第10章压杆稳定
第10章 压杆稳定10.1【学习基本要求】1、理解压杆稳定的稳定平衡、不稳定平衡、临界力的概念。
2、掌握不同杆端约束下细长杆的临界力的计算公式。
3、理解长度系数的意义，掌握与常见的几种约束形式对应的长度系数。
4、掌握临界力与压杆长度、横截面形状、杆端约束的关系。
5、理解压杆的柔度的概念，掌握柔度的计算方法。
6、明确欧拉公式的适用范围和临界应力计算。
7、熟练掌握大柔度杆、中柔度杆、小柔度杆的判别方法及临界应力总图。
8、掌握压杆的稳定条件。
9、能熟练运用安全系数法对不同柔度压杆的稳定性进行分析计算。
10、掌握提高压杆稳定性的措施。
10.2【要点分析】1、压杆稳定的概念稳定性：压杆能保持稳定的平衡性能称为压杆具有稳定性。
失稳：压杆不能保持稳定的平衡叫压杆失稳。
稳定平衡：细长杆在轴向压力下保持直线平衡状态，如果给杆以微小的侧向干扰力，使杆产生微小的弯曲，在撤去干扰力后，杆能够恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡，这种原有的．．．直线平衡状态称为稳定平衡。
不稳定平衡：撤去干扰力后，杆不会回到原来的平衡，而是保持微弯或力F 继续增大，杆继续弯曲，产生显著的变形，甚至发生突然破坏，则称原有的．．．平衡为不稳定平衡。
失稳：轴向压力F 由小逐渐增大的过程中，压杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，这种现象称为压杆丧失稳定性或压杆失稳。
临界平衡状态：压杆在稳定平衡和不稳定平衡之间的状态称为临界平衡状态。
临界压力或临界力：压杆由直线状态的稳定平衡过渡到不稳定平衡时所对应的轴向压力，称为压杆的临界压力或临界力。
（即能使压杆保持微弯状态下的平衡的力）【注意】①临界状态也是一种不稳定平衡状态。
②临界状态下压杆即能在直线状态下也能在微弯状态下保持平衡。
③临界力使压杆保持微小弯曲平衡的最小压力。
2、理想压杆理想压杆是指不存在初弯曲、初偏心、初应力的承受轴向压力的均匀连续、各向同性的直杆。
工程中实际压杆与理想压杆有很大的区别，因为实际压杆常常带有初始缺陷，如：①初弯曲的存在使压杆截面形心轴线不是理想直线；②初偏心的存在造成压力作用线与杆件轴线不重合；③残余应力造成材料内部留有初应力；④材质不可能是完全均匀连续的。
这些缺陷不同程度的降低了压杆的稳定承载能力。
3、细长压杆的临界力细长压杆的临界力与杆件的长度、材料的力学性能、截面的几何性质和杆件两端的约束形式有关。
临界力计算公式称为欧拉公式，其统一形式为()20222c l EI l EI F r πμπ== (10.1) 【说明】①EI 为杆件的抗弯刚度；②l 0=μl 称为相当长度或计算长度，其物理意义为各种支承条件下，细长压杆失稳时挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度，也就是挠曲线上两拐点间的长度，即各种支承情况下弹性曲线上相当于铰链的两点之间的距离；③μ称为长度系数，它反映了约束情况对临界力的影响，具体情况见表10-1。
4、细长压杆的临界应力压杆处于临界状态时横截面上的平均应力称为临界应力，用σcr 来表示。
压杆在弹性范围内的临界应力为22cr λπσE =A l EI A F cr 22)(μπ== (10.2) 【说明】①这是欧拉公式的另一种表达形式。
②EI 为杆件的抗弯刚度。
③I 、A 、i 2=I /A是只与杆横截面的形心主矩和截面面积，都是与截面形状和尺寸有关的几何量；④式中λ=μl /i 称为压杆的柔度或长细比，它全面地反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形状对临界荷载的影响，是压杆的一个重要参数。
5、欧拉公式的适用范围欧拉公式是以压杆的挠曲线近似微分方程为依据而得到的，因此欧拉公式的适用条件是材料在线弹性范围内工作，即临界应力不超过材料的比例极限，即p 22cr σλπσ≤=E或 PσπλE ≥或P λλ≥ (10.3)【说明】①式中λ为压杆的柔度或长细比。
②式中P P /σπλE =，完全取决于材料的力学性质。
③满足λ≥λp 的压杆才能适用欧拉公式。
④适用欧拉公式的压杆称为细长杆或大柔度杆。
6、中长杆的临界应力1）直线公式对于中长杆，把临界应力与压杆的柔度表示成如下的线性关系。
λσb a cr -= (10.4)【说明】①式中a 、b 是与材料力学性质有关的系数，可以查相关手册得到。
②临界应力σcr 随着柔度λ的减小而增大。
③该式适用于P S λλλ<≤的压杆，称为中长杆或中柔度杆，式中b a S /)(S σλ-=，σS 为材料的屈服极限。
2）抛物线公式把临界应力cr σ与柔度λ的关系表示为如下形式()c c s cr a λλλλσσ≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 12 (10.5) 【说明】①式中σs 是材料的屈服强度。
②a 是与材料性质有关的系数。
③λc 是欧拉公式与抛物线公式适用范围的分界柔度。
7、粗短杆的临界应力当压杆的柔度满足λ<λs 条件时，这样的压杆称为粗短杆或小柔度杆。
实验证明，小柔度杆主要是由于应力达到材料的屈服强度（或抗压强度σb ）而发生失效，属于强度问题。
8、临界应力总图 以柔度λ为横坐标，以临界应力σcr 为纵坐标，作出σcr -λ图，能够反映三类压杆的临界应力σcr 随压杆柔度λ变化的情况，称为临界应力总图。
图10-1所示的是中长杆采用直线公式的临界应力总图。
9、压杆稳定计算的安全系数法在对压杆进行稳定计算时，以临界应力除以大于1的安全系数所得的数值为准，即要求横截面上的正应力σ≤σcr /n st ，通常将稳定条件写成下列用安全系数表达的形式：st Ncr cr w n F Fn ≥==σσ (10.6)【说明】①式中，n st 为规定稳定安全系数。
②n w 称为压杆的工作安全系数。
③F N 是指压杆的轴力。
④σcr 和F cr 是指由临界应力总图得到的临界应力和临界力。
10、压杆稳定计算的折减系数法如果定义][][σϕσσ==stcrst n 为稳定许用应力，其中σcr 为压杆的临界应力，n st 为规定稳定安全系数，[σ]为强度计算时的许用应力。
ϕ称为折减系数，是一个小于1的数，是压杆长细比的函数，反映了随着压杆长细比的增加对稳定承载能力的降低。
因此，对于同种材料制成的等截面压杆，稳定条件可表达为][σϕσ≤=AFN w (10.7)式中，F N 为压杆轴向；A 为压杆的横截面面积。
【说明】①利用式(10.6)或式(10.7)就可进行稳定性校核、设计截面和确定许可荷载等三个方面的计算。
②需要指出的是，当压杆由于钉孔或其他原因而使截面有局部削弱时，因为压杆的临界力是根据整根杆的失稳来确定的，因此在稳定计算中不必考虑局部截面削弱的影响，而以毛面积进行计算。
③在强度计算中，危险截面为局部被削弱的截面，应按净面积进行计算。
11、提高压杆承载力的措施 影响压杆稳定性的因素有：压杆的截面形状，压杆的长度、约束条件和材料的性质等。
所以提高压杆承载能力的措施可以从选择合理的截面形式、减小压杆长度、改善约束条件及合理选用材料等几个方面着手。
10.3【范例讲解】例10-1图10-2所示两端球铰支承细长杆，弹性模量E ＝200GPa ，试用欧拉公式计算其临界力。
1）圆形截面，d =25 mm ，l =1.0 m ；图10-12）矩形截面，h ＝2b ＝40 mm ，l ＝1.0 m ； 3）No16工字钢，l ＝2.0 m 。
解：1）圆形截面杆：两端球铰： μ=1，()()4-8 422981221.910 m 6420010 1.91037.8 kN 11cr d I EI F l -π==⨯ππ⨯⨯⨯⨯===μ⨯ 2） 矩形截面杆：两端球铰：μ=1， I y <I z()()3-8 422982222.610 m1220010 2.61052.6 kN 11y y cr hb I EI F l ππμ-==⨯⨯⨯⨯⨯===⨯ 3） No16工字钢杆： 两端球铰：μ=1， I y <I z 查表I y ＝93.1×10-8 m 4()()22983222001093.110459 kN 12y cr EI F l ππμ-⨯⨯⨯===⨯ 例10-2图10-3所示矩形截面压杆，有三种支承方式。
杆长l ＝300 mm ，截面宽度b ＝20 mm ，高度h ＝12 mm ，弹性模量E ＝70 GPa ，λp ＝50，λ0＝30，中柔度杆的临界应力公式为σcr ＝382 MPa – (2.18 MPa)λ。
试计算它们的临界力，并比较其大小。
解：(a)比较压杆弯曲平面的柔度：, , , ,y z y z y z y z y z l lI I i i i i μμλλλλ<<==⇒>长度系数： μ=2173.2y yli μλ==== 压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力；图10-2(b)(c) (a) A-A z 图10-3229()2270100.020.012 5.53 kN 173.2cr a cr y E F A A ππσλ⨯⨯=⨯=⨯=⨯⨯=(b)长度系数和失稳平面的柔度：10.31,86.60.012y yll i h μμλ⨯===== 压杆仍是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力；229()2270100.020.01222.1 kN 86.6cr b cr y E F A A ππσλ⨯⨯=⨯=⨯=⨯⨯=(c)长度系数和失稳平面的柔度：0.5,43.3y yli μμλ===== 压杆是中柔度杆，选用经验公式计算临界力()6()(382 2.1843.3)100.020.1269.0kN cr c cr F A a b A σλ=⋅=-=-⨯⨯⨯⨯=三种情况的临界压力的大小排序为()()()cr a cr b cr c F F F <<。
例10-3图10-4所示压杆，截面有四种形式。
但其面积均为A ＝3.2×10 mm 2， 试计算它们的临界力，并进行比较。
弹性模量E ＝70 GPa ，λp ＝50，λ0＝30，中柔度杆的临界应力公式为σcr ＝382 MPa – (2.18 MPa)λ。
解：(a)比较压杆弯曲平面的柔度：, , , y z y z y z y z yzllI I i i i i μμλλλλ<<==⇒>矩形截面的高与宽：222 3.210mm 4 mm 28 mm A b b b ==⨯∴==长度系数：μ=0.51299y yli μλ==== 压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力：(a)(c)(b)z 图10-42296()227010 3.2101014.6 N 1229cr a cr y E F A A ππσλ-⨯⨯=⋅=⋅=⨯⨯⨯= (b)计算压杆的柔度：正方形的边长：mm 24,mm 102.322=⨯=a a长度系数：μ=0.5918.6y z li μλλ===== 压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力：2296()227010 3.2101026.2 N 918.6cr b cr E F A A ππσλ-⨯⨯=⨯=⨯=⨯⨯⨯= (c)计算压杆的柔度：圆截面的直径：221 3.210 mm 6.38 mm 4d d π=⨯∴= 长度系数：μ=0.53440.53940.46.3810y z ll id μμλλ-⨯⨯=====⨯ 压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力：2296()227010 3.2101025 N 940.4cr c cr E F A A ππσλ-⨯⨯=⨯=⨯=⨯⨯⨯= (d)计算压杆的柔度：空心圆截面的内径和外径：2221[(0.7)] 3.210 mm 8.94 mm 4D D D π-=⨯∴= 长度系数：μ=0.5550y z i l i μλλ========== 压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力；2296()227010 3.2101073.1 N 550cr d cr E F A A ππσλ-⨯⨯=⋅=⋅=⨯⨯⨯= 四种情况的临界压力的大小排序为()()()()cr a cr c cr b cr d F F F F <<<。
第10章压杆稳定
这表明用低碳钢Q235制成的压杆，仅在柔度≥100时， 才能应用欧拉公式计算其临界应力或临界力，常用材料柔度
可查表。
第十章
四、中小柔度杆的临界应力
压杆稳定
10.2 临界力的确定
对于不能应用欧拉公式计算临界应力的压杆，即压杆内 的工作应力大于比例极限但小于屈服极限时，可应用在实验 基础上建立的经验公式。常见经验公式有直线公式和抛物线
公式。其中，直线公式为
cr a b a s cr a b s b a s s s p
b
抛物线公式为：
cr a1 b1
2
第十章
压杆稳定
10.3 压杆稳定的计算与校核
前面的讨论表明，对各种柔度的压杆，总可以用欧拉公
稳定安全因素
10.3 压杆稳定的计算与校核
nst
一般要大于强度安全因素。这是因
为一些难以避免的因素，如杆件的初弯曲、压力偏心、材料 不均匀和支座缺陷等，都严重影响压杆的稳定，降低了临界
压力。而同样这些因素，对杆件强度的影响不象对稳定那么
严重。关于稳定安全因素 中查到。
nst
一般可以在设计手册或规范
第十章
F Fcr ，
撤消横向干扰力后杆件能够恢复到 原来的直线平衡状态（图10–2b），
则原有的平衡状态是稳定平衡状态；
第十章
压杆稳定性的概念：
压杆稳定
10.1 压杆的稳定概念
当轴向压力增大到一定值
F Fcr
时，撤消横向干扰力后杆件不能再恢复到 原来的直线平衡状态（图10–2c），则原
有的平衡状态是不稳定平衡状态。 会进一
10.1 压杆的稳定概念
如果小球受到微小干扰而稍微偏离它原有的平衡位置， 当干扰消除以后，它不但不能回到原有的平衡位置，而且 继续离去，那么原有的平衡状态称为不稳定平衡状态， 如图c 所示。
压杆·稳定性
sin kl = 0
即
kl = nπ n = 0,1, 2,
（d）
解得 k = nπ ，又 k 2 = P ，于是得
l
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
EI
P
=
n2π2 EI l2
（10.1）
因为 n 是正整数，故式（10.1）表明使杆件保持为曲线平衡的压力，理论上是多值的。
其中使压杆保持微小弯曲的最小压力，才是临界压力 Pcr 。因此，只有取 n=1，才得到压力 的最小值。于是临界压力为
x = 0 和 x = l 时， y = 0
由此求得
B = 0 ， Asin kl = 0
上式表明，A 或 sin kl 等于零。但因 B 已经等于零，如 A 再等于零，则式（c）变为 y ≡ 0 。这
表示杆件轴线上任意点的挠度皆为零，它仍为直线的情况。这就与假设杆件处于微弯平衡的
前提相矛盾。因此必须是
第 10 章 压杆·稳定性
当轴向压力 P 较小（P＜Pcr）时，当横向干扰力消失后，其横向弯曲变形也随之消失， 直杆将恢复到图 10.1（a）所示的原直线平衡位置。此时原直线平衡位置平衡状态属于稳定平 衡状态，如图 10.1（c）。
当轴向压力 P 适中（P =Pcr）时，干扰力消失后，将保持微弯平衡状态，而不能恢复到 图 10.1（a）所示的原直线平衡位置。此时原直线平衡位置平衡状态属于临界平衡状态（或随 遇平衡状态），如图 10.1（d）。
如图 10.1（a）所示一下端固定，上端自由的理想细长直杆，受一轴向压力 P 作用。此 时，该压杆如果受到一个很小的横向干扰力，杆将产生弯曲变形，如图 10.1（b）。显然，该 压杆在原初始直线位置是能够平衡的，但平衡状态会随轴向压力 P 的大小而变化。
材料力学 第十章 压杆稳定问题
由杆，B处内力偶
MB Fcraq1 , q1
由梁，B处转角
MB Fcr a
q2
MBl 3EI
q1 B
MB MBl Fcra 3EI
3EI Fcr al
q2 C
l
Page21
第十章 压杆稳定问题
作业
10-2b，4，5，8
Page22
第十章 压杆稳定问题
§10-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
稳定平衡
b. F k l
临界(随遇)平衡
c. F k l
不稳定平衡
Fcr kl 临界载荷
F
k l
F 驱动力矩 k l 恢复力矩
Page 5
第十章 压杆稳定问题
（3）受压弹性杆受微干扰
F Fcr 稳定平衡 压杆在微弯位置不能平衡,要恢复直线
F >Fcr 不稳定平衡 压杆微弯位置不能平衡,要继续弯曲,导致失稳
(
w)
令 k2 F
EI
d 2w dx2
k
2w
k
2
l
l
FM w
x
F B
F
B F
Page24
第十章 压杆稳定问题
d 2w dx2
k2w
k 2
F
w
通解：
A
x
B
w Asinkx Bcoskx
l
考虑位移边界条件：
x 0, w 0,
B
x 0, q dw 0
Page31
第十章 压杆稳定问题
二、类比法确定临界载荷
l
第十章压杆稳定ppt课件
2E 0.56 S
②s < 时： cr s
临界应力的特点
•它的实质： 象强度中的比例极限、屈服极限类似，除以 安全因数就是稳定中的应力极限
•同作为常数的比例极限、屈服极限不同，变化 的临界应力依赖压杆自身因素而变
例102 截面为 120mm200mm 的矩形 木柱，长l=7m，材料的弹性模量E = 10GPa，
Fcr
2 EImin
l2
此公式的应用条件：
•理想压杆
•线弹性范围内
•两端为球铰支座
§10-3 不同杆端约束下细长压杆 临界力的欧拉公式
其它端约束情况，分析思路与两端铰支的相同, 并得出了临界力公式
Fcr
2 EImin (l)2
即压杆临界力欧拉公式的一般形式
—长度系数（或约束系数） l—相当长度
•求临界力有两种途径：实验测定及理论计算。
•实验以及理论计算表明：压杆的临界力，与压杆 两端的支承情况有关，与压杆材料性质有关，与 压杆横截面的几何尺寸形状有关，也与压杆的长 度有关。
压杆一般称为柱，压杆的稳定也称为柱的稳 定，压杆的失稳现象是在纵向力作用下，使 杆产生突然弯曲的，在纵向力作用下的弯曲， 称为纵弯曲。
AB杆 l
1
i
l
1.5 cos30
1.732m
i
I A
D4 d4 4 64 D2 d2
D2 d 2 16mm 4
得
1 1.7 3 2 1 03
16
108 P
AB为大柔度杆
Fcr
2EI
l 2
118kN
n
Fcr FN
118 26.6
4.42 nst
3
AB杆满足稳定性要求
第10章压杆稳定
材料力学电子教案 C 机械工业出版社
§10.3 不同端部约束细长压杆临界力
二阶非齐次线性微分方程，其全解为
一阶导数为 y C1k sin kx C2k coskx 两端固定压杆的边界条件是
x 0处，y 0, y' 0; x l处，y 0, y' 0
M0 y C1 coskx C2 sin kx Fcr
使用直线型经验公式时，柔度λ有一个最低界限λs。
塑性材料
脆性材料
a s s b
a b s b
(1)满足λsλ<λp的压杆称为中柔度杆，可使用直线 型公式计算其临界应力。 (2)满足λ<λs的压杆称为小柔度杆或短粗杆，这类 压杆的临界应力为极限应力，即
cr u
材料力学电子教案 C 机械工业出版社
§10.2 两端铰支细长压杆临界力的欧拉公式
kl n
(n 0,1, 2,3 )
由于临界力是使压杆失稳的最小压力，取n=1 代入
Fc r EI k2
Fcr
2 EI
l2
上式即为两端铰支细长压杆临界力的计算公式，通 常称为欧拉公式。
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§10.2 两端铰支细长压杆临界力的欧拉公式
材料力学电子教案 C 机械工业出版社
§10.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
10.4.2 中、小柔度压杆的临界力
一、如果压杆的柔度λ<λp，则其失稳时的临界应力 σcr将超过材料的比例极限σp，属于弹塑性失稳， 欧拉公式不再适用。 二、这类压杆临界应力的计算，通常采用以试验结 果为依据的经验公式。常用的有直线型公式和抛 物线型公式。
二、两端固定
材料力学第十章压杆稳定
π2
200 103 108 (2 2500 )2
10 4
N
85187N
85.19kN
10-3 欧拉公式的适用范围及经验公式
1、临界应力与柔度
将临界压力除以压杆的横截面面积A，就可以得到与临界压力
对应的应力为
cr
Fcr A
π2EI
(l)2 A
cr即为临界应力。
利用惯性半径 i 和惯性矩 I 的关系：
但在已经导出 两端铰支压杆的临 界压力公式之后， 便可以用比较简单 的方法，得到其他 约束条件下的临界 力。
l 2l
F
F 一端固定，一端自由，
长为l 的的压杆的挠曲线
和两端铰支，长为2l的
压杆的挠曲线的上半部
分相同。则临界压力:
Fcr
π 2 EI (2l)2
2、其它支承情况下细长压杆的临界力
利用同样的方法得到: 两端固定的压杆的临界压力为:
F
Fcr
π 2 EI
( l ) 2
π2 200 103 48 10 4 N (2 2500 )2
b z
l h
37860N 37.86kN
y
若 h b 60mm
Iy
Iz
bh3 12
60 4 12
mm
108 10 4 mm
Fcr
π 2 EI
( l ) 2
1、计算s, p
p
π2E
p
π2 210109 280106
86
查表优质碳钢的 a、b
s
a s
b
材料力学课件 第十章压杆稳定
sinkL0
kn P
L EI
临界力 Pcr 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且 杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
Pcr
2
EImin L2
14
Pcr
2
EImin L2
二、此公式的应用条件：
两端铰支压杆临界力的欧拉公式
1.理想压杆； 2.线弹性范围内； 3.两端为球铰支座。
三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
29
我国钢结构柱子曲线
二、 受压构件的稳定公式
利用最大强度准则确定出轴心受压构件的临界应力 cr ，引入抗力分项系数 R ，则轴心受压构件的稳定计算公式如下：
N cr cr f y f A R R fy
f ：钢材的强度设计值
（10.24）
30
例6
如图所示，两端简支，长度l 5m 的压杆由两根槽钢组成，若限定两个槽钢腹板
Iy [73.3 (51.8)2 21.95]2 2176.5cm4
33
若失稳将仍会在 xoy平面内，有
imin iz
Iz A
1732.4 6.28cm 43.9
max
l imin
500 79.6 6.28
查表得2 0.733
此时3 与3 已经很接近，按两个 16a 槽钢计算压杆的许可压力，有
20
[例3] 求下列细长压杆的临界力。
y y
x
z
z
h
L1
L2
解：①绕
y 轴，两端铰支：
=1.0，
I
y
b3h 12
,
②绕 z 轴，左端固定，右端铰支：
b
Pcry
2EI L22
y
=0.7，
材料力学 第10章 压杆稳定
μ=2
欧拉临界压力公式 :
Fcr
2 EI (l )2
应用欧拉公式时，应注意以下两点：
1、欧拉公式只适用于线弹性范围，即只适用于弹性稳定问题
2、 I 为压杆失稳发生弯曲时，截面对其中性轴的惯性矩。
对于各个方向约束相同的情形(例如球铰约束)，I 取截面的 最小惯性矩，即 I＝Imin；
Fcr
2 EI (l )2
压杆临界压力欧拉公式的一般形式
E——材料的弹性模量；
—长度系数（或约束系数），反映了杆端支承对临界载
荷的影响。
压杆临界力与外
l—压杆的计算长度或相当长度。 力有关吗？？
l—压杆的实际长度。
I—压杆失稳发生弯曲时，截面对其中性轴的惯性矩。
适用条件：1.理想压杆；2.线弹性范围内
第10章 压杆稳定
第10章 压杆稳定
§10.1 §10.2 §10.3 §10.4 §10.5 §10.6
工程中的压杆稳定问题 理解
压杆稳定性概念 掌握
细长压杆临界压力的欧拉公式 掌握
压杆的临界应力 掌握
压杆的稳定性计算
掌握
提高压杆稳定性的措施
了解
关键术语
压杆，稳定性，屈曲，稳定失效，临界压力Fcr， 柔度λ（长细比），计算长度μl
重点 1、细长压杆临界压力的欧拉公式 2、压杆的临界应力 3、压杆临界载荷的欧拉公式的适用条件 4、压杆稳定性设计
难点 1、压杆临界压力的计算 2、压杆稳定性设计
§10.1 工程中的压杆稳定问题
构件的承载能力：
①强度 ②刚度 ③稳定性
工程中有些构件 具有足够的强度、刚 度，却不一定能安全 可靠地工作。
F
30mm
第十章 压杆稳定
①
90
②
§10-3 压杆的临界应力及 临界应力总图
一、压杆的临界应力
EI Pcr 2 (l )
2 2 2
E (i A) E EI cr 2 2 2 (l ) A A (l ) A l i 2 l E 令 则 cr 2 i
64
3136kN
P lj ( a ) P lj (b ) P lj ( c )
例：图示两桁架中各杆的材料和截面均相 同，设P1和P2分别为这两个桁架稳定的最大载 荷，则 (A) P1=P2 (B) P1<P2 (C) P1>P2 (D) 不能断定P1和P2的关系
解：图(a) 中，AD杆受压 2 EI N AD 2 P 1 2 2a
2
EI
2
EI
2
( 0.7l )
2
(0.5l )
2
例：材料相同，直径相等的三根细长压杆 如图示，如取E=200GPa，d=160mm,试计 算三根压杆的临界压力，并比较大小。
7m
5m
(a)
(b)
9m (c)
解：三根压杆临界力分别为：
(a)
EI Plj 2 L
2
2 200109
E 2 p
2
或写成
E p
2
记
E p p
2
则 欧拉公式的适用范围：
p
满足该条件的杆称为细长杆或大柔度杆
对A3钢，当取E=206GPa，σp=200MPa,则
2 9 E 206 10 p 100 6 p 200 10
2 2
2
特征方程为 r k 0
第十章 压杆稳定
＞ (所以是大柔度杆，可应用欧拉公式)
(2)计算截面的惯性矩
由前述可知，该压杆必在xy平面内失稳，故计算惯性矩
（3）计算临界力
查表10—1得μ= 2，因此临界力为
图10.3
二、当截面改为b = h =30mm时
（1）计算压杆的柔度
＞
(所以是大柔度杆，可应用欧拉公式)
(2)计算截面的惯性矩
代入欧拉公式，可得
从以上两种情况分析，其横截面面积相等，支承条件也相同，但是，计算得到的临界力后者大于前者。可见在材料用量相同的条件下，选择恰当的截面形式可以提高细长压杆的临界力。
例10.2图10.4所示为两端铰支的圆形截面受压杆，用Q235钢制成，材料的弹性模量E=200Gpa，屈服点应力σs=240MPa， ，直径d=40mm，试分别计算下面二种情况下压杆的临界力：
0.627
0.546
0.462
1.000
0.971
0.932
0.883
0.822
0.751
0.668
0.575
0.470
0.370
0.300
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
0.536
0.466
0.401
0.349
0.306
0.272
0.243
0.218
0.197
0.180
（10.6）
式中 是有关的常数，不同材料数值不同。对Q235钢、16锰钢，
对Q235钢：
(MPa)
对16锰钢： (MPa)
2、临界应力总图
综合压杆按照其柔度的不同，可以分为二类，并分别由不同的计算公式计算其临界应力。当λ≥λc时，压杆为细长杆（大柔度杆），其临界应力用欧拉公式