第六单元压杆稳定
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压杆稳定(工程力学课件)
压杆稳定的概念
桁架结构
在轴向压力作用下，
短粗压杆 只要满足杆受压时的强度
条件，就能正常工作
细长压杆
破坏形式呈现出与强度问题 截然不同的现象
FN [ ]
A
压杆失稳
细长压杆:
临界压力或临界力ห้องสมุดไป่ตู้Fcr
F Fcr F Fcr
稳定的平衡 不稳定的平衡
压杆失稳
在轴向压力 F 由小逐渐增大 的过程中，压杆由稳定的平衡 转变为不稳定平衡，这种现象 称为压杆失稳。
首先判断压杆的失稳方向
(1)两端约束 1
(2)截面形状
Fcr （2 El）I2
Iz
hb3 12
140 803 12
597.3104
mm4
Iy
bh3 12
80 1403 12
1829.3104
mm4
Fcr1
2 EImin
(l)2
2 10 103 MPa 597.3104 (1 3103 mm)2
mm4
65 435 N 65.44 kN
（N、mm、MPa）
【例 1】 细长压杆，两端为球形铰支，
矩形横截面, E 10 GPa ，求其临界力。
Fcr （2 El）I2
长度影响
【例 2】细长压杆，上端约束为球形铰支，
下端约束在 xOz平面内可视为两端铰支，
Fcr （2 El）I2
在 xOy 平面内可视为一端铰支、一端固定
M
Wz
[ ]
81.67
πD4 i I 64 D 40mm
A πD2 4 4
l 1 3103 75
i
40
查表： 0.54
81.67
桁架结构
在轴向压力作用下，
短粗压杆 只要满足杆受压时的强度
条件，就能正常工作
细长压杆
破坏形式呈现出与强度问题 截然不同的现象
FN [ ]
A
压杆失稳
细长压杆:
临界压力或临界力ห้องสมุดไป่ตู้Fcr
F Fcr F Fcr
稳定的平衡 不稳定的平衡
压杆失稳
在轴向压力 F 由小逐渐增大 的过程中，压杆由稳定的平衡 转变为不稳定平衡，这种现象 称为压杆失稳。
首先判断压杆的失稳方向
(1)两端约束 1
(2)截面形状
Fcr （2 El）I2
Iz
hb3 12
140 803 12
597.3104
mm4
Iy
bh3 12
80 1403 12
1829.3104
mm4
Fcr1
2 EImin
(l)2
2 10 103 MPa 597.3104 (1 3103 mm)2
mm4
65 435 N 65.44 kN
（N、mm、MPa）
【例 1】 细长压杆，两端为球形铰支，
矩形横截面, E 10 GPa ，求其临界力。
Fcr （2 El）I2
长度影响
【例 2】细长压杆，上端约束为球形铰支，
下端约束在 xOz平面内可视为两端铰支，
Fcr （2 El）I2
在 xOy 平面内可视为一端铰支、一端固定
M
Wz
[ ]
81.67
πD4 i I 64 D 40mm
A πD2 4 4
l 1 3103 75
i
40
查表： 0.54
81.67
压杆稳定解析课件
160.3
查表13-1,得 0.276， 与 0.289 相差不大
故可选28a工字钢,校核其稳定性
F 45.1MPa [ ] 46.92MPa
A
例6： 图示梁杆结构，材料均为Q235钢。AB梁为14号
工字钢，BC杆为 d＝20mm的圆杆。已知： F=25kN，
l1=1.25m，l2=0.55m，E=206GPa，p=200MPa， s=235MPa，n=1.4，nst=1.8。求校核该结构是否安全。
二﹑欧拉公式应用中的几个问题
（1）Fcr与EI成正比，与l2 成反比，且与杆端约束有 关。 Fcr越大，压杆稳定性越好，越不容易失稳；
（2）杆端约束情况对Fcr的影响，是 通过长度系数μ来实现的。要根据实 际情况选择适当的μ 。
（3）当压杆在两个形心主惯性平面内 的杆端约束情况相同时，则失稳一定 发生在最小刚度平面，即I 最小的纵 向平面。
y z x
轴销
y z
x
轴销
解：xy面内，两端视作铰支，μ = 1，iz = 4.14 cm
z
l
iz
1 2 4.14 102
48.3
y z
x
轴销
xz面内，两端视作固定端，μ = 0.5，查表iy= 1.52cm
y
l
iy
0.5 2 1.52 102
65.8
显然 z y
压杆将在xz平面内失稳 而 p 100，u s 60
lw
x
O
y
M(x) Fcr=F
w
w = Asinkx +Bcoskx （d）
Fcr
k2=Fcr / EI 两个边界条件:
w = Asinkx +Bcoskx
查表13-1,得 0.276， 与 0.289 相差不大
故可选28a工字钢,校核其稳定性
F 45.1MPa [ ] 46.92MPa
A
例6： 图示梁杆结构，材料均为Q235钢。AB梁为14号
工字钢，BC杆为 d＝20mm的圆杆。已知： F=25kN，
l1=1.25m，l2=0.55m，E=206GPa，p=200MPa， s=235MPa，n=1.4，nst=1.8。求校核该结构是否安全。
二﹑欧拉公式应用中的几个问题
（1）Fcr与EI成正比，与l2 成反比，且与杆端约束有 关。 Fcr越大，压杆稳定性越好，越不容易失稳；
（2）杆端约束情况对Fcr的影响，是 通过长度系数μ来实现的。要根据实 际情况选择适当的μ 。
（3）当压杆在两个形心主惯性平面内 的杆端约束情况相同时，则失稳一定 发生在最小刚度平面，即I 最小的纵 向平面。
y z x
轴销
y z
x
轴销
解：xy面内，两端视作铰支，μ = 1，iz = 4.14 cm
z
l
iz
1 2 4.14 102
48.3
y z
x
轴销
xz面内，两端视作固定端，μ = 0.5，查表iy= 1.52cm
y
l
iy
0.5 2 1.52 102
65.8
显然 z y
压杆将在xz平面内失稳 而 p 100，u s 60
lw
x
O
y
M(x) Fcr=F
w
w = Asinkx +Bcoskx （d）
Fcr
k2=Fcr / EI 两个边界条件:
w = Asinkx +Bcoskx
压杆稳定教学课件PPT
P
cr
2E 2
细长压杆。
粗短杆 中柔度杆
o
s
大柔度杆
P
l
i
粗短杆 中长杆 细长杆
细长杆—发生弹性屈曲 (p) 中长杆—发生弹塑性屈曲 (s < p) 粗短杆—不发生屈曲，而发生屈服 (< s)
四、注意问题：
1、计算临界力、临界应力时，先计算柔度，判断所用公式。
2、对局部面积有削弱的压杆，计算临界力、临界应力时， 其截面面积和惯性距按未削弱的尺寸计算。但进行强度 计算时需按削弱后的尺寸计算。
小球平衡的三种状态
稳定平衡
随遇平衡 （ 临界状态 ）
不稳定平衡
受压直杆平衡的三种形式
稳定平衡
随遇平衡 （ 临界状态 ）
不稳定平衡
电子式万能试
验机上的压杆稳定 实验
工程项目的 压杆稳定试验
§9-2 细长压杆临界压力的欧拉公式 一、两端铰支细长压杆的临界载荷
当达到临界压力时，压杆处于微弯状态下的平衡
1.287
91(kN)
例：图示立柱，L=6m，由两根10号槽型A3钢组成，下端固定，上 端为球铰支座，p 100 ，试 a=？时，截面最为合理。并求立柱的 临界压力最大值为多少？
解：1、对于单个10号槽钢，形心在C1点。 A1 12.74cm2, z0 1.52cm, Iz1 198.3cm4, I y1 25.6cm4.
细长压杆的破坏形式：突然产生显著的弯
曲变形而使结构丧失工作能力，并非因强度不
够，而是由于压杆不能保持原有直线平衡状态
(a)
(b) 所致。这种现象称为失稳。
1907年加拿大圣劳伦斯河上的魁北克桥 （倒塌前正在进行悬臂法架设中跨施工）
物理压杆稳定PPT学习教案
P
解：(1)各杆柔度:
μ=1 i=d/4=2cm
A
L1
L3 L2
B
30o
D 60o C
L=4m
L1 12m
1 L1 i 173 p
2 L2 i 100 p
P
2E
99.3
P
s
a s
b
61.6
L3 3m
3 L3 i 86.6 ( s , p )
第38页/共56页
P A
N2 3N1 N3 (1 3)N1
P1 (3 3)N1 (3 3)Pcr1 1643.3kN
P2 (1 3)N2 (1 3)Pcr2 2641kN
P3 3N3 3Pcr3 1801kN
Pmax min( P1 , P2 , P3 ) P1 1643.3kN
第40页/共56页
Pcr
2L L
L L 0.7L
L
0.5L
L
C
C
Pcr 公式
长度 系数
2EI
2L2
2
2 EI L2
2EI
0.7L2
1 第14页/共560页.7
14
2EI
0.5L2
0.5
2 EI L2
1
例9-2-1 试导出下图两端固定的细长压杆临界力公式。
P P
解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
EIy M ( x ) Py M0
cr
2E 2
P
P
P
2E P
P 的杆为大柔度杆，可用欧拉公式求临界力。 P 的杆为中小柔度杆，不可用欧拉公式求临界力。
第26页/共56页
26
二、中小柔度杆的临界应力计算
工程力学-细长压杆稳定性分析
E为材料的弹性模量，常用单位GPa
I
为横截面的轴惯性矩，常用单位 m 4或m m4
l
为压杆长度，常用单位m或mm
μ为压杆的长度因数，反映压杆两端支承对临界力的影响。
由欧拉公式
cr
得到
Fcr 2 EI A (l ) 2 A
令
2 i I/A 令
2E cr ( l / i) 2
10 22 3 Iz 8873.3mm 4 12
I y I z 压杆截面必绕y轴转动而失稳，因此将Iy代入公式，计算
截面对y轴的惯性半径。
iy
Iy A
1833.3 2.89mm 22 10
0.5 800 138.4 2.89
得到矩形截面柔度为
y
l
iy
y 138.4 101 采用欧拉公式计算临界应力
cr s
s
几种材料的相应数值。
例一矩形截面压杆，两端固定，已知b=10mm，h=22mm，l=800mm，
材料为Q235钢，弹性模量E=206GPa，试计算此压杆的临界力和临界
应力。
22
10
解：1）计算压杆的柔度
压杆两端固定，μ =0.5，截面对y轴和z轴的惯性矩为：
22 10 3 Iy 1833.3mm 4 12
d0=50mm ，最大起重量 F = 90kN ，材料为 Q235 钢，规定稳定安全因 数 nw 4 ，试校核该螺旋杆稳定性。
解： 1 ）螺旋杆可以简化为下端固定，上端自由的杆，长度因数
μ =2。
2）计算柔度
i
I d 0 50 12.5mm A 4 4
压杆稳定
去后，不能恢复到直线平衡状态的现象，称为失稳或屈曲。
“ Such failures can be catastrophic and lead to a large loss of life as well as major economic loss”
临界载荷的概念
压杆的压力逐渐上升,使压杆的平衡由稳定的平 衡状态向不稳定的状态的质变的转折点,称为临
F 界载荷,以 表示. cr
临界载荷 Fc：r
压杆保持直线状态平衡的最大 力。
使压杆失稳（不能保持直线形式的稳 定平衡）的最小力。
7.2 细长压杆的临界力 1、两端铰支的细长压杆的临界力
考察微弯状态下局部压杆的平衡
w
FBx Fp
若 p 则压杆的弯曲变形为
EI
d 2w dx2
M (x)
Fp w
此时挠曲线的某点C为一拐点（弯矩为 零），因此B处反力FBy的矢向指向左方。 压杆距离A端x截面的弯矩为
M (x) Fv FBy (l x)
挠曲线微分方程为 EIv Fv FBy l x
方程的通解为 v C1 sin
kx
C2
cos kx
FBy EIk 2
l
x
其中
k2 F EI
压杆的位移边界条件为：
2、其他杆端约束细长压杆的临界力 1） 一端固定，一端自由
F
cr
=
2EI
（2l）2
0.7l
2） 一端固定，一端铰支
C w
BC段, 曲线上凸,
1 0;
CA段, 曲线下凸,
( 1
)C
0
即
1 0
MC 0
F
cr
=
2EI
“ Such failures can be catastrophic and lead to a large loss of life as well as major economic loss”
临界载荷的概念
压杆的压力逐渐上升,使压杆的平衡由稳定的平 衡状态向不稳定的状态的质变的转折点,称为临
F 界载荷,以 表示. cr
临界载荷 Fc：r
压杆保持直线状态平衡的最大 力。
使压杆失稳（不能保持直线形式的稳 定平衡）的最小力。
7.2 细长压杆的临界力 1、两端铰支的细长压杆的临界力
考察微弯状态下局部压杆的平衡
w
FBx Fp
若 p 则压杆的弯曲变形为
EI
d 2w dx2
M (x)
Fp w
此时挠曲线的某点C为一拐点（弯矩为 零），因此B处反力FBy的矢向指向左方。 压杆距离A端x截面的弯矩为
M (x) Fv FBy (l x)
挠曲线微分方程为 EIv Fv FBy l x
方程的通解为 v C1 sin
kx
C2
cos kx
FBy EIk 2
l
x
其中
k2 F EI
压杆的位移边界条件为：
2、其他杆端约束细长压杆的临界力 1） 一端固定，一端自由
F
cr
=
2EI
（2l）2
0.7l
2） 一端固定，一端铰支
C w
BC段, 曲线上凸,
1 0;
CA段, 曲线下凸,
( 1
)C
0
即
1 0
MC 0
F
cr
=
2EI
材料力学课件 压杆稳定
§9.1 压杆稳定的概念
一、工程中的压杆 二、压杆的失效形式 三、压杆失稳的实例 四、压杆稳定的概念
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 钢结构桥梁中的杆
一、工程中的压杆： 铁塔中的杆
一、工程中的压杆： 小亭的立柱
第一节 压杆稳定的概念
四、压杆稳定的概念 1.稳定的分类
无穷多个 平衡点— 随遇平衡
一个平衡 点—稳定
平衡
没有平衡 点—不稳 定平衡
2.失稳的定义
压杆从直轴线状态下的稳定平衡转化为微曲状态 下的不稳定平衡成为失稳。
临界压力--使压杆失稳的压力称为临界压力。
F
F（较小） F（较小） F（特殊值） F（特殊值）
23Ed4
Pmax 64a2
[例]图示结构，①、②两杆截面和材料相同，为 细长压杆（设0<θ <π /2） 。
求载荷P为最大值时的θ 角。
解：由静力平衡条件可
解得两杆的压力分别为 ：
① 90 ②
FN1 P cos， FN 2 Psin
两杆的临界压力分别为
2EI
Pcr1 l12
2EI
2a 2
2EI
2a2
故 杆 系 所 能 承 受 的 最 大 载 荷
FN,BD P maxFcr
Pmax
3Ed4
128a2
2EI
2a 2
（b）BD杆受拉其余杆受压
四个杆的临界压力
Fcr
2EI
a2
故 杆 系 所 能 承 受 的 最 大 载 荷 ：
一、工程中的压杆 二、压杆的失效形式 三、压杆失稳的实例 四、压杆稳定的概念
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 网架结构中的杆
一、工程中的压杆： 钢结构桥梁中的杆
一、工程中的压杆： 铁塔中的杆
一、工程中的压杆： 小亭的立柱
第一节 压杆稳定的概念
四、压杆稳定的概念 1.稳定的分类
无穷多个 平衡点— 随遇平衡
一个平衡 点—稳定
平衡
没有平衡 点—不稳 定平衡
2.失稳的定义
压杆从直轴线状态下的稳定平衡转化为微曲状态 下的不稳定平衡成为失稳。
临界压力--使压杆失稳的压力称为临界压力。
F
F（较小） F（较小） F（特殊值） F（特殊值）
23Ed4
Pmax 64a2
[例]图示结构，①、②两杆截面和材料相同，为 细长压杆（设0<θ <π /2） 。
求载荷P为最大值时的θ 角。
解：由静力平衡条件可
解得两杆的压力分别为 ：
① 90 ②
FN1 P cos， FN 2 Psin
两杆的临界压力分别为
2EI
Pcr1 l12
2EI
2a 2
2EI
2a2
故 杆 系 所 能 承 受 的 最 大 载 荷
FN,BD P maxFcr
Pmax
3Ed4
128a2
2EI
2a 2
（b）BD杆受拉其余杆受压
四个杆的临界压力
Fcr
2EI
a2
故 杆 系 所 能 承 受 的 最 大 载 荷 ：
《压杆稳定》课件
《压杆稳定》PPT课件
压杆稳定是工程结构中的重要问题，掌握这一原理对于建筑、电力和汽车等 领域都至关重要。
概述
定义
压杆稳定是指结构中的杆件在受压作用下仍能够保持平衡的状态。
原理
受压杆件会发生弯曲和屈曲变形，从而形成侧向支撑力，从而保持杆件的稳定。
应用场景
建筑、桥梁、电力塔和汽车等诸多领域都运用了压杆稳定的原理。
电力工业
电力塔和支架上的压杆稳定设 计，可以防止杆件失去平衡而 导致高压线路的断裂。
总结
1
优缺点
压杆稳定有着较高的稳定性和安全性，但是对材料和结构的要求比较高。
2
发展趋势
随着结构材料和设计技术的不断进步，压杆稳定的设计方法也将日趋完善。
3
应用前景
压杆稳定在建筑、汽车和电力等领域有较广泛的应用前景，是未来工程结构的重 要发展方向。
参考资料
1. 《结构力学》 王兆院 2. 《结构稳定理论》 蔡景达 3. 《Mechanics of Materials》 R.C. Hibbeler
压杆稳定的计算
1
计算模型
压杆稳定的计算通常采用欧拉公式和能量
压力、应力和变形的计算
2
原理来进行分析。
压力、应力和变形是计算压杆稳定所必需
的核心参数。
3
临界负载
临界负载是指杆件失去稳定的负载情况， 其计算方法取决于结构和边界条件。
压杆稳定的优化设计
材料选择
不同材料的强度和刚度各不相同， 选择合适的材料对于杆件的稳定性 至关重要。
结构设计
良好的结构设计可以有效地降低压 杆的压力和应力，从而提高其稳定 性。
优化方法
优化方法可以使得压杆在保证结构 强度的同时，达到最佳的性能和稳 定状态。
压杆稳定是工程结构中的重要问题，掌握这一原理对于建筑、电力和汽车等 领域都至关重要。
概述
定义
压杆稳定是指结构中的杆件在受压作用下仍能够保持平衡的状态。
原理
受压杆件会发生弯曲和屈曲变形，从而形成侧向支撑力，从而保持杆件的稳定。
应用场景
建筑、桥梁、电力塔和汽车等诸多领域都运用了压杆稳定的原理。
电力工业
电力塔和支架上的压杆稳定设 计，可以防止杆件失去平衡而 导致高压线路的断裂。
总结
1
优缺点
压杆稳定有着较高的稳定性和安全性，但是对材料和结构的要求比较高。
2
发展趋势
随着结构材料和设计技术的不断进步，压杆稳定的设计方法也将日趋完善。
3
应用前景
压杆稳定在建筑、汽车和电力等领域有较广泛的应用前景，是未来工程结构的重 要发展方向。
参考资料
1. 《结构力学》 王兆院 2. 《结构稳定理论》 蔡景达 3. 《Mechanics of Materials》 R.C. Hibbeler
压杆稳定的计算
1
计算模型
压杆稳定的计算通常采用欧拉公式和能量
压力、应力和变形的计算
2
原理来进行分析。
压力、应力和变形是计算压杆稳定所必需
的核心参数。
3
临界负载
临界负载是指杆件失去稳定的负载情况， 其计算方法取决于结构和边界条件。
压杆稳定的优化设计
材料选择
不同材料的强度和刚度各不相同， 选择合适的材料对于杆件的稳定性 至关重要。
结构设计
良好的结构设计可以有效地降低压 杆的压力和应力，从而提高其稳定 性。
优化方法
优化方法可以使得压杆在保证结构 强度的同时，达到最佳的性能和稳 定状态。
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已知 b 1m 0h m 2m 2lm 8m 00 材料为Q235钢，弹性系数 E206GPa
求：压杆的临界力及临界应力
1-1 y
l1 1
h
z
b
解：1、计算压杆的柔度
求惯性半径
l
i
i2 I A
Iy
22 10 3 183 .3m 3 m 4 12
Iz
10 22 3 887 .3m 3 m 4 12
22
y
z
10
因为 I y Iz 所以压杆失稳时，杆横截面绕Y轴转动。
计算截面对Y轴的惯性半径
iy 2IA y 1 28 2 1 3 .30 3 8.33 m2 m
i 8.332.89 mm
因杆两端固定（查表） 0.5
杆长
l 8 0m 0 m
杆的柔度
y
l0.580m 0m 13.48
i 2.89 mm
i 惯性半径（与压杆截面的惯性矩及面积有关）
I i2 A
圆截面 i d 4
压杆的长度因数，与杆端部约束有关。
（可查表）
不同支承情况下的长度因数
柔度与细长压杆的关系
λ值越大，杆件越细长，其临界应力越小， 杆件越容易失稳，反之λ值越小，杆件越短 粗，杆件越不容易失稳。
柔度λ是判断杆件失稳难易的重要参数。
第六单元压杆稳定
第六单元 细长压杆稳定性分析
学习目标
通过本单元的学习了解失稳破坏与强度 破坏的区别，平衡的稳定与不稳定性的概 念，临界力与临界应力，柔度、欧拉公式 及经验公式，细长压杆的稳定条件及稳定 性校核。
能力知识点1
细长压杆的基本概念 工程实际中的稳定性问题
建筑工程中稳定性问题的实例：
cr ab
304MPa 1.12MPa 76 218.88MPa
4、计算工作应力
F
F A90150302N45.86MaP
4 5、校核螺杆的稳定性
cr nw cr21 .8 48 M 8a P 5.7 4M 2a P
F
因为 cr
所以螺杆的稳定性足够
细长压杆稳定性的校核的步骤
1、计算压杆的横截面的惯性矩 2、计算压杆的柔度并判断柔度杆的类型 3、计算临界应力 cr
以实验说明
沿着杆的轴线施加逐渐 增加的压力F，当压力很小 时，直杆还保持着直线形状。 这时若以一个很小的横向力 △F作用于杆的中部，△F 就会使杆发生微小的弯曲变 形。当这个横向力△F撤去 后，杆件就会恢复其原有的 直线形状。这就说明杆件的 直线形状是稳定的。
稳定平衡
当作用在杆上的轴 向压力F超过某一限度 时，只要轻轻地用△F 推一下，杆件就将立刻 弯曲到一个新的平衡位 置，或者由于弯得太厉 害而发生折断。这就说 明杆件这时的直线形状 是不稳定的。
能力知识点3 压杆稳定的校核
压杆稳定的条件
压杆的工作应力小于材料的稳定许用应力。
cr
压杆工作应力 (MPa )
F A
cr 材料的稳定许用应力 (MPa )
cr
cr
nw
n w 稳定安全系数
[例题] 螺纹千斤顶。螺纹最大旋出量长度
l47m5m 螺纹的小径 d50mm，最大起重量
F90KN材料为Q235钢，规定稳定安全因数 nw 4 校核螺纹杆的稳定性。
德国伯兰登堡门
金门大桥
机械工程中稳定性问题的实例：
千斤顶
连杆
活塞杆
1、失稳破坏
F
杆件丧失原有直线平衡状态， 产生弯曲而断裂。
2、失稳破坏的特点 1)主要发生在细长压杆。 2)断裂时杆件所受的压力远远小于杆 件材料所能承受的压力。
3、失稳破坏的原因 杆件破坏前丧失了平衡状态的稳定性。
4、平衡状态的稳定与不稳定性
2、计算压杆的临界应力
查表 Q235钢 p 101
因为 y 138.4
y p
所以用欧拉公式求临界应力
cr 2 2 E 3 .12 4 1 2.3 0 4 1 28 6 30 M a P 1.0 1 M 6 a P
3、计算压杆的临界力
cr
Fcr A
Fcr cr A
106 .1 22 10 23342 N 23 .3 KN
F
受力简图
l
解：1、由简化图一端固定，一端自由的杆。
查表：长度因数 2
2、计算柔度 l i
d s
50mm
i 12.5mm
44
l 247576
i 12.5
3、计算临界应力
查表：Q235钢 p101 s6.1 6
因为 76 所以 s p
螺杆属于中小柔度杆，用直线公式求临界应力
查表： a30 M a 4P b1.1M 2a P
2EI (l)2 A
令 I i2
A
cr(2lE )2 i2
2E (l)2
2E (l)2
F cr
i2
i
cr(2lE )2 i2
2E (l)2
2E (l)2
i2
i
令 l
i
cr
2E 2
临界应力欧拉公式
λ称为柔度，又称长细比。
四、柔度λ
l
i
λ反映压杆长度、约束条件、截面形状和尺寸对
压杆临界力的影响。
不稳定平衡 ∆F
能力知识点2
临界力和欧拉公式
一、临界力
压杆由稳定平衡过渡到不稳定平衡的临界 压力值称为临界力Fcr。
当轴向压力达到临界力时，压杆开始丧失稳定。 临界力Fcr的大小表示压杆稳定性的强弱， 临界力Fcr越大，则压杆不易失去稳定性，说明 压杆稳定性强；反之，临界力Fcr越小，则压杆 容易失去稳定性，说明压杆稳定性弱。
四、欧拉公式的适用范围
1、欧拉公式适用范围: 临界应力小于材料的比例极限 cr p 满足上述条件的杆件称为大柔度杆
即 p
p 为临界应力等于材料比例极限时，杆件的柔度。
2、中小柔度杆的临界应力
中小柔度范围
s p
临界应力（直线公式）
crab
s 为临界应力等于材料屈服极限时，杆件的柔度。
材料的柔度
材料
a / MPa
b / MPa
p
s
Q 235
304
1.12
101
61.6
35 钢
461
2.568
100
6045 钢5源自83.744100
60
铸铁
332.2
1.454
80
松木
39.2
0.199
59
40
3、压杆的临界应力总图
cr
cr s s
crab
p
cr
2E 2
短粗杆
s
p
中小柔度杆
大柔度杆
[例题]一矩形截面的压杆，两端固定。
压杆的稳定性关键在于临界力Fcr。
二、临界力的计算公式（欧拉公式）
Fcr
2 EI (l)2
E 材料的弹性模量， 单位MPa。 I Z 横截面的轴惯性矩，单位（mm）4 l 压杆长度，单位mm μ 压杆的长度因数，它反映压杆两端支承对
临界力的影响。无单位
三、临界应力的欧拉公式
F cr
cr
Fcr A
求：压杆的临界力及临界应力
1-1 y
l1 1
h
z
b
解：1、计算压杆的柔度
求惯性半径
l
i
i2 I A
Iy
22 10 3 183 .3m 3 m 4 12
Iz
10 22 3 887 .3m 3 m 4 12
22
y
z
10
因为 I y Iz 所以压杆失稳时，杆横截面绕Y轴转动。
计算截面对Y轴的惯性半径
iy 2IA y 1 28 2 1 3 .30 3 8.33 m2 m
i 8.332.89 mm
因杆两端固定（查表） 0.5
杆长
l 8 0m 0 m
杆的柔度
y
l0.580m 0m 13.48
i 2.89 mm
i 惯性半径（与压杆截面的惯性矩及面积有关）
I i2 A
圆截面 i d 4
压杆的长度因数，与杆端部约束有关。
（可查表）
不同支承情况下的长度因数
柔度与细长压杆的关系
λ值越大，杆件越细长，其临界应力越小， 杆件越容易失稳，反之λ值越小，杆件越短 粗，杆件越不容易失稳。
柔度λ是判断杆件失稳难易的重要参数。
第六单元压杆稳定
第六单元 细长压杆稳定性分析
学习目标
通过本单元的学习了解失稳破坏与强度 破坏的区别，平衡的稳定与不稳定性的概 念，临界力与临界应力，柔度、欧拉公式 及经验公式，细长压杆的稳定条件及稳定 性校核。
能力知识点1
细长压杆的基本概念 工程实际中的稳定性问题
建筑工程中稳定性问题的实例：
cr ab
304MPa 1.12MPa 76 218.88MPa
4、计算工作应力
F
F A90150302N45.86MaP
4 5、校核螺杆的稳定性
cr nw cr21 .8 48 M 8a P 5.7 4M 2a P
F
因为 cr
所以螺杆的稳定性足够
细长压杆稳定性的校核的步骤
1、计算压杆的横截面的惯性矩 2、计算压杆的柔度并判断柔度杆的类型 3、计算临界应力 cr
以实验说明
沿着杆的轴线施加逐渐 增加的压力F，当压力很小 时，直杆还保持着直线形状。 这时若以一个很小的横向力 △F作用于杆的中部，△F 就会使杆发生微小的弯曲变 形。当这个横向力△F撤去 后，杆件就会恢复其原有的 直线形状。这就说明杆件的 直线形状是稳定的。
稳定平衡
当作用在杆上的轴 向压力F超过某一限度 时，只要轻轻地用△F 推一下，杆件就将立刻 弯曲到一个新的平衡位 置，或者由于弯得太厉 害而发生折断。这就说 明杆件这时的直线形状 是不稳定的。
能力知识点3 压杆稳定的校核
压杆稳定的条件
压杆的工作应力小于材料的稳定许用应力。
cr
压杆工作应力 (MPa )
F A
cr 材料的稳定许用应力 (MPa )
cr
cr
nw
n w 稳定安全系数
[例题] 螺纹千斤顶。螺纹最大旋出量长度
l47m5m 螺纹的小径 d50mm，最大起重量
F90KN材料为Q235钢，规定稳定安全因数 nw 4 校核螺纹杆的稳定性。
德国伯兰登堡门
金门大桥
机械工程中稳定性问题的实例：
千斤顶
连杆
活塞杆
1、失稳破坏
F
杆件丧失原有直线平衡状态， 产生弯曲而断裂。
2、失稳破坏的特点 1)主要发生在细长压杆。 2)断裂时杆件所受的压力远远小于杆 件材料所能承受的压力。
3、失稳破坏的原因 杆件破坏前丧失了平衡状态的稳定性。
4、平衡状态的稳定与不稳定性
2、计算压杆的临界应力
查表 Q235钢 p 101
因为 y 138.4
y p
所以用欧拉公式求临界应力
cr 2 2 E 3 .12 4 1 2.3 0 4 1 28 6 30 M a P 1.0 1 M 6 a P
3、计算压杆的临界力
cr
Fcr A
Fcr cr A
106 .1 22 10 23342 N 23 .3 KN
F
受力简图
l
解：1、由简化图一端固定，一端自由的杆。
查表：长度因数 2
2、计算柔度 l i
d s
50mm
i 12.5mm
44
l 247576
i 12.5
3、计算临界应力
查表：Q235钢 p101 s6.1 6
因为 76 所以 s p
螺杆属于中小柔度杆，用直线公式求临界应力
查表： a30 M a 4P b1.1M 2a P
2EI (l)2 A
令 I i2
A
cr(2lE )2 i2
2E (l)2
2E (l)2
F cr
i2
i
cr(2lE )2 i2
2E (l)2
2E (l)2
i2
i
令 l
i
cr
2E 2
临界应力欧拉公式
λ称为柔度，又称长细比。
四、柔度λ
l
i
λ反映压杆长度、约束条件、截面形状和尺寸对
压杆临界力的影响。
不稳定平衡 ∆F
能力知识点2
临界力和欧拉公式
一、临界力
压杆由稳定平衡过渡到不稳定平衡的临界 压力值称为临界力Fcr。
当轴向压力达到临界力时，压杆开始丧失稳定。 临界力Fcr的大小表示压杆稳定性的强弱， 临界力Fcr越大，则压杆不易失去稳定性，说明 压杆稳定性强；反之，临界力Fcr越小，则压杆 容易失去稳定性，说明压杆稳定性弱。
四、欧拉公式的适用范围
1、欧拉公式适用范围: 临界应力小于材料的比例极限 cr p 满足上述条件的杆件称为大柔度杆
即 p
p 为临界应力等于材料比例极限时，杆件的柔度。
2、中小柔度杆的临界应力
中小柔度范围
s p
临界应力（直线公式）
crab
s 为临界应力等于材料屈服极限时，杆件的柔度。
材料的柔度
材料
a / MPa
b / MPa
p
s
Q 235
304
1.12
101
61.6
35 钢
461
2.568
100
6045 钢5源自83.744100
60
铸铁
332.2
1.454
80
松木
39.2
0.199
59
40
3、压杆的临界应力总图
cr
cr s s
crab
p
cr
2E 2
短粗杆
s
p
中小柔度杆
大柔度杆
[例题]一矩形截面的压杆，两端固定。
压杆的稳定性关键在于临界力Fcr。
二、临界力的计算公式（欧拉公式）
Fcr
2 EI (l)2
E 材料的弹性模量， 单位MPa。 I Z 横截面的轴惯性矩，单位（mm）4 l 压杆长度，单位mm μ 压杆的长度因数，它反映压杆两端支承对
临界力的影响。无单位
三、临界应力的欧拉公式
F cr
cr
Fcr A