卡特兰数讲义(陈朝晖)

f (n)
1 n C2 n n 1
n 1 i 0
f (n) sum( Catalan i * Catalan n i )
n n 1 f (n) C 2 n C2 n
卡特兰数模型应用：
（1）二叉树的计数：已知二叉树有 n 个结点，求能构成多少种不同的二叉树 （2）括号化问题： 一个合法的表达式由()包围，()可以嵌套和连接，如：(())()也是合法表达式，现给出 n 对括号，求可以 组成的合法表达式的个数 （3）划分问题：将一个凸 n+2 多边形区域分成三角形区域的方法数 （4）出栈问题：一个栈的进栈序列为 1,2,3,..n，求不同的出栈序列有多少种 （5）路径问题：在 n*n 的方格地图中，从一个角到另外一个角，求不跨越对角线的路径数有多少种 （6）握手问题： 2n 个人均匀坐在一个圆桌边上，某个时刻所有人同时与另一个人握手，要求手之间不能交叉，求共有 多少种握手方法 接下来， 我们来讲讲有关卡特兰数， 也就是本题的具体处理。 首先， 我想到的是直接用计算机模拟栈的操作， 关于栈以及计算编程过程中用到递归、dfs（深度优先搜索）这些数学老师可能不太熟悉，直接跳过影响不大。
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int n; void mul(int x); int main() { scanf("%d",&n); for(int i=n+2; i<=2*n; ++i){mul(i);} //高精度 ans[]乘单精度 i for(int i=2; i<=n; ++i){ //高精度 ans[]除以单精度 i int m=0,t; //m 之前产生的余数 for(int j=len; j>=0; --j){ t=m*10+ans[j]; ans[j]=t/i; m=t%i; } while(ans[len]==0){len--;} //高位去 0 操作 } for(int i=len; i>=0; --i) printf("%d",ans[i]); printf("\n"); return 0; } void mul(int x) { for(int i=0; i<=len; ++i) ans[i]*=x; for(int i=0; i<=len; ++i){ ans[i+1]+=ans[i]/10; ans[i]%=10; } while(ans[len+1]){ len++; ans[len+1]=ans[len]/10; ans[len]%=10; } } 上面的高精度其实还是过不了的,因为会超时，这里我们进一步考虑程序代码优化问题，必须对程序代码进 行优化处理才可以，前面卡特兰数整理之后的结果是： //t 为做除法的值
（向 x 或 y 方向走，走 m 步的方案数，图中我给的 m=7，另外杨辉三角我上课时也顺带图形解释一下） 2.组合公式： C (m, n) C (m 1, n) C (m, n 1) （到图中红点点方案数等于两个蓝点点的方案数和） 3.
C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+...+C(m,m)= 2 证明：
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二、动态规划初步 编程最容易想到的就是动态规划，当我往格子里填数的时候，还没填完动态规划思想就产生了。 动态规划在处理问题过程中速度快的很大原因是，程序在运算过程中将我们处理的状态记录下来，并在此基 础上，直接一步到位推导出下一状态。因此，动态规划解题一般都具有较佳的时间复杂度。 但对于本题而言，一开数组我就发懵了 (n=60000) ，如果我将程序运行中各种状态都记录下来，数组得开 (60000*60000=3.6*109)，你想这么做，但计算机内存空间绝对不允许啊！ 下面代码我只通过了 n<20 小数据，原因是卡特兰数真他妈增长速度快，爆啦！因此，我们还得高精度处理！ #include <iostream> #include <cstdio> #define N 610 using namespace std; long long a[N][N]; int n=19; int main() { for(int i=0; i<=n; ++i){ a[i][0]=1; a[0][i]=0; } for(int j=1; j<=n; ++j){ for(int i=j; i<=n; ++i){ a[i][j]=a[i][j-1]+a[i-1][j]; } } printf("%d\n",a[n][n]); } 三、滚动数组优化动态规划 下面我会了一种我提供的改良方案， 只记录与当前状态需要的前一种状态， 这里我采用滚动数组来节省空间。 #include <iostream> #include <cstdio> #define N 600010 using namespace std; long long a[2][N]={0}; int n,t=0; int main() {
2n *(2 n 1) *(2 n 2) *......*( n 2) n!
（我这里，给定是图形证明，总方案数-非法方案数即问题解，如上图所示）
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五、高精度优化及数据压缩 我们不能傻傻的一直计算下去，还得继续分析啊，需要实现 1 秒内出现结果，你得降低计算处理数据量！ 这时候数学老师最擅长啦，约掉相同的因子，降低计算量。对的，不仅如此，为了加快计算速度，在做高精 度数时同时对数据进行压缩。 （10 进制数据，你想多了，太烦了！计算机很忙的，这里我直接做成 109 进制数据， 如果再大就不可以了，相乘的结果 long long 存储不了的！ ） 接下来，程序就可以秒过了！ #include <bits/stdc++.h> #define ll long long #define N 60010 using namespace std; const ll M=1e9; ll a[N],sum[N<<1]; int n,len; void cnt(int m,int f); void mul(ll x); int main() { scanf("%d",&n); a[1]=1,len=1; //用来统计每个数据带来的质因子的总数量,因为是连乘,结果与各个质因子个数相关 for(int i=2; i<=n; ++i) cnt(n+i,1); //为了减少除法,这里通过直接减去分母中出现的相同质因子数量,完成除法操作 for(int i=2; i<=n; ++i) cnt(i,-1); //扫描一下可能的质因子分布区间,这里将所有的质因子按其数量进行逐个相乘,sum[i] for(int i=2; i<=2*n; ++i){ for(int j=1; j<=sum[i]; ++j){ mul(i); } } printf("%lld",a[len]); for(ll i=len-1; i; --i){ printf("%09lld",a[i]); } printf("\n"); return 0; } void cnt(int m, int f) //数据 m 可能会带来哪些质因子,f==1 用来累加质因子,否则用来去掉质因子 { for(int j=2; j*j<=m && m!=1; ++j){ while(m%j==0){ sum[j]+=f; m/=j; } } if(m) sum[m]+=f; }
卡特兰数讲义
——编程与数学两者间的关系
路桥中学 陈朝晖 130. 火车进出栈问题
一列火车 n 节车厢，依次编号为 1,2,3,…,n。 每节车厢有两种运动方式，进栈与出栈，问 n 节车厢出栈的可能排列方式有多少种。 输入格式 输入一个整数 n，代表火车的车厢数。 输出格式 输出一个整数 s 表示 n 节车厢出栈的可能排列方式数量。 数据范围 1≤n≤60000 输入样例： 3 输出样例： 5 一、了解卡特兰数 卡特兰数又称卡塔兰数，它是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列，其前几项为 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, ...... 有关这题的问题模型对我们数学老师而言，是再熟悉不过了。今天，我想借这题来和大家聊一下卡特兰数， 也了解一下编程与数学在解决问题时的关联。 关于卡特兰数公式有好多，我罗列几个了解的，其他公式不了解也没推导，数学老师应该非常熟悉。
类似问题 2：
一位大城市的律师在他住所以北 n 个街区和以东 n 个街区处工作，每天她走 2n 个街区去上班。如果他从不 穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？ 回到前面问题， 对于每一个数来说， 必须进栈一次、 出栈一次。 我们把进栈设为状态 ‘1’ ， 出栈设为状态 ‘0’ 。 n 个数的所有状态对应 n 个 1 和 n 个 0 组成的 2n 位二进制数。由于等待入栈的操作数按照 1‥n 的顺序排列、入 栈的操作数 b 大于等于出栈的操作数 a(a≤b)，因此输出序列的总数目=由左而右扫描由 n 个 1 和 n 个 0 组成的 2n 位二进制数，1 的累计数不小于 0 的累计数的方案种数。t i=0; i<=n; ++i) a[t][i]=1; for(int j=1; j<=n; ++j){ t=1-t; //用变量 t 来实现两个数组滚动 a[t][j-1]=0; //重新前面这个位置值 0,因为这个位置曾用过有数值在 for(int i=j; i<=n; ++i){ a[t][i]=a[1-t][i]+a[t][i-1]; printf("%lld ",a[t][i]); } printf("\n"); } return 0; } 四、高精度处理初步 上面想法真的很好，程序跑起来也快，但这一切都是假的！由于数据太大，你连数据都存储不了啊。当然这 些问题在数学老师眼里根本就不是问题，他们可以随意写出一个数，如：1/3，但计算机不同，得存储啊！你可 以想象一下 n=60000，算出来的数据得有多大啊！ 事实上，数学老师根本就不可能计算得出来，因为学校文印室也不可能借那么多草稿纸给他们用，但我们可 以，甚至比这还要大的数据也可以算，还不出错，哈哈哈……！ 接下来，我们重点来讨论高精度数据处理问题。 在做高精度数据处理之前，我们得给出我们需要计算得数据，如下，A 点到 B 点的卡特兰数整理之后的结果 是：