江西省南昌市八一中学、洪都中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)
【分析】
利用正弦函数的值域，二次函数的性质，求得函数 f（x）的值域，属于基础题． 【详解】∵sinx∈[-1，1]，∴函数 y=1-sin2x-2sinx=-（sinx+1）2+2，故当 sinx=1 时，函数 f（x）取得最小值为
-4+2=-2，当 sinx=-1 时，函数 f（x）取得最大值为 2，故函数的值域为[-2，2]，故答案为：[-2，2]．
（1）试判断函数的奇偶性；
（2）求函数的值域. 【答案】（1）奇函数；（2） . 【解析】 【分析】 化简函数 f（x）=log3（2-sinx）-log3（2+sinx）（1）利用函数的奇偶性的定义直接求解即可；（2）把分子 分离常数，根据-1≤sinx≤1，求出函数的值域．
【详解】（1） 的定义域为 ，则对
A. B. 点 是函数 的一个对称中心 C. 在 上是增函数 D. 存在直线经过点 且与函数 的图象有无数多个交点 【答案】D 【解析】 【分析】
根据 f（x）≥f（ ）对一切 x∈R 恒成立，那么 x= 取得最小值．结合周期判断各选项即可．
【详解】函数 f（x）=asinx+bcosx=
周期 T=2π．
10.若 ＜α＜π，化简
的结果是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】 利用三角函数的平方关系式，根据角的范围化简求解即可．
【详解】
=
因为 ＜α＜π 所以 cos <0,结果
为
,故选 A.
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，三角函数式的化简求值，考查计算能力．
11. 的外接圆的圆心为 O，半径为 1，若
2018~2019 学年度第一学期高一数学期末联考试卷
一.选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1.已知集合 A={x| ＜2}，B={x|log2x＞0}，则（ ）
A.
B. A∩B=
C.
或
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先分别求出集合 A 和 B，再利用交集定义和并集定义能求出结果．
【详解】由 2-x＜2 得 x＞-1，所以 A={x|x＞-1}；由 log2x＞0 得 x＞1，所以 B={x|x＞1}．所以 A∩B={x|x＞1}．故选 A．
，且
，则 的面积为（ ）
A.
B.
C.
D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
由
，利用向量加法的几何意义得出△ABC 是以 A 为直角的直角三角形，又
|，从
而可求|AC|，|AB|的值，利用三角形面积公式即可得解．
【详解】由于
，由向量加法的几何意义，O 为边 BC 中点，∵△ABC 的外接圆的圆心为 O，
∵方程 f（x）=kx 恰有 3 个不同的根，∴y=f（x）与 y=kx 有三个交点，若 k＞0，则
若
k＜0，由对称性可知
.
故答案为[- ，- ）∪（ ， ]. 【点睛】本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数周期与奇偶性的应用，方程根的问题常转化为函数 图象的交点问题，属于中档题．
三.解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）
， 中的任意 都有
, 所以 为 上的奇函数；
（2）令
，
，
，
，
，
，
即值域为
.
【点睛】本题考查对数的运算性质，函数奇偶性的判断，对数函数的值域与最值，考查计算能力，属于中
档题.
22.已知函数 f（x）=2sin2（x+ ）-2 cos（x- ）-5a+2． （1）设 t=sinx+cosx，将函数 f（x）表示为关于 t 的函数 g（t），求 g（t）的解析式；
14.已知平面向量 ， 的夹角为 ， 【答案】 【解析】 【分析】
，则
=
代入各量进行求解即可.
=______．
【详解】 =
,故答案为 .
【点睛】本题考查了向量模的求解，可以通过先平方再开方即可，属于基础题. 15.函数 y=1-sin2x-2sinx 的值域是______ ．
【答案】[-2，2]
【解析】
【答案】(1) 【解析】
;(2)
.
试题分析：（Ⅰ）由图象可知 A="2," = － = , ∴T=2,ω= =π 将点( , 2)代入 y=2sin(πx＋j), 得 sin( ＋j)="1," 又|j| < 所以 j = . 故所求解析式为 f(x)=2sin(πx＋ ) (x∈R) （Ⅱ）∵f( ) = , ∴2sin( ＋ ) = , 即, sin( ＋ ) = ∴cos( －a)=cos[π－2( ＋ )] =－cos2( ＋ )=2sin2( ＋ )－1 = 考点：由 y= A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 点评：本题考查由 y="A" sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，突出考查特值法与排除法的综合应用， 考查分析与计算的能力，属于中档题． 21.已知函数
（2）对任意 x∈[0， ]，不等式 f（x）≥6-2a 恒成立，求 a 的取值范围．
【答案】（1）
，
；（2） ．
【解析】
试题分析 ：（1）首先由两角和的正弦公式可得 接下来对已知的函数利用 进行表示；
，进而即可求出 的取值范围；
对于（2），首先由 的取值范围，求出 的取值范围，再对已知进行恒等变形可得
代入到
展开后的式子中，即可求出所求答案。
（2）本题考察的三角函数的化简求值，本题中需要利用齐次式来解，先通过二倍角公式进行展开，然后
分式上下同除以 ，得到关于 的式子，代入
，即可得到答案。
试题解析：（Ⅰ） （Ⅱ）原式
． 考点：（1）两角和的正切公式（2）齐次式的应用
19.已知向量 =（cosx，-1）， =（ sinx，cos2x），设函数 f（x）= （Ⅰ）求函数 f（x）的最小正周期和单调递增区间；
【点睛】本题考查交集、并集的求法及应用，考查指数对数不等式的解法，是基础题．
2.下列命题中正确的是（ ）
A. 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B. 模相等的两个平行向量是相等向量
C. 若 和 都是单位向量，则 =
D. 两个相等向量的模相等
【答案】D
【解析】
考查所给的四个选项：
向量是可以平移的，则若两个向量相等,则它们的起点和终点不一定分别重合，A 说法错误；
+．
（Ⅱ）当 x∈（0， ）时，求函数 f（x）的值域．
【答案】（1） ； 【解析】
，（2） ．
试题分析：（1）根据向量数量积的坐标运算及辅助角公式，可得
，然后由周期公式去求周
期，再结合正弦函数的单调性去求函数 的单调递增区间．（2）由（1）知
，由
求
出
，再结合正弦函数的单调性去求函数 的值域．
试题解析：（1）依题意得 的最小正周期是：
（1）向量 与 夹角的余弦值
；
（2）向量 - =（3+λ，4-2λ）与 +2 =（1，8）平行，则 8（3+λ）=4-2λ，解得 λ=-2．
【点睛】本题考查了平面向量数量积公式的运用以及向量平行的坐标关系,属于基础题．
18.已知
.
（1）求
的值；
（2）求
的值.
【答案】（1） ；（2）1
【解析】
试题分析：（1）本题考察的是求三角函数的值，本题中只需利用两角和的正切公式，再把
由题意 x= 取得最小值，a，b∈R，ab≠0，∴f（ ）=0 不正确；x= 取得最小值，那么 + = 就是相邻的对称
中心，∴点（ ,0）不是函数 f（x）的一个对称中心；因为 x= 取得最小值，根据正弦函数的性质可知，
f（x）在 是减函数． 故选：D． 【点睛】本题考查三角函数的性质应用，排除法求解，考查转化思想以及计算能力．
【点睛】本题主要考查正弦函数的值域，二次函数的性质，属于基础题．
16.若 f（x）是定义在 R 上的偶函数，当 x≥0 时，f（x）= 同的根，则实数 k 的取值范围是______ ．
，若方程 f（x）=kx 恰有 3 个不
【答案】[- ，- ）∪（ ， ] 【解析】 【分析】 利用周期与对称性得出 f（x）的函数图象，根据交点个数列出不等式得出 k 的范围． 【详解】∵当 x＞2 时，f（x）=f（x-1），∴f（x）在（1，+∞）上是周期为 1 的函数，作出 y=f（x）的函数 图象如下：
D.
，设 与 的夹角为 ，
，则
考点：数量积表示两个向量的夹角
，故选 C．
9.将函数 y=2sin（2x+ ）的图象向左平移 个最小正周期后，所得图象对应的函数为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求解函数 y 的最小正周期，根据三角函数的平移变换规律，即可求解.
【详解】函数 y=2sin（2x+ ）其周期 T=π，图象向左平移 个最小正周期后，可得 y=2sin[2（x+ ）+ ] =2sin（2x+ + ）=2cos（2x+ ）故选 C. 【点睛】本题考查了最小正周期的求法和函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
由
解得
，
从而可得函数 的单调递增区间是：
（2）由
，可得
从而可得函数 的值域是： 考点：（1）向量数量积的坐标运算及辅助角公式；（2）正弦函数的单调性及值域．
20.已知函数 f（x）=Asin（ωx+ϕ） （x∈R，A＞0，ω＞0，|ϕ|＜ ）的部分图象如图所示，
江西省南昌市八一中学、洪都中学2018-2019学年高一10月联考数学试题
2018～2019学年度第一学期高一数学10月份联考试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={0，1，2}，B={1，2 }．则A B I =（ ）A ．{0}B ．{2}C ．{0，2}D ．{1，2} 2．函数()11x f x x x =++-的定义域是（ ） A.（–1，+∞）B.（–1，1）∪（1，+∞） C ．[–1，+∞） D ．[–1，1）∪（1，+∞）3．已知全集U =R ，集合A ={0，1，2，3，4}，{20}B x x x =><或，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A.{0，1，2}B.{1，2}C.{3，4}D.{0，3，4}4．下列哪组中的两个函数是同一函数（ ）A ．y=与y=B ．y=与y=x+1C. 与 D ．y=x 与5．在映射f ：A→B 中，且f ：（x ，y ）→（x ﹣y ，x+y ），则与A 中的元素 （﹣1，2）对应的B 中的元素为（ ）A ．（1，3）B ．（﹣3，1）C ．（﹣1，﹣3）D ．（3，1） 6.集合 的真子集的个数是（ ） A ．9 B.8 C.7 D.67.已知集合{12}A x x =-≤<，{}B x x a =<，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围为（ ）A. 12a -<≤B. 1a >-C. 2a >-D. 2a ≥8．函数223y x x =+-的单调递减区间为（ ）A ．（﹣∞，﹣3]B ．（﹣∞，﹣1]C ．（1，+∞）D ．（﹣3，﹣1] ()f x x =2())g t t =2{6,}y N y x x N ∈=-+∈9.已知函数2223()(1)m m f x m m x --=--是幂函数，且在(0,)x ∈+∞递减，则实数m =（ ）A.2B.-1C.4D.2或-110．已知函数 ，则函数f （x ）的表达式为（ ）A. B. C. D ． 11．函数1)3(2)(2+-+=x a ax x f 在区间[3,)-+∞上递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞B ．3[,)2-+∞C ．3[,0]2- D ．(0,)+∞ 12．已知函数24,(1)(),(1)x ax x f x a x x ---≤⎧⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．30a -≤<B ．32a -≤<- C.2a <- D ．0a <二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．设集合{,}A x y =，2{0,}B x =，若A ＝B ，则2x y +=______14．已知集合{31}A x y x ==-，{1210}B x x =-≤-≤，则A B U =_____15. 已知函数()()()21991121x x f x x cx x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，若()08f f c =⎡⎤⎣⎦，则c = ． 16．已知函数()2142f x x x =+--的定义域为D ，当x D ∈时，()f x m ≤恒成立，则实数m 的取值范围是三、解答题17.（本小题满分10分）集合，集合． （）求， （）若全集，求．2()21(1)f x x x x =++≥-2()21(0)f x x x x =++≥2()21(0)f x x x x =---≥2()21(1)f x x x x =---≥-1)f x x =-18.（本小题满分12分）设集合}023|{2=+-=x x x A ，}0)5()1(2|{22=-+++=a x a x x B ，（1）若}2{=B A I ，求实数a 的值.（2）若A B A =Y ，求实数a 的取值范围；19．（本小题满分12分）已知函数23,[1,2]()3,(2,5]x x f x x x ⎧-∈-=⎨-∈⎩． （1）在如图给定的直角坐标系内画出f （x ）的图象；（2）写出f （x ）的单调区间及值域；20．（本小题满分12分）已知二次函数2()163f x x x q =-++（1）当q=1时，求f （x ）在[﹣1，9]上的值域；（2）问：是否存在常数q （0＜q ＜10），使得当x ∈[q ，10]时，f （x ）的最小值为﹣51？若存在，求出q 的值，若不存在，说明理由．21．（本小题满分12分）已知f （x ）为二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-．（1）求f （x ）的表达式；（2）判断函数()()f x g x x=在（0，+∞）上的单调性，并证明．22. （本小题满分12分）已知函数()f x 满足对任意的R y x ∈，，有()()()y f x f xy f +=. (1) 求()1f ，()1-f 的值；(2) 若函数()x f 在其定义域()+∞,0上是增函数,()12=f ，()()32≤-+x f x f ，求x 的取值范围.2018-2019学年上学期10月联考高一年级数学答案 一：选择题D D A D B C B A A D C B二：填空题13: 2 14: [0,)+∞ 15: 1 16：5m ≥三：解答题17：（）解得集合{3A x x =>或x<1}------------------------------------2分集合{2B x x =>}-----------------------------------------------------------------3分所以{3}A B x x =>I --------------------------------------5分（）解得{13}U C A x x =≤≤----------------------------------------------7分则{23}U C A B x x =<≤I ．-----------------------------10分18: （1）∵A∩B={2}，∴2∈B ，代入B 中方程，得a2+4a+3=0，所以a=-1或a=-3-------------------------------------4分当a=-1时，B={-2，2}，满足条件；当a=-3时，B={2}，也满足条件综上得a 的值为-1或-3；-------------------------6分（2）∵A ∪B=A ，∴B ⊆A---------------------------------7分①当△=4（a+1）2-4（a2-5）=8（a+3）＜0，即a ＜-3时，B=∅满足条件------------------------------9分②当△=0即a=-3时，B={2}，满足要求--------------------10分③当△＞0，即a ＞-3时，B=A={1，2}才能满足要求，不可能成立舍去---------------------—11分故a 的取值范围是a≤-3．---------------------------12分19：（1）图象如右图所示； ---------------------6分（2）由图可知f （x ）的单调递增区间[﹣1，0]，[2，5]，---8分f （x ）的单调递减区间[0，2]，----------------------10分值域为[﹣1，3]； -----------------------------------12分20：（1）q=1时，f（x）=x2﹣16x+4=（x﹣8）2﹣60．-1分∴f（x）在区间[﹣1，8]上递减，在区间[8，9]上递增，-2分∴f（x）max=f（﹣1）=21，f（x）min=f（8）=﹣60，--4分∴f（x）在[﹣1，9]上的值域为[﹣60，21]．----------------6分（2）假设存在常数q（0＜q＜10），使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为﹣51，∵f（x）=x2﹣16x+q+3=（x﹣8）2+q﹣61，x∈[q，10]∴当0＜q＜8时，f（x）min=f（8）=q﹣61=﹣51，∴q=10（舍）．------------------------------------------9分当q≥8时，f（x）在区间[q，10]上单调递增，，解得q=6（舍）或q=9，----------------------------------11分故存在常数q=9，使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为﹣51．---------------------------------12分21：（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），------- --------------1分由条件得：a（x+1）2+b（x+1）+c+a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=2x2﹣4x，----3分从而，解得：，-----------------------5分所以f（x）=x2﹣2x﹣1；-------------------------------6分（2）函数g（x）=在（0，+∞）上单调递增．-------7分理由如下：g（x）==，设设任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，-----------------8分则g（x1）﹣g（x2）=﹣（）=（x1﹣x2）（1+），--------------10分∵x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1+＞0，∴g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），-------------11分所以函数g （x ）=在（0，+∞）上单调递增.-----------12分22： (1)令1==y x ,则()()()111f f f +=，所以()01=f -------------2分 又令1-==y x ,则()()()111-+-=-f f f ，所以()01=-f -----------4分（2）因为()()()211224=+=+=f f f ------------------------5分所以()()()321428=+=+=f f f ------------------------6分因为()()32≤-+x f x f所以()[]()82f x x f ≤------------------------------8分因为()x f 在()+∞,0上是增函数所以()⎪⎩⎪⎨⎧≤->->82020x x x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤>>42-20x x x ---------------------11分所以{}42|≤<x x ，所以不等式的解集为{}42|≤<x x --------------------12分。
江西省南昌市八一中学2019届高三上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
2 倍 (纵坐标不
变），再把得到的图象向左平移
个单位长度， 所得函数图象关于 x
对称，则 （
）
6
2
5
A．
12
B．
3
C．
3
5
D．
12
11．已知定义域为 R 的奇函数 f (x) ，当 x 0 时， f ( x) 2 f (x 3) ，当 3 x 0 时，
f ( x) log3 (1 x) ,则 f (2018) （ ）
D． 4 2
x2 5．过点 (2, 2) 且与双曲线
y 2 1有共同渐近线的双曲线方程是（）22yA．2
2
2
x
1
x
B．
4
4
2
y1 2
2
y
C．
4
2
x1 2
2
x
D．
2
2
y1 4
6． ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,b, c ，若 C
面积为（
）
，c 3
7 ， b 3a ，则 ABC 的
1
15．已知 sin cos 1 ， cos sin
3 ，则 sin(
) __________．
16．已知三棱锥 P ABC 满足 PA 底面 ABC ， ABC 是边长为 4 3 的等边三角形， D
是线段 AB 上一点，且 AD 3BD ．球 O 为三棱锥 P ABC 的外接球，过点 D 作球 O 的
截面， 若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为
34 ，则球 O 的表面积为 __________．
三、解答题：本大题共
6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算
江西省南昌市2018-2019学年高一数学上学期期末学业水平测试试题
江西省南昌市2018-2019学年高一数学上学期期末学业水平测试试题一、选择题1．若某校研究性学习小组共6人，计划同时参观科普展，该科普展共有甲，乙，丙三个展厅，6人各自随机地确定参观顺序，在每个展厅参观一小时后去其他展厅，所有展厅参观结束后集合返回，设事件A 为：在参观的第一小时时间内，甲，乙，丙三个展厅恰好分别有该小组的2个人；事件B 为：在参观的第二个小时时间内，该小组在甲展厅人数恰好为2人，则(|)P B A =（ ）． A ．38B ．18 C ．316 D ．1162．sin600︒=( )A.12B.12-D. 3．某班有50名学生，男女人数不相等。
随机询问了该班5名男生和5名女生的某次数学测试成绩，用茎叶图记录如下图所示，则下列说法一定正确的是（ ）A ．这5名男生成绩的标准差大于这5名女生成绩的标准差。
B ．这5名男生成绩的中位数大于这5名女生成绩的中位数。
C ．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数。
D ．这种抽样方法是一种分层抽样。
4．直线，，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．已知圆的圆心在直线上，则与的关系是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知向量a ，b 满足1a =，a b ⊥，则向量2a b -在向量a -方向上的投影为（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．1-7．已知向量a 、b 的夹角为45°，且1a =，|2|10a b -=，则b =（ ）A ．B ．CD ．18．已知1232727272727S C C C C =++++，则S 除以9所得的余数是A.2B.3C.5D.79．在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4，若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为 A.0.28B.0.12C.0.42D.0.1610．设,,x y z 均大于1，且x y z ==，令12a x =，13b y =，14c z =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>11．“1m =-”是“直线1l ：(21)10mx m y +-+=与直线2l ：330x my ++=垂直”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件12．已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E X 为（ ） A.23B.1C.32D.2二、填空题13．某大学进行自主招生时,需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如下图所示:得出下面四个结论:①甲同学的逻辑排名比乙同学的逻辑排名更靠前②乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 ③甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中,甲同学更靠前 ④甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前 则所有正确结论的序号是_________.14．已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差为______． 15．如图，E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱11C D 上的一点，且1//BD 平面1B CE ，则异面直线1BD 与CE 所成角的余弦值为______．16．如图所示，函数()y f x =的图象由两条射线和三条线段组成．若x R ∀∈,()()1f x f x >-，则正实数a 的取值范围是_________．三、解答题17．设椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且（为坐标原点）？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由.18．为了增强消防安全意识，某中学对全体学生做了一次消防知识讲座，从男生中随机抽取50人，从女生中随机抽取70人参加消防知识测试，统计数据得到如下列联表：附：K2=组成宣传小组，现从这6人中随机抽取2名到校外宣传，求到校外宣传的同学中至少有1名是男生的概率．19．已知函数，.(1)解不等式；(2)若对任意，都有，使得成立，求实数的取值范围.20．已知集合P＝，函数的定义域为Q.（Ⅰ）若P Q，求实数的范围；（Ⅱ）若方程在内有解，求实数的范围.21．设函数在及处取极值.（1）求的值；（2）若对于任意的，都有成立，求的取值范围．22．将7名应届师范大学毕业生分配到3所中学任教.（最后结果用数字表示）（1）4个人分到甲学校，2个人分到乙学校，1个人分到丙学校，有多少种不同的分配方案？（2）一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一个学校去1个人，有多少种不同的分配方案？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题13．①③14．4 515．516．1 0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题17．（1）；（2）存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且.【解析】试题分析：(1)由题目已知离心率为，且过点即可求出椭圆方程(2)先假设存在，设两个交点坐标和直线方程，，根据直线与圆相切及，得出方程组，从而求解出结果，再讨论斜率不存在时的情况解析：（1）由已知得，又，得，解得（2）假设满足题意的圆存在，其方程为，其中.设该圆的任意一条切线和椭圆交于两点当直线的斜率存在时，令直线的方程为因为直线为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为①联立方程得要使，需使，即，所以，②，，所求的圆为，而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足，综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且.点睛：本题考查了解析几何的综合运用，按照题目条件，采用设而不求的方法，给出交点坐标和直线方程，联立直线方程与曲线方程，利用根与系数之间的关系得出关于参数的方程组，从而计算出结果，还要注意当斜率不存在的情况。
江西省南昌市八一中学、洪都中学等六校2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题 Word版含解析
2019~2020学年第一学期期末联考高一数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22小题，共150分．共4开，考试时间120分钟，考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合{}3213A x x =-≤-≤，集合B 为函数()lg 1y x =-的定义域，，则AB =（ ）A. ()12， B. [)1+-∞， C. (]12， D. [)12， 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A ,B ,进而取并集即可.【详解】{}{}321312A x x x x =-≤-≤=-≤≤，{}1B x x =>， ∴[)1,A B ⋃=-+∞， 故选：B【点睛】本题考查并集的概念及运算，考查对数型函数的定义域与不等式的解法，属于基础题.2.已知函数()()102=030x f x x f x x x ⎧->⎪-⎨⎪<⎩，，，，则()2f =（ ）A. 9B. 3C. 0D. -2【答案】D 【解析】 【分析】根据对应法则，代入求值即可.【详解】∵()()102=030x f x x f x x x ⎧->⎪-⎨⎪<⎩，，，，∴()()()()221102f f f f =-===-， 故选：D【点睛】本题考查分段函数的对应法则，考查求值问题，属于基础题.3.已知α为第三象限角，且sin cos 2m αα+＝，2sin 2m α＝，则m 的值为（ ）B. C. 13-D. 【答案】B 【解析】 【分析】把sin α+cos α＝2m 两边平方可得m 的方程，解方程可得m ，结合角的范围可得答案． 【详解】解：把sin α+cos α＝2m 两边平方可得1+sin2α＝4m 2， 又sin2α＝m 2，∴3m 2＝1，解得m = 又α为第三象限角，∴m = 故选：B ．【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，涉及二倍角公式，属基础题． 4.已知1tan 2x =-，则2sin 3sin cos 1x x x +-的值为（ ） A.13B. 2C. -2或2D. -2【答案】D 【解析】 【分析】巧用“1”，化弦为切，即可得到结果. 【详解】解：∵1tan 2x =-， ∴222222sin 3sin cos tan 3tan sin 3sin cos 111sin s tan 1x x x x xx x x x co x x +++-=-=-++，134212114-=-=-+， 故选：D【点睛】本题考查三角函数求值，考查“1”的巧用及正余弦齐次式求值，考查计算能力，属于常考题型.5.若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是A.4π B.2π C.34π D. π【答案】A 【解析】【详解】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定a 的最大值.详解：因为π()cos sin )4f x x x x =-=+，所以由π02ππ2π,(k Z)4k x k +≤+≤+∈得π3π2π2π,(k Z)44k x k -+≤≤+∈ 因此π3ππ3ππ[,][,],,044444a a a a a a a -⊂-∴-<-≥-≤∴<≤，从而a 的最大值为π4，选A.点睛：函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质： (1)max min =+y A B y A B =-，. (2)周期2π.T ω= (3)由 ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴， (4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间； 由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间.6.若1sin 33πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. 79-B. 13-C.13D.79【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件，结合二倍角公式及诱导公式，即可得到结果. 【详解】∵1sin 33πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，∴22cos 2cos 22cos 12sin 13663ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，172199=⨯-=-故选：A【点睛】本题考查三角函数求值，考查二倍角公式及诱导公式，考查计算能力. 7.函数()ln f x x =与函数()2g x x=的交点的横坐标所在的大致区间是（ ） A. ()12， B. ()23， C. 11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D. ()+∞e ，【答案】B 【解析】 【分析】该问题可转化为方程lnx 2x -=0解的问题，进一步可转化为函数h （x ）＝lnx 2x -的零点问题．【详解】令h （x ）＝lnx 2x-，因为f （2）＝ln 2﹣1＜0，f （3）＝ln 323-＞0，又函数h （x ）在（2，3）上的图象是一条连续不断的曲线， 所以函数h （x ）在区间（2，3）内有零点，即lnx 2x-=0有解， 函数()ln f x x =与函数()2g x x=的交点的横坐标所在的大致区间（2，3） 故选：B ．【点睛】本题考查函数零点的存在问题，注意函数与方程思想、转化与化归思想的运用． 8.已知函数()()sin 04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭，的最小正周期为π，将()y f x =的图象向右移()0ϕϕ>个单位长度，所得图象关于原点对称，则ϕ的一个值是（ ）A.2π B.38π C.4π D.8π 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的周期求得ω＝2，再根据函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，可得所得函数y ＝sin （2x -24πϕ+） 它为奇函数，故有-24πϕ+=k π，k ∈z ，结合所给的选项可得ϕ的值．【详解】由题意可得2πω=π，∴ω＝2．把函数y＝f（x）的图象向右平移ϕ个单位长度（ϕ＞0），所得图象对应的函数解析式为y＝sin[2（xϕ-）4π+]＝sin（2x-24πϕ+）．再由它的图象关于原点对称，可得它为奇函数，故有-24πϕ+=kπ，k∈z，∴82kππϕ=-，k Z∈,结合所给的选项，故ϕ可以等于8π，故选：D．【点睛】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题．9.在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，则22sin cosθθ-=( )A. 1B.725C.725- D.2425-【答案】C【解析】【分析】根据题意即可算出每个直角三角形的面积，再根据勾股定理和面积关系即可算出三角形的两条直角边．从而算出sin,cosθθ【详解】由题意得直角三角形的面积11625425S-==,设三角形的边长分别为,x y，则有22134,1655225x yx yxy⎧+=⎪⇒==⎨=⎪⎩，所以343455sin,cos1515θθ====，所以2222347sin cos 5525θθ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选C.【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式以及直角三角形中，正弦、余弦的计算，属于基础题．10.设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图象向右平移3π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于 A.13B. 3C. 6D. 9【答案】C 【解析】【详解】由题意将()y f x =的图象向右平移3π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明了3π是此函数周期的整数倍,得2()3k k Z ππω⨯=∈,解得6k ω=,又0>ω,令1k =,得min 6ω=.11.若函数()()221f x x a x =+-+为偶函数，()232x bg x x -+=+为奇函数，则+a b 的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶性分别求出字母的值，即可得到结果. 【详解】∵函数()()221f x x a x =+-+为偶函数，∴2a =，∵()232x bg x x -+=+奇函数，且定义域为R ，∴()30002bg -+==+， 3b =， ∴5a b +=， 故选：D【点睛】本题考查奇偶性的定义，旨在考查学生对概念的掌握程度.12.设函数tan,(2,2),22 ()3cos,[2,2]22x x k kf xx x k kππππππππ⎧∈-+⎪⎪=⎨⎪∈++⎪⎩（k Z∈），()sin||g x x=，则方程()()0f xg x-=在区间[3,3]ππ-上的解的个数是A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】A【解析】由题意得，方程()()0f xg x-=在区间[3,3]ππ-上的解的个数即函数()f x与函数()g x的图像在区间[3,3]ππ-上的交点个数．在同一坐标系内画出两个函数图像，注意当02xπ<<时，sin tanx x<恒成立，易得交点个数为7.选A．点睛：函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．但在应用图象解题时要注意两个函数图象在同一坐标系内的相对位置，要做到观察仔细，避免出错．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若集合{}{}1102A B=-=，，，，则集合{}z z x y x A y B=+∈∈，，中的元素个数为____________．【解析】 【分析】根据集合的元素关系确定集合即可． 【详解】解：A ＝{﹣1，1}，B ＝{0，2}， ∵x ∈A ，y ∈B ，∴x ＝1或x ＝﹣1，y ＝0或y ＝2， 则z ＝x +y ＝﹣1，1，3， 即为{﹣1，1，3}． 故答案为：3．【点睛】本题主要考查集合元素个数的确定，利用条件确定集合的元素即可，比较基础． 14.若指数函数()0,0xy a a a =>≠的图象经过点()364，，则log 2a 的值为____________． 【答案】12【解析】 【分析】根据条件先求出a ，然后利用对数的性质进行求解即可．【详解】解：∵指数函数y ＝a x （a ＞0且a ≠1）的图象经过点（3，64）， ∴a 3＝64，∴a ＝4． ∴log a 2＝log 4212=， 故答案为：12【点睛】本题主要考查指数幂和对数的计算，要求熟练掌握指数幂和对数的运算法则，比较基础． 15.函数y=Asin(x+)(＞0,||＜,x∈R)的部分图象如图，则函数表达式为【答案】y=【详解】解：因为由图像可知，周期为16，所以,48w A π==振幅为4，过点（-2,0），代入表达式解得满足题意的16.若9cos 24cos 1θθ-=+，则()()20152016sin cos θθ+的取值为________．【答案】1 【解析】 【分析】由条件可得2cos 2cos 30θθ+-=，解得：cos 1θ=，sin 0θ=，从而得到结果. 【详解】解：∵9cos 24cos 1θθ-=+，∴2cos 2cos 30θθ+-=， 解得：cos 1θ=或3-（舍去） ∴sin 0θ=， ∴()()20152016sin cos 1θθ+=，故答案为：1【点睛】本题考查三角函数求值，考查二倍角余弦公式，考查计算能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知5sin ,04134x x ππ⎛⎫⎛⎫-=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos 2cos 4xx π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】2413【解析】 【分析】 由442x x πππ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且5cos sin 4413x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由余弦的倍角公式，化简求得120cos 2169x =，代入即可求解. 【详解】由题意，可得442x x πππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且5cos sin 4413x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又由5sin ,04134x x ππ⎛⎫⎛⎫-=<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12cos 413x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭而512120cos 2sin 2sin 22sin cos 224441313169x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以120cos 224169513cos 134xx π==⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的化简求值问题，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 18.已知2()2cos2xf x x a ωω=+(0)>ω的图象上相邻两对称轴的距离为2π. （1）若x ∈R ，求()f x 的递增区间；（2）若[0,]2x π∈时，若()f x 的最大值与最小值之和为5，求a 的值. 【答案】(1) 增区间是[k π－3π, k π＋6π], k ∈Z (2) 1a =【解析】试题分析：()1首先根据已知条件，求出周期π，进而求出ω的值，确定出函数解析式，由正弦函数的递增区间2π2π22k k ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦－＋，＋，()k Z ∈，即可求出()f x 的递增区间()2由确定出的函数解析式，根据x 的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出函数的最大值，即可得到a 的值 解析：已知()22cos2sin 126xf x x a x a ωπωω⎛⎫=++=+++ ⎪⎝⎭ 由22T π=，则T ＝π＝2wπ，∴w ＝2 ∴()2sin 216f x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭（1）令－2π＋2k π≤2x＋6π≤2π＋2k π则－3π＋k π≤x≤6π＋k π 故f(x)的增区间是[k π－3π, k π＋6π], k ∈Z（2）当x∈[0,2π]时，6π≤2x＋6π≤76π ∴sin(2x＋6π)∈[－12, 1] ∴()()max min +215f x f x a a =+++=∴1a =点睛：这是一道求三角函数递增区间以及利用函数在某区间的最大值求得参数的题目，主要考查了两角和的正弦函数公式，正弦函数的单调性，以及正弦函数的定义域和值域，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，属于中档题．19.已知集合{}25A x x =-≤≤，{}432B x m x m =-≤≤+．（1）若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围；（2）若A B B =，求实数m 的取值范围．【答案】（1）[]12，（2）()3-∞-， 【解析】【分析】（1）由A B B ⋃=可知A B ⊆，从而可得实数m 的不等式组；（2）由A B B =可知A B ⊇，从而可得实数m 的不等式组.【详解】（1）∵集合{}25A x x =-≤≤， {}432B x m x m =-≤≤+．若A B B ⋃=，则A B ⊆，则42m -≤-，且3+25m ≥，解得：[]12m ∈， 即此时实数m 的取值范围为[]12，； （2）若A B B =，则A B ⊇，①当B =∅时，432m m ->+，解得3m <-，满足条件，②当B ≠∅时，若A B ⊇，则24325m m -≤-≤+≤，此时不等式组无解，综上所述此时实数m 的取值范围为()3-∞-，【点睛】本题考查交并运算，考查转化能力与分类讨论思想，解题关键是：A B B A B ⋃=⇔⊆，A B B B A =⇔⊆.20.已知f (α)＝()()()()()2cos 2tan sin tan 3sin παπαπαπααπ---+-+-+.(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝18，且4π<α<2π，求cos α－sin α的值； (3)若α＝－313π，求f (α)的值．【答案】（1）f (α)＝sin α·cos α.（2）cos α－sin α 【解析】【分析】(1)根据三角函数的诱导公式化简，得()sin cos fααα=，即可得到答案； (2)由（1）知1sin cos 8αα=，再根据同角三角函数的基本关系式，即可求解. (3)由313πα=-，代入()f α，利用诱导公式和特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】(1)f(α)＝()()2sin αcos αtan αsin αtan α--＝sinα·cosα. (2)由f(α)＝sinαcosα＝18可知 (cosα－sinα)2＝cos 2α－2sinαcosα＋sin 2α＝1－2sinαcosα＝1－2×18＝34. 又∵π4<α<π2，∴cosα<sinα，即cosα－sinα<0.∴cosα－sinα＝－2. (3)∵α＝－31π3＝－6×2π＋5π3， ∴f(-31π3)＝cos(-31π3)·sin(-31π3)＝cos(-65π2π3⨯+)·sin(-65π2π3⨯+) ＝cos 5π3·sin 5π3＝cos(2π－π3)·sin(2π－π3)＝cos π3·πsin 3⎛⎫- ⎪⎝⎭＝12·(-2)＝－4. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中解答中熟记同角三角函数的基本关系式和三角函数的诱导公式，合理运算与化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21.对于函数()f x ，若定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”.（1）已知二次函数()()22-3,f x ax bx a a b R =+∈，试判断()f x 是否为“局部奇函数”？并说明理由.（2）设()21xf x m =+-是定义在[]12-，上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围； （3）设()12423x x f x m m +=+⋅+-，若()f x 不是定义域R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()f x 为局部奇函数，详见解析（2）908m -≤≤（3）1m <m >【解析】【分析】（1）由已知中“局部奇函数”的定义，结合函数f （x ）＝ax 2+2b x ﹣3a ，可得结论；（2）由题可知22220x x m -++-=有解，12222x xm -=+，变量分离求值域即可； （3）先考虑函数是定义域R 上的“局部奇函数”，然后求补集即可.【详解】（1）()() 0f x f x -+=，则2260ax a -=得到x =有解，所以()f x 为局部奇函数．（2）由题可知22220x x m -++-=有解，12222x x m -=+， 设111724224x t t t ⎡⎤⎡⎤=∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，，所以172224m -≤-≤-， 所以908m -≤≤． （3）若()f x 为局部奇函数，则()()0f x f x -+=有解，得1214234 2x x x x m m m +--+-⋅+-+-⋅2 30m +-=，设p ＝2x +2﹣x ∈[2，+∞），所以方程等价于p 2﹣2mp +2m 2﹣8＝0在p ≥2时有解．设h （p ）＝p 2﹣2mp +2m 2﹣8，对称轴p ＝m ，①若m ≥2，则△＝4m 2﹣4（2m 2﹣8）≥0，即m 2≤8，∴m -≤≤此时2m ≤≤②若m ＜2时， 则()2200m h ⎧⎪≤⎨⎪≥⎩＜，即211m m m ⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤⎩＜，此时12m ≤＜，综上得：1m ≤故若()f x不为局部奇函数时1m <m >【点睛】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，正确理解新定义“局部奇函数”的定义，是解答的关键．22.设二次函数()y f x =的图像过点()00，，且满足()23162x f x x +≥≥--恒成立． （1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，不等式()()sin cos cos410p f x f x x ⋅+-<恒成立，求实数p 的取值范围．【答案】（1）()222f x x x =-（2）6p <+【解析】【分析】（1）设二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c （a ≠0），由f （0）＝0得c ＝0，结合()23162x f x x +≥≥--在R 上恒成立，利用判别式分析可得函数解析式；（2）p •f （sin x ）f （cos x ）+cos4x ﹣1＜0⇔p ()21sinxcosx sinxcosx sinx cosx -++＜（0＜x 2π＜）．令t ＝sin x +cosx 4x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则t ∈（1]，可得p 2211t ⎛⎫+⎪-⎝⎭＜，结合g （t ）＝2（121t +-）在（1]上递减，可得g （t ）的最小值，则实数p 的取值范围可求． 【详解】（1）设二次函数()2f x ax bx c =++，因为()00f =，所以0c， 由题意：()231f x x ≤+恒成立， 22310ax bx x +--≤恒成立,()2310a x bx -+-≤恒成立，则有()230430a b a -<⎧⎨∆=+-≤⎩， 解得23412a a b<⎧⎨≤-⎩， 且()62f x x ≥--恒成立，即()2620ax b x +++≥恒成立， 则有()20680a b a >⎧⎪⎨∆=+-≤⎪⎩， 解得()2086a a b >⎧⎪⎨≥+⎪⎩， 所以()()22212 6b b -≥+，()2231212020b b b ++≤+≤，，所以2b =-，所以41242a a ≤-≤，，且()2826 2a a ≥-+≥，，所以2a =，所以()2 22f x x x =-． （2）由（1）知()()22221f x x x x x =-=-，则 ()() sin cos cos410p f x f x x ⋅+-<，()()2sin sin 12cos cos 1 cos410p x x x x x ⋅⋅+-<--，()()4sin cos sin 1cos 1< 1cos4p x x x x x ---()()()22sin 2sin 1cos 1 < 112sin 2p x x x x ----()()22sin 2sin 1cos 12sin 2x p x x x--<， ()()sin 1cos 1sin 2p x x x --<，()()sin 1cos 12sin cos p x x x x --<，()()2sin cos sin 1cos 1x xp x x <--，()2sin cos sin cos sin cos 1x x p x x x x <-++，令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 因为02x π<<，所以3444x πππ<+<，所以1t <由()22sin cos x x t +=，212sin cos x x t +=， 则有21sin cos 2t x x -=， 所以222212*********t t p t t t t -⨯-<=---+-+ ()()()222121221111t t t t t -+⎛⎫===+ ⎪--⎝⎭-， 故令()2211g t t =+-⎛⎫ ⎪⎝⎭， 即()min p g t <，因为()g t在(1上单调递减，所以()min 6g t g ==+所以P 的取值范围是6p <+【点睛】本题考查函数恒成立问题，考查二次函数解析式的求法，训练了利用换元法求函数的最值，是中档题．。
江西省南昌市八一中学、洪都中学等六校2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题(教师版)
2019~2020学年第一学期期末联考高一数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22小题，共150分．共4开，考试时间120分钟，考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合{}3213A x x =-≤-≤，集合B 为函数()lg 1y x =-的定义域，，则AB =（ ）A. ()12， B. [)1+-∞， C. (]12， D. [)12， 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A ,B ,进而取并集即可.【详解】{}{}321312A x x x x =-≤-≤=-≤≤，{}1B x x =>， ∴[)1,A B ⋃=-+∞， 故选：B【点睛】本题考查并集的概念及运算，考查对数型函数的定义域与不等式的解法，属于基础题.2.已知函数()()102=030x f x x f x x x ⎧->⎪-⎨⎪<⎩，，，，则()2f =（ ）A. 9B. 3C. 0D. -2【答案】D 【解析】 【分析】根据对应法则，代入求值即可.【详解】∵()()102=030x f x x f x x x ⎧->⎪-⎨⎪<⎩，，，，∴()()()()221102f f f f =-===-， 故选：D【点睛】本题考查分段函数的对应法则，考查求值问题，属于基础题.3.已知α为第三象限角，且sin cos 2m αα+＝，2sin 2m α＝，则m 的值为（ ）B. 3-C. 13-D. 3-【答案】B 【解析】 【分析】把sin α+cos α＝2m 两边平方可得m 的方程，解方程可得m ，结合角的范围可得答案． 【详解】解：把sin α+cos α＝2m 两边平方可得1+sin2α＝4m 2， 又sin2α＝m 2，∴3m 2＝1，解得m =， 又α为第三象限角，∴m 3=- 故选：B ．【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，涉及二倍角公式，属基础题． 4.已知1tan 2x =-，则2sin 3sin cos 1x x x +-的值为（ ） A.13B. 2C. -2或2D. -2【答案】D 【解析】 【分析】巧用“1”，化弦为切，即可得到结果. 【详解】解：∵1tan 2x =-， ∴222222sin 3sin cos tan 3tan sin 3sin cos 111sin s tan 1x x x x xx x x x co x x +++-=-=-++， 134212114-=-=-+， 故选：D【点睛】本题考查三角函数求值，考查“1”的巧用及正余弦齐次式求值，考查计算能力，属于常考题型. 5.若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是 A.4π B.2π C.34π D. π【答案】A 【解析】【详解】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定a 的最大值.详解：因为π()cos sin )4f x x x x =-=+，所以由π02ππ2π,(k Z)4k x k +≤+≤+∈得π3π2π2π,(k Z)44k x k -+≤≤+∈ 因此π3ππ3ππ[,][,],,044444a a a a a a a -⊂-∴-<-≥-≤∴<≤，从而a 的最大值为π4，选A. 点睛：函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质：(1)max min =+y A B y A B =-，. (2)周期2π.T ω=(3)由 ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴， (4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间； 由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间.6.若1sin 33πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A. 79-B. 13-C.13D.79【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件，结合二倍角公式及诱导公式，即可得到结果. 【详解】∵1sin 33πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，∴22cos 2cos 22cos 12sin 13663ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 172199=⨯-=-故选：A【点睛】本题考查三角函数求值，考查二倍角公式及诱导公式，考查计算能力. 7.函数()ln f x x =与函数()2g x x=的交点的横坐标所在的大致区间是（ ） A. ()12， B. ()23，C. 11e ⎛⎫⎪⎝⎭，D. ()+∞e ，【答案】B 【解析】 【分析】该问题可转化为方程lnx 2x -=0解的问题，进一步可转化为函数h （x ）＝lnx 2x -的零点问题． 【详解】令h （x ）＝lnx 2x-，因为f （2）＝ln 2﹣1＜0，f （3）＝ln 323-＞0，又函数h （x ）在（2，3）上的图象是一条连续不断的曲线， 所以函数h （x ）在区间（2，3）内有零点，即lnx 2x-=0有解， 函数()ln f x x =与函数()2g x x=的交点的横坐标所在的大致区间（2，3） 故选：B ．【点睛】本题考查函数零点的存在问题，注意函数与方程思想、转化与化归思想的运用．8.已知函数()()sin 04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭，的最小正周期为π，将()y f x =的图象向右移()0ϕϕ>个单位长度，所得图象关于原点对称，则ϕ的一个值是（ ） A.2πB.38π C.4π D.8π 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的周期求得ω＝2，再根据函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，可得所得函数y ＝sin （2x -24πϕ+） 它为奇函数，故有-24πϕ+=k π，k ∈z ，结合所给的选项可得ϕ的值． 【详解】由题意可得2πω=π，∴ω＝2．把函数y ＝f （x ）的图象向右平移ϕ个单位长度（ϕ＞0），所得图象对应的函数解析式为y ＝sin[2（x ϕ-）4π+]＝sin （2x -24πϕ+）．再由它的图象关于原点对称，可得它为奇函数，故有-24πϕ+=k π，k ∈z ，∴82k ππϕ=-，k Z ∈, 结合所给的选项，故ϕ可以等于8π， 故选：D ．【点睛】本题主要考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题． 9.在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，则22sin cos θθ-=( )A. 1B.725C. 725-D. 2425-【答案】C 【解析】 【分析】根据题意即可算出每个直角三角形的面积，再根据勾股定理和面积关系即可算出三角形的两条直角边．从而算出sin ,cos θθ【详解】由题意得直角三角形的面积11625425S -==,设三角形的边长分别为,x y ，则有 22134,1655225x y x y xy ⎧+=⎪⇒==⎨=⎪⎩，所以343455sin ,cos 1515θθ====，所以2222347sin cos 5525θθ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选C.【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式以及直角三角形中，正弦、余弦的计算，属于基础题． 10.设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图象向右平移3π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于A.13B. 3C. 6D. 9【答案】C 【解析】【详解】由题意将()y f x =的图象向右平移3π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明了3π是此函数周期的整数倍,得2()3k k Z ππω⨯=∈,解得6k ω=,又0>ω,令1k =,得min 6ω=.11.若函数()()221f x x a x =+-+为偶函数，()232x bg x x -+=+为奇函数，则+a b 的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4D. 5【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶性分别求出字母的值，即可得到结果. 【详解】∵函数()()221f x x a x =+-+为偶函数，∴2a =，∵()232x bg x x -+=+奇函数，且定义域为R ，∴()30002bg -+==+， 3b =， ∴5a b +=， 故选：D【点睛】本题考查奇偶性的定义，旨在考查学生对概念的掌握程度.12.设函数tan ,(2,2),22()3cos ,[2,2]22x x k k f x x x k k ππππππππ⎧∈-+⎪⎪=⎨⎪∈++⎪⎩（k Z ∈），()s i n ||gxx =，则方程()()0f x g x -=在区间[3,3]ππ-上的解的个数是 A. 7 B. 8C. 9D. 10【答案】A 【解析】由题意得，方程()()0f x g x -=在区间[3,3]ππ-上的解的个数即函数()f x 与函数()g x 的图像在区间[3,3]ππ-上的交点个数．在同一坐标系内画出两个函数图像，注意当02x π<<时，sin tan x x <恒成立，易得交点个数为7.选A ．点睛：函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．但在应用图象解题时要注意两个函数图象在同一坐标系内的相对位置，要做到观察仔细，避免出错．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若集合{}{}1102A B =-=，，，，则集合{}z z x y x A y B =+∈∈，，中的元素个数为____________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据集合的元素关系确定集合即可．【详解】解：A ＝{﹣1，1}，B ＝{0，2}， ∵x ∈A ，y ∈B ，∴x ＝1或x ＝﹣1，y ＝0或y ＝2， 则z ＝x +y ＝﹣1，1，3， 即为{﹣1，1，3}． 故答案为：3．【点睛】本题主要考查集合元素个数的确定，利用条件确定集合的元素即可，比较基础．14.若指数函数()0,0xy a a a =>≠的图象经过点()364，，则log 2a 的值为____________． 【答案】12【解析】 【分析】根据条件先求出a ，然后利用对数的性质进行求解即可．【详解】解：∵指数函数y ＝a x （a ＞0且a ≠1）的图象经过点（3，64）， ∴a 3＝64，∴a ＝4． ∴log a 2＝log 4212=， 故答案为：12【点睛】本题主要考查指数幂和对数的计算，要求熟练掌握指数幂和对数的运算法则，比较基础． 15.函数y=Asin(x+)(＞0,||＜,x ∈R)的部分图象如图，则函数表达式为【答案】y=【解析】【详解】解：因为由图像可知，周期为16，所以,48w A π==振幅为4，过点（-2,0），代入表达式解得满足题意的16.若9cos 24cos 1θθ-=+，则()()20152016sin cos θθ+的取值为________．【答案】1 【解析】 【分析】由条件可得2cos 2cos 30θθ+-=，解得：cos 1θ=，sin 0θ=，从而得到结果. 【详解】解：∵9cos 24cos 1θθ-=+，∴2cos 2cos 30θθ+-=，解得：cos 1θ=或3-（舍去） ∴sin 0θ=， ∴()()20152016sin cos 1θθ+=，故答案为：1【点睛】本题考查三角函数求值，考查二倍角余弦公式，考查计算能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知5sin ,04134x x ππ⎛⎫⎛⎫-=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos 2cos 4xx π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】2413【解析】 【分析】 由442x x πππ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且5c o s s i n 4413x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由余弦的倍角公式，化简求得120cos 2169x =，代入即可求解. 【详解】由题意，可得442x x πππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且5cos sin 4413x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又由5sin ,04134x x ππ⎛⎫⎛⎫-=<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12cos 413x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭而512120cos 2sin 2sin 22sin cos 224441313169x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以120cos 224169513cos 134xx π==⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换化简求值问题，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 18.已知2()2cos2xf x x a ωω=+(0)>ω的图象上相邻两对称轴的距离为2π. （1）若x ∈R ，求()f x 的递增区间；（2）若[0,]2x π∈时，若()f x 的最大值与最小值之和为5，求a 的值. 【答案】(1) 增区间是[k π－3π, k π＋6π], k ∈Z (2) 1a =【解析】试题分析：()1首先根据已知条件，求出周期π，进而求出ω的值，确定出函数解析式，由正弦函数的递增区间2π2π22k k ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦－＋，＋，()k Z ∈，即可求出()f x 的递增区间()2由确定出的函数解析式，根据x 的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出函数的最大值，即可得到a 的值解析：已知()22cos2sin 126xf x x a x a ωπωω⎛⎫=++=+++ ⎪⎝⎭ 由22T π=，则T ＝π＝2wπ，∴w ＝2 ∴()2sin 216f x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭（1）令－2π＋2k π≤2x＋6π≤2π＋2k π则－3π＋k π≤x≤6π＋k π 故f(x)的增区间是[k π－3π, k π＋6π], k ∈Z（2）当x ∈[0, 2π]时，6π≤2x＋6π≤76π∴sin(2x ＋6π)∈[－12, 1]∴()()max min +215f x f x a a =+++=∴1a =点睛：这是一道求三角函数递增区间以及利用函数在某区间的最大值求得参数的题目，主要考查了两角和的正弦函数公式，正弦函数的单调性，以及正弦函数的定义域和值域，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，属于中档题．19.已知集合{}25A x x =-≤≤，{}432B x m x m =-≤≤+． （1）若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围； （2）若AB B =，求实数m 的取值范围．【答案】（1）[]12，（2）()3-∞-，【解析】【分析】（1）由A B B ⋃=可知A B ⊆，从而可得实数m 的不等式组；（2）由A B B =可知A B ⊇，从而可得实数m 的不等式组.【详解】（1）∵集合{}25A x x =-≤≤， {}432B x m x m =-≤≤+．若A B B ⋃=，则A B ⊆，则42m -≤-，且3+25m ≥，解得：[]12m ∈， 即此时实数m 的取值范围为[]12，； （2）若A B B =，则A B ⊇，①当B =∅时，432m m ->+，解得3m <-，满足条件，②当B ≠∅时，若A B ⊇，则24325m m -≤-≤+≤，此时不等式组无解，综上所述此时实数m 的取值范围为()3-∞-，【点睛】本题考查交并运算，考查转化能力与分类讨论思想，解题关键是：A B B A B ⋃=⇔⊆，A B B B A =⇔⊆.20.已知f (α)＝()()()()()2cos 2tan sin tan 3sin παπαπαπααπ---+-+-+.(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝18，且4π<α<2π，求cos α－sin α的值； (3)若α＝－313π，求f (α)的值．【答案】（1）f (α)＝sin α·cos α.（2）cos α－sin α【解析】【分析】(1)根据三角函数的诱导公式化简，得()sin cos f ααα=，即可得到答案；(2)由（1）知1sin cos 8αα=，再根据同角三角函数的基本关系式，即可求解. (3)由313πα=-，代入()f α，利用诱导公式和特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】(1)f(α)＝()()2sin αcos αtan αsin αtan α--＝sinα·cosα. (2)由f(α)＝sinαcosα＝18可知 (cosα－sinα)2＝cos 2α－2sinαcosα＋sin 2α＝1－2sinαcosα＝1－2×18＝34. 又∵π4<α<π2，∴cosα<sinα，即cos α－sinα<0.(3)∵α＝－31π3＝－6×2π＋5π3， ∴f(-31π3)＝cos(-31π3)·sin(-31π3)＝cos(-65π2π3⨯+)·sin(-65π2π3⨯+) ＝cos 5π3·sin 5π3＝cos(2π－π3)·sin(2π－π3)＝cos π3·πsin 3⎛⎫- ⎪⎝⎭＝12·(-2)＝－4. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中解答中熟记同角三角函数的基本关系式和三角函数的诱导公式，合理运算与化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21.对于函数()f x ，若定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”.（1）已知二次函数()()22-3,f x ax bx a a b R =+∈，试判断()f x 是否为“局部奇函数”？并说明理由. （2）设()21xf x m =+-是定义在[]12-，上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围； （3）设()12423x x f x m m +=+⋅+-，若()f x 不是定义域R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()f x 为局部奇函数，详见解析（2）908m -≤≤（3）1m <-m > 【解析】【分析】（1）由已知中“局部奇函数”的定义，结合函数f （x ）＝ax 2+2b x ﹣3a ，可得结论；（2）由题可知22220x x m -++-=有解，12222x x m -=+，变量分离求值域即可； （3）先考虑函数是定义域R 上的“局部奇函数”，然后求补集即可.【详解】（1）()() 0f x f x -+=，则2260ax a -=得到x =()f x 为局部奇函数．（2）由题可知22220x x m -++-=有解，12222x x m -=+， 设111724224x t t t ⎡⎤⎡⎤=∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，，所以172224m -≤-≤-， 所以908m -≤≤． （3）若()f x 为局部奇函数，则()()0f x f x -+=有解，得1214234 2x x x x m m m +--+-⋅+-+-⋅2 30m +-=，设p ＝2x +2﹣x ∈[2，+∞），所以方程等价于p 2﹣2mp +2m 2﹣8＝0在p ≥2时有解．设h （p ）＝p 2﹣2mp +2m 2﹣8，对称轴p ＝m ，①若m ≥2，则△＝4m 2﹣4（2m 2﹣8）≥0，即m 2≤8，∴m -≤≤此时2m ≤≤②若m ＜2时， 则()2200m h ⎧⎪≤⎨⎪≥⎩＜，即211m m m ⎧⎪≤≤+⎨⎪-≤≤⎩＜此时12m ≤＜，综上得：1m ≤故若()f x不为局部奇函数时1m <-m >【点睛】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，正确理解新定义“局部奇函数”的定义，是解答的关键．22.设二次函数()y f x =的图像过点()00，，且满足()23162x f x x +≥≥--恒成立． （1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，不等式()()sin cos cos410p f x f x x ⋅+-<恒成立，求实数p 的取值范围． 【答案】（1）()2 22f x x x =-（2）6p <+【解析】【分析】（1）设二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c （a ≠0），由f （0）＝0得c ＝0，结合()23162x f x x +≥≥--在R 上恒成立，利用判别式分析可得函数解析式；（2）p •f （sin x ）f （cos x ）+cos4x ﹣1＜0⇔p ()21sinxcosx sinxcosx sinx cosx -++＜（0＜x 2π＜）．令t ＝sin x +cosx 4x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则t ∈（1]，可得p 2211t ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭＜，结合g （t ）＝2（121t +-）在（1，]上递减，可得g （t ）的最小值，则实数p 的取值范围可求．【详解】（1）设二次函数()2f x ax bx c =++， 因为()00f =，所以0c =，由题意：()231f x x ≤+恒成立， 22310ax bx x +--≤恒成立,()2310a x bx -+-≤恒成立，则有()230430a b a -<⎧⎨∆=+-≤⎩， 解得23412a a b<⎧⎨≤-⎩， 且()62f x x ≥--恒成立，即()2620ax b x +++≥恒成立， 则有()20680a b a >⎧⎪⎨∆=+-≤⎪⎩，解得()2086a a b >⎧⎪⎨≥+⎪⎩， 所以()()22212 6b b -≥+，()2231212020b b b ++≤+≤，，所以2b =-，所以41242a a ≤-≤，，且()2826 2a a ≥-+≥，，所以2a =，所以()2 22f x x x =-． （2）由（1）知()()22221f x x x x x =-=-，则 ()() sin cos cos410p f x f x x ⋅+-<，()()2sin sin 12cos cos 1 cos410p x x x x x ⋅⋅+-<--，()()4sin cos sin 1cos 1< 1cos4p x x x x x ---()()()22sin 2sin 1cos 1 < 112sin 2p x x x x ----()()22sin 2sin 1cos 12sin 2x p x x x--<， ()()sin 1cos 1sin 2p x x x --<，()()sin 1cos 12sin cos p x x x x --<，()()2sin cos sin 1cos 1x xp x x <--，()2sin cos sin cos sin cos 1x x p x x x x <-++，令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 因为02x π<<，所以3444x πππ<+<，所以1t <≤由()22sin cos x x t +=，212sin cos x x t +=， 则有21sin cos 2t x x -=， 所以222212*********t t p t t t t -⨯-<=---+-+ ()()()222121221111t t t t t -+⎛⎫===+ ⎪--⎝⎭-， 故令()2211g t t =+-⎛⎫ ⎪⎝⎭， 即()min p g t <，因为()g t在(上单调递减，所以()min 6g t g ==+所以P的取值范围是6p <+【点睛】本题考查函数恒成立问题，考查二次函数解析式的求法，训练了利用换元法求函数的最值，是中档题．。
江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中、实验中学四校2018_2019学年高一数学3月联考试题
江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中、实验中学四校2018-2019学年高一数学3月联考试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在等差数列{a n }中，若其前13项的和S 13=52，则a 7为（ ）A ．4B ．3C ．6D ．12 2．已知数列{a n }为等比数列，其中a 5，a 9为方程x 2+2016x+9=0的二根，则a 7的值（ ）A ．-3B ．3C ．±3D ．9 3．△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若acos(π-A)+bsin(+B)=0,则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形4．在ABC ∆中，090,045C A ∠=<<，则下列各式中，正确的是（ ）.A sin sin A B > .B tan tan A B > .C cos sin A A < .D cos sin B B <5．在△ABC 中,AB=2,AC=3,·=1,则BC 等于( )A ．B ．C ．2D ．6等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若公差d ＞0，（S 8-S 5）（S 9-S 5）＜0，则（ ）A ．|a 7|＞|a 8|B ．|a 7|＜|a 8|C ．|a 7|=|a 8|D ．|a 7|=07．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若15cos C =，cos cos 3b A a B +=，则ABC ∆外接圆的半径为（ ） .A 23 .B 22 .C 4 .D 68．《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积称等比数列，上面3节的容积共2升，下面3节的容积共128升，则第5节的容积为（ ） A ．3升 B ．升 C ．4升 D ．9．已知△ABC 中，∠A=30°，2AB ，BC 分别是、的等差中项与等比中项，则△ABC 的面积等于（ ）A ．B ．C ．或D ．或10．在ABC ∆中，233cos 4b ac a c B =+==，，，则AB BC ⋅=u u u r u u u r （ ） .A 32 .B 32- .C 3 .D 3-11．设S n 为等差数列{a n }的前n 项的和a 1=1，，则数列的前2017项和为（ ） A ．B ．C ．D ．12． ABC ∆中，角，，所对的边分别为，，，已知sin sin sin A C p B +=且214ac b =．若角B 为锐角，则的取值范围是（ ）.A (2,2)- .B (0,2) .C 66(2,)222--U （，） .D 622（，）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 13．数列，，，，…的一个通项公式是 ______．14．若a,2a+2,3a+3成等比数列，求实数a 的值____15．锐角三角形ABC 中,a,b,c 分别为角A,B,C 所对的边，若2asin B=b ，b+c=5，bc=6，则a=16．已知，，分别ABC ∆为的三个内角，，的对边，2276cos 4b ac B a b bc ==-+，，O 为ABC ∆内一点，且满足0030OA OB OC BAO ++=∠=u u u r u u u r u u u r r ，，则||OA =u u u r ________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题10分）已知等差数列{a n }中，a 2+a 6=6，S n 为其前n 项和，S 5=．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{a n }的前n 项和S n 的最小值．18．（本题12分）在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n ，n ∈N*。
2018-2019学年江西省南昌市八一中学、洪都中学等七校高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2018-2019学年江西省南昌市八一中学、洪都中学等七校高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项最符合题目的要求．请将正确答案代码填涂在相应答题卡内）1．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为．若以圆点O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，则点P的极坐标可以是（）A．B．C．D．2．（5分）双曲线﹣＝1的渐近线方程是（）A．y＝±B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x3．（5分）条件p：x≤1，且￢p是￢q的充分不必要条件，则q可以是（）A．x＞1B．x＞0C．x≤2D．﹣1＜x＜04．（5分）已知函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，那么f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．5．（5分）若实数x，y满足，则3x+y的最大值为（）A．9B．10C．11D．126．（5分）下列说法不正确的是（）A．若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题B．命题“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是““∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”C．设A，B是两个集合，则“A⊆B”是“A∩B＝A”的充分不必要条件D．当a＜0时，幂函数y＝x a在（0，+∞）上单调递减7．（5分）函数f（x）＝x3+ax﹣2在区间（﹣1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[0，+∞）B．[﹣3，+∞）C．（﹣3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）8．（5分）函数f（x）＝2x2﹣ln|x|的部分图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数﹣1在区间（0，2）上至少有一个零点，则实数a 的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[2，4ln3﹣2）C．D．[2，+∞）10．（5分）设函数f（x）的导数为f′（x），且f（x）＝x2+2xf′（1），则f（2）＝（）A．0B．﹣4C．4D．811．（5分）已知函数f（x）及其导数f'（x），若存在x0使得f（x0）＝f'（x0），则称x0是f （x）的一个“巧值点”．给出下列五个函数：①f（x）＝x2，②f（x）＝e﹣x，③f（x）＝lnx，④f（x）＝tan x，其中有“巧值点”的函数的个数是（）A．1B．2C．3D．412．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的增函数，f（x）+2＞f'（x），f（0）＝1，则不等式ln[f（x）+2]＞ln3+x的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）复数＝．14．（5分）如图，在圆内画1条线段，将圆分成2部分；画2条相交线段，将圆分割成4部分；画3条线段，将圆最多分割成7部分；画4条线段，将圆最多分割成11部分．则在圆内画12条线段，将圆最多分割成部分．15．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则a的值为．16．（5分）点p是曲线y＝x2﹣lnx上任意一点，则点p到直线y＝x﹣3的距离最小值是．三、解答题（共6小题，共70分，其中第17题10分，其余每题12分）17．（10分）设p：函数f（x）＝+（m﹣1）x2+x+1在R是增函数；q：方程＝1表示焦点在x轴上的双曲线．（1）若p为真，求实数m的取值范围；（2）若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数m的取值范围．18．（12分）（理）设函数f（x）＝ae x lnx+，（1）求导函数f′（x）（2）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝e（x﹣1）+2求a，b．19．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a≠0），曲线C1的上点对应的参数，将曲线C1经过伸缩变换后得到曲线C2，直线l的参数方程为2ρsinθ+ρcosθ＝10．（1）说明曲线C2是哪种曲线，并将曲线C2转化为极坐标方程；（2）求曲线C2上的点M到直线l的距离的最小值．20．（12分）设函数f（x）＝﹣x2﹣mx．（1）若f（x）在（0，+∞）上存在单调递减区间，求m的取值范围；（2）若x＝﹣1是函数的极值点，求函数f（x）在[0，5]上的最小值．21．（12分）已知抛物线x2＝ay的焦点坐标为．（1）求抛物线的标准方程．（2）若过（﹣2，4）的直线l与抛物线交于A，B两点，在抛物线上是否存在定点P，使得以AB为直径的圆过定点P．若存在，求出点P，若不存在，说明理由．22．（12分）已知函数f（x）＝+mx+mlnx．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当m＞0时，若对于区间[1，2]上的任意两个实数x1，x2，且x1＜x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜x22﹣x12成立，求实数m的最大值．2018-2019学年江西省南昌市八一中学、洪都中学等七校高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项最符合题目的要求．请将正确答案代码填涂在相应答题卡内）1．【解答】解：∵P的直角坐标为．∴＝2，tanθ＝，θ在第三象限，∴θ＝，∴点P的极坐标为（2，）．故选：D．2．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为﹣＝1，其焦点在y轴上，且a＝2，b＝2，则该双曲线的渐近线方程为y＝±x；故选：D．3．【解答】解：若￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，则q对应的范围是p对应范围的真子集关系，则﹣1＜x＜0满足条件，故选：D．4．【解答】解：由导函数f'（x）的图象得：在（﹣∞，﹣2）上，f'（x）的图象在x轴下方，即f′（x）＜0，则f（x）递减，在（﹣2，﹣1）上，f'（x）的图象在x轴上方，即f′（x）＞0，则f（x）递增，在（﹣1，+∞）上，f'（x）的图象在x轴下方，即f′（x）＜0，则f（x）递减，故选：B．5．【解答】解：作出实数x，y满足对应的平面区域如图：由z＝3x+y得y＝﹣3x+z，平移直线y＝﹣3x+z，由图象可知当直线y＝﹣3x+z，经过点A时，直线的截距最大，此时z最大．由，解得即A（3，2），此时z max＝3×3+2＝11，故选：C．6．【解答】解：A、p且q为假，根据复合命题的判断方法知，p，q至少有一个为假，故A 正确；B、根据特称命题的否定形式知B正确；C、当A⊆B可得A∩B＝A，反之，当A∩B＝A时，也可推出A⊆B，所以“A⊆B”是“A∩B＝A”的充要条件，故C错误；D、由幂函数的性质易知D正确．故选：C．7．【解答】解：f′（x）＝3x2+a，根据函数导数与函数的单调性之间的关系，f′（x）≥0在（﹣1，+∞）上恒成立，即a≥﹣3x2，恒成立，只需a大于﹣3x2的最大值即可，而﹣3x2在（﹣1，+∞）上的最大值为0，所以a≥0．即数a的取值范围是[0，+∞）．故选：A．8．【解答】解：函数f（x）＝2x2﹣ln|x|为偶函数，则其图象关于y轴对称，排除B；当x＞0时，f（x）＝2x2﹣lnx，f′（x）＝4x﹣．当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数，∴f（x）有极小值f（）＝＞0．结合选项可得，函数f（x）＝2x2﹣ln|x|的部分图象大致为A．故选：A．9．【解答】解：函数﹣1在区间（0，2）上至少有一个零点，可得a+1＝4lnx+﹣x在x∈（0，2）有解，设g（x）＝4lnx+﹣x，导数g′（x）＝﹣1+﹣＝﹣，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递减；在（1，2）时，g′（x）＞0，g（x）递曾，可得g（1）取得极小值，且为最小值2，作出y＝g（x）的图象，可得a+1≥2，即a≥1．故选：A．10．【解答】解：函数的导数f′（x）＝2x+2f′（1），令x＝1，得f′（1）＝2+2f′（1），得f′（1）＝﹣2，则f（x）＝x2+2xf′（1）＝x2﹣4x，则f（2）＝4﹣8＝﹣4，故选：B．11．【解答】解：根据题意，依次分析所给的函数：①、若f（x）＝x2；则f′（x）＝2x，由x2＝2x，得x＝0或x＝2，这个方程显然有解，故①符合要求；②、若f（x）＝e﹣x；则f′（x）＝﹣e﹣x，即e﹣x＝﹣e﹣x，此方程无解，②不符合要求；③、f（x）＝lnx，则f′（x）＝，若lnx＝，利用数形结合可知该方程存在实数解，③符合要求；④、f（x）＝tan x，则f′（x）＝（）′＝，即sin x cos x＝1，变形可sin2x＝2，无解，④不符合要求；故选：B．12．【解答】解：根据题意，设g（x）＝，其导数g′（x）＝＝，又由f（x）+2＞f′（x），则有g′（x）＜0，则函数g（x）在R上为减函数，f（0）＝1，则g（0）＝，又由函数f（x）是定义在R上的增函效，则有f（x）+2＞f′（x）＞0，即f（x）+2＞0在R上恒成立；则ln[f（x）+2]＞ln3+x⇒ln＞x⇒＞e x⇒＞3⇒g（x）＞g（0），又由g（x）为减函数，则有x＜0，则不等式的解集为（﹣∞，0）．故选：A．二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．【解答】解：＝．故答案为：．14．【解答】解：根据题意，设n为圆内线段的数目，可以将圆分为a n部分，在圆内画1条线段，即n＝1时，a1＝＝2，在圆内画2条线段，即n＝2时，a2＝＝4，在圆内画3条线段，即n＝3时，a3＝＝7，……故在圆内画12条线段，即n＝12时，有a12＝＝79；故答案为：79．15．【解答】解：由图知方程f（x）＝0有两个相等的实根x1＝x2＝0，于是b＝0，∴f（x）＝x2（x+a），有，∴a＝±3．又﹣a＞0⇒a＜0，得a＝﹣3．故答案为：﹣3．16．【解答】解：设P（x，y），则y′＝2x﹣（x＞0），令2x﹣＝1，则（x﹣1）（2x+1）＝0，∵x＞0，∴x＝1，∴y＝1，即平行于直线y＝x﹣3且与曲线y＝x2﹣lnx相切的切点坐标为（1，1），由点到直线的距离公式可得d＝＝，故答案为：．三、解答题（共6小题，共70分，其中第17题10分，其余每题12分）17．【解答】解：（1）函数的导数f′（x）＝x2+（m﹣1）x+1，若f（x）在R是增函数，则f′（x）＝x2+（m﹣1）x+1≥0恒成立，即判别式△＝（m﹣1）2﹣4≤0，即﹣2≤m﹣1≤2，得﹣1≤m≤3，即实数m的取值范围是[﹣1，3]．（2）若方程＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则，得，得m＞1，即q：m＞1，若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则p，q一个为真命题一个为假命题，若p真q假则，得﹣1≤m≤1，若p假q真，则，得m＞3，综上﹣1≤m≤1或m＞3，即实数m的取值范围是﹣1≤m≤1或m＞3．18．【解答】解：（1）由f（x）＝ae x lnx+，得＝；（2）由于切点既在函数曲线上，又在切线上，将x＝1代入切线方程得：y＝2．将x＝1代入函数f（x）得：f（1）＝b．∴b＝2．将x＝1代入导函数，则f'（1）＝ae＝e．∴a＝1．19．【解答】解：（1）当，所以，曲线C1的参数方程为（t为参数，a≠0），由，得，代入C1得：，即，化为普通方程为，为椭圆曲线C2，化为极坐标方程为．（2）直线l的普通方程为，点M到直线l的方程距离为＝，所以曲线C2上的点M到直线l的距离的最小值为：20．【解答】解：（1）f′（x）＝x2﹣2x﹣m，由题意得f′（x）＝x2﹣2x﹣m＜0在（0，+∞）上有解，故m＞x2﹣2x，则m＞﹣1，故m的范围是（﹣1，+∞）；（2）∵f′（﹣1）＝1+2﹣m＝0，解得：m＝3，故f′（x）＝x2﹣2x﹣3，令f′（x）＝0，解得：x＝﹣1或x＝3，故x∈（0，3）时，f′（x）＜0，函数f（x）递减，x∈（3，5）时，f′（x）＞0，函数f（x）递增，故f（x）在[0，5]的最小值是f（3）＝﹣9．21．【解答】解：（1）抛物线x2＝ay的焦点坐标为，∴＝，∴a＝2，故抛物线的标准方程为x2＝2y，（2）设P（t，），A（x1，y1），B（x2，y2），由于直线斜率一定存在，故设直线l的方程为y＝k（x+2）+4，联立，可得x2﹣2kx﹣4k﹣8＝0，∴x1+x2＝2k，x1x2＝﹣4k﹣8，由题知k P A•k PB＝﹣1，即•＝1，即•＝﹣4，即（t+x1）（t+x2）＝﹣4化简可得t2+2k（t﹣2）＝0，当t＝2时等式恒成立，故存在定点（2，2）．22．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝+mx+mlnx的定义域为（0，+∞），∴f′（x）＝x+m+＝，当m≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，当m＜0时，方程x2+mx+m＝0的判别式为△＝m2﹣4m＞0，令f′（x）＞0，解得x＞，令f′（x）＜0，解得0＜x＜，∴当m＜0时，f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减，（Ⅱ）当m＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∵[1，2]⊂（0，+∞），∴函数f（x）在[1，2]上单调递增，∵x1＜x2，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，由题意可得f（x2）﹣f（x1）＜x22﹣x12，整理可得f（x2）﹣x22）＜f（x1）﹣x12，令g（x）＝f（x）﹣x2＝﹣+mx+mlnx，则g（x）在[1，2]上单调递减，∴g′（x）＝﹣x+m+＝≤0恒成立，∴m≤，令h（x）＝，则h′（x）＝＝＞0，∴h（x）在[1，2]上单调递增，∴h（x）min＝h（1）＝，∴m≤。
江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘中学等六校高一
2016～2017学年第一学期高一数学期末联考试卷一、选择题（每题5分，共60分）()()4,3,cos θπθ-=-1.若角的终边过点则4433 (5)555A B C D --2．如果cos αcos β+sin αsin β=0,那么sin αcos β-cos αsin β的值为( )A.-1B.0C.1D.±13．设f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间( ) A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.(1.5,2)D.不能确定4．已知α是第三象限角，且cos α＝45-，则tan α2等于( )A ．－34 B.34C －3D ．35．设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<2x<2，B ＝{x |lg x ≥0}，则A ∪B 等于( ) A ．{x |x >－1}B ．{x |－1<x <1}C ．∅D ．{x |－1<x <1或x >1} 6．已知函数f (x )＝2x－2，则函数y ＝|f (x )|的图像可能是()7.函数y=sin 2x+cos2x 是( )A.周期为π的偶函数B.周期为π的奇函数C.周期为2π的增函数D.周期为2π的减函数()2,1511 (2)2()f cosx cos x f sin A B C D =︒-8.已知则的值等于3()(2)312(),()311...2()222sin cos tanf a fcosA B C Dπαπααπππα⎛⎫---+⎪⎛⎫⎝⎭=- ⎪--⎝⎭--9.已知则的值为210.,()A.(),B.(),C.241281244(),D.2()8,y y xπππππ⎛⎫==+⎪⎝⎭要得到函数的图象只需将函数的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变再向左平行移动个单位长度横坐标缩短到原来的纵坐标不变再向右平行移动个单位长度横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变再向左平行移动个单位长度横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变再向右平行移动个单位长度11. 已知函数()f x是定义在R上的偶函数，且(1)f x+为奇函数.若(2)1f=，则(1)(2)(3)(201f f f f+++⋅⋅⋅+=（）A. 1B. 2014C. 0D. 2014-123cos22.,,.,,4443.,,.,,4412.)4(y log xA k k k ZB k k k ZC k k k ZD k k k Zππππππππππππππππ⎛⎫=-⎪⎝⎭⎡⎤⎡⎫-+-⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭⎡⎫∈∈∈∈⎡⎫++++⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭函数的单调增区间是二、填空题（每题5分，共20分）13、已知幂函数)(xfy=的图象过点)2,2(，则)9(f=14.函数y＝tan⎝⎛⎭⎪⎫2x－π4的定义域是15. 9.已知sinθ＝m－3m＋5，cosθ＝4－2mm＋5(m≠0)，则tanθ＝________.16. 函数y＝2x2－2x－3有以下4个结论：①定义域为R,②递增区间为[1，＋∞)③是非奇非偶函数；④值域是. )1,16⎡∞⎢⎣其中正确的结论是________三、解答题（共70分）17.(10分),,sin ,cos()53,,135)αβααββαβ=+=+已知均为锐角求(1)sin (2)tan(218.(12分)已知函数f (x )＝x 2－x ＋c (c ∈R )的一个零点为1. (1)求函数f (x )的最小值；(2)设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≤0，log 2(x ＋1)，x >0，若g (t )＝2，求实数t 的值．19.(12分)已知α是三角形的内角，且s in α＋cos α＝15.(1)求cos2α的值；(2)把用tan α表示出来，并求其值．20.(12分)已知函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫A>0，ω>0，|φ|<π2的最小正周期为2π，最小值为－2，且当x ＝5π6时，函数取得最大值4.(1)求函数f(x)的解析式．1sin cos a a⋅(2)若当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，方程f(x)＝m ＋1有解，求实数m 的取值范围21．(12分)已知函数f (x )＝2log (ax 2＋4x ＋5)．(1)若f (1)<3，求a 的取值范围； (2)若a ＝1，求函数f (x )的值域． (3)若f (x )的值域为R,求a 的取值范围22．(12分)已知函数2()2.3f x cosx sin x x sinxcosx π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)将函数f(x)的图象向右平移m 个单位,使所得函数为偶函数,求m 的最小正值.高一数学期末联考答案一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 3 14．3,28k xx k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭15．512- 16．①②③④ 17 （1） α为锐角sin 513α=得3os 112c α= ()40cos()355()αβπαβαβ==+∈++则sin 又,-----------3分sin sin()sin()cos cos()sin 4123533651351365βαβααβααβα=+-=+-+=⨯-⨯=------分（2）54tan tan()354tan tan()633tan(2,9121212)------12541tan tan()1613ααβααβαβααβ=+=+++===-----+⨯-+-分分18. 解：(1)因为函数f (x )＝x 2－x ＋c 的一个零点为1，所以f (1)＝0，即12－1＋c ＝0，解得c ＝0，-----------2分所以f (x )＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14.当x ＝12时函数f (x )的最小值为－14.6------分(2)g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≤0，log 2x ＋，x >0，由g (t )＝2知，当t ≤0时，g (t )＝t 2－t ＝2，解得t ＝－1，或t ＝2(舍去)；9------分当t >0时，g (t )＝log 2(t ＋1)＝2，解得t ＝3，----------11分 综上所述，实数t 的值为－1或3----------12分 19. 解：(1)解法一：联立得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15， ①sin 2α＋cos 2α＝1， ②-----------2分由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得25sin 2α－5sin α－12＝0. ∵α是三角形内角，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35， -----------4分cos2α=2972cos 1212525a -=⨯-=------------6分 解法二：∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425，(sin α-cos α)2＝1-2sin αcos α=4925)()120sin cos =-025sin -cos 02απααπαπαα∈⎛∴∈⎝又，且，即sin α-cos α＝75.-----------3分 cos2α=717(cos sin )(cos sin )5525a a a a -+=-⨯=------------3分 2221cos sin 1tan (2)9sin cos sin cos tan a a aa a a a a++==----分 1611259124sin cos 12334ta a a n α∴+==------＝－分 20解：(1)因为f (x )的最小正周期为2π，得ω＝2π2π＝1，又⎩⎪⎨⎪⎧b ＋A ＝4，b －A ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝3，b ＝1，----------3分由题意，5π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝2k π－π3 因 为|φ|<π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋1. ----------6分方程f (x )＝m ＋1可化为m ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6 所以x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6--9由正弦函数图像可知，实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.--------12分21(1)因为f (1)＝log 2(a ＋9)，所以log 2(a ＋9)<3＝log 28，所以0<a ＋9<8，所以－9<a <－1.即a 的取值范围为(－9，－1)．----------4分(2)当a ＝1时，f (x )＝log 2(x 2＋4x ＋5)，令t ＝x 2＋4x ＋5，则t ＝(x ＋2)2＋1≥1，f (x )＝log 2t 在[1，＋∞)上递增，所以log 2t ≥log 21＝0，所以函数f (x )的值域为[0，＋∞) ----------8分 （3）当a ＝0时, y= f (x )＝2log (4x ＋5),显然值域为R----------10分240020054-----------125aa a a a ∆≥-≥≤≤≤当时即可.4，综上所述，的取值范围是解得00分 ()()()22332:f x 2cosx s in x sin 332222.3337222,x cosxx sinxcosx1f x ,,.2321212in x s cosx sinxcos cosxsin sinxcosx x sin x k x k k Z k x Z c k k πππππππππππππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎛⎫=+=+----------- ⎪⎝⎭+++∈++∈++=22.解析令≤≤解得分≤≤故函数的单调递7,()61212k k k Z ππππ⎡⎤++∈-----------⎢⎥⎣⎦减区间是分()()()2()222.933().325---f x m g x 2si g x ,2m 0,k 1-------------12.1m 2n x m sin x m m k k Z ππππππ⎡⎤⎛⎫-+=-+-=------- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭+∴=+=∈->-函数的图象向右平移个单位后的解析式为要使函数为偶函数需又时取得最小正值分分。
江西省南昌市八一中学2019届高三数学上学期期末考试试题文201903270152
2018-2019学年度第一学期南昌市八一中学期末考试试卷高三文科数学一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分）1．若复数，为的共轭复数，则 （ ）11iz i+=-z z ()2017z=A. B. C. D.i i -20172i -20172i 2．已知全集，集合，,那么集合U R ={}260A x x x =--≤401x B xx -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭（ ） A. B. C.()U A C B = [)2,4-(]1,3-[]2,1--D. []1,3-3．在△ABC 中，||=||，||=||=3，则=（ ）A ．3B ．﹣3C ．D ．﹣4．执行框图，若输出结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，是半径的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点，连接，则M R N MN 弦的概率是（ ） MN A ．B ．C ．D ． 151413126．以下四个命题中，正确的个数是（ ）①命题“若是周期函数，则是三角函数”的否命题是“若是周期函数，)(x f )(x f )(x f 则不是三 角函数”；②命题“存在”的否定是“对于任意)(x f0,2>-∈x x R x”；③在中， “”是“”成立的充要条件；④命0,2<-∈x x R x ABC ∆B A sin sin >B A >题或，命题，则是 的必要不充分条件； :2p x ≠3y ≠:5q x y +≠p q A ． B ． C ． D ．01237．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A.B.C. D. 163π112π173π356π8．已知函数既是二次函数又是幂函数,函数是上的奇函数，函数()f x ()g x R ，()()()11g x h x f x =++则()()()()()()()()()201820172016101201620172018h h h h h h h h h ++++++-+-+-+-= ( ) A. 0B. 4037C. 4036D. 20189．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)(,*N n S a a n n ∈+==+12111，在等差数列{}n b 中，52=b ，且公差2=d .使得n b a b a b a n n 602211>+++ 成立的最小正整数n 为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．510．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，在的始边上有点αO x α，终边上有点，满足，若，则A ()(),20B m m m ->OA OB =OAB θ∠=（ ）2sin 22sin 1cos 2θθθ+=+A.B.2C.4D.11211．已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线上一()2222:10,0x y C a b a b-=>>12,F F P C 点，为Q 双曲线渐近线上一点，均位于第一象限，且，则双曲C ,P Q 2122,0QP PF QF QF →→→→=⋅=线的离心率为（ ） CABC D1-1+2-2+12．已知锐角三角形，角的对边分别为、、，若，ABC C B A 、、a b c 2()b a a c =+ 则的取值范围是（ ）2sin sin()AB A -A ．B. C. D .(0,1)1(21(,1)2二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若变量满足，目标函数取得最大值的是，y x ,260301x y x y x --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩()20,0z ax by a b =+>>6则的最小值为 ． 12a b+14．已知直线被圆截得的弦长为2，则________. )1y x =-2220x y x k +++=k =15．函数y=f （x ）对定义域的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f （x1）f （x2）=1成立，则称该函数为“依赖函数”．给出以下命题： ①y=是“依赖函数”；②y=是“依赖函数”；③y=2x 是“依赖函数”；④y=lnx 是“依赖函数”；⑤y=f （x ），y=g （x ）都是“依赖函数”，且定义域相同，则y=f （x ）．g （x ）是“依赖函数”． 其中所有真命题的序号是 ．16．已知函数，若函数有三个零点，则()()()⎪⎩⎪⎨⎧<++≥+=012012x x x x e xx f x 1))((--=a x f f y a的取值范围是 ．三、解答题（本题共6小题,共70分,解答过程应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17．（12分）已知，()，,cos )m x x ωω= (cos ,cos )n x x ωω=-0,x R >∈ω且 的图象上相邻两条对称轴之间的距离为.1()2f x m n =⋅- ()f x 2π（Ⅰ） 求函数的单调递增区间；()f x （Ⅱ）若的内角的对边分别为，且，，ABC ∆,,A B C ,,a b c b =()0f B =，求的值及边上的中线.sin 3sin A C =,a c AC18．某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x （单位：盒，100200x ≤≤）表示这个开学季内的市场需求量，y （单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润．（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量x 的平均数；（2）将y 表示为x 的函数；（3）根据直方图估计利润y 不少于4000元的概率．19．在平行四边形中，，，过点作的垂线，交的延长线ABCD 3AB =2BC =A CD CD于点，连结，交于点，如图1，将沿折起，使得点E AE =EB AD F ADE ∆AD E到达点的位置，如图2.P（1）证明：平面平面；BFP ⊥BCP （2）若为的中点，为的中点，且平面平面，求三棱锥G PB H CD ADP ⊥ABCD 的体积.G BCD -20．（12分）如图所示，已知圆经过抛物线的焦点，直线交0:22=-+x y x G )0(22>=p px y l 抛物线于A 、B 两点且与轴交于点M （m ，0）（m>0）。
江西南昌八一中学洪都中学2018-2019学年高一数学上学期期末考试试题
2018~2019学年度第一学期高一数学期末联考试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|2-x＜2}，B={x|log2x＞0}，则（）A. B.C. 或D.2.下列命题中正确的是（）A. 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B. 模相等的两个平行向量是相等向量C. 若和都是单位向量，则D. 两个相等向量的模相等3.计算2sin2105°-1的结果等于（）A. B. C. D.4.函数f（x）=x-的图象关于（）A. y轴对称B. 原点对称C. 直线对称D. 直线对称5.若函数f（x）=sin（2x+φ）为R上的偶函数，则φ的值可以是（）A. B. C. D.6.设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A. B.C. D.7.已知，则（）A. B. C. D.8.若||=1，||=2，=，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.9.将函数y=2sin（2x+）的图象向左平移个最小正周期后，所得图象对应的函数为（）A. B.C. D.10.若＜α＜π，化简的结果是（）A. B. C. D.11.的外接圆的圆心为O，半径为1，若+=2，且||=||，则的面积为（）A. B. C. D. 112.设函数f（x）=a sin x+b cos x，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≥f（）对一切x∈R恒成立，则下列结论中正确的是（）A.B. 点是函数的一个对称中心C. 在上是增函数D. 存在直线经过点且与函数的图象有无数多个交点二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f（x）=log2（x2-5），则f（3）=______．14.已知平面向量，的夹角为，||=4，||=2，则|-2|=______．15.函数y=1-sin2x-2sin x的值域是______ ．16.若f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若方程f（x）=kx恰有3个不同的根，则实数k的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（满分10分）已知向量=（3，4），=（-1，2）．（1）求向量与夹角的余弦值；（2）若向量-λ与+2平行，求λ的值．18.（满分12分）已知tan α=2．（1）求tan（α+）的值；（2）求的值．19.（满分12分）已知向量=（cos x，-1），=（sin x，cos2x），设函数f（x）=•+．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当x∈（0，）时，求函数f（x）的值域．20.（满分12分）已知函数f（x）=A sin（ωx+ϕ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|ϕ|＜）的部分图象如图所示，（Ⅰ）试确定f（x）的解析式；（Ⅱ）若=，求cos（-α）的值．21.（满分12分）已知函数（1）试判断函数的奇偶性；（2）求函数的值域.22.（满分12分）已知函数f（x）=2sin2（x+）-2cos（x-）-5a+2．（1）设t=sin x+cos x，将函数f（x）表示为关于t的函数g（t），求g（t）的解析式；（2）对任意x∈[0，]，不等式f（x）≥6-2a恒成立，求a的取值范围．2018-2019学年上学期期末联考试卷高一数学答案一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 214.15. [-2，2]16. [-，-）∪（，]三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.解：（1）因为向量=（3，4），=（-1，2）．所以•=3×（-1）+4×2=5，……（2分）又||==5，||==，……（4分）所以cos＜，＞==；……（5分）（2）因为=（3，4），=（-1，2），所以-λ=（3+λ，4-2λ），+2=（1，8）；……（7分）因为向量-λ与+2平行，所以8（3+λ）=4-2λ，……（8分）解得：λ=-2．……（10分）18.解：tanα=2．（1）tan（α+）===-3；......(6分）（2）====1．......（12分）19.解：（Ⅰ）依题意向量=（cos x，-1），=（sin x，cos2x），函数f（x）=•+==．得∴f（x）的最小正周期是：T=π由解得，k∈Z．从而可得函数f（x）的单调递增区间是：......(6分）（Ⅱ）由，可得......(8分）从而可得函数f（x）的值域是：......（12分）20.解：（Ⅰ）由图象可知A=2，=-=，∴T=2，ω==π将点P（，2）代入y=2sin（ωx+ϕ），得sin（+ϕ）=1，又|ϕ|＜，所以ϕ=．故所求解析式为f（x）=2sin（πx+）（x∈R）...... （6分）（Ⅱ）∵f（）=，∴2sin（+）=，即，sin（+）=∴cos（-a）=cos[π-2（+）]=-cos2（+）=2sin2（+）-1=-......（12分）21.解：（1），的定义域为，则对中的任意都有,所以为上的奇函数；......（6分）（2）令，，，，，，即值域为.......（12分）22.解：（1）∵t=sin x+cos x=sin（x+），∴t2=sin2x+cos2x+2sin x cosx，∴sin x cosx=．∵f（x）=1-cos（2x+）-2（cos x+sin x）-5a+2=3+sin2x-2（sin x+cos x）-5a=3+2sin x cosx-2（sin x+cos x）-5a=3+2×-2t-5a=t2-2t-5a+2，∴f（x）=g（t）=t2-2t-5a+2（t∈[-，]）......（6分）；（2）∵x∈[0，]，∴t=sin x+cos x=sin（x+）∈[1，]，又∵g（t）=t2-2t-5a+2=（t-1）2-5a+1在区间[1，]上单调递增，所以g（t）min=g（1）=1-5a，从而f（x）min=1-5a，要使不等式f（x）≥6-2a在区间[0，]上恒成立，只要1-5a≥6-2a，解得a≤-．......（12分）。