实际问题工程问题教案
七年级数学上册《工程问题》教案、教学设计
4.通过课后实践作业，让学生将所学知识运用到实际生活中，提高学生的动手操作能力和实践能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生学习数学的热情，增强学生学习数学的自信心。
2.培养学生面对问题时，勇于挑战、积极思考的良好品质，提高学生解决问题的耐心和毅力。
2.解决工程问题时，学生容易忽视约束条件，导致解题偏差。
3.学生在运用方程解决工程问题时，对等量关系的把握不够准确。
（教学设想）
1.针对教学重点，设计具有实际情境的问题，引导学生发现数量关系，建立数学模型。
-通过生活中的实例，如家庭装修、农田灌溉等，让学生体验工程问题的实际背景，激发学生探究的兴趣。
2.选做题：
-探究题：选择一个实际工程问题，如家庭装修预算分配、农田灌溉方案设计等，进行深入探究，要求学生结合实际情况，提出解决问题的方案，并在方案中体现数学模型和计算过程。
-拓展题：研究不同工程问题中的数量关系和解决方法，总结规律，撰写一篇关于工程问题解决策略的小论文。
作业要求：
1.学生在完成作业时，应认真思考，独立完成，尽量避免抄袭现象。
-鼓励学生将所学知识应用到生活中，提高学生的数学应用能力。
5.教学评价多样化，关注学生的全面发展。
-采用课堂提问、课后作业、小组讨论等多种评价方式，全面了解学生的学习情况。
-注重过程性评价，关注学生在解决问题过程中的思维方法和策略，培养学生的自主学习能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：通过一个生活中的实例，如学校组织的一次植树活动，向学生展示工程问题的实际背景。提出问题：“如果我们需要在一个上午完成100棵树的种植任务，现有30名学生，每个学生平均种植多少棵树才能完成任务？如果种植速度不同，又将如何分配任务？”
人教版数学七年级下册8.3实际问题与二元一次方程组—工程问题优秀教学案例
3.创设开放性问题情景，鼓励学生从不同角度思考问题，培养他们的发散性思维和创新意识。
4.注重情景的动态变化，引导学生适应不同情境下的数学问题，提高他们解决实际问题的能力。
（二）问题导向
1.教师将引导学生从情景中发现问题、提出问题，培养学生的问题意识。
2.小组成员共同探讨问题，分工合作，共同完成二元一次方程组的建立和求解。
3.鼓励小组成员相互交流、讨论，分享解题思路和经验，提高团队的整体解题能力。
4.教师在小组合作过程中，适时给予指导和评价，引导小组内部反思和总结，促进团队合作能力的提升。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对自己的学习过程进行反思，总结二元一次方程组的建立与求解方法，提高自我监控能力。
2.引导学生树立正确的价值观，认识到数学知识的学习不仅仅是为了应付考试，更是为了解决实际问题，服务于社会。
3.培养学生的责任感，让他们明白解决实际问题需要严谨、细心的态度，激发他们为国家和民族的繁荣富强而努力学习的决心。
4.通过解决工程问题，让学生体会团队合作的力量，培养他们的集体荣誉感，增强集体凝聚力。
4.让学生通过解决实际问题，培养他们的逻辑思维能力和运算能力，提高数学素养。
（二）过程与方法
1.采用情境教学，引入生活中的工程问题，引导学生从实际情境中发现问题、提出问题，培养他们的观察能力和问题意识。
2.通过小组合作、讨论交流等方式，让学生在探索解决问题的过程中，学会倾听、表达、沟通和协作，培养团队合作精神。
人教版数学七年级下册8.3实际问题与二元一次方程组—工程问题优秀教学案例
一、案例背景
人教版数学七年级下册8.3实际问题与二元一次方程组—工程问题说课稿
4.课堂示范：在黑板上展示解题过程，让学生跟随教师的思路，加深对知识点的理解。
（三）巩固练习
为了1.课堂练习：设计具有代表性的工程问题习题，让学生独立完成，检验学生对知识点的掌握程度；
3.教师反馈：根据学生的课堂表现和练习情况，给予针对性的反馈和建议，帮助学生找到提高的方向。
（五）作业布置
课后作业布置如下：
1.工程问题习题：布置一定数量的工程问题习题，目的是巩固所学知识，提高解题能力；
2.实践报告：要求学生完成课后实践活动，并撰写实践报告，目的是培养学生的实际操作能力和总结反思能力；
5.定期进行课堂小结，让学生总结所学知识，巩固学习成果。
三、教学方法与手段
（一）教学策略
我将采用探究式教学法和情境教学法作为主要教学方法。探究式教学法鼓励学生在教师的引导下，通过自主探究、合作交流等方式主动发现问题、解决问题，从而培养学生的自主学习能力和合作精神。情境教学法则是通过创设具体、生动、有趣的教学情境，让学生在实际情境中感受数学知识的应用，提高学生的学习兴趣和实际操作能力。选择这些方法的理论依据是建构主义学习理论，该理论认为学习是学习者主动建构知识的过程，而情境和合作是知识建构的重要条件。
3.预习任务：布置下一节课的预习任务，让学生提前了解下节课的知识点，为课堂学习做好准备。
五、板书设计与教学反思
（一）板书设计
我的板书设计将遵循清晰、简洁、结构化的原则。板书布局分为左、中、右三个部分：左侧列出关键概念和公式，中间展示解题步骤和案例分析，右侧用于记录学生的思考过程和答案。
1.主要内容：包括工程问题的定义、二元一次方程组的表示、解题步骤和注意事项；
（二）学习障碍
工程问题教案模板及范文
课时：2课时年级：五年级教材：《小学数学》五年级上册教学目标：1. 让学生理解工程问题的概念，掌握工程问题的解题方法。
2. 培养学生运用工程问题的解题方法解决实际问题的能力。
3. 培养学生团结协作、勇于挑战的精神。
教学重点：1. 工程问题的概念及解题方法。
2. 工程问题在实际问题中的应用。
教学难点：1. 工程问题的解题方法。
2. 工程问题在实际问题中的应用。
教学过程：第一课时一、导入新课1. 引导学生回顾已学过的分数、百分数等知识，激发学生对工程问题的兴趣。
2. 提问：生活中有哪些问题可以用工程问题的方法来解决？二、新课讲解1. 讲解工程问题的概念：工程问题是指在一定时间内，完成某项工程需要的人数、时间或工作效率之间的关系问题。
2. 举例说明工程问题的解题方法：假设、求比、计算。
三、课堂练习1. 出示工程问题，让学生运用所学方法解题。
2. 教师巡视指导，解答学生疑问。
四、课堂小结1. 总结工程问题的概念及解题方法。
2. 强调工程问题在实际问题中的应用。
第二课时一、复习导入1. 回顾上一节课所学内容，引导学生复习工程问题的概念及解题方法。
2. 提问：如何运用工程问题的方法解决实际问题？二、新课讲解1. 讲解工程问题在实际问题中的应用：如工程进度、工程成本、工作效率等。
2. 举例说明工程问题在实际问题中的应用。
三、课堂练习1. 出示实际工程问题，让学生运用所学方法解决。
2. 教师巡视指导，解答学生疑问。
四、课堂小结1. 总结工程问题在实际问题中的应用。
2. 强调工程问题在实际生活中的重要性。
教学评价：一、课堂表现1. 学生对工程问题的概念及解题方法的掌握程度。
2. 学生在课堂练习中的参与度。
二、课后作业1. 完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 寻找生活中的工程问题，尝试运用所学方法解决。
教学反思：1. 教师应根据学生的实际情况，调整教学进度和难度。
2. 注重培养学生的实际操作能力，提高学生的综合素质。
初中下册工程问题教案
初中下册工程问题教案教学目标：1. 理解并掌握工程问题的基本概念和解题方法。
2. 能够运用工程问题的解题方法解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学内容：1. 工程问题的基本概念和解题方法。
2. 实际工程问题的解决。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入工程问题的概念，让学生了解工程问题的实际背景。
2. 举例说明工程问题的解题方法。
二、新课（20分钟）1. 讲解工程问题的基本概念，如工作量、工作效率、工作时间等。
2. 介绍工程问题的解题步骤，如确定工作量、工作效率和工作时间的关系，建立方程等。
3. 通过例题讲解工程问题的解题方法，引导学生思考和解决问题。
三、练习（15分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学的工程问题解题方法。
2. 引导学生思考和解决实际工程问题。
四、拓展（10分钟）1. 引导学生思考和解决更复杂的工程问题，如多个工程队合作完成工程的问题。
2. 引导学生思考和解决工程问题中的优化问题，如如何分配工程量以最短时间完成工程。
五、总结（5分钟）1. 总结本节课所学的工程问题的解题方法和步骤。
2. 强调工程问题在实际生活中的应用和重要性。
教学评价：1. 通过课堂讲解和练习，评价学生对工程问题基本概念和解题方法的掌握程度。
2. 通过课后作业和实际工程问题的解决，评价学生对工程问题的应用能力。
教学资源：1. PPT课件：包含工程问题的基本概念、解题步骤和例题讲解。
2. 练习题：包括不同难度的工程问题题目，以巩固学生的解题能力。
教学建议：1. 在讲解工程问题时，结合实际情况和实际背景，让学生更好地理解和掌握工程问题的解题方法。
2. 在解题过程中，引导学生运用逻辑思维和数学知识，培养学生的解决问题的能力。
3. 鼓励学生积极参与课堂讨论和练习，提高学生的学习兴趣和动力。
实际问题工程问题教学省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件
作 业:
1 教材第102页第8、9
2
2x
补充（1）
3
5x
2
34
(2) 2 (x 1) 2 x 1 (x 1)
3
2
(3) 1 2 y 2 5 y
2y
56
(4) 2x 1 1 4x 1
3
6
第14页
•That is all for today
•
See you later
第15页
第9页
变式练习:
• 一个道路工程，甲队单独施 工9天完成，乙队单独做24 天完成。现在甲乙两队共同 施工3天，因甲另有任务，剩 下工程有乙队完成，问乙队 还需几天才能完成？
第10页
问题2 :
• 问题2 ：整理一批图书，由一 个人做要40小时完成．现在计 划由一部分人先做4小时，再增 加两人和他们一起做8小时，完 成这项工作．假设这些人工作 效率相同，详细应安排多少人 工作？
第3页
相信你能行
步骤
去分 母
•
详细做法
在方程两边都乘以各分母最 小公倍数
依据
等式 性质2
注意事项
不要漏乘不含分母项
去括 普通先去小括号, 再去中括号, 分配律 去
号
最终去大括号
括号法则
移项
把含有未知数项移到方程一边, 其它项都移到方程另一边, 注
意移项要变号
移项法 则
不要漏乘括号中每一项
1）移动项一定要变号, 不移项不变号
2）注意移项较多时不要漏项
合并 同类 项
把方程变为ax=b （a≠0 ) 最简形式
合并同类项 法则
系数 将方程两边都除以未知数系数a, 等式性
工程问题教案模板范文初中
工程问题教案模板范文（初中）
一、教学目标：
1. 理解工程问题的基本概念，包括工作总量、工作效率、工作时间的关系。
2. 掌握工程问题的解题方法，能够正确解答一般的工程问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学内容：
1. 工程问题的基本概念和数量关系。
2. 工程问题的解题方法和步骤。
3. 实际案例分析，提高学生解决实际问题的能力。
三、教学重点与难点：
1. 教学重点：掌握工程问题的解题方法，能够正确解答一般的工程问题。
2. 教学难点：理解工作总量、工作效率、工作时间之间的数量关系。
四、教学准备：
1. 教学投影片或课件。
2. 相关工程问题的练习题。
五、教学过程：
1. 导入：通过简单的实例引入工程问题的概念，激发学生的兴趣。
2. 讲解：讲解工程问题的基本概念，包括工作总量、工作效率、工作时间，并阐述它们之间的数量关系。
3. 案例分析：分析具体的工程问题案例，引导学生掌握解题步骤和方法。
4. 练习：让学生独立解决一些典型的工程问题，巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。
6. 作业布置：布置一些相关的工程问题练习题，巩固所学知识。
六、教学反思：
通过本节课的教学，学生应该能够理解工程问题的基本概念，掌握解题方法，并能够解决实际的工程问题。
教师应及时检查学生的学习情况，针对学生的弱点进行有针对性的辅导，提高学生的解题能力。
同时，注重培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力，使他们在面对复杂的工程问题时能够有条不紊地解决。
小学数学教案工程问题
小学数学教案工程问题
【教学目标】：
1. 理解并掌握利用数学知识解决工程问题的方法。
2. 能灵活运用数学知识解决实际工程问题。
3. 培养学生的动手能力和分析解决问题的能力。
【教学内容】：
1. 工程问题的基本概念和解决方法。
2. 小学数学知识在工程问题中的应用。
3. 利用数学知识解决实际工程问题的例子。
【教学方法】：
1. 案例分析法：通过实际工程问题案例，引导学生分析和解决问题。
2. 启发式教学法：鼓励学生自己探索解决问题的方法，培养思维能力。
3. 合作学习法：组织学生小组合作解决工程问题，培养合作精神和团队意识。
【教学过程】：
1. 导入：介绍工程问题的基本概念和实际意义。
2. 分析：通过一些生活中常见的工程问题案例，让学生分析问题背景，并思考如何利用数学知识解决。
3. 练习：组织学生进行练习，解决一些简单的工程问题，巩固知识点。
4. 拓展：引导学生思考更复杂的工程问题，激发学生求知欲。
5. 总结：总结本节课的重点知识，强调数学知识在解决工程问题中的重要性。
【教学评价】：
1. 通过课堂练习和小组合作活动，评价学生解决问题的能力。
2. 对学生的表现进行点评和鼓励，激励学生进一步学习和提高能力。
【拓展延伸】：
1. 鼓励学生参加一些数学建模比赛或工程设计比赛，提高实际应用能力。
2. 鼓励学生运用数学知识解决生活中的实际问题，培养动手能力和实践经验。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
工程问题是很有实际意义的一类应用题。
相比小学的代数法，用列方程求解的更简便。
在学习的过程中同时渗透建模，类比，分类等思想方法。
１.掌握工程问题中有关量的基本关系式，并会寻求等量关系列方程求解. 提高利用一元一次方程解决实际问题的能力；２.经历将实际问题转化为数学问题的过程，进一步体会并认识到方程是刻画现实世界的一个很有效的数学模型，渗透数学建模思想.培养学生的抽象、概括、分析和解决问题的能力；３.通过学习，进一步认识到方程与现实世界的密切联系. 感受数学的应用价值，增强用数学的意识，从而激发学生学习数学的热情.体会在解决问题的过程中同学之间交流合作的重要性. 让学生在探究中感受学习的快乐。
重难点重点：找到工程问题中的相等关系，建立数学模型，正确列出一元一次方程进行求解。
建立模型解决实际问题的一般方法和步骤。
工程总量=工作效率×工作时间工作量=人均工效×人数×工作时间1.一项工作甲独做5天完成，乙独做10天完成，那么甲每天的工作效率是，乙每天的工作效率是，两人合作1天完成的工作量是，两人合作3天完成的工作量是 .明确工程问题各个量之间的关系。
工作总量=工作效率×工作时间2、整理一块地，由一个人做要80小时完成。
（1）一个人做1小时完成的工作量是；（2）一个人做4小时完成的工作量是（3）一个人做x小时完成的工作量是(4)工作效率相同的5个人做1小时完成的工作量是(5)工作效率相同的m个人做1小时完成的工作量是(6)工作效率相同的m个人做x小时完成的工作量是小结：1、在工程问题中，当不知道总工程的具体量时，通常把全部工作量简单的表示为1。
2、如果一件工作需要n小时完成，那么平均每小时完成的工作量就是，m 小时完成的工作量是。
3、工程问题中，人均工作效率相同时：工作量=人均工效×人数×工作时间例1：一件工作，甲单独做15小时完成，乙单独做10小时完成．那么两人合做多少小时完成？练习1：一件工作，甲单独做15小时完成，乙单独做10 小时完成．甲先单独做9小时，后因甲有其它任务调离，余下的任务由乙单独做。
那么乙还要多少小时完成这件工作？延伸：针对练习1做点变化，把“完成这件工作”改为“完成这件工作的32”让学生思考方程的哪里需要改变？3变式：一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天。
如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线的一半？ 例2例2整理一批图书，由一个人做要40h 完成。
现计划由一部分人先做4h ，然后增加2人和他们一起做8，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？练习2(列方程，不求解)1、整理一批数据，由一人做需要80小时完成，现在先安排一些人做了2小时，再增加了5人做了8小时，完成了这项工作的43，求最开始时安排了多少人整理数据？2、2014年3月12日植树节，学校组织植树活动，如果一个人植树需80小时完成，现计划由一部分人先植树5小时，再增加2人和他们一起做4小时完成这次植树任务，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人参加植树？拓展（能力提升）：1检查一处住宅区的自来水管，甲单独完成需14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需12天，前7天由甲乙两人合作，合作期间乙中途离开了一段时间，后两天由乙，丙合作完成。
那么，乙中途离开了几天？2、（2013年中考）某地为了打造风光带，将一段长为360 m 的河道整治任务交给甲，乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24 m,乙工程队每天整治16 m 。
甲，乙两个工程队分别整治了多长的河道？一、基本工程问题例1：甲、乙两队开挖一条水渠。
甲队单独挖要8天完成，乙队单独挖要12天完成。
现在两队同时挖了几天后，乙队调走，余下的甲队在3天内完成。
乙队挖了多少天？例2：加工一批零件，甲单独做20天可以完工，乙单独做30天可以完工。
现两队合作来完成这个任务，合作中甲休息了2 .5天，乙休息了若干天，这样共14天完工。
乙休息了几天？例3：一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满，乙、丙两管同时开，4小时灌满。
现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满。
乙单独开几小时可以灌满？ 例4：某工程，甲、乙合作1天可以完成全工程的245。
如果这项工程由甲队单独做2天，再由乙队单独做3天，能完成全工程的2413。
甲、乙两队单独完成这项工程各需要几天？ 例5：一项工程，甲先单独做2天，然后与乙合做7天，这样才能完成全工程的一半。
已知甲、乙工效的比是2:3。
如果这项工程由乙单独做，需要多少天才能完成？ 例题详解：例1解：可以理解为甲队先做3天后两队合挖的。
⎪⎭⎫⎝⎛+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-121813811=3（天） 例2解：分析：共14天完工，说明甲做（14－2.5）天，其余是乙做的，用14天减去乙做的天数就是乙休息的天数。
14－301205.2141÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--=141（天）例3解：分析：把乙先开做6小时看作与甲做2小时，与丙做2小时，还有2小时，现在可理解为甲乙同开2小时，乙丙同开2小时，剩下的是乙2小时放的。
1÷⎭⎬⎫⎩⎨⎧÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2241511=20（小时）例4解：分析：可以理解为两队合作2天，余下的是乙1天做的，乙的工效8122452413=⨯-， 甲：⎪⎭⎫⎝⎛-÷812451=12（天）例5解：分析：乙的工效是甲工效的3÷2=1.5倍，设甲的工效为x ，乙的工效为1.5x ，（2+7）x+1.5x ×7=21，解之得：x=391，乙工效1÷1.5x =26（天）基本练习（附参考答案）：1、修一条公路，甲队独修15天完工，乙队独修12天完工。
两队合修4天后，乙队调走，剩下的路由甲队继续修完。
甲队一共修了多少天？2、一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。
甲、乙合做几天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了16天。
乙请假多少天？3、一条公路由甲、乙两个筑路队合修要12天完成。
现在由甲队修3天后，再由乙队修1天，共修了这条公路的203。
如果这条公路由甲队单独修，要多少天才能修完？ 4、两列火车同时从甲、乙两地同时相对开出。
快车行完全程需要20小时，慢车行完全程需要30小时。
开出后15小时两车相遇。
已知快车中途停留4小时，慢车停留了几小时？5、师徒两人共同加工一批零件，2天加工了总数的31。
这批零件如果全部由师傅单独加工，需10天完成。
如果全部由徒弟加工，需要多少天才能完成？6、一项工程，甲、乙两队合作30天完成。
如果甲队单独做24天后，乙队再加入合作，两队合作12天后，甲队因事离去，由乙队继续做了15天才完成。
这项工程如果由甲队单独完成，需要多少天？7、一项工程，甲、乙两队合做每天能完成全工程的409。
甲队独做3天，乙队独做5天后，可完成全工程的87。
如果全工程由乙队单独做，多少天可以完成？8、甲、乙两队合作，20天完成一项工程。
如果两队合作8天后，乙队再独做4天，还剩下这项工程的158。
甲、乙两队独做各需几天完成？ 9、一项工程，甲、队独做10天可以完成，乙队独做30天可以完成。
现在两队合作期间甲队休息了2天，乙队休息了8天（两队不在同一天休息）。
从开始到完工共用了多少天？10、一项工程，如甲队独做，可6天完成。
甲3天的工作量，乙要4天完成。
两队合做了2天后，由乙队单独做，乙队还需做多少天才能完成？ 参考答案1、1511241÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10（天）2、16－301162011÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=10（天）3、1÷()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-÷⎪⎭⎫⎝⎛-13121203=120（天）4、15－()3014152011÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯-=221（小时）5、1÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷101231=15（天）6、分析：甲先做24天，乙最后做15天，可以理解为又合做15天加先合做12天，共合做27天。
()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-÷⎪⎭⎫⎝⎛⨯-÷152********=90（天）7、可理解为两队合做了3天。
()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-÷⎪⎭⎫⎝⎛⨯-÷353409871=10（天）8、乙的工效415882011÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=601乙需的天数：1÷601=60（天） 甲乙需的天数：1÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-601201=30（天）9、分析：可理解为甲多做6天。
⎪⎭⎫ ⎝⎛+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-30110161011+8=11（天）10、甲的工效61，乙的工效81463=÷，81281611÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=331（天）二、工程问题的拓展题例1：某工程先由甲单独做63天，再由乙队独做28天即可以完成。
如果甲、乙两人合作，需48天完成，现在甲先独做42天，然后再由乙单独完成，那么还需要多少天？例2：一项工程，甲队单独做需30天完成，乙队单独做需40天完成。
甲队先做若干天后，由乙队接着做，共用36天完成任务。
甲、乙两队各做了多少天？例3：搬运一个仓库的货物，甲需10小时，乙需12小时，丙需15小时。
有同样的仓库A 和B ，甲在A 仓库，乙在B 仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物。
丙帮助甲、乙各搬运了几小时？例4：一项工程，乙队先独做4天，继而甲、丙两队合做6天，剩下的工程甲队又独做9天才全部完成。
已知乙队完成的是甲队的31，丙队完成的是乙队的2倍。
如果甲、乙、丙单独做，各需多少天？例5：客车由甲站开往乙站需要8小时，货车从乙站开往甲站需要12小时。
两车同时从两站相向开出，相遇时客车离乙站还有156千米。
两站相距多少千米？例题详解：例1分析：可以理解为两队合做28天，甲的工效：()8412863284811=-÷⎪⎭⎫⎝⎛⨯-乙的工效：481－1121841=，还要1121428411÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=56（天）例2分析：设乙做x 天，甲做（36－x ）天，()x x -⨯+36301401=1，解之得x=24，甲做36－x=36－24=12（天）例3分析：可以看作甲、乙、丙合作搬运A 、B 两仓，2÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++151121101=8（小时），甲在A 仓库运8小时，余下的是丙搬运的，乙在B 仓库搬运8小时，余下的是丙搬运的。
丙运A 仓库15181011÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=3（小时），丙运B 仓库15181211÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=5（小时）例4分析：把乙做4天的工作量看作1份，甲做（6+9）天的工作量看作3份，丙做6天的工作量看作2份，把这项工程看作6份。