导数与微分知识点

第二章 导数与微分一、导数1．导数的定义: 由“变速直线运动的瞬时速度”、“平面曲线的切线斜率”引出 设函数()x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ∆，相应地函数增量()()00x f x x f y -∆+=∆。

如果极限 ()()xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000limlim存在，则称此极限值为函数()x f 在0x 处的导数（也称微商），记作()0x f '，或0x x y ='，0x x dx dy =，()0x x dx x df =等，并称函数()x f y =在点0x 处可导。

如果上面的极限不存在，则称函数()x f y =在点0x 处不可导。

注：函数()x f 在0x 处的导数，就是导函数f ’(x)在点在0x 处的函数值，即()0x f '=f ’(x)|x=x0。

多数情况下用求导法则，有时用定义求导更方便。

如题中函有f(x)，而不是具体的方程时。

2、单侧导数右导数：()()()()()x x f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='++→∆→+000000lim lim 0左导数：()()()()()xx f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='--→∆→-000000lim lim 0则有()x f 在点0x 处可导()x f ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。

3、导数的几何意义如果函数()x f y =在点0x 处导数()0x f '存在，则在几何上()0x f '表示曲线()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率，即：()0x f '=K=tan a 。

切线方程：()()()000x x x f x f y -'=-法线方程：()()()()()010000≠'-'-=-x f x x x f x f y 注：切线与法线垂直，切线的斜率与法线的斜率乘积为负1，即：K 切 * K 法 = -1。

设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为()t f S =，如果()0t f '存在，则()0t f '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度。

4．函数的可导性与连续性之间的关系如果函数()x f y =在点0x 处可导，则()x f 在点0x 处一定连续，反之不然，即函数()x f y =在点0x 处连续，却不一定在点0x 处可导。

例如，()x x f y ==，在00=x 处连续，却不可导。

5、求导a)、基本初等函数的导数公式)(0为常数C C =' )()(1为实数u ux x u u -='a x x a ln 1)(log =' xx 1)(ln =' a a a x x ln )(=' x x e e =')(x x cos )(sin =' x x sin )(cos -=' x x 2sec )(tan =' x x 2csc )(cot -='x x x tan sec )(sec =' x x x cot csc )(csc -=' 211)(arcsin xx -=' 211)(arccos xx --='211)(arctan x x +=' 211)cot (x x arc +-=' 注：正正余负b)、函数的和、差、积、商的求导法则)()(])()([x v x u x v x u '±'='± )()()()(])()([x v x u x v x u x v x u '+'=' ))((])([为常数C x u C x Cu '=')()()()()(])()([2x v x v x u x v x u x v x u '-'=' ),0)(()()(])([2为常数C x v x v x v C x u C ≠'-=' c)、复合函数的求导法则的导数为则复合函数设)]([),(),(x f y x u u f y ϕϕ==={})()()]([x u f x f dxdu du dy dx dy ϕϕ'•'='•=或 d)、反函数的求导法则的反函数，则是设)()(y x x f y ϕ==dydx1dx dy )0)(()(1)(=≠'='或y y x f ϕϕ 注：反函数的导数等于直接函数导数的倒数；先求出原函数的导数的倒数，再把里面的y 换成反函数的x 。

例：e)、隐函数求导 方程两端同时对x 求导，遇到含有y 项，先对y 求导，再乘以y 对x 的导数y '，得到一个含有y '的方程式，然后从中解出y '即可例1：x^2*y^5 +y^2 =6x +2 +x^5 (2x*y^5 + x^2 * 5y^4 *y ’) + 2y*y ’ =6+0+5x^4 例2：每一次对x 求导，把y 看作中间变量，然后解出'y 例：765)23sin(=++-++y x y x eyx ，确定)(x y y =，求'y解：两边每一项对x 求导，把y 看作中间变量 065)23)](23[cos()1('''=++--+++y y y x y eyx 然后把'y 解出来f)、对数求导法：当遇到某些情况下，如幂函数、一重根号、多重根号，此时转换成特殊的对数In 形式例：取对数后，用隐函数求导法则)4)(3()2)(1(----=x x x x y)]4ln()3ln()2ln()1[ln(21ln -----+-=x x x x y 求导得)41312111(21'-----+-=x x x x y y 解出'y 例： 0>=x x y xxx e y ln = 解出'yx x y ln ln =1ln '+=x yy 解出'y g)、参数方程求导法⎩⎨⎧==)()(t y t x φϕ参数方程，则)()(1t t dtdx dt dy dx dt dt dy dx dy φϕ''=•=•= h)、高阶导数如果函数()x f y =的导数()x f y '='在点0x 处仍是可导的，则把()x f y '='在点0x 处的导数称为()x f y =在点0x 处的二阶导数，记以0x x y =''，或()0x f ''，或022x x dx yd =等，也称()x f 在点0x 处二阶可导。

如果()x f y =的1-n 阶导数的导数存在，称为()x f y =的n 阶导数，记以()n y，()()x y n ，n n dxyd 等，这时也称()x f y =是n 阶可导。

注：参数方程的二阶导数 = 一阶导数对t 求导 / x 对t’(t)/x ’(t)。

⎧d d d ,)()(二阶可导若函数⎩⎨==t y t x ψϕ=22d x y ⎪⎭⎫⎝⎛'')()(t t ϕψ)(1)()()()()(2t t t t t t ϕϕϕψϕψ'⋅''''-'''=.)()()()()(d 322t t t t t x y ϕϕψϕψ''''-'''=即xtd ⋅二、微分 1、定义设函数()x f y =在点0x 处有增量x ∆时，如果函数的增量()()00x f x x f y -∆+=∆有下面的表达式()()x o x x A y ∆+∆=∆0 ()0→∆x其中()0x A 为x ∆为无关，()x o ∆是0→∆x 时比x ∆高阶的无穷小，则称()x f 在0x 处可微，并把y ∆中的主要线性部分()x x A ∆0称为()x f 在0x 处的微分，记以0x x dy=或()x x x df =。

我们定义自变量的微分dx 就是x ∆。

2、可微与可导的关系()x f 在0x 处可微()x f ⇔在0x 处可导。

且()()dx x f x x A x x dy000'=∆==一般地，()x f y =则()dx x f dy '=所以导数()dxdyx f ='也称为微商，就是微分之商的含义。

微分公式：dy =f ’(x)dx dy /dx =f ’(x) 3、微分的几何意义()()00x f x x f y -∆+=∆是曲线()x f y =在点0x 处相应于自变量增量x ∆的纵坐标()0x f 的增量，微分0x x dy=是曲线()x f y =在点()()000,x f x M 处切线的纵坐标相应的增量（见图）。

4、微分公式：参考求导公式：略。