探索三角形相似的条件(第一课时)
探索三角形相似的条件第一课时 教案
１０．４探索三角形相似的条件第一课时[教学目标]1．探索三角形相似的条件，会运用三角形相似的条件解决有关问题．2．经历“操作一观察一探索一说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力．[教学过程(第一课时)]1．情境创设前面我们学习了相似三角形的概念，即三个角对应相等、三条边对应成比例的两个三角形是相似三角形，同时这也是判定两个三角形相似的一种方法．除此之外，还有没有其他的判定方法呢?2．探索活动探索活动分为5个层次．第一层次：与判定两个三角形全等的条件类比，使学生感悟到，判定两个三角形相似也可以适当减少条件，提高学生探索两个三角形相似的条件的主动性．第二层次：组织操作活动，画出图中的3个三角形．第三层次：组织思考活动．学生通过实际度量图10-10(1)与图10-10(3)中三角形的边长与角的度数，发现这两个三角形的对应角相等、对应边成比例，它们是相似的．而此时图中给出的条件仅为：∠Ａ”＝∠A，∠B”＝∠B，Ａ”Ｂ”＝２AB．第四层次：改变兑值的大小(∠Ａ”＝∠A，∠B”＝∠B的条件不变)，度量画出的两个三角形的边和角，发现仍然满足相似的条件，这样使学生感悟到：只要满足∠Ａ”＝∠A，∠B”＝∠B的条件，图10-10(1)与图10-10(3)的三角形相似．第五层次：通过探索活动，归纳判定三角形相似的条件(1)．3．例题教学例1是复习巩固判定三角形相似的条件．其中，求上C的度数的根据是：三角形3个内角的和等于 180°；判定△ABC∽△A’B’C’的根据是：两个角对应相等的两个三角形相似．例2的解答过程实际上仅说明当平行于三角形一边的直线与其他两边相交时，所构成的三角形与原三角形相似．当平行于三角形一边的直线与其他两边的延长线相交、与其他两边的反向延长线相交的情况，由学生思考、解答．课本通过例题、思考等数学活动，归纳出判定三角形相似的条件：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．由于这一判定三角形相似的条件在实际应用中用途较广，教学时应结合实例向学生说明，在三角形中“见平行，想相似”，也是解题的一般思路．4．小结(1)两个角对应相等的两个三角形相似．并运用这一条件解决有关问题；(2)经历“操作一观察一探索一说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力．。
初中数学_探索三角形相似的条件(第一课时)教学设计学情分析教材分析课后反思
探索三角形相似的条件第1课时三角形相似的判定定理（1）教学目标知识与技能1.经历三角形相似的判定定理1 的探索及证明过程.2.能应用定理1判定两个三角形相似，解决相关问题.过程与方法让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.情感态度与价值观通过学生积极参与，激发学生学习数学的兴趣，体验数学的探索与创造快乐.教学重点三角形相似的判定定理1及应用.教学难点三角形相似的判定定理1的证明.教学过程一、回顾与思考根据相似多边形定义，说一说什么是相似三角形？表示为什么？读作什么？应注意什么？根据定义我们可以判定两个三角形相似所需条件是什么？猜一猜：判断三角形相似至少需要几个条件？二、探索新知（一）只有一个角相等的两个三角形相似吗？通过活动，你发现了什么结论？（二）动手实验：画△ABC和△ A'B'C' ，使得∠A=A'=40º，∠B=B'=60°，你所画的两个三角形相似吗？如果相似，你能用所学知识验证吗？学生经过画一画、剪一剪、量一量、算一算、拼一拼，在小组合作基础上，讨论交流，可能得出下面结论：①这样的两个三角形不一定全等.②两个三角形三个角都对应相等.③通过度量后计算，得到三边对应成比例.④通过拼置的方法发现这两个三角形可能相似.此时，教师鼓励学生大胆猜想，得出命题：猜想：两角对应相等，两三角形相似.进而让学生画出图形，用数学语言表示此定理：已知：如图△A′B′C′和△ABC中，∠A′=∠A，∠B′=∠B.在△A′B′C′和△ABC中，∵∠A′=∠A，∠B′=∠B.∴△ABC∽△A′B′C′（两角对应相等，两三角形相似）三、随堂练习，巩固知识（一）下面两组图形中的两个三角形是否相似？为什么？（二）判断题：（1）有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似.（）（3）有一个角相等的两个等腰三角形相似.（）四、例题分析如图：D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE//BC，AB=7，AD=5，DE=10，（1）图中有哪些相等的角？（2）找出图中相似三角形，并说明理由；CBDE（3）写出三组成比例的线段．（4）若AB=7，AD=5，DE=10，求BC 的长变式练习如图，在四边形 ABCD 中，AB // CD ，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，若AB=10，DC=4，OD=2，求OB 的长.五、当堂小测 1. 如图，请你添加一个条件___________,使得△ABC ∽△ADE.2. 如图，AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ，那么在下列比例式中，正确的是（ ）3. A.AD OA CD AB = B.BC OB OD OA = C.OC OB CD AB = D.ODOB AD BC = 4. 判断题：（1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似. （ ）（2）有一个角为110º的两个等腰三角形相似.（ ）（3）有一个角为35º的两个等腰三角形相似.（ ） 课堂小结提问：“通过这节课的学习你有什么收获？”A让学生相互畅谈自己的学习感受和体会，并请个别学生发言.课后作业1、布置作业：课本90页第3和4题，91页第5题2、完成创优作业中本课时“课时作业”部分.教学反思通过这节课的教学，绝大多数学生能运用本节课所学的知识进行相关的计算和证明；少数学生在探究两个三角形相似的定理时，还不太熟练，教师需加强针对训练.学情分析初中阶段的学生逻辑思维较差，观察能力、记忆能力和想象能力是初步的发展。
《探索三角形相似的条件》示范公开课教学设计【北师大版九年级数学上册】第1课时
第四章 图形的相似4.4 探索三角形相似的条件第1课时 教学设计一、教学目标1．经历两个三角形相似条件的探索过程，增强发现问题、提出问题的意识，进一步体会类比、分类、归纳等思想与方法．2．了解相似三角形的判定定理1．3．了解黄金分割．4．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题，发展应用意识．二、教学重点及难点重点：相似三角形的判定定理及其探索过程．难点：相似三角形的判定定理的应用．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板．四、相关资源《相似三角形引入》视频，《相似的判定AA 》动画，《相似三角形的判定》微课.五、教学过程【复习引入】根据所学的相似多边形的定义，你能给相似三角形下个定义吗？师生活动：教师引导学生得出，如果两个三角形的三个角分别相等，三条边成比例，我们就说这两个三角形相似．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．例如，在△ABC 和△A'B'C'中，如果∠A =∠A'，∠B =∠B'，∠C =∠C'，，我们就说△ABC 和△A'B'C'相似，相似比为k ，记作△ABC ∽△A'B'C'．设计意图：引导学生回顾旧知识，从而得出相似三角形的定义及写法．判定三角形全等，我们并不是验证六个条件，而是利用了几个简便的判定定理，那么三角形相似的判定我们又能找到哪些简便的方法呢？ 设计意图：类比三角形全等的判定方法为我们探索三角形相似的判定方法提供了方向AB BC AC k A'B'B'C'A'C'===性的指导，从而揭示本节课的主题．【探究新知】想一想如果两个三角形只有一个角相等，它们一定相似吗？如果有两个角分别相等呢？师生活动：教师引导学生用直尺和圆规任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的一个角与原来三角形的一个角相等，度量这两个三角形的三边及其他的两个角，看这两个三角形的三边是否成比例？其他的两个角是否相等？从而判定这两个三角形是否相似？再画一个三角形，使它的两个角与原来三角形的两个角相等，度量这两个三角形的三边和其他的一个角，看它们的三边是否成比例？其他的一个角是否相等？从而判定这两个三角形是否相似？做一做与同伴合作，两个人分别画△ABC和△A`B`C`，使得∠A和∠A`都等于∠α，∠B 和∠B`都等于∠β，此时∠C与∠C`相等吗？三边的比相等吗？这样的两个三角形相等吗？改变∠α和∠β的大小，再试一试。
北师大版九年级数学上册探索三角形相似的条件第1课时课件
知识梳理
课时学业质量评价
3. 如图，在△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝8， BC ＝6， D 为 AB 上一点，
且 AD ＝2，若在 AC 边上取点 E ，使△ ADE 与△ ABC 类似，则 AE 的长
为
或
.
1
2
3
4
第1课时 类似三角形的定义
及其判定定理1
知识梳理
2. 定理：两角分别
、三边
相等
成比例
知识梳理
课时学业质量评价
的两个三角形叫做类似三角形.
的两个三角形类似.
第1课时 类似三角形的定义
及其判定定理1
1. 下列命题中，是真命题的是(
知识梳理
B
)
A. 两个等腰三角形类似
B. 有一个角都是120°的两个等腰三角形类似
C. 两个直角三角形类似
D. 有一个角都是30°的两个等腰三角形类似
课时学业质量评价
4. 如图，在平行四边形 ABCD 中， E 为 BC 边上一点，连接 DE ， F 为线
段 DE 上一点，且∠ AFE ＝∠ B . 求证：△ ADF ∽△ DEC .
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB ∥ CD ， AD ∥ BC .
∴∠ C ＋∠ B ＝180°，∠ ADF ＝∠ DEC .
典例精讲
例1 如图4，D，E分别是△ABC 的边AB，AC上的点，
DE∥BC，AB=7，AD=5，DE=10，求BC 的长.
解：∵ DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∴△ADE∽△ABC
（两角分别相等的两个三角形类似）.
《探索三角形相似的条件》图形的相似PPT课件(第1课时)
知识讲解
做一做
当∠A=∠A1=∠α，∠B=∠B1=∠β时，∠C=∠C1
三边的比AB：A1B1，AC：A1C1，BC：B1C1也是相等
的，这样的两个三角形相似.
定理：两角分别相等的两个三角形相似.
知识讲解
例1.如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，
DE∥BC，AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长.
A．△ABD
B．△DOA
C．△ACD
D．△ABO
目标测试
3.如图，在平行四边形ABCD中，点F是BC延长线上的一点，
AF交BD于点O，交CD于点E，则图中相似三角形（全等除外）
共有（ C ）
A．3对
B．4 对
C．5对
D．6对
目标测试
4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，DE⊥BC，那么
证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC.
∵CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°.
又∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBE．
课堂总结
我们这节课主要研究了相似三角形的定义及
相似三角形的判定方法.
定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角
形叫做相似三角形.
定理：两角分别相等的两个三角形相似.
2
D
B
E
C
强化训练
2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点
D，则图中相似三角形共有（ C ）
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
强化训练
3.在△ABC中，∠C=90°，点D是边AB上一点（不与点A，
B重合），过点D作直线与另一边相交，使所得的三角形与
探索三角形相似的条件(一)说课课件
目 录
• 课程导入 • 三角形相似的概念 • 三角形相似的条件 • 三角形相似的应用 • 教学方法与手段 • 教学反思与改进
01
课程导入
课程背景
01
相似三角形是几何学中的重要概 念，它在解决实际问题中有着广 泛的应用。
02
通过学习三角形相似的条件，学 生可以更好地理解几何图形的性 质和关系，为后续学习奠定基础 。
引导学生主动思考，发现三角形相 似的规律，培养他们的观察力和推 理能力。
案例教学
通过分析具体的三角形相似实例， 让学生深入理解相似条件的运用。
教学手段
PPT课件
使用精美的PPT课件，展示三角 形相似的各种情况和条件，使教
学内容更加生动、形象。
实物模型
利用三角形实物模型进行演示， 帮助学生更好地理解三角形相似
建筑设计
在建筑设计过程中，可以 利用相似三角形的性质来 设计建筑物的结构，确保 其稳定性和安全性。
物理学
在物理学中，可以利用相 似三角形的性质来解决力 学、光学、电磁学等领域 的问题。
在数学竞赛中的应用
数学竞赛中的三角形相似问题
01
数学竞赛中常常会涉及到三角形相似的问题，需要学生灵活运
用相似三角形的性质来解决。
教学目标
掌握三角形相似的定 义和基本性质。
培养学生的观察、思 考和解决问题的能力 ，提高他们的数学素 养。
理解三角形相似的条 件，并能应用这些条 件解决实际问题。
教学内容
三角形相似的定义和性质
介绍相似三角形的定义、性质和判定 条件。
三角形相似的条件
应用实例
通过具体实例，让学生了解三角形相 似的应用，并掌握解决实际问题的技 巧和方法。
新北师大版数学九年级上册课件：探索三角形相似的条件(第1课时)
7．[2018· 株洲]如图349所示，Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形 ABCD的边AB和AD，其中AM＝AN.
图349
(1)求证：Rt△ABM≌Rt△ADN； 1 (2)线段MN与线段AD相交于点T，若AT＝ AD，求tan ∠ABM的值． 4 (1)证明：∵AM＝AN，AB＝AD，
3．如图345，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于 点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：
△CDF∽△ABP等
△ABP∽△AED或△BEF∽△CDF或△BEF∽△AED或△CDF∽△
．
图345
【解析】 ∵BP∥DE，∴∠ABP＝∠AED，又∠A＝∠A，∴△ABP∽△ AED；同理△BEF∽△CDF；△BEF∽△AED.利用相似三角形的传递性，还可 以得到△CDF∽△AED，△CDF∽△ABP等．
6．如图348，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD＝∠C， AB＝6，AD＝4，求线段CD的长．
图348
解：在△ABD和△ACB中， ∠ABD＝∠C，∠A＝∠A， ∴△ABD∽△ACB， AB AD ∴AC＝AB. ∵AB＝6，AD＝4， AB2 36 ∴AC＝ AD ＝ ＝9， 4 则CD＝AC－AD＝9－4＝5.
第四章 图形的相似
总第34课时——4 探索三角形相似的条件 (第1课时)
知识管 理 归类探 究 随堂练 习 分层作 业
1．相似三角形的概念
知识管 理
相似三角形：三角分别 相等 ，三边 成比例 的两个三角形叫做相似三角形． 表示方法：△ABC 与△DEF 相似，记作△ABC∽△DEF. 注 意：(1)全等三角形是特殊的相似三角形，它的特殊性体现在相似比为 1. (2)相似三角形的定义，既可以作为相似三角形的判定，又可以作为相似三角形 的性质，其性质为：两个三角形相似，对应角相等、对应边成比例．
探索三角形相似条件(一)上课课件
类比猜想，引入课题
猜想：从角的方面有几种可能的情况
猜想一：一个角对应相等的两个三角形相似
猜想二：两个角对应相等的两个三角形相似
猜想三：三个角对应相等的两个三角形相似
合作交流，探索结论
探究猜想一： 一个角对应相等的两个三角形相似 画一画请每位同学画出一个ABC, 使得A 60 , 并与同伴交流，你们所画 的三角形相似吗? 探究结果：两个三角形中仅知道有 一个角对应相等，不能作为判定两个三 角形相似的条件。
合作交流，探索结论
探究猜想二： 两个角对应相等的两个三角形相似
合作交流，探索结论
探究猜想三： 三个角对应相等的两个三角形相似 根据三角形内角和定理，可将猜三
与猜想二化归为同一个猜想.
合作交流，探索结论
两个三角形相似的判定方法： 两角对应相等的两个三角形相似
应用拓展，达成目标——做一做
判断题 1.有一个锐角对应相等的两个直角三 角形相似。（ ） 2.所有的直角三角形都相似。（ ） 3.有一个角相等的两个等腰三角形相 似。 （ ） 4.顶角相等的两个等腰三角形相 似。 ） 5.所有的等边三角形都相似。 （ ）
应用拓展，达成目标——学一学
应用拓展，达成目标——想一想
活动四：同伴互助，变式训练
b a
直线a 、直线b相交于点A，点B、C分别 在直线a 、直线b上，在直线a 、直线b上 A 分别找两点D 、E，使△BAC与△D AE相 似，请尽量多地画出点D 、E的位置。
B C
应用拓展，达成目标
相似三角形的基本图形
应用拓展，达成目标——试一试
《拿破仑测莱茵河宽度》
观察到对面岸边的一个标志O，于是 他想出了一个测量河宽的办法。他在自己 的岸边选点A、B、D，使得AB⊥AO， DB⊥AB，然后确定DO和AB的交点C。然后 测得AC=120米。CB=60米，BD=2０0米，你 Ｏ 能帮助他算出莱茵河的宽度吗？
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探索三角形相似的条件（第一课时）
妙招针对的重难点问题
学段：初中九年级下
针对的重难点问题名称：探索三角形相似的条件（第一课时）
背景介绍
几何是学生感觉困惑的一面，本节课是相似三角形判定的初始课，为学生后续的学习相似三角形的性质、相似多边形的判定及相似知识的综合应用奠定基础，是相似意识培养的重要一课，是学生由全等领域进入相似领域的转折点，能极大地促进着学生创新能力与逻辑推理能力的提高。
妙招描述
本节课通过前设的问题情境，学生易从直观、度量、结合相似三角形的定义，探究三角形相似的条件，引发学生主动参与的积极性。
由于根据定义需要判定三角形相似的条件较多，教师引导学生思考：条件能否少一些呢？在学生思考、探索交流过程中，从最少的已知条件开始探究两三角形相似的条件，引导学生猜想，并结合学案，先让学生动手画一画，体验各种情况得出的过程，学生有举反例说明，也有用定义说明，使学生初步感受到反例的作用和分类的思想，同时也展示交流学生的探索结果。
在学生探索过程之后，教师恰当地运用几何画板演示、验证猜想2的结论的正确性。
教学中通过例题及随堂练习的设计，让学生自主而积极地在已有的知识中捕捉相关教学信息，真正训练学生的思维。
教学中自始至终采用自主探索、交流合作获取知识，培养学生的能力，积累了活动经验。
在小结设计中，学生归纳总结判定两三角形相似的方法、区别和联系，同时也激起学生继续探索两三角形相似的其他方法，发展了学生的求知欲望。
这节课教师备课不仅着眼于如何教，还着眼于学生如何学，立足于师生的契合点，发展学生智慧，从而真正把教和学有机地结合起来。
实施过程：教学时，应给学生自主操作、探究。
留给学生较多的时间去探究并获得三角形相似
的识别方法。
培养学生提出问题、解决问题的能力。
进阶练习：
【基础巩固】
1.下列叙述正确的是()
A.任意两个等腰三角形相似
B.任意两个等腰直角三角形相似
C.两个全等三角形不相似
D.两个相似三角形的相似比不可能等于1
2.已知ΔABC∽ΔA1B1C1,且∠A=50°,∠B=95°,则∠C1等于()
A.50°
B.95°
C.35°
D.25°
3.已知ΔABC∽ΔA'B'C',且AB=3,AC=5,A'C'=15,则A'B'等于()
A.9
B.1
C.6
D.3
【能力提升】
4.在如图所示的两组图形中,各有两个相似三角形,试确定x,y,m,n的值.
5.如图所示,已知ΔABC∽ΔADE,AD=6 cm,DB=3 cm,BC=9.9 cm,∠A=70°,∠B=50°.求:
(1)∠ADE的大小;
(2)∠AED的大小;
(3)DE的长.
【拓展探究】
6.某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示.其中BA=CD,BC=20 cm,BC,EF平行于地面AD 且到地面AD的距离分别为40 cm,8 cm,为使板凳两腿底端A,D之间的距离为50 cm,那么横梁EF应为多长?(材质及其厚度等暂忽略不计)。