反比例函数必考题型梳理总结
反比例函数专题——含参反比例函数完整版题型汇总
反比例函数专题——含参反比例函数完整
版题型汇总
本文档旨在汇总和总结关于反比例函数中含参函数的题型。
下面是一些常见的题型及解题思路：
一、直接求解
题型描述：
给定一个含参反比例函数，求解当参数取某个特定值时，函数的取值。
解题思路：
1. 将参数代入函数中，得到函数表达式。
2. 根据已知条件和函数表达式，进行运算和化简，得到最终的结果。
二、关系判断
题型描述：
给定一个含参反比例函数，判断参数和函数之间的关系。
解题思路：
1. 将参数代入函数中，得到函数表达式。
2. 通过观察函数表达式的变化趋势，判断参数和函数的关系。
三、参数范围
题型描述：
给定一个含参反比例函数，求解参数的取值范围。
解题思路：
1. 将函数表达式等于零，并解方程，得到参数的取值范围。
四、函数变换
题型描述：
给定一个含参反比例函数，进行函数变换。
解题思路：
1. 对参数进行变换，得到新的函数表达式。
2. 根据已知条件和函数表达式，进行运算和化简，得到最终的结果。
五、实际问题
题型描述：
给定一个含参反比例函数，应用于实际问题。
解题思路：
1. 根据实际问题，将参数代入函数中，得到函数表达式。
2. 根据已知条件和函数表达式，进行运算和化简，得到最终的结果。
以上是一些常见的含参反比例函数的题型汇总。
通过熟练掌握这些题型的解题思路，可以更好地应对相关题目的解答。
希望这份文档对您有所帮助！。
中考压轴题-反比例函数综合(八大题型+解题方法)—冲刺2024年中考数学考点(全国通用)(解析版)
中考压轴题反比例函数综合（八大题型+解题方法）1.求交点坐标联立反比例函数与一次函数图象的解析式进行求解，特别地，反比例函数与正比例函数图象的两个交点关于原点对称.2.结合图象比较函数值的大小如图，一次函数y=k1x+b与反比例函数图象交于A,B 两点，过点A,B分别作y 轴的平行线，连同y 轴，将平面分为I,Ⅱ,Ⅲ,IV 四部分，在I,Ⅲ区域内，y₁<y₂,自变量的取值范围为x<x B或0<x<x A;在Ⅱ,IV区域内，y1>y₂,自变量的取值范围为x B<x<0或x>x A.3.反比例函数系数k的几何意义及常用面积模型目录：题型1：反比例函数与几何的解答证明 题型2：存在性问题题型3：反比例函数的代数综合 题型4：动态问题、新定义综合 题型5：定值问题 题型6：取值范围问题 题型7：最值问题题型8：情景探究题（含以实际生活为背景题）题型1：反比例函数与几何的解答证明1．（2024·湖南株洲·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，4OA =，2OC =（不与B ，C 重合），反比例函数()0,0k y k x x=＞＞的图像经过点D ，且与AB 交于点E ，连接OD ，OE ，DE ．(1)若点D 的横坐标为1． ①求k 的值；②点P 在x 轴上，当ODE 的面积等于ODP 的面积时，试求点P 的坐标； (2)延长ED 交y 轴于点F ，连接AC ，判断四边形AEFC 的形状 【答案】(1)①2；②15,04⎛⎫ ⎪⎝⎭或15,04⎛⎫− ⎪⎝⎭(2)四边形AEFC 是平行四边形，理由见解析【分析】（1）①根据矩形的性质得到90BCO B AOC ∠=∠=∠=︒，得()1,2D ，把()1,2D 代入()0,0ky k x x=＞＞即可得到结论；②由D ，E 都在反比例函数ky x =的图像上，得到1COD AOE S S ==△△，根据三角形的面积公式得到1111315241243222224ODE S =⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯=△，设(),0P x ，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（2）连接AC ，根据题意得到,22k D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,4k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设EF 的函数解析式为y ax b =+，解方程得到84k OF +=，求得24kCF OF AE =−==，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．【解析】（1）解：①∵四边形ABCO 是矩形，4OA =， ∴90BCO B AOC ∠=∠=∠=︒，4BC OA ==， ∵2OC =，点D 的横坐标为1， ∴()1,2D ，2AB OC ==，∵反比例函数()0,0ky k x x =＞＞的图像经过点D ，∴122k =⨯=， ∴k 的值为2； ②∵()1,2D ，∴1CD =，∵D ，E 都在反比例函数2y x =的图像上，∴1COD AOE S S ==△△，∴111422AOE S OA AE AE==⋅=⨯△，∴12AE =，∴13222BE AB AE =−=−=， ∴1111315241243222224ODES =⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯=△，∵点P 在x 轴上，ODE 的面积等于ODP 的面积， 设(),0P x ，∴115224ODP S x =⨯⨯=△， 解得：154x =或154x =−，∴点P 的坐标为15,04⎛⎫ ⎪⎝⎭或15,04⎛⎫− ⎪⎝⎭；（2）四边形AEFC AEFC 是平行四边形． 理由：连接AC ，∵4OA =，2OC =，D ，E 都在反比例函数()0,0ky k x x =＞＞的图像上，∴,22k D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,4k E ⎛⎫⎪⎝⎭，设EF 的函数解析式为：y ax b =+，∴2244k a b k a b ⎧⨯+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：1284a kb ⎧=−⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∴EF 的函数解析式为：1824k y x +=−+， 当0x =时，得：84ky +=，∴84k OF +=， ∴24kCF OF AE =−==，又∵CF AE ∥，∴四边形AEFC 是平行四边形．【点睛】本题是反比例函数与几何的综合，考查待定系数法确定解析式，反比例函数图像上的点的坐标的特征，矩形的性质，平行四边形的判定，三角形的面积等知识点．掌握反比例函数图像上的点的坐标的特征，矩形的性质是解题的关键．题型2：存在性问题2．（2024·四川成都·二模）如图①，O 为坐标原点，点B 在x 轴的正半轴上，四边形OACB 是平行四边形，4sin 5AOB ∠=，反比例函数(0)ky k x =>在第一象限内的图象经过点A ，与BC 交于点F ．(1)若10OA =，求反比例函数解析式；(2)若点F 为BC 的中点，且AOF 的面积12S =，求OA 的长和点C 的坐标；(3)在（2）中的条件下，过点F 作EF OB ∥，交OA 于点E （如图②)，点P 为直线EF 上的一个动点，连接PA ，PO ．是否存在这样的点P ，使以P 、O 、A 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)48(0)y x x =>C(3)存在，满足条件的点P 或(或或(【分析】（1）先过点A 作AH OB ⊥，根据4sin 5AOB ∠=，10OA =，求出AH 和OH 的值，从而得出A 点坐标，再把它代入反比例函数中，求出k 的值，即可求出反比例函数的解析式； （2）先设(0)OA a a =>，过点F 作FM x ⊥轴于M ，根据4sin 5AOB ∠=，得出45AH a =，35OH a=，求出AOHS △的值，根据12AOF S =△，求出平行四边形AOBC 的面积，根据F 为BC 的中点，求出6OBF S =△，根据12BF a =，FBM AOB ∠=∠，得出12BMFS BM FM =⋅，23650FOM S a =+△，再根据点A ，F 都在k y x =的图象上，12AOHSk=，求出a ，最后根据AOBC S OB AH =⋅平行四边形，得出OB AC ==C 的坐标；（3）分别根据当90APO ∠=︒时，在OA 的两侧各有一点P ，得出1P ，2P ；当90PAO ∠=︒时，求出3P ；当90POA ∠=︒时，求出4P 即可．【解析】（1）解：过点A 作AH OB ⊥于H ，4sin 5AOB ∠=，10OA =，8AH ∴=，6OH =，A ∴点坐标为(6,8)，根据题意得：86k=，可得：48k =，∴反比例函数解析式：48(0)y x x =>；（2）设(0)OA a a =>，过点F 作FM x ⊥轴于M ，过点C 作CN x ⊥轴于点N ， 由平行四边形性质可证得OH BN =，4sin 5AOB ∠=，45AH a ∴=，35OH a=， 2143625525AOHS a a a ∴=⋅⋅=△，12AOF S =△，24AOBC S ∴=平行四边形，F 为BC 的中点，6OBFS∴=，12BF a=，FBM AOB ∠=∠，25FM a ∴=，310BM a =，2112332251050BMF S BM FM a a a ∴=⋅=⋅⋅=△，23650FOMOBFBMFSSSa ∴=+=+，点A ，F 都在ky x =的图象上，12AOH FOM S S k ∴==△△，∴226362550a a =+，a ∴OA ∴=AH ∴=OH =24AOBC S OB AH =⋅=平行四边形，OB AC ∴==ON OB OH ∴=+=C ∴；（3）由（2）可知A ，B 0)，F ．存在三种情况：当90APO ∠=︒时，在OA 的两侧各有一点P ，如图，设PF 交OA 于点J ，则J此时，AJ PJ OJ ==，P ∴，(P '，当90PAO ∠=︒时，如图，过点A 作AK OB ⊥于点K ，交PF 于点L ．由AKO PLA △∽△，可得PLP ，当90POA ∠=︒时，同理可得(P ．综上所述，满足条件的点P 的坐标为或(或或(．【点睛】此题考查了反比例函数的综合，用到的知识点是三角函数、平行四边形、反比例函数、三角形的面积等，解题的关键是数形结合思想的运用．3．（2024·广东湛江·一模）【建立模型】（1）如图1，点B 是线段CD 上的一点，AC BC ⊥，AB BE ⊥，ED BD ⊥，垂足分别为C ，B ，D ，AB BE =．求证：ACB BDE ≌；【类比迁移】（2）如图2，点()3,A a −在反比例函数3y x=图象上，连接OA ，将OA 绕点O 逆时针旋转90︒到OB ，若反比例函数k y x =经过点B ．求反比例函数ky x=的解析式； 【拓展延伸】（3）如图3抛物线223y x x +−与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点，已知点()0,1Q −，连接AQ ，抛物线上是否存在点M ，便得45MAQ ∠=︒，若存在，求出点M 的横坐标．【答案】（1）见解析；（2）3y x =−；（3）M 的坐标为39,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,4−−．【分析】（1）根据题意得出90C D ABE ︒∠=∠=∠=，A EBD ∠=∠，证明()AAS ACB BDE ≌，即可得证；（2）如图2，分别过点A ，B 作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，垂足分别为C ，D ．求解()3,1A −−，1AC =，3OC =．利用ACO ODB ≌△△，可得()1,3B −；由反比例函数ky x =经过点()1,3B −，可得3k =−，可得答案；（3）如图3，当M 点位于x 轴上方，且45MAQ ∠=︒，过点Q 作QD AQ ⊥，交MA 于点D ，过点D 作DE y⊥轴于点E ．证明AQO QDE ≌，可得AO QE =，OQ DE =，可得()1,2D ，求解1322AM y x =+：，令2132322x x x +=+−， 可得M 的坐标为39,24⎛⎫ ⎪⎝⎭；如图，当M 点位于x 轴下方，且45MAQ ∠=︒，同理可得()1,4D −−，AM 为26y x =−−．由22623x x x −−=+−，可得M 的坐标是()1,4−−．【解析】证明：（1）如图，∵AC BC ⊥，AB BE ⊥，ED BD ⊥， ∴90C D ABE ︒∠=∠=∠=，∴90,90ABC A ABC EBD ∠+∠=︒∠+∠=︒， ∴A EBD ∠=∠， 又∵AB BE =， ∴()AAS ACB BDE ≌．（2）①如图2，分别过点A ，B 作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，垂足分别为C ，D ．将()3,A a −代入3y x =得：1a =−，∴()3,1A −−，1AC =，3OC =．同（1）可得ACO ODB ≌△△， ∴1OD AC ==，3BD OC ==， ∴()1,3B −，∵反比例函数ky x =经过点()1,3B −，∴3k =−， ∴3y x =−；（3）存在；如图3，当M 点位于x 轴上方，且45MAQ ∠=︒，过点Q 作QD AQ ⊥，交MA 于点D ，过点D 作DE y ⊥轴于点E ．∵45MAQ ∠=︒，QD AQ ⊥， ∴45MAQ ADQ ∠=∠=︒， ∴AQ QD =，∵DE y ⊥轴，QD AQ ⊥，∴90AQO EQD EQD QDE ∠+∠=∠+∠=︒，90AOQ QED ∠=∠=︒， ∴AQO QDE ∠=∠， ∵AQ QD =， ∴AQO QDE ≌， ∴AO QE =，OQ DE =，令2230y x x =+−=，得13x =−，21x =，∴3AO QE ==，又()0,1Q −，∴1OQ DE ==， ∴()1,2D ，设AM 为y kx b =+，则230k b k b +=⎧⎨−+=⎩，，解得：1232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴1322AM y x =+： 令2132322x x x +=+−，得132x =，23x =−(舍去)， 当32x =时，233923224y ⎛⎫=+⨯−= ⎪⎝⎭， ∴39,24M ⎛⎫⎪⎝⎭；如图，当M 点位于x 轴下方，且45MAQ ∠=︒，同理可得()1,4D −−，AM 为26y x =−−．由22623x x x −−=+−，得11x =−，23x =−(舍去)∴当=1x −时，()()212134y =−+⨯−−=−，∴()1,4M −−．综上：M 的坐标为39,24⎛⎫⎪⎝⎭或()1,4−−．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，反比例函数的应用，二次函数的性质，一元二次方程的解法，熟练的利用类比的方法解题是关键．题型3：反比例函数的代数综合4．（2024·湖南长沙·一模）若一次函数y mx n =+与反比例函数ky x=同时经过点(),P x y 则称二次函数2y mx nx k +=-为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P 为共享点．(1)判断21y x =−与3y x=是否存在“共享函数”，如果存在，请说明理由；(2)已知：整数m ，n ，t 满足条件8t n m ＜＜，并且一次函数()122=+++y n x m 与反比例函数2024y x=存在“共享函数”()()2102024y m t x m t x ++−=-，求m 的值．(3)若一次函数y x m =+和反比例函数213m y x+=在自变量x 的值满足的6m x m ≤≤+的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．【答案】(1)3,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,3P −−，见解析 (2)2(3)2429y x x =+−或(29155y x x −−−=【分析】（1）判断21y x =−与3y x =是否有交点，计算即可；（2）根据定义，12210n m tm m t +=+⎧⎨+=−⎩，得到39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，结合8t n m ＜＜，构造不等式组解答即可． （3）根据定义，得“共享函数”为()22225131324m m y x mx m x ⎛⎫+−+=+−− ⎪⎝⎭=结合6m x m ≤≤+，“共享函数”的最小值为3，分类计算即可．本题考查了新定义，解方程组，解不等式组，抛物线的增减性，熟练掌握定义，抛物线的增减性是解题的关键．【解析】（1）21y x =−与3y x =存在“共享函数”，理由如下：根据题意，得213y x y x =−⎧⎪⎨=⎪⎩，解得322x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，13x y =−⎧⎨=−⎩，故函数同时经过3,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,3P −−， 故21y x =−与3y x =存在“共享函数”．（2）∵一次函数()122=+++y n x m 与反比例函数2024y x =存在“共享函数”()()2102024y m t x m t x ++−=-，∴12210n m tm m t +=+⎧⎨+=−⎩，解得39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∵8t n m ＜＜， ∴82489869n n m n n +⎧=⎪⎪⎨+⎪⎪⎩＜＞，解得24n 6＜＜， ∴327n +9＜＜， ∴339n +1＜＜，∴13m ＜＜， ∵m 是整数， ∴2m =．（3）根据定义，得一次函数y x m =+和反比例函数213m y x +=的“共享函数”为 ()22225131324m m y x mx m x ⎛⎫+−+=+−− ⎪⎝⎭=，∵()22225131324m m y x mx m x ⎛⎫+−+=+−− ⎪⎝⎭=．∴抛物线开口向上，对称轴为直线2mx =−，函数有最小值25134m −−，且点与对称轴的距离越大，函数值越大，∵6m x m ≤≤+，当62mx m =−+≥时，即4m ≤−时，∵11622m m m m ⎛⎫⎛⎫−−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞， ∴6x m =+时，函数取得最小值，且为2225613182324m m y m m m ⎛⎫=++−−=++ ⎪⎝⎭，又函数有最小值3，∴218233m m ++=，解得99m m =−=−故9m =− ∴“共享函数”为(29155y x x −−−=当2m x m =−≤时，即0m ≥时，∵11622m m m m ⎛⎫⎛⎫−−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜， ∴x m =时，函数取得最小值，且为2225131324m m y m m ⎛⎫=+−−=− ⎪⎝⎭，又函数有最小值3，∴2133m −=，解得4,4m m ==−（舍去）； 故4m =，∴“共享函数”为2429y x x =+−； 当62mm m −+＜＜时，即40m −＜＜时，∴2mx =−时，函数取得最小值，且为25134m y =−−，又函数有最小值3，∴251334m −−=， 方程无解，综上所述，一次函数y x m =+和反比例函数213m y x += 的“共享函数”为2429y x x =+−或(29155y x x −−−=5．（2024·江苏南京·模拟预测）若一次函数y mx n =+与反比例函数ky x=同时经过点(,)P x y 则称二次函数2y mx nx k =+−为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P 为共享点．(1)判断21y x =−与3y x=是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理由； (2)已知：整数m ，n ，t 满足条件8t n m <<，并且一次函数(1)22y n x m =+++与反比例函数2024y x=存在“共享函数” 2()(10)2024y m t x m t x =++−−，求m 的值．(3)若一次函数y x m =+和反比例函数213m y x+=在自变量x 的值满足的6m x m ≤≤+的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．【答案】(1)点P 的坐标为：3(2，2)或(1,3)−−；(2)2m =(3)222(13)(9(155y x mx m x x =+−+=+−−+或2429y x x =+−．【分析】（1）联立21y x =−与3y x =并整理得：2230x x −−=，即可求解；（2）由题意得12210n m t m m t +=+⎧⎨+=−⎩，解得39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，而8t n m <<，故624n <<，则9327n <+<，故13m <<，m 是整数，故2m =；（3）①当162m m +≤−时，即4m ≤−，6x m =+，函数取得最小值，即22(6)(6)133m m m m +++−−=，即可求解；②当162m m m <−<+，即40m −<<，函数在12x m=−处取得最小值，即22211()13322m m m −−−−=，即可求解；③当0m ≥时，函数在x m =处，取得最小值，即可求解． 【解析】（1）解：（1）21y x =−与3y x =存在“共享函数”，理由如下：联立21y x =−与3y x =并整理得：2230x x −−=，解得：32x =或1−， 故点P 的坐标为：3(2，2)或(1,3)−−；（2）解：一次函数(1)22y n x m =+++与反比例函数2024y x =存在“共享函数”2()(10)2024y m t x m t x =++−−，依据“共享函数”的定义得： 12210n m tm m t +=+⎧⎨+=−⎩，解得：39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， 8t n m <<，∴8698249n n n n +⎧<⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩， 解得：624n <<；9327n ∴<+<， 13m ∴<<，m 是整数，2m ∴=；（3）解：由y x m =+和反比例函数213m y x +=得：“共享函数”的解析式为22(13)y x mx m =+−+， 函数的对称轴为：12x m=−； ①当162m m+≤−时，即4m ≤−， 6x m =+，函数取得最小值，即22(6)(6)133m m m m +++−−=，解得9m =−9−②当162m m m <−<+，即40m −<<， 函数在12x m =−处取得最小值，即22211()13322m m m −−−−=，无解；③当0m ≥时，函数在x m =处，取得最小值，即222133m m m +−−=，解得：4m =±（舍去4)−，综上，9m =−4，故“共享函数”的解析式为222(13)(9(155y x mx m x x =+−+=+−−+或2429y x x =+−．【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，一次函数与反比例函数图象上点的坐标的特征，二次函数的性质，一元一次不等式组的解法，一元二次方程的解法．本题是阅读型题目，理解题干中的定义并熟练应用是解题的关键．6．（2024·湖南长沙·模拟预测）我们规定：若二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）与x 轴的两个交点的横坐标1x ，2x 满足122x x =−，则称该二次函数为“强基函数”，其中点()1,0x ，()2,0x 称为该“强基函数”的一对“基点”．(1)判断：下列函数中，为“强基函数”的是______（仅填序号）．①228y x x =−−；②21y x x =++．(2)已知二次函数()2221y x t x t t =−+++为“强基函数”，求：当12x −≤≤时，函数22391y x tx t =+++的最大值．(3)已知直线1y x =−+与x 轴交于点C ，与双曲线()20y x x=−<交于点A ，点B 的坐标为()3,0−．若点()1,0x ，()2,0x 是某“强基函数”的一对“基点”，()12,P x x 位于ACB △内部．①求1x 的取值范围；②若1x 为整数，是否存在满足条件的“强基函数”2y x bx c =++？若存在，请求出该“强基函数”的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)① (2)当23t =−时函数最大值为8或当13t =−时函数最大值为4；(3)①1x 的取值范围是：120x −<<或110x −<<；②21122y x x =+−【分析】（1）根据抛物线与x 轴的交点情况的判定方法分别判定①与②与x 轴的交点情况，再求解交点坐标，结合新定义，从而可得答案； （2）由()22210y x t x t t =−+++=时，可得1x t=，21x t =+，或11x t =+，2x t=，当122x x =−时，根据新定义可得23t =−或13t =−，再分情况求解函数的最大值即可；（3））①先得到点A 、B 、C 的坐标，然后分122x x =−或212x x =−两种情况，列出关于1x 的不等式组，然后解不等式组即可；②根据1x 为整数，先求出1x 的值，然后根据二次函数的交点式直接得到二次函数的解析式即可．【解析】（1）解：①∵228y x x =−−； ∴()()2Δ2418432360=−−⨯⨯−=+=>，∴抛物线与x 轴有两个交点，∵228=0x x −−，∴14x =，22x =−，∴122x x =−，∴228y x x =−−是“强基函数” ②∵21y x x =++， ∴214111430∆=−⨯⨯=−=−<，∴抛物线与x 轴没有交点，∴21y x x =++不是“强基函数” 故答案为：①； （2）∵二次函数()2221y x t x t t=−+++为“强基函数”，∴()()22Δ21410t t t ⎡⎤=−+−+=>⎣⎦，∵()22210y x t x t t =−+++=时， ∴1x t=，21x t =+，或11x t =+，2x t=，当122x x =−时，∴()21t t =−+或12t t +=−，解得：23t =−或13t =−，当23t =−时，函数为225y x x =−+，如图，∵12x −≤≤，此时当=1x −时，函数最大值为1258y =++=； 当13t =−时，函数为22y x x =−+，如图，∵12x −≤≤，此时当=1x −或2x =时，函数最大值为1124y =++=；（3）①联立()201y x x y x ⎧=−<⎪⎨⎪=−+⎩，解得：12x y =−⎧⎨=⎩， ∴点A 的坐标为：()1,2−，把0y =代入 1y x =−+得：10x −+=， 解得：1x =，∴点C 的坐标为()1,0， 设直线AB 为1y kx b =+，∴11302k b k b −+=⎧⎨−+=⎩，解得：113k b =⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为：3y x =+， ∵点()1,0x ，()2,0x 是某“强基函数”的一对“基点”， ()12,P x x 位于ACB △内部．当122x x =−时， ∴111,2P x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭， ∴点P 在直线2xy =−上，∵点111,2P x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭位于以A 、B 、C 三点所构成的三角形内部，如图，∴1111103212x x x x x ⎧⎪<⎪⎪−+⎨⎪⎪−−+⎪⎩＜＜， 解得：120x −<<；当212x x =−时，∵P 点坐标为()11,2x x −，∴点P 在直线2y x =−上，∵点P 位于以A 、B 、C 三点所构成的三角形内部，如图，∴1111102321x x x x x <⎧⎪−<+⎨⎪−<−+⎩，解得：110x −<<；综上分析可知，1x 的取值范围是：120x −<<或110x −<<；②存在；理由如下：∵1x 为整数，∴当120x −<<时，11x =−，∴此时212x =，此时，“强基函数”的一对“基点”为()1,0−，1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴“强基函数”为()21111222y x x x x ⎛⎫=+−=+− ⎪⎝⎭； 当110x −<<时，则没有符合条件的整数1x 的值，不存在符合条件的“强基函数”； 综上，“强基函数”为21122y x x =+−． 【点睛】本题考查的是一次函数，反比例函数，二次函数的综合应用，新定义的含义，本题难度大，灵活应用各知识点，理解新定义的含义是解题的关键．题型4：动态问题、新定义综合7．（2024·山东济南·一模）如图1，直线14y ax =+经过点()2,0A ，交反比例函数2k y x=的图象于点()1,B m −，点P 为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．(1)求反比例函数2y 的表达式；(2)过点P 作PC x ∥轴交直线AB 于点C ，连接AP ，BP ，若ACP △的面积是BPC △面积的2倍，请求出点P 坐标；(3)平面上任意一点(),Q x y ，沿射线BA Q '，点Q '怡好在反比例函数2k y x=的图象上；①请写出Q 点纵坐标y 关于Q 点横坐标x 的函数关系式3y =______；②定义}{()()min ,a a b a b b a b ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数{}13min ,Y y y =的最大值为______． 【答案】(1)26y x =−(2)点P 坐标为1,122⎛⎫− ⎪⎝⎭或3,42⎛⎫− ⎪⎝⎭ (3)①3621y x =−++；②8【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形，解题的关键是运用分类讨论的思想．（1）先根据点()2,0A 求出1y 的解析式，然后求出点B 的坐标，最后将点B 的坐标代入2y 中，求出k ，即可求解；（2）分两种情况讨论：当点P 在AB 下方时，当点P 在AB 上方时，结合“若ACP △的面积是BPC △面积的2倍”，求出点C 的坐标，将点C 的纵坐标代入反比例函数解析式，即可求解；（3）①根据题意可得：(),Q x y 向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点Q '，则()1,2Q x y +'−，将其代入26y x =−中，即可求解；②分为：当{}131min ,Y y y y ==时，13y y ≤；当{}133min ,Y y y y ==时，13y y >；分别解不等式即可求解．【解析】（1）解：直线14y ax =+经过点()2,0A ，，∴240x +=， 解得：2a =−，∴124y x =−+，点()1,B m −在直线124y x =−+上，∴()2146m =−⨯−+=，∴()1,6B −，∴166k =−⨯=−， ∴26y x =−；（2）①当点P 在AB 下方时，2ACP BPC S S =，∴:2:1AC BC =，过点C 作CH x ⊥轴于点H ，过点B 作BR x ⊥轴于点R ，∴23AC CH AB BR ==， ∴23C B y y =，()1,6B −，∴4C y =，把4C y =代入26y x =−中， 得：32C x =−， ∴3,42P ⎛⎫− ⎪⎝⎭； ②当点P 在AB 上方时，2ACP BPC S S =，∴:1:1AB BC =，∴B 为AC 的中点，()2,0A ，()1,6B −，∴()4,12C −，把12y =代入26y x =−中，得：12x =−， ∴1,122P ⎛⎫− ⎪⎝⎭，综上所述，点P 的坐标为1,122⎛⎫− ⎪⎝⎭或3,42⎛⎫− ⎪⎝⎭；（3）① 由(),Q x y ，沿射线BA Q '， 得：(),Q x y 向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点Q '，∴()1,2Q x y +'−，点()1,2Q x y +'−恰好在反比例函数26y x =−的图象上， ∴621y x −=−+， ∴3621y x =−++；②a ．当{}131min ,Y y y y ==时，13y y ≤， 即62421x x −+≤−++， 当1x >−时，()()()2141621x x x x −+++≤−++，解得：2x ≥或2x ≤−（舍去），∴2x =时，函数{}131min ,Y y y y ==有最大值，最大值为2240−⨯+=；当1x <−时，()()()2141621x x x x −+++≥−++，解得：21x −≤<−，∴2x =−时，函数{}131min ,Y y y y ==有最大值，最大值为()2248−⨯−+=；b ．当{}133min ,Y y y y ==时，13y y >， 即62421x x −+>−++，当1x >−时，()()()2141621x x x x −+++>−++，解得：2x >或<2x −（舍去）， ∴362021y >−+=+，即0Y >；当1x <−时，()()()2141621x x x x −+++<−++，解得：2<<1x −−，∴328y <<，即28Y <<；综上所述，函数{}13min ,Y y y =的最大值为8，故答案为：8．8．（2024·四川成都·一模）如图，矩形OABC 交反比例函数k y x=于点D ，已知点()0,4A ，点()2,0C −，2ACD S =△．(1)求k 的值；(2)若过点D 的直线分别交x 轴，y 轴于R ，Q 两点，2DRDQ =，求该直线的解析式； (3)若四边形有一个内角为60︒，且有一条对角线平分一个内角，则称这个四边形为“角分四边形”．已知点P在y 轴负半轴上运动，点Q 在x 轴正半轴上运动，若四边形ACPQ 为“角分四边形”，求点P 与点Q 的坐标．【答案】(1)4k =−；(2)26y x =+或22y x =−+；(3)(()020P ,,Q ,−或 ()()04320P ,,−或()()040P ,,Q −【分析】（1）利用面积及矩形的性质，用待定系数法即可求解；（2）分两种情况讨论求解：R 在x 轴正半轴上和在负半轴上两种情况分别求解即可；（3）分三种情况：当AO 平分CAQ ∠，60CPQ ∠=︒时，当CO 平分ACP ∠，60CPQ ∠=︒时，当CO 平分ACP ∠，60AQP ∠=︒时，分别结合图形求解. 【解析】（1）解：2ACD S =△， 即122AD OA ⨯⨯=， ()0,4A ，1422AD ∴⨯=，1AD ∴=，()1,4D ∴−， 41k∴=−，4k ∴=−；（2）①如图，当2DR DQ =时，13DQ RQ =，AD OR ，13DQ AD RQ OR ∴==，1AD =，3OR ∴=，()3,0R ∴−，设直线RQ 为11y k x b =+， 把()3,0R −，()1,4D −代入11y k x b =+，得1111304k b k b −+=⎧⎨−+=⎩，解得1126k b =⎧⎨=⎩，直线RQ 为26y x =+，②如图，当2DR DQ =时，1DQ RQ =，AD OR ，1DQ AD RQ OR ∴==，1AD =，1OR ∴=，()1,0R ∴，设直线RQ 为22y k x b =+，把()1,0R ，()1,4D −代入22y k x b =+，得222204k b k b +=⎧⎨−+=⎩，解得2222k b =−⎧⎨=⎩，直线RQ 为22y x =−+，综上所述，直线RQ 的表达式为26y x =+或22y x =−+；（3）解：①当AO 平分CAQ ∠，60CPQ ∠=︒时，CAO QAO AO AOAOC AOQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=⎩，()ASA AOC AOQ ∴≌， CO QO ∴=即AP 垂直平分CQ ，()2,0Q ∴，60CPQ ∠=︒，30CPO ∴∠=︒，tan30OC OP ∴===︒，(0,P ∴−，②当CO 平分ACP ∠，60CPQ ∠=︒时，同理ACO PCO ≌，得4OA OP ==，()0,4P ∴−，PC == 作CM PQ ⊥于M ，60CPQ ∠=︒，1cos602PM PC ∴=⨯︒==sin60CM PC =⨯︒== 90POQ CMQ ,PQO PQO ∠=∠=︒∠=∠，CMQ POQ ∴∽，MQ CM OQ OP ∴=，即MQ OQ =，)2222OQ OP PQ MQ +==② ，联立①，②，解得32OQ =或32OQ =(舍），()32,0Q ∴，③当CO 平分ACP ∠，60AQP ∠=︒时，同理 ACO PCO ≌，得4OA OP ==，AC CP = 同理ACQ PCQ ≌，得AQ PQ =∴APQ 是等边三角形()0,4P ∴−，8AP AQ PQ ,===OQ =， ()Q ∴，综上所述，P 、Q 的坐标为(()0,,2,0P Q −或 ()()0,4,32,0P Q −或()()0,4,P Q −.【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，解直角三角形，求一次函数解析式，相似三角形的性质和判定，正确作出辅助线，解方程组，灵活运用待定系数法求函数解析式是解本题的关键． 题型5：定值问题9．（2024·山东济南·模拟预测）如图①，已知点()1,0A −，()0,2B −，ABCD Y 的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 的中点，双曲线k y x=经过C 、D 两点．(1)求k 的值；(2)点P 在双曲线k y x=上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q 的坐标；(3)以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图③），点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN HT ⊥，交AB 于N ，当点T 在AF 上运动时，MN HT 的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．【答案】(1)4k =(2)()0,6或()0,2或()0,6− (3)12MN HT =，其值不发生改变，证明见解析【分析】（1）根据中点坐标公式可得，1D x =，设()1,D t ，由平行四边形对角线中点坐标相同可知()2,2C t −，再根据反比例函数的性质求出t 的值即可；（2）由（1）知4k =可知反比例函数的解析式为4y x =，再由点P 在双曲线4y x =上，点Q 在y 轴上，设()0,Q q ，4P p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，再分以AB 为边和以AB 为对角线两种情况求出x 的值，故可得出P 、Q 的坐标；（3）连NH 、NT 、NF ，易证NF NH NT ==，故NTF NFT AHN ∠=∠=∠，90TNH TAH ∠=∠=︒，12MN HT =由此即可得出结论．【解析】（1）解：∵()1,0A −，E 为AD 中点且点E 在y 轴上，1D x ∴=， 设()1,D t ，()C m n ，，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC BD 、的中点坐标相同， ∴101222022m t n +−⎧=⎪⎪⎨−+⎪=⎪⎩， ∴22m n t ==−，()22C t ∴−，，∵C 、D 都在反比例函数4y x =的图象上，()22k t t ∴==−，4t ∴=， 4k ∴=；（2）解：由（1）知4k =，∴反比例函数的解析式为4y x =，点P 在双曲线4x 上，点Q 在y 轴上，∴设()0,Q q ，4P p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，①当AB 为边时：如图1，若ABPQ 为平行四边形，则1002240422p q p −++⎧=⎪⎪⎨−⎪−=⎪⎩，解得16p q =⎧⎨=⎩，此时()11,4P ，()10,6Q ；如图2，若ABQP 为平行四边形，则1002242022p q p −++⎧=⎪⎪⎨−+⎪+=⎪⎩，解得16p q =−⎧⎨=−⎩，此时()21,4P −−，()20,6Q −；②如图3，当AB 为对角线时，则010*******p q p +−+⎧=⎪⎪⎨+⎪−=⎪⎩解得12p q =−⎧⎨=⎩，()31,4P ∴−−，()30,2Q ；综上所述，满足题意的Q 的坐标为()0,6或()0,2或()0,6−；（3）解：12MN HT =，其值不发生改变，证明如下： 如图4，连NH 、NT 、NF ，∵M 是HT 的中点，MN HT ⊥，∴MN 是线段HT 的垂直平分线，NT NH ∴=，四边形AFBH 是正方形，45ABF ABH ∴∠=∠=︒，在BFN 与BHN △中，BF BH NBF NBH BN BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS BFN BHN ∴≌，NF NH NT ∴==，BFN BHN ∠=∠，∵90BFA BHA ==︒∠∠，NTF NFT AHN ∴∠=∠=∠，∵180ATN NTF ∠+∠=︒，∴180ATN AHN ∠+∠=︒，∴3601809090TNH ∠=︒−︒−︒=︒．12MN HT ∴=， ∴12MN HT =．三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.10．（2024·山东济南·二模）如图①，已知点(1,0)A −，(0,2)B −，ABCD Y 的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 的中点，双曲线k y x=经过C 、D 两点．(1)求k 的值；(2)点P 在双曲线k y x=上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q 的坐标；(3)以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图③)，点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN HT ⊥，交AB 于N ，当点T 在AF 上运动时，MN HT的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．【答案】(1)4k =(2)1(0,6)Q ，2(0,6)Q −，3(0,2)Q(3)结论：MN HT 的值不发生改变，12MN HT =证明见解析【分析】（1）设(1,)D t ，由DC AB ∥，可知(2,2)C t −，再根据反比例函数的性质求出t 的值即可；（2）由（1）知4k =可知反比例函数的解析式为4y x =，再由点P 在双曲线4y x =上，点Q 在y 轴上，设(0,)Q y ，4(,)P x x ，再分以AB 为边和以AB 为对角线两种情况求出x 的值，故可得出P 、Q 的坐标；（3）连NH 、NT 、NF ，易证NF NH NT ==，故NTF NFT AHN ∠=∠=∠，90TNH TAH ∠=∠=︒，12MN HT =由此即可得出结论．【解析】（1）解：(1,0)A −，(0,2)B −，E 为AD 中点， 1D x ∴=，设(1,)D t ，又DC AB ∥，(2,2)C t ∴−，24t t ∴=−，4t ∴=，4k ∴=；（2）解：由（1）知4k =，∴反比例函数的解析式为4y x =，点P 在双曲线4x 上，点Q 在y 轴上，∴设(0,)Q y ，4(,)P x x ， ①当AB 为边时：如图1，若ABPQ 为平行四边形，则102x −+=，解得1x =，此时1(1,4)P ，1(0,6)Q ；如图2，若ABQP 为平行四边形，则122x −=， 解得=1x −，此时2(1,4)P −−，2(0,6)Q −；②如图3，当AB 为对角线时，AP BQ =，且AP BQ ∥； ∴122x −=，解得=1x −，3(1,4)P ∴−−，3(0,2)Q ；故1(1,4)P ，1(0,6)Q ；2(1,4)P −−，2(0,6)Q −；3(1,4)P −−，3(0,2)Q ；（3） 解：结论：MNHT 的值不发生改变，理由：如图4，连NH 、NT 、NF ，MN 是线段HT 的垂直平分线，NT NH ∴=，四边形AFBH 是正方形，ABF ABH ∴∠=∠，在BFN 与BHN △中，BF BH ABF ABH BN BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BFN BHN SAS ∴≌，NF NH NT ∴==， NTF NFT AHN ∴∠=∠=∠，四边形ATNH 中，180ATN NTF ∠+∠=︒，而NTF NFT AHN ∠=∠=∠，所以，180ATN AHN ∠+∠=︒，所以，四边形ATNH 内角和为360︒，所以3601809090TNH ∠=︒−︒−︒=︒．12MN HT ∴=， ∴12MN HT =．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.题型6：取值范围问题11．（2024·江苏宿迁·二模）中国象棋棋盘上双方的分界处称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线．在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点()11,P x y 是图形1G 上的任意一点，点()22,Q x y 是图形2G 上的任意一点，若存在直线()0l y kx b k =+≠∶满足11y kx b ≤+且22y kx b ≥+，则直线(0)y k b k =+≠就是图形1G 与2G 的“楚河汉界线”．例如：如图1，直线4l y x =−−∶是函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的一条“楚河汉界线”．(1)在直线①2y x =−，②41y x =−，③23y x =−+，④31y x =−−中，是图1函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的“楚河汉界线”的有______；（填序号） (2)如图2，第一象限的等腰直角EDF 的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D 的坐标是()2,1，EDF 与O 的“楚河汉界线”有且只有一条，求出此“楚河汉界线”的表达式；(3)正方形1111D C B A 的一边在y 轴上，其他三边都在y 轴的右侧，点(2,)M t 是此正方形的中心，若存在直线2y x b =−+是函数2)304(2y x x x =−++≤≤的图像与正方形1111D C B A 的“楚河汉界线”，求t 的取值范围．【答案】(1)①④；(2)25y x =−+；(3)7t ≤−或9t ≥．【分析】（1）根据定义，结合图象，可判断出直线为3y x =−或31y x =−−与双曲线6(0)y x x =<及正方形ABCD最多有一个公共点，即可求解；（2）先作出以原点O 为圆心且经过EDF 的顶点D 的圆，再过点D 作O 的切线，求出该直线的解析式即可；（3）先由抛物线与直线组成方程组，则该方程组有唯一一组解，再考虑直线与正方形有唯一公共点的情形，数形结合，分类讨论，求出t【解析】（1）解：如图，从图可知，2y x =−与双曲线6(0)y x x =<和正方形OABC 只有一个公共点，31y x =−−与双曲线6(0)y x x =<和正方形OABC 没有公共点，41y x =−、23y x =−+不在双曲线6(0)y x x =<及正方形ABCD 之间， 根据“楚河汉界线”定义可知，直线2y x =−，31y x =−−是双曲线6(0)y x x =<与正方形OABC 的“楚河汉界线”， 故答案为：①④；（2）解：如图，连接OD ，以O 为圆心，OD 长为半径作O ，作DG x ⊥轴于点G ，过点D 作O 的切线DM ，则MD OD ⊥，∵MD OD ⊥，DG x ⊥轴， ∴90ODM OGD ∠=∠=︒， ∴90MOD OMD ∠+∠=︒， ∵90MOD DOG ∠+∠=︒， ∴OMD DOG ∠=∠， ∴tan tan OMD DOG ∠=∠， ∵()2,1D ，∴1DG =，2OG =，∴1tan tan 2DG OMD DOG OG ∠=∠==，OG ==∵tan ODOMD DM ∠=，∴12=，∴1122MN DM ∴==⨯=∴5OM =，∴()0,5M ，设直线MD 的解析式为y mx n =+，把()0,5M 、()2,1D 代入得，521n m n =⎧⎨+=⎩，解得25m n =−⎧⎨=⎩，∴25y x =−+，∴EDF 与O 的“楚河汉界线”为25y x =−+； （3）解：由2223y x b y x x =−+⎧⎨=−++⎩得，2430x x b −+−=， ∵直线与抛物线有唯一公共点， ∴0=，∴164120b −+=，解得7b =， ∴此时的“楚河汉界线”为27y x =−+，当正方形1111D C B A 在直线27y x =−+上方时，如图，∵点()2,M t 是此正方形的中心，∴顶点()10,2A t −，∵顶点()10,2A t −不能在直线27y x =−+下方，得27t −≥，解得9t ≥；当正方形1111D C B A 在直线27y x =−下方时，如图，对于抛物线223y x x =−++，当0x =时，3y =；当4x =时，5y =−； ∴直线23y x =−+恰好经过点()0,3和点()4,5−；对于直线23y x =−+，当4x =时，5y =−，由()12,2C t +不能在直线23y x =−+上方，得25t ≤−+， 解得7t ≤−；综上所述，7t ≤−或9t ≥．【点睛】此题考查了一次函数、正方形的性质、三角函数、一次函数的应用、二元二次方程组，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．题型7：最值问题12．（2024·辽宁·一模）【发现问题】随着时代的发展，在现代城市设计中，有许多街道是设计的相互垂直或平行的，因此往往不能沿直线行走到目的地，只能按直角拐弯的方式行走．我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy ，对两点()11,A x y 和()22,B x y ，用以下方式定义两点间的“折线距离”：()1212,d A B x x y y =−+−．【提出问题】（1）①已知点()4,1A ，则(),d O A =______；②函数()2630y x x =+−≤≤的图象如图1，B 是图象上一点，若(),5d O B =，则点B 的坐标为______； （2）函数()30y x x=>的图象如图2，该函数图象上是否存在点C ，使(),2d O C =？若存在，求出其坐标；若不存在，请说明理由； 【拓展运用】（3）已知函数()21460y x x x =−+≥和函数()2231y x x =+≥−的图象如图3，D 是函数1y 图象上的一点，E是函数2y 图象上的一点，当(),d O D 和(),d O E 分别取到最小值的时候，请求出(),d D E 的值．【答案】（1）①5；②()14，（2）不存在，理由见解析（3）()15,4d D E =【分析】本题在新定义下考查了一次方程和分式方程的解法，二次函数的最值，关键是紧靠定义来构造方程和函数．（1）①代入定义中的公式求； ②设出函数()2630y x x =+−≤≤的图象上点B 的坐标，通过(),5d O B =建立方程，解方程；（2）设出函数()30y x x =>的图象上点C 的坐标，通过(),2d O C =建立方程，看方程解的情况；（3）设出函数()21460y x x x =−+≥的图象上点D 的坐标，将()d O D ，表示成函数，利用二次函数的性质求函数最值，可求得点D 的坐标；设出函数()2231y x x =+≥−的图象上点E 的坐标，利用一次函数的性质，可求得点E 的坐标；再按定义求得(),d D E 的值即可．【解析】 解：（1）①∵点()4,1A ，点()00O ，，∴()40105d O A =−+−=，；故答案为：5； ②设点()26B x x +，，∵(),5d O B =， ∴265x x ++=，∵30x −≤≤， ∴265x x −++=， ∴=1x −， ∴点()14B ，．故答案为：()14，； （2）不存在，理由如下：设点3C m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∵(),2d O C =，∴32m m +=，∵0m >， ∴32m m +=，∴2230m m −+=，∵80∆=−<，∴此方程没有实数根， ∴不存在符合条件的点C ；（3）设点D 为()246n nn −+，，∴()246d O D n n n =+−+，，∵0n ≥，()2246220n n n −+=−+>，∴()222315463624d O D n n n n n n ⎛⎫=+−+=−+=−+⎪⎝⎭，， ∴当32n =时，()d O D ，最小，最小值为154，此时点D 坐标为3924⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 设点E 为()23e e +，，∴()23d O Ee e =++，，当10e −≤<时，()233d O Ee e e =−++=+，，∴当1e =−时，()d O E ，最小，最小值为2；当0e ≥时，()2333d O Ee e e =++=+，，∴当0e =时，()d O E ，最小，最小值为3；∴此时点E 坐标为()11−，．∴()395515,1124244d D E =−−+−=+=．13．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知直线132y x =−与反比例函数ky x=的图象交于点()8,Q t ，与y 轴交于点R ，动直线()08x m m =<<与反比例函数的图象交于点K ，与直线QR 交于点T ．(1)求t 的值及反比例函数的表达式；(2)当m 为何值时，RKT △的面积最大，且最大值为多少？ (3)如图2，ABCO 的顶点C 在反比例函数()0ky x x=>的图象上，点P 为反比例函数图象上一动点，过点P 作MN x ∥轴交OC 于点N ，交AB 于点M ．当点P 的纵坐标为2，点C 的横坐标为1且8OA =时，求PNPM的值．【答案】(1)1t =，反比例函数的表达式为8y x =； (2)当3m =时，RKT △的面积最大，且最大值为254；(3)1517PN PM =【分析】（1）将()8,Q t 代入直线132y x =−，求出t 的值，再将点Q 的坐标代入反比例函数，求出k 的值，即可得到反比例函数解析式；（2）设8,K m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,32T m m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，则81813322KT m m m m ⎛⎫=−−=−+ ⎪⎝⎭，进而表示出 RKT RTKQTKS SS=+△()2125344m =−−+，结合二次函数的性质，即可求出最值；（3）先求出P 、C 两点的坐标，再利用待定系数法求出直线OC 的解析式，进而得到点N 的坐标，得出PN的长，然后利用平行四边形的性质，得出PM 的长，即可求出PNPM 的值．【解析】（1）解：()8,Q t 在直线132y x =−上，18312t ∴=⨯−=，()8,1Q ∴，()8,1Q 在反比例函数ky x =上，818k ∴=⨯=，。
初三反比例函数题型归纳总结
初三反比例函数题型归纳总结
初三反比例函数的题型归纳总结如下：
确定反比例函数表达式：根据题目条件，确定反比例函数的表达式。
这通常包括已知图像上一点的坐标，或者已知x、y的一对对应值。
判断函数图像：通过判断系数、找矛盾、分析函数经过的象限等方法，确定反比例函数的图像。
实际应用问题：反比例函数经常与一次函数、三角函数、相似、全等、圆等相结合，形成实际应用问题。
这类问题通常需要结合具体情境，确定反比例函数的表达式，并解决相应的实际问题。
以上是初三反比例函数的主要题型，掌握这些题型的特点和解法，对于提高反比例函数的学习效果具有重要意义。
反比例函数的图像与性质口诀如下：
反比例函数有特点，双曲线相背离得远。
k为正，图在一、三（象）限，k为负，图在二、四（象）限。
图在一、三函数减，两个分支分别减。
图在二、四正相反，两个分支分别添。
线越长越近轴，永远与轴不沾边。
这个口诀可以帮助你记忆反比例函数的图像和性质。
反比例函数题型总结
反比例函数知识点整理一、 反比例函数的概念1、解析式：()0≠=k xk y 其他形式：①k xy = ②1-=kx y例1．下列等式中，哪些是反比例函数 （1）3x y =（2）x y 2-=（3）xy ＝21（4）25+=x y（5）xy 23-=（6）31+=xy （7）y ＝x －4例2.当m 取什么值时，函数23)2(m x m y --=是反比例函数？例3．若函数22)12(--=m xm y 是反比例函数，且它的图像在第二、四象限，则m 的值是___________例4．已知函数y ＝y 1＋y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝4；当x ＝2时，y ＝5 （1） 求y 与x 的函数关系式（2） 当x ＝－2时，求函数y 的值2.反比例函数图像上的点的坐标满足：k xy =例1．已知反比例函数的图象经过点（m ，2）和（-2，3）则m 的值为例2．下列函数中，图像过点M （-2，1）的反比例函数解析式是( )xy A 2.=2.B y x=- xy C 21.= xy D 21.-=例3.如果点（3，－4）在反比例函数的图象上，那么下列各点中，在此图象上的是（ ）A .（3,4）B . （－2，－6）C .（－2，6）D .（－3，－4）例 4.如果反比例函数xk y =的图象经过点（3，－1），那么函数的图象应在（ ）A ． 第一、三象限B ．第二、四象限C ．第一、二象限D ．第三、四象限 二、反比例函数的图像与性质 1、基础知识0>k 时，图像在一、三象限，在每一个象限内，y 随着x 的增大而减小；0<k 时，图像在二、四象限，在每一个象限内，y 随着x 的增大而增大；例1.已知反比例函数，当时，y 随x 的增大而增大，求函数关系式例2．已知反比例函数xk y 12+=的图象在每个象限内函数值y随自变量x 的增大而减小，且k 的值还满足)12(29--k ≥2k －1，若k 为整数，求反比例函数的解析式2、面积问题（1）三角形面积：k S AOB 21=∆例1.如图，过反比例函数xy 1=（x ＞0）的图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1、S 2，比较它们的大小，可得（ ） （A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＝S 2 （C ）S 1＜S 2 （D ）大小关系不能确定例2.如图，点P 是反比例函数x y 1=的图象上任一点，PA 垂直在x 轴，垂足为A ，设OAP ∆的面积为S ，则S 的值为例3．直线OA 与反比例函数的图象在第一象限交于A 点，AB ⊥x 轴于点B ，若△OAB 的面积为2，则k ＝.例4．如图，若点A 在反比例函数(0)k y k x=≠的图象上，A M x ⊥轴于点M ，A M O △的面积为3，则k = ．例5．如图，在x 轴的正半轴上依次截取112233445O A A A A A A A A A ====，过点12345A A A A A 、、、、分别作x 轴的垂线与反比例函数的()20y x x=≠的图象相交于点12345P P P P P 、、、、，得直角三角形1112233344455O P A A P A A P A A P A A P A 2、、、、，并设其面积分别为12345S S S S S 、、、、，则5S 的值为 . 例6．如图，A 、B 是函数2y x=的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（ ）A ． 2S =B ． 4S =C ．24S <<D ．4S > （2）矩形面积：k=OBAC S 矩形例1．如图，P 是反比例函数(0)k yk x=<图象上的一点，由P 分别向x 轴和y 轴引垂线，阴影部分面积为3，则k= 。
反比例函数十大经典题型
反比例函数十大经典题型（原创实用版）目录1.反比例函数的定义与性质2.反比例函数的图像与画法3.待定系数法在反比例函数中的应用4.反比例函数的比较大小问题5.反比例函数与直线的交点问题6.反比例函数的中点问题7.反比例函数的平行线问题8.反比例函数的内插法问题9.反比例函数的外插法问题10.反比例函数的实际应用问题正文一、反比例函数的定义与性质反比例函数是指两个变量之间的关系，当一个变量的值增大时，另一个变量的值会减小，而且它们的乘积保持不变。
反比例函数的一般形式为y=k/x，其中 k 是常数。
二、反比例函数的图像与画法反比例函数的图像是一条双曲线，它有两条渐近线，当 x 趋近于 0 时，y 趋近于无穷大；当 x 趋近于无穷大时，y 趋近于 0。
画反比例函数的图像时，可以先确定渐近线，然后在渐近线之间取一个点，以此点为起点，画出双曲线。
三、待定系数法在反比例函数中的应用待定系数法是求解反比例函数的常用方法，它的一般步骤是：先设反比例函数的关系式，然后根据题目的条件，列出方程组，解方程组得到 k 值，最后代入关系式求得函数的解析式。
四、反比例函数的比较大小问题比较反比例函数的大小问题通常是通过比较函数值的大小来解决的。
例如，若点 A(1, y1) 和点 B(2, y2) 在反比例函数 y=k/x 的图像上，则可以通过比较 y1 和 y2 的大小来判断 k 的取值范围。
五、反比例函数与直线的交点问题反比例函数与直线的交点问题可以通过解方程组来解决。
设反比例函数为 y=k/x，直线的解析式为 y=ax+b，将两个方程联立，解得 x 和 y 的值，即可得到交点。
六、反比例函数的中点问题反比例函数的中点问题通常是通过求解中点坐标来解决的。
设反比例函数为 y=k/x，已知两点 A(x1, y1) 和 B(x2, y2)，则中点 M 的坐标为 ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)。
七、反比例函数的平行线问题反比例函数的平行线问题可以通过比较函数的斜率来解决。
对反比例函数及其性质经典题型总结
对反比例函数及其性质经典题型总结
反比例函数是一种特殊的函数类型，其性质在数学中有着重要
的应用。
下面是对反比例函数及其性质经典题型的总结。
1. 反比例函数的定义
反比例函数是指函数的函数表达式可以表示为：y = k/x，其中
k是常数，x不等于0。
反比例函数的图像通常是一个双曲线的形状。
2. 反比例函数的性质
- 反比例函数的定义域为除了0以外的所有实数，值域为除了
0以外的所有实数。
- 反比例函数的图像关于x轴和y轴均对称。
- 当x接近无穷大时，反比例函数的值趋近于0；当x接近0时，反比例函数的值趋近于无穷大。
- 反比例函数的图像在x轴上有一个垂直渐近线。
3. 经典题型
- 求解反比例函数的零点：当y = 0时，解方程k/x = 0，得到x = 0。
因此，反比例函数的唯一零点为x = 0。
- 求解反比例函数在某一点的值：将给定的x代入函数表达式y = k/x中，计算出对应的y的值。
- 构造反比例函数的方程：根据题目所给的条件，可以构造反比例函数的方程，然后求解该方程得到函数表达式。
总结以上内容，反比例函数是一种重要的数学函数类型，掌握了反比例函数的定义和性质，以及经典题型解法，能够更好地理解和应用反比例函数。
中考考点梳理：反比例函数12个必考点全梳理(练习版)
考点梳理：初中反比例函数章节必考点全梳理（精编Word）必考点1：反比例函数的概念掌握一般地，形如y=kx（k≠0）的函数称为反比例函数，反比例函数的等价形式①y=kx（k≠0）②y＝kx﹣1（k≠0）③xy=k（k≠0）例题1下列函数：①y＝x﹣2，②y=3x，③y＝x﹣1，④y=2x+1，y是x的反比例函数的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个变式1若函数y＝（m2﹣3m+2）x|m|﹣3是反比例函数，则m的值是（）A．1B．﹣2C．±2D．2变式2已知函数y＝（m+1）x m2−2是反比例函数，则m的值为．变式3下列函数中，y是x的反比例函数有（）（1）y＝3x；（2）y=−2x；（3）y=x3；（4）﹣xy＝3；（5）y=2x+1；（6）y=1x2；（7）y＝2x﹣2；（8）y=kx．A．（2）（4）B．（2）（3）（5）（8）C．（2）（7）（8）D．（1）（3）（4）（6）必考点2：反比例函数的图象（结合一次、二次函数）对于一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，掌握一次函数、反比例函数、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．例题2若函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数y＝ax+b和y=cx在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．变式4一次函数y＝ax+b与反比例函数y=cx的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象是（）A．B．C．D．变式5函数y=kx与y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝kx﹣b的大致图象为（）A．B．C．D．变式6抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+b2﹣4ac与反比例函数y= (a+b+c)(a−b+c)x在同一坐标系内的图象大致是（）A．B．C．D．必考点3：反比例函数图象上点的坐标特征（比较大小）反比例函数图象上点的坐标特征：当k＞0时，图象分别位于第一、三象限，横纵坐标同号；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限，横纵坐标异号．例题3若（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）三点均在反比例函数y=m2+1x的图象上，则下列结论中正确的是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y1变式7函数y=−k2−1x（k为常数）的图象经过点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），若x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3变式8已知点A（x1，2），B（x2，4），C（x3，﹣1）都在反比例函数y=kx（k＜0）的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x3＜x1＜x2B．x2＜x1＜x3C．x1＜x3＜x2D．x1＜x2＜x3变式9若点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y=kx（k＜0）的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是（）A．a＜﹣1B．﹣1＜a＜1C．a＞1D．a＜﹣1或a＞1必考点4： 反比例函数图象上点的坐标特征（与四边形结合）反比例函数图象上点的坐标特征：当k ＞0时，图象分别位于第一、三象限，横纵坐标同号；当k ＜0时，图象分别位于第二、四象限，横纵坐标异号．例题4 在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A （1，0），D （0，2），点B 在第一象限，BD ∥x 轴，若函数y =kx(k ＞0，x ＞0)的图象经过矩形ABCD 的对角线的交点，则k 的值为（ ）A ．4B ．5C ．8D ．10变式10 如图，在平面直角坐标系中，A 是反比例函数y =kx （k ＞0，x ＞0）图象上一点，B 是y 轴正半轴上一点，以OA 、AB 为邻边作▱ABCO ．若点C 及BC 中点D 都在反比例函数y =−4x（x ＜0）图象上，则k 的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12变式11 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是菱形，AB ∥x 轴，CD 与y 轴交于点E ，反比例函数y =k x（x ＞0）图象经过顶点B 、C ，已知点B 的横坐标为5，AE ＝2CE ，则点C 的坐标为（ ）A ．（2，203） B ．（2，83）C ．（3，203） D ．（3，83）变式12如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=43x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形ABCD，且点C在反比例函数y=kx（x＜0）的图象上，则k的值为（）A．﹣12B．﹣42C．42D．﹣21必考点5： 反比例函数系数k 的几何意义（面积）反比例函数y =kx （k ≠0）系数k 的几何意义：从反比例函数y =kx （k ≠0）图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．例题5 如图，两个反比例函数y =4x 和y =2x 在第一象限内的图象分别是C 1和C 2，设点P 在C 1上，P A ⊥x 轴于点A ，交C 2于点B ，则△POB 的面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．无法计算变式13 如图直线y ＝mx 与双曲线y =k x 交于点A 、B ，过A 作AM ⊥x 轴于M 点，连接BM ，若S △AMB ＝2，则k 的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4变式14 如图，点A 与点B 分别在函数y =k1x (k 1＞0)与y =k2x (k 2＜0)的图象上，线段AB 的中点M 在y 轴上．若△AOB 的面积为2，则k 1﹣k 2的值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5变式15如图，是反比例函数y=k1x和y=k2x（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AOB＝2，则k2﹣k1的值为．必考点6： 反比例函数系数k 的几何意义（规律题）反比例函数y =kx （k ≠0）系数k 的几何意义：从反比例函数y =kx （k ≠0）图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．例题6 如图，已知A 1，A 2，A 3，…A n ，…是x 轴上的点，且OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A n ﹣1A n …＝1，分别过点A 1，A 2，A 3，…A n ，…作x 轴的垂线交反比例函数y =1x （x ＞0）的图象于点B 1，B 2，B 3，…，B n ，…，过点B 2作B 2P 1⊥A 1B 1于点P 1，过点B 3作B 3P 2⊥A 2B 2于点P 2…，记△B 1P 1B 2的面积为S 1，△B 2P 2B 3的面积为S 2…，△B n P n B n +1的面积为S n ．则S 1+S 2+S 3+…+S 20＝ ．变式16 【变式6-1】（2019•蜀山区一模）如图，点B 在反比例函数y =2X（x ＞0）的图象上，过点B 分别与x 轴和y 轴的垂线，垂足分别是C 0和A ，点C 0的坐标为（1，0），取x 轴上一点C 1（32，0），过点C 1作x 轴的垂线交反比例函数图象于点B 1，过点B 1作线段B 1A 1⊥BC 0交于点A 1，得到矩形A 1B 1C 1C 0，依次在x 轴上取点C 2 （2，0），C 3（52，0）…，按此规律作矩形，则矩形A n B n ∁n C n ﹣1（n 为正整数）的面积为 ．变式17如图，在反比例函数的图象y=4x（x＞0）上，有点P1，P2，P3，P4，…，点P1横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1，P2，P3，P4，…分别作x轴，y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…则S1+S2+S3+…+S n＝．变式18如图，已知反比例函数y=1x的图象，当x取1，2，3，…n时，对应在反比例图象上的点分别为M1、M2、M3…M n，则S△P1M1M2+S△P2M2M3+…S△Pn﹣1Mn﹣1Mn＝．必考点7： 待定系数法求反比例函数解析式反比例函数y =kx （k ≠0）系数k 的几何意义：从反比例函数y =kx （k ≠0）图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．例题7 已知反比例函数y =kx（k ≠0），当x ＝﹣3时，y =43． （1）求y 关于x 的函数表达式． （2）当y ＝﹣4时，求自变量x 的值．变式19 已知y 与x ﹣1成反比例，且当x ＝4时，y ＝1． （1）求y 与x 的函数关系式；（2）判断点（﹣2，﹣1）是否在该函数图象上．变式20已知y＝y1﹣y2，y1与x成反比例，y2与x﹣2成正比例，当x＝3时，y＝5；当x＝1时，y＝﹣1．（1）y与x的函数表达式；（2）当x＝﹣1时，求y的值．变式21已知y＝y1+y2，y1与x2成正比例，y2与x+1成反比例，当x＝0时，y＝2；当x＝1时，y＝2．求y 与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围．必考点8：反比例函数与一次函数交点问题例题8如图，等腰直角△ABC位于第二象限，BC＝AC＝2，直角顶点C在直线y＝﹣x上，且点C的横坐标为﹣3，边BC，AC分别平行于x轴、y轴．若双曲线y=kx与△ABC的边AB有2个公共点，则k的取值范围为．变式22如图，直线y＝1与反比例函数y=kx（x＜0），y=2x（x＞0）的图象分别交于点A和点B，线段AB的长是8，若直线y＝n（x+2）（n≠0）与y=2x（x＞0）的图象有交点，与y=kx（x＜0）无交点，则n的取值范围为（）A．﹣6＜n＜0B．0＜n＜6 C．﹣6＜n＜0或0＜n＜6D．0＜n＜2变式23在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣5，0）作垂直于x轴的直线AB，直线y＝x+b与双曲线y=−4 x相交于点P（x1，y1）、Q（x2，y2），与直线AB相交于点R（x3，y3）．若y1＞y2＞y3时，则b的取值范围是（）A．b＞4B．b＞4或b＜﹣4C．−295＜b＜﹣4或b＞4D．4＜b＜295或b＜﹣4变式24平面直角坐标系中，函数y=4x（x＞0）的图象G经过点A（4，1），与直线y=14x+b的图象交于点B，与y轴交于点C．其中横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A、B之间的部分与线段OA、OC、BC围成的区域（不含边界）为W．若W内恰有4个整点，结合函数图象，b的取值范围是（）A．−54≤b＜1或74＜b≤114B．−54≤b＜1或−74＜b≤114C．−54≤b＜﹣1或−74＜b≤114D．−54≤b＜﹣1或74＜b≤114必考点9：反比例与一次函数综合例题9如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A（1，4）、B（4，n）．（1）求这两个函数的表达式；（2）请结合图象直接写出不等式kx+b≤mx的解集；（3）若点P为x轴上一点，△ABP的面积为6，求点P的坐标．变式25如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y=mx的图象交于点A（1，6），B（3，n）两点．与x轴交于点C．（1）求一次函数的表达式；（2）若点M在x轴上，且△AMC的面积为6，求点M的坐标．（3）在y轴上找一点P，使P A+PB的值最小，直接写出满足条件的点P的坐标是．变式26如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2=mx（m≠0）的图象相交于第一、三象限内的A（3，5），B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值及点P的坐标；（3）直接写出不等式kx+b＞mx的解集．变式27 如图，一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y =mx（x ＞0）的图象在第一象限交于点A ，B ，且该一次函数的图象与y 轴正半轴交于点C ，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为E ，D ．已知A （4，1），CE ＝4CD ．（1）求反比例函数的解析式． （2）求一次函数的解析式． （3）根据图象直接写出m x＜kx +b 时x 的取值范围．（4）若点M 为一次函数图象上的动点，过点M 作MN ∥y 轴，交反比例函数y =m x（x ＞0）的图象于点N ，连结ME ，NE ，当△MNE 的面积为98时，直接写出点M 的横坐标．必考点10：反比例函数的应用例题10为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19min；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11min．（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y＝2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明．变式28学校的学生专用智能饮水机里水的温度y（℃）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，当水的温度为20℃时，饮水机自动开始加热，当加热到100℃时自动停止加热（线段AB），随后水温开始下降，当水温降至20℃时（BC为双曲线的一部分），饮水机又自动开始加热……根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）分别求出饮水机里水的温度上升和下降阶段y与x之间的函数表达式．（2）下课时，同学们纷纷用水杯去盛水喝．此时，饮水机里水的温度刚好达到100℃．据了解，饮水机1分钟可以满足12位同学的盛水要求，学生喝水的最佳温度在30℃～45℃，请问在大课间30分钟时间里有多少位同学可以盛到最佳温度的水？变式29实验数据显示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百亳升）与时间x（时）变化的图象，如图（图象由线段OA与部分双曲线AB组成）．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．（1）求部分双曲线AB的函数解析式；（2）参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上22：30在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．变式30饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y （℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热……，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：（1）当0≤x＜8时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式．（2）求图中t的值；（3）若在通电开机后即外出散步，请你预测散步42分钟回到家时，饮水机内水的温度约为多少℃？必考点11：反比例函数存在性问题（三角形）例题11如图，反比例函数y1=kx和一次函数y2＝mx+n相交于点A（1，3），B（﹣3，a），（1）求一次函数和反比例函数解析式；（2）连接OA，试问在x轴上是否存在点P，使得△OAP为以OA为腰的等腰三角形，若存在，直接写出满足题意的点P的坐标；若不存在，说明理由．变式31如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y=kx（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标；（3）若点P在y轴上，是否存在点P，使△ABP是以AB为一直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．变式32如图，关于x的一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y=k2x的图象相交于A（﹣2，8），B（4，m）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式．（2）设一次函数y＝k1x+b的图象与x轴，y轴的交点分别为M，N，P是x轴上一动点，当以P，M，N三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求点P的坐标．变式33如图，函数y=kx（x＞0）的图象过点A（n，2）和B（85，2n﹣3）两点．（1）求n和k的值；（2）将直线OA沿x轴向左移动得直线DE，交x轴于点D，交y轴于点E，交y=kx（x＞0）于点C，若S△ACO＝6，求直线DE解析式；（3）在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得△DEF为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．必考点12： 反比例函数存在性问题（四边形）例题12 已知，矩形OCBA 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C 在x 轴的正半轴上，点A 在y 轴的正半轴上，已知点B 的坐标为（2，4），反比例函数y =m x （x ＞0）的图象经过AB 的中点D ，且与BC 交于点E ，顺次连接O ，D ，E ．（1）求线段DE 的长；（2）在线段OD 上存在一点M ，当△MOE 的面积等于34时，求点M 的坐标； （3）平面直角坐标系中是否存在一点N ，使得O 、D 、E 、N 四点构成平行四边形？若存在，请直接写出N 的坐标；若不存在，请说明理由．变式34如图1，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y=kx（k＞0）的第一象限内的图象上，OA＝4，OC＝3，动点P在y轴的右侧，且满足S△PCO=38S矩形OABC．（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；（2）连接PO、PC，求PO+PC的最小值；（3）若点Q是平面内一点，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．变式35如图，四边形OBAC是矩形，OC＝2，OB＝6，反比例函数y=kx的图象过点A．（1）求k的值．（2）点P为反比例图象上的一点，作PD⊥直线AC，PE⊥x轴，当四边形PDCE是正方形时，求点P的坐标．（3）点G为坐标平面上的一点，在反比例函数的图象上是否存在一点Q，使得以A、B、Q、G为顶点组成的平行四边形面积为14？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．变式36如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A（0，﹣6）、D（﹣3，﹣7），点B、C在第三象限内．（1）点B的坐标；（2）将正方形ABCD以每秒2个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使在第二象限内点B、D两点的对应点B'、D'正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；（3）在（2）的情况下，问：是否存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B'、D'四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。
初中数学反比例函数知识点与题型总结大全
一、概述反比例函数是初中数学中的重要知识点之一。
掌握反比例函数的知识，对于学生理解数学规律和解决实际问题具有重要意义。
本文将系统总结反比例函数的相关知识点和常见题型，帮助学生更好地掌握这一部分内容。
二、反比例函数的定义1. 反比例函数的概念反比例函数是指两个变量之间的关系，当一个变量的值增加时，另一个变量的值减少。
通常用y=k/x（k≠0）来表示，其中k为比例系数。
2. 反比例函数的特点（1）反比例函数图像呈现出一条经过原点且斜率逐渐减小、趋近于x轴的曲线。
（2）当x增大时，y减小；当x减小时，y增大。
（3）反比例函数的图像经过点（1，k）和（k，1），其中k为比例系数。
三、反比例函数的性质1. 零点问题反比例函数y=k/x的零点为x≠0，y=0时的值。
2. 单调性问题当x1<x2时，y1>y2；当x1>x2时，y1<y2。
即当x增大时，y减小；当x减小时，y增大。
3. 渐近线问题反比例函数的图像有两个渐近线，分别为x轴和y轴。
四、反比例函数的图像与性质1. 反比例函数的图像（1）当k>0时，反比例函数图像位于第一象限和第三象限。
（2）当k<0时，反比例函数图像位于第二象限和第四象限。
2. 反比例函数图像的特点（1）当k>0时，图像呈现出y轴的镜像关系；当k<0时，图像呈现出x轴的镜像关系。
（2）当k的绝对值增大时，图像离x轴和y轴越远。
五、反比例函数的题型1. 反比例函数的应用题（1）水管填水：如何选择合适的水管来填满一个容器。
（2）工人齐心协力地工作，完成相同的工作需要的时间和工人数量。
（3）如何选择合适的空调功率。
2. 实际问题的数学抽象（1）根据实际问题找出反比例函数的表达式。
（2）利用反比例函数解决实际问题，如何做到最大效益。
3. 反比例函数的图像题（1）根据给定的k值绘制反比例函数的图像。
（2）根据图像判断k值的大小和符号。
六、结语反比例函数作为初中数学中的一个重要知识点，涉及到很多实际问题的解决。
(word完整版)反比例函数知识点总结和重点题型归纳,推荐文档
反比例函数重点知识总结和归纳1. 反比例函数定义2.反比例函数的性质3.待定系数法4.反比例函数的图像和画法一、反比例函数的比较大小问题1•若点A( 1，y i)和点B(2，y2)在反比例函数y=—图象上，则y i与y2x的大小关系是：y i __________ y2 (填 \”、Z”或“=)'.42. 已知(x i, y i), (X2, y2),(X3, y3)是反比例函数y=— -的图象上的三点，X且X i V X2V 0, X3> 0,贝y y i, y2, y3 的大小关系是().A . y3V y i V y2B . y2V y i V y3C . y i V y2 V y3D . y3V y2V y i二、反比例函数与直线相交问题3. 直线y=mx与双曲线y= ’相X(i)求反比例函数的表达式；(2)计算线段AB的长.k(3)根据图象直接写出当mx>k时，X的取值范围；X5. 如图，一次函数y=kx+b与反比例函数尸戈O0)6), B (3, n)两点.(i)求一次函数的解析式；(2、根据图象直接写出:I的x的取值范围;(3)求厶AOB的面积.2)为阳0 %k4. 已知：如图，反比例函数y i= -的图象与一X(i, 4)、点 B (- 4, n).(i、求一次函数和反比例函数的解析式；(3、直接写出y i>y2, y i V y2, y仁y2时自变量(2)求厶OAB的面积；/X的取值范围. yK O Ja叭交于A、B两点，A点的坐标为(i ,次函数y2=x+b的图象交于点A6•如图,在平面直角坐标系中，直线y=x—2与y轴相交于点A,与反比例函数ky 在第一象限内的图象相交于点 B (m,2) •x⑴求反比例函数的关系式；(2)将直线y=x—2向上平移后与该反比例函数的图象在第一象限内交于点。
且厶ABC的面积为18,求平移后的直线的函数关系式•'/J/J Z/B''/ Ox/A三、反比例函数交点问题7. 函数y=』的图像与直线y=2x没有交点，k的取值范围?x1 1 18. y=-与y=x-2的图像的交点横坐标为a,b,则-+-的值x a b四、反比例函数中线段比的问题---转化为点的坐标问题1 I 19如图，直线y=—•「与双曲线丫=二(k > 0, x> 0)交于点A ,将直线y=—K2 X 2 \向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C,与双曲线y=^(k>0, x>0)x第11题图 第12题图 第13题图 10. 如图，已知函数 y=x 与反比例函数y=— (x >0)的图象交于点 A .将 y=x 的图象向下平移6个单位后与双曲线(1) 求点C 的坐标；(2) 若一=2,求反比例函数的解析式. CB五、k 的几何意义------面积问题11. 如图，反比例函数尸卫(x > 0)的图象经过矩形 OABC 对角线的交点M ，分别于AB 、BC 交于点D 、E ,若四边形 ODBE 的面积为9,贝U k 的 值为( )A . 1B . 2C . 3D . 412. 如图，A 、B 是双曲线y=-上的两点，过A 点作AC 丄x 轴，交OB 于D 点，垂足为C .若△ ADO 的面积为1, D 为OB 的中点，贝y k 的值为()C . 3D .4 k(k 0)经过直角三角形 OAB 斜边OB 的中点xD ，与直角边AB 相交与点 C 。
2024年中考数学总复习考点梳理第三章第四节反比例函数的图象与性质
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第四节 反比例函数的图象与性质
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考点 3 反比例函数解析式的确定(6年2考)
求m的值
反比例函数图象 北师九上P154 上点的坐标特征 第3题(背景)
改变设问
解答题(三
2020 24(1)
2
)
求k值
k的几何意义
北师九上P157 第3题(背景)
改变设问
解答题(三
2019 23(2)
4
)
求两个函数 待定系数法求反 北师九上P162 改变数据、增加
的解析式 比例函数解析式 第11题(设问)
思维导图
表达式 k的符号
图象
所在象限 增减性 对称性
反比例函数 的图象 与性质
待定系数法
反比例函数 的图象与性质
反比例函数 解析式 的确定
利用k的几何意义
k的几何意义
特征
基本图形面积
反比例函数中 k的几何意义
反比例函数 的实际应用
解题方法 常见应用
第四节 反比例函数的图象与性质
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教材知识逐点过
在每一个象限内， y随x的增大而__增__大____
关于原点成中心对称； 对称性
关于直线y＝x，y＝－x成轴对称
第四节 反比例函数的图象与性质
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考点 2 反比例函数中k的几何意义(2020.24) 如图，过反比例函数y＝ k (k≠0)图象上任一点P(x，y)作 x
k的几 x轴，y轴的垂线PM，PN，垂足分别为M，
考查设问 溯源教材 教材改编维度
2023
13 填空题
物理学科中蓄电池
人教九下P17
3
I的值为
改变数据及设问
电流与电阻的关系
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反比例函数常考题型梳理最新必考点1：反比例函数的概念掌握一般地，形如y=kx（k≠0）的函数称为反比例函数，反比例函数的等价形式①y=kx（k≠0）②y＝kx﹣1（k≠0）③xy=k（k≠0）例题1下列函数：①y＝x﹣2，②y=3x，③y＝x﹣1，④y=2x+1，y是x的反比例函数的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】①y＝x﹣2，②y=3x，③y＝x﹣1，④y=2x+1，y是x的反比例函数的是：②y=3x，③y＝x﹣1，共2个．选C．变式1若函数y＝（m2﹣3m+2）x|m|﹣3是反比例函数，则m的值是（）A．1B．﹣2C．±2D．2【解析】由题意得，|m|﹣3＝﹣1，解得m＝±2，当m＝2时，m2﹣3m+2＝22﹣3×2+2＝0，当m＝﹣2时，m2﹣3m+2＝（﹣2）2﹣3×（﹣2）+2＝4+6+2＝12，∴m的值是﹣2．选B．变式2已知函数y＝（m+1）x m2−2是反比例函数，则m的值为．【解析】∵y＝（m+1）x m2﹣2是反比例函数，∴m2﹣2＝﹣1，且m+1≠0，∴m＝±1，且m≠﹣1，∴m＝1；变式3下列函数中，y是x的反比例函数有（）（1）y＝3x；（2）y=−2x；（3）y=x3；（4）﹣xy＝3；（5）y=2x+1；（6）y=1x2；（7）y＝2x﹣2；（8）y=kx．A．（2）（4）B．（2）（3）（5）（8）C．（2）（7）（8）D．（1）（3）（4）（6）【解析】（1）y＝3x，是正比例函数，故此选项错误；（2）y=−2x，是反比例函数，故此选项正确；（3）y=x3是正比例函数，故此选项错误；（4）﹣xy＝3是反比例函数，故此选项正确；（5）y=2x+1，y是x+1的反比例函数，故此选项错误；（6）y=1x2，y是x2的反比例函数，故此选项错误；（7）y＝2x﹣2，y是x2的反比例函数，故此选项错误；（8）y=kx，k≠0时，y是x的反比例函数，故此选项错误．选A．【小结】此题主要考查了正比例函数以及反比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．必考点2：反比例函数的图象（结合一次、二次函数）对于一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，掌握一次函数、反比例函数、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．例题2若函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数y＝ax+b和y=cx在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【解析】∵由函数图象交y轴的正坐标可知c＞0，∴反比例函数y=cx的图象必在一、三象限，故C、D错误；∵据二次函数的图象开口向上可知a＞0，对称轴在y轴的右侧，b＜0，∴函数y＝ax+b的图象经过一三四象限，故A错误，B正确．选B．变式4一次函数y＝ax+b与反比例函数y=cx的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象是（）A．B．C．D．【解析】∵一次函数y＝ax+b图象过第二、三、四象限，∴a＜0，b＜0，∴x=−b2a＜0，∴二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，二次函数y＝ax2+bx+c对称轴在y轴左侧；∵反比例函数y=cx的图象在第一、三象限，∴c＞0，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交点在x轴上方．满足上述条件的函数图象只有选项D．变式5函数y=kx与y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝kx﹣b的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】首先根据二次函数及反比例函数的图象确定k、b的符号，然后根据一次函数的性质确定答案即可．【解析】根据反比例函数的图象位于一、三象限知k＞0，根据二次函数的图象确知a＜0，b＜0，∴函数y＝kx﹣b的大致图象经过一、二、三象限，选D．变式6抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+b2﹣4ac与反比例函数y= (a+b+c)(a−b+c)x在同一坐标系内的图象大致是（）A．B．C．D．【解析】∵二次函数图象开口向上，∴a＞0，∵对称轴为直线x=−b2a＞0，∴b＜0，当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，当x＝1时，a﹣b+c＜0，∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象经过第二四象限．选D．必考点3：反比例函数图象上点的坐标特征（比较大小）反比例函数图象上点的坐标特征：当k＞0时，图象分别位于第一、三象限，横纵坐标同号；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限，横纵坐标异号．例题3若（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）三点均在反比例函数y=m2+1x的图象上，结论中正确的是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y1【解析】∵m2+1＞0，∴反比例函数y=m2+1x的图象在一、三象限，∵点（﹣1，y1）的横坐标为﹣1＜0，∴此点在第三象限，y1＜0；∵（2，y2），（3，y3）的横坐标3＞2＞0，∴两点均在第一象限y2＞0，y3＞0，∵在第一象限内y随x的增大而减小，∴y2＞y3＞0，∴y2＞y3＞y1．选D．变式7函数y=−k2−1x（k为常数）的图象经过点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），若x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3【解析】∵反比例函数y=−k2−1x中，则﹣k2﹣1＜0，∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，∵x1＜x2＜0＜x3，∴y1＞0、y2＞0，y3＜0，∵x1＜x2，∴y1＜y2，∴y2＞y1＞y3．选C．变式8已知点A（x1，2），B（x2，4），C（x3，﹣1）都在反比例函数y=kx（k＜0）的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x3＜x1＜x2B．x2＜x1＜x3C．x1＜x3＜x2D．x1＜x2＜x3【解析】∵点A（x1，2），B（x2，4），C（x3，﹣1）在反比例y=kx（k＜0）的图象上，∴x1＜x2＜x3，选D．【小结】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．变式9 若点A （a ﹣1，y 1），B （a +1，y 2）在反比例函数y =kx（k ＜0）的图象上，且y 1＞y 2，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜﹣1B ．﹣1＜a ＜1C ．a ＞1D ．a ＜﹣1或a ＞1【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点（a ﹣1，y 1）、（a +1，y 2）在图象的同一支上时，②当点（a ﹣1，y 1）、（a +1，y 2）在图象的两支上时． 【解析】∵k ＜0，∴在图象的每一支上，y 随x 的增大而增大，①当点（a ﹣1，y 1）、（a +1，y 2）在图象的同一支上，∵y 1＞y 2，∴a ﹣1＞a +1，此不等式无解；②当点（a ﹣1，y 1）、（a +1，y 2）在图象的两支上，∵y 1＞y 2，∴a ﹣1＜0，a +1＞0，解得：﹣1＜a ＜1，选B ．必考点4： 反比例函数图象上点的坐标特征（与四边形结合）反比例函数图象上点的坐标特征：当k ＞0时，图象分别位于第一、三象限，横纵坐标同号；当k ＜0时，图象分别位于第二、四象限，横纵坐标异号．例题4 在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A （1，0），D （0，2），点B 在第一象限，BD ∥x 轴，若函数y =kx (k ＞0，x ＞0)的图象经过矩形ABCD 的对角线的交点，则k 的值为（ ）A ．4B ．5C ．8D ．10【解析】∵BD ∥x 轴，D （0，2），∴B 、D 两点纵坐标相同，都为2，∴可设B （x ，2）， ∵矩形ABCD 的对角线的交点为E ，∴E 为BD 中点，∠DAB ＝90°．∴E （12x ，2），∵∠DAB ＝90°，∴AD 2+AB 2＝BD 2，∵A （1，0），D （0，2），B （x ，2），∴12+22+（x ﹣1）2+22＝x 2，解得x ＝5，∴E （52，2）．∵反比例函数y =k x （k ＞0，x ＞0）的图象经过点E ，∴k =52×2＝5，选B ．【小结】本题考查了矩形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，线段中点坐标公式等知识，求出E 点坐标是解题的关键．变式10 如图，在平面直角坐标系中，A 是反比例函数y =k x（k ＞0，x ＞0）图象上一点，B 是y 轴正半轴上一点，以OA 、AB 为邻边作▱ABCO ．若点C 及BC 中点D 都在反比例函数y =−4x （x ＜0）图象上，则k 的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【分析】设点C 坐标为（a ，−4a），点A （x ，y ），由中点坐标公式可求点D ，点B 坐标，由平行四边形的性质可得AC 与BO 互相平分，由中点坐标公式可求点A 坐标，即可求解． 【解析】设点C 坐标为（a ，−4a ），点A （x ，y ），∵点D 是BC 的中点，∴点D 的横坐标为a 2，∴点D 坐标为（a2，−8a ），∴点B 的坐标为（0，−12a ），∵四边形ABCO 是平行四边形，∴AC 与BO 互相平分， ∴0+02=a+x 2，−4a+y 2=−12a+02，∴x ＝﹣a ，y =−8a，∴点A （﹣a ，−8a），∴k ＝（﹣a ）×（−8a）＝8，选B ．变式11 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是菱形，AB ∥x 轴，CD 与y 轴交于点E ，反比例函数y =kx（x ＞0）图象经过顶点B 、C ，已知点B 的横坐标为5，AE ＝2CE ，则点C 的坐标为（ ）A ．（2，203） B ．（2，83）C ．（3，203） D ．（3，83）【分析】如图，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，根据菱形的性质得到AB ＝BC ，CD ∥AB ，根据矩形的性质得到AE ＝CF ，CE ＝AF ，求得AB ＝BC ＝5，CF ＝2CE ，BF ＝5﹣CE ，根据勾股定理得到CF ＝AE ＝4，设点B （5，m ），点C （2，m +4），列方程即可得到结论． 【解析】如图，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，CD∥AB，∵∠CEA＝90°，∴∠EAB＝90°，且∠CEA＝90°，CF⊥AB，∴四边形CEAF是矩形，∴AE＝CF，CE＝AF，∵点B的横坐标为5，AE＝2CE，∴AB＝BC＝5，CF＝2CE，BF＝5﹣CE，∵BC2＝CF2+BF2，∴25＝4CE2+（5﹣CE）2，∴CE＝2，∴CF＝AE＝4，设点B（5，m），点C（2，m+4），∵反比例函数y=kx图象过点C，B，∴5m＝2×（m+4），∴m=83，∴点C（2，203），选A．变式12如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=43x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形ABCD，且点C在反比例函数y=kx（x＜0）的图象上，则k的值为（）A．﹣12B．﹣42C．42D．﹣21【解析】∵当x＝0时，y＝0+4＝4，∴A（0，4），∴OA＝4；∵当y＝0时，0=43x+4，∴x＝﹣3，∴B（﹣3，0），∴OB＝3；过点C作CE⊥x轴于E，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∵∠CBE+∠ABO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠CBE＝∠BAO．在△AOB和△BEC中，{∠CBE=∠BAO∠BEC=∠AOBBC=AB，∴△AOB≌△BEC（AAS），∴BE＝AO＝4，CE＝OB＝3，∴OE＝3+4＝7，∴C点坐标为（﹣7，3），∵点A 在反比例函数y =k x(x ＜0)的图象上，∴k ＝﹣7×3＝﹣21．选D ．必考点5： 反比例函数系数k 的几何意义（面积）反比例函数y =kx（k ≠0）系数k 的几何意义：从反比例函数y =kx（k ≠0）图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．例题5 如图，两个反比例函数y =4x 和y =2x 在第一象限内的图象分别是C 1和C 2，设点P 在C 1上，P A ⊥x 轴于点A ，交C 2于点B ，则△POB 的面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．无法计算【解析】∵P A ⊥x 轴于点A ，交C 2于点B ，∴S △POA =12×4＝2，S △BOA =12×2＝1，∴S △POB ＝2﹣1＝1．选A 变式13 如图直线y ＝mx 与双曲线y =kx 交于点A 、B ，过A 作AM ⊥x 轴于M 点，连接BM ，若S △AMB ＝2，则k 的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】此题可根据反比例函数图象的对称性得到A 、B 两点关于原点对称，再由S △ABM ＝2S △AOM 并结合反比例函数系数k 的几何意义得到k 的值．【解析】由题意得：S △ABM ＝2S △AOM ＝2，S △AOM =12|k |＝1，则k ＝±2．又由于反比例函数图象位于一三象限，k ＞0，所以k ＝2．选B ．变式14 如图，点A 与点B 分别在函数y =k 1x (k 1＞0)与y =k2x (k 2＜0)的图象上，线段AB 的中点M 在y 轴上．若△AOB 的面积为2，则k 1﹣k 2的值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，∴AC ∥BD ∥y 轴，∵M 是AB 的中点，∴OC ＝OD ，设A （a ，b ），B （﹣a ，d ），代入得：k 1＝ab ，k 2＝﹣ad ，∵S △AOB ＝2，∴12（b +d ）•2a −12ab −12ad ＝2，∴ab +ad ＝4，∴k 1﹣k 2＝4，选C ．变式15 如图，是反比例函数y =k 1x 和y =k2x （k 1＜k 2）在第一象限的图象，直线AB ∥x 轴，并分别交两条曲线于A 、B 两点，若S △AOB ＝2，则k 2﹣k 1的值为 ．【解析】设A （a ，b ），B （c ，d ），代入得：k 1＝ab ，k 2＝cd ，∵S △AOB ＝2，∴12cd −12ab ＝2，∴cd ﹣ab ＝4，∴k 2﹣k 1＝4， 必考点6： 反比例函数系数k 的几何意义（规律题）反比例函数y =k x （k ≠0）系数k 的几何意义：从反比例函数y =k x （k ≠0）图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．例题6 如图，已知A 1，A 2，A 3，…A n ，…是x 轴上的点，且OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A n ﹣1A n …＝1，分别过点A 1，A 2，A 3，…A n ，…作x 轴的垂线交反比例函数y =1x （x ＞0）的图象于点B 1，B 2，B 3，…，B n ，…，过点B 2作B 2P 1⊥A 1B 1于点P 1，过点B 3作B 3P 2⊥A 2B 2于点P 2…，记△B 1P 1B 2的面积为S 1，△B 2P 2B 3的面积为S 2…，△B n P n B n +1的面积为S n ．则S 1+S 2+S 3+…+S 20＝ ．【解析】∵OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A n ﹣1A n ＝1，∴设B 1（1，y 1），B 2（2，y 2），B 3（3，y 3），…B n （n ，y n ），∵B 1，B 2，B 3…Bn 在反比例函数y =1x （x ＞0）的图象上，∴y 1＝1，y 2=12，y 3=13，…y n =1n ，∴S 1=12×1×（y 1﹣y 2）=12×1×（1−12）=12（1−12）；∴S 2=12×1×（y 2﹣y 3）=12×（12−13）； ∴S 3=12×1×（y 3﹣y 4）=12×（13−14），…∴S 20=12×（y 20﹣y 21）=12×（120−121）=1840， ∴∴S 1+S 2+S 3+…+S 20=12（1−12+12−13+13−14+⋯+120−120+1）=202(1+20)=2042=1021， 变式16 【变式6-1】（2019•蜀山区一模）如图，点B 在反比例函数y =2X （x ＞0）的图象上，过点B 分别与x 轴和y 轴的垂线，垂足分别是C 0和A ，点C 0的坐标为（1，0），取x 轴上一点C 1（32，0），过点C 1作x 轴的垂线交反比例函数图象于点B 1，过点B 1作线段B 1A 1⊥BC 0交于点A 1，得到矩形A 1B 1C 1C 0，依次在x 轴上取点C 2 （2，0），C 3（52，0）…，按此规律作矩形，则矩形A n B n ∁n C n ﹣1（n 为正整数）的面积为 ．【解析】第1个矩形的面积=43×(32−1)=23=21+2，第2个矩形的面积=(2−32)×1=12=22+2，…第n个矩形的面积=12×2+2n+2=2n+2．∴矩形A n B n∁n C n﹣1（n为正整数）的面积为2n+2故答案为：2n+2变式17如图，在反比例函数的图象y=4x（x＞0）上，有点P1，P2，P3，P4，…，点P1横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1，P2，P3，P4，…分别作x轴，y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…则S1+S2+S3+…+S n＝．【解析】如图，过点P1、点P n作y轴的垂线段，垂足分别是点B、点C，过点P1作x轴的垂线段，垂足是点E，P1E交CP n于点A，则点A的纵坐标等于点P n的纵坐标等于42n ，AC＝2，AE=42n，故S1+S2+S3+…+S n＝S矩形P1EOB﹣S矩形AEOC＝2×42−2×42(n+1)=4−4n+1．故答案为4−4n+1．变式18如图，已知反比例函数y=1x的图象，当x取1，2，3，…n时，对应在反比例图象上的点分别为M1、M2、M3…M n，则S△P1M1M2+S△P2M2M3+…S△Pn﹣1Mn﹣1Mn＝．【解析】∵M 1（1，1），M 2（2，12），M 3（3，13），…，M n （n ，1n ）， ∴S △P 1M 1M 2=12×1×（1−12），S △P 2M 2M 3=12×1×（12−13），…，S △Pn ﹣1Mn ﹣1Mn =12×1×（1n−1−1n）， ∴S △P 1M 1M 2+S △P 2M 2M 3+⋯+S △P n−1M n−1M n =12×1×（1−12）+12×1×（12−13）+⋯+12×1×（1n−1−1n） =12（1−12+12−13+⋯+1n−1−1n ）=12•n−1n=n−12n ． 必考点7： 待定系数法求反比例函数解析式反比例函数y =k x （k ≠0）系数k 的几何意义：从反比例函数y =k x （k ≠0）图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．例题7 已知反比例函数y =k x （k ≠0），当x ＝﹣3时，y =43．（1）求y 关于x 的函数表达式．（2）当y ＝﹣4时，求自变量x 的值．【解析】（1）根据题意，得43=−k 3，解得，k ＝﹣4；∴该反比例函数的解析式是y =−4x ； （2）由（1）知，该反比例函数的解析式是y =−4x ，∴当y ＝﹣4时，﹣4=−4x ，即x ＝1．变式19 已知y 与x ﹣1成反比例，且当x ＝4时，y ＝1．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）判断点（﹣2，﹣1）是否在该函数图象上．【分析】（1）根据题意可以设出函数关系式，把x 和y 的对应值代入函数解析式，通过方程即可求得k 的值；（2）然后把x ＝﹣2代入所求得的函数解析式，得到相应的y 的值即可判断．【解析】（1）设y =k x−1，把x ＝4，y ＝1代入y =k x−1得1=k 4−1，解得k ＝3，∴y 与x 的函数关系式y =3x−1； （2）把 x ＝﹣2代入y =3x−1得，y ＝﹣1，∴点（﹣2，﹣1）在该函数的图象上． 变式20 已知y ＝y 1﹣y 2，y 1与x 成反比例，y 2与x ﹣2成正比例，当x ＝3时，y ＝5；当x ＝1时，y ＝﹣1．（1）y 与x 的函数表达式；（2）当x ＝﹣1时，求y 的值．【解析】（1）设y 1=a x ，y 2＝b （x ﹣2），则y =a x −b （x ﹣2），根据题意得{a 3−b(3−2)=5a 1−b(1−2)=−1，解得{a =3b =−4，所以y 关于x 的函数关系式为y =3x +4（x ﹣2）； （2）把x ＝﹣1代入y =3x +4（x ﹣2）；得y ＝﹣3+4×（﹣1﹣2）＝﹣15．变式21 已知y ＝y 1+y 2，y 1与x 2成正比例，y 2与x +1成反比例，当x ＝0时，y ＝2；当x ＝1时，y ＝2．求y 与x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围．【解析】∵y ＝y 1+y 2，y 1与x 2成正比例，y 2与x +1成反比例，∴设y 1＝kx 2，y 2=a x+1，∴y ＝kx 2+a x+1，∵当x ＝0时，y ＝2；当x ＝1时，y ＝2，∴{2=a 2=k +a 2，解得：{a =2k =1，故y ＝x 2+2x+1（x ≠﹣1）． 必考点8： 反比例函数与一次函数交点问题例题8 如图，等腰直角△ABC 位于第二象限，BC ＝AC ＝2，直角顶点C 在直线y ＝﹣x 上，且点C 的横坐标为﹣3，边BC ，AC 分别平行于x 轴、y 轴．若双曲线y =k x与△ABC 的边AB 有2个公共点，则k 的取值范围为 ．【解析】由题意C （﹣3，3），A （﹣3，1），B （﹣1，3），直线OC 与AB 的交点坐标为E （﹣2，2）， 反比例函数图象经过A 或B 时，k ＝﹣3，反比例函数图象经过点E 时，k ＝﹣4，观察图象可知，双曲线y =k x与△ABC 的边AB 有2个公共点，则k 的取值范围为﹣4＜k ≤﹣3．变式22 如图，直线y ＝1与反比例函数y =k x （x ＜0），y =2x （x ＞0）的图象分别交于点A 和点B ，线段AB 的长是8，若直线y ＝n （x +2）（n ≠0）与y =2x （x ＞0）的图象有交点，与y =k x （x ＜0）无交点，则n 的取值范围为（ ）A ．﹣6＜n ＜0B ．0＜n ＜6C ．﹣6＜n ＜0或0＜n ＜6D ．0＜n ＜2【解析】当y＝1时，2x=1，解得x＝2，则B（2，1），∵线段AB的长是8，∴A点的坐标为（﹣6，1），∵A点（﹣6，1）在反比例函数y=kx的图象上，∴k＝﹣6×1＝﹣6，∴反比例函数解析式为y=−6x，当n＜0时，直线y＝nx+2n与y=kx（x＜0）有交点，不合题意，当n＞0时，直线y＝nx+2n与y=2x（x＞0）有交点，此时当方程nx+2n=−6x无解时，直线y＝nx+2n与y=kx（x＜0）无交点，方程整理得nx2+2nx+6＝0，∴△＝4n2﹣4n×6＜0，解得n＜6，∴满足条件的n的范围为0＜n＜6．选B．变式23在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣5，0）作垂直于x轴的直线AB，直线y＝x+b与双曲线y=−4 x相交于点P（x1，y1）、Q（x2，y2），与直线AB相交于点R（x3，y3）．若y1＞y2＞y3时，则b的取值范围是（）A．b＞4B．b＞4或b＜﹣4C．−295＜b＜﹣4或b＞4D．4＜b＜295或b＜﹣4【解析】∵直线y＝x+b与双曲线y=−4x有两个交点，∴x+b=−4x有两个实数解，整理得x2+bx+4＝0，∵△＝b2﹣4×4＞0，∴b＞4或b＜﹣4，当反比例函数图象与直线y＝x+b在第二象限相交于P、Q时，直线AB与反比例函数y=−4x相交于C点，如图，当x＝﹣5时，y=−4−5=45，则C（﹣5，45），当点R在C点下方时，y1＞y2＞y3，即x＝﹣5时，y＜45，∴﹣5+b＜45，解得b＜295，∴b的范围为4＜b＜295，当反比例函数与直线y＝x+b在第四象限相交于P、Q时，b的范围为b＜﹣4满足y1＞y2＞y3，综上所述，b的范围为4＜b＜295或b＜﹣4．选D．【小结】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．变式24 平面直角坐标系中，函数y =4x （x ＞0）的图象G 经过点A （4，1），与直线y =14x +b 的图象交于点B ，与y 轴交于点C ．其中横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G 在点A 、B 之间的部分与线段OA 、OC 、BC 围成的区域（不含边界）为W ．若W 内恰有4个整点，结合函数图象，b 的取值范围是（ ）A ．−54≤b ＜1或74＜b ≤114 B ．−54≤b ＜1或−74＜b ≤114 C ．−54≤b ＜﹣1或−74＜b ≤114 D ．−54≤b ＜﹣1或74＜b ≤114 【解析】如图1，直线l 在OA 的下方时，当直线l ：y =14x +b 过（0，﹣1）时，b ＝﹣1，且经过（4，0）点，区域W 内有三点整点，当直线l ：y =14x +b 过（1，﹣1）时，b =−54，且经过（5，0），区域W 内有三点整点，∴区域W 内恰有4个整点，b 的取值范围是−54≤b ＜﹣1．如图2，直线l 在OA 的上方时，∵点（2，2）在函数y =k x （x ＞0）的图象G ，当直线l ：y =14x +b 过（1，2）时，b =74，当直线l ：y =14x +b 过（1，3）时，b =114，∴区域W 内恰有4个整点，b 的取值范围是74＜b ≤114． 综上所述，区域W 内恰有4个整点，b 的取值范围是−54≤b ＜﹣1或74＜b ≤114．选D ． 必考点9： 反比例与一次函数综合例题9 如图，一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y =m x 的图象交于点A （1，4）、B （4，n ）．（1）求这两个函数的表达式；（2）请结合图象直接写出不等式kx +b ≤m x 的解集；（3）若点P 为x 轴上一点，△ABP 的面积为6，求点P 的坐标．【解析】（1）把A （1，4）代入y =m x ，得：m ＝4，∴反比例函数的解析式为y =4x ； 把B （4，n ）代入y =4x ，得：n ＝1，∴B （4，1），把A （1，4）、（4，1）代入y ＝kx +b ，得：{k +b =44k +b =1，解得：{k =−1b =5，∴一次函数的解析式为y ＝﹣x +5； （2）根据图象得：当0＜x ≤1或x ≥4时，kx +b ≤m x ；∴不等式kx +b ≤m x 的解集为0＜x ≤1或x ≥4；（3）如图，设直线AB 与x 轴交于点C ，∵直线AB 与x 轴交于点C ，∴点C 坐标为（5，0），∵△ABP 的面积为6，∴12×PC ×4−12PC ×1＝6，∴PC ＝4，∴点P 的坐标为（1，0）或（9，0）． 变式25 如图，一次函数y ＝kx +b 与反比例函数y =m x的图象交于点A （1，6），B （3，n ）两点．与x 轴交于点 C ． （1）求一次函数的表达式；（2）若点M 在x 轴上，且△AMC 的面积为6，求点M 的坐标．（3）在y 轴上找一点P ，使P A +PB 的值最小，直接写出满足条件的点P 的坐标是 ．【解析】（1）把A （1，6）代入y =m x 得：m ＝6，即反比例函数的表达式为y =6x ，把B （3，n ）代入y =6x 得：n ＝2，即B 的坐标为（3，2），把A 、B 的坐标代入y ＝kx +b 得：{k +b =63k +b =2，解得：k ＝﹣2，b ＝8，即一次函数的表达式为y ＝﹣2x +8； （2）∵一次函数y ＝﹣2x +8与x 轴交于点 C ，∴C （4，0），∵A （1，6），点M 在x 轴上，且△AMC 的面积为6，∴CM ＝2，∴M （6，0）或（2，0）；（3）作点A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′B 交y 轴于点P ，如图所示．在y 轴上任取一点P ′（不同于点P ），∵A 、A ′关于y 轴对称，∴AP ＝A ′P ，AP ′＝A ′P ′， 在△P ′A ′B 中，有A ′P ′+BP ′＝AP ′+BP ′＞A ′B ＝A ′P +BP ＝AP +BP ，∴当A ′、P 、B 三点共线时，P A +PB 最小．∵点A 的坐标为（1，6），∴点A ′的坐标为（﹣1，6）．设直线A ′B 的解析式为y ＝ax +b ，将点A ′（﹣1，6）、点B （3，2）代入到y ＝ax +b 中，得{−a +b =63a +b =2，解得：{a =−1b =5，∴直线A ′B 的解析式为y ＝﹣x +5，令x ＝0，则有y ＝5．即点P 的坐标为（0，5）， 变式26 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y 1＝kx +b （k ≠0）的图象与反比例函数y 2=m x （m ≠0）的图象相交于第一、三象限内的A （3，5），B （a ，﹣3）两点，与x 轴交于点C ．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）在y 轴上找一点P 使PB ﹣PC 最大，求PB ﹣PC 的最大值及点P 的坐标；（3）直接写出不等式kx +b ＞m x 的解集．【解析】（1）把A （3，5）代入y 2=m x （m ≠0），可得m ＝3×5＝15，∴反比例函数的解析式为y 2=15x ， 把点B （a ，﹣3）代入，可得a ＝﹣5，∴B （﹣5，﹣3）．把A （3，5），B （﹣5，﹣3）代入y 1＝kx +b ，可得{3k +b =5−5k +b =3，得{k =1b =2，∴一次函数的解析式为y 1＝x +2； （2）一次函数的解析式为y 1＝x +2，令x ＝0，则y ＝2，∴一次函数与y 轴的交点为P （0，2），此时，PB ﹣PC ＝BC 最大，P 即为所求，令y ＝0，则x ＝﹣2，∴C （﹣2，0）， 过B 点向x 轴作垂线，由勾股定理可得：BC =√(−5+2)2+32=3√2； （3）当y 1＞y 2时，﹣5＜x ＜0或x ＞3．变式27 如图，一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y =mx （x ＞0）的图象在第一象限交于点A ，B ，且该一次函数的图象与y 轴正半轴交于点C ，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为E ，D ．已知A （4，1），CE ＝4CD ．（1）求反比例函数的解析式．（2）求一次函数的解析式．（3）根据图象直接写出m x＜kx +b 时x 的取值范围．（4）若点M 为一次函数图象上的动点，过点M 作MN ∥y 轴，交反比例函数y =mx （x ＞0）的图象于点N ，连结ME ，NE ，当△MNE 的面积为98时，直接写出点M 的横坐标．【解析】（1）把A （4，1）代入y =mx 得m ＝4×1＝4，∴反比例函数解析式为y =4x ； （2）∵BD ⊥y 轴，AD ⊥y 轴，∴AD ∥BE ，∴△CEA ∽△CDB ，∴BD AE=CD CE，即BD 4=14，∴BE ＝1，当x ＝1时，y =4x =4，∴B （1，4），把A （4，1），B （1，4）代入y ＝kx +b 得{4k +b =1k +b =4，解得{k =−1b =5，∴一次函数解析式为y ＝﹣x +5； （3）由图象可知：m x＜kx +b 时x 的取值范围是1＜x ＜4；（4）设M （x ，﹣x +5），则N （x ，4x），∵△MNE 的面积为98，∴12|﹣x +5−4x |•x =98，∴|﹣x +5−4x |=94x ，当﹣x +5−5x =94x 时，求得x =52，当﹣x +5−5x =−94x 时，求得x =5+3√22或x =5−3√22，∴M 的横坐标为52或5+3√22或5−3√22． 必考点10： 反比例函数的应用例题10 为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19min ；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11min ． （1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y （单位：mg /m 3）与时间x （单位：min ）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y 与x 的函数关系式为y ＝2x ，药物喷洒完成后y 与x 成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A （m ，n ）．当教室空气中的药物浓度不高于1mg /m 3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明．【解析】（1）设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要xmin 和ymin ，则{3x +2y =192x +y =11，解得{x =3y =5，故校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要3min 和5min ；（2）一间教室的药物喷洒时间为5min ，则11个房间需要55min ，当x ＝5时，y ＝2x ＝10，故点A （5，10）， 设反比例函数表达式为：y =kx，将点A 的坐标代入上式并解得：k ＝50，故反比例函数表达式为y =50x， 当x ＝55时，y =5055＜1，故一班学生能安全进入教室．变式28 学校的学生专用智能饮水机里水的温度y （℃）与时间x （分）之间的函数关系如图所示，当水的温度为20℃时，饮水机自动开始加热，当加热到100℃时自动停止加热（线段AB ），随后水温开始下降，当水温降至20℃时（BC 为双曲线的一部分），饮水机又自动开始加热……根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）分别求出饮水机里水的温度上升和下降阶段y 与x 之间的函数表达式．（2）下课时，同学们纷纷用水杯去盛水喝．此时，饮水机里水的温度刚好达到100℃．据了解，饮水机1分钟可以满足12位同学的盛水要求，学生喝水的最佳温度在30℃～45℃，请问在大课间30分钟时间里有多少位同学可以盛到最佳温度的水？【分析】（1）由点A 、B 的坐标可以求出AB 段的函数表达式，由点B 的坐标可以求出BC 段函数的表达式；（2）对于反比例函数y =900x（x ≥9），当y ＝30时，x ＝30，当y ＝45时，x ＝20，即可求解． 【解析】（1）设直线AB 解析式为：y ＝kx +b ，则{100=9k +b b =20，解得：{k =809b =20， ∴温度上升段（AB ）的解析式为：y =809x +20（x ＜9）； 设反比例函数的表达式为：y =kx（x ≥9），将点B （9，100）的坐标代入上式得：100=k9，解得：k ＝900， 故温度下降段（BC 段）函数表达式：y =900x （x ≥9）； （2）对于反比例函数y =900x（x ≥9）， 当y ＝30时，即y =900x =30，解得：x ＝30，同理可得：当y ＝45时，x ＝20，水温在30℃～45℃，此时x 为20～30分．故大课间30分钟，可以盛到最佳温度水的时间为10分钟， 故有12×10＝120个同学可以盛到最佳温度的水．变式29 实验数据显示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y （毫克/百亳升）与时间x （时）变化的图象，如图（图象由线段OA 与部分双曲线AB 组成）．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． （1）求部分双曲线AB 的函数解析式；（2）参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上22：30在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．【解析】（1）依题意，直线OA 过（14，20），则直线OA 的解析式为y ＝80x ，当x =32时，y ＝120，即A （32，120），设双曲线的解析式为y =kx ，将点A （32，120）代入得：k ＝180，∴y =180x （x ≥32）；由y =180x 得当y ＝20时，x ＝9，从晚上22：30到第二天早上7：00时间间距为8.5小时，∵8.5＜9，∴第二天早上7：00不能驾车去上班． 变式30 饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y （℃）与开机时间x （分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y （℃）与开机时间x （分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热……，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：（1）当0≤x ＜8时，求水温y （℃）与开机时间x （分）的函数关系式．（2）求图中t 的值； （3）若在通电开机后即外出散步，请你预测散步42分钟回到家时，饮水机内水的温度约为多少℃？【解析】（1）当0≤x ≤8时，设水温y （℃）与开机时间x （分）的函数关系式为y ＝kx +b （k ≠0）， 将（0，20）、（8，100）代入y ＝kx +b 中，{b =208k +b =100，解得：{k =10b =20，∴当0≤x ≤8时，水温y （℃）与开机时间x （分）的函数关系式为y ＝10x +20． （2）当8≤x ≤t 时，设水温y （℃）与开机时间x （分）的函数关系式为y =mx（m ≠0）， 将（8，100）代入y =m x 中，100=m8，解得：m ＝800， ∴当8≤x ≤t 时，水温y （℃）与开机时间x （分）的函数关系式为y =800x ． 当y =800x =20时，x ＝40，∴图中t 的值为40．（3）∵42﹣40＝2≤8，∴当x ＝2时，y ＝2×10+20＝40，必考点11： 反比例函数存在性问题（三角形）例题11 如图，反比例函数y 1=kx 和一次函数y 2＝mx +n 相交于点A （1，3），B （﹣3，a ）， （1）求一次函数和反比例函数解析式；（2）连接OA ，试问在x 轴上是否存在点P ，使得△OAP 为以OA 为腰的等腰三角形，若存在，直接写出满足题意的点P 的坐标；若不存在，说明理由．【解析】（1）∵点A （1，3）在反比例函数y 1=kx 的图象上，∴k ＝1×3＝3，∴反比例函数的解析式为y 1=3x， ∵点B （﹣3，a ）在反比例函数y 1=3x 的图象上，∴﹣3a ＝3，∴a ＝﹣1，∴B （﹣3，﹣1）， ∵点A （1，3），B （﹣3，﹣1）在一次函数y 2＝mx +n 的图象上，∴{m +n =3−3m +n =−1，∴{m =1n =2，∴一次函数的解析式为y 2＝x +2；（2）如图，∵△OAP 为以OA 为腰的等腰三角形，∴①当OA ＝OP 时，∵A （1，3），∴OA =√10， ∵OP =√10，∵点P 在x 轴上，∴P （−√10，0）或（√10，0），②当OA ＝AP 时，则点A 是线段OP 的垂直平分线上，∵A （1，3），∴P （2，0），即：在x 轴上存在点P ，使得△OAP 为以OA 为腰的等腰三角形，此时，点P 的坐标为（−√10，0）或 （2，0）或（√10，0）．变式31 如图，一次函数y ＝﹣x +3的图象与反比例函数y =kx （k ≠0）在第一象限的图象交于A （1，a ）和B 两点，与x 轴交于点C ． （1）求反比例函数的解析式；（2）若点P 在x 轴上，且△APC 的面积为5，求点P 的坐标；（3）若点P 在y 轴上，是否存在点P ，使△ABP 是以AB 为一直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A 坐标代入两个解析式可求a 的值，k 的值，即可求解； （2）设P （x ，0），由三角形的面积公式可求解；（3）分两种情况讨论，由两点距离公式分别求出AP ，AB ，BP 的长，由勾股定理可求解． 【解析】（1）把点A （1，a ）代入y ＝﹣x +3，得a ＝2，∴A （1，2），把A （1，2）代入反比例函数y =k x，∴k ＝1×2＝2；∴反比例函数的表达式为y =2x；（2）∵一次函数y ＝﹣x +3的图象与x 轴交于点C ，∴C （3，0），设P （x ，0），∴PC ＝|3﹣x |， ∴S △APC =12|3﹣x |×2＝5，∴x ＝﹣2或x ＝8，∴P 的坐标为（﹣2，0）或（8，0）；（3）存在，理由如下：联立{y =−x +3y =2x，解得：{x 1=1y 1=2或{x 1=2y 1=1，∴B 点坐标为（2，1）， ∵点P 在y 轴上，∴设P （0，m ）， ∴AB =√(1−2)2+(2−1)2=√2，AP =√(1−0)2+(2−m)2，PB =√(2−0)2+(1−m)2，若BP 为斜边，∴BP 2＝AB 2+AP 2 ，即 (√(2−0)2+(1−m)2)2=2+(√(1−0)2+(2−m)2)2，解得：m ＝1，∴P （0，1）； 若AP 为斜边，∴AP 2＝PB 2+AB 2 ，即 (√(1−0)2+(2−m)2)2=(√(2−0)2+(1−m)2)2+2，解得：m ＝﹣1，∴P （0，﹣1）； 综上所述：P （0，1）或 P （0，﹣1）．变式32 如图，关于x 的一次函数y ＝k 1x +b 的图象与反比例函数y =k 2x的图象相交于A （﹣2，8），B （4，m ）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式．（2）设一次函数y ＝k 1x +b 的图象与x 轴，y 轴的交点分别为M ，N ，P 是x 轴上一动点，当以P ，M ，N 三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求点P 的坐标．【分析】（1）先把A 点坐标代入y =k2x 可求出k 2的值，从而确定反比例函数解析式；再把B （4，m ）代入反比例函数解析式求出m 的值，可确定点B 的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；（2）先根据一次函数的解析式确定M 和N 的坐标，根据以P ，M ，N 三点为顶点的三角形是等腰三角形分三种情况讨论：①NP ＝NM ；②MP ＝MN ；③PN ＝PM ；前两种直接根据线段的长得出点P 的坐标，第三种根据两点的距离列方程可得结论．【解析】（1）把A （﹣2，8），B （4，m ）代入反比例函数y =k2x 得：k 2＝﹣2×8＝4m ，∴k 2＝﹣16，m ＝﹣4，所以反比例函数解析式为y =−16x ，且B （4，﹣4）， 把A （﹣2，8），B （4，﹣4）代入y ＝k 1x +b 得：{−2k 1+b =84k 1+b =−4，解得{k 1=−2b =4，所以一次函数解析式为y ＝﹣2x +4；（2）y ＝﹣2x +4，当x ＝0时，y ＝4，当y ＝0时，﹣2x +4＝0，x ＝2，∴N （0，4），ON ＝4，M （﹣2，0），OM ＝2，①当NP ＝NM 时，如图1，∵ON ⊥PM ，∴OP ＝OM ＝2，∴P （﹣2，0）； ②当MP ＝MN 时，如图2，由勾股定理得：MN =√22+42=2√5，∴P （2+2√5，0）或（2﹣2√5，0）； ③当PN ＝PM 时，如图3，∵P 是x 轴上一动点，∴设P （x ，0），∵PM ＝PN ，∴x 2+42＝（2﹣x ）2，∴x ＝3，∴P （﹣3，0），综上，点P 的坐标是（﹣2，0）或（2+2√5，0）或（2﹣2√5，0）或（﹣3，0）．【小结】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题和等腰三角形的性质和判定，并注意等腰三角形在没确定腰和底边时要分情况讨论，注意利用数形结合的思想．变式33 如图，函数y =kx （x ＞0）的图象过点A （n ，2）和B （85，2n ﹣3）两点．（1）求n 和k 的值；（2）将直线OA 沿x 轴向左移动得直线DE ，交x 轴于点D ，交y 轴于点E ，交y =kx （x ＞0）于点C ，若S△ACO＝6，求直线DE 解析式；（3）在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F ，使得△DEF 为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）∵函数y =kx（x ＞0）的图象过点A （n ，2）和B （85，2n ﹣3）两点．∴{2n =k 85(2n −3)=k ，解得，{n =4k =8；（2）由（1）知，A （4，2），设直线OA 的解析式为y ＝ax （a ≠0），则2＝4a ，∴a =12，∴直线OA 的解析式为：y =12x ，由（1）知反比例函数的解析式为：y =8x，设C （m ，8m），过C 作CH ⊥x 轴与OA 交于点H ，如图1，则H （m ，12m ），∴CH =8m −12m ，∵S △ACO ＝6，∴12(8m−12m)×4=6，解得，m ＝﹣8（舍），或m ＝2，∴C （2，4），∵将直线OA 沿x 轴向左移动得直线DE ，∴设直线DE 的解析式为：y =12x +c ，把C （2，4）代入y =12x +c 中，得4＝1+c ，解得，c ＝3，∴直线DE 的解析式为：y =12x +3； （3）令x ＝0，得y =12x +3＝3，令y ＝0，得y =12x +3＝0，解得x ＝﹣6，∴D （﹣6，0），E （0，3）， ①当∠EDF ＝90°，DE ＝DF 时，如图2，过F 作FG ⊥x 轴于点G ，∵∠ODE +∠FDG ＝∠ODE +∠OED ＝90°，∴∠OED ＝∠GDF ， ∵∠DOE ＝∠FGD ＝90°，DE ＝FD ，∴△ODE ≌△GFD （AAS ）， ∴DG ＝0E ＝3，FG ＝DO ＝6，∴F （﹣9，6）；②当∠DEF ＝90°，DE ＝EF 时，如图3，过F 作FG ⊥y 轴于点G ，∵∠ODE +∠DEO ＝∠GEF +∠OED ＝90°，∴∠ODE ＝∠GEF ， ∵∠DOE ＝∠FGE ＝90°，DE ＝EF ，∴△ODE ≌△GEF （AAS ）， ∴EG ＝DO ＝6，FG ＝EO ＝3，∴F （﹣3，9）；③当∠DFE ＝90°，DF ＝EF 时，如图4，过点F 作FG ⊥x 轴于点G ，作FH ⊥y 轴于点H ，。