广东省一级达标学校五校联考2018-2019学年高二下学期期中数学试卷(理科)有解析

4．已知曲线 y=2x2 上一点 A（2，8），则 A 处的切线斜率为（ ） A．4 B．8 C．16 D．2 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】求出函数的导数，由导数的几何意义，函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，代入 x=2 即可得 到所求切线的斜率． 【解答】解：y=2x2 的导数为 y′=4x， 由导数的几何意义，可得： A（2，8）处的切线斜率为 k=4×2=8． 故选：B． 【点评】本题考查导数的几何意义，函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，考查运算能力，属于基础题． 5．a，b，c，d，e 共 5 个人，从中选 1 名组长 1 名副组长，但 a 不能当副组长，不同的选法总数是（ ） A．20 B．16 C．10 D．6 【考点】D3：计数原理的应用． 【分析】本题是一个分类计数问题首先不考虑限制条件从 5 个人中选两个安排两个组长有 A52，若 a 当副组长只有从 4 个人中选一个做组长，共有 A41，用所有的结果减去不合题意的得到结果． 【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题 首先不考虑限制条件有 A52， 若 a 偏要当副组长有 A41， 用所有的结果减去不合题意的得到 A52﹣A41=16 为所求． 故选 B． 【点评】本题考查分类计数原理，考查有限制条件的元素的排列，是一个基础题，解题时使用所有的排列减去不合题 意的排列，本题也可以从正面来考虑． 6．从 1=12、1+3=22、1+3+5=32、1+3+5+7=42、…，猜想得到 1+3+…+（2n﹣1）=（ ） A．n B．2n﹣1 C．n2 D．（n﹣1）2 【考点】F1：归纳推理． 【分析】直接由题意可得答案． 【解答】解：从 1=12、1+3=22、1+3+5=32、1+3+5+7=42、…，猜想得到 1+3+…+（2n﹣1）=n2， 故选：C 【点评】本题考查了归纳推理的问题，关键找到规律，属于基础题
【解答】解：
=
，
故选：B． 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题． 12．曲线 y=ex，y=e﹣x 和直线 x=1 围成的图形面积是（ ）
A．e+ ﹣2 B．e﹣ +2 C．e+ D．e﹣ ﹣2
【考点】6G：定积分在求面积中的应用． 【分析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．
（2）求函数 f（x）的极值；
（3）当 x∈[﹣2，4]时，不等式 f（x）＜c2 恒成立，求 c 的取值范围．
19．（12 分）已知函数 f（x）=ax3+bx2﹣3x 在 x=±1 处取得极值．
（Ⅰ）讨论 f（1）和 f（﹣1）是函数 f（x）的极大值还是极小值；
（Ⅱ）过点 A（0，16）作曲线 y=f（x）的切线，求此切线方程．
则这辆车行驶的路程是 km．
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10 分）当实数 m 为何值时，复数 z=（m2+m﹣2）+（m2﹣1）i 是：
①实数；
②虚数；
③纯虚数．
18．（12 分）已知函数 f（x）=x3﹣3x2﹣9x+11
（1）写出函数 f（x）的递减区间；
20．（12 分）已知数列{an}的第 1 项 a1=1，且 an+1=
．
（1）计算 a2，a3，a4； （2）猜想 an 的表达式，并用数学归纳法进行证明． 21．（12 分）某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到 100 人的团体，每人收费 1000 元．如果团体的人 数超过 100 人，那么每超过 1 人，每人平均收费降低 5 元，但团体人数不能超过 180 人，如何组团可使旅行社的收费 最多？（不到 100 人不组团）
A．
B．

C．
D．
【考点】6A：函数的单调性与导数的关系． 【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于 0 的范围和小于 0 的 x 的范围，进而根据当导函数大于 0 时原函数单调
递增，当导函数小于 0 时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间． 【解答】解：由 y=f'（x）的图象易得当 x＜0 或 x＞2 时，f'（x）＞0， 故函数 y=f（x）在区间（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增； 当 0＜x＜2 时，f'（x）＜0，故函数 y=f（x）在区间（0，2）上单调递减； 故选 C． 【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于 0 时原函数单调递增，当导函数 小于 0 时原函数单调递减．
10．
的二项展开式中，x2y4 项的系数是（ ）
A．45 B．90 C．135 D．270 【考点】DA：二项式定理． 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 2，且 y 的幂指数等于 4，求得 r 的值，即可求得展 x2y4 项的系数．
【解答】解：在
的二项展开式中，通项公式为 Tr+1= •x6﹣r•
，
令 6﹣r=2，且 r=4，求得 r=4，故 x2y4 项的系数是 •
=135，
故选 C． 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
11．i 是虚数单位，则
=（ ）
A．3+i B．3﹣i C．1﹣3i D．﹣3﹣i 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算． 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
7．函数 f（x）=x3﹣3x2+1 的减区间为（ ） A．（2，+∞） B．（﹣∞，2） C．（0，2） D．（﹣∞，0） 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】求出 f′（x）＜0 时 x 的取值范围即为函数的递减区间． 【解答】解：因为函数 f（x）=x3﹣3x2+1 的 f′（x）=3x2﹣6x， 由 f′（x）＜0 即 3x2﹣6x＜0， 解得 0＜x＜2， 所以函数的减区间为（0，2） 故选：C． 【点评】考查学生利用导数研究函数单调性的能力，以及会求一元二次不等式的解集． 8．函数 f（x）=x3+ax2+3x﹣9 已知 f（x）在 x=﹣3 时取得极值，则 a=（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】6D：利用导数研究函数的极值． 【分析】先对函数进行求导，根据函数 f（x）在 x=﹣3 时取得极值，可以得到 f′（﹣3）=0，代入求 a 值． 【解答】解：对函数求导可得，f′（x）=3x2+2ax+3 ∵f（x）在 x=﹣3 时取得极值 ∴f′（﹣3）=0⇒a=5，验证知，符合题意 故选：D． 【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的性质．属基础题．比较容易，要求考生只要熟练掌握基本概念，即可解 决问题． 9．设 f′（x）是函数 f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则 y=f（x）的图象最有可能的是（ ）
广东省一级达标学校五校联考 2018-2019 学年高二下学期期中数学试卷（理科）有解析
注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设 f（x）=5x2﹣5，则 f′（1）等于（ ） A．0 B．5 C．10 D．15 2．设 z1=3﹣4i，z2=﹣2+3i，则 z1+z2 在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．函数 y=x2cosx 的导数为（ ） A．y′=2xcosx﹣x2sinx B．y′=2xcosx+x2sinx C．y′=x2cosx﹣2xsinx D．y′=xcosx﹣x2sinx 4．已知曲线 y=2x2 上一点 A（2，8），则 A 处的切线斜率为（ ） A．4 B．8 C．16 D．2 5．a，b，c，d，e 共 5 个人，从中选 1 名组长 1 名副组长，但 a 不能当副组长，不同的选法总数是（ ） A．20 B．16 C．10 D．6 6．从 1=12、1+3=22、1+3+5=32、1+3+5+7=42、…，猜想得到 1+3+…+（2n﹣1）=（ ） A．n B．2n﹣1 C．n2 D．（n﹣1）2 7．函数 f（x）=x3﹣3x2+1 的减区间为（ ） A．（2，+∞） B．（﹣∞，2） C．（0，2） D．（﹣∞，0） 8．函数 f（x）=x3+ax2+3x﹣9 已知 f（x）在 x=﹣3 时取得极值，则 a=（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．设 f′（x）是函数 f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则 y=f（x）的图象最有可能的是（ ）
22．（12 分）已知函数 f（x）=16ln（1+x）+x2﹣10x． （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）若直线 y=b 与函数 y=f（x）的图象有 3 个交点，求 b 的取值范围．
参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设 f（x）=5x2﹣5，则 f′（1）等于（ ） A．0 B．5 C．10 D．15 【考点】63：导数的运算． 【分析】根据题意，由导数的计算公式可得 f′（x）=10x，将 x=1 代入计算可得答案． 【解答】解：根据题意，f（x）=5x2﹣5，则其导数 f′（x）=10x， 则 f′（1）=10； 故选：C． 【点评】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式． 2．设 z1=3﹣4i，z2=﹣2+3i，则 z1+z2 在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义． 【分析】先求两个复数的和的运算，要复数的实部和虚部分别相加，得到和对应的复数，写出点的坐标，看出所在的 位置． 【解答】解：∵复数 z1=3﹣4i，z2=﹣2+3i， ∴z1+z2=（3﹣4i）+（﹣2+3i） =1﹣i． ∴复数 z1+z2 在复平面内对应的点的坐标是（1，﹣1），位于第四象限 故选 D． 【点评】本题考查复数的运算和几何意义，解题的关键是写出对应的点的坐标，有点的坐标以后，点的位置就显而易见． 3．函数 y=x2cosx 的导数为（ ） A．y′=2xcosx﹣x2sinx B．y′=2xcosx+x2sinx C．y′=x2cosx﹣2xsinx D．y′=xcosx﹣x2sinx 【考点】65：导数的乘法与除法法则． 【分析】利用两个函数的积的导数法则，求出函数的导函数． 【解答】解：y′=（x2）′cosx+x2（cosx）′=2xcosx﹣x2sinx 故选 A 【点评】求函数的导函数，关键是判断出函数的形式，然后据函数的形式选择合适的求导法则．