平稳过程4-平稳过程的功率谱密度
平稳过程的谱密度

借助 函数,将任意直流分量和周期分量在频率点上 无限值用 函数表示。
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14
函数不是通常意义下的函数,但可以把它看成是 下列矩形波的极限,记
fa
x
1 , x a 2a 0, x a
其中a>0。不妨认为
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例3.13 设平稳过程 X t 的相关函数
RX ( )=e
a
其中,常数a>0.由定理3.5(ii)得到 X t 的谱 密度
S X ( ) 2 RX ( ) cos d
0
2 e
0
a
cos d
2a 2 2 a
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4
通常记作
F RX ( ) S X ( ) F
1
S X ( ) RX ( )
对于平稳序列, X n , n 0、 1、 2,…… (自)谱密度定义为
S X ( ) RX (m)e
m
i n
, .
求 Yn 的谱密度。
Ry (w)
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定理3.5(谱密度的性质) 设S X ()是平稳 过程 {X t , t } 的谱密度, RX ( ) d S X () 是取非负实数值的偶函数,即 (i)
S X () 0且S X () S X ()
主要内容
一、平稳过程的(自)谱密度及性质 二、平稳过程的互谱密度及性质
三、谱密度与相关函数的关系
四、傅立叶变换的性质
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1
谱密度的概念
常见平稳过程及相应谱密度计算过程

常见平稳过程及相应谱密度计算过程常见平稳过程及相应谱密度计算过程平稳过程是指随机过程的统计特性在时间推移下不发生变化的一类随机过程。
在许多工程和科学领域,平稳过程是非常常见的。
另外,谱密度也是在许多领域中用于分析信号和系统特性的重要工具。
在本文中,我们将介绍几种常见的平稳过程及对应的谱密度计算方法。
1.白噪声过程白噪声过程是指均值为零且具有常数功率谱密度的随机过程。
其谱密度为常数,表示该随机过程在所有频率上均有相同的能量分布,从而说明信号在所有频率上均匀分布。
其计算公式为:$$S_{xx}=N_0$$其中,$S_{xx}$是该过程的功率谱密度,$N_0$是噪声的谱密度。
2.布朗运动过程布朗运动是一种在物理学和金融学中常见的平稳过程。
它被定义为一个随机游走过程,其中每个步骤都是随机的,但总体趋势向前移动。
布朗运动可以用以下随机微分方程描述:$$dX_t=\mu dt+\sigma dW_t$$其中,$X_t$是在时间$t$的位置,$\mu$是平均漂移率,$\sigma$是扩散系数,$W_t$是布朗运动的随机因素。
布朗运动的功率谱密度为:$$S_{xx}=\frac{2\sigma^2}{\omega^2}$$其中,$\omega$是频率。
3.自回归过程自回归过程是一种用于时间序列分析的平稳过程。
它被描述为前一时间点的值与当前时间点的值之间的线性关系。
自回归过程可以表示为以下形式:$$X_t=\sum_{i=1}^{p}a_iX_{t-i}+e_t$$其中,$X_t$表示在时间$t$的值,$a_i$表示自回归系数,$e_t$是误差项。
自回归过程的功率谱密度可以用以下公式计算:$$S_{xx}=\frac{\sigma_e^2}{1-\sum_{i=1}^{p}a_i e^{-j\omega i}}$$其中,$\sigma_e^2$是误差项的方差。
4.滑动平均过程滑动平均过程是一种用于时间序列分析的平稳过程,它表示为随机误差项的加权和。
第四章 随机过程中的平稳过程

RX ( ) E[ X (t )X (t )] =E[ X (t ) X (t )] RX ( )
R(s, t ) E[ X (s)X (t )] R( )
则称{X(t),t∈T} 为宽(弱、广义)平稳过程,简称宽 平稳过程
2008年12月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
由于在许多工程技术问题中,常常仅在相关理论(一、二
阶矩)的范围内讨论问题,因此划分出广义平稳随机过程来。
而相关理论之所以重要,是因为在实际中,一、二阶矩能给出 有关平稳随机过程平均功率的几个主要指标,比如,如果随机
过程如果代表噪声电压信号,那么在相关理论范围内就可以给
出直流分量、交流分量,平均功率及功率在频域上的分布(我 们将在后面讨论功率谱密度)等。另外,在电子系统中经常遇
到最多的是正态随机过程,对于正态随机过程而言,它的任意
若令 t 2 ,得
f (t1 , t 2;x1 , x2 ) f (t1 t 2 ,0;x1 , x2 ) f (;x1 , x2 )
其中 同理
t1 t2
二维分布函数也仅与时间差 而与时间起点无关,即
t1 t2
有关,
F (t1 , t 2;x1 , x2 ) F (;x1 , x2 )
j [ l ( t ) k t ] E X X e k l k 1 l 1
bk e jk
k 1
RY ( )
所以, {Y (t ), t }具有平稳性。
2008年12月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
P
k 0
通信原理辅导及习题解析

通信原理辅导及习题解析(第六版)第3章随机过程本章知识结构及内容小结[本章知识结构][知识要点与考点]1. 随机过程的基本概念 (1)随机过程的定义随机过程可从样本函数与随机变量两种角度定义。
第一,随机过程是所有样本函数的集合;第二,随机过程可以看作实在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
(2)随机过程的分布函数 ① n 维分布函数12121122(,,,;,,,){(),(),,()}n n n n n F x x x t t t P t x t x t x ξξξ=≤≤≤② n 维概率密度函数1212121212(,,,;,,,)(,,,;,,,),,,n n n n n n nF x x x t t t f x x x t t t x x x ∂=∂∂∂维数n 越大,对随机过程统计特征的描述就越充分。
(3)随机过程的数字特征 ① 均值(数学期望)1[()](,)()E t xf x t dx a t ξ∞-∞==⎰均值表示随机过程的样本函数曲线的摆动中心。
② 方差2222[()]{()[()]}[()]()()D t E t E t E t a t t ξξξξσ=-=-=方差表示随机过程在时刻t 相对于均值的偏离程度。
③自相关函数1212(,)[()()]R t t E t t ξξ=自相关函数目的是为了衡量在任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度。
④协方差函数1211221212(,){[()()][()()]}(,)()()B t t E t a t t a t R t t a t a t ξξ=--=-协方差函数对随机过程在任意两个时刻上的随机变量与各自均值的差值之间的相关联程度进行描述。
⑤互相关函数,1212(,)[()()]R t t E t t ξηξη=互相关函数用来衡量两个随机过程之间的相关程度。
2. 平稳随机过程 (1)定义 ①严平稳随机过程若一个随机过程()t ξ的任意有限维分布函数与时间起点无关,则称为严平稳的,即:()()12121212,,,,,,,,,,n n n n n n f x x x t t t f x x x t t t =+∆+∆+∆②宽平稳随机过程若一个随机过程()t ξ的均值为常数,自相关函数仅于时间间隔21t t τ=-有关,则称为宽平稳,即:()()()12, ,E t a R t t R ξτ==⎡⎤⎣⎦(2)各态历经性若随机过程的任一实现,经历了随机过程的所有可能状态,则称其是各态历经的,即随机过程的数字特征,可以由其任一实现(样本函数)的数字特征来代表。
平稳随机过程的功率谱密度-精品文档

二、谱密度的性质
性质2
i 即 S ( ) R ( ) e d , X X
性质1 S ( )是 的实的、非负的偶函 . X
S ( ) 和自相关函数 R ( ) 是一傅里叶 . X
1 i R ( ) S ( ) e d . X X 2 π
在 x ( t ) 和 F ( ) 之间成立有帕塞 ( Parsev ) x
等式:
2 1 2 x ( t ) d t F ( ) d , x 2 π
x ( t )在 ( , ) 上的总能量
称为x(t)的能量谱密度 帕塞瓦尔等式又可理解为总能量的谱表示式.
平稳过程的平均功率
1T 2 2 该过程的 lim E [ X ( t )] d t x T T 2 T 均方值
2 X
1 1 2 lim { E F (, T ) } d . X T 2 π 2 T
S ( ) 或 S ( ) . 平稳过程 X(t) 的功率谱密度, 记为 XX X
1 T 2 将 lim E X( t) d t 定义为平稳过 T T 2 T
X(t)的平均功率 .
交换定义式中积分与均值的运算顺序, 并注意
到平稳过程的均方值是常数, 于是
1 T 2 lim E X ( t ) d t T T 2 T
它们统称为维纳-辛钦(hine)公式.
说明
1. 平稳过程在自相关函数绝对可积的条件下, 维纳-辛钦公式成立.
2 . S ( ) 和 R ( ) 都是偶函数, 所以维纳-辛钦 X
公式还可以写成如下的形式:
平稳随机过程

平稳随机过程1.平稳随机过程(1)严平稳随机过程的定义若ξ(t)的任意有限维概率密度函数与时间起点无关,即对于任意的正整数n和所有实数Δ,有则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程,简称严平稳随机过程。
①一维概率密度与时间t无关,即②二维分布函数只与时间间隔τ=t2-t1有关,即(2)严平稳随机过程ξ(t)的数字特性①均值均值与t无关,为常数a,即(3-1-1)②自相关函数自相关函数只与时间间隔τ=t2-t1有关,即R(t1,t1+τ)=R(τ)。
即(3-1-2)(3)广义平稳随机过程把同时满足式(3-1-1)和式(3-1-2)的过程定义为广义平稳随机过程。
(4)严平稳随机过程与广义随机过程的关系严平稳随机过程必定是广义平稳的,反之不一定成立。
2.各态历经性(1)各态历经性的定义随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态称为各态历经性。
(2)各态历经性的意义具有各态历经性的平稳随机过程的统计均值等于其任一次实现的时间均值。
(3)各态历经性与平稳随机过程的关系具有各态历经的随机过程一定是平稳过程,反之不一定成立。
(4)各态历经性的实现如果平稳过程使成立,则称该平稳过程具有各态历经性。
3.平稳过程的自相关函数(1)自相关函数的定义设ξ(t)为实平稳随机过程,则它的自相关函数为(2)自相关函数的性质①R(0)=E[ξ2(t)],表示ξ(t)的平均功率;②R(τ)=R(-τ),表示τ的偶函数;③|R(τ)|≤R(0),表示R(τ)的上界;④,表示ξ(t)的直流功率;这是因为当时,与没有任何依赖关系,即统计独立。
所以⑤R(0)-R(∞)=σ2,σ2是方差,表示平稳过程ξ(t)的交流功率。
当均值为0时,有R(0)=σ2。
4.平稳过程的功率谱密度(1)功率谱密度的定义平稳过程ξ(t)的功率谱密度Pξ(f)定义为(2)功率谱密度的特性①平稳过程的平均功率为②各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。
第四章 平稳随机过程的谱分析

1 2
S
X
(
)e
j
d
自相关函数和功率谱密度皆为偶函数
若随机过程X t是平稳的,自相关函数绝对可积,则自相关函数
jt
ddt
1
2
XX
()
x(t)e jt dtd
1
2
X
X
()X
* X
()d
1
2
X
X
()
2d
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖功率谱
功率型信号:能量无限、平均功率有限的信号
P lim 1 T s(t) 2 dt T 2T T 其能谱不存在,而功率谱存在
持续时间无限长的信号一般能量无限
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖如何计算随机信号的平均功率?
2)时域计算方法
任一样本函数的平均功率为
W
lim
T
1 2T
T x2(t, )dt
T
随机过程的平均功率为
W
E[W
]
lim
T
1 2T
T E{X 2(t)}dt
T
若为各态历经过程:
W =W
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖如何计算随机信号的平均功率?
2020/5/20
6
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖傅立叶变换
则 x(t)的傅立叶变换为:
X () x(t)e jt dt
其反变换为:
x(t) 1 X ()e jt d
2
频谱密度存在的条件为:
频谱密度
x(t)dt
2020/5/即20 信号为绝对可积信号
包含:振幅谱 相位谱
求各样本函数功率谱密度的统计平均
随机过程5.4 平稳过程的谱分析简介

1) S(ω)为实值非负函数,即
S() S() 0.
2)又若{X(t), t∈R}是实过程, 则S(ω)是偶 函数. 证 1) S() lim 1 E[ F(,T ) 2 ] S() 0;
T 2T
2) 实平稳过程的相关函数是偶函数, 由(5) 式可得
S() R()e jd R()e jd
2T T
2 2T
成立.
上式两边求均值再取极限, 左端为
lim
T
E
1 2T
T
X
2
(t
)dt
T
(4)
电子科技大学
称为平稳过程X(t) 的平均功率.
若(4)中的积分与求均值可交换顺序, 则
1
lim T 2T
T
E{
T
X (t )
2 }dt
E[
X (t )
注
RX
(
)
1
2
e
jt
dFX
(
),
R
称为平稳过程相关函数的谱展式.
定义5.4.1 称FX(ω)为过程{X(t),t∈T}的谱函
数,若存在SX (ω),使
FX () SX (1 )d1, R
电子科技大学
称SX(ω)为过程的谱密度. 利用特征函数和分布函数之间的关系,可
S() R()e jd, (5)
R()
1 2ຫໍສະໝຸດ S ()ejd,(6)
平稳过程的相关函数与功率谱密度构成一
对Fourier变换.
注 (6) 式称为相关函数的谱分解式.
推论1 {X(t), t∈R}是平稳过程, 则其谱密 度S(ω) 满足
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1 = 2π
∫
+∞
−∞
e jωτ
ω2 + 2 dω 2 2 (ω + 4)(ω + 1)
1 ω2 + 2 ω2 + 2 jω τ jω τ = + 2π j[Res( 2 e , j ) Res( e , 2 j )] 2 2 2 2π (ω + 4)(ω + 1) (ω + 4)(ω + 1)
1 −τ 1 −2 τ = j( e + e ) 6j 6j
1 S X (ω ) = lim E T →+∞ 2T
+∞
∫
T
−T
e − jωt X t dt
2
= ∫ e − jωt RX (τ )dt
1 证明 因为 E 2T
−∞
∫
T
−T
e
− jωt
2
X t dt
T T 1 − jω s = E[ ∫ e X s ds ∫ e − jωt X t dt ] −T −T 2T
∫ f ( z )dz = 2π j ∑ Res[ f ( z ), z ]
C k =1 k
n
例5.4.3. 设平稳过程X的功率谱密度为
ω2 S X (ω ) = 4 ω + 3ω 2 +2
计算X的平均功率.
解 利用维纳-辛钦公式得: 1 +∞ jω 0 RX (0) = e S X (ω )d ω ∫ −∞ 2π 1 +∞ ω2 = dω 4 2 ∫ −∞ 2π ω + 3ω +2
2
即信号的总能量等于能谱密度在全频域上的积分. 上式也称为总能量的谱表达式.
2. 功率型信号:若信号的总能量是无限的. x(t)不满足绝对可
积的条件, 通常研究x(t)的平均功率,即
1 T 2 lim x (t )dt ∫ T →∞ 2T −T 为信号x(t )在(-∞,+∞)上的平均功率.
能否给出平均功率的的谱表达式? 为此构造一个截尾函数:
1 RX (0) = 2π
平均功率
∫
+∞
−∞
S( dω X ω)
T 1 1 2 即 lim E ∫ X t dt = lim −T T →+∞ 2T T →+∞ 2T
∫
T
−T
E X t dt = RX (0)
2
说明平均功率可以用谱密度曲线下的总面积来计算.
谱密度的计算
W--K 公式
留数 定理
Fourier 性质
− jωτ S( ω ) = e RX (τ )dτ , − ∞ < ω < +∞ X ∫ −∞ +∞
1 RX (τ ) = 2π
∫
+∞
−∞
e jωτ S( dω , − ∞ < τ < +∞ X ω)
上式表明相关函数和谱密度是一对傅里叶变换对. 上两式也称为维纳-辛钦公式.
相关函数在时域上描述平稳过程的统计特征. 在频域上描述平稳过程统计特征的工具——功率谱密度. 时域分析与频域分析是研究平稳过程的两个重要分支. 而Fouier变换可以实现时域与频域的转换.
x(t ) t ≤ T 令 xT (t ) = t >T 0
则xT (t )绝对可积,存在Fourier变换及逆变换
Fx (ω , T ) = ∫ e − jωt xT (t )dt
−∞ +∞ T
= ∫ e − jωt x(t )dt
−T
对截尾函数用Parseval等式,得
∫
+∞
谱密度的性质
平稳过程的谱密度有以下性质: (1)谱密度是非负实函数. 2 T 1 由S X (ω ) = lim E ∫ e − jωt X t dt 易知结论成立. −T T →+∞ 2T (2)实平稳过程的谱密度是非负实偶函数. 事实上,对实平稳过程,
− jωτ ) ⇒ S( ω = e RX (τ )dτ X ∫ −∞ +∞
T T 1 = E[ ∫ ∫ X s X t e − jω (t − s ) dsdt ] −T −T 2T
1 = 2T
2T
∫ ∫
−T
T
T
−T
e − jω ( t − s ) RX (t − s )dsdt
s = 1 u = t − s 2 (v − u ) 令 ,则 1 v = t + s t = 2 (v + u )
5.4 平稳过程的功率谱密度
主讲人:李伟 西安电子科技大学数学与统计学院 2013年秋季
平稳过程的谱密度
●
相关函数在时域上描述了平稳过程的统计特征.
•许多物理和工程领域中问题, 还要研究其在频域 内的特征, 即频域分析法. •谱密度是在频域内研究平稳过程的重要指标. •Fouier变换可以实现时域与频域的转换. • 时域分析法与频域分析法相互联系, 且各有优 点, 构成了研究平稳过程的两个重要分支.
ω ∈ (−∞, +∞)
例5.4.2 设X={Xt, -∞<t<+∞ }为零均值的实的正交增量过程,
2 且满足 E[X t -X s ] = t − s , 令
Yt = X t -X t −1 ,
证明 m Y (t ) = E[Xt -X t −1 ]=0,
t ∈ (−∞, +∞)
验证 Y={Yt, -∞<t<+∞ }为平稳过程,并计算Y的谱密度.
一、确定性时间函数的功率谱密度 ——预备知识
3
功率谱密度的概念
能量型 信号 功率型 1. 能量型信号— 总能量有限的信号 设信号的样本函数为x(t) (-∞<t<+∞) 则称
+∞
W =∫
−∞
x 2 (t )dt
为信号x(t )在(-∞,+∞)上的总能量.
如果x(t)在 (-∞,+∞)上绝对可积,则x(t)的Fouier变换存在 , 或说x(t) 存在频谱,即
Fx (ω ) = ∫
逆变换 x (t ) = ∫
+∞
+∞
+∞
−∞
x(t )e − jωt dt
−∞
1 Fx (ω )e jωt d ω 2π
+∞
频谱展开式
则总能量W = ∫
−∞
x (t )dt = ∫
2
−∞
x(t )[ ∫
+∞ −∞
+∞
−∞
1 = 2π 1 = 2π
1 Fx (ω )e jωt d ω ]dt 2π
F [ f ( n ) (t )] = ( jω ) n F [ f (t )]
在工程实际中,常用到δ -函数的傅里叶变换和逆变换
+∞ 1 − jωτ dτ = δ (ω ) e ∫ −∞ 2π +∞ 1 1 jωτ ωτ δ (ω )d ω = e ∫ 2π 2π −∞
+∞ −∞
∫
[ Fx (ω ) ∫
2
x (t )e jωt dt ]d ω
∫
+∞
−∞
Fx (ω ) d ω
Parseval等式 W = ∫
+∞
−∞
1 2 x (t )dt = 2π
∫
+∞
−∞
Fx (ω ) d ω
2
左边为x(t )在(-∞,+∞)上的总能量
右边的被积式 Fx (ω ) 称为信号x (t )的能谱密度.
−∞
x (t )dt = ∫ x 2 (t )dt
2 T −T
T
1 = 2π
∫
+∞
−∞
Fx (ω ,T ) d ω
2
则平均功率 1 lim T → +∞ 2T
1 ∫−T x (t )dt = Tlim → +∞ 4π T
T 2
∫
+∞
−∞
Fx (ω , T ) d ω
2
2
1 = 2π
1 = 2π
记 1 S( = lim x ω) T →+∞ 2T
2 ω2 + 2 ω +2 1 −τ jωτ jωτ 其中,Res( 2 e , j) = lim(ω − j) 2 e = e 2 2 ω → j (ω + 4)(ω +1) (ω + 4)(ω +1) 6j
1 −τ −2 τ = (e + e ) 6
ω2 + 2 ω2 + 2 1 −2 τ jω τ jω τ Res( 2 e , 2 j ) = lim (ω − 2 j ) 2 e = e 2 2 ω → 2 j (ω + 4)(ω + 1) 6j (ω + 4)(ω + 1)
−3 τ
cos 4τ )
−3 τ
S X (ω ) = F [ RX (τ )]
= 5F[1] + 2F [e
−3 τ
] + 2F [e
cos 4τ ]
12 3 3 +2[ + ] = 10πδ (ω ) + 2 2 2 9+ω 9 + (ω − 4) 9 + (ω + 4)
⇒J=
∂ ( s ,t ) ∂ (u ,v )
=
−1 2
1 2
1 2 1 2
=−1 2
u − jwu = ∫ (1 − )e RX (u )du −2 T 2T
=∫
+∞ −∞