第1章 运筹学基础及应用-第六版ppt课件
防灾科技学院
12
1.2 线性规划问题的数学模型
三个组成要素： 1.决策变量:是决策者为实现规划目标采取的 方案、措施，是问题中要确定的未知量。 2.目标函数:指问题要达到的目的要求，表 示为决策变量的函数。 3.约束条件:指决策变量取值时受到的各种可 用资源的限制，表示为含决策变量的等式或 不等式。
2018/11/20 15
线性规划模型的简写形式(求和符号)
max (min) Z n aij x j ( ) bi j 1 x 0 j
c x
j 1 j
n
j
(i 1 2 (j 1 2
m) n)
一般线性规划(LP)问题模型向量形式
max (min) z CX p j x j ( ) b s.t. X 0
表示某一方案，这组决策变量的值代表一个具体方案。一般 这些变量的取值是非负且连续的；
都有关于各种资源和资源使用情况的技术数据，创造新价值 的数据；
a ; c b 1 , m ; j 1 , n ) i j j;( ii
存在可以量化的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等 式或线性不等式来表示; 都有一个达到某一目标的要求，可用决策变量的线性函数 (称为目标函数)来表示。按问题的要求不同，要求目标函数 实现最大化或最小化。
m in z 1 4 x 6 x 3 x 2 x 1 2 3 4 1 0 0 0 x 8 0 0 x 9 0 0 x 2 0 0 x 3 0 0 0 1 2 3 4 5 0 x 6 0 x 2 0 x 1 0 x 5 5 1 2 3 4 st .. 0 0 x 2 0 0 x 3 0 0 x 5 0 0 x 8 0 0 1 2 3 4 4 xj 0(j1 ,...,4 )
2018/11/20 13
线性规划的数学模型由三个要素构成
决策变量 目标函数 约束条件 Decision variables Objective function Constraints
怎样辨别一个模型是线性规划模型？ 其特征是： （1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通 常是求最大值或最小值； （2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等 式或等式。
m a x z 2 x1 3 x 2 2 x1 2 x 2 1 2 4 x 16 s. t . 1 5 x2 15 x1 , x 2 0
例2
线性规划模型的特点
决策变量：向量X=(x1… xn)T 决策人要考虑 和控制的因素，非负 约束条件：关于X的线性等式或不等式 目标函数：Z=ƒ(x1 … xn) 为关于X 的线性函数， 求Z极大或极小
各种食物的营养成分表
序号 食品名称
热 量 蛋白质
（千卡） （克）
价格 （毫克） (元/kg） 钙
x
1
1 2 3 4
猪肉 鸡蛋 大米 白菜
1000 800 900 200
3000
50 60 20 10
55
400 200 300 500
800
14 6 3 2
x
2
x3 x
4
每天需要
解：设 xj 为第 j 种食品每天的购入量，则配餐 问题的线性规划模型为：
一般线性规划问题的数学模型：
目标函数： m （或 m ax ） z c in x c x c x 1 1 2 2 n n 约束条件： a （ 或 ,） b a 1 1x 1 a 1 2x 2 1 nx n 1 a （ 或 ,） b 2 1x 1 a 2 2x 2 2nx n 2 a st .. a x a x a x （ 或 ,） b m 1 1 m 2 2 m n n m , xn 0 1, x 2, x
第1章 运筹学基础及应用-第六 版
第一章 线性规划及单纯形法
(Linear Programming & Simplex Method)
§1 一般线性规划问题的数学模型 §2 图解法 §3 单纯形法原理 §4 单纯形法的计算步骤 §5 单纯形法的进一步讨论 §6 数据包络分析(DEA) §7 应用举例
2018/11/20
3
§1 一般线性规划问题的数学模型 1.1 引例
例1、生产计划问题 Ⅰ Ⅱ 设备能力（小时）
设备A
设备B 设备C 利润（元）
2
4 0 2
2
0 5 3
12
16 15
问：Ⅰ，Ⅱ两种产品各加工多少单位, 可获最大利润?
2018/11/20 4
解:设产品Ⅰ, Ⅱ产量分别为变量x1 ， x2 max Z= 2x1 +3x2 2x1+2x2 12
2018/11/20
2
例2(教材第9页)生产计划问题
常山机器加工厂，利用A、B、C三种不同设备加 工生产Ⅰ、Ⅱ两种产品。按工艺要求，每生产一 个单位的Ⅰ产品，需要占用三种设备2、4、0小 时；每生产一个单位的Ⅱ产品，需要占用三种设 备2、0、5小时。已知三种设备加工能力分别为 12、16、15小时。且每生产一个单位的Ⅰ产品 可获取2单位的利润；每生产一个单位的Ⅱ产品 可获取2单位的利润。问应当如何安排加工，可 使获取的总利润最大？
s.t.
4x1 x1，x注意模型特点
2018/11/20
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5
附例 营养配餐问题
假定一个成年人每天需要从食物中获得 3000千卡的热量、55克蛋白质和800毫克的 钙。如果市场上只有四种食品可供选择， 它们每千克所含的热量和营养成分和市场 价格见下表。问如何选择才能在满足营养 的前提下使购买食品的费用最小？
2018/11/20
10
LP问题一般可整理为：
决策变量及各类系数之间的对应关系
决策变量 资源
活
1 2 m
x1 a1 1 a 21 a m1 c1
x2 a1 2 a 22 am 2 c2
防灾科技学院
xn a1 n a2n amn cn
b1 b2 bm
动
价值系数
11
上述模型的共同特征：
x , x , x 1 2 n 每一个线性规划问题都用一组决策变量
12
1.2 线性规划问题的数学模型
三个组成要素： 1.决策变量:是决策者为实现规划目标采取的 方案、措施，是问题中要确定的未知量。 2.目标函数:指问题要达到的目的要求，表 示为决策变量的函数。 3.约束条件:指决策变量取值时受到的各种可 用资源的限制，表示为含决策变量的等式或 不等式。
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线性规划模型的简写形式(求和符号)
max (min) Z n aij x j ( ) bi j 1 x 0 j
c x
j 1 j
n
j
(i 1 2 (j 1 2
m) n)
一般线性规划(LP)问题模型向量形式
max (min) z CX p j x j ( ) b s.t. X 0
表示某一方案，这组决策变量的值代表一个具体方案。一般 这些变量的取值是非负且连续的；
都有关于各种资源和资源使用情况的技术数据，创造新价值 的数据；
a ; c b 1 , m ; j 1 , n ) i j j;( ii
存在可以量化的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等 式或线性不等式来表示; 都有一个达到某一目标的要求，可用决策变量的线性函数 (称为目标函数)来表示。按问题的要求不同，要求目标函数 实现最大化或最小化。
m in z 1 4 x 6 x 3 x 2 x 1 2 3 4 1 0 0 0 x 8 0 0 x 9 0 0 x 2 0 0 x 3 0 0 0 1 2 3 4 5 0 x 6 0 x 2 0 x 1 0 x 5 5 1 2 3 4 st .. 0 0 x 2 0 0 x 3 0 0 x 5 0 0 x 8 0 0 1 2 3 4 4 xj 0(j1 ,...,4 )
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线性规划的数学模型由三个要素构成
决策变量 目标函数 约束条件 Decision variables Objective function Constraints
怎样辨别一个模型是线性规划模型？ 其特征是： （1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通 常是求最大值或最小值； （2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等 式或等式。
m a x z 2 x1 3 x 2 2 x1 2 x 2 1 2 4 x 16 s. t . 1 5 x2 15 x1 , x 2 0
例2
线性规划模型的特点
决策变量：向量X=(x1… xn)T 决策人要考虑 和控制的因素，非负 约束条件：关于X的线性等式或不等式 目标函数：Z=ƒ(x1 … xn) 为关于X 的线性函数， 求Z极大或极小
各种食物的营养成分表
序号 食品名称
热 量 蛋白质
（千卡） （克）
价格 （毫克） (元/kg） 钙
x
1
1 2 3 4
猪肉 鸡蛋 大米 白菜
1000 800 900 200
3000
50 60 20 10
55
400 200 300 500
800
14 6 3 2
x
2
x3 x
4
每天需要
解：设 xj 为第 j 种食品每天的购入量，则配餐 问题的线性规划模型为：
一般线性规划问题的数学模型：
目标函数： m （或 m ax ） z c in x c x c x 1 1 2 2 n n 约束条件： a （ 或 ,） b a 1 1x 1 a 1 2x 2 1 nx n 1 a （ 或 ,） b 2 1x 1 a 2 2x 2 2nx n 2 a st .. a x a x a x （ 或 ,） b m 1 1 m 2 2 m n n m , xn 0 1, x 2, x
第1章 运筹学基础及应用-第六 版
第一章 线性规划及单纯形法
(Linear Programming & Simplex Method)
§1 一般线性规划问题的数学模型 §2 图解法 §3 单纯形法原理 §4 单纯形法的计算步骤 §5 单纯形法的进一步讨论 §6 数据包络分析(DEA) §7 应用举例
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§1 一般线性规划问题的数学模型 1.1 引例
例1、生产计划问题 Ⅰ Ⅱ 设备能力（小时）
设备A
设备B 设备C 利润（元）
2
4 0 2
2
0 5 3
12
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问：Ⅰ，Ⅱ两种产品各加工多少单位, 可获最大利润?
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解:设产品Ⅰ, Ⅱ产量分别为变量x1 ， x2 max Z= 2x1 +3x2 2x1+2x2 12
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例2(教材第9页)生产计划问题
常山机器加工厂，利用A、B、C三种不同设备加 工生产Ⅰ、Ⅱ两种产品。按工艺要求，每生产一 个单位的Ⅰ产品，需要占用三种设备2、4、0小 时；每生产一个单位的Ⅱ产品，需要占用三种设 备2、0、5小时。已知三种设备加工能力分别为 12、16、15小时。且每生产一个单位的Ⅰ产品 可获取2单位的利润；每生产一个单位的Ⅱ产品 可获取2单位的利润。问应当如何安排加工，可 使获取的总利润最大？
s.t.
4x1 x1，x注意模型特点
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附例 营养配餐问题
假定一个成年人每天需要从食物中获得 3000千卡的热量、55克蛋白质和800毫克的 钙。如果市场上只有四种食品可供选择， 它们每千克所含的热量和营养成分和市场 价格见下表。问如何选择才能在满足营养 的前提下使购买食品的费用最小？
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LP问题一般可整理为：
决策变量及各类系数之间的对应关系
决策变量 资源
活
1 2 m
x1 a1 1 a 21 a m1 c1
x2 a1 2 a 22 am 2 c2
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xn a1 n a2n amn cn
b1 b2 bm
动
价值系数
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上述模型的共同特征：
x , x , x 1 2 n 每一个线性规划问题都用一组决策变量
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运筹学PPT完整版04761
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3. 线性规划问题的标准形式
n
max Z c j x j j1
s.t
n j1
aij x j
bi
i 1,2,, m
x j 0, j 1,2,, n
特点：
(1) 目标函数求最大值（有时求最小值）
(2) 约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零 (3) 决策变量xj为非负。
线性规划问题的数学模型
约束方程的转换：由不等式转换为等式。
aij x j bi
aij x j xni bi
xni 0 称为松弛变量
aij x j bi
aij x j xni bi
xni 0 称为剩余变量
变量x j 0的变换
可令
x
j
xj
，显然
x
j
0
Page 23
线性规划问题的数学模型
优化炼油程序及产品供应、配送和营销
每年节约成本600万美元 每年节约成本7000万
优化商业用户的电话销售中心选址
控制成本库存（制定最优再定购点和定购 量确保安全库存） 制定最优铁路时刻表并调整铁路日运营量
优化员工安排，以最低成本服务客户
每年节约成本4.06亿美元，销 售额大幅增加 每年节约成本380万美元
n
简写为： max(min) Z c j x j j1
n
aij x j ( ) bi (i 1 2m)
j1
xj 0
(j 1 2n)
线性规划问题的数学模型
向量形式： max (min)z CX
pj xj
(
) B
X 0
其中： C (c1 c2 cn )
x1
运筹学所有内容 ppt课件
基可行解
Page 35
例1.4 求线性规划问题的所有基矩阵。
maxZ 4x1 2x2 x3
5x110x1x2
x3 6x2
x4 2x3
3 x5
2
x
j
0,
j
1,,5
解: 约束方程的系数矩阵为2×5矩阵
5 1 A1 0 6
1 2
1 0
0 1
r(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵只有9个，即
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤)
o
x1
L0： 0=3X1+5.7X2
运筹学所有内容
min Z=5X1+4X2 x2
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （0，2）
D可行域
43=5X1+4X2
max Z
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
min Z
线性规划问题
n
maxZ cj xj (1) j1
s.t
n j1
xj
bi
(i 1,2,,m)
(2)
xj 0, j 1,2,,n (3)
求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组 中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。
运筹学所有内容
Page 33
可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。所有可行解 的集合为可行域。
运筹学所有内容
例1.1 如图所示，如何截取x使铁皮所围成的容积最 大？
x
va2x2x a dv 0 dx
2 ( a 2 x )x ( 2 ) ( a 2 x )2 0
x a 6
运筹学基础OR6PPT课件
运筹学的发展历程
80%
起源
运筹学起源于二战时期的军事战 略和资源优化问题，当时称为“ 运作研究”。
100%
发展
随着数学方法和计算机技术的进 步，运筹学逐渐发展成为一个独 立的学科领域。
80%
应用
现代运筹学已经广泛应用于各个 领域，如物流、金融、医疗、交 通等，成为决策支持的重要工具 。
02
线性规划
模型
多目标规划的数学模型通常由决策变 量、目标函数和约束条件组成。目标 函数表示需要优化的多个目标，约束 条件包括等式约束和不等式约束。
多目标规划的求解方法
权重法
给定一组权重因子，将多目标问题转化为单目标问题，通 过求解单目标问题的最优解得到多目标问题的近似解。
层次分析法
将多目标问题分解为若干个子问题，分别求解子问题的最优解 ，然后根据子问题的最优解逐步逼近多目标问题的最优解。
在需要时进行查找。
02
自顶向下法
从原问题开始，逐步将问题分解为更小的子问题，并求解子问题直到达
到基本的最小单元。这种方法需要在递归过程中不断更新当前问题的最
优解。
03
迭代法
通过迭代的方式不断逼近最优解，每次迭代中根据当前最优解和状态转
移方程更新状态，直到达到终止条件。这种方法需要设计适当的迭代算
法和终止条件。
线性规划的求解方法
01
02
03
04
单纯形法
单纯形法是线性规划最常用的 求解方法，它通过不断迭代和 变换，寻找最优解。
初始解的确定
在求解线性规划问题时，需要 先确定一个初始解，然后在此 基础上进行迭代和优化。
迭代过程
在单纯形法中，迭代过程包括 检验、换基和迭代三个步骤。
《运筹学》课件 第一章 线性规划
10
解：令
xi=
1， Si被选中
min z= ci xi i 1 10
0， Si没被选中
xi 5
i 1
x1 x8 1 x7 x8 1
称为技术系数
b= (b1,b2, …, bm) 称为资源系数
2、非标准型
标准型
（1）Min Z = CX
Max Z' = -CX
（2）约束条件
• “≤”型约束，加松弛变量；
松弛变量
例如： 9 x1 +4x2≤360
9 x1 +4x2+ x3=360
• “≥”型约束，减松弛变量；
例、将如下问题化为标准型
数据模型与决策 (运筹学）
课程教材：
吴育华,杜纲. 《管理科学基础》，天津大学出版社。
绪论
一、运筹学的产生与发展
运筹学（Operational Research) 直译为“运作研究”。
• 产生于二战时期 • 60年代，在工业、农业、社会等各领域得到广泛应用 • 在我国，50年代中期由钱学森等引入
Min z x1 2x2 3x3
x1 x2 x3 7
s.t
.
x1 x2 x3 3x1 x2 2
x3
2
5
x1, x2 , x3 0
解：令 Min z Max z' (z' z) ，第一个约束加松弛变量x5，
第二个约束减松弛变量x6，得标准型：
Max z' x1 2x2 +3x3
x1 x2 x3 x4 7
s.t .
x1 x2 3x1
x3 x2
x5 2 2x3 5
x1 , , x5 0
运筹学基础及应用(全套课件296P) ppt课件
我国朴素的运筹学思想：田忌赛马、丁渭修皇宫
1938年英国最早出现了军事运筹学，命名为“Operational
Research”,1942年，美国从事这方面工作的科学家命其名为
“Operations Research”这个ppt课名件字一直延用至今。
2
§0.1 运筹学简述
美国运筹学的早期著名工作之一是研究深水炸弹起爆深度问 题。当飞机发现潜艇后，飞机何时投掷炸弹及炸弹的引爆引 度是多少？运筹学工作者对大量统计数字进行认真分析后， 提出如下决策：1.仅当潜艇浮出水面或刚下沉时，方投掷深 水炸弹。2.炸弹的起爆深度为离水面25英尺（这是当时深水 炸弹所容许的最浅起爆点）。空军采用上述决策后，所击沉 潜艇成倍增加，从而为反法西斯战争的胜利做出了贡献，为 运筹学增添了荣誉。
16 y3
4 X2 1Leabharlann y4X1 0 , X2 0
设第i种资源收购价格为yi,（ i=1, 2, 3, 4,） 则有 min w= 12y1 + 8y2 + 16y3 +12 y4
s.t 2y1 + y2 + 4y3 +0 y4 2
2y1 +2y2 + 0y3 +4 y4 3 yi 0, (i=1, 2, 3, 4 )
ppt课件
6
§0.2 运筹学的发展
2. 20世纪50年代初期到50年代末期——成长时期 电子计算机技术的迅速发展促进运筹学的推广； 美国的约半数的大公司经营管理中融入运筹学；
大批的国家成立运筹学会，各种运筹学刊物相继问世 ； 1957年，牛津大学，第一次国际运筹学会议 1959年，国际运筹学会 成立
ppt课件
11
第 2 章 线性规划的对偶 理论
运筹学-OR6(共34张PPT)
证明(zhèngmíng)：设X（0）是原问题的最优解，相应的最优基为B, 非 基变量的检验数为
CN- CBB-1N≤0
全体检验数有C- CBB-1A≤0，即 C≤CBB-1A
令Y（0）= CBB-1，则有 Y（0）A≥C
即是对偶问题的可行解(Y（0） ≥0,松驰变量的检验数)。 由于 z=C X（0）= CBXB（0）= CBB-1b= Y（0）b（目标值相等）
1?b?因为mmjmljpjlljpjjjmljpjlljpjjipbbpbbpbpbppppbbb???1???1????1?1?????111121112111????eyyppppppbbbkkjmljjkljjj??????????????????????000000121112111???eyymklk由于??????10?故有111b????be???????????????????????????????00100001b21111lkklkkyyyybe??????????10lkmklkyyy?3线性规划的对偶问题的提出每个线性规划都有另一个线性规划对偶问题与它密切相关对偶理论揭示了原问题与对偶问题的内在联系
5y1 7y2 6y3 4
yy11,,yy32 ,y03 0y2 0
2y1 3y2 y3 2 3y1 y2 4y3 3 5y1 7y2 6y3 4 y1,y2 ,y3 0
第十五页，共三十四页。
例3 试求下述线性规划问题的对偶问题
min z 2 x1 3 x2 5 x3 x4
§2 改进(gǎijìn)的单纯形算法
•问题 •原理和计算(jìsuàn)步骤(见书p50)
第一页，共三十四页。
主要是计算 B1的差别： 设当前基
B (Pj1, Pj 2 ,, Pj(l1) , Pjl , Pj(l1) ,, Pjm )
CN- CBB-1N≤0
全体检验数有C- CBB-1A≤0，即 C≤CBB-1A
令Y（0）= CBB-1，则有 Y（0）A≥C
即是对偶问题的可行解(Y（0） ≥0,松驰变量的检验数)。 由于 z=C X（0）= CBXB（0）= CBB-1b= Y（0）b（目标值相等）
1?b?因为mmjmljpjlljpjjjmljpjlljpjjipbbpbbpbpbppppbbb???1???1????1?1?????111121112111????eyyppppppbbbkkjmljjkljjj??????????????????????000000121112111???eyymklk由于??????10?故有111b????be???????????????????????????????00100001b21111lkklkkyyyybe??????????10lkmklkyyy?3线性规划的对偶问题的提出每个线性规划都有另一个线性规划对偶问题与它密切相关对偶理论揭示了原问题与对偶问题的内在联系
5y1 7y2 6y3 4
yy11,,yy32 ,y03 0y2 0
2y1 3y2 y3 2 3y1 y2 4y3 3 5y1 7y2 6y3 4 y1,y2 ,y3 0
第十五页，共三十四页。
例3 试求下述线性规划问题的对偶问题
min z 2 x1 3 x2 5 x3 x4
§2 改进(gǎijìn)的单纯形算法
•问题 •原理和计算(jìsuàn)步骤(见书p50)
第一页，共三十四页。
主要是计算 B1的差别： 设当前基
B (Pj1, Pj 2 ,, Pj(l1) , Pjl , Pj(l1) ,, Pjm )
第1章 绪论《管理运筹学》PPT课件
非可控输入既可以是非常明确的，也可以是不确定的 、变化的。
如果一个模型的非可控输入都是已知的、不可变的， 这样的模型称为确定模型。
如果一个模型的非可控输入是不确定的、变化的，这 样的模型就称为随机模型或概率模型。
本书主要研究确定型数学模型。
1.2 运筹学问题的求解过程
了解模型的相关概念之后，下一个问题就是如何将一 个现实问题转化为数学模型，也就是建模过程。既然运筹 学模型的几个要素是：目标函数，约束条件（包括自然约 束和强加约束），决策变量。那么根据我们要解决的问题 ，只要我们经常问自己下面这些问题，一个模型的框架是 不难建立的。
1.2 运筹学问题的求解过程
1.2.1 从现实系统到理论模型：模型建立
模型是现实世界的抽象化反映。运筹学的实质在于建 立和使用模型来解决实际问题。尽管模型的具体结构和形 式总是与要解决的问题相联系，但在这里将抛弃模型在外 表上的差别，从最广泛的角度抽象出它们的共性。模型在 某种意义上说是客观事物的简化与抽象，是研究者经过思 维抽象后用文字、图表、符号、关系式以及实体模样对客 观事物的描述。
第1章 绪论
“运筹于帷幄之中，决胜于千里之外”。运筹学 将科学的方法、技术和工具应用到经济管理、工程设计 等领域，以便为人们提供最佳的解决方案。
在这一章里，首先介绍运筹学的基本概况，包括 运筹学的历史和发展，运筹学的性质和特点，运筹学研 究的主要内容和以后的发展趋势。然后从运筹学问题解 决过程的角度，依次介绍建模、求解和实际应用时应该 注意的一些问题，使初学者对运筹学概念和方法有初步 的认识。
我们需要什么目标？ 通过调节哪些因素可以使得我们达到这一目标？ 调节的因素是变动的吗? 要与实际情况相符合有什么 限制条件吗？ 在实现目标的过程中，有哪些约束条件？ 这样建立的模型是相对完备的吗？
如果一个模型的非可控输入都是已知的、不可变的， 这样的模型称为确定模型。
如果一个模型的非可控输入是不确定的、变化的，这 样的模型就称为随机模型或概率模型。
本书主要研究确定型数学模型。
1.2 运筹学问题的求解过程
了解模型的相关概念之后，下一个问题就是如何将一 个现实问题转化为数学模型，也就是建模过程。既然运筹 学模型的几个要素是：目标函数，约束条件（包括自然约 束和强加约束），决策变量。那么根据我们要解决的问题 ，只要我们经常问自己下面这些问题，一个模型的框架是 不难建立的。
1.2 运筹学问题的求解过程
1.2.1 从现实系统到理论模型：模型建立
模型是现实世界的抽象化反映。运筹学的实质在于建 立和使用模型来解决实际问题。尽管模型的具体结构和形 式总是与要解决的问题相联系，但在这里将抛弃模型在外 表上的差别，从最广泛的角度抽象出它们的共性。模型在 某种意义上说是客观事物的简化与抽象，是研究者经过思 维抽象后用文字、图表、符号、关系式以及实体模样对客 观事物的描述。
第1章 绪论
“运筹于帷幄之中，决胜于千里之外”。运筹学 将科学的方法、技术和工具应用到经济管理、工程设计 等领域，以便为人们提供最佳的解决方案。
在这一章里，首先介绍运筹学的基本概况，包括 运筹学的历史和发展，运筹学的性质和特点，运筹学研 究的主要内容和以后的发展趋势。然后从运筹学问题解 决过程的角度，依次介绍建模、求解和实际应用时应该 注意的一些问题，使初学者对运筹学概念和方法有初步 的认识。
我们需要什么目标？ 通过调节哪些因素可以使得我们达到这一目标？ 调节的因素是变动的吗? 要与实际情况相符合有什么 限制条件吗？ 在实现目标的过程中，有哪些约束条件？ 这样建立的模型是相对完备的吗？
运筹学基础及应用课件
x
a
此为无约束的极值问题
21
例2 常山机器厂生产 I、II 两型产品。这两型 产品都分别要在A、B、C三种不同设备上加工。按 工艺规定，生产每件产品的单位利润、消耗三种设 备的工时以及各种设备工时的限额如下表：
单位产品消耗设 备工时 I II 设备工时限量 （小时）
设备A 设备B 设备C 单位利润（元）
右端列向量
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矩阵形式
其中
C (c1 , c2 ,
, cn )
称为价值行向量；
x1 x2 X xn
决策列向量
b1 b2 b bm
右端列向量
a11 a12 a21 a22 A am1 am 2
2 4 0 2
2 生产才能使总的利润最大？
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解：设计划期内两种产品的数量分别为x1，x2，则总利润为： z=2 x1+3 x2 简记为： max s.t. （约束于：） z=2 x1+3 x2 2 x1+2 x2 12 4x1 16 5 x2 15 x10， x2 0 在满足限制条件下求z的最大值。
24
2、规划问题
即求目标函数在若干约束条件下的最值。
3、规划问题数学模型的三要素
（1）决策变量：决策者为实现规划目标采取的方案、措施， 是问题中要确定的未知量。用x1，x2，…，xn表示。 （2）目标函数：问题要达到的目标要求，表示为决策变量的 函数。用 z=f(x1，x2，…，xn)表示。 （3）约束条件：决策变量取值时受到的各种可用资源的限制， 表示为含决策变量的等式或不等式。
a1n a2 n P 1, P 2, amn
第章 运筹学基础及应用-第六版
2021/8/2
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3
§1 一般线性规划问题的数学模型
1.1 引例
例1、生产计划问题 ⅠⅡ
设备A 2 2 设备B 4 0 设备C 0 5 利润（元） 2 3
设备能力（小时） 12 16 15
问：Ⅰ，Ⅱ两种产品各加工多少单位, 可获最大利润?
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4
解:设产品Ⅰ, Ⅱ产量分别为变量x1 ， x2 max Z= 2x1 +3x2
xj xj xj 其中： x0， x0
4. 变量 xj≤0
令 xj xj ，显然 xj 0
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例3(教材15页) 将下述LP模型化为标准型
min z x1 2x2 3x3
2x1 x2 x3 9
s.t.
3x1 x2 2x3 4
3x1 2x2 3x3 6
n
aij x j
bi
（ i 1， ， m ）
j1
x
j
0
（ j 1， ， n）
就是从满足约束方程组和约束不等式的决策变量取 值中，找出使得目标函数达到最大的值。
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可行解：满足所有约束条件的解称为可行解，所有可 行解的集合称为可行域。
最优解：使目标函数达到最大值的可行解。
a11 a1n
A
am1 amn
x1
X
x n
b1
b
b m
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18
1.3 线性规划问题的标准形式
n
标准形式： max z c jx j j1
n
a ijx j bi
运筹学课件op1
③若约束方程为 a1 x 1 a2 x 2 ，则半平面在其直 b 线的(a1,a2)方向。 ④若约束方程为 直线。
a1 x 1 a2 x 2 ，则半平面即为该 b
（2）绘出可行解域 各个约束半平面相交的区域。 （3）设目标函数为 z c1 x1 c2 x2 作与(c1 , c2 ) 方向相垂 直的目标函数等值线在可行解域中移动 ( ①若目标为求“max”，则目标函数等值线沿 c1 , c2 ) 方 向同方向移动 ( ②若目标为求“min”，则目标函数等值线沿c1 , c2 ) 相 反方向移动 移动确定使目标函数达到最优可行解，即最优解。 （4）求出最优解
x1 ≤ 6
s.t. 2 x2 ≤ 8
2x1 + 3x2 ≤ 18
x1, x2 ≥ 0
在以x1, x2 为坐标轴的直角坐标系中，非负条件是 指第一象限。每一个约束条件都代表一个半平面。 同时满足 x1, x2 ≥ 0 x2
L3：2x1+3x2=18 L1:x1=6
x1 ≤ 6
2x2 ≤ 8
2x1 + 3x2 ≤ 18
bi 右端常数，资源常数
最优解：①的可行解
aij 约束方程系数，技
术系数，工艺系数
可行解域：所有可行解的集合
线性规划数学模型的简写形式或矩阵形式：
max(min) z c j x j
j 1 n
s .t .
n a ij x j ( , )bi j 1 x 0 j
i 1,2, , m j 1,2, , n
线性规划的建模步骤： ①确定一组决策变量；
②确定一组线性约束条件和一个线性目标函数
（最大或最小）
一般，设有n个决策变量，m个约束方程，则线性 规划问题的一般表达形式如下：
a1 x 1 a2 x 2 ，则半平面即为该 b
（2）绘出可行解域 各个约束半平面相交的区域。 （3）设目标函数为 z c1 x1 c2 x2 作与(c1 , c2 ) 方向相垂 直的目标函数等值线在可行解域中移动 ( ①若目标为求“max”，则目标函数等值线沿 c1 , c2 ) 方 向同方向移动 ( ②若目标为求“min”，则目标函数等值线沿c1 , c2 ) 相 反方向移动 移动确定使目标函数达到最优可行解，即最优解。 （4）求出最优解
x1 ≤ 6
s.t. 2 x2 ≤ 8
2x1 + 3x2 ≤ 18
x1, x2 ≥ 0
在以x1, x2 为坐标轴的直角坐标系中，非负条件是 指第一象限。每一个约束条件都代表一个半平面。 同时满足 x1, x2 ≥ 0 x2
L3：2x1+3x2=18 L1:x1=6
x1 ≤ 6
2x2 ≤ 8
2x1 + 3x2 ≤ 18
bi 右端常数，资源常数
最优解：①的可行解
aij 约束方程系数，技
术系数，工艺系数
可行解域：所有可行解的集合
线性规划数学模型的简写形式或矩阵形式：
max(min) z c j x j
j 1 n
s .t .
n a ij x j ( , )bi j 1 x 0 j
i 1,2, , m j 1,2, , n
线性规划的建模步骤： ①确定一组决策变量；
②确定一组线性约束条件和一个线性目标函数
（最大或最小）
一般，设有n个决策变量，m个约束方程，则线性 规划问题的一般表达形式如下：