MSDC.初中数学.反比例函数A级.第03讲.学生版

板块一 反比例函数与方程、不等式
1. 此类问题重点会考察通过数形结合的思想去解方程和不等式的解
2. 反比例函数与方程（组）：如图，一次函数2y x =+与反比例函数3
y x
=
相交于(1,3)A 、(3,1)B --，点(3
,1)C 是反比例函数m
y x
=上的点，直线AB 交x 轴于点(2,0)D -，因此我们得到13x y =⎧⎨
=⎩、31x y =-⎧⎨=-⎩、31x y =⎧⎨=⎩都是方程3
0y x -=
的解，13x
y =⎧⎨=⎩、31x y =-⎧⎨=-⎩、20
x y =-⎧⎨=⎩都是方程20x y -+=的解，但是因为方程3
0y x
-=，方程20x y -+=都是不定方程，所以他们的解有无数组，
分别对应的是函数图象上点的横、纵坐标。

方程组3
020
y x
x y ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩的解为1
3x y =⎧⎨=⎩、31x y =-⎧⎨=-⎩，分别对应了一次函数2y x =+与反比例函数3y x
=交点A 、B 的横、纵坐标
例题精讲
中考要求
反比例函数与一次函数综合
3. 反比例函数与不等式：
如图，反比例函数3y x
=图象上两点(1,3)A 、(3,1)B --，分别过A 、B 两点作y 轴的垂线1l 、
2l ，直线1l 、2l 以及x 轴将反比例函数图象分成四部分：3y >、03y <<、10y -<<、1y <-
⑴当3y >时，对应的x 的取值范围是01x << ⑵当03y <<时，对应的x 的取值范围是1x > ⑶当10y -<<时，对应x 的取值范围是3x <- ⑷当1y <-时，对应x 的取值范围是30x -<<
如图，一次函数2y x =+与反比例函数3y x
=相交于(1,3)A 、(3,1)B --，分别过A 、B 两点作
x 轴的垂线2l ，1l ，则1l 、2l 、y 轴将直线和双曲线分成四段：3x <-，30x -<<，01x <<、
1x >
⑴当3x <-时，双曲线在直线上方，则32x x
>+ ⑵当30x -<<时，双曲线在直线下方，则32x x
<+ ⑶当01x <<时，双曲线在直线上方，则32x x >+ ⑷当1x >时，双曲线在直线下方，则32x x
<+
反之，若32x x
>+，则3x <-或01x <<；若32x x <+，则30x -<<或1x >
【例1】 已知函数11y x =-和26y x
=
⑴在如图所示坐标系中画出这两个函数的图象； ⑵求这两个函数图象的交点坐标； ⑶观察图象，当x 在什么范围时，12y y >
【巩固】如图，反比例函数k
y x
=
的图像与一次函数y mx b =+的图像交于(13)A ，，(1)B n -，两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图像回答：当x 取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．
【巩固】如图，已知一次函数1y x m =+（m 为常数）的图象与反比例函数2k
y x
=
（k 为常数，0k ≠）的图象相交于点()13A ，．
（1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交点B 的坐标； （2）观察图象，写出使函数值12y y ≥的自变量x 的取值范围．
【例2】 如图，已知()()424A n B --，
，，是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数m
y x
=的图象的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及AOB ∆的面积； (3)求方程0m
kx b x
+-
=的解（请直接写出答案）
； (4)求不等式0m
kx b x
+-
=的解集（请直接写出答案）.
板块二 反比例函数与一次函数的综合 ☞反比例函数与一次函数图象分布
【例3】 函数1y kx =+与函数k
y x
=
在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A B C D
【巩固】函数y ax a =-与a
y x
=
（0a ≠）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A B C D
☞反比例函数与一次函数图象有关交点问题
【例4】 在平面直角坐标系xoy 中，直线y x =向上平移1个单位长度得到直线l ．直线l 与反比例函数
k
y x
=
的图象的一个交点为()2A a ，
，则k 的值等于 ．
【巩固】在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =-绕点O 顺时针旋转90 的到直线l .直线l 与反比例函数
k
y x
=
的图象的一个交点为A (a ，3)，试确定反比例函数的解析式.
【例5】 已知反比例函数k
y x
=
(0k <)的图像经过点A
(m )，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，且A O B ∆
⑴求k 和m 的值.
⑵若一次函数1y ax =+的图象经过点A ，并且与x 轴相交于点C ，求 :AO AC 的值.
【巩固】已知一次函数y kx b =+(0k ≠)的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，且与反比例函数
m
y x
=
(0m ≠)的图象在第一象限交于C 点，CD 垂直于x 轴，垂足为D .若1OA OB OD ===， ⑴ 点A 、B 、D 的坐标；
⑵ 求一此函数与反比例函数的解析式.
【例6】 已知正比例函数与反比例函数图象交点到x 轴的距离是3，到y 轴的距离是4，求它们的解析式．
☞反比例函数与四边形
【例7】 如图，点()1A m m +，，()31B m m +-，都在反比例函数k
y x
=
的图象上． （1）求m k ，的值；
（2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A B M N ，，，为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式．
【例8】 已知(1)A m -，
与(2B m +，是反比例函数k
y x
=
图象上的两个点． （1）求k 的值；
（2）若点(10)C -，，则在反比例函数k
y x
=
图象上是否存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
1. 直线y kx =(0k >)与双曲线4
y x
=
交于A (1x ，1y )，B (2x ，2y )两点，求122127x y x y -的值.
2. 已知正比例函数1y k x =1(0)k ≠与反比例函数2
2(0)k y k x
=
≠的图象交于A B 、两点，点A 的坐标 为(21)，
． （1）求正比例函数、反比例函数的表达式； （2）求点B 的坐标．
3. 如图，是一次函数y kx b =+与反比例函数2y x =
的图像，则关于x 的方程2
kx b x
+=的解为( ) A ．1212x x ==，
B ．1221x x =-=-，
C ．1212x x ==-，
D ．1221x x ==-，
课堂检测
【习题1】已知一次函数y x m =+与反比例函数1
m y x
+=
(1m ≠-)的图象在第一象限内的交点为P (0x ，3) （1）求0x 的值.
（2）求一次函数和反比例函数的解析式.
【习题2】如图，一次函数1
22
y x =
-的图象分别交x 轴、y 轴于A B P ，
，为AB 上一点且PC 为AOB ∆的中位线，PC 的延长线交反比例函数()0k
y k x
=>的图象于Q ，32OQC S ∆=，则k 的值和Q 点的坐标
分别为
______________.
【习题3】已知一次函数与反比例函数的图象交于点P (3-，m )，Q (2，3-)．
课后作业
⑴求这两个函数的函数关系式；
⑵在给定的直角坐标系(如图)中，画出这两个函数的大致图象；
⑶x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？x为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？。