弹性力学全程导学及习题全解

1-7 试画出题1-7图中的的矩形薄板的正的体力，面力和应力的方向。

注意：（1）无论在哪一个位置的体力，在哪一个边界面上的面力，均为沿坐标轴正方向为正，反之为负。

（2）边界面上的应力应是以在正坐标面上，方向沿坐标轴正方向为正，反之为负，在负坐标面上，方向沿坐标轴负方向为正，反之为负。

1-8 试画出题1-8图中的三角形薄板的正的面力和体力的方向。

2-7 在导出平面问题的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假设？这些方程的适用条件是什么？【解答】（1）在导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假定是：物体的连续性，小变形和均匀性。

在两种平面问题（ 平面应力、平面应变问题）中，平衡微分方程和几何方程都适用。

（2）在导出平面问题的物理方程时应用的基本假定是：物体的连续性，完全弹性，均匀性，小变形和各向同性，即物体为小变形的理想弹性体。

在两种平面问题（平面应力、平面应变）中的物理方程不一样，如果将平面应力问题的物理方程中的E 换位21E μ-，1μμμ-换为，就得到平面应变问题的物理方程。

2-8 试列出题2-8图（a ），题2-8图（b ）所示问题的全部边界条件。

在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。

【解】（1）对于图（a ）的问题 在主要边界0,x x b ==上，应精确满足下列边界条件：0(),(),x x x x b gy gy σρσρ===-=- 0()0()0xy x xy x b ττ====；。

在小边界（次要边界）y=0上，能精确满足下列边界条件：01(),y y gh σρ==-()0yx τ=。

在小边界（次要边界）2y h =上，有位移边界上条件：22()0,()0y h y h u v ====。

这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚1δ=时，22212000()(),()0,()0b y y h by y h byx y h dx g h h b xdx dx σρστ===⎧=-+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩⎰⎰⎰。

（2）对于图（b ）所示问题在主要边界/2y h =±上，应精确满足下列边界条件：/2/2()0,(),y y h y y h q σσ==-==-/21/2()()0yx y h yx y h q ττ==-=-=；。

在次要边界0x =上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，当板厚1δ=时，/20/2/20/2/20/2(),(),()h x x Nh h x x h h xy x S h dy F ydy M dy F σστ=-=-=-⎧=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩⎰⎰⎰。

在次要边界x l =上，有位移边界条件：()0,()0x l x l u v ====。

这两个位移边界条件可以改用三个积分的应力边界条件来代替/21/22/21/2/2/2(),(),22()h x x l Nh h x x l S h h xy x l Sh dy q l F q lh ql ydy M F l dy ql F σστ=-=-=-⎧=-⎪⎪⎪=---⎨⎪⎪=--⎪⎩⎰⎰⎰。

2-9 试应用圣维南原理，列出题2-9图所示的两个问题中OA 边的三个积分的应力边界条件，并比较两者的面力是否静力等效？【解】（1）对于图（a ），上端面的面力向截面形心简化，得主矢和主矩分别为/2N F qb =，S F =0，20()/122bqx bM x dx qb b =-=-⎰。

应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件，当板厚1δ=时，002000()2,()12,()0b y y b y y b yx y b dx qb xdx qb dx σστ===-⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩⎰⎰⎰。

（2）对于图（b ），应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件，当板厚1δ=时，0020000()2,()12,()0b y y b y y byx y dx qb xdx qb dx σστ===⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩⎰⎰⎰。

所以，在小边界OA 边上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，这两个问题为静力等效的。

2-10检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么？ 【解】（1）用位移表示的平衡微分方程22222222222211()012211()0122x y E u u uf x y x y E v v u f y x x y μμμμμμ⎧∂-∂+∂+++=⎪-∂∂∂∂⎪⎨∂-∂+∂⎪+++=⎪-∂∂∂∂⎩（2）用位移表示的应力边界条件 221()()121()()12x x y x E u v u v l m f x y y x E v u v u m l f y x x y μμμμμμ⎧⎡⎤∂∂-∂∂+++=⎪⎢⎥-∂∂∂∂⎣⎦⎪⎨⎡⎤∂∂-∂∂⎪+++=⎢⎥⎪-∂∂∂∂⎣⎦⎩（3）位移边界条件(),()()s s u u u v v s ==。

在上2-11检验平面问题中的应力分量是否为正确解答的条件是什么？【解】（1）平衡微分方程0,0yxx x y xy yf xy f y x τσστ∂⎧∂++=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩。

（2）相容方程2()(1)()yx x y f f x y σσμ∂∂∇+=-++∂∂。

（3）应力边界条件（假定全部为应力边界条件，s s σ=）(),()x yx x y xy y l m f m l f στστ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩。

/. s s σ=（在上）（4）若为多连体，还须满足位移单值条件。

2-13检验下列应力分量是否是图示问题的解答：（a ）题2-13图（a ），22,0x y xy y q b σστ===。

（b ）题2-13图（b ），由材料力学公式，,S x xy F S My I bI στ==（取梁的厚度b=1），得出所示问题的解答：32223332,(4)4x xy x y qx q h y lh lh στ=-=--。

又根据平衡微分方程和边界条件得出333222y q xy xy qxq lh lh l σ=--。

试导出上述公式，并检验解答的正确性。

【解】按应力求解时，（本题体力不计），在单连体中应力分量,,x y xyσστ必须满足：平衡微分方程、相容方程、应力边界条件（假设s s σ=）。

（1） 题2-13图（a ），22,0x y xy y q b σστ===① 相容条件：将应力分量代入相容方程，教材中式（2-23）222222()()0x y qx y b σσ∂∂++=≠∂∂，不满足相容方程。

② 平衡条件：将应力分量代入平衡微分方程00yxx y xy xy y x τσστ∂⎧∂+=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪+=⎪∂∂⎩ 显然满足。

③ 应力边界条件：在x a =±边界上，22(),()0xx axy x a y q b στ=±=±==。

在y b =±边界上，()0,()0y y b yx y b στ=±=±==。

满足应力边界条件。

（2） 题2-13图（b ），由材料力学公式，,S x xy F S My I bI στ==（取梁的厚度b=1），得出所示问题的解答：32223332,(4)4x xy x y qx q h y lh lh στ=-=--。

又根据平衡微分俄方程和边界条件得出333222y q xy xy qxq lh lh l σ=--。

试导出上述公式，并检验解答的正确性。

① 推导公式：在分布荷载作用下，梁发生弯曲变形，梁横截面是宽度为1，高为h 的矩形，其对z 轴（中性轴）的惯性距312z h I =，应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和剪力方程分别为23(),()62S q qx M x x F x l l =-=-。

所以截面内任意点的正应力和切应力分别为33()2x z M x y x yq I lh σ==-，2222233()43(1)(4)24S xy F x y q x h y bh h lh τ=-=--。

根据平衡微分方程的第二式（体力不计）y xy yxστ∂∂+=∂∂，得到33322y q xy xy q Alh lh σ=-+。

根据边界条件2()0,y h y =∂=得2q xA l =-，所以333222y q xy xy q x q lh lh l σ=--。

② 相容条件：将应力分量代入相容方程2222324()()0x y qxy x y lh σσ∂∂++=-≠∂∂。

不满足相容方程。

③ 平衡方程：将应力分量代入平衡微分方程显然满足。

④ 应力边界条件：在主要边界2y h =±上，应精确满足下列边界条件：/2/2(),()0,y y h y y h qx lσσ=-==-=/2/2()0()0yx y h yx y h ττ=-===。

自然满足。

在x=0的次要边界上，外力的主矢量，主矩都为零。

有三个积分的应力边界条件：/20/2/20/2/20/2()0,()0,()0h x x h h x x h h xy x h dy ydy dy σστ=-=-=-⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩⎰⎰⎰。

在x l =次要边界上，()0,()0x l x l u v ====。

这两个位移边界条件可以改用积分的应力边界条件来代替。

3 /2/23 /2/232/2/23/2/23/2/2223/2/2()20,()2,63()(4)42h hx x lh hh hx x lh hh hxy x lh hx ydy q dylhx y qlydy q ydylhq x y qldy h y dylhσστ=--=--=--⎧=-=⎪⎪⎪=-=-⎨⎪⎪=--=-⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰。

所以，满足应力的边界条件。

显然上两图中的应力分量都满足平衡微分方程和应力边界条件，但不满足相容方程，所以两题的解答都不是问题的解。

【解】参看图，位移矢量是服从几何加减运算法则的。

位移矢量为d，它在(x,y)和(,)ρϕ坐标系中的分量分别表示为(,)(,)u v u uρϕ和，所以cos sinsin cosu u vu u vρϕϕϕϕϕ=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩（a）写成矩阵形式cos sinsin cosu uu vρϕϕϕϕϕ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（b）所以cos sinsin cosuuv uρϕϕϕϕϕ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（c）若写成一般形式，则位移分量的变换关系为cos sin,sin cosu u u v u uρϕρϕϕϕϕϕ=-=+或cos sin,sin cosu u v u u vρϕϕϕϕϕ=+=-+。