关于实数基本理论PPT课件
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人教版数学七年级下册 6.3 .1实数 课件(共21张PPT)
9,
•
0.6,
64, 0, 3
0.13
（5）正实数数集合：
9 , 3 5,
64,
,
0.
•
6,
3,
0.13
（6）负实数集合： 3 ,
4
(7) 实数集合： 9 , 3 5, 64,
,
•
0.6,
3, 4
0,
3, 0.13
解:
课堂小结
1. 无理数及实数的概念 无限不循环小数叫做无理数；有理数与无理数统称实数. 2. 实数的分类
5 , 3 , 27 ,11, 9 2 5 4 9 11
它们都可以化 成有限小数或 无限循环小数 的形式
思考1:(1)整数能写成小数的形式吗？3可以看成是3.0吗？
可以 (2)由此你可以得到什么结论？
任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数; 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 思考2:除了有限小数和无限循环小数，还有什么其他类 型的小数吗？
无限不循环小数 叫做无理数
它们都是无限 不循环小数， 是无理数
π
练一练
把下列各数分别填入相应的集合内：
17 , 4
π
3,
4,
0.101，
, 3
2, 5
64, 2.121, 0.3737737773（相邻两个3之间7的个数逐渐加1）
．．．
有理数集合
．．．
无理数集合
有理数和无理数统称实数，实数的分类如下：
（1）按定义分
整数
有理数：
有限小数或无限循环小数
实
分数
数
无理数： 无限不循环小数
含开方开不尽的数
π 含有 的数
第3章第1节关于实数基本理论ppt课件
定理4: 单调有界数列必有极限.
(就单调增加的有界数列予以证明)
证明:
设yn有界，则必有 supyn.
又 yn 单增, 证明 就是 yn 的极限.
(1).yn (n 1, 2, );
由上确界定义有:
（2） 0，至少有yN ，但yn单增，
故当n N，有yn yN，
从而yn .即当n N时,有0 yn ,
13
§3.1关于实数基本定理
数集分为有限数集和无限数集.通常也说数列是一个数集 .
任何有限数集都有一个最大和最小数, 但对于无限数集来说就未必了.
例如：
1x : x 1是一个无限数集它没有最小数；
(2)数列
n
n
1
也是一个无限数集它没有最大数,
但有最小数
1 2
;
(3)数列
n
n1也是一个无限数集它没有最小数,
如.对于正整数数列n显然不存在上确界. 对于负整数数列n 显然也不存在下确界 .
10/30/2024
19
§3.1关于实数基本定理
2.一个无限数集E即使它有上确界 (或下确界 ) , 这个 (或 )可属于 E也可以不属于 E.
如.数列
1 n
,由定义
0，
1.但
E而
E.
3. 若 (或） E，则称上确界（或下确界）可达到；
在第二章曾经讨论了函数极限和数列极限的关系(海涅定理):
lim （f x）
x x0
A
xn : xn
有（f xn）
x（0 n ），xn A（n ）.
x0，
现在进一步有以下推论:
推论: 若xn : xn x（0 n ），xn x0，都有 （f xn）收敛，
实数ppt课件
原点
数轴上的零点，表示0。
正半轴
数轴上右边的点表示正实数。
负半轴
数轴上左边的点表示负实数。
实数在数轴上的表示
实数
在数轴上有唯一确定的点与之对 应。
相反数
在数轴上与原点对称的点表示相反 数。
绝对值
在数轴上到原点的距离表示绝对值 。
数轴上的点与实数的关系
点与实数一一对应
数轴上的每一个点都表示一个唯一的实数。
实数的四则运算
01
总结词：实数的四则运算是加 法、减法、乘法和除法的统称
。
02
详细描述
03
04
1. 加法和减法：实数的加法 和减法满足交换律、结合律和
相反律。
2. 乘法和除法：实数的乘法 和除法满足交换律、结合律和
分配律。
03
实数与数轴
数轴的定义
01
02
03
04
数轴
一条水平的直线，用来表示实 数的连续范围。
实数还可以根据其正 负性分为正实数、负 实数和零。
无理数：无限不循环 小数，如π、根号2 等。
02
实数的运算
加法与减法
详细描述
2. 结合律：加法或减法的结合律 是指括号如何结合不会影响结果 。例如，a+(b+c)=(a+b)+c和a(b+c)=a-(b+c)。
总结词：实数的加法与减法是基 础运算，它们具有交换律、结合 律和相反律。
2. 结合律：乘法或除法的结合律是指括 号如何结合不会影响结果。例如， a(bc)=(ab)c。
详细描述
1. 交换律：乘法或除法的交换律是指改 变运算顺序不会影响结果。例如， ab=ba和a/b=b/a。
实数ppt课件
。
方程可以看作是实数之间的一种 约束关系，实数则是满足这种约
束条件的数值解。
通过解方程，我们可以找到实数 之间的特定关系和条件。
实数与不等式的关系
不等式是表达数学大小关系的一种形 式，而实数是这些不等式中的变量。
通过解不等式，我们可以找到实数之 间的特定范围和界限。
不等式可以看作是实数之间的一种限 制关系，实数则是满足这种限制条件 的数值。
02
实数的运算规则
实数的加法运算
定义
实数的加法运算是指将两个或多个实数合并成一 个实数的运算。
规则
实数的加法运算满足交换律和结合律，即 a+b=b+a和(a+b)+c=a+(b+c)。
例子
2+3=5，(-1)+(-2)=-3。
实数的减法运算
定义
实数的减法运算是指将一个实数减去另一个实数的运算。
规则
实数的减法运算可以通过加法运算进行转化，即a-b=a+(-b)。
例子
5-3=2，(-1)-(-2)=1。
实数的乘法运算
定义
实数的乘法运算是指将两个或多个实数相乘得到一个实数的运算 。
规则
实数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律，即ab=ba和 (a+b)c=ac+bc。
例子
2×3=6，(-1)×(-2)=2。
03
1欧元=100欧分
时间单位的换算
小时与分钟换算：1 小时=60分钟
天与小时换算：1天 =24小时
小时与秒换算：1小 时=3600秒
其他应用举例
01
02
03
温度换算
摄氏度与华氏度换算，例 如：2摄氏度=3.6华氏度
方程可以看作是实数之间的一种 约束关系，实数则是满足这种约
束条件的数值解。
通过解方程，我们可以找到实数 之间的特定关系和条件。
实数与不等式的关系
不等式是表达数学大小关系的一种形 式，而实数是这些不等式中的变量。
通过解不等式，我们可以找到实数之 间的特定范围和界限。
不等式可以看作是实数之间的一种限 制关系，实数则是满足这种限制条件 的数值。
02
实数的运算规则
实数的加法运算
定义
实数的加法运算是指将两个或多个实数合并成一 个实数的运算。
规则
实数的加法运算满足交换律和结合律，即 a+b=b+a和(a+b)+c=a+(b+c)。
例子
2+3=5，(-1)+(-2)=-3。
实数的减法运算
定义
实数的减法运算是指将一个实数减去另一个实数的运算。
规则
实数的减法运算可以通过加法运算进行转化，即a-b=a+(-b)。
例子
5-3=2，(-1)-(-2)=1。
实数的乘法运算
定义
实数的乘法运算是指将两个或多个实数相乘得到一个实数的运算 。
规则
实数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律，即ab=ba和 (a+b)c=ac+bc。
例子
2×3=6，(-1)×(-2)=2。
03
1欧元=100欧分
时间单位的换算
小时与分钟换算：1 小时=60分钟
天与小时换算：1天 =24小时
小时与秒换算：1小 时=3600秒
其他应用举例
01
02
03
温度换算
摄氏度与华氏度换算，例 如：2摄氏度=3.6华氏度
《实数的概念》课件
实数的除法运算可以通过乘法转换为乘法运算，即a/b=(a*1/数运算的基本性质
详细描述
实数的指数运算满足a^m*a^n=a^(m+n)和(a^m)^n=a^(mn)等基本性质。
03
实数与数轴
数轴的定义
实数轴
一条无限延伸的直线，每个点对应一个实数，实数轴上 的点是连续且稠密的。
在科学研究、工业生产和日常生活中，物理量的测量和计算都发挥着至关重要的作用。实数使 得这些测量和计算具有可靠性和准确性。
金融和统计数据的表示
金融和统计数据涉及到大量的数值计 算和表示，实数在其中扮演着重要的 角色。例如，股票价格、经济增长率 、人口数量等都是以实数表示的。
实数的精确性和可靠性使得金融和统 计数据的表示和分析更加准确，有助 于做出正确的决策和预测。
减法运算
总结词
减法运算的基本性质
详细描述
实数的减法运算可以通过加法转换为加法运算， 即a-b=a+(-b)。
乘法运算
总结词
乘法运算的基本性质
详细描述
实数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律，即ab=ba，(ab)c=a(bc)，a(b+c)=ab+ac。
除法运算
总结词
除法运算的基本性质
详细描述
定义方式
通常采用代数定义，即通过有理数和无理数来定义实数 。
数轴上的点与实数的关系
对应关系
每个实数都可以在数轴上找到一 个唯一的点与之对应，反之亦然 。
顺序关系
实数在数轴上按照大小关系排列 ，从小到大或从大到小。
数轴上的连续性和稠密性
连续性
实数轴上的点是连续不断的，没有间 断或空隙。
稠密性
在任意两个不同的实数之间，总可以 找到一个新的实数。
详细描述
实数的指数运算满足a^m*a^n=a^(m+n)和(a^m)^n=a^(mn)等基本性质。
03
实数与数轴
数轴的定义
实数轴
一条无限延伸的直线，每个点对应一个实数，实数轴上 的点是连续且稠密的。
在科学研究、工业生产和日常生活中，物理量的测量和计算都发挥着至关重要的作用。实数使 得这些测量和计算具有可靠性和准确性。
金融和统计数据的表示
金融和统计数据涉及到大量的数值计 算和表示，实数在其中扮演着重要的 角色。例如，股票价格、经济增长率 、人口数量等都是以实数表示的。
实数的精确性和可靠性使得金融和统 计数据的表示和分析更加准确，有助 于做出正确的决策和预测。
减法运算
总结词
减法运算的基本性质
详细描述
实数的减法运算可以通过加法转换为加法运算， 即a-b=a+(-b)。
乘法运算
总结词
乘法运算的基本性质
详细描述
实数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律，即ab=ba，(ab)c=a(bc)，a(b+c)=ab+ac。
除法运算
总结词
除法运算的基本性质
详细描述
定义方式
通常采用代数定义，即通过有理数和无理数来定义实数 。
数轴上的点与实数的关系
对应关系
每个实数都可以在数轴上找到一 个唯一的点与之对应，反之亦然 。
顺序关系
实数在数轴上按照大小关系排列 ，从小到大或从大到小。
数轴上的连续性和稠密性
连续性
实数轴上的点是连续不断的，没有间 断或空隙。
稠密性
在任意两个不同的实数之间，总可以 找到一个新的实数。
《实数》ppt课件
指数运算法则可以用于简化复杂的数 学表达式。
03
CATALOGUE
实数的分类
有理数和无理数
有理数
可以表示为两个整数之比的数， 包括整数、有限小数和无限循环 小数。
无理数
无法表示为两个整数之比的数， 常见于无限不循环小数，如π和 √2。
正数、负数和零
01
02
03
正数
大于零的实数，包括正整 数、正小数和正无理数。
其结果仍为实数。
详细描述
实数的加法运算与整数、有理 数类似，遵循交换律和结合律 ，即a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)。
总结词
正数与负数相加，结果的符号 取决于绝对值较大的数。
详细描述
如果a>0，b<0，则a+b=a-(b)；如果a<0，b>0，则 a+b=b-(-a)。
减法运算
总结词
《实数》PPT课件
目 录
• 实数的基本概念 • 实数的运算 • 实数的分类 • 实数在生活实数的基本概念
实数的定义
实数的定义
实数是包括有理数和无理数在内的所有数的集合，即实数集。实数集可以用实数轴来表 示，实数轴上的每一个点都对应一个实数，每一个实数都可以在实数轴上找到一个点来
乘法运算
总结词
乘法运算在实数范围内具有封闭性， 即任何两个实数相乘，其结果仍为实 数。
详细描述
实数的乘法运算遵循交换律和结合律 ，即ab=ba，(ab)c=a(bc)。
总结词
正数与负数相乘得负数，负数与负数 相乘得正数。
详细描述
正数乘以正数得正数，如2*3=6；正 数乘以负数得负数，如2*(-3)=-6； 负数乘以负数得正数，如(-2)*(3)=6。
人教版七年级下册 第六章 实数 6.3 实数 课件(共16张PPT)
3 1.7320
3 5 1.710
5 2.2360 3 7 1.913
3.14159265
无限不循环小数
无限不循环小数叫无理数
我们把这类无限不循环的小数叫做无理数。
☆无理数的特征:
１．圆周率及一些含有 的数 2 1
２．开方开不尽数 2、3 5
注意:带根号 的数不一定 是无理数
3
2
0.5050050005 (每两个5之间依次增加一个 0）
正有理数： 9 , ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
正无理数：＿0＿.5＿0＿5＿0＿0＿5＿0＿0＿0＿5＿＿＿,＿3＿3＿＿, ；
3
1
负有理数： 8 , ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿3＿＿＿＿＿＿；
,
正无理数： 5 2 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
2 ___2___ ______ 0 _0___
a是一个实数，它的相反数为 -a
一个正实数的绝对值是它本身； 一个负实数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0
１、正实数的绝对值是 它本身 ，０的绝对值是 0 ， 负实数的绝对值是它的相反数 .
２、 3 的相反数是 3 ，绝对值是
3、一个数的绝对值是 p ，则这个数是 2
４、比较大小：－７ 大于 50
3．
p 2
.
5、绝对值等于 5 的数是 5 。
(1)( 3 2) 2; (2)3 3 2 3
解：(1)( 3 2) 2 3 2 2 3
(2)3 3 2 3 （3 2） 3 5 3
解：由题知，a010 a
2 实数： ＿＿5＿, ＿9＿,＿3＿＿8,＿＿13＿,＿0.＿•＿,＿0＿,＿2＿＿,0＿.5＿0＿5＿0＿050005 , 3 3
实数的有关概念PPT课件
８．一个近似数的有效数字，是指从这个数的左边第一个非零数字起，到 右边最后一位数字止的所有数字．
９．科学记数法是把一个大于10或小于l的正数记成 a 10n 的形式，其
中１≤a＜10 ( n是正整数)，这种记数的方法叫科学记数法．
10．实数的分类
整数
有理数
实数
分数
(有限小数或无限循环小数 )
无理数 (无限不循环小数)
各实数的绝对值之间的大小关系，进而判定带绝对值符号的代数式的值是
正、是负还是零，然后再根据绝对值的意义，去掉绝对值符号．
例3 2005年l0月12日，我国“神舟六号”载人航天一举成功升天，历时5 天共飞行3250000km，这个飞行距离用科学计数法表示正确的是( )．
(A)3.25104 km;(B)3.25105 km;(C)3.25106 km;(D)3.25107 km.
(3)下列说法中j正确的是( )． (A)一个数的相反数—定是负数 (B)—个数的绝对值一定是正数 (Ｃ)一个数的绝对值一定不是负数 (D)一个数的绝对值的相反数一定是负数
(4)下列命题中错误的是( )． (Ａ）每一个整数都对应着数轴上的一个点 (Ｂ）每一个无理数都对应着数轴上的一个点 (Ｃ)数轴上每个点都对应着一个实数 (Ｄ）有理数和数轴上的点一．一对应 (5)一个实数的偶数幂是正数，这个实数是( )． (A)正实数 (Ｂ)任何实数 (Ｃ)负实数 (D)正实数或负实数
是
，属于负实数集合的是
，属于整实数集
合的是
，属于分数集合的是
，属于有理数集
合的是
，属于无理数集合的是
·
(2)若m、n互为相反数．则 m+n＝ ；若m、n互为倒数，则 mn= 。
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证明: 因 为 l i m x n a ， 所 以 0 ， N 当 n N 有 x n a .
取 K N ， 则 对 k K ， 有 n k n K n N N ， 即
xnk a .
证毕
此定理用来判别数列 x n 不收敛很方便.若 在数列 x n 中有一个子列不收敛,或有两个子 列不收敛于同一极限,就可以判断 x n 不收敛.
这 种 数 列 称 为 x n 的 一 个 子 列 .
如 ： 数 列 1 n 2 1 n 和 2 n 1 1 是 两 子 列 .
可见一个数列可以有无穷多个子列. 为了方便,用另一种下标来表示它.
29.12.2020
6
§3.1关于实数基本定理
在选出的子列中,
问题：
对于给定的一个收敛数列 x n ,它的任何子列
是否也收敛呢?
xnk
又子列的极限与原数列的极限有什么关系呢?
下面的定理回答了这个问题.
29.12.2020
8
§3.1关于实数基本定理
定理1: 若 n l i m x n a , 则 x n 的 任 何 子 列 x n k都 收 敛 于 a .
如：数列0,1,0,1…一定发散,因为它有两 个子列分别收敛于0和1.故数列不收敛.
29.12.2020
9
§3.1关于实数基本定理
例1: 设 x n sinn 8， 在 x n 中 取 出 两 个 子 列 ：
si8 n ， si1n6， ,si8 n k， .
88
8
si4 n， si2 n 0 ， ， si（ 4 n 4 k 1 ） ， .
29.12.2020
7
§3.1关于实数基本定理
因 为 在 子 列 x n k中 的 下 标 是 k 而 不 是 n k ， 若 x n k收 敛 于 a ，
即 对 0 及 定 数 a ， K N ， 当 k K 时 ，
一 切 x n k 全 部 落 在 a 点 的 邻 域 内 ， 这 时 记 为 k li m xnk a.
k 表 示 x n k 在 子 列 中 是 第 k 项 ， n k 表 示 x n k 在 原 数 列 中 是 第 n k 项 .
显 然 ， 对 每 一 个 k ， 有 n k k . 又 h , k N , 若 h k ,
则 n h n k ； 反 之 ， 若 n h n k ， 则 h k .
记 第 一 项 为 x n 1 ， 第 k 项 为 x n k ， 于 是 可 将 x n 的 子 列 表 示 为 xnk : xn 1 ， xn2， xnk，
如 ：数 列 xnn： 1,2,3， n
子 列 x n k ： 3 , 7 , 1 1 ，
子 列 中 第 k 3 项 1 1 ， 在 原 来 数 列 中 是 第 n 3 1 1 项 ，
Hale Waihona Puke 这与已知条件矛盾.这就证明 A1 A2 .即推论得证.
29.12.2020
12
§3.1关于实数基本定理
二.上确界和下确界
第二章对于极限的概念、性质及其运算的讨论，仍 然不能满足今后继续深入研究讨论的需要.这里将要介绍 关于实数的几个基本定理,这几个基本定理是进一步深入 研究函数的严格的理论基础,为此需要引进两个新概念:上 确界和下确界.
88
8
第一个子列收敛于0, 第二个子列收敛于1,
因此xn sinn8发散。
29.12.2020
10
§3.1关于实数基本定理
在第二章曾经讨论了函数极限和数列极限的关系(海涅定理):
l i m （ fx ） A x n : x n x （ 0 n ） ， x n x 0 ，
x x0
2
§3.1关于实数基本定理
学习重在“习”， 知识重在“识”， 文化重在“化”, 教育重在“育”。
29.12.2020
3
§3.1关于实数基本定理
第二部分
极限续论
第三章
关于实数的基本定理 及闭区间上连续函数性质证明
1.关于实数完备性的基本定理
2.闭区间上连续函数性质的证明
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4
§3.1关于实数基本定理
一.子 列 二.上确界和下确界 三. 几个实数基本定理
29.12.2020
5
一.子 列
§3.1关于实数基本定理
D ef： xn ： x1,x2， x3， xn ， 按 原 来 次 序
自 左 向 右 任 意 选 取 无 穷 多 个 项 ，
如 x2， x5， x9 x78 ， 构 成 一 个 新 的 数 列 ，
都收敛于同一个极限即可.(反证法)
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§3.1关于实数基本定理
假设存在两个数列:
x(1) n
,
x(2) n
x ( 1 ) n x 0 ( n ) ,x ( 1 ) n x 0 ,有 （ fx （ 1 ） n ） A （ 1 n ） ；
x ( 2 ) n x 0 ( n ) ,x ( 2 ) n x 0 , 有 （ fx （ 2 ） n ） A （ 2 n ） ；
且 A 1 A 2 , 现 将 上 两 个 数 列 合 并 为 一 个 新 数 列 ：
x n : x ( 1 ) 1 ,x ( 2 ) 1 ,x ( 1 ) 2 ,x ( 2 ) 2 , x ( 1 ) n ,x ( 2 ) n ,
由 假 设 可 见 ， x n x （ 0 n ） ， x n x 0 ， （ f x n ） 不 收 敛 ，
有 （ f xn） A （ n ） .
现在进一步有以下推论:
推论: 若 x n : x n x （ 0 n ） ， x n x 0 ， 都 有 （ fx n ） 收 敛 ，
则 （ f x） 在 x0极 限 存 在 .
证明: 只要证明对任何满足上述条件的数列 xn， （ f xn）
§3.1关于实数基本定理
29.12.2020
1
§3.1关于实数基本定理
29.12.2020
当代著名数学家，柯朗曾指出： “微积分，或者数学分析，是人类 思维的伟大成就之一。它处于自然 科学与人文科学之间的 地位，使 它成为高等教育的一种特别有效的 工具。遗憾的是，微积分的教学方 法有时流于机械，不能体现出这门 学科乃是一种撼人心灵的智力奋斗 的结晶。”
取 K N ， 则 对 k K ， 有 n k n K n N N ， 即
xnk a .
证毕
此定理用来判别数列 x n 不收敛很方便.若 在数列 x n 中有一个子列不收敛,或有两个子 列不收敛于同一极限,就可以判断 x n 不收敛.
这 种 数 列 称 为 x n 的 一 个 子 列 .
如 ： 数 列 1 n 2 1 n 和 2 n 1 1 是 两 子 列 .
可见一个数列可以有无穷多个子列. 为了方便,用另一种下标来表示它.
29.12.2020
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§3.1关于实数基本定理
在选出的子列中,
问题：
对于给定的一个收敛数列 x n ,它的任何子列
是否也收敛呢?
xnk
又子列的极限与原数列的极限有什么关系呢?
下面的定理回答了这个问题.
29.12.2020
8
§3.1关于实数基本定理
定理1: 若 n l i m x n a , 则 x n 的 任 何 子 列 x n k都 收 敛 于 a .
如：数列0,1,0,1…一定发散,因为它有两 个子列分别收敛于0和1.故数列不收敛.
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§3.1关于实数基本定理
例1: 设 x n sinn 8， 在 x n 中 取 出 两 个 子 列 ：
si8 n ， si1n6， ,si8 n k， .
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si4 n， si2 n 0 ， ， si（ 4 n 4 k 1 ） ， .
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§3.1关于实数基本定理
因 为 在 子 列 x n k中 的 下 标 是 k 而 不 是 n k ， 若 x n k收 敛 于 a ，
即 对 0 及 定 数 a ， K N ， 当 k K 时 ，
一 切 x n k 全 部 落 在 a 点 的 邻 域 内 ， 这 时 记 为 k li m xnk a.
k 表 示 x n k 在 子 列 中 是 第 k 项 ， n k 表 示 x n k 在 原 数 列 中 是 第 n k 项 .
显 然 ， 对 每 一 个 k ， 有 n k k . 又 h , k N , 若 h k ,
则 n h n k ； 反 之 ， 若 n h n k ， 则 h k .
记 第 一 项 为 x n 1 ， 第 k 项 为 x n k ， 于 是 可 将 x n 的 子 列 表 示 为 xnk : xn 1 ， xn2， xnk，
如 ：数 列 xnn： 1,2,3， n
子 列 x n k ： 3 , 7 , 1 1 ，
子 列 中 第 k 3 项 1 1 ， 在 原 来 数 列 中 是 第 n 3 1 1 项 ，
Hale Waihona Puke 这与已知条件矛盾.这就证明 A1 A2 .即推论得证.
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§3.1关于实数基本定理
二.上确界和下确界
第二章对于极限的概念、性质及其运算的讨论，仍 然不能满足今后继续深入研究讨论的需要.这里将要介绍 关于实数的几个基本定理,这几个基本定理是进一步深入 研究函数的严格的理论基础,为此需要引进两个新概念:上 确界和下确界.
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第一个子列收敛于0, 第二个子列收敛于1,
因此xn sinn8发散。
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§3.1关于实数基本定理
在第二章曾经讨论了函数极限和数列极限的关系(海涅定理):
l i m （ fx ） A x n : x n x （ 0 n ） ， x n x 0 ，
x x0
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§3.1关于实数基本定理
学习重在“习”， 知识重在“识”， 文化重在“化”, 教育重在“育”。
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§3.1关于实数基本定理
第二部分
极限续论
第三章
关于实数的基本定理 及闭区间上连续函数性质证明
1.关于实数完备性的基本定理
2.闭区间上连续函数性质的证明
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§3.1关于实数基本定理
一.子 列 二.上确界和下确界 三. 几个实数基本定理
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一.子 列
§3.1关于实数基本定理
D ef： xn ： x1,x2， x3， xn ， 按 原 来 次 序
自 左 向 右 任 意 选 取 无 穷 多 个 项 ，
如 x2， x5， x9 x78 ， 构 成 一 个 新 的 数 列 ，
都收敛于同一个极限即可.(反证法)
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§3.1关于实数基本定理
假设存在两个数列:
x(1) n
,
x(2) n
x ( 1 ) n x 0 ( n ) ,x ( 1 ) n x 0 ,有 （ fx （ 1 ） n ） A （ 1 n ） ；
x ( 2 ) n x 0 ( n ) ,x ( 2 ) n x 0 , 有 （ fx （ 2 ） n ） A （ 2 n ） ；
且 A 1 A 2 , 现 将 上 两 个 数 列 合 并 为 一 个 新 数 列 ：
x n : x ( 1 ) 1 ,x ( 2 ) 1 ,x ( 1 ) 2 ,x ( 2 ) 2 , x ( 1 ) n ,x ( 2 ) n ,
由 假 设 可 见 ， x n x （ 0 n ） ， x n x 0 ， （ f x n ） 不 收 敛 ，
有 （ f xn） A （ n ） .
现在进一步有以下推论:
推论: 若 x n : x n x （ 0 n ） ， x n x 0 ， 都 有 （ fx n ） 收 敛 ，
则 （ f x） 在 x0极 限 存 在 .
证明: 只要证明对任何满足上述条件的数列 xn， （ f xn）
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当代著名数学家，柯朗曾指出： “微积分，或者数学分析，是人类 思维的伟大成就之一。它处于自然 科学与人文科学之间的 地位，使 它成为高等教育的一种特别有效的 工具。遗憾的是，微积分的教学方 法有时流于机械，不能体现出这门 学科乃是一种撼人心灵的智力奋斗 的结晶。”