2015-2016学年北师大版选修1-1 导数应用 章末归纳整合 课件(26张)
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2015高中数学北师大版选修1-1课件：《函数与导数的综合性问题分析》
②当 0<1<e,即 a>1时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,e]上单调递增,
a
e
a
a
∴f(x)min=f(1a)=1+ln a=3,∴a=e2,满足条件.
③当1≥e,即
a
0<a≤1e时,f(x)在(0,e]上单调递减,f(x)min=f(e)=ae-
1=3,∴a=4(舍去),
e
∴当1≥e 时,不存在实数 a 使 f(x)的最小值为 3.
第三页，编辑于星期五：十二点 十一分。
导. 学. 固. 思
问题1 在某个区间(a,b)内,如果f‘(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区
间内单调
;如递果增f’(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调
.f‘(x)>0(或递<0减)只是函数f(x)在该区间单调递增(或递减)的
条
件,可导函数f(x)在(充a,分b)上单调递增(或递减)的充要条件是:对任意
f(x)<f(x0),那么f(x0)是函数的一个
极,记大作值 y极大值=f(x0);如果对
x0附近的所有的点都有f(x)>f(x0),那么f(x0)是函数的一个
,记
作y极小值=f(x0)极,极小值大值与极小值统称为
极值 .导数f'(x)=0的点不一定是函数y=f(x)的极值点,如使f'(x)=0
的点的左、右的导数值异号,则是极值点,其中左正右负点是极大值点,左
1+x x+1
∵x>0,∴f'(x)>0. ∴f(x)在 x∈(0,+∞)上是单调增函数. 又 f(0)=0-ln 1=0, ∴f(x)>f(0)=0,即 x-ln(1+x)>0, 即 x>ln(1+x).
4.2导数在实际问题中的应用 课件(北师大版选修1-1)
导数在实 际问题中的应用
一、物体的比热
设有单位质量的物体从 0oC 加热到 ToC 所吸收的 热量 Q 是温度 T 的函数：Q=Q(T).给温度 T 以增 量 T，则可求得物体在 T 这段温度内的平均比 热为
c Q Q (T T )Q (T ) , T T Q Q(T ) T 0 T
C C(q) 100 6q 0.4q 2 0.02q 3 ，
间的函数关系(即总成本函数)为 试问当生产水平为 q 10 (万件)时，从降低成本角度看，继续 提高产量是否合适？ 解 当 q 10 时的总成本为
C(10) 100 6 10 0.4 102 0.02103 140 （万元)，
25 Q(t ) 20sin t 现设通过截面的电量 ，则通 2 （C）
过该截面的电流为
25 25 25 I (t ) 20sin t 20 cos t 2 2
25 cos t 2 ． 500
（3）边际利润 设总利润函数为 L L(q) ， L 表示总利润， q 表示 销售量，则 L (q ) 称为销售量为 q 个单位时的边际利 润．边际利润的经济意义是：销售量达到 q 个单位的时 候，再增加一个单位的销量，相应的总利润增加 L (q) 个 单位．
例 4.5.3
某种产品的总成本 C (万元)与产量 q (万件)之
例 4.5.4
设生产 q 件某产品的总成本函数为：
C(q) 1500 34q 0.3q 2
如果该产品销售单价为： p 280元／件，求 （1）该产品的总利润函数 L(q ) ； （2）该产品的边际利润函数以及销量为 q 420 个 单位时的边际利润，并对此结论作出经济意义的解释． （3）销售量为何值时利润最大？
一、物体的比热
设有单位质量的物体从 0oC 加热到 ToC 所吸收的 热量 Q 是温度 T 的函数：Q=Q(T).给温度 T 以增 量 T，则可求得物体在 T 这段温度内的平均比 热为
c Q Q (T T )Q (T ) , T T Q Q(T ) T 0 T
C C(q) 100 6q 0.4q 2 0.02q 3 ，
间的函数关系(即总成本函数)为 试问当生产水平为 q 10 (万件)时，从降低成本角度看，继续 提高产量是否合适？ 解 当 q 10 时的总成本为
C(10) 100 6 10 0.4 102 0.02103 140 （万元)，
25 Q(t ) 20sin t 现设通过截面的电量 ，则通 2 （C）
过该截面的电流为
25 25 25 I (t ) 20sin t 20 cos t 2 2
25 cos t 2 ． 500
（3）边际利润 设总利润函数为 L L(q) ， L 表示总利润， q 表示 销售量，则 L (q ) 称为销售量为 q 个单位时的边际利 润．边际利润的经济意义是：销售量达到 q 个单位的时 候，再增加一个单位的销量，相应的总利润增加 L (q) 个 单位．
例 4.5.3
某种产品的总成本 C (万元)与产量 q (万件)之
例 4.5.4
设生产 q 件某产品的总成本函数为：
C(q) 1500 34q 0.3q 2
如果该产品销售单价为： p 280元／件，求 （1）该产品的总利润函数 L(q ) ； （2）该产品的边际利润函数以及销量为 q 420 个 单位时的边际利润，并对此结论作出经济意义的解释． （3）销售量为何值时利润最大？
2015高中数学北师大版选修1-1课件：《导数的概念与几何意义》
b
2,则 =
a
2 .
【解析】由题意
lim
a(1+Δx)2 +b-a-b
Δx→0
Δx
= lim (aΔx+2a)=2a=2,∴a=1,又
Δx→0
b
3=a×12+b,∴b=2,∴ =2.
a
4.求y=x2在点A(1,1)处的切线方程.
【解析】f'(1)= lim
Δy
Δx→0 Δx
= lim
Δx→0
(1+Δx)2 -12
Δ
Δ
=
lim
+Δ+4- +4
Δ
y
Δ→0 x
= lim
=
x→0
1
,
+Δ+4- +4
Δ
Δ→0 +Δ+4+ +4
1
∴y'=
2 +4
=
1
2 +4
’
.
第十七页，编辑于星期五：十二点 十一分。
. .固 思
导.学
2
3.已知 y=ax +b 在点(1,3)处的切线斜率为
h
=2.
第九页，编辑于星期五：十二点 十一分。
. .固 思
导.学
[问题]上面的解答遵循导数的定义吗?
[结论]没有,在导数的定义形式中,增量 Δx 的形式多种多样,
但是无论增量 Δx 选择哪种形式,Δy 必须保持相应的形式.
即:f'(x0)= lim
Δy
h→0 Δx
= lim
f(x 0 +h)-f(x 0 )
y'= lim
(教师用书)高中数学 第四章 导数应用章末归纳提升课件 北师大版选修1-1
某种型号的电器降价 x 成(1 成为 10%)， 那么销售数量 就增加 mx 成(m∈R＋)．某商店此种电器的定价为每台 a 元， 则可以出售 b 台， 若经降价 x 成后， 此种电器营业额为 y 元． 试 5 建立 y 与 x 的函数关系，并求 m＝ 时，每台降价多少成其营 4 业额最大？
【解】 由条件知降价后的营业额为 y＝a(1－x)b(1＋mx) ＝ab[－mx2＋(m－1)x＋1]， 5 5 2 1 ∴当 m＝ 时，y＝ab(－ x ＋ x＋1)， 4 4 4 5 1 ∴y′＝ab(－ x＋ )． 2 4 令 y′＝0， 1 ∴x＝ ， 10 1 81 即 x＝ 时，ymax＝ ab， 10 80 即降价 0.1 成时，营业额最大．
【答案】 [3，＋∞)
导数与函数的极值、最值
用导数求函数的极值、最值是高中学习的重点，也是高 考的热点．最值可根据函数的单调性、基本不等式的性质等 知识来求．而用导数求最值，是一种重要而又简单的方法， 利用导数作工具，判断函数的单调性，进而求出极值和区间 端点的函数值，最后比较大小，得到函数的最值．
联ห้องสมุดไป่ตู้①②③， 1 3 解得 a＝－ ，b＝0，c＝ . 2 2 1 3 故 a＋b＋c＝－ ＋0＋ ＝1. 2 2
导数的实际应用
利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题： (1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意 义去考查，不符合实际意义的值应舍去． (2)在实际问题中，由 f′(x)＝0 常常仅解到一个根，若能 判断函数的最大(小)值在 x 的变化区间内部得到， 则这个根处 的函数值就是所求的最大(小)值．
请你设计一个包装盒， 如图所示， ABCD 是边长 为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的 等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A，B，C，D 四个点 重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状包装盒，E， F 在 AB 上， 是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点， 设 AE＝FB＝x(cm)．
高中数学选修1-1北师大版 实际问题中导数的意义 课件(27张)
§2导数在实际问题中的应用2．1 实际问题中导数的意义
重点：导数实际意义的应用． 难点：实际问题与导数概念及导数运算的结合问题.
实际问题中导数的意义 自变量x ________ 原函数 f(x) 路程 导函数 f′(x) 速度
长度 时间 时间 产量
质量 功 降雨量 生产成本
________ ________ ________ ________
[练一练] 1．若一物体运动的路程s与时间t之间的关系为s＝s(t)，当s′(t)＝0
时，则(
)
B．物体做匀减速运动 D．物体处于静止状态
A．物体做匀加速运动 C．物体做变速运动
2．某收音机制造厂管理者通过对上午班工人工作效率的研究表明：
一个中等技术水平的工人，从8 ：00开始工作，t小时后可装配晶体管 收音机的台数为 Q(t) ＝－ t3 ＋ 9t2 ＋ 12t ，则 Q′(2) ＝ ________ ，它的实际
[解析] (1)当 t 从 1 变到 2 时，电荷量从 Q(1)变到 Q(2)，此时电荷 Q2－Q1 3×22－ln 2－3×12－ln 1 量关于时间 t 的平均变化率为 ＝ 1 2－1 ≈8.31，它表示从 t＝1 s 到 t＝2 s 这段时间内，平均每秒经过该电路的电 量为 8.31 C，也就是这段时间内电路的平均电流为 8.31 A. 1 (2)Q′(t)＝6t－ t ，Q′(2)＝11.5，它的实际意义是，在 t＝2 s 这一时 刻，每秒经过该电路的电量为 11.5 C，也就是这一时刻内电路的电流为 11.5 A.
弄清平均变化率及导数的实际意义，记准基本初等函数的导数公 式以及导数的运算法则是解决该类问题的关键．
1．某质点的运动方程为s＝s(t)＝2t2＋3t，其中s是位移(单位：m)， t是时间(单位：s)．
重点：导数实际意义的应用． 难点：实际问题与导数概念及导数运算的结合问题.
实际问题中导数的意义 自变量x ________ 原函数 f(x) 路程 导函数 f′(x) 速度
长度 时间 时间 产量
质量 功 降雨量 生产成本
________ ________ ________ ________
[练一练] 1．若一物体运动的路程s与时间t之间的关系为s＝s(t)，当s′(t)＝0
时，则(
)
B．物体做匀减速运动 D．物体处于静止状态
A．物体做匀加速运动 C．物体做变速运动
2．某收音机制造厂管理者通过对上午班工人工作效率的研究表明：
一个中等技术水平的工人，从8 ：00开始工作，t小时后可装配晶体管 收音机的台数为 Q(t) ＝－ t3 ＋ 9t2 ＋ 12t ，则 Q′(2) ＝ ________ ，它的实际
[解析] (1)当 t 从 1 变到 2 时，电荷量从 Q(1)变到 Q(2)，此时电荷 Q2－Q1 3×22－ln 2－3×12－ln 1 量关于时间 t 的平均变化率为 ＝ 1 2－1 ≈8.31，它表示从 t＝1 s 到 t＝2 s 这段时间内，平均每秒经过该电路的电 量为 8.31 C，也就是这段时间内电路的平均电流为 8.31 A. 1 (2)Q′(t)＝6t－ t ，Q′(2)＝11.5，它的实际意义是，在 t＝2 s 这一时 刻，每秒经过该电路的电量为 11.5 C，也就是这一时刻内电路的电流为 11.5 A.
弄清平均变化率及导数的实际意义，记准基本初等函数的导数公 式以及导数的运算法则是解决该类问题的关键．
1．某质点的运动方程为s＝s(t)＝2t2＋3t，其中s是位移(单位：m)， t是时间(单位：s)．
高中数学北师大版选修1-1 导数的概念及其几何意义 课件 (37张)
1.导数的概念 (1)y′|x＝x0 表示函数 y 关于自变量 x 在 x0 处的导数． (2)在数学上，把函数在点 x0 处的变化率称为函数在点 x0 处的导数，在自然科学及科学技术领域内，只要遇到有关函数 变化率的问题，如化学反应速度、物体温度变化率、电流强度 等等都需要应用导数．
(3)导数是研究在点 x0 处及其附近函数的改变量 Δy 与自变 Δy 量的改变量 Δx 之比的极限， 它是一个局部性的概念， 若 lim Δx→0 Δx 存在，则函数 y＝f(x)在点 x0 处就有导数，否则就没有导致，即 Δy lim 存在表示是一个定数，函数 f(x)在点 x0 处的导数应是一 Δx→0 Δx 个定数．
[答案] B
[解析] ∵y＝x3， x＋Δx3－x3 Δx3＋3x· Δx2＋3x2·Δx ∴y′＝ lim ＝ lim Δx Δx Δx→0 Δx→0
2 2 2 ＝ lim [(Δ x ) ＋ 3 x ·Δ x ＋ 3 x ] ＝ 3 x . → Δx 0
令 3x2＝3，得 x＝± 1，∴点 P 的＝2 时，Δy＝(2＋Δx)2＋
[方法规律总结]
用导数定义求函数在某一点处的导数的
第三章
变化率与导数
第三章
§2 导数的概念及其几何意义
课前自主预习
1.理解导数的概念和意义，了解导函数的概念，通过函数 图像直观地理解导数的几何意义．
2 ．会求导函数，能根据导数的几何意义求曲线上某点处
的切线方程.
导数的概念
Δy 函 数 y ＝ f(x) 在 x ＝ x0 处的瞬时变化率是 lim ＝ lim Δx→0 Δx Δx→0 fx0＋Δx－fx0 .我们称它为函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数， 记作 Δx f ′(x0) 或 y′|x ＝ x0 ， 即 fx0＋Δx－fx0 lim Δx _____________________. Δx→0 f ′(x0) ＝ lim →
北师大版高中数学选修1-1课件导数的几何意义
（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
练习:如图已知曲线 ,求 : (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
y
4
3 2 1 -2 -1 O -1 -2 1 2
P
x
即点P处的切线的斜率等于4.
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y16=0.
小结:
1.导数的几何意义是什么?
2.求切线方程的步骤： （1）求出函数在点x0处的变化率 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 ，得到曲线
什么叫函数的导数?
割线的斜率
如右图,直线AB称为曲 线y=f(x)在点A处的一条 割线.则割线AB的斜率 为:
y=f(x) y f(x2) B f(x2)-f(x1)=△y f(x1) O A x2-x1=△x x1 x2 x
问题
y=f(x) 割 B 线 切 线 o A
y
x
变化过程演示
例题讲解
4 3 2 1 -2 -1
LO 12Fra bibliotek例6:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
y
Q
y = x +1
Dy
2
P
Dx
M
因此,切线方程为y-2=2(x-1), 即y=2x.
1 -1 O
j
x
1
求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②利用切线斜率的定义求 出切线的斜率; ③利用点斜式求切线方程.
2015高中数学北师大版选修1-1课件：《导数与函数的单调性》
问题4 根据导数与函数单调性的关系,在函数定义域的某个区间
(a,b)内求函数单调区间的一般步骤:
(1)确定函数f(x)的定义域.
(2)求导数f'(x).
(3)解不等式f‘(x)>0或f’(x)<0,如果f‘(x)>0,那么函数
y=f(x)在这个区间内单调递
;如果增f’(x)<0,那么函数
y=f(x)在这个区间内单调递
【解析】(1)函数 y=x 的定义域为 R,并且在定义域上是增函数,其导数 y'=1>0. (2)函数 y=x2 的定义域为 R,在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递 增. 而 y'=2x,当 x<0 时,其导数 y'<0;当 x>0 时,其导数 y'>0;当 x=0 时,其 导数 y'=0. (3)函数 y=x3 的定义域为 R,在定义域上为增函数. 而 y'=3x2,若 x≠0,则其导数 3x2>0,当 x=0 时,其导数 3x2=0. (4)函数 y=1的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),在(-∞,0)上单调递减,在
x
(0,+∞)上单调递减,而 y'=-x12,因为 x≠0,所以 y'<0.
第十四页，编辑于星期五：十二点 十一分。
导. 学. 固. 思
利用导数求函数的单调区间
已知函数f(x)=ex-ax-1,求f(x)的单调增区间.
【解析】∵f(x)=ex-ax-1,∴f'(x)=ex-a. 令 f'(x)≥0,得 ex≥a, 当 a≤0 时,有 f'(x)>0 在 R 上恒成立; 当 a>0 时,有 x≥ln a. 综上,当 a≤0 时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞); 当 a>0 时,f(x)的单调增区间为[ln a,+∞).
北师大版高中数学选修选修1-1《4.2 导数在实际问题中的应用》优秀课件
降雨量 y f (t) 在时间 t0 处的导数就是它在 t0 处的降雨强度.
实际问题中导数的意义 一、 导数在气象学中的意义
【例1】降雨强度 下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨量的数据：
时间 t / min
0 10 20 30 40 50 60
降雨量 y / mm 0 10 14 17 20 22 24
【例1】降雨强度 下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨量的数据：
时间 t / min
0 10 20 30 40 50 60
降雨量 y / mm 0 10 14 17 20 22 24
显然，降雨量 y 是时间 t 的函数，用y f (t) 表示. (1)分别计算当 t 从0 min 变到10 min ，从50 min 变到60 min 时，降雨量 y 关 于时间 t 的平均变化率，比较它们的大小，并解释它们的实际意义；
【例1】降雨强度 下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨量的数据：
时间 t / min
0 10 20 30 40 50 60
降雨量 y / mm 0 10 14 17 20 22 24
(2)假设得到降雨量 y 关于时间 t 的函数的近似表达式为 f (t) 10t ,求 f (40) 并解释它的实际意义.
实际意义 1 mm/ min它表示t 从0 min到10 min内，平均每分降雨量为1 mm. 0.2 mm/ min 它表示 t从50 min到60 min内，平均每分降雨量为 0.2 mm .
1>0.2,说明这次降雨过程中，刚开始的 10 min 比后 10 min 的雨下得大.
实际问题中导数的意义 一、 导数在气象学中的意义
高中 学 数
北师大版-高中数学选修1-1第4章 导数应用 第2节 导数在实际问题中的应用
实际问题中导数的意义 一、 导数在气象学中的意义
【例1】降雨强度 下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨量的数据：
时间 t / min
0 10 20 30 40 50 60
降雨量 y / mm 0 10 14 17 20 22 24
【例1】降雨强度 下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨量的数据：
时间 t / min
0 10 20 30 40 50 60
降雨量 y / mm 0 10 14 17 20 22 24
显然，降雨量 y 是时间 t 的函数，用y f (t) 表示. (1)分别计算当 t 从0 min 变到10 min ，从50 min 变到60 min 时，降雨量 y 关 于时间 t 的平均变化率，比较它们的大小，并解释它们的实际意义；
【例1】降雨强度 下表为一次降雨过程中一段时间内记录下的降雨量的数据：
时间 t / min
0 10 20 30 40 50 60
降雨量 y / mm 0 10 14 17 20 22 24
(2)假设得到降雨量 y 关于时间 t 的函数的近似表达式为 f (t) 10t ,求 f (40) 并解释它的实际意义.
实际意义 1 mm/ min它表示t 从0 min到10 min内，平均每分降雨量为1 mm. 0.2 mm/ min 它表示 t从50 min到60 min内，平均每分降雨量为 0.2 mm .
1>0.2,说明这次降雨过程中，刚开始的 10 min 比后 10 min 的雨下得大.
实际问题中导数的意义 一、 导数在气象学中的意义
高中 学 数
北师大版-高中数学选修1-1第4章 导数应用 第2节 导数在实际问题中的应用
高中数学北师大版选修1-1 计算导数 课件(42张)
1．求函数 y＝f(x)导函数的步骤： (1)求函数的增量 Δy＝f(x＋Δx)－f(x)； Δy fx＋Δx－fx (2)求平均变化率Δx＝ ； Δx (3)当 Δx 趋于 0 时，得导函数 fx＋Δx－fx f′(x)＝ lim . Δ x Δx→0
2．求 f′(x0)的方法： (1)利用定义直接求 f′(x0)， fx0＋Δx－fx0 f′(x0)＝ lim ； Δ x Δx→0 (2)先求导函数，再求 f′(x0)．
【答案】 D
教材整理 2
导数公式表
阅读教材 P69“习题 3－3”以上部分，完成下列问题． 导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度) 函数 y＝C(C 是常数) y＝xα(α 为实数) y＝a (a>0，a≠1)
x
导函数 y′＝______ y′＝______ y′＝______ 特别地(ex)′＝________
y＝logax(a>0，a≠1) y＝sin x y＝cos x y＝tan x y＝cot x
y′＝______ 特别地(ln x)′＝______ y′＝______ y′＝______ y′＝______ 1 y′＝－sin2x
【答案】 0 αx
α－1
a ln a e
x
x
1 1 1 xln a x cos x－sin x cos2x
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 f(x)＝ax(a>0，a≠1)，则 f′(x)＝ax－1.( 1 (2)若 f(x)＝x ，则 f′(x)＝ln x．( ) ) )
(3)(sin x)′＝cos x, (cos x)′＝－sin x．( 1 (4)(log3π)′＝πln 3.( )
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×
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画变化率问题，最优解问题越来越成为高考命题的一个热点，其中利 用导数求函数的极大(小)值，求函数在区间[a，b]上的最大(小)值或利
用求导法解决一些实际问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题
的方法能使复杂的问题简单化． 利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法：
(1)细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值
2． 若函数 y＝a(x3－x)的递减区间为－
3 3 ， 则 a 的取值范围是 3，3
(
) A．a>0 C．a>1 B．－1<a<0 D．0<a<1
解析：y′＝a(3x2－1)，当 a>0 时，y′<0 的解集为－ 选 A.
答案：A
3 3 ，故 3，3
3．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m 米，余下工 程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元；距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 (2＋ x)x 万 元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记 余下工程的费用为 y 万元． (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式； (2)当 m＝640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小？
(k
－1，＋∞)．
(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增， 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；
当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，
由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增， 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
[解析] (1)f′(x)＝(x－k＋1)ex. 令f′(x)＝0，得x＝k－1. f(x)与f′(x)的变化情况如下：
x f′(x) f(x)
(－∞，k－1) －
k－1 0 －ek－1
(k－1，＋∞) ＋
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是
3 2 0 极小
3 ，＋ ∞ 2
f′(x)
＋
f(x)
值
值
3 1 所以 x1＝2是极小值点，x2＝2是极大值点．
(2)若 f(x)为 R 上的单调函数，则 f′(x)在 R 上不变号，结合①与条 件 a＞0， 知 1＋ax2－2ax≥0 在 R 上恒成立， 即 Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0， 由此并结合 a＞0，知 0＜a≤1.
a＋b φ′a＋φ′b 2ab φ′ ≤ ≤φ′a＋b. 2 2
解析：(1)由条件知 h(x)＝ x－aln x(x>0)， x－2a a ∴h′(x)＝ － ＝ 2x . 2 x x 1
①当 a>0 时，令 h′(x)＝0，解得 x＝4a2， ∴当 0<x<4a2 时，h′(x)<0，h(x)在(0,4a2)上递减； 当 x>4a2 时，h′(x)>0，h(x)在(4a2，＋∞)上递增． ∴x＝4a2 是 h(x)在(0，＋∞)上的唯一极值点，且是极小值点，从而 也是 h(x)的最小值点． ∴最小值 φ(a)＝h(4a2)＝2a－aln 4a2＝2a(1－ln 2a)． ②当 a≤0 时，h′(x)＝ 值． 故 h(x)的最小值 φ(a)的解析式为 φ(a)＝2a(1－ln 2a)(a>0)． x－2a 2x ＞0，h(x)在(0，＋∞)上递增，无最小
)
解析： 设 F(x) ＝ f(x)·g(x) ，则当 x<0 时， F′(x)>0 ，即在 ( － ∞ ， 0) 上
F(x)是递增的．
又∵g(x)是偶函数，∴g(－3)＝g(3)＝0. ∴F(－3)＝0. ∴在x∈(－∞，－3)上F(x)<0，
即f(x)g(x)<0.可证得F(x)是奇函数，
∴在(0,3)上，f(x)g(x)<0.故选D. 答案：D
f(x)在区间(64,640)内为增函数， 所以 f(x)在 x＝64 处取得最小值． m 640 此时 n＝ x －1＝ 64 －1＝9. 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小．
4．已知函数 f(x)＝ x，g(x)＝aln x，a∈R. (1)设函数 h(x)＝f(x)－g(x)，当 h(x)存在最小值时，求其最小值 φ(a) 的解析式； (2)对(1)中的 φ(a)和任意的 a>0，b>0，求证：
利用导数研究函数的单调性
对函数单调性的讨论，往往先确定定义域，然后在定义域内由f′(x) 的符号处理问题．应用导数求函数单调区间的基本步骤：①求导数f′(x)；
②解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；③确定并指出单调区间．
[例1] 已知函数f(x)＝(x－k)ex. (1)求f(x)的单调区间；
名师点睛
本小题根据实际问题建立数学模型，运 用导数知识求最值，要注意函数的定义域应 使实际问题有意义.
1 ．设 f(x) ，g(x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x<0 时，
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是(
A．(－3,0)∪(3，＋∞) C．(－3,0)∪(0,3) B．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)
利用导数求函数的极值与最值
用导数求函数的极值、最值是高中学习的重点，也是高考的热
点．最值可根据函数的单调性、基本不等式的性质等知识来求．而用 导数求最值，是一种重要而又简单的方法，利用导数作工具，判断函
数的单调性，进而求出极值和区间端点的函数值，最后比较大小，得
到函数的最值．
ex [例 2] 设 f(x)＝ ，其中 a 为正实数． 1＋ax2 4 (1)当 a＝3时，求 f(x)的极值点； (2)若 f(x)为 R 上的单调函数，求 a 的取值范围．
解析：(1)设需新建 n 个桥墩，则(n＋1)x＝m， m 即 n＝ x －1. 所以 y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋ x)x m m ＝256 x －1 ＋ x (2＋ x)x 256m ＝ x ＋m x＋2m－256(0<x≤m)．
(2)由(1)知， 256 m 1 1 f′(x)＝－ x2 ＋2mx－2 m 3 ＝2x2(x2－512)． 3 令 f′(x)＝0，得 x2＝512， 所以 x＝64. 当 0<x<64 时，f′(x)<0， f(x)在区间(0,64)内为减函数， 当 64<x<640 时，f′(x)>0，
所以 a 的取值范围为 a|0＜a≤1.
不论求极值还是最值都要充分利用导数 名师点睛 先判断函数的单调性，然后求解．若有参数 要注意分类讨论.
导数在实际问题中的应用
解决实际应用问题是数学学习和研究的最终归宿，利用导数来研
究实际问题在某点处的变化特征更是简洁明了．因而，利用导数来刻
2 1 ＋ ax －2ax x [解析] 对 f(x)求导得 f′(x)＝e .① 1＋ax22
4 (1)当 a＝3时，若 f′(x)＝0，则 4x2－8x＋3＝0， 3 1 解得 x1＝2，x2＝2.结合①，可知
x
1 －∞，2 ＋
1 2 0 极大 Nhomakorabea1 3 ， 2 2 －
或最小值的变量 y与自变量 x，把实际问题转化为数学问题，即列出函
数关系y＝f(x)，根据实际问题确定y＝f(x)的定义域． (2)求f′(x)，令f′(x)＝0，得出所有实数的解．
(3)比较在导函数各个根和区间端点处的函数值的大小，根据实际
问题的意义确定函数的最大值或最小值．
[例 3] 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶 和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘 米厚的隔热层建造成本为 6 万元． 该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位： 万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系：C(x)＝ k (0≤x≤10)，若 3x＋5
(2)f′(x)＝6－ 即
2 400 .令 f′(x)＝0， 3x＋52
2 400 25 ＝ 6 ，解得 x ＝ 5 或 x ＝－ 3 (舍去)． 3x＋52
当 0≤x<5 时，f′(x)<0；当 5<x≤10 时，f′(x)>0.故 x＝5 是 f(x)的 800 最小值点，对应的最小值为 f(5)＝6×5＋ ＝70. 15＋5 当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元.
当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.
利用导数研究函数的单调性是导数的一
个重要的作用．在中间穿插参数，用分类讨
名师点睛 论的思想解题是这一类型题目的难点，在分 类讨论时要做到“不增不漏”，即讨论哪几 种情况必须要搞清楚.
本小节结束
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不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元．设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和． (1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值．
[解析]
(1)设隔热层厚度为 x cm，由题设，每年能源消耗费用为
k 40 C(x)＝ ，再由 C(0)＝8，得 k＝40，因此 C(x)＝ . 3x＋5 3x＋5 而建造费用为 C1(x)＝6x. 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x)＝20C(x) 40 800 ＋C1(x)＝20× ＋6x＝ ＋6x(0≤x≤10)． 3x＋5 3x＋5
用求导法解决一些实际问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题
的方法能使复杂的问题简单化． 利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法：
(1)细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值
2． 若函数 y＝a(x3－x)的递减区间为－
3 3 ， 则 a 的取值范围是 3，3
(
) A．a>0 C．a>1 B．－1<a<0 D．0<a<1
解析：y′＝a(3x2－1)，当 a>0 时，y′<0 的解集为－ 选 A.
答案：A
3 3 ，故 3，3
3．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m 米，余下工 程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元；距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 (2＋ x)x 万 元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记 余下工程的费用为 y 万元． (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式； (2)当 m＝640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小？
(k
－1，＋∞)．
(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增， 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；
当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，
由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增， 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
[解析] (1)f′(x)＝(x－k＋1)ex. 令f′(x)＝0，得x＝k－1. f(x)与f′(x)的变化情况如下：
x f′(x) f(x)
(－∞，k－1) －
k－1 0 －ek－1
(k－1，＋∞) ＋
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是
3 2 0 极小
3 ，＋ ∞ 2
f′(x)
＋
f(x)
值
值
3 1 所以 x1＝2是极小值点，x2＝2是极大值点．
(2)若 f(x)为 R 上的单调函数，则 f′(x)在 R 上不变号，结合①与条 件 a＞0， 知 1＋ax2－2ax≥0 在 R 上恒成立， 即 Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0， 由此并结合 a＞0，知 0＜a≤1.
a＋b φ′a＋φ′b 2ab φ′ ≤ ≤φ′a＋b. 2 2
解析：(1)由条件知 h(x)＝ x－aln x(x>0)， x－2a a ∴h′(x)＝ － ＝ 2x . 2 x x 1
①当 a>0 时，令 h′(x)＝0，解得 x＝4a2， ∴当 0<x<4a2 时，h′(x)<0，h(x)在(0,4a2)上递减； 当 x>4a2 时，h′(x)>0，h(x)在(4a2，＋∞)上递增． ∴x＝4a2 是 h(x)在(0，＋∞)上的唯一极值点，且是极小值点，从而 也是 h(x)的最小值点． ∴最小值 φ(a)＝h(4a2)＝2a－aln 4a2＝2a(1－ln 2a)． ②当 a≤0 时，h′(x)＝ 值． 故 h(x)的最小值 φ(a)的解析式为 φ(a)＝2a(1－ln 2a)(a>0)． x－2a 2x ＞0，h(x)在(0，＋∞)上递增，无最小
)
解析： 设 F(x) ＝ f(x)·g(x) ，则当 x<0 时， F′(x)>0 ，即在 ( － ∞ ， 0) 上
F(x)是递增的．
又∵g(x)是偶函数，∴g(－3)＝g(3)＝0. ∴F(－3)＝0. ∴在x∈(－∞，－3)上F(x)<0，
即f(x)g(x)<0.可证得F(x)是奇函数，
∴在(0,3)上，f(x)g(x)<0.故选D. 答案：D
f(x)在区间(64,640)内为增函数， 所以 f(x)在 x＝64 处取得最小值． m 640 此时 n＝ x －1＝ 64 －1＝9. 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小．
4．已知函数 f(x)＝ x，g(x)＝aln x，a∈R. (1)设函数 h(x)＝f(x)－g(x)，当 h(x)存在最小值时，求其最小值 φ(a) 的解析式； (2)对(1)中的 φ(a)和任意的 a>0，b>0，求证：
利用导数研究函数的单调性
对函数单调性的讨论，往往先确定定义域，然后在定义域内由f′(x) 的符号处理问题．应用导数求函数单调区间的基本步骤：①求导数f′(x)；
②解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；③确定并指出单调区间．
[例1] 已知函数f(x)＝(x－k)ex. (1)求f(x)的单调区间；
名师点睛
本小题根据实际问题建立数学模型，运 用导数知识求最值，要注意函数的定义域应 使实际问题有意义.
1 ．设 f(x) ，g(x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x<0 时，
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是(
A．(－3,0)∪(3，＋∞) C．(－3,0)∪(0,3) B．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)
利用导数求函数的极值与最值
用导数求函数的极值、最值是高中学习的重点，也是高考的热
点．最值可根据函数的单调性、基本不等式的性质等知识来求．而用 导数求最值，是一种重要而又简单的方法，利用导数作工具，判断函
数的单调性，进而求出极值和区间端点的函数值，最后比较大小，得
到函数的最值．
ex [例 2] 设 f(x)＝ ，其中 a 为正实数． 1＋ax2 4 (1)当 a＝3时，求 f(x)的极值点； (2)若 f(x)为 R 上的单调函数，求 a 的取值范围．
解析：(1)设需新建 n 个桥墩，则(n＋1)x＝m， m 即 n＝ x －1. 所以 y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋ x)x m m ＝256 x －1 ＋ x (2＋ x)x 256m ＝ x ＋m x＋2m－256(0<x≤m)．
(2)由(1)知， 256 m 1 1 f′(x)＝－ x2 ＋2mx－2 m 3 ＝2x2(x2－512)． 3 令 f′(x)＝0，得 x2＝512， 所以 x＝64. 当 0<x<64 时，f′(x)<0， f(x)在区间(0,64)内为减函数， 当 64<x<640 时，f′(x)>0，
所以 a 的取值范围为 a|0＜a≤1.
不论求极值还是最值都要充分利用导数 名师点睛 先判断函数的单调性，然后求解．若有参数 要注意分类讨论.
导数在实际问题中的应用
解决实际应用问题是数学学习和研究的最终归宿，利用导数来研
究实际问题在某点处的变化特征更是简洁明了．因而，利用导数来刻
2 1 ＋ ax －2ax x [解析] 对 f(x)求导得 f′(x)＝e .① 1＋ax22
4 (1)当 a＝3时，若 f′(x)＝0，则 4x2－8x＋3＝0， 3 1 解得 x1＝2，x2＝2.结合①，可知
x
1 －∞，2 ＋
1 2 0 极大 Nhomakorabea1 3 ， 2 2 －
或最小值的变量 y与自变量 x，把实际问题转化为数学问题，即列出函
数关系y＝f(x)，根据实际问题确定y＝f(x)的定义域． (2)求f′(x)，令f′(x)＝0，得出所有实数的解．
(3)比较在导函数各个根和区间端点处的函数值的大小，根据实际
问题的意义确定函数的最大值或最小值．
[例 3] 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶 和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘 米厚的隔热层建造成本为 6 万元． 该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位： 万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系：C(x)＝ k (0≤x≤10)，若 3x＋5
(2)f′(x)＝6－ 即
2 400 .令 f′(x)＝0， 3x＋52
2 400 25 ＝ 6 ，解得 x ＝ 5 或 x ＝－ 3 (舍去)． 3x＋52
当 0≤x<5 时，f′(x)<0；当 5<x≤10 时，f′(x)>0.故 x＝5 是 f(x)的 800 最小值点，对应的最小值为 f(5)＝6×5＋ ＝70. 15＋5 当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元.
当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.
利用导数研究函数的单调性是导数的一
个重要的作用．在中间穿插参数，用分类讨
名师点睛 论的思想解题是这一类型题目的难点，在分 类讨论时要做到“不增不漏”，即讨论哪几 种情况必须要搞清楚.
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不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元．设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和． (1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值．
[解析]
(1)设隔热层厚度为 x cm，由题设，每年能源消耗费用为
k 40 C(x)＝ ，再由 C(0)＝8，得 k＝40，因此 C(x)＝ . 3x＋5 3x＋5 而建造费用为 C1(x)＝6x. 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x)＝20C(x) 40 800 ＋C1(x)＝20× ＋6x＝ ＋6x(0≤x≤10)． 3x＋5 3x＋5