幂函数与函数变换
幂函数与函数的图象变换
时曲线上凸；当α>1时，曲线下凸；直α线＝1
时，为过(0,0)点和(1,1)点的(1,1)
．
❖ (2减)当α<0时，幂函数图象总经过 点， 且在第一象限为 函数．
❖ (3)α＝0时y＝x0，表示过(1,1)点平行于x 轴的直线(除去(0,1)点)．
❖ 二、函数的图象与图象变换
❖ 1．画图
❖ 描点法
❖ (2)比较大小：0.80.7与0.70.8.
❖ 解析：(1)∵0<0.71.3<1,1.30.7>1， ∴0.71.3<1.30.7
❖ 考察幂函数y＝xm由(0.71.3)m<(1.30.7)m
❖ 知y＝xm为(0，＋∞)上的增函数，∴m>0.
❖ (2)指数函数y＝0.8x是减函数， ∴0.80.7>0.80.8
❖ 若(a＋1)－ <(3－2a)－ ，则a的取值范 围是______．
❖ 解析：幂函数y＝x－ 在(0，＋∞)上为减 函数，函数值y>0；在(－∞，0)上也是减 函数，函数值y<0.
❖ 答案：(
)∪(－∞，－1)
❖ [例2] 设x∈(0,1)时，函数y＝xp的图象 在直线y＝x的上方，则p的取值范围是 ________．
❖ 解析：(1)当p>0时，根据题意p<1， ∴0<p<1.
❖ (2)p＝0时，函数为y＝1(x≠0)，符合题 意．
❖ (3)p<0时，在(0，＋∞)上过(1,1)点，函数 为减函数，符合题意．
❖ 综上所述，p的取值范围(－∞，1).
❖ 解析：由幂函数图象特点， ❖ C1、C2对应n>0，C3、C4对应n<0 ❖ ∴曲线C1、C2、C3、C4对应n为2， ，
函数的图像和变换
函数的图像和变换函数是数学中非常重要的概念，它描述了一种映射关系，将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
在数学函数的图像和变换中，我们将探讨不同类型的函数以及它们在平面直角坐标系中的图像和变换。
一、常见的函数类型1. 线性函数：线性函数是最简单的函数类型，它的表达式可以写为y=ax+b，其中a和b为常数。
线性函数的图像是一条直线，斜率a决定了直线的斜率方向和倾斜程度，常数b决定了直线与y 轴的交点。
2. 幂函数：幂函数是由形如y=x^n的表达式定义的函数，其中n为常数。
当n为正数时，幂函数的图像呈现递增或递减的曲线，曲线的陡峭程度取决于n的大小。
当n为负数时，曲线则在x轴正方向和y轴正方向之间交替。
3. 指数函数：指数函数由形如y=a^x的表达式定义，其中a为常数且大于0且不等于1。
指数函数的图像是一条通过点(0,1)的递增曲线，沿着x轴正方向迅速上升。
4. 对数函数：对数函数是指满足y=log_a(x)的函数，其中a为正实数且不等于1。
对数函数的图像是一条递增曲线，曲线的陡峭程度由底数a的大小决定。
5. 三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
这些函数的图像是关于坐标轴对称的波动曲线。
二、函数的图像变换函数的图像可以通过一系列变换实现形状、位置或大小的改变。
以下是常见的函数图像变换：1. 平移：通过在函数表达式中加上常数c，可以使得函数图像沿着x轴或y轴平移。
例如，对于线性函数y=x+1，如果我们在函数表达式中加上常数1，则函数图像整体上移1个单位。
2. 反转：通过对函数表达式中的x或y取相反数，可以使函数图像在x轴或y轴方向上发生反转。
例如，对于线性函数y=x，如果我们将函数表达式中的x替换为-x，则函数图像将在y轴上对称。
3. 缩放：通过在函数表达式中乘以常数d，可以实现函数图像的缩放。
如果d大于1，则函数图像会在坐标轴方向上拉伸；如果d介于0和1之间，则会在坐标轴方向上收缩。
幂函数的变化规律与应用
幂函数的变化规律与应用幂函数是高中数学中重要的一种函数类型，具有广泛的应用。
本文将探讨幂函数的变化规律以及在实际问题中的应用。
一、幂函数的定义与基本性质幂函数的定义为：f(x) = x^a，其中x为自变量，a为常数。
幂函数的变化规律与常数a的正负相关，下面分别进行讨论。
1.1 正整数幂函数（a>0）当a为正整数时，幂函数可以表示为多项式的形式，曲线呈现出特定的变化规律。
例如，对于幂函数f(x) = x^2，随着x的增大，f(x)的值也增大，但增速逐渐减小。
当x为负数时，幂函数的值同样为正。
同样地，对于其他正整数幂函数，其变化规律与二次函数类似，只是曲线的开口方向、附过的顶点位置等会有所不同。
1.2 负整数幂函数（a<0）当a为负整数时，幂函数的变化规律与正整数幂函数相似，但曲线的性质有所不同。
例如，对于幂函数f(x) = x^(-1)，随着x的增大，f(x)的值逐渐减小。
当x为负数时，幂函数的值同样为负。
1.3 非整数幂函数（a为有理数但不为整数）当a为有理数但不为整数时，幂函数的变化规律稍显复杂。
通常情况下，我们需要借助计算工具来获得特定取值下幂函数的函数值。
二、幂函数的应用幂函数在现实生活中有广泛的应用，可以观察到幂函数与许多量的关系。
2.1 金融领域中的复利计算复利计算是金融领域中极为重要的一种应用，其中幂函数的变化规律被广泛运用。
通过复利的计算公式：A = P(1+r/n)^(nt)，其中A为最终金额，P为本金，r为年利率，n为每年计算的次数，t为贷款（投资）的年限。
可以看出，幂函数在复利计算中起到了关键的作用。
2.2 物理学中的力与功的计算在物理学中，幂函数被广泛应用于力与功的计算当中。
根据功的定义，F为力，s为力的方向上的位移，功W = Fs。
当力的大小与位移的变化存在幂函数关系时，利用幂函数的特性可以更加准确地计算出功。
2.3 生态学中的物种多样性研究在生态学中，研究物种多样性与面积之间的关系是一项重要的课题。
高考数学幂函数知识点总结
高考数学幂函数知识点总结一、幂函数的定义和性质幂函数是数学中一种常见的函数形式，它的定义形式为y = ax^n，其中a和n都为实数，x为自变量，y为因变量。
幂函数在数学中扮演着重要的角色，广泛应用于自然科学和工程技术领域。
下面我们来总结一些幂函数的重要性质和应用。
1. 幂函数的定义域和值域：幂函数y = ax^n的定义域为实数集R，值域则取决于a和n 的取值范围。
当a>0时，n为整数时，函数的值域为正实数集R+；当a<0时，n为奇数时，函数的值域为负实数集R-。
2. 幂函数的奇偶性：当n为偶数时，函数为偶函数；当n为奇数时，函数为奇函数。
具体而言，当n为偶数时，对于任意x，有f(-x)=f(x)；当n为奇数时，对于任意x，有f(-x)=-f(x)。
3. 幂函数的图像变换：幂函数y = ax^n在平面直角坐标系中的图像变换与参数a和n的取值相关。
当a>1时，函数图像沿y轴方向压缩，当0<a<1时，函数图像沿y轴方向拉伸；当n>1时，函数图像在原点左侧上升，当0<n<1时，函数图像在原点右侧上升。
4. 幂函数的极限：当a>1时，幂函数在正无穷大时趋于正无穷大；当0<a<1时，幂函数在正无穷大时趋于0。
若n>0，幂函数在负无穷大时趋于正无穷大；若n<0，幂函数在负无穷大时趋于0。
二、幂函数的常见应用幂函数因为其特殊的形式和性质，在科学和工程中有广泛的应用。
以下是幂函数在一些具体问题中的运用。
1. 物质的增长和衰减：在生物学和经济学中，常常需要研究物质的增长和衰减过程。
幂函数可用来描述这种过程。
例如，生物种群的增长可以用幂函数进行建模，其中a表示种群的初始数量，n表示增长率。
同样，经济学中的人口增长、环境污染以及经济发展等问题也可以利用幂函数进行分析。
2. 各种规律的描述：幂函数可以应用于描述一些规律和现象。
例如，光的强度随距离的关系、金融领域中财富分布的不平等系数、能量消耗与功率之间的关系等都可以用幂函数来表达。
指数函数对数函数幂函数公式整理
指数函数对数函数幂函数公式整理指数函数、对数函数和幂函数是高中数学中的重要概念，它们的表达式与性质在数学中有着广泛的应用。
在本文中，我将对这三种函数进行公式整理，以便更好地理解它们的特点和相互关系。
首先，我们先来了解指数函数的相关公式。
指数函数的一般形式为f(x)=a^x，其中a为常数，a>0且a≠1、指数函数具有以下常见的性质：性质1：指数函数的定义域为所有实数，即(-∞,+∞)。
性质2：当a>1时，指数函数是增函数；当0<a<1时，指数函数是减函数。
性质3：当x趋向于正无穷时，指数函数趋向于正无穷；当x趋向于负无穷时，指数函数趋向于0；当x=0时，指数函数的值为1性质4：指数函数与对数函数是互为反函数的关系，即a^logₐ(x) = x，logₐ(a^x) = x。
性质5：指数函数的平移变换公式为：f(x)=a^(x-h)+k，其中(h,k)为平移的向量。
接下来，我们来整理对数函数的公式。
对数函数的一般形式为f(x)= logₐ(x)，其中a为常数，a>0且a≠1、对数函数具有以下常见的性质：性质1：对数函数的定义域为x>0，值域为所有实数，即(−∞,+∞)。
性质2：当0<x<1时，对数函数是负数；当x>1时，对数函数是正数。
性质3：对数函数与指数函数是互为反函数的关系，即logₐ(a^x) = x，a^logₐ(x) = x。
性质4：对数函数的平移变换公式为：f(x) = logₐ(x-h) + k，其中(h, k)为平移的向量。
最后，我们整理一下幂函数的公式。
幂函数的一般形式为f(x)=x^a，其中a为常数。
幂函数具有以下常见的性质：性质1：幂函数的定义域为所有实数，即(-∞,+∞)。
性质2：当a>1时，幂函数是增函数；当0<a<1时，幂函数是减函数。
性质3：当x趋向于正无穷时，幂函数的值趋向于正无穷；当x趋向于负无穷时，a为正数的幂函数的值趋向于0，a为负数的幂函数的值趋向于正负无穷；当x=0且a>0时，幂函数的值为1性质4：幂函数的平移变换公式为：f(x)=(x-h)^a+k，其中(h,k)为平移的向量。
幂函数及函数图像变换(教师)
幂函数及函数图像变换知识点1 幂函数 1．幂函数的定义一般地，形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．2.幂函数的性质：（1）幂函数的图象都过点 ；（2）当0α>时，幂函数在[0,)+∞上 ；当0α<时，幂函数在(0,)+∞上 ； （3）当2,2α=-时，幂函数是 ；当11,1,3,3α=-时，幂函数是 ． （4）任何幂函数都不过 象限；（5）当0α>时，幂函数的图象过 ． 3．幂函数的图象在第一象限的分布规律：（1）在经过点(1,1)平行于y 轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从 到 分布； （2）幂指数的分母为偶数时，图象只在 象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于 轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限 关于 对称．考向一 幂函数的定义【例1】►讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性： （1）5y x = （2）43y x-= （3）54y x =（4）35y x-=（5）12y x-=分析：要求幂函数的定义域和值域，可先将分数指数式化为根式． 解：（1）定义域R ，值域R ，奇函数，在R 上单调递增．（2）定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞，值域(0,)+∞，偶函数，在(,0)-∞上单调递增， 在(0,)+∞ 上单调递减．（3）定义域[0,)+∞，值域[0,)+∞，偶函数，非奇非偶函数，在[0,)+∞上单调递增． （4）定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞，值域(,0)(0,)-∞⋃+∞，奇函数，在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递减．（5）定义域(0,)+∞，值域(0,)+∞，非奇非偶函数，在(0,)+∞上单调递减． 【训练1】比较大小：（1）11221.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)-- （3）1125.25,5.26,5.26--- （4）30.530.5,3,log 0.5 解：（1）∵12y x =在[0,)+∞上是增函数，1.5 1.7<，∴11221.5 1.7< （2）∵3y x =在R 上是增函数， 1.2 1.25->-，∴33( 1.2)( 1.25)->- （3）∵1y x -=在(0,)+∞上是减函数，5.25 5.26<，∴115.25 5.26-->；∵ 5.26x y =是增函数，12->-，∴125.26 5.26-->；综上，1125.25 5.26 5.26--->>（4）∵300.51<<，0.531>，3log 0.50<，∴30.53log 0.50.53<<考向二 二次函数的图像和性质【例2】►（2010大连一模）函数f (x )＝x 2－2x ＋2在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值记为g (t )．(1)试写出g (t )的函数表达式； (2)作g (t )的图象并写出g (t )的最小值．[审题视点] 分类讨论t 的范围分别确定g (t )解析式． 解 (1)f (x )＝(x －1)2＋1.当t ＋1≤1，即t ≤0时，g (t )＝t 2＋1. 当t <1<t ＋1，即0<t <1时，g (t )＝f (1)＝1 当t ≥1时，g (t )＝f (t )＝(t －1)2＋1 综上可知g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1≤0，t ≤0，1，0<t <1，t 2－2 t ＋2，t ≥1.(2)g (t )的图象如图所示，可知g (t )在(－∞，0]上递减，在[1，＋∞)上递增，因此g (t )在[0,1]上取到最小值1.【训练2-1】 ►(2010·安徽)设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )．[审题视点] 分类讨论a ＞0，a ＜0.解析 若a ＞0，则bc ＞0，根据选项C 、D ，c ＜0，此时只有b ＜0，二次函数的对称轴方程x ＝－b2a ＞0，选项D 有可能；若a ＜0，根据选项A ，c ＜0，此时只能b ＞0，二次函数的对称轴方程x ＝－b2a ＞0，与选项A 不符合；根据选项B ，c ＞0，此时只能b ＜0，此时二次函数的对称轴方程x ＝－b2a ＜0，与选项B 不符合．综合知只能是选项D.答案 D【训练2-2】 （2011沈阳模拟）已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值．(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]， ∴x ＝1时，f (x )取得最小值1； x ＝－5时，f (x )取得最大值37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图象的对称轴为直线x ＝－a ， ∵y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数， ∴－a ≤－5或－a ≥5，故a 的取值范围是a ≤－5或a ≥5.考向三 幂函数的图象和性质【例3】►已知幂函数f (x )＝223m m x -- (m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足33(1)(32)m m a a --+<-的a 的取值范围．[审题视点] 由幂函数的性质可得到幂指数m 2－2m －3＜0，再结合m 是整数，及幂函数是偶数可得m 的值．解 ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴m 2－2m －3＜0，解得－1＜m ＜3.∵m ∈N *，∴m ＝1,2. 又函数的图象关于y 轴对称， ∴m 2－2m －3是偶数， 而22－2×2－3＝－3为奇数， 12－2×1－3＝－4为偶数， ∴m ＝1.而f (x )＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴(a ＋1)－13＜(3－2a )－13等价于a ＋1＞3－2a ＞0或0＞a ＋1＞3－2a 或a ＋1＜0＜3－2a . 解得a ＜－1或23＜a ＜32.故a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＜－1或23＜a ＜32.【训练3】已知幂函数223mm y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值．分析：幂函数图象与x 轴、y 轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数．结合m Z ∈，便可逐步确定m 的值． 解：∵幂函数223mm y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，∴2230m m --≤，∴13m -≤≤；∵m Z ∈，∴2(23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴223m m --是奇数，∴0m =或2m =． 知识点2 函数图像 (1)平移变换①水平平移：y ＝f (x ±a )(a ＞0)的图象，可由y ＝f (x )的图象向左(＋)或向右(－)平移a 个单位而得到．②竖直平移：y ＝f (x )±b (b ＞0)的图象，可由y ＝f (x )的图象向上(＋)或向下(－)平移b 个单位而得到． (2)对称变换①y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称． ②y ＝－f (x )与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称． ③y ＝－f (－x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称．由对称变换可利用y ＝f (x )的图象得到y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象．①作出y ＝f (x )的图象，将图象位于x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y ＝|f (x )|的图象；②作出y ＝f (x )在y 轴上及y 轴右边的图象部分，并作y 轴右边的图象关于y 轴对称的图象，即得y ＝f (|x |)的图象． (3)伸缩变换①y ＝af (x )(a ＞0)的图象，可将y ＝f (x )图象上每点的纵坐标伸(a ＞1时)或缩(a ＜1时)到原来的a 倍，横坐标不变．②y ＝f (ax )(a ＞0)的图象，可将y ＝f (x )的图象上每点的横坐标伸(a ＜1时)或缩(a ＞1时)到原来的1a 倍，纵坐标不变． (4)翻折变换①作为y ＝f (x )的图象，将图象位于x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y ＝|f (x )|的图象；②作为y ＝f (x )在y 轴上及y 轴右边的图象部分，并作y 轴右边的图象关于y 轴对称的图象，即得y ＝f (|x |)的图象．考向一 作函数图象【例1】►分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |； (2)y ＝2x ＋2；(3)y ＝x 2－2|x |－1； (4)y ＝x ＋2x －1.[审题视点] 根据函数性质通过平移，对称等变换作出函数图象．解 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x (x ≥1)，－lg x (0＜x ＜1).图象如图①.(2)将y ＝2x 的图象向左平移2个单位．图象如图②.(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1 (x ≥0)x 2＋2x －1 (x ＜0).图象如图③.(4)因y ＝1＋3x －1，先作出y ＝3x 的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y ＝x ＋2x －1的图象，如图④.【训练1-1】作出下列函数的图象：(1)y＝2x＋1－1；(2)y＝sin|x|；(3)y＝|log2(x＋1)|.解(1)y＝2x＋1－1的图象可由y＝2x的图象向左平移1个单位，得y＝2x＋1的图象，再向下平移一个单位得到y＝2x＋1－1的图象，如图①所示．(2)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sin x的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，其图象关于y轴对称，如图②所示．(3)首先作出y＝log2x的图象c1，然后将c1向左平移1个单位，得到y＝log2(x＋1)的图象c2，再把c2在x轴下方的图象翻折到x轴上方，即为所求图象c3：y＝|log2(x＋1)|.如图③所示(实线部分)．【训练1-2】把函数y＝f(x)＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是()A．y＝(x－3)2＋3B．y＝(x－3)2＋1C．y＝(x－1)2＋3 D．y＝(x－1)2＋1解析：把函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位，即把其中x换成x＋1，于是得y＝[(x ＋1)－2]2＋2＝(x－1)2＋2，再向上平移1个单位，即得到y＝(x－1)2＋2＋1＝(x－1)2＋3.答案：C考向二函数图象的识辨【例2】►函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝21－x在同一直角坐标系下的图象大致是()．[审题视点] 在同一个坐标系中判断两个函数的图象，可根据函数图象上的特征点以及函数的单调性来判断．解析 f (x )＝1＋log 2x 的图象由函数f (x )＝log 2x 的图象向上平移一个单位而得到，所以函数图象经过(1,1)点，且为单调增函数，显然，A 项中单调递增的函数经过点(1,0)，而不是(1,1)，故不满足；函数g (x )＝21－x ＝2×⎝⎛⎭⎫12x ，其图象经过(0,2)点，且为单调减函数，B 项中单调递减的函数与y 轴的交点坐标为(0,1)，故不满足；D 项中两个函数都是单调递增的，故也不满足． 综上所述，排除A ，B ，D.故选C. 答案 C【训练2-1】 (2010·山东)函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )．解析 当x ＞0时，2x ＝x 2有两根x ＝2,4；当x ＜0时，根据图象法易得到y ＝2x 与y ＝x 2有一个交点，则y ＝2x －x 2在R 上有3个零点，故排除B 、C ；当x →－∞时，2x →0.而x 2→＋∞，故y ＝2x －x 2＜0，故选A. 答案 A【训练2-2】(2011·郑州模拟)若函数f (x )＝ka x －a －x (a ＞0且a ≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )．考向三 函数图象的应用【例3】►已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}． [审题视点] 作出函数图象，由图象观察．解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)2－1， x ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)，－(x －2)2＋1， x ∈(1，3)， 作出图象如图所示．(1)递增区间为[1,2]和[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1]和[2,3]．(2)由图象可知，y ＝f (x )与y ＝m 图象，有四个不同的交点，则0＜m ＜1， ∴集合M ＝{m |0＜m ＜1}．【训练3】 (2010·湖北)若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( )．A ．[－1,1＋22]B ．[1－22，1＋22]C ．[1－22，3]D ．[1－2，3]解析 在同一坐标系下画出曲线y ＝3－4x －x 2(注：该曲线是以点C (2,3)为圆心、2为半径的圆不在直线y ＝3上方的部分)与直线y ＝x 的图象，平移该直线，结合图形分析可知，当直线沿y 轴正方向平移到点(0,3)的过程中的任何位置相应的直线与曲线y ＝3－4x －x 2都有公共点；注意到与y ＝x 平行且过点(0,3)的直线的方程是y ＝x ＋3；当直线y ＝x ＋b 与以点C (2,3)为圆心、2为半径的圆相切时(圆不在直线y ＝3上方的部分)，有|2－3＋b |2＝2，b ＝1－2 2.结合图形可知，满足题意的只有C 选项． 答案 C基础练习：1．(人教A 版教材习题改编)已知a ＝log 0.70.8，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系是( )． A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b解析 将三个数都和中间量1相比较：0＜a ＝log 0.70.8＜1，b ＝log 1.10.9＜0，c ＝1.10.9＞1. 答案 C2．(2011·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－3.答案 A3．(2011·浙江)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，x 2，x ＞0.若f (α)＝4，则实数α等于( )．A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ α≤0，－α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧α＞0，α2＝4，得α＝－4或α＝2，故选B.答案 B4．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b 等于( )． A ．3 B ．2或3 C ．2 D ．1或2 解析 函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[1，b ]上递增， 由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧f ＝1，fb ＝b ，b >1，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2－3b ＋2＝0，b >1.解得b ＝2.答案 C 5．(人教A 版)为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )．A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度解析 y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－1可由y ＝lg x 的图象向左平移3个单位长度，向下平移1个单位长度而得到． 答案 C6．(2011·安徽)若点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是( )A.⎝⎛⎭⎫1a ，b B ．(10a,1－b ) C.⎝⎛⎭⎫10a ，b ＋1 D ．(a 2,2b )解析 本题主要考查对数运算法则及对数函数图象，属于简单题．当x ＝a 2时，y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ，所以点(a 2,2b )在函数y ＝lg x 图象上． 答案 D7．函数y ＝1－1x －1的图象是( )．解析 将y ＝－1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y ＝1－1x －1的图象． 答案 B8．已知图①中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则图②的图象对应的函数为( )．A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |)解析 y ＝f (－|x |)＝⎩⎪⎨⎪⎧f (－x )，x ≥0，f (x )，x ＜0.答案 C9．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，求函数的最小值g (a )．[尝试解答] ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴对称轴为直线x ＝1，而x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，应进行讨论．当－2＜a ＜1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ；当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2＜a ＜1，－1，a ≥1.。
Laplace拉氏变换公式表
Laplace拉氏变换公式表1. 常数变换：对于常数C，其拉普拉斯变换为C/s，其中s是复数频率。
2. 幂函数变换：对于幂函数t^n，其中n为实数，其拉普拉斯变换为n!/s^(n+1)。
3. 指数函数变换：对于指数函数e^(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为1/(sa)。
4. 正弦函数变换：对于正弦函数sin(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为a/(s^2+a^2)。
5. 余弦函数变换：对于余弦函数cos(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为s/(s^2+a^2)。
6. 双曲正弦函数变换：对于双曲正弦函数sinh(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为a/(s^2a^2)。
7. 双曲余弦函数变换：对于双曲余弦函数cosh(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为s/(s^2a^2)。
8. 指数衰减正弦函数变换：对于指数衰减正弦函数e^(at)sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(s+a)^2+b^2。
9. 指数衰减余弦函数变换：对于指数衰减余弦函数e^(at)cos(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为s+a)/(s+a)^2+b^2。
10. 指数增长正弦函数变换：对于指数增长正弦函数e^(at)sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(sa)^2+b^2。
Laplace拉氏变换公式表11. 幂函数与指数函数的乘积变换：对于函数t^n e^(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换为n!/(sa)^(n+1)。
12. 幂函数与正弦函数的乘积变换：对于函数t^n sin(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换可以通过分部积分法得到。
13. 幂函数与余弦函数的乘积变换：对于函数t^n cos(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换可以通过分部积分法得到。
14. 指数函数与正弦函数的乘积变换：对于函数e^(at) sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(sa)^2+b^2。
三角函数的幂函数变换
三角函数的幂函数变换三角函数是数学中非常重要的一类函数，而幂函数是另一类常见的函数。
在数学中，我们常用幂函数的变换来描述和解决问题，而三角函数的幂函数变换就是将三角函数表达式转化为幂函数的表达式，从而简化计算和求解的过程。
一、正弦函数的幂函数变换正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，常用来描述周期性的变化。
我们来看一下正弦函数的幂函数变换。
1. 正弦函数的定义：正弦函数可以表示为y = sin(x)，其中x为自变量，y为函数值。
正弦函数的值在[-1, 1]之间波动，且具有周期性。
2. 正弦函数的幂函数变换：通过幂函数变换，我们可以将正弦函数表达式转化为幂函数的形式，从而简化计算过程。
正弦函数的幂函数变换公式为： sin(x) = (e^ix - e^(-ix))/(2i)其中i为虚数单位，e为自然对数的底数。
通过这个幂函数变换公式，我们可以将正弦函数的计算转化为幂函数的计算，从而更方便地进行求解。
二、余弦函数的幂函数变换余弦函数也是三角函数中的一种，常用来描述周期性变化。
下面我们来看一下余弦函数的幂函数变换。
1. 余弦函数的定义：余弦函数可以表示为y = cos(x)，其中x为自变量，y为函数值。
余弦函数的值同样在[-1, 1]之间波动，具有周期性。
2. 余弦函数的幂函数变换：通过幂函数变换，我们可以将余弦函数的表达式转化为幂函数的形式，便于计算和求解。
余弦函数的幂函数变换公式为： cos(x) = (e^ix + e^(-ix))/2同样，其中i为虚数单位，e为自然对数的底数。
通过这个幂函数变换公式，我们可以将余弦函数的计算转化为幂函数的计算，简化计算过程。
三、正切函数的幂函数变换正切函数是三角函数中的另一种常见函数，用来描述角度的斜率。
我们来看一下正切函数的幂函数变换。
1. 正切函数的定义：正切函数可以表示为y = tan(x)，其中x为自变量，y为函数值。
正切函数的值在整个实数集上变化，具有周期性。
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①规定：
1） *；2） ；
n个
3） Q）4） 、 N*且 。
3、幂函数：一般地，函数 （ 为常数， ）叫做幂函数，它具有以下性质：
①图像经过点(1,1)；
② 时,图像经过点(0,0)，且在 上为增函数 时，在 上为减函数。
常见的幂函数图像的画法：根据函数的定义域、奇偶性和单调性和对称性、零点和正负性等。
解：（1）k=0,1， ；
（2） ，
对称轴是
若 ，即 ，则 ，得m=2
此时g(-1)=-4，g(2)=-1，
若 ，即 ，则 ，此时方程无解
综上所述
例8、已知函数
（1）当 时，求 的最小值
（2）若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围
解：（1）当 时， =
因为 ，所以
即 ，最小值为15
（2）由题意得， 对 恒成立
例10、画函数图象并指出单调区间：
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） （5） （6）
例11、已知函数 若关于 的方程 有两个不同的实数根，求实数 的取值范围；
【课后练习】
A组
1、设 ，已知幂函数 是奇函数，且在区间 上是减函数，则满足条件的 的值是___ ___________
2、幂函数 的图像都通过定点____(1，1)_________,若它们在第一象限部分关于直线y=x对称，则p、q应满足的条件是_____pq=1_______
4、已知幂函数 的图像在第一、二象限，且不过原点，则（C）
A p、n为奇数，m为偶数B p、n为偶数，m为奇数
C p、m为奇数，n为偶数C p、m为偶数，n为奇数
5、当 时，下列不等式正确的是( B )
A B C D
6、证明函数 在 和 上单调递增
解：利用单调性的一般模式证明，注意分区间证明（证明过程略）
2.探讨函数 与 的图像之间的关系
【知识梳理】
一、幂函数
1、根式的概念：
①定义：若一个数的 次方等于 ，则这个数称 的 次方根。即若 ，则 称 的 次方根 ，
1）当 为奇数时， 次方根记作 ；
2）当 为偶数时，负数 没有 次方根，而正数 有两个 次方3）当 为偶数时， 。
总结图像：
二、图像变换
1、平移变换
① ：将 图像沿x轴向左（ ）或向右（ ）平移 个单位而得
② ：将 图像沿y轴向上（ ）或向下（ ）平移 个单位而得
由此可利用 的图像得出函数 图像的性质
2、对称变换
①函数 的图像：将函数 的图像关于 轴对称得到；
②函数 的图像：将函数 的图像关于 轴对称得到；
③函数 的图像：将函数 的图像关于原点对称得到；
3、有下列关于x的函数：① ② ③ ④ ⑤
（1）图像与x轴有交点的有__①__②__ ④ ⑤______(2)图像关于原点对称的有__________③__ (3)图像关于y轴对称的有_______④__________ (4)在 上递增的有______①__②__ ④ ⑤_____________
即 ①或 ②
由①得 <0， 对 恒成立，所以 矛盾
由②得 ，令 ，得对于任意 ， 恒成立
所以1° ，
2°
综上所述，
例9、设 ，已知函数 在 上是增函数.
（1）求函数 的解析式；
（2）设 ，讨论 在 上的单调性，并求 在 的最值.
【答案】（1）
（2） ，耐克函数性质，但是解此题要用定义法说明，具体略
类型2、函数的变换
（4）、比较下列各组数的大小
答案：略
例3、设 ，作出 的大致图象，讨论 的性质，并比较 与 的大小；
解：∵ 函数可由 通过平移变换而来，具体的单调性，奇偶性，对称轴等性质从略； ＞ 。
例4、已知 ，求实数 的取值范围。
答案：
【解法一】考察函数 ，由题意有如下情况：
从而得之；
【解法二】考察函数 可以避免讨论，先转换原不等式为： ，函数单调增从而转化不等式后得解，过程略
第1讲：幂函数与函数变换
【复习要求】
1.掌握幂函数的概念
2.选择若干个典型的指数 ,确定函数 的定义域，讨论幂函数的单调性、奇偶性和最大值、最小值
3.会用描点法和函数的性质作幂函数的图像，观察幂函数的单调性、奇偶性等性质在图像上的表现；
【教学重点】
1.幂函数的奇偶性、单调性和最大值、最小值的简单应用
B组
1、幂函数 的图像与坐标轴无公共点且是偶函数，则m=__1或___3_____
2、已知m>n>0，则下列不等式成立的是（B）
A B C D
3、设y=f(x)和y=g(x)是两个不同的幂函数，集合 ,则集合中的元素个数可以是（B）
A 1或2或0 B 1或2或3 C 1或2或3或4 D 0或1或2或3
（令 ，解 至多3个解）
4.已知幂函数 在 上是增函数，且在定义域上是偶函数，求p的值，并写出相应的函数
解：因为 在 上是增函数，所以
当p=0时， 不是偶函数，舍去
当p=1时， 是偶函数
当p=2时， 不是偶函数，舍去
综上所述，p=1，
5.画出函数 的图像
解：原函数是偶函数，所以先画x>0的部分，再沿y轴翻折即可
例1、作出下列幂函数的简图：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
（7） （8） （9）
例2、求解下列有关幂函数基本知识问题：
（1）求幂函数的最值.
函数 在区间 上的最大值____
（2）、幂函数的单调性
函数 是幂函数，且在 上是减函数，则实数 ______。
（3）、幂函数的奇偶性
是偶函数，且在 是减函数，则整数 的值是。
例5、解不等式：
解：利用图像求解，即求当函数y= 图像在函数y= 图像上方时自变量x的取值范围
所以
例6、已知幂函数 是偶函数，且在区间 上是增函数，求整数 的值，并作出相应的幂函数的大致图像
解：由题意得， 满足条件
例7、已知函数 满足 .
(1)求k的值及函数 的解析式；
(2)对(1)中所求函数 ,试判断是否存在正数m,使 在 上的值域为 ，若存在，求出m的值，若不存在，说明理由.
④函数 的图像：将函数 的图像关于直线 对称得到；
⑤函数 的图像：将函数 的图像在 轴下放部分沿 轴翻折到 轴上方，去掉原 轴下方部分并保留 的 轴上方部分即可得到；
⑥函数 的图像：将函数 的图像在 轴右边的部分沿 轴翻折到 轴左边代替原 轴左边部分并保留 在 轴右边部分即可得到；
【典型例题】
类型1、幂函数及其应用