非参数统计分析在数模中的应用

之所以发生了两种不同的推断，就是由于我们假设原料的长 度服从正态分布，该假设是否合理呢？如果假设不合理，由此得 到的结论自然就不可信！ 在实际问题中，人民用足够多的实践经验和假设依据来假定 我们所关心的一组数据所来自一个已知的总体。据此我们用参数 统计分析方法进行统计推断，其结果往往不可信的，有时甚至是 错误的。
Wy Ri
i 1 n
为用于检验 H 0 的统计量
对给定的置信水平 （ 0 1 ），并将样本代入 Wy 中得 Wy0。若 P(Wy Wy0 ) ，则拒绝 H 0 。认为 X 与Y 有
不同的分布。所以，两总体的样本也存在差异。
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[模型一]两样本的差异性检验
非参数统计分析方法对我们所关注的一组数据的总体分布不 作假设或仅给出一般的假设（如总体是连续型的，或分布是对称 2014-8-11 的等）。 7
三、非参数统计方法的应用实例
[模型一]两样本的差异性检验
[模型二]多样本的差异性检验
[模型三]多样本的一致性检验
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[模型一]两样本的差异性检验
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[模型一]两样本的差异性检验
输出结果：
Wilcoxon两 样本秩和统计量 （较小的秩和） 双尾p值之和为 0.0111，小于 0.05，拒绝原假 设。
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[模型二]多样本差异的假设检验
1.问题：某公司的管理人员分别毕业于不同的三所大学，该公司 的年度考核评分如下：
i 1
（3）若 W2 （秩和）较小，可以认为：二企业职工的工资有差异，
（即拒绝 H 0 ）。否则没有差异。
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[模型一]两样本的差异性检验
假设检验的基本步骤： （1）寻找用于检验 H 0 的统计量； ）， （2）对给定的置信水平 （0 1
控制 P(犯第一类错误)=P(拒绝 H 0 |H 0 为真)≤
问题：两企业职工工资收入的差异性检验 已知有两个企业职工的工资如下表：（单位：
千元/年）
企业1 ：11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 40 60 企业2 ： 3 4 5 6 7 8 9 10 30 50
试推断两企业职工工资是否有差异？
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[模型一]两样本的差异性检验
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[模型二]多样本差异的假设检验
（2）选择Stat下拉菜单；选择Nonparametrics选项中的KruskalWallis子选项；在Kruskal-Wallis对话框的Response方框中选择
C1，Factor方框中选择C2，如下图。
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[模型二]多样本差异的假设检验
P(W2 66) P(W2 76) 0.05
则拒绝 H 0 ，认为二企业
的职工工资有差异。
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[模型一]两样本的差异性检验
一般地，设有两总体 X , Y, 希望检验 X 与Y是否 H1： X 与Y 不同分布。 有差异，即 H 0 ： X 与Y 同分布， 设 x1,..., xm 与 y1,..., yn 分别是总体 X 与Y 的样本，记 Ri 为 y i N mn 在合样本 x1 ,..., xm y1,..., yn 中的秩。 则

) (

8.6

)
)
(
8.6 8.5
8.4 8.5
8.6 8.5 8.4 8.5 ) ( ) s s 66% (
• 即供应商提供的商品的原料只有三分之二是合格品， 可以认为产品的质量存在问题。
201现有91%的数据在[8.4,8.6]之间， 由此可以认为供应商提供的原料是可以信赖的。
SSE
组内平方和
组间平方和
若这些管理人员的表现无差异，则 SSE 较小。
对给定的置信水平 ，若 P( H d ) ，则拒绝 H 0 。其中 H
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12SSB N ( N 1)
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。
[模型二]多样本差异的假设检验
用统计软件Minitab进行Kruskal-Wallis秩和检验的步 骤如下： （1）输入数据：如下图：
得到结果如下：
Kruskal-Wallis 检验结果显示，其对应的P值 为0.129，大于0.05即不能拒绝原假设，即不能认 为来自这三所大学的管理人员的表现有差异。
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[模型三]毛织物的紧密程度检验
1. 现有五种不同型号的毛织物，经9名检验员进行手
感评级，给出由紧（5）到松（1）分级如下表：
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[模型三]毛织物的紧密程度检验
利用minitab软件实现： （1）计算Friedman检验的Q检验统计量 ① 输入数据，例如将表3的数据按行（即首先输入第 一个处理的9个数据，然后输入第2个处理的9个数 据等等）输入到C1列： ② 输入数据的处理类别，例如与C1列的数据相对应， 在C2列的第1到第9个单元格都输入“1”，第10 到第18个单元格都输入“2等等； ③ 输入数据的区组类别，例如与C1列的数据相对应， 在C3列的第1到第9个单元格分别输入“1、2、3、 4、5、6、7、8、9”，第10到第18个单元格也分 别输入“1、2、3、4、5、6、7、8、9”等等；
利用SAS软件进行求解：
data aa ; do group=1 to 2; input n; do i=1 to n; input x @@; output; end; cards; 12 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 40 60 10 3 4 5 6 7 8 9 10 30 50 ; run; proc npar1way data=aa wilcoxon;/*选择项wilcoxon要求进行wilcoxon秩和检验。*/ class group; var x; run;
A B C 84 75 58 72 65 78 75 80 80 95 55 62 72 95 65 90 69 72 42 75
n1 7
n2 6
n3 7
试问：来自这三所大学的管理人员的表 现是否存在差异？
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[模型二]多样本差异的假设检验
解 H 0 ：来自这三所大学的管理人员工作表现无差异。
一般地 0.1,0.05,0.01
n 解：可以证明：P(W2 d ) P( Ri d ) tm,n (i) / CN ，并作为检验统计量 i 1 i d n
对给定的置信水平 0.05 ，若有 P(W2 d ) ,
（即 P(W2 d ) = P(犯第一类错） ），则拒绝 H 0 。
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[模型三]毛织物的紧密程度检验
试判断： 9位检验员的评级有无差异?
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，
[模型三]毛织物的紧密程度检验
R1 j ,..., Rkj 分别来自 b( 9)个区组， 解：设有 k ( 5) 个处理，
总体
Fj x i
i 1,..., k的样本。 ，

b
N kb
i 1,..., k
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,
[模型三]毛织物的紧密程度检验
若一致性成立，则 R1 ,……, Rk 之间的差异性应
较为明显，即SSB较大，进而Q较大。
， 对给定的 ，若 P(Q Q0 ) ,即所谓的“P值”
则拒绝 H 0 ，认为评级有差异或评级一次性好。
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• 经计算得：样本均值 x 8.495 ，样本标准差 s 0.1047 。 2 X ~ N ( , )。 X • 不妨假设原料的长度 服从正态分布,即 且 H0 : 8.5 。则
P(8.4 X 8.6) P(
H0
8.4


X
我们考察
SST ( xij x ) 2
i 1 j 1 ni k ni
[( xij xi ) ( xi x )]2
i 1 j 1 k ni
k
( xij xi ) ni ( xi x ) 2
2 i 1 j 1 i 1
k
ˆ
SSW
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二、非参数统计的优势
• 1.问题：供应商提供的原料是否合格？ • 某企业生产的产品须由某供应商提供的原料，根 据零件标准，合格的该原料长度应为：8.5 0.1 （cm）为检验近期供应商提供的原料是否合格， 检验人员随机抽取了 n 100（件）原料。它们的长 度数据 X 如下表1.
非参数统计分析在数学建模中的应用
桂林电子科技大学
数学与计算科学学院
朱宁
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目录
• 一、非参数统计案例 • 二、非参数统计的优势 • 三、非参数统计的实际应用
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一、非参数统计的案例
• 1.1992年西安数学建模竞赛题：气候站点问题 • 2.2006年全国大学生数学建模竞赛题：爱病疗效问 题 • 3.2012年全国大学生数学建模竞赛题：葡萄酒问题 • 4.学生评教成绩分析
解：设 X ：表示企业1职工工资
Y:
H0 :
表示企业2职工工资 两企业职工工资无差异
H1 : 两企业职工工资存在差异
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[模型一]两样本的差异性检验
为了检验 H 0 是否合理，我们引入“秩”，具体步骤如下： （1）将两企业职工工资合在一起，工资由小到大排列， 并赋予它们“秩”（Ri ）如下：