江苏省无锡市锡山区天一中学2022高一数学下学期期末考试试题(含解析)
江苏省无锡市天一中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题(平行班) (含答案)
江苏省天一中学2020-2021学年第二学期期末考试高一数学学科（平行班）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设向量()1,0a =，11,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A.a b = B.22a b ⋅= C.()a b b -⊥ D.//a b2.已知复数531i z i+=-，则下列说法正确的是（ ） A.z 的虚部为4iB.z 在复平面内对应的点在第二象限C.5z =D.z 的共轭复数为14i -3.从4名男同学和3名女同学中任选3名同学，那么互斥而不对立的事件是（ ）A.至少有一名男同学与都是男同学B.至少有一名男同学与都是女同学C.恰有一名男同学与恰有两名男同学D.至少有一名男同学与至少有一名女同学4.在ABC △中，80a =，100b =，45A =°，则此三角形解的情况是（ ）A.一解B.两解C.一解或两解D.无解5.如图所示的三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为26，则称该图形是“和谐图形”，已知其中四个三角形上的数字之和为20，现从1，2，3，4，5中任取两个数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（ ）A.310B.15C.110D.3206.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（ ）A.若//m α，//m β，则//αβB.若//m α，//m n ，则//n αC.若m α⊥，//m β，则αβ⊥D.若//m α，n α⊂，则//m n7.如图，点M 是正方体1111ABCD A BC D -的棱CD 的中点，则异面直线AM 与1BC 所成角的余弦值是（ ）A.5B.5C.5D.108.若圆锥的体积与球的体积相等，且圆锥的底面半径与球的直径相等，则圆锥的侧面积与球的表面积之比为（ ）2 4 C.1:2 4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（ ）A.平均数为3B.标准差为85C.众数为2和3D.85%分位数为4.510.下列说法正确的是（ ）A.甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是0.5，0.25，则题被解出的概率是0.125B.若A ，B 是互斥事件，则()()()P A B P A P B =+，()0P AB =C.某校200名教师的职称分布情况如下：高级占比20%，中级占比50%，初级占比30%，现从中抽取50名教师做样本，若采用分层抽样方法，则高级教师应抽取10人D.一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是23 11.下列结论正确的是（ ）A.在ABC △中，若A B >，则sin sin A B >B.在ABC △中，若2220b c a +->，则ABC △是锐角三角形C.若sin 2sin 2A B =，则三角形ABC 为等腰三角形D.在锐角三角形ABC 中，sin sin cos cos A B A B +>+12.对于给定的ABC △，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论正确的有（ ） A.212AO AB AB ⋅= B.OA OB OA OC OB OC ⋅=⋅=⋅C.过点G 的直线l 交AB ，AC 于E ，F ，若AB AB λ=，AF AC μ=，则113λμ+=D.AH 与cos cos ABACAB B AC C +共线三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在ABC △中，2AB =，3AC =，2cos 3A =，则其外接圆的面积为______. 14.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有一“阳马”P ABCD -，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，1AD =，则该“阳马”的最长棱长等于______；外接球表面积等于______.15.某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竟技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2020年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竟技”，“国学”三个社团的概率依次为m ，13，n ，已知三个社团他都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为34，且m n >，则m n +的值是______. 16.如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，AD AB =，45BCD ∠=°，90BAD ∠=°，将ABD △沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A BCD -，则在三棱锥A BCD -中，下列判断正确的是______（写出所有正确的序号）①平面ABD ⊥平面ABC②直线BC 与平面ABD 所成角是45°③平面ACD ⊥平面ABC④二面角C AB D --四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知向量()3,4OA =-，()6,3OB =-，()5,3OC x y =-+，()4,1OD =--.（1）若四边形ABCD 是平行四边形，求x ，y 的值（2）若ABC △为等腰直角三角形，且B ∠为直角，求x ，y 的值.18.（12分）已知复数ω在复平面内对应的点位于第二象限，且满足2240ωω++=. （1）求复数ω；（2）设复数z x yi =+（,x y R ∈）满足：z ω⋅为纯虚数，2z =，求x y ⋅的值.19.（12分）在ABC △中，角A 、B 、C 对应的边分别是a 、b 、c ，已知()cos23cos 1A B C -+=.（1）求角A 的大小；（2）若ABC △的面积S =5b =，求sin sin B C 的值.20.（12分）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200kW h ⋅的部分按0.5元/kW h ⋅收费，超过200kW h ⋅但不超过400kW h ⋅的部分按0.8元/kW h ⋅收费，超过400kW h ⋅的部分按1.0元/kW h ⋅收费.（1）求某户居民用电费用y （单位：元）关于月用电量x （单位：kW h ⋅）的函数解析式（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的月用电量，统计分析后得到如图所示的频率直方图.若这100户居民中，今年1月份电费不超过260元的占80%，求a ，b 的值；（3）在（2）的条件下，计算月用电量的75百分位数.21.（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点.（1）求证：11//B C 平面1A DE ；（2）若平面1A DE ⊥平面11ABB A ，求证：AB DE ⊥. 22.（12分）夜晚，在侨中D 栋5楼观赏完美大厦的霓虹灯是一件很惬意的事.完美大厦主楼目前是我市中心城区最高的地标性建筑.某学习小组要完成两个实习作业：验证百度地图测距的正确性及测算完美大厦主楼的高度，如图（1），博爱路沿线的水平路面上有两点A ，B ，其中AB 指向正西方向.首先利用百度地图测距功能测出AB 长度为2km ，接着在南外环沿线选定水平路面上可直接测距的C ，D 两点，测得30BCA ∠=°，45ACD ∠=°，60BDC ∠=°，30ADB ∠=°，学习小组根据上述条件计算出CD 长度，并将其与CD 的实际长度284km 进行比较，若误差介于20-米~20米之间，则认为百度地图测距是准确的.（1 1.414≈）（2）如图（2），小组在A 处测得完美大厦主楼楼顶M 在西偏北θ方向上，在B 处测得楼顶M 在西偏北ϕ方向上，且仰角45MBN ∠=°；通过计算得sin 3sin 4θϕ=，cos 11cos 4θϕ=，tan 450.0793≈°，若百度地图测出的2km AB =是准确的，请根据以上数据测算完美大厦主楼的高度（精确到1米）.江苏省天一中学2020-2021学年第二学期期末考试高一数学学科（平行班）答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.【答案】C解：对于A ，1a =，11442b +==，故A 选项错误； 对于B ，12a b ⋅=，故B 选项错误；对于C ，()1111,,02222a b b ⎛⎫⎛⎫=-⋅= ⎪ -⋅⎪⎝⎭⎝⎭，所以()a b b -⊥，故C 选项正确； 对于D ，111022⨯≠⨯，所以两个向量()1,0a =，11,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭不平行，故D 选项错误， 故选C.2.【答案】D 解：∵()()()()5315328141112i i i i z i i i i ++++====+--+， A.z 的虚部为4，故A 错误；B.14z i =+对应的点为()1,4，在第一象限，故B 错误；C.z ==C 错误；D.z 的共轭复数为14i -，故D 正确；故选D.3.【答案】C解：从4名男同学和3名女同学中任选3名同学，在A 中，至少有一名男同学与都是男同学能同时发生，不是互斥事件，故A 错误；在B 中，至少有一名男同学与都是女同学是对立事件，故B 错误；在C 中，恰有一名男同学与恰有两名男同学不能同时发生，但能同时不发生，是互斥面不对立的事件，故C 正确；在D 中，至少有一名男同学与至少有一名女同学能同时发生，不是互斥事件，故D 错误.故选：C.4.【答案】B 解：由正弦定理得：sin sin a b A B =，则2002sin 808B ==sin A >=，且b a >，所以B 可以为锐角也可以为钝角， 因此三角形解的情况是两解.故选B.5.【答案】B解：由题意可知，若该图形为“和谐图形”，则另外两个三角形上的数字之和恰为2606-=.从1，2，3，4，5中任取两个数字，基本事件总数为：()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5，()3,4，()3,5，()4,5，共10个，设事件A =“取出的两个数字之和为6”，则事件A 包含的基本事件有：()1,5，()2,4，共2个， 因此该图形为“和谐图形”的概率为21105=，故选B. 6.【答案】C 解：A.若//m α，//m β，则//αβ；此命题错误，因为两个平面平行于同一条直线不能保证两个平面平行，故A 不正确；B.若//m α，//m n ，则//n α或n α⊂，故B 不正确；C.若m α⊥，//m β，则αβ⊥；此命题正确，因为//m β，则一定存在直线n 在β，使得//m n ，又m α⊥可得出n α⊥，由面面垂直的判定定理知，αβ⊥，故C 正确；D.若//m α，n α⊂，则//m n 或m ，n 异面，故D 不正确.故选C.7.【答案】A解：如图，连接1AD ，∵11AB C D =，11//AB C D ，∴四边形11ABC D 为平行四边形，则11//AD BC ，则1D AM ∠为异面直线AM 与1BC 所成角，连接1D M .设正方体的棱长为2，则1AD =1AM D M =∴2221cos 5D AM +-∠==即异面直线AM 与1BC 所成角的余弦值是5. 故选A.8.【答案】A解：设球的半径为r ，所以球的体积为343r π. 设圆锥的高为h ，因为圆锥与球的体积相等，∴()2341233r r h ππ=，∴h r =.=，球的表面积为：24r π.圆锥的侧面积为：2142r r π⨯=2. 故选A. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.【答案】AC解：平均数为5543332221310+++++++++=，故A 正确；5=，故B 错误； 观察数据可得众数为2和3，故C 正确；将数据从小到大排序得1，2，2，2，3，3，3，4，5，5.则85108.5100i =⨯=，∴第85百分位数为5，故D 错误. 故选AC.10.【答案】BCD 解：对于A ，∵他们各自解出的概率分别是12，14，则此题不能解出的概率为 11311248⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则此题能解出的概率为35188-=，故A 错； 对于B ，若A ，B 是互斥事件，则()()()P A B P A P B =+，()0P AB =，故B 正确； 对于C ，高级教师应抽取5020%10⨯=人，故C 正确；对于D ，由列举法可知，两位女生相邻的概率是23，故D 正确. 故选CD.11.【答案】AD解：A.在ABC △中，由2sin 2sin sin sin a b R A R B A B A B ⇒>⇒>⇒>>，故A 正确. B.若2220b c a +->，则222cos 02b c a A bc +-=>，又因为0A π<<， 所以A 为锐角，但ABC △不一定为锐角三角形，故B 错误.C.∵sin 2sin 2A B =，∴22A B =或22A B π+=，∴A B =或2A B π+=，所以三角形ABC 为等腰三角形或直角三角形，故C 错误；D.在锐角三角形ABC 中，∵2A B π+>，∴sin sin 2A B π⎛⎫>- ⎪⎝⎭，即sin sin A B >，同理：sin cos B A >，∴sin sin cos cos A B A B +>+，故D 正确， 故选AD.12.【答案】ACD解：对于A ，由垂径定理可知，外心O 在AB 上的射影为线段AB 的中点， 所以212AO AB AB ⋅=，故A 正确； 对于B ，若OA OB OA OC OB OC ⋅=⋅=⋅，由OA OB OA OC ⋅=⋅，则()0OA OB OC ⋅-=，即0OA CB ⋅=， 同理0OB CA ⋅=，0OC AB ⋅=，即点O 为ABC △的垂心.又H 为ABC △的垂心，则有0HA BC HB AC HC AB ⋅=⋅=⋅=，故B 不正确；对于C ，因为G 、E 、F 三点共线，故存在实数t ，使得()()11AG t AE t AF t AB t AC λμ=+-=+-，又G 为ABC △的重心，故1133AG AB AC =+， 所以()13113t t λμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，则113λμ+=，故C 正确； 对于D ，因为0cos cos cos cos AB AC AB BC AC BC BC BC BC AB B AC C AB AC C θ⎛⎫⋅⋅ ⎪+-=+=-+= ⎪⎝⎭， 所以cos cos AB AC AB B AC C +与BC 垂直，又H 为ABC △的垂心，则AH 与BC 垂直，所以AH 与cos cos ABACAB B AC C +共线，故D 正确，故选ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】94π 解：在ABC △中，2AB =，3AC =，故sin A ==，由余弦定理可得，BC = 则利用正弦定理可得：ABC △3=，可得： ABC △的外接圆的半径为32，故ABC △的外接圆的面积为94π，故答案为：94π. 2cos 3A =，则其外接圆的面积为______. 14.【答案】3；9π解：如图所示：易知该“阳马”的侧棱长为3PC ==，PB ==PD ，故最长的侧棱为3，由条件易得：阳马P ABCD -的外接球印是以PA 、AB 、AD 为棱长的长方体的外接球.设其半径为R ，则()222229R PA AB AD =++=，解得32R =， 所以外接球表面积249S R ππ==，故答案为3；9π.15.【答案】34解：由题知三个社团都能进入的概率为124，即1113248m n m n ⨯⨯=⇒⨯=， 又因为至少进入一个社团的概率为34，即一个社团都没能进入的概率为31144-=. 即()()213111348m n m n m n -⨯⨯-=⇒--+⨯=，整理得34m n +=. 故答案为34. 16.【答案】②③④解：在四边形ABCD 中，由已知可得45DBC ∠=°，假设平面ABD ⊥平面ABC ，又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD 平面BDC BC =，可得BC ⊥平面ABD ，有90DBC ∠=°，与45DBC ∠=°矛盾，则假设错误，故①错误；在四边形ABCD 中，由已知可得BD DC ⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD 平面BDC BC =，则DC ⊥平面ABD ， DBC ∠为直线BC 与平面ABD 所成角是45°，故②正确；由判断②时可知，DC ⊥平面ABD ，则DC AB ⊥，又AB AD ⊥，AD DC D =，则AB ⊥平面ADC ，而AB ⊂平面ABC ，则平面ACD ⊥平面ABC ，故③正确；由判断③时可知，AB ⊥平面ADC ，则DAC ∠为二面角C AB D --的平面角，设1AD AB ==，则BD DC ==由DC AD ⊥，得AC =cos AD DAC AC ∠==. 故答案为：②③④.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：（1）因为()3,4OA =-，()6,3OB =-，()5,3OC x y =-+，()4,1OD =--，所以()1,5AD OD OA =-=--，()1,BC OC OB x y =-=+，由AD BC =，得2x =-，5y =-.………………5分（2）因为()3,1AB =--，()1,BC x y =+，B ∠为直角，所以AB BC ⊥，()310AB BC x y ⋅=-+-=. 又AB BC =，所以()22110x y ++=. 联立()()22310110x y x y -+-=⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得03x y =⎧⎨=-⎩或23x y =-⎧⎨=⎩.………………10分 18.解：（1）∵2240ωω++=，∴1ω=-，又复数ω在复平面内对应的点位于第二象限，∴1ω=-+；…………4分（2）∵z x yi =+（,x y R ∈），∴()())1z x yi x y i ω⋅=-++=-+-， ∵z ω⋅为纯虚数，∴0x -=0y -≠，由2z =，得224x y +=，联立可得x =1y =或x =1y =-，∴xy =…………12分19.解：（1）由()cos23cos 1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=， 即()()2cos 1cos 20A A -+=，解得1cos 2A =或cos 2A =-（舍去）. 因为0A π<<，所以3A π=.………………6分（2）由1sin 2S bc A ===，得到20bc =，又5b =，解得4c =， 由余弦定理得2222cos 25162021a b c bc A =+-=+-=，故a =又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=.…………12分 20.解：（1）当0200x ≤≤时，0.5y x =；当200400x <≤时，()0.52000.82000.860y x x =⨯+⨯-=-；当400x >时，()0.52000.8200 1.0400140y x x =⨯+⨯+⨯-=-.所以y 与x 之间的函数解析式为0.5,0200,0.860,200400,140,400.x x y x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩…………4分（2）由（1）可知，当260y =时，400x =，即用电量低于400千瓦时的占80%，结合频率分布直方图可知0.00110021000.0031000.8,1000.00051000.2.b a ⨯+⨯+⨯=+⨯=⎧⎨⎩解得0.0015a =，0.0020b =.…………8分（3）设75%分位数为m ，因为用电量低于300千瓦时的所占比例为()0.0010.0020.00310060%++⨯=，用电量低于400千瓦时的占80%，所以75%分位数m 在[)300,400内，所以()0.63000.0020.75m +-⨯=，解得375m =，即用电量的75%分位数为375千瓦时.…………12分21.证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，四边形11B BCC 是平行四边形，所以11//B C BC .在ABC △中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，故//BC DE ，所以11//B C DE .又11B C ⊄平面1A DE ，DE ⊂平面1A DE ， 所以11//B C 平面1A DE .…………6分（2）如图，在平面11ABB A 内，过A 作1AF A D ⊥于F ，因为平面1A DE ⊥平面11A ABB ，平面1A DE 平面111A ABB A D =，AF ⊂平面11A ABB ，又DE ⊂平面1A DE ，所以AF DE ⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ， 所以1A A DE ⊥.因为1AF A A A =，AF ⊂平面11A ABB ，1A A ⊂平面11A ABB ，所以DE ⊥平面11A ABB .因为AB ⊂平面11A ABB ，所以DE AB ⊥.…………12分22.【答案】解：（1）设km CD a =，等腰Rt ACD △中，km AC =，在BCD △中，30BCA ∠=°，45ACD ∠=°，60BDC ∠=°，可得45CBD ∠=°.由正弦定理得sin 60sin 45BC a =°°，解得BC a =；在ABC △中，由余弦定理得2AB a ==，∵2km AB =，∴2828m a =≈， ∵2828284020m -<，∴百度地图测距是准确的.…………4分（2）由已知sin 3sin 4θϕ=，在ABN △中，()sin 3sin 4BN AN θπϕ==-， 设3BN x =，4AN x =， 由余弦定理得，2222216947cos 1616x x x x x θ+-+==，2222921647cos 1616x x x ABN x x+--∠==， ()cos cos cos ABN πϕϕ∠=-=-， 故cos cos 11cos cos 4ABN θθϕ=-=-∠，解得1x =，所以3BN =，4AN =， 在Rt MBN △中，tan MN MBN BN ∠=， 故tan 3tan 4.530.07930.238MN BN MBN =∠=⨯≈⨯=°，故测算完美大厦主楼的高度约为238m .…………12分。
2024届江苏省无锡市第一中学数学高一下期末综合测试模拟试题含解析
2024届江苏省无锡市第一中学数学高一下期末综合测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知角A 、B 是ABC 的内角，则“A B <”是“sin sin A B <”的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．函数[]()3sin 20,6y x x ππ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ） A ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．某中学高一年级甲班有7名学生，乙班有8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是82，若从成绩在[80,90)的学生中随机抽取两名学生，则两名学生的成绩都高于82分的概率为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．155．若实数x ，y 满足约束条件40,250,270,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩则12y z x -=-的取值范围为( )A ．[]2,0-B ．(],2-∞-C ．[)2,0-D ．()0,∞+6．已知a ，b 都是实数，那么“22a b >”是“22a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．直线与圆交于不同的两点，则（ ）A ．B ．C ．D ．8．我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷()gu ǐ长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸.意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为1996分；且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分.则“立春”时日影长度为( )A ．19533分B ．110522分 C ．211513分 D ．512506分 9．直线x ﹣y+2＝0与圆x 2+（y ﹣1）2＝4的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定10．某产品的广告费用x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)的统计数据如下表：根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售为( ) A ．63.6万元 B ．65.5万元 C ．67.7万元D ．72.0万元二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2021-2022学年江苏省无锡市普通高中高一下学期期末数学试题【含答案】
2021-2022学年江苏省无锡市普通高中高一下学期期末数学试题一、单选题1．复数满足，则（ ）z i 1i ⋅=-+z ||z =A B C ．1D ．2B【分析】先求出复数，再求出其模z 【详解】因为，i 1i ⋅=-+z 所以，21i i i 1ii i z -++===+，=故选：B2．若直线不平行于平面，且，则下列结论成立的是（ ）l αl α⊂/A ．内的所有直线与是异面直线B ．内的所有直线与都相交αl αl C ．内存在唯一一条直线与相交D ．内存在无数条直线与相交αl αl D【分析】根据直线与平面、直线与直线的位置关系判断．【详解】由已知直线与平交，设交点为，则平面内过的所有直线与相交，l αP αP l 不过的直线与异面．只有D 正确．P l 故选：D3．已知向量，，若与共线，则实数的值为（ ）(1,0)a = (1,1)b = a b λ+ a b λ+ λA ．B ．1C ．D ．01-±1C【分析】根据向量共线的坐标表示计算．【详解】由已知，，(1,)a b λλλ+=+(1,1)a b λλ+=+ 又与共线，所以，解得．a b λ+ a b λ+(1)(1)0λλλ+-+=1λ=±故选：C ．4．掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现点数不超过A =B =3”，则事件与事件的关系为（ ）A B A ．相互独立B ．互斥C ．互为对立D ．相等【分析】根据是否相等判断独立性，由互斥、对立及相等事件的定(),()()P A B P A P B ⋂义判断B 、C 、D.【详解】由题意，，且，即，1()2P A =1()2P B =1()4P A B ⋂=()()()P A B P A P B ⋂=而事件可以同时发生，故它们不互斥，更不相等；,A B 由于“第一枚出现偶数点”， “第二枚出现点数超过3”，则不是对立事件；A =B =,A B 综上，A 正确，B 、C 、D 错误.故选：A5．某高校12名毕业生的起始月薪如下表所示：毕业生123456789101112起始月薪285029503050288027552710289031302940332529202880则第85百分位数是（ ）A ．3325B ．3130C ．3050D ．2950B【分析】将这12个数从小到大的顺序排列，再找到第，即第 11个数1285%10.20⨯=即可.【详解】解：将这12个数从小到大的顺序排列：2710，2755，2850，2880，2880，2890， 2920，2940，2950，3050，3130，3325.又因为第，1285%10.20⨯=所以第第85百分位数是第11个数据，为3130.故选：B.6．一个斜边长为2的等腰直角三角形绕斜边旋转一周，所形成的几何体的表面积为（ ）A ．B ．C D ．4π23π【分析】由题意可知，所形成的几何体是由底面半径为1，高为1的两个圆锥拼接而成，则其表面积是两个圆锥的侧面积之和【详解】由题意可知，所形成的几何体是由底面半径为1，高为1的两个圆锥拼接而成，所以所形成的几何体的表面积为，12212π⨯⨯⨯=故选：D7．已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向ABC O 2AO AB AC =+ ||||OA AB = BA量上的投影向量为（ ）BCA ．BC ．D ．14BC12BCBC A【分析】由，得是中点，从而得出，，作2AO AB AC =+O BC 60B ∠=︒30C ∠=︒于，即为向量在向量上的投影向量，设，求出，AH BC ⊥H BHBA BC AB a =BH 后可得结论．|BC 【详解】因为，所以是中点，则是圆直径，，2AO AB AC =+O BC BC O 90BAC ∠=︒又，所以是等边三角形，，||||OA AB = OAB 60B ∠=︒30C ∠=︒设，AB a=则，作于，则，所以，2BC a=AH BC ⊥H 30BAH ∠=︒12BH AB a ==即为向量在向量上的投影向量，．BH BA BC 14BH BC=故选：A ．8．设内角，，所对的边分别为，，.若，，则ABC A B C a b c 2b =2sin 6sin a C A =面积的最大值为（ ）ABC ABCD ．3B【分析】由结合正弦定理可得，再利用余弦定理可求得2sin 6sin aC A =6ac =，则可得，从而可求出面积的最大值2cos 3B ≥sin B ≤ABC 【详解】因为，2sin 6sin a C A =所以由正弦定理可得，得，26=a c a 6ac =由余弦定理得，，2222cos b a c ac B =+-22412cos acB =+-所以，当且仅当时取等号，22412cos 212B a cac +=+≥=a c=所以，2cos 3B ≥所以sinB==所以时取等号，11sin 622ac B ≤⨯=a c =所以ABC 故选：B 二、多选题9．有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，1x 2x n x 1x 2x n x ，其中，则（ ）x 11nii x x n ==∑A ．两组样本数据的样本平均数相同B ．两组样本数据的样本中位数相同C ．两组样本数据的样本标准差相同D ．两组样本数据的样本极差相同AD【分析】根据平均数、方差公式判断数据添加后新的平均数、方差变化情况，由中x 位数、极差定义判断中位数、极差的变化情况.【详解】新数据的平均数，故两组数据平均数相同，A 正确；11)1(ni i x x x x n ==++=∑若为偶数且两组数据1到n 或(n +1)依次从小到大排序后，则原数据中位数，n 1222n nx x ++而新数据中位数为，不一定相等，B 错误；12nx +原数据方差，而新数据方差22111)(ni i s x x n ==-∑，故标准差不一定相同，C 错误；122221211[)(()11](nn i i i i x x s x x x x n n ===-+--++=∑∑由必大于原数据中的最小值，而小于最大值，所以两组数据的极差相等，D 正确.x 故选：AD10．的内角，，所对边分别为，，，下列说法中正确的是（ ）ABC A B C a b c A ．若，则sin sin A B >A B>B ．若，则是锐角三角形2220a b c +->ABC C ．若，则是等腰三角形cos cos a B b A a +=ABC D ．若，则是等边三角形sin cos cos a b cA B C ==ABC AC【分析】A 由正弦定理及大边对大角判断；B 由余弦定理知为锐角；C 正弦边角关C 系及三角形内角和性质得；D 由正弦定理及三角形内角性质得.A C =45B C ==︒【详解】A ：由及正弦定理知：，根据大边对大角有，正确；sin sin A B >a b >A B >B ：由余弦定理，只能说明为锐角，但不能确定是锐角222cos 02a b c C ab +-=>C ABC 三角形，错误；C ：，则，故是等腰三角sin cos sin cos sin()sin sin A B B A A B C A +=+==a c =ABC 形，正确；D ：由，则，且sin cos cos sin sin a b c b cA B C B C ====sin cos ,sin cos B B C C ==，故，即是等腰直角三角形，错误.0,,A B C π<<45B C ==︒ABC 故选：AC 11．四棱台的底面是正方形，平面，1111ABCD A B C D -ABCD 1A A ⊥ABCD ，则下列说法正确的有（ ）111222===AB AA A B A ．直线与直线异面B ．平面平面1B B 1D D 11BB D D ⊥11AA C CC ．直线与直线所成角的大小为D ．该四棱台的体积为11B D CD 45︒73BCD【分析】根据棱台的性质判断A ，根据面面垂直判定定理判断B ，根据异面直线的夹角的定义判断C ，根据台体体积公式判断D.【详解】如图：由棱台的性质可得，直线与直线相交与点，所以直线与1B B 1D D S 1B B 直线不异面，A 错，1D D 因为四边形是正方形，所以，ABCD BD AC ⊥因为平面，平面，1A A ⊥ABCD BD ⊂ABCD 所以，又，平面，1BD AA ⊥1AA AC A = 1AA AC ⊂，11AA C C 所以平面，又平面，BD ⊥11AA C C BD ⊂11BB D D 所以平面平面，B 对，11BB D D ⊥11AA C C 因为，所以为直线与直线所成角，11//C D CD 111B D C ∠11B D CD 因为四边形为正方形，所以，1111A B C D 11145B D C ∠= 所以直线与直线所成角的大小为，C 对，11B D CD 45︒设正方形的面积为，正方形的面积为，棱台的高为，棱台的体1111A B C D 1S ABCD 2S h 积为，V 因为平面，所以棱台的高，1A A ⊥ABCD 1h A A =又，，(1213V S S h =+⋅121,4,1S S h ===所以，D 对，()17142133V =⨯++⨯=故选：BCD.12．一个袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，现分别用三种方案进行摸球游戏.方案一：任意摸出一个球并选择该球；方案二：先后不放回的摸出两个球，若第二次摸出的球号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择未被摸出的球；方案三：同时摸出两个球，选择其中号码较大的球.记三种方案选到3号球的概率分别为，，，则（ ）1P 2P3P A ．B ．C ．D ．12P P <13P P <23P P >12332++=P P P ABD【分析】根据题意分别求，，，方案一：直接求解即可；方案二：选到3号球1P 2P3P 有两种可能：第二次摸出的为3号球，或第一次2号球，第二次1号球；方案三：根据古典概型利用列举法理解运算．【详解】方案一：“选到3号球”的概率113P =方案二：“选到3号球”的概率22111132322P =⨯+⨯=方案三：同时摸出两个球共有：共3个基本事件，“选到3号球”包含{}{}{}1,2,1,3,2,3共2个基本事件，“选到3号球”的概率{}{}1,3,2,3323P =∴，，，，ABD 正确，C 错误12P P <13P P <32P P <12332++=P P P 故选：ABD ．三、填空题13．已知，，且，互斥，则___________.()0.5P A =()0.4P B =A B ()P AB =【分析】根据互斥事件的概念即可得结果.【详解】由于，互斥，即不可能同时发生，A B 所以，()0P AB =故0.14．的内角，，所对边分别为，，，已知，ABC A B C a b c 60C =︒，___________.1a =c =b =3【分析】利用余弦定理求解即可【详解】因为在中，，，ABC 60C =︒1a =c =所以由余弦定理得，2222cos c a b ab C =+-所以，，2712cos 60bb =+-︒260b b --=，(2)(3)0b b +-=得（舍去），或，2b =-3b =故315．点是边长为2的正三角形的三条边上任意一点，则的最小P ABC ||PA PB PC ++值为___________.【分析】构建直角坐标系，设且，应用向量的坐(1,0),(1,0)A B C -(1))P x x +标运算求坐标，应用坐标公式求模即可.PA PB PC ++【详解】不妨假设在上且，如下图示，P AB (1,0),(1,0)A B C -所以，在且，设，P 1)y x +10x -≤≤(1))P x x +则，，，(,)PA x =- (1,1))PB x x =--+ (1,1))PC x x =-+所以，(3,PA PB PC x ++=---故，||PA PB PC ++==当时，12x =-||PA PB PC ++四、双空题16．四面体的四个顶点都在球的球面上，和是边长为2的等边ABCD O ABC ADC三角形，，则球的体积为___________；若，分别为线段，的BD =O P Q AO BC 中点，则___________.PQ =【分析】由条件确定球心的位置及球的半径，由此求出球的体积，再证明O O ，由此可求.OA OQ ⊥PQ 【详解】因为和是边长为2的等边三角形，ABC ADC 所以，，2CD CB ==2AD AB ==又BD =所以，，222BD CB CD =+222BD AB AD =+所以，为以为斜边的直角三角形，DCB DAB DB设的中点为，则，DB O '12O A O B O C O D DB ''''====故四面体的外接球的球心为，ABCD O '又为四面体的外接球的球心，O ABCD所以为的中点，且球O BD O所以球的体积O 343V π=⨯=因为，OA OB ==2AB =所以，222OA OB AB +=所以，同理，OA OB ⊥OA OC ⊥又，平面，OC OB O = ,OC OB ⊂COB 所以平面，又平面，OA ⊥COB OQ ⊂COB所以，OA OQ ⊥所以，PQ =因为，所以为直角三角形，OC OB ==2BC =COB 又为线段的中点， 所以，Q BC 1OQ =又12OP OA ==所以，PQ =五、解答题17．已知复数，.112i z =+234i z =-(1)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围；12+z z λλ(2)若复数为纯虚数，求的虚部.()12()=⋅+∈z z z μμR z (1)13λ<-(2)20-【分析】(1)根据复数的运算公式和复数的几何意义确定数在复平面内对应的点12+z z λ的坐标，由条件列不等式求的取值范围；(2)根据纯虚数的定义列方程求，由此可λμ求的虚部.z 【详解】(1)，1212i (34i)(13)(24)i +=++-=++-z z λλλλ在复平面内对应的点在第二象限，则12+z z λ.113013240132λλλλλ⎧<-⎪+<⎧⎪⇒⇒<-⎨⎨->⎩⎪<⎪⎩所以实数的取值范围为；λ1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭(2).()12(12i)(34i)38[2(3)4]i=⋅+=+⨯+-=++++-z z z μμμμ为纯虚数，则且，z 380μ++=220μ+≠所以，11μ=-此时，所以的虚部为.20i =-z z 20-18．猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动.在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了道.假设每道灯谜被猜对的可能性都相等.n (1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；(2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值.2225n (1)；1325(2).10n =【分析】（1）由题设求出甲、乙、丙猜对或错的概率值，应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；（2）利用对立事件的概率求法及独立事件乘法公式列方程求.n 【详解】(1)设“任选一道灯谜甲猜对”，“任选一道灯谜乙猜对”，“任选一A =B =C =道灯谜丙猜对”.则，，，故，，123()205P A ==82()205P B ==()20=n P C 2()5P A =3()5P B =.()120=-nP C “甲，乙两位同学恰有一个人猜对”，且与互斥.AB AB =⋃AB AB 每位同学独立竞猜，故，互相独立，则与，与，与均相互独立.A B A B A B A B 所以.332213()(()()()()()555525=+=+=⨯+⨯=P AB AB P AB P AB P A P B P A P B 答：任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率为.1325(2)设“甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对”，则.D =D ABC =所以.2322()1()1(1((()11552025⎛⎫=-=-=-=-⨯⨯-=⎪⎝⎭n P D P D P ABC P A P B P C 解得.10n =19．平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，为两个夹角成的单位向量，O 1e2e 60︒，.123OA e e =+ 125OB e e =+(1)求；||AB (2)设，问是否存在实数，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，1OC te =t ABC AB 求的值；若不存在，请说明理由.t(1)(2)存在，4t =【分析】(1)根据复数的模的性质结合数量积公式求解即可；(2)根据向量垂直的性质列方程求的值.t 【详解】(1)，1242AB OB OA e e =-=-||AB ∴==.==(2)，，12(1)3AC OC OA t e e =-=-- 12(5)BC OC OB t e e =-=--若是以为斜边的直角三角形，则，ABC AB 0AC BC ⋅= 1212(1)3(5)AC BC t e e t e e ⎡⎤⎡⎤⋅=--⋅--⎣⎦⎣⎦，12(1)(5)3[(1)3(5)]0t t t t e e =--+--+-⋅=化简得：，解得.28160t t -+=4t =存在满足条件.∴4t =20．我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了了解全市居民生活用水量分布情况，通过抽样，获得100户居民月均用水量（单位：），将数3m 据按照，，…，分成9组，制成如图所示的频率分布直方图.为了鼓[0,4)[4,8)[32,36)励居民节约用水，该市政府在本市实行居民生活用水“阶梯水价”：第一阶梯为每户每月用水量不超过的部分按3元/收费，第二阶梯为超过但不超过的320m 3m 320m 328m 部分按5元/收费，第三阶梯为超过的部分按8元/收费.3m 328m 3m（1）求直方图中的值；a （2）已知该市有20万户居民，估计全市居民中月均用水费用不超过60元的用户数，并说明理由；（3）该市政府希望使至少有95%的用户每月用水量不超过第二阶梯收费标准，请根据样本数据判断，现行收费标准是否符合要求？若不符合，则应该将第二阶梯用水量的上限至少上调到多少？3m （1）0.0375a =（2），理由见解析146000（3）现行收费标准不符合要求，需将第二阶梯用水量的上限至少上调到329m【分析】（1）频率分布直方图中的所有矩形的面积之和为1建立关于的方程，求出a 的值；a （2）由“阶梯水价”知“用户月均用水费用不超过60元即“用户月均用水不超过”，320m 算出频率，得出全市7320万户居民中月均用水费用不超过60元的用户数；（3）抽取的100户居民月均用水量不超过的频率为，所以现行收费328m 0.940.95<标准不符合要求. 抽取的100户居民月均用水量不超过的频率为1，现行收费标332m 准不符合要求，需将第二阶梯用水量的上限至少上调到.329m 【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得.(0.0100.0200.0500.0650.0150.0100.005)41++++++++⨯=a a 0.0375a =（2）由“阶梯水价”知“用户月均用水费用不超过60元即“用户月均用水不超过”，320m 则100户居民中有，由此可以估计(0.0100.0200.03750.0500.065)410073++++⨯⨯=全市7320万户居民中月均用水费用不超过60元的用户数为.73200000146000100⨯=（3）抽取的100户居民月均用水量不超过的频率为：328m ，(0.0100.0200.03750.0500.0650.3750.015)40.94++++++⨯=，所以现行收费标准不符合要求.0.940.95<抽取的100户居民月均用水量不超过的频率为：332m ，(0.0100.0200.03750.0500.0650.3750.0150.010)40.98+++++++⨯=，0.950.94(3228)10.980.94-⨯-=-现行收费标准不符合要求，需将第二阶梯用水量的上限至少上调到.329m 21．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD ，为中点，为中点，为线段上一点.2PA AB ==E PB M AD F BC(1)若为中点，求证：平面；F BC //PM AEF (2)设直线与底面所成角的大小为，二面角的大小为，若EF ABCD αE AF B --β，求的长度.tan =βαBF (1)证明见解析；(2)或1.2【分析】（1）连接交于点，连接，易得为平行四边形，即为BM AF O OE ABFM O 中点，可得，再由线面平行的判定证结论.BM //EO PM （2）取中点，连接，由中点及线面垂直的性质得底面，则AB H FH EH ⊥ABCD 为直线与底面所成角，过作于，连接，，利EFH ∠EF ABCD H ⊥HN AF N EH EN 用线面垂直的判定及性质得，则为二面角的平面角，用线AF EN ⊥ENH ∠E AF B --段表示出，结合求的长度.tan ,tan βα222AF AB BF =+BF 【详解】(1)连接交于点，连接，BM AF O OE底面为正方形，为中点，ABCD F BC 且，//AM BF ∴AM BF =四边形为平行四边形.∴ABFM 为中点，又为中点，O ∴BM E PB ，又平面，平面，//EO PM ∴PM ⊄AEF EO ⊂AEF 平面.//PM ∴AEF (2)取中点，连接.AB H FH 为线段中点，E PB 且，又底面，//EH PA ∴112EH PA ==PA ⊥ABCD 底面，EH ∴⊥ABCD 为斜线在平面内的射影，HF ∴EF ABCD 则为直线与底面所成角，即，.EFH ∠EF ABCD ∠=EFH α1tan ==EH HF HF α过作于，连接，.H ⊥HN AF N EH EN 底面，底面，⊥ EH ABCD AF ⊂ABCD ，又，，面，∴⊥EH AF ⊥HN AF = HN EH H ,HN EH ⊂EHN 平面，平面，AF ∴⊥EHN EN ⊂EHN ，∴⊥AF EN 综上，为二面角的平面角，即，.ENH ∠E AF B --∠=ENH β1tan==EH NH NH β由，知.tan=βα1=NH=HF 设，，则，0⎛=≤≤ ⎝NH t t=HF=AN 3=NF t =BF 由得：，222AF AB BF =+)22232+=+t化简得，解得或，则或1.4210710-+=t t 212t =152BF =22．中，已知，为上一点，，.ABC 1AB =BC =D AC 2AD DC =AB BD ⊥(1)求的长度；BD (2)若点为外接圆上任意一点，求的最大值.P ABD △2+PB PD(2).【分析】（1）设，，在与中应用余弦定理，结合BD x =CD y =ABD △CBD 可得，再由有求出.πADB CDB ∠+∠=2225x y +=AB BD ⊥2214+=x y BD （2）由（1）易知为外接圆的直径，讨论的位置，利用正余弦定理、三AD ABD △P 角恒等变换及三角函数的性质求的最大值.2+PB PD 【详解】(1)设，，则.BD x =CD y =2=AD y 在与中，由余弦定理知：ABD △CBD ，即，2222cos AB BD AD BD AD ADB =+-⋅⋅∠2244cos 1+-∠=x y xy ADB ，即.2222cos BC BD CD BD CD CDB =+-⋅⋅∠222cos 7+-∠=x y xy ADB ，ADB CDB π∠+∠= ，可得.cos cos 0ADB CDB ∴∠+∠=2225x y +=，AB BD ⊥，即.解得.222AD AB BD ∴=+2214+=x y x =1y =BD ∴=(2)由（1）知：中，，，为外接圆的直径.ABD △2ABD π∠=2AD =AD ABD △为外接圆上任意一点，P ABD △当在点时，P B 22+==PB PD PD当在点时，P D 2+==PB PD PB 当在优弧上时，，P BAD 3π∠=∠=BPD BAD 设，则.203π⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭PBD θθ23π∠=-PDB θ中，由正弦定理知，.PBD △22sin 3π⎛⎫=- ⎪⎝⎭PB θ2sin =PD θ22222sin 4sin 2sin cos cos sin 4sin 333πππ⎛⎫⎛⎫+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭PB PD θθθθθ，5sin )tan 2⎛⎫=+=+=<< ⎪ ⎪⎝⎭πθθθϕϕϕ当时，的最大值为2πθϕ+=2+PB PD 当在劣弧上时，，P BD 23π∠=π-∠=BPD BAD 设，则.03π⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭PBD θθ3π∠=-PDB θ中，由正弦定理知，.PBD △2sin 3π⎛⎫=- ⎪⎝⎭PB θ2sin =PD θ22sin 4sin 2sin cos cos sin 4sin 333ππ⎛⎫⎛⎫+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭PB PDπθθθθθ.3sin 6π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭θθθ当时，的最大值为62ππθ+=2+PBPD 综上，的最大值为2+PB PD 关键点点睛：第二问，注意讨论的位置，综合运用正余弦定理、三角恒等变换及正P 弦型函数的性质求对应最值.。
江苏省无锡市普通高中2024届数学高一第二学期期末统考试题含解析
江苏省无锡市普通高中2024届数学高一第二学期期末统考试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为 A ．B ．C ．D ．2．要得到函数()cos f x x =的图象，只需将函数()1cos 3g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ） A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移13个单位 D ．向右平移13个单位 3．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，如图所示，则截面的可能图形是（ ）A ．①③④B ．②④C ．②③④D ．①②③4．已知圆()()221 221:C x y ++-=，圆 ()()222 2516:C x y -+-= ，则圆1 C 与圆2C 的位置关系是（ ） A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切5．过两点A (2,)m -，B(m ，4)的直线倾斜角是045，则m 的值是（ ） A ．1- B ．3 C ．1 D ．3- 6．直线210x y ++=与直线20x y -+=的交点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．如图是一圆锥的三视图，正视图和侧视图都是顶角为120°的等腰三角形，若过该圆锥顶点S 的截面三角形面积的最大值为2，则该圆锥的侧面积为A 3πB ．3πC ．163π D ．4π8． “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 A ．32 B 322 C ．1252D ．12729．已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ⋂=（ ） A ．{}1,0,1,2-B ．{}2,1,0,1--C ．{}0,1D ．{}1,0-10．已知实数x ，y 满足约束条件20103x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，那么目标函数2z x y =-的最大值是（ ） A ．0B ．1C ．72D ．10二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2022-2023学年江苏省无锡市高一下学期期末数学试题(理强)【含答案】
2022-2023学年江苏省无锡市高一下学期期末数学试题（理强）一、单选题1．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是()3,4，则z =（）A ．34i -B ．43i -C ．34i+D ．43i+【答案】A【分析】首先写出复数z ，再得到其共轭复数.【详解】因为复数z 对应的点的坐标是()3,4，所以34i z =+，所以34i z =-.故选：A2．已知点()1,3A ，()5,1B m -，()3,1C m +，若A ，B ，C 三点共线，则AB的坐标为（）A ．()22-，B ．()22-，C ．()22，D ．()22--，【答案】D【分析】根据向量的线性运算的坐标关系即可求解.【详解】由题意可知()()6,2,2,2,AB m AC m --- ==由于A ，B ，C 三点共线，所以AB与AC 共线，所以()()()2624404m m m m ---⇒-=⇒==，所以()2,2AB =--,故选：D3．半径3的球内接一个正方体，则该正方体的体积为（）A ．542B ．36πC ．243D ．33【答案】C【分析】利用球的直径等于内接正方体的体对角线，求得棱长，由此得解.【详解】半径为3的球内接一个正方体，设正方体的棱长为a ，则该球即为正方体的外接球，其直径长度为正方体的体对角线长，则222233a a a a ⨯=++=，解得23a =，所以正方体的体积为()3324323a ==.故选：C4．某小组有5名男生和4名女生，从中任选4名同学参加“教师节”演讲比赛，则下列每对事件是对立事件的是（）A ．恰有2名男生与恰有4名男生B ．至少有3名男生与全是男生C ．至少有1名男生与全是女生D ．至少有1名男生与至少有1名女生【答案】C【解析】根据对立事件和互斥事件的概念对选项逐一分析，由此选出正确选项.【详解】“恰有2名男生”与“恰有4名男生”是互斥事件，但不是对立事件，排除A 项；“至少有3名男生”与“全是男生”可以同时发生，不是互斥事件，排除B 项；“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，且必有一个发生，是对立事件，C 项正确；“至少有1名男生”与“至少有1名女生”可以同时发生，不互斥，排除D 项．故选：C.【点睛】本小题主要考查对立事件和互斥事件概念的理解和辨析，属于基础题.5．已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，若π,4,263A c a ===，则满足此条件的三角形个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．1或2【答案】B【分析】根据条件，利用正弦定理求出π4C =，5π12B =，从而得出结果.【详解】因为π,4,263A c a ===，由正弦定理sin sin a c AC =，得到264πsin sin 3C =，所以2sin 2C =，又因为2π(0,)3C ∈，故π4C =，5π12B =.故选：B.6．一组数据按从大到小的顺序排列为8，7，x ，4，4，1，若该组数据的中位数是众数的54倍，则该组数据的平均值、方差和第60百分位数分别是（）A ．6，163，5B ．5，5，5C ．5，163，6D ．4，5，6【答案】C【分析】利用中位数与众数的定义得到关于x 的方程，从而得解.【详解】依题意，将这组数据从小到大重新排列得1，4，4，x ，7，8，则中位数42x+=，众数为4，由题意知45424x +=⨯，解得6x =，所以这组数据的平均数为()114467856x =⨯+++++=，则这组数据的方差是()()()()()()222222211615454565758563s ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-+-=⎣⎦，因为660% 3.6⨯=，所以这组数据的第60百分位数是6；故选：C.7．已知点D 为ABC 边BC 上的中点，点E 满足13AE AD = ，若AC x AB yBE =+，则x y +=（）A ．5B ．7C ．9D ．11【答案】D【分析】利用平面向量的线性运算，结合图形即可得解.【详解】依题意，作出图形如下，因为点D 为BC 上的中点，13AE AD =，所以()1115133266BE BA AE AB AD AB AB AC AB AC =+=-+=-+⨯+=-+，则56AC AB BE =+，故5,6x y ==，则11x y +=.故选：D.8．病毒研究所检测甲乙两组实验小白鼠的某医学指标值，得到样本数据的频率分布直方图（如图所示），则下列结论正确的是（）A ．甲组数据中位数大于乙组数据中位数B ．甲组数据平均数大于乙组数据平均数C ．甲组数据平均数大于甲组数据中位数D ．乙组数据平均数大于乙组数据中位数【答案】C【分析】根据直方图的形态可得甲组的平均数大于中位数，且都小于7，乙组的平均数小于中位数，且都大于7，进而可得.【详解】根据甲组的样本数据的频率分布直方图可知为单峰的，直方图在右边“拖尾”，所以甲组的平均数大于中位数，且都小于7，同理可得乙组的平均数小于中位数，且都大于7，故甲组数据中位数小于乙组数据中位数，故A 错误；甲组数据平均数小于乙组数据平均数，故B 错误；甲组数据平均数大于甲组数据中位数，故C 正确；乙组数据平均数小于乙组数据中位数，故D 错误.故选：C.二、多选题9．若1z ，2z ，3z ，为复数，10z ≠，下列命题正确的是（）A ．若32z z =，则23z z =B ．若231z z z =，则231z z z =C ．若23z z >，则23z z >D ．若120z z =，则20z =【答案】ABD【分析】对于A ，利用共轭复数与复数模的性质判断即可；对于B ，利用3131z z z z =判断即可；对于C ，利用虚数不能比较大小判断即可；对于D ，利用复数四则运算的性质判断即可.【详解】对于A ，因为32z z =，所以32z z =，则23z z =，故A 正确；对于B ，因为231z z z =，所以312z z z =，则312z z z =，所以312z z z =，则231z z z =，故B 正确.对于C ，取232i,i z z ==，则满足23z z >，但由于虚数无法比较大小，故23z z >不成立，故C 错误；对于D ，因为120z z =，所以10z =（舍去）或20z =，故D 正确.故选：ABD.10．单位向量a 与b的夹角为锐角，则2a b - 的取值可能为（）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5【答案】BC【分析】令a 与b的夹角为θ，则0cos 1θ<<，利用向量的模的运算，即可得出相应的范围.【详解】由题知，令a 与b的夹角为θ，则0cos 1θ<<，()2222244a b a ba b a b-=-=+-⋅ 54cos 54cos a b θθ=-=-，所以154cos 5θ<-<，154cos 5θ<-<，故选：BC11．已知事件A ，B 发生的概率分别为()13P A =，()16P B =，则（）A ．()23P A =B ．()1132P A B ≤+≤C ．若A 与B 互斥，则()49P A B ⋃=D ．一定有B A⊆【答案】AB【分析】对于A ，利用对立事件的概率公式即可判断；对于BC ，利用和事件与交事件的概率公式，结合互斥事件的定义计算判断即可；对于D ，举反例即可判断.【详解】对于A ，因为()13P A =，所以()121()133P A P A =-=-=，故A 正确；对于B ，因为()()()()()12P A B P A P B P AB P AB +=+-=-，又()()0P AB P A ≤≤且()()0P AB P B ≤≤，则()106P AB ≤≤，所以()111322P AB ≤-≤，即()1132P A B ≤+≤，故B 正确；对于C ，因为A 与B 互斥，所以()0P AB =，则()()()()1106439P A P B P A P A B B =+-+-≠=，故C 错误；对于D ，记事件A =“抛掷一枚骰子，向上的点数小于3”，事件B =“抛掷一枚骰子，向上的点数为4”，则满足()13P A =，()16P B =，但B A ⊆不成立，故D 错误；故选：AB.12．如图，多面体ABCDEF 的8个面都是边长为2的正三角形，则（）A ．AE CF∥B ．平面EAB ⊥平面FABC ．直线EA 与平面ABCD 所成的角为π4D ．点E 到平面ABF 的距离为263【答案】ACD【分析】根据多面体ABCDEF 的8个面都是边长为2的正三角形条件结合正方形的特点，可判断A 选项，取AB 中点，连接E 、F ，根据两平面的二面角可判断B 选项，根据对称性找到平面ABCD 的垂线，根据线面角的性质可求C 选项，求点到面的距离转化为求三角形的高，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，如图，由BAE ，BEC ，BCF △，BFA V 为正三角形可得AECF 为正方形，故//AE CF ，故A 正确；对于B 选项，取AB 中点为M ，在BAE ，BAF △中，由正三角形的性质可得，EM AB ⊥，FM AB ⊥，平面ABE ⋂平面ABF AB =，EM ⊂平面ABE ，FM ⊂平面ABF ，则EMF ∠为二面角E AB F --的平面角，由3EM FM ==，22EF =，得90EMF ∠≠ ，故B 错误；对于C 选项，由条件可知四棱锥E ABCD -、四棱锥F ABCD -均为正四棱柱，连接EF ，AC 交点为正方形ABCD 的中心，则EF ⊥平面ABCD ，即EAC ∠为直线EA 与平面ABCD 所成的角，由2EA EC ==，22AC =，得45EMF ∠= ，故C 正确；对于D 选项，连接BD ，在正方形ABCD 可知，BD AC ⊥，EF ⊥ 平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，EF BD ∴⊥，EF 与AC 相交，且,EF AC ⊂平面AEF ，BD ∴⊥平面AEF即12BD 为三棱锥B AEF -的高，设点E 到平面ABF 的距离为h ，由几何关系可求得，122BD =，122222AEF S =⨯⨯⨯=△，12332ABF S =⨯⨯=△，由B AEF E ABF V V --=可得，111323AEF ABF S BD S h ⋅=⋅△△，代入数据解得263h =，故D 正确．故选：ACD.三、填空题13．掷两颗骰子，则所得的点数之和为6的概率为．【答案】536【分析】掷两颗骰子得到有序数对(,)x y ，事件“正面朝上的点数之和为6”的基本事件有：(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(1,5)共有5个基本事件，而所有的基本事件有36个，由此结合随机事件的概率公式即可算出本题的概率．【详解】记两颗骰子的点数分别为x ，y ，得掷两颗骰子得到有序数对(,)x y 则x 、y 的值可能是1，2，⋯，6共六种情况，共6636⨯=个基本事件．事件“正面朝上的点数之和为6”的基本事件有：(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(1,5)共有5个基本事件因此，点数之和为6的概率为536P =故答案为：53614．如图所示，水平放置的一个平面图形的直观图是边长为1cm 的正方形O A B C ''''，则原图形的周长是cm .【答案】8【分析】根据题意，由斜二测画法分析原图为平行四边形，求出其相邻边长，从而得解．【详解】依题意，还原直观图如下，因为正方形O A B C ''''的边长为1cm ，所以1BC OA O A ''===，222OB O B ''==，则22813OC OB BC =+==+，所以原图形的周长为()2138cm ⨯+=.故答案为：8.15．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a =，且()()()2sin sin sin sin c A C b B C +-=-，则BC 边上的高的最大值为.【答案】3【分析】根据正弦定理边角互化可得π3A =,由基本不等式以及三角形的面积公式即可求解.【详解】由正弦定理可得()()()222222a c a cb bc a c b bc b c a bc+-=-⇒-=-⇒+-=，所以()2221πcos ,0,π,223c b a A A A bc +-==∈∴= ，又22224b c a bc bc bc +=+≥⇒≤，当且仅当2b c ==时取等号，故1133sin 432224ABC S bc A bc ⨯≤⨯===，故ABC S 的最大值为3设BC 边上的高为,h 则11222ABC S ah h h ==⨯= ，要使h 最大，则三角形的面积最大即可，故h 的最大值为3，故答案为：3四、双空题16．为获得天一中学高一学生的身高（单位：cm ）信息，采用随机抽样方法抽取了样本量为50的样本，其中男女生样本量均为25，计算得到男生样本的均值为176，标准差为10，女生样本的均值为166，标准差为20.则总样本的均值为cm ，方差为2cm .【答案】【分析】结合平均值和方差公式，即可求解．【详解】记男生样本为1y ，2y ，⋅⋅⋅，25y ，均值为y ，方差为21s ，女生样本为1z ，2z ，⋅⋅⋅，25z ，均值为z ，方差为22s ，容量为50的样本均值为x ，方差为2s 则()()2525252522221211111111176,100,166,40025252525i i j j i i j j y y s y y z z s z z =======-====-=∑∑∑∑所以()5025251111112517625166171505050i i j i i j x x y z ===⎛⎫==+=⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑则2525252022222111111()()()()5050i j i ji j i j s y x z x y y y x z z z x ====⎡⎤⎡⎤=-+-=-+-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑25252525222211111()25()2()()()25()2()()50i i j j i i j j y y y x y y y x z z z x z z z x ====⎡⎤=-+-+--+-+-+--⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑2525221112510025(176171)2(176171)252540025(166171)2(166171)2550i j i j y y z z ==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-+⨯--+⨯+⨯-+⨯--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑∑()()1251255025176251762542550251662516650⎡⎤=⨯+⨯⨯-⨯+⨯+⨯⨯-⨯⎣⎦275=则总样本的均值为171cm ，方差为2752cm .故答案为：171；275.五、解答题17．已知复数4i z a =+，其中a 是正实数，i 是虚数单位(1)如果2z 为纯虚数，求实数a 的值；(2)如果2a =，11iz z =-是关于x 的方程()20,x bx c b c ++=∈R 的一个复根，求b c +的值.【答案】(1)4(2)8【分析】（1）先利用复数的四则运算求得2z ，再利用复数的分类即可得解；（2）先利用复数的四则运算化简1z ，从而得到题设方程的两个复根，再利用韦达定理即可得解.【详解】（1）因为4i z a =+，所以()2224i 168i z a a a =+=-+，因为2z 为纯虚数，所以216080a a ⎧-=⎨≠⎩，解得4a =（负值舍去），所以4a =.（2）因为2a =，所以42i z =+，则()()()()()122i 1i 213i 42i 13i 1i 1i 1i 1i 2z z ++++=====+---+，因为1z 是关于x 的方程()20,x bx c b c ++=∈R 的一个复根，所以13i +与13i -是20x bx c ++=的两个复根，故()()13i 13i 13i 13i b c ++-=-⎧⎨+-=⎩，则210b c =-⎧⎨=⎩，所以8+=b c .18．龙光塔始建于明朝万历二年，位于无锡市锡山山顶，如图，某学习小组为了在塔外测量龙光塔的高度，在与塔底B 水平的C 处测量得塔顶A 的仰角为60︒.受锡山地形所限，他们沿斜坡从C 点下行14米到达D 点（与A ，B ，C 共面）后，测量得塔顶A 的仰角为45︒.已知C ，D 两点的海拔高度差为2米.(1)记斜坡CD 与水平方向的夹角为锐角γ，计算γ的余弦值；(2)计算龙光塔的高度.【答案】(1)437(2)1139+【分析】（1）依题意结合图形，在Rt CDF △中求得sin γ，再利用三角函数的平方关系即可得解；（2）结合图形，分别求得,DF EF ，从而得到关于h 的方程，解之即可得解.【详解】（1）依题意，过D 作DE AB ⊥交AB 于E ，过C 作CF DE ⊥，交DE 于F ，如图，则14,2,CD CF CDF γ==∠=，所以在Rt CDF △中，1sin 7CF CD γ==，又π02γ<<，所以243cos 1sin 7γγ=-=，所以γ的余弦值为437.（2）由（1）得，43cos 14837DF CD γ==⨯=，设龙光塔的高度AB h =，则在Rt ABC △中，60ACB ∠=︒，则tan 603AB h BC ==︒，易知四边形CBEF 是矩形，则3h EF BC ==，2BE CF ==，又在Rt ADE △中，45ADE ∠=︒，则AE DE =，所以AB BE EF DF +=+，即2833h h +=+，故1139h =+.所以龙光塔的高度为1139+.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AD ⊥，2AB AD AP CD ===，M 是棱PB 上一点.(1)若2BM MP =，求证：//PD 平面MAC ；(2)若平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，求证：PA ⊥平面ABCD .【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用平行线分线段成比例得到//OM PD ，从而利用线面平行的判定定理即可得证；（2）先利用面面垂直的性质定理推得AD PA ⊥，AB PA ⊥，再利用线面垂直的判定定理即可得证.【详解】（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OM ，如图，因为//,2AB CD AB CD =，所以2BO AB DO CD ==，因为2BM MP =，所以2BM PM =，所以BM BO PM DO=，所以//OM PD ，又OM ⊂平面,MAC PD ⊄平面MAC ，所以//PD 平面MAC .（2）因为平面PAB ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，平面PAB ⋂平面,ABCD AB AD =⊂平面ABCD ，所以AD ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAD ，所以AD PA ⊥，因为平面PAD ⊥平面,ABCD AD AB ⊥，平面PAD ⋂平面,ABCD AD AB =⊂平面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，所以AB PA ⊥，因为AD ⊂平面,ABCD AB ⊂平面,ABCD AD AB A ⋂=，所以PA ⊥平面ABCD ．20．某高中高一500名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[)[)[]20,30,30,40,,80,90⋅⋅⋅，并整理得到频率分布直方图如图所示.(1)从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率；(2)估计测评成绩的第75%分位数；(3)已知样本中分数小于40的学生有5人，其中3名男生；分数小于30的学生有2人，其中1名男生.从样本中分数小于40的学生中随机抽取一人，则“抽到的学生分数小于30”与“抽到的学生是男生”这两个事件是否独立?请证明你的结论.【答案】(1)0.2(2)78.75(3)不相互独立，证明见解析【分析】（1）由对立事件结合频率分布直方图先得出数不小于60的频率，即可得出分数小于60的频率，从而得解；（2）先判断测评成绩的第75%分位数所在区间，再利用百分位数的计算方法求解即可；（3）依题意分别求得这两事件与交事件的概率，再利用独立事件的概率公式判断即可.【详解】（1）由频率分布直方图可得分数不小于60的频率为：()0.020.040.02100.8++⨯=，则分数小于60的频率为：10.80.2-=，故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计为0.2；（2）由频率分布直方图易得分数小于70的频率为0.4，分数小于80的频率为0.8，则测评成绩的第75%分位数落在区间[)70,80上，所以测评成绩的第75%分位数为0.35701078.750.4+⨯=；（3）依题意，记事件A =“抽到的学生分数小于30”，事件B =“抽到的学生是男生”，因为分数小于40的学生有5人，其中3名男生；所以“抽到的学生是男生”的概率为()35P B =，因为分数小于30的学生有2人，其中1名男生，所以“抽到的学生分数小于30”的概率为()25P A =，因为事件AB 表示“抽到的学生分数小于30且为男生”，满足条件的只有1名男生，所以()15P AB =，因为()()()P A P B P AB ≠，所以这两个事件不相互独立.21．如图，在正三棱台111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为4的正三角形，且1112AA B C ==.(1)证明：1AA BC ⊥；(2)求异面直线1A B 、1B C 所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)16【分析】（1）将正三棱台111ABC A B C -补成正三棱锥D ABC -，取BC 的中点E ，连接AE 、DE ，证明出BC ⊥平面ADE ，可得出BC AD ⊥，即可得出结论；(2)【详解】（1）证明：将正三棱台111ABC A B C -补成正三棱锥D ABC -，取BC 的中点E ，连接AE 、DE ，因为ABC 为等边三角形，E 为BC 的中点，则BC AE ⊥，在正三棱锥D ABC -中，BD CD =，E 为BC 的中点，则BC DE ⊥，因为AE DE E = ，AE 、DE ⊂平面ADE ，所以，BC ⊥平面ADE ，因为AD ⊂平面ADE ，所以，AD BC ⊥，即1AA BC ⊥.（2）解：取1A D 的中点M ，连接1B M 、1A B 、1B C 、CM ，如下图所示：因为在三棱台111ABC A B C -中，1112AA B C ==，且4BC =，则1112B C BC =，又因为11//B C BC ，所以，1B 、1C 分别为BD 、CD 的中点，同理，1A 为AD 的中点，所以，4AD CD AC ===，故正三棱锥D ABC -的每个面都是边长为4的等边三角形，因为1A 为AD 的中点，则13sin 604232A B AB ==⨯= ，同理123B C =，因为1B 、M 分别为BD 、1A D 的中点，所以，11//B M A B ，且11132B M A B ==，所以，异面直线1A B 、1B C 所成角为1CB M ∠或其补角，在CDM V 中，4CD =，1DM =，60CDM ∠= ，由余弦定理可得2212cos 60161241132CM CD DM CD DM =+-⋅=+-⨯⨯⨯= ，由余弦定理可得22211111123131cos 262233B C B M CM CB M B C B M +-+-∠===⋅⨯⨯，因此，异面直线1A B 、1B C 所成角的余弦值为16.22．已知H 是ABC 内一点，1143AH AB AC =+ .(1)若H 是ABC 的外心，求BAC ∠的余弦值；(2)若H 是ABC 的垂心，P 是ABC 平面外一点，且PH ⊥平面ABC ，当四面体PABC 外接球体积最小时，求PH AB 的值.【答案】(1)22(2)54【分析】（1）取AB 中点M ，AC 中点N ，分别连接,HM HN ，再根据,HM AB HN AC ⊥⊥，由向量垂直的数量积解出三边长度关系即可.（2）取AB 中点M ，在AB 上取14AD AB =，在AC 上取13AE AC =，分别连接,,,DH EH OB OH ，延长CH 交AB 于点J ，先根据,CJ AB AH BC ⊥⊥解出三边长度关系，再证明出四边形OMJH 是长方形得到OH 的长度，最后在四面体PABC 中找到外接球球心的位置，且当外接球球心刚好与ABC 的外心重合时，外接球半径最小，体积也最小.【详解】（1）取AB 中点M ，AC 中点N ，分别连接,HM HN，如图：H 是ABC 的外心，是三条边上垂直平分线的交点，,HM AB HN AC ∴⊥⊥，则()211111024343HM AB AM AH AB A AB AB A AB AB AC B C ⎛⎫⋅=-⋅=--⋅-⋅=⎪⎝⎭= ，()211111024364H A A A N AC AN C AH AC C AB AC AC B C A ⎛⎫⋅=-⋅=-⋅= -⎪⎝⎭-⋅= ,设AB c =，AC b =，BC a =，则2211cos 04311cos 064c bc BAC b bc BAC ⎧-∠=⎪⎪⎨⎪-∠=⎪⎩，由余弦定理可得2222222214cos 12316cos 124c b c a BAC bc bc b b c a BAC bc bc ⎧⎪+-∠==⎪⎪⎪⎨⎪+-⎪∠==⎪⎪⎩，即222222223243c b c a b b c a ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，令3b t =，解得5a t =，22c t =，则2222cos 22b c a BAC bc +-∠==.故BAC ∠的余弦值为22.（2）取ABC 各边中点，连接成LNM，如图：则ABC LNM ∽，且相似比为2:1.设O 是ABC 的外心，则,,OL BC ON AC OM AB ⊥⊥⊥，由中位线平行底边可得，,,OL MN ON LM OM LN ⊥⊥⊥，即O 是LNM 的垂心，由相似可得:2:1HC OM =，即12CH OM =.在AB 上取14AD AB =，在AC 上取13AE AC =，分别连接,,,DH EH OB OH ，延长CH 交AB 于点J，如图：H 是ABC 的垂心，,CJ AB AH BC ∴⊥⊥，又 1143AH AB AC AD AE =+=+ ，∴四边形ADHE 是平行四边形.则()22111110434312AH BC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⋅=+⋅-+=-+-⋅= ⎪⎝⎭ ，()2211203443CH AB CE AB AC AB AB A AB E C H B A ⎛⎫⋅=+⋅=-+⋅=-⋅= ⎪⎝⎭ ,设AB c =，AC b =，BC a =，则222111cos 0431212cos 043c b bc BAC c bc BAC ⎧-+-∠=⎪⎪⎨⎪-∠=⎪⎩，由余弦定理可得2222222221134cos 121214cos 223b c b c a BAC bc bc c b c a BAC bc bc ⎧-⎪+-∠==⎪⎪⎪⎨⎪+-⎪∠==⎪⎪⎩，即2222222228634b c b c a c b c a ⎧-=+-⎪⎨=+-⎪⎩，令33b t =，解得35a t =，42c t =，则2221cos 26b c a BAC bc +-∠==，25sin 1cos 6BAC BAC ∠=-∠=，由正弦定理可得ABC 的外接圆半径422sin 2a t r OB BAC ===∠，22221022c t OM OB BM r ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.,,OM AB CJ AB ⊥⊥OM HJ ∴∥，又2,3EH AB CE AC = ∥23CH CJ ∴=，即12HJ CH OM ==，所以,=OM HJ OM HJ ∥，四边形OMJH 是平行四边形，且为长方形，在Rt DJH 中，22222233102322t t t DJ DH HJ AE OM ⎛⎫⎛⎫=-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则242c t OH JM DM DJ DJ ==-=-=.在四面体PABC 中，设OY ⊥平面ABC ，且OY xt =，分别连接,YB YP ，如图：由PH ⊥平面ABC ，可得OY PH ∥，设PH h =，则2222422YB OY OB x t ⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，()()222222YP OH PH OY t h xt ⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭，当YB YP =时，Y 是四面体PABC 的外接球球心，YB YP =是四面体PABC 的外接球半径，解()222242222x t t h xt ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得22102h t x ht -=，当四面体PABC 的外接球体积最小时，半径也最小，而半径22422R YB x t ⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭取最小值时，0x =，此时221002h t x ht-==，解得10h t =，则105442PH t AB t ==.故当四面体PABC外接球体积最小时，PHAB的值为54.【点睛】方法点睛：对于存在外接球的棱锥，求外接球球心位置的通用方法，即先找底面外接圆圆心，再过圆心作底面的垂线，则外接球球心一定在这条垂线上，再通过外接球球心到顶点的距离等于到底边图形顶点的距离，即可确定外接球球心的位置.。
2022-2023学年江苏省无锡一中高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省无锡一中高一（下）期末数学试卷一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个 1．已知i 为虚数单位，复数5i+2的共轭复数为（ ）A ．i +2B ．i ﹣2C ．﹣2﹣iD ．2﹣i2．△ABC 中，AD →=13AB →，点E 是CD 的中点，设AB →=a →，AC →=b →，则AE →=（ ） A ．12a →+16b → B ．16a →+23b → C ．12a →+13b → D ．16a →+12b →3．已知a ，b ，l 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列结论成立的是（ ） A ．若a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 是异面直线 B ．若α⊥β，α∩β＝l ，a ⊥l ，则a ⊥α C ．若l ⊥a ，l ⊥b ，a ，b ⊂α，则l ⊥α D ．若α∥β，a ⊂α，则a ∥β4．某工厂随机抽取20名工人，对他们某天生产的产品件数进行统计，数据如表，则该组数据的上四分位数（第75百分位数）是（ ） A ．8.5B ．9C ．9.5D ．105．若 P （AB ）=118，P （A ）=13，P （B ）=112，则事件A 与B 的关系是（ ） A ．事件A 与B 互斥但不对立 B ．事件A 与B 对立C ．事件A 与B 相互独立D ．事件A 与B 既互斥又相互独立6．P A 、PB 、PC 是从P 点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC 与平面P AB 所成角的余弦值是（ ） A ．12B ．√22C ．√33D ．√637．如图，平面四边形ABCD 中，△BCD 是等边三角形，AB ⊥BD ，且AB ＝BD ＝2，M 是AD 的中点．沿BD 将△BCD 翻折，折成三棱锥 C ﹣ABD ，在翻折中，下列结论正确的是（ ）A ．三棱锥C ﹣ABD 的体积最大为2√3B ．存在某个位置，使得CM 与BD 所成角为锐角C ．当平面ABD ⊥平面BDC 时，三棱锥C ﹣ABD 的外接球的表面积是28π3D ．∠CMB 一定是二面角 C ﹣AD ﹣B 的平面角8．△ABD 中，点C 为边BD 上一点，AB ＝2，AD ＝2√3，CD ＝2，∠ABD ＝60°，|OA →|=|OB →|=|OC →|=|OP →|，则AB →⋅AP →的取值范围是（ ） A ．[2−43√3，2+43√3]B ．[−43√3，2+43√3]C ．[2−23√3，2+23√3]D ．[−23√3，2+23√3]二.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分。
2022-2023学年江苏省无锡市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省无锡市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请将答案填写在答题卡相应的位置上. 1．设复数z ＝1+2i ，则z(1−i)=（ ） A ．﹣1+3iB ．3﹣iC ．﹣1﹣3iD ．3+i2．为了调查某地高中“课外阅读”的实施情况，某报采用分层抽样的方法从该地的甲，乙，丙三所高中共抽取80名学生进行调查，已知甲，乙，丙三所高中分别有2400，3360，1920名学生，则从甲校中应抽取的人数为（ ） A ．20B ．25C ．30D ．353．已知一个水平放置的四边形ABCD ，用斜二测画法画出它的直观图是一个底角为45°，上底长为1，下底长为2的等腰梯形A ′B ′C ′D ′，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．3√22B ．3√24C ．32D ．344．已知向量a →=（﹣1，2），b →=（3，4），c →=2a →−λb →，若c →⊥b →，则实数λ＝（ ） A ．−25B ．12C ．−12D ．255．一组数据27，12，15，14，31，17，19，23的第70百分位数是（ ） A ．17B ．19C ．23D ．316．在△ABC 中，A =π4，B =5π12，c ＝2，则a ＝（ ） A ．2√63B ．3√62C ．√2D ．2√27．抛掷一枚质地均匀的硬币n 次，记事件A ＝“n 次中至多有一次反面朝上”，事件B ＝“n 次中全部正面朝上或全部反面朝上”，下列说法不正确的是（ ） A ．当n ＝2时，P(AB)=14 B ．当n ＝2时，A 与B 不独立C ．当n ＝3时，P(A ∪B)=58D ．当n ＝3时，A 与B 不独立8．已知正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的对角面AA 1C 1C 的面积为72，侧面AA 1B 1B 的面积为81，则该正四棱台下底面与上底面面积之差的绝对值为（ ）A ．96B ．180C ．252D ．280二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.请将答案填在答题卡相应的位置上.9．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件A ＝“出现点数为偶数”，事件B ＝“出现点数为3”，事件C ＝“出现点数为3的倍数”，事件D ＝“出现点数为奇数”，则以下选项正确的是（ ） A ．A 与B 互斥 B ．A 与D 互为对立事件 C ．P(C)=12D ．P （CD ）＝P （B ）10．在△ABC 中，AD →=34AB →+14AC →，BC ＝4，tan ∠ADC =23，|AD →|=√13．则下列结论正确的有（ ）A ．BD ＝3DCB ．AC ＝2C ．△ABC 的面积为3D ．△ABC 的外接圆半径为√511．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝1，则下列结论中正确的是（ ）A ．直线AE 和直线CC 1始终异面B ．直线AC 与平面BEF 所成角为90°C ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等D ．三棱锥B ﹣AEF 的体积为定值12．窗花是中国古老的传统民间艺术之一，体现了中国人民的劳动智慧：图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH 的边长为2，P 是正八边形ABCDEFGH 边上任意一点，则下列结论中正确的是（ ）A ．OA →+OG →=√2DO →B ．CE →在AB →方向上的投影向量为−12AB →C ．若AD →=λAG →+μAC →，则μ=(√2+1)λ D ．PA →⋅PB →的取值范围为[−1，12+8√2] 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填写在答题卡相应的位置上.13．已知样本的各个个体的值由小到大依次为1，4，4，7，a ，b ，12，13，19，20（a ，b ∈N ），且样本的中位数为11，则样本的平均数为 ．14．已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且√3asinB −bcosA =0，当b =3√3，a ＝3时，c ＝ ．15．已知圆锥的高为2，体积为8π，若该圆锥顶点和底面圆周上所有点都在同一个球面上，则此球的体积为 ．16．甲、乙两名选手参加一项射击比赛，射击一次命中目标得2分，未命中目标不得分．若甲、乙两人每次射击命中率分别为23和p ，甲、乙两人各射击一次，且甲得分不超过乙得分的概率为56．则p 的值为 ，两人各射击三次得分之和不超过8分的概率为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案填写在答题卡相应的位置上.17．（10分）已知复数z 1=m +(4−m 2)i(m ∈R)，z 2＝2cos θ+（λ﹣3sin θ）i （λ，θ∈R ）． （1）在复平面内，复数z 1所对应的点位于第二象限，求m 的取值范围； （2）已知z 1＝z 2，求λ的最大值．18．（12分）在一场文艺比赛中，8名专业人士和8名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分． 下面是两组评委对同一名选手的打分：小组A 44 46 55 47 49 55 51 45 小组B 55 40 61 65 42 47 46 68（1）请写出这16个分数的众数，极差以及A 、B 两组各自的平均成绩；（2）请你根据所学的统计知识，判断小组A 与小组B 中哪一个更像是由专业人士组成，并说明理由． 19．（12分）如图，在四面体A ﹣BCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，∠ABD ＝∠BCD ＝90°，∠BCA 为锐角，E 是AB 的中点，P 是DE 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC ． （1）求证：PQ ∥平面BCD ； （2）求证：AB ⊥平面BCD ．20．（12分）如图，已知O 为平面直角坐标系的原点，A （4，0），点B ，C 在第一象限，且满足OC →=3AB →，OA →⋅AB →=AB →⋅BC →=4． （1）求B 和C 的坐标；（2）若AC 交OB 于点D ，求cos ∠ODA ．21．（12分）记△ABC 三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，已知2b ＝a +c ，点D 在边AC ，BD sin A +b sin C ＝2b sin ∠ABC ． （1）证明：BD ＝b ；（2）从下面的两个条件中选择一个补充在题目条件中，求AD CD的值．①cos ∠ABC =1116，且a ≥c ； ②cos ∠A =−14．22．（12分）如图，在正三棱柱ABC ﹣A 'B 'C '中，AB ＝6，AA '＝8，动点P 在AB '上，动点Q 在A 'C 上，且满足A 'Q ＝2AP ＝2t ，t ∈[0，5]，R 为CC '的中点． （1）当t ＝5时，求PQ 与底面ABC 所成角的正切值； （2）当平面PQR ∥BA 'C '时，求t 的值；（3）是否存在t ，使得平面PQR ⊥平面AA 'B 'B ？若存在，求出t 的值，若不存在，说明理由．2022-2023学年江苏省无锡市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请将答案填写在答题卡相应的位置上. 1．设复数z ＝1+2i ，则z(1−i)=（ ） A ．﹣1+3i B ．3﹣i C ．﹣1﹣3i D ．3+i解：∵z ＝1+2i ， ∴z =1−2i ，∴z(1−i)=(1−2i)(1−i)=−1−3i ． 故选：C ．2．为了调查某地高中“课外阅读”的实施情况，某报采用分层抽样的方法从该地的甲，乙，丙三所高中共抽取80名学生进行调查，已知甲，乙，丙三所高中分别有2400，3360，1920名学生，则从甲校中应抽取的人数为（ ） A ．20B ．25C ．30D ．35解：∵抽样比为802400+3360+1920=196，∴从甲校中应抽取的人数为2400×196=25． 故选：B ．3．已知一个水平放置的四边形ABCD ，用斜二测画法画出它的直观图是一个底角为45°，上底长为1，下底长为2的等腰梯形A ′B ′C ′D ′，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．3√22B ．3√24C ．32D ．34解：根据斜二测画法可知，原图形为直角梯形，其中上底为1，下底为2，高为√2， 所以四边形ABCD 的面积为12×（1+2）×√2=3√22．故选：A ．4．已知向量a →=（﹣1，2），b →=（3，4），c →=2a →−λb →，若c →⊥b →，则实数λ＝（ ）A ．−25B ．12C ．−12D ．25解：由于知向量a →=（﹣1，2），b →=（3，4），c →=2a →−λb →=（﹣2﹣3λ，4﹣4λ）， 由于c →⊥b →，故：3×（﹣2﹣3λ）+4×（4﹣4λ）＝0，解得λ=25． 故选：D ．5．一组数据27，12，15，14，31，17，19，23的第70百分位数是（ ） A ．17B ．19C ．23D ．31解：将数据从小到大排列可得：12，14，15，17，19，23，27，31共8个数， 则8×70%＝5.6，则该组数据的第70百分位数是第六个数，即23． 故选：C ．6．在△ABC 中，A =π4，B =5π12，c ＝2，则a ＝（ ） A ．2√63B ．3√62 C ．√2 D ．2√2解：由于在△ABC 中，A =π4，B =5π12， 所以：C =π−π4−5π12=π3， 由于c ＝2，利用正弦定理：a sinA=c sinC，整理得√22=√32，解得a =2√63． 故：a =2√63． 故选：A ．7．抛掷一枚质地均匀的硬币n 次，记事件A ＝“n 次中至多有一次反面朝上”，事件B ＝“n 次中全部正面朝上或全部反面朝上”，下列说法不正确的是（ ） A ．当n ＝2时，P(AB)=14B ．当n ＝2时，A 与B 不独立C ．当n ＝3时，P(A ∪B)=58D ．当n ＝3时，A 与B 不独立解：当n ＝2时，所有基本事件有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共4种， A 中基本事件有：（正，正），（正，反），（反，正），共3种， B 中基本事件有：（正，正），（反，反），共2种， A ∩B 中基本事件有：（正，正），共1种， ∴P(A)=34，P(B)=12，P(AB)=14，故A 正确；∵P （AB ）≠P （A ）P （B ），∴事件A 与事件B 不独立，故B 正确；当n ＝3时，所有基本事件有：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反），共8种，A 中基本事件有：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），共4种，B 中基本事件有：（正，正，正），（反，反，反），共2种， A ∩B 中基本事件有：（正，正，正），共1种，A ∪B 中基本事件有：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（反，反，反），共5种，∴P(A)=12，P(B)=14，P(AB)=18，P(A ∪B)=58，故C 正确； ∵P （AB ）＝P （A ）P （B ），∴事件A 与事件B 独立，故D 错误． 故选：D ．8．已知正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的对角面AA 1C 1C 的面积为72，侧面AA 1B 1B 的面积为81，则该正四棱台下底面与上底面面积之差的绝对值为（ ） A ．96B ．180C ．252D ．280解：由题意，分别过A 1，B 1，C 1，D 1作平面ABCD 的垂线，垂足分别为A 2，B 2，C 2，D 2， 在平面AA 1B 1B 内，过A 1作AB 的垂线，垂足为O ，连接OA 2，如图，∵A 1A 2⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴A 1A 2⊥AB ， ∵A 1O ⊥AB ，A 1O ∩A 1A 2＝A 1，∴AB ⊥平面A 1A 2O ， ∵A 2O ⊂平面A 1A 2O ，∴AB ⊥A 2O ，在正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，上下底面相似，设其相似比A 1B 1AB=λ，设AB ＝a ，A 1B 1＝λa ，在正方体ABCD 中，AC =√2a ，A 1C 1=√2λa ， 在正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1A 2⊥平面ABCD ，∴A 2∈AC ，则对角面的面积S 1=12⋅AA 1⋅(AC +A 1C 1)=12⋅A 1A 2⋅(√2a +√2λa)=√22⋅A 1A 2⋅(a +λa)=72，侧面面积S 2=12⋅A 1O •（AB +A 1B 1）=12⋅A 1O •（a +λa ）＝81， ∴S 1S 2=√2A 1A 2A 1O =7281，解得A 1A 2A 1O =4√29， ∵A 1A 2⊥平面ABCD ，A 2O ⊂平面ABCD ，∴A 1A 2⊥A 2O ，在Rt △A 1A 2O 中，sin ∠A 1OA 2中，sin ∠A 1OA 2=A 1A 2A 1O =4√29，∴cos ∠A 1OA 2=79，∵A 1A 2，B 1B 2，C 1C 2，D 1D 2⊥平面ABCD ，∴A 1B 1＝A 2B 2， 正方形A 1B 1C 1D 1与正方形A 2B 2C 2D 2全等，在正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，四边形A 2B 2BA 、四边形B 2C 2CB 、四边形C 2D 2DC 、四边形A 2D 2DA 全等，∴上下底面的面积之差的绝对值为4×63＝252． 故选：C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.请将答案填在答题卡相应的位置上.9．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件A ＝“出现点数为偶数”，事件B ＝“出现点数为3”，事件C ＝“出现点数为3的倍数”，事件D ＝“出现点数为奇数”，则以下选项正确的是（ ） A ．A 与B 互斥 B ．A 与D 互为对立事件 C ．P(C)=12D ．P （CD ）＝P （B ）解：抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件A ＝“出现点数为偶数”，事件B ＝“出现点数为3”，事件C ＝“出现点数为3的倍数”，事件D ＝“出现点数为奇数”，对于A ，A 与B 不能同时发生，是互斥事件，故A 正确；对于B ，A 与D 不能同时发生，不能同时不发生，是对立事件，故B 正确； 对于C ，P （C ）=26=13，故C 错误； 对于D ，P （CD ）＝P （B ）=16，故D 正确． 故选：ABD ．10．在△ABC 中，AD →=34AB →+14AC →，BC ＝4，tan ∠ADC =23，|AD →|=√13．则下列结论正确的有（ ）A ．BD ＝3DCB ．AC ＝2C ．△ABC 的面积为3D ．△ABC 的外接圆半径为√5解：由题意，可作图如右图：对于A ，设BD ＝λDC ，则BD →=λDC →，BD →=λ1+λBC →，∴AD →=AB →+BD →=AB →+λ1+λBC →=AB →+λ1+λ(AC →−AB →)=11+λAB →+λ1+λAC →，又AD →=34AB →+14AC →，则{11+λ=34λ1+λ=14，解得λ=13，故A 错误；对于B ，由A 选项可知BD =13DC ，且BC ＝4，则BD ＝1，DC ＝3， 由tan ∠ADC =23，且∠ADC ∈（0，π ），可得cos ∠ADC =3√1313， 在△ADC 中，AC 2=AD 2+CD 2−2⋅AD ⋅CD ⋅cos∠ADC =13+9−2×√13×3×3√1313=4， 解得AC ＝2，故B 正确；对于C ，由B 选项可知AC ＝2，由题设，AD =√13， 则AC 2+CD 2＝AD 2，即AC ⊥BC ，所以S △ABC =12⋅AC ⋅BC =12×2×4=4，故C 错误； 对于D ，由C 选项可知△ABC 为直角三角形， 该三角形的外接圆的半径为斜边AB 的一半， 又AB =√AC 2+BC 2=√4+16=2√5，故D 正确． 故选：BD ．11．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝1，则下列结论中正确的是（ ）A ．直线AE 和直线CC 1始终异面B ．直线AC 与平面BEF 所成角为90°C ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等D ．三棱锥B ﹣AEF 的体积为定值解：对A 选项，如图，当E 为A 1C 1与B 1D 1的交点时， 直线AE 和直线CC 1共面，∴A 选项错误；对B 选项，由正方体的性质易知AC ⊥对角面BDD 1B 1， 故直线AC 与平面BEF 所成角为90°，∴B 选项正确；对C 选项，∵△AB 1D 1是边长为2√2的正三角形， ∴A 到EF 的距离为√32×2√2=√6，又B 到EF 的距离为2，∴△AEF 的面积与△BEF 的面积不相等，∴C 选项错误； 对D 选项，∵EF ＝1，又A 到EF 的距离为定值， ∴△AEF 的面积为定值，又B 到平面AB 1D 1的距离也为定值，∴三棱锥B ﹣AEF 的体积为定值，∴D 选项正确． 故选：BD ．12．窗花是中国古老的传统民间艺术之一，体现了中国人民的劳动智慧：图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH 的边长为2，P 是正八边形ABCDEFGH 边上任意一点，则下列结论中正确的是（ ）A ．OA →+OG →=√2DO →B ．CE →在AB →方向上的投影向量为−12AB →C ．若AD →=λAG →+μAC →，则μ=(√2+1)λ D ．PA →⋅PB →的取值范围为[−1，12+8√2] 解：如图所示：以AE 所在直线为y 轴，GC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设正八边形边长为a ，则∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE ＝∠EOF ＝∠FOG ＝∠GOH ＝∠HOA =π4， 在△OAB 中，由余弦定理可得：4＝a 2+a 2﹣2a 2×cos π4，解得a 2＝4+2√2，又A （0，﹣a ），B （√22a ，−√22a ），C （a ，0），D （√22a ，√22a ），E （0，a ），F （−√22a ，√22a ），G （﹣a ，0），H （−√22a ，−√22a ）， 对于A ，∵OA →=（0，﹣a ），OG →=（﹣a ，0）， ∴OA →+OG →=（﹣a ，﹣a ），又√2DO →=√2(−√22a ，−√22a ）＝（﹣a ，﹣a ），则 OA →+OG →=√2DO →，故A 正确； 对于B ：CE →=（﹣a ，a ），AB →=(√22a ，a −√22a)，∴CE →⋅AB →|AB →|2=−√22a 2+a 2−√22a 212a +(a−√22a)=−√22， ∴AG →在AB →方向上的投影向量为−√22AB →，故B 错误；对于C ，AD →=（√22a ，√22a +a ），AG →=（﹣a ，a ），AC →=（a ，a ），若AD →=λAG →+μAC →，则(√22a ，√22a +a)=(−λa +μa ，λa +μa ），{√22a =−λa +μa √22a +a =λa +μa ，解得λ=12，μ=√2+12，则μ＝（√2+1）λ，故C 正确；对于D ，取AB 的中点M ，则PA →+PB →=2PM →，PA →−PB →=BA →=2MA →， 则（PA →+PB →）2＝4PM →2，（PA →−PB →）2＝4MA →2， 两式相减得：PA →⋅PB →=PM →2−MA →2=PM →2−1，当点P 与点M 重合时，PM →2最小为0，此时PA →⋅PB →的最小值为﹣1， 由正八边形的对称性知，当点P 与点E 或F 重合时，PM →2最大，又M （√24a ，−12−√24a ），E （0，a ），所以EM →=（√24a ，−32a −√24a ），∴EM →2=|EM →|2＝（√24a ）2+（−32a −√24a ）2＝13+8√2，∴PA →⋅PB →的最大值为EM →2−1＝12+8√2，则PA →⋅PB →的取值范围为[−1，12+8√2]，故D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填写在答题卡相应的位置上.13．已知样本的各个个体的值由小到大依次为1，4，4，7，a ，b ，12，13，19，20（a ，b ∈N ），且样本的中位数为11，则样本的平均数为 10.2 ．解：因为样本的各个个体的值由小到大依次为1，4，4，7，a ，b ，12，13，19，20（a ，b ∈N ），且样本的中位数为11， 所以a+b 2=11，解得a +b ＝22， 则样本平均数为1+4+4+7+a+b+12+13+19+2010=10210=10.2．故答案为：10.2．14．已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且√3asinB −bcosA =0，当b =3√3，a ＝3时，c ＝ 3或6 ．解：因为√3asinB −bcosA =0，所以由正弦定理得√3sinAsinB =sinBcosA ， 因为B ∈（0，π），所以sin B ≠0， 所以√3sinA =cosA ，即tanA =√33， 又因为A ∈（0，π），所以A =π6． 由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， 得c 2﹣9c +18＝0，解得c ＝3或6． 故答案为：3或6．15．已知圆锥的高为2，体积为8π，若该圆锥顶点和底面圆周上所有点都在同一个球面上，则此球的体积为2563π ．解：设圆锥的底面半径为r ，圆锥的高为h因为圆锥的高为2，体积为8π，所以13πr 2ℎ=8π，即13π×r 2×2=8π，解得r ＝2√3，当圆锥顶点与底面在球心O 的两侧时，如图，圆锥SO 1的底面半径O 1A ＝2√3，高SO 1＝2， 设球O 的半径为R ，则（2﹣R ）2+（2√3）2＝R 2， 解得R ＝4，当圆锥顶点与底面在球心O 的同侧时，如图，圆锥SO 1的底面半径O 1A ＝2√3，高SO 1＝2， 设球O 的半径为R ，则（R ﹣2）2+（2√3）2＝R 2， 解得R ＝4．综上，此球的半径为4， 球的体积为V =43πR 3=256π3． 故答案为：2563π．16．甲、乙两名选手参加一项射击比赛，射击一次命中目标得2分，未命中目标不得分．若甲、乙两人每次射击命中率分别为23和p ，甲、乙两人各射击一次，且甲得分不超过乙得分的概率为56．则p 的值为34，两人各射击三次得分之和不超过8分的概率为916．解：设“甲射击一次，击中目标”为事件A ，“乙射击一次，击中目标”为事件B ， 则P （A ）=23，P （B ）＝p ，∵甲、乙两人各射击一次，且甲得分不超过乙得分的概率为56，∴P （AB ）+P （A B ）+P （AB ）＝P （A ）P （B ）+P （A ）P （B ）+P （A ）P （B ）=56，∴23p +13p +13(1−p)=56，解得p =34，记两人各射击三次得分之和为ξ，ξ的可能取值是0，2，4，6，8，10，12，P （ξ＝10）=(23)3×C 32(34)2×14+C 32(23)2×13×(34)3=516，P （ξ＝12）=(23)3×(34)3=18，∴两人各射击三次得分之和不超过8分的概率为P ＝1﹣P （ξ＝10）﹣P （ξ＝12）=916． 故答案为：34；916．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案填写在答题卡相应的位置上.17．（10分）已知复数z 1=m +(4−m 2)i(m ∈R)，z 2＝2cos θ+（λ﹣3sin θ）i （λ，θ∈R ）． （1）在复平面内，复数z 1所对应的点位于第二象限，求m 的取值范围； （2）已知z 1＝z 2，求λ的最大值．解：（1）复数z 1=m +(4−m 2)i(m ∈R)，因为复数z 1所对应的点位于第二象限， 所以{m ＜04−m 2＞0，解得：﹣2＜m ＜0，故m 的取值范围为（﹣2，0）；（2）因为z 1＝z 2，所以{m =2cosθ4−m 2=λ−3sinθ，所以λ=4−4cos 2θ+3sinθ=4sin 2θ+3sinθ=4(sinθ+38)2−916， 因为θ∈R ，所以sin θ∈[﹣1，1]， 当sin θ＝1时，λmax ＝4+3＝7， 所以λ的最大值为7．18．（12分）在一场文艺比赛中，8名专业人士和8名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分． 下面是两组评委对同一名选手的打分：小组A 44 46 55 47 49 55 51 45 小组B 55 40 61 65 42 47 46 68（1）请写出这16个分数的众数，极差以及A 、B 两组各自的平均成绩；（2）请你根据所学的统计知识，判断小组A 与小组B 中哪一个更像是由专业人士组成，并说明理由． 解：（1）易知在这16个分数中，出现最多的是55，其中最高分为68，最低分为40， 所以众数为55，极差为68﹣40＝28，则x A =44+46+55+47+49+55+51+458=49，x B =55+40+61+65+42+47+46+688=53； （2）因为专业评委给分更符合专业规则，相似程度更高，可以用方差来衡量每一组评委打分的相似性， 方差越小，分数越集中，相似程度越高，易知s A 2=18[（44﹣49）2+（46﹣49）2+（55﹣49）2+（47﹣49）2+（49﹣49）2+（55﹣49）2+（51﹣49）2+（45﹣49）2]＝16.25，s B 2=18[（55﹣53）2+（40﹣53）2+（61﹣53）2+（65﹣53）2+（42﹣53）2+（47﹣53）2+（46﹣53）2+（68﹣53）2]＝101.5，因为s B 2＞s A 2，所以A 组更像是由专业人士组成．19．（12分）如图，在四面体A ﹣BCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，∠ABD ＝∠BCD ＝90°，∠BCA 为锐角，E 是AB 的中点，P 是DE 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC ． （1）求证：PQ ∥平面BCD ； （2）求证：AB ⊥平面BCD ．解：（1）取BD 中点F ，在BC 上取点M ，满足BM ＝3MC ， 因为P 为DE 中点，F 为DB 中点， 所以PF ∥BE ，PF =12BE ， 因为CQ CA=CM CB=14，所以QM ∥AB ，OM =14AB ， 从而PF ∥QM ，PF ＝QM ， 所以四边形PFMQ 是平行四边形， 所以PQ ∥FM ，又PQ ⊄面BCD ，FM ⊂面BCD ， 所以PQ ∥平面BCD ．（2）过B 作BH ⊥AC ，垂足为H ， 因为∠BCA 为锐角， 所以H 和C 不重合，因为面ABC ⊥面ACD ，面ABC ∩面ACD ＝AC ，BH ⊂面ABC ，BH ⊥AC ， 所以BH ⊥面ACD ， 因为CD ⊂面ACD ， 所以BH ⊥CD ，又因为CD ⊥BC ，BH ，BC ⊂面ABC ，BH ∩BC ＝H ， 所以CD ⊥面ABC ， 因为AB ⊂面ABC ， 所以CD ⊥AB ，又因为AB ⊥BD ，BD ，CD ⊂面BCD ，BD ∩CD ＝D ， 所以AB ⊥面BCD ．20．（12分）如图，已知O 为平面直角坐标系的原点，A （4，0），点B ，C 在第一象限，且满足OC →=3AB →，OA →⋅AB →=AB →⋅BC →=4． （1）求B 和C 的坐标；（2）若AC 交OB 于点D ，求cos ∠ODA ．解：（1）设B （a ，b ），则AB →=(a −4，b)， ∴OC →=3AB →=(3a −12，3b)，即C （3a ﹣12，3b ），又OA →=(4，0)，则OA →⋅AB →=4a −16+0⋅b =4， 解得a ＝5，故B （5，b ），C （3，3b ）， 则AB →=(1，b)，BC →=(−2，2b)，∴AB →⋅BC →=−2+2b 2=4，由b ＞0，解得b =√3， 故可得B(5，√3)，C(3，3√3)； （2）由题意，可作图如下：由OC →=3AB →，可得AB ∥OC ，AB OC=13，易知△ABD ∽△COD ，可得AD DC=BD DO=AB OC=13，则OD →=34OB →，由B(5，√3)，可得D(154，3√34)， ∴DO →=(−154，−3√34)，DA →=(14，−3√34)， DO →⋅DA →=−1516+2716=1216=34， 又|DO →|=√22516+2716=6√74=3√72， |DA →|=√116+2716=2√74=√72， ∴cos ∠ODA =DO →⋅DA →|DO →||DA →|=34372×72=17．21．（12分）记△ABC 三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，已知2b ＝a +c ，点D 在边AC ，BD sin A +b sin C ＝2b sin ∠ABC ． （1）证明：BD ＝b ；（2）从下面的两个条件中选择一个补充在题目条件中，求AD CD的值．①cos ∠ABC =1116，且a ≥c ； ②cos ∠A =−14．证明：（1）∵2b ＝a +c ， ∴a ＝2b ﹣c ，由正弦定理及BD sin A +b sin C ＝2b sin ∠ABC ， 得BD •a +bc ＝2b 2，∴BD =2b 2−bc a =b(2b−c)2b−c=b ，∴BD ＝b ；解：（2）选①：由余弦定理得：b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos ∠ABC =a 2+c 2−118ac ， ∵2b ＝a +c ， ∴(a+c 2)2=a 2+c 2−118ac ， 整理得：2a 2﹣5ac +2c 2＝0， ∴a =12c 或a ＝2c ， ∵a ≥c ，∴a ＝2c ， ∴b 2=4c 2+c 2−118×2c 2=94c 2，∴b =32c ， 设AD DC=t(t ＞0)，则DC =b1+t ，在△ABC 中，cos C =a 2+b 2−c 22ab，① 在△BCD 中，cos C =a 2+(b1+t )2−b22a⋅b1+t，②由①②解得：t =7+3√2114， ∴AD DC=7+3√2114； 选②：由余弦定理得：a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A =b 2+c 2+12bc ， ∵2b ＝a +c ，∴(2b −c)2=b 2+c 2+12bc ， 整理得：b =32c ，∴a 2=94c 2+c 2+12×32c 2=4c 2，∴a ＝2c ， 设AD DC=t(t ＞0)，则DC =b1+t ，在△ABC 中，cos C =a 2+b 2−c 22ab，①在△BCD 中，cos C =a 2+(b1+t )2−b22a⋅b1+t，②由①②解得：t =7+3√2114， ∴AD DC=7+3√2114．22．（12分）如图，在正三棱柱ABC ﹣A 'B 'C '中，AB ＝6，AA '＝8，动点P 在AB '上，动点Q 在A 'C 上，且满足A 'Q ＝2AP ＝2t ，t ∈[0，5]，R 为CC '的中点． （1）当t ＝5时，求PQ 与底面ABC 所成角的正切值； （2）当平面PQR ∥BA 'C '时，求t 的值；（3）是否存在t ，使得平面PQR ⊥平面AA 'B 'B ？若存在，求出t 的值，若不存在，说明理由．解：（1）以A ′为原点，A ′与B ′C ′中点连线为x 轴，AA ′所在直线为z 轴，过点A ′与B ′C ′平行的直线为y 轴，建立空间直角坐标系：A ′（0，0，0），B （3√3，﹣3，8），C ′（3√3，3，0），A （0，0，8），B ′（3√3，﹣3，0），C （3√3，3，8），所以AB ′→=（3√3，﹣3，﹣8），A ′C →=（3√3，3，8）， 因为AP ＝t ，AB ′=√62+82=10，所以AP →=t 10AB ′→=（3√3t 10，−3t 10，−4t 5），所以P （3√3t 10，−3t 10，8−45t ）， A ′Q ＝2t ，A ′C ＝10，所以A ′Q →=t5A ′C →=（3√3t 5，35t ，85t ），所以Q （3√3t 5，35t ，85t ），当t ＝5时，P （3√32，−32，﹣4），Q （3√3，3，8），所以PQ →=（3√32，92，4）， 面ABC 的法向量CC ′→=（0，0，﹣8）， 设PQ 与底面ABC 所成角为θ， 则sin θ＝|cos ＜CC′→，PQ →＞|＝|CC′→⋅PQ→|CC′→||PQ →||(0，0，−8)⋅(3√3，9，4)8⋅(√2)+(2)+(−4)443， 所以cos θ=√1−sin 2θ=3√343， 所以tan θ=sinθcosθ=4√39， 所以PQ 与底面ABC 所成角的正切值为4√39． （2）因为R 为CC ′的中点， 所以R （3√3，3，4），所以PQ →=（3√3t 10，910t ，125t ﹣8），PR →=（3√3−3√310t ，3+3t 10，4t5−4），设平面BA ′C ′的法向量为n →=（x ，y ，z ）， 所以{n →⋅A′C′→=3√3x +3y =0n →⋅A′B →=3√3x −3y +8z =0， 令x ＝1，则y =−√3，z =−3√34， 因为平面PQR ∥平面BA ′C ′，第21页（共21页） 所以n →是平面PQR 的法向量，所以n →•PR →=3√3−3√310t ﹣3√3−3√35t +3√3=0， 所以t =52，所以当平面PQR ∥平面BA ′C ′时，t =52．（3）假设存在t ，使得平面PQR ⊥平面AA ′B ′B ， 设为平面AA ′B ′B 的法向量m →=（x ，y ，z ），所以{m →⋅A′B →=3√3x −3y +8z =0m →⋅A′B′→=3√3x −3y =0， 令z ＝0，则x ＝1，y =√3，所以m →=（1，√3，0），因为平面PQR ⊥平面AA ′B ′B ，所以设平面PQR 的法向量p →=（a ，b ，c ），所以{p →⋅m →=a +√3b =0p →⋅PQ →=3√310ta +910tb +(125t −8)c =0， 令a =√3，则b ＝﹣1，c ＝0，所以p →=（√3，﹣1，0），所以t →•PR →=9−910t ﹣3−310t ＝6−1210t ＝0， 所以t ＝5，t ∈[0，5]，所以存在t ＝5，使得平面PQR ⊥面AA ′B ′B ．。
江苏省无锡市天一中学2024届数学高一下期末复习检测模拟试题含解析
江苏省无锡市天一中学2024届数学高一下期末复习检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若0a b >>，下列不等式一定成立的是（ ） A ．22a b <B ．2a ab <C ．11a b< D ．1b a< 2．两数1，25的等差中项为（ ） A ．1B ．13C ．5D ．5-3．已知直线l 经过点(1,2)P -，且倾斜角为45，则直线l 的方程为（ ） A ．30x y --= B ．10x y --= C ．30x y -+=D ．30x y +-=4．如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是C 1D 1，CC 1的中点，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为（ ）A ．5618-B ．55-C ．65D ．2555．已知,,x y z ∈R ，2221x y z ++=，则22x y z ++的最大值为（ ）A ．9B ．3C ．1D ．276．直线20x y +-=与圆()()22121x y -+-=相交于,A B 两点，则弦长AB =（ ） A ．22B ．32C ．3D ．27．在ABC ∆中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1a n =+，b n =，1c n =-，n ∈+N ，且2A C =，则ABC ∆的最小角的余弦值为（ ）A ．25B ．35C ．12D ．348．已知向量(1,3),(2,0)a b ==，则|2|a b -=（ ） A ．12B ．22C ．23D ．89．从1，2，3，…，9这个9个数中任取5个不同的数，则这5个数的中位数是5的概率等于（ ） A ．B ．C ．D ．10．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A 2πB ．2πC 6πD ．4π二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
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B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】
根据线面平行的性质、面面平行的性质、面面垂直的性质、面面垂直的判定定理对四个选项，逐一判断，最后选出正确答案.
【详解】选项A：直线m，n还可以异面、相交，故本命题是假命题；
选项B：直线m，n可以是异面直线，故本命题是假命题；
点睛】本题考查直线斜率倾斜角，考查基本转化求解能力，属基础题.
2.等比数列 的前 项和为 ，若 ，则公比 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将 转化为关于 的方程，解方程可得 的值．
【详解】∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ．
故选A．
【点睛】本题考查等比数列的基本运算，等比数列中共有 五个量，其中 是基本量，这五个量可“知三求二”，求解的实质是解方程或解方程组．
【答案】
【解析】
【分析】
先得出 的规律，再根据等差数列的和求解。
【详解】由题意得：
【点睛】非常见数列的求和的突破在于规律，由特殊到一般是找规律的常用方法。
三、解答题：本大题共6小题，共70分
17.在 中，角 所对 边分别为 ，已知 ， .
（1）求 的值；
（2）若 ，求 周长的取值范围.
【答案】（1）3；（2） .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）按 ， ， 分段解不等式；
（2）不等式 的解集包含 ，即不等式 在 上恒成立，再转化为含有 的不等式组求解.
【详解】（1）当 时， 是开口向下，对称轴为 的二次函数，
，
当 时，令 ，即 ，解得 ；
当 时，令 ，即 ，解得 ；
当 时，令 ，即 ，解得 .
江苏省无锡市锡山区天一中学2022高一数学下学期期末考试试题（含解析）
一、选择题（本大题共12题，共60分）
1.直线 的倾斜角为（ ）
A. -30° B. 60° C. 120° D. 150°
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据直线方程求斜率，再求倾斜角.
【详解】因为 ，所以斜率为 ，倾斜角为150°,选D.
【解析】
分析：先根据等比数列、等差数列的通项公式表示出 、 ，然后表示出 和 ，然后二者作差比较即可．
详解：∵an=a1qn﹣1，bn=b1+（n﹣1）d，
∵ ，∴a1q4=b1+5d，
=a1q2+a1q6
=2（b1+5d）=2b6=2a5
﹣2a5= a1q2+a1q6﹣2a1q4=a1q2（q2﹣1）2≥0
选项C:当 时，若 ， ， ，才能推出 ，故本命题是假命题；
选项D：因为 ， ，所以 ，而 ，所以有 ，故本命题是真命题，因此本题选D.
【点睛】本题考查了线面平行的性质、面面平行的性质、面面垂直的判定与性质，考查了空间想象能力.
5.在 中，角 所对的边分别为 ，且 若 ，则 的形状是（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
18.如图，在三棱锥 中， 分别为棱 上的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若 平面 ，求证：平面 平面 .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据线面平行的判定定理，在平面 中找 的平行线，转化为线线平行的证明；
（2）根据面面垂直的判定定理，转化为 平面 .
【详解】（1） ， 分别是 ， 的中点， ；
【答案】C
【解析】
分析】
直接利用余弦定理的应用求出A的值，进一步利用正弦定理得到：b＝c，最后判断出三角形的形状．
【详解】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，
且b2+c2＝a2+bc．
则： ，
由于：0＜A＜π，
故：A ．
由于：sinBsinC＝sin2A，
利用正弦定理得：bc＝a2，
（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；
（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；
（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．
11.数列 是各项均为正数的等比数列，数列 是等差数列，且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
直线 交于同一点，则点C在直线 上，
则 解得 ．
（2）设 上一点A(a，1 2 a)，则点A关于M（2，0）的对称点B (4 a，2 a 1) ．
由点B在 上，代入得 ，∴a= ，∴ ．
直线l过两点A、M，斜率为 11，∴直线l的方程为 ．
20.已知函数 ， .
（1）当 时，求不等式 的解；
（2）若不等式 的解集为 ， ，求 的取值范围.
15.过点 的直线与圆 交于 、 两点， 为圆心，当 最小时，直线的方程为___．
【答案】
【解析】
当∠ACB最小时，弦长AB最短，此时CP⊥AB.
由于C(1,0)，P( ，1)，∴kCP＝－2，∴kAB＝ ，∴直线l方程为y－1＝ (x－ )，即2x－4y＋3＝0.
16.以 间的整数为分子 ，以 为分母组成分数集合 ，其所有元素和为 ；以 间的整数为分子，以 为分母组成不属于集合 的分数集合 ，其所有元素和为 ；……，依次类推以 间的整数为分子，以 为分母组成不属于 的分数集合 ，其所有元素和为 ；则 ________.
结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是 的圆，且高为 ，
所以其表面积为 ，故选B.
点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.
8.已知关于 的不等式 对任意 恒成立，则 的取值范围是（ ）
3.已知经过两点 和 的直线的斜率大于1，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据两点斜率公式解分式不等式。
【详解】由题意得 ，即 ，解得 .故选D.
【点睛】直线斜率两种计算方法：1、斜率的两点坐标公式；2、直线斜率等于直线倾斜角的正切。
4.设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
（2）设直线 过点 ，若 被直线 截得的线段恰好被点 平分，求直线 的方程.
【答案】（1） ． （2） ．
【解析】
试题分析：（1）先求直线 ， 交点，再代入 得m的值；（2）设 上一点A(a，1 2 a)，则得B (4 a，2 a 1)在 上，解方程组可得a= ，再根据两点式求直线 的方程．
试题解析：（1）解 ，得交点 ．
（2）设动圆 同时平分圆 的周长、圆 的周长.
①证明：动圆圆心 在一条定直线上运动；
②动圆 是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.
A. B. C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】
按 ， ， 分类讨论.
【详解】当 时，不等式为 恒成立，符合题意；
当 时，若不等式 对任意 恒成立，
则 ，解得 ；
当 时，不等式 不能对任意 恒成立。
综上， 的取值范围是 .
【点睛】二次型不等式恒成立问题，要按二次项的系数分类，再结合二次函数的性质分类讨论.
又 平面 ， 平面 ，
平面 .
（2） ， ， ；
平面 ， ；
又 平面 ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ，
平面 平面 .
【点睛】本题考查了面面垂直的证明，难点在于转化为线面垂直,方法：结合已知条件，选定其中一个面为垂面，在另外一个面中找垂线，不行再换另外一个面.
19.设直线 .
（1）若直线 交于同一点，求 的值；
A. 2 B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
圆 即 ,表示以C(0,-1)为圆心，以1为半径的圆。
由于四边形PACB面积等于 ，而 .
故当PC最小时，四边形PACB面积最小.
又PC的最小值等于圆心C到直线 的距离d,而 ，
故四边形PACB面积的最小的最小值为 ，
故选A.
点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：
综上所述， 的解集为 .
（2）依题意得 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，则只需
，解得 .
故 的取值范围是 .
【点睛】绝对值不等式通常按零点分段讨论；不等式的恒成立问题要结合二次函数的性质转化为不等式组.
21.在平面直角坐标系 中，已知圆 ，圆 .
（1）若过点 的直线 被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程；
它表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于2的圆；
设弦心距为d，由题意可得 22+d2=4，求得d=0，
可得直线经过圆心，故有﹣2a﹣2b+2=0，
即a+b=1，再由a＞0，b＞0，可得
=（ ）（a+b）=5+ ≥5+2
当且仅当 = 时取等号，∴ 的最小值是9．
故选：A．
点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
考点：本题主要考查了考查了等差数列的性质在求解和的最值中应用.
点评：解题的关键是由已知 及它们的前n项和Sn有最大,a10＞0，a11+a10＜0，a11＜0，灵活利用和公式及等差数列的性质得到a1+a19=2a10＞0，a1+a20=a11+a10＜0是解决本题的另外关键点.