位似图形的画法与性质【例6】解:(1)如图所示.(2)B'(-6,2),C'(-4,-2).(3)M的对应点M'的坐标为(-2x,-2y).评价作业1.C2.D3.C4.B5.C6.∠B=∠E(答案不唯一)7.58.39.解:(1)当CD2=AC·DB时,△ACP∽△PDB.∵△PCD是等边三角形,∴∠PCD=∠PDC=60°,∴∠ACP=∠PDB=120°,若CD2=AC·DB,由PC=PD=CD可得PC·PD=AC·DB,即,∴△ACP∽△PDB.(2)当△ACP∽△PDB时,∠APC=∠PBD,由题知∠PDC=60°,∴∠DPB+∠DBP=60°,∴∠APC+∠BPD=60°,∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°,即∠APB的度数为120°.10.解:(1)如图所示的△OA1B1就是△OAB放大后的图象.(2)由(1)可得点A1,B1的坐标分别为(4,0),(2,-4),故设此直线的解析式为y=kx+b(k≠0),∴解得故线段A1B1所在直线的函数关系式为y=2x-8.11.证明:(1)∵直线PM切☉O于点M,∴∠PMO=90°.∵弦AB是直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACB=∠PMO.∵AC∥PM,∴∠CAB=∠P,∴△ABC∽△POM.(2)∵△ABC∽△POM,∴.又AB=2OA,OA=OM,∴.∴2OA2=OP·BC.12.解:(1)作AH⊥BC于点H,交MN于点D.∵AB=AC,AH⊥BC,∴CH=HB=3,在Rt△ACH中,AH==4.∵ME∥AH,∴,∴CE=3x,EM=EF=4x,易证△MEC≌△NFB,∴CE=BF=3x,∴3x+4x+3x=6,∴x=,∴EM=,∴矩形MNFE的面积为平方米.(2)由题意:100×4x·(6-6x)精校Word 文档，欢迎下载使用！11 =2·,解得x=.(3)由题意W=100×4x ·(6-6x )+60××(6-6x )·(4-4x )+40×4x×3x=-1 200x 2+960x+720=- 1 200+912,∵-1200<0,∴x=时,W 有最大值,最大值为912元.。